GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
LỜI CẢM ƠN
Khoá luận của em được hoàn thành với sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình
của thầy giáo PGS.TS.Khuất Văn Ninh .
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 – những người đã luôn dạy dỗ, chỉ
bảo chúng em trong quá trình học tập để chúng em có thêm nhiều kĩ năng,
kiến thức và trưởng thành hơn.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Khuất
Văn Ninh – người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho em trong thời gian em thực hiện khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Lê Thị Lam
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
1
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, cùng với đó là sự cố
gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu và
những người đi trước với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận này
là kết quả nghiên cứu, tổng hợp, thu thập tài liệu của riêng bản thân em,
không có sự trùng lặp với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Lê Thị Lam
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
2
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
MỞ ĐẦU
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia làm hai
lĩnh vực: toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Nói đến toán học ứng dụng
không thể không nói đến Giải tích số. Giải tích số là một khoa học nghiên cứu
cách giải gần đúng các phương trình; các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài
toán tối ưu.
Vấn đề tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm
số đại số hoặc siêu việt bất kì là một bài toán thường gặp trong kĩ thuật cũng
như trong lý thuyết; là một vấn đề nghiên cứu quan trọng của giải tích số.
Chính vì vậy; em đã lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp của em là:
“Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến.”
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
3
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUNG
1.1. Một số kiến thức về không gian hàm:
1.1.1. Không gian mêtric:
* Định nghĩa 1.1.1: Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X ≠ Ø
cùng với một ánh xạ d từ tích Đềcác X x X vào tập hợp số thực
thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
i) x,yX : d(x,y) ≥ 0 ; d(x,y) = 0 x = y.
ii) x,yX : d(x,y) = d(y,x).
iii) x,y,zX : d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
Ánh xạ d gọi là mêtric trên X; số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử
x và y.
Không gian mêtric được kí hiệu là :M = (X,d).
* Định nghĩa 1.1.2: Không gian mêtric M = (X,d) được gọi là không
gian đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
* Định nghĩa 1.1.3: Cho hai không gian mêtric M1 = (X,d1); M2 =
(X,d2). Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co nếu
tồn tại số ; 0 ≤ <1 sao cho d2(Ax,Ax’) ≤ .d1(x,x’) x, x’X. Hằng số
gọi là hệ số co của A.
* Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co): Cho A là ánh xạ co
từ không gian mêtric đủ (X,d) vào chính nó. Khi đó:
a) Tồn tại duy nhất x*X sao cho Ax* = x*.Phần tử x* gọi là điểm bất
động của ánh xạ A.
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
4
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
b) Dãy lặp xn+1 = Axn (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ đến x*.
Ngoài ra ta còn có các ước lượng sau:
d(xn,x*) ≤ qn.(1-q)-1.d(x0,x1) (n≥1)
(1.1.1)
d(xn,x*) ≤ q.(1-q)-1.d(xn-1,xn)
(1.1.2)
(n≥1)
(Với q là hệ số co của A).
□ Chứng minh:
a) Vì d(xn+1,xn) = d(Axn,Axn-1) ≤ q.d(xn,xn-1) ≤…≤ qn.d(x0,x1)
nên d(xn,xn+m) ≤ d(xn,xn+1) + d(xn+1,xn+2) +….+ d(xn+m-1,xn+m)
≤ qn.d(x0,x1).(1+q+…+qm-1)
≤ qn.(1-q)-1.d(x0,x1)
Suy ra (xn) là dãy cơ bản.
Do X là không gian đủ nên xn→ x*X.
Qua giới hạn trong biểu thức xn+1 = Axn ta được x* = Ax*.
Giả sử , là hai điểm bất động của A .Ta có :
0 ≤ d(,) = d(A,A) ≤ q. d(,).
Từ đây suy ra d(,) = 0 hay = .
b) Cho m→, ta có (1.1.2) (đpcm).
1.1.2. Không gian định chuẩn:
* Định nghĩa 1.1.4: Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian
tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K =
K=
) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực
hoặc
; kí hiệu là .; đọc là
chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) xX : x ≥0; x = 0 x = . ( là phần tử không của X).
2) xX, K : .x = ׀׀. x .
3) x,y X: x+y x + y .
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
5
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn là
(X, .) hoặc X.
* Định nghĩa 1.1.5: Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử
tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số C > 0 sao cho : AxY ≤ C. xX ; xX.
* Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính
liên tục): Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.
3) A bị chặn.
Chứng minh:
1)2) Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa; toán tử A liên tục tại mỗi
điểm x X; do đó toán tử A liên tục tại điểm x0 X.
2)3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0X; nhưng toán tử A không bị
chặn.
Khi đó (nN*) ( xnX) : Axn > nxn.
Ta có xn 0; đặt yn=
xn
1
thì yn = →0 (n→) nghĩa là yn→0 khi
n
n. || xn ||
n→ yn + x0→ x0 (n→).
Theo giả thiết ta có ||A(yn+x0) - Ax0||→ 0 (n→)
Nhưng ||Ayn||= ||A(
xn
1
)|| =
. || Ax n || > 1.(Điều này mâu thuẫn với
n. || xn ||
n. || xn ||
chứng minh trên ).
Vậy toán tử A liên tục tại điểm x0 X thì bị chặn.
3)1) Giả sử toán tử A bị chặn .Theo định nghĩa C > 0
||Ax|| ≤ C||x||; x X
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
(*)
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
6
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
Lấy một điểm bất kì xX và dãy điểm tùy ý (xn) X hội tụ tới x
Nhờ hệ thức (*) ta có :
||Axn - Ax||= ||A(xn - x)|| ≤ C ||xn - x|| → 0 (n→)
Do đó A liên tục tại điểm x.
Do x bất kỳ thuộc X A liên tục trên X .
1.1.3.Không gian Hilbert:
* Định nghĩa 1.1.6: Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là
trường số thực
hoặc trường số phức
) .Ta gọi là tích vô hướng trên không
gian X mọi ánh xạ từ tích Đềcac XxX vào trường K ký hiệu <. , .> thỏa mãn
tiên đề :
1) ( x, y X) : <y, x > = <x , y> ;
2) ( x,y,z X): <x+y,z> = <x,z> + <y,z> ;
3) ( x,y X);( K) : <.x , y> = . <x,y> ;
4) (x X) :<x , x> 0 ; <x , x> = 0 x = .
* Định nghĩa 1.1.7: Ta gọi một tập H gồm phần tử x, y, z,… nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K;
2) H được trang bị một tích vô hướng <. , .> ;
3) H là không gian Banach với chuẩn || x || = x, x ; x X.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
* Định lý 1.1.3: (Định lý về đẳng thức Paseval):
Cho (en)n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Năm
mệnh đề sau tương đương:
1) Hệ (en)n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H;
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
7
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
2) x H :
x=
x, e
en ;
n
n 1
3) x , y H : < x , y > = x , e n e n , y (đẳng thức
n 1
Paseval);
4) x H :
|| x ||2 =
|2 (phương trình đóng);
| x, e
n
n1
5) Bao tuyến tính của hệ (en)n1 trù mật khắp nơi trong không gian H.
Chứng minh:
1)2) x H ta đều có
| x, e
n
|2 x 2 (Bất đẳng thức Bessel)
n 1
Chuỗi
x, e
n
.en hội tụ trong H với x bất kì thuộc H.
n 1
Kí hiệu tổng của chuỗi đó là z.
Khi đó m N và k m ta có:
<z – x, em> = <z, em> - <x, em>
k
lim
k
x, e
n
.en , em x, em
n 1
x, em x, em 0
Nghĩa là z – x trực giao với cơ sở trực chuẩn (en)n1.
Do đó z = x. Vì vậy x
x, e
n
.e n
.
n 1
2)3) Áp dụng tính chất liên tục của tích vô hướng ta được
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
8
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
k
k
x, y lim x, en .en , lim y, e j .e j
k
k
n 1
k
k
x, e
lim
n
k
n 1
k
j 1
.en , y , e j .e j
j 1
k
lim x, en y , e j . en , e j
x
n 1 j 1
k
lim x, en y , en x, en . en , y
x
n 1
n 1
2
3) 4) Cho y = x ta được x
2
x, x x, en .
n 1
4) 5) Ta có chuỗi
x, e
n
.en hội tụ trong không gian H đối với
n 1
phần tử bất kì x H, vì:
|| < x, en >.en || = | < x, en > | n 1.
Khi đó
k
k
2
k
x x, en .en , x x, en .en x x, x, en .en
n 1
n 1
x, e
n
.en , x
n 1
n 1
x, e
n
n 1
.en , x, en .en
n 1
2
x | x, en |2 | x, en |2 | x, en |2
n 1
n 1
n 1
= 0.
Vì vậy x =
x, e
n
e n . Từ đó suy ra với mỗi x H đều có:
n 1
k
x lim x, en .en
k
n 1
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
9
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
nghĩa là x là giới hạn của một dãy các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn
bất kì các phần tử thuộc hệ (en)n1. Vì vậy bao tuyến tính của hệ (en)n1 trù mật
trong không gian H.
4) 1) Giả sử x H và x en (n =1, 2, 3,….).
x trực giao với bao tuyến tính của hệ (en)n1. Mà bao tuyến tính của
hệ (en)n1 trù mật khắp nơi trong không gian H.
x = 0 ( 0 là phần tử không trong H).
Hệ trực chuẩn (en)n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H. ( Định lý
được chứng minh ).
1.2. Số gần đúng và sai số:
1.2.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối:
* Định nghĩa 1.2.1.1: Ta gọi a là số gần đúng của a* nếu a không sai
khác a* nhiều. Kí hiệu a a*.
Đại lượng : = |a – a*| gọi là sai số thực sự của a. Do không biết a* nên
ta cũng không biết . Tuy nhiên ta có thể tìm được số a 0, gọi là sai số
tuyệt đối của a, thoả mãn điều kiện:
|a – a*| a
(1.2.1)
hay a - a a* a + a. Một số gần đúng a của số đúng a* với sai số tuyệt đối
a được viết đơn giản là: a* = a a. Khi đó ta có sai số tương đối của a là
một số, kí hiệu a , được xác định bởi:
a :
a
a
(1.2.2)
Chú ý: Độ chính xác của phép đo thường được phản ánh qua sai số
tương đối.
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
10
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
1.2.2. Phép làm tròn số và sai số của phép làm tròn số:
Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau:
a = ( p.10p +p-1.10p-1 + ……+ p-s.10p-s )
(1.2.3)
trong đó 0 i 9 ( i = p – 1 , p – s ) ; p > 0 là những số nguyên. Nếu p – s
0 thì a là số nguyên; p – s = - m ( m > 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số. Nếu s
= + thì a là số thập phân vô hạn. Làm tròn số a đến hàng thứ j là bỏ đi các
chữ số hàng thứ k, với k j – 1 để được một số a gọn hơn a và gần đúng nhất
với a.
Quy tắc làm tròn số
Giả sử a = ( p.10p +p-1.10p-1 + ……+ p-s.10p-s ) và ta giữ lại đến
hàng thứ j, gọi phần bỏ đi là , khi đó:
a = ( p.10p + ….+ j+1.10j+1 + j.10j )
trong đó
j1 ; 0,5.10 j 10 j.
j
j
j ;0 0,5.10 .
nếu = 0,5.10j thì j = j nếu j là số chẵn và j = j + 1 nếu j là số lẻ.
Sai số của phép làm tròn số a kí hiệu là a được xác định bởi:
a a a .
1
j
*
*
Rõ ràng a .10 . Dễ thấy a a a a a a a a . Như
2
vậy khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm a .
1.2.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc:
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
11
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
* Định nghĩa 1.2.3.1: Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và cả chữ
số 0 nếu nó bị kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được
giữ lại.
* Định nghĩa 1.2.3.1: Giả sử a = ( p.10p + p-1.10p-1 + ……+ p-s.10ps
) . Mọi chữ số có nghĩa j của a được gọi là chữ số chắc nếu .10j trong
đó là tham số cho trước, tham số được chọn sao cho một chữ số vốn đã
chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc.
* Chú ý: Trong thực tế tính toán, để cho tiện người ta vẫn thường chọn
= 1/2 hoặc = 1. Nếu = 1 thì người ta nói chữ số chắc theo nghĩa rộng,
còn nếu = 1/2 thì người ta nói chữ số chắc theo nghĩa hẹp.
1.2.4. Sai số tính toán:
Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau:
a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý tưởng hoá bài toán thực tế.Sai số
này không loại trừ được.
b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp không thể
giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này được
nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó
có sai số.
d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên
khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử tìm đại lượng y theo công thức:
y = f(x1 , x2 , …, xn)
Gọi xi*, y* và xi , y (i = 1,.., n) lần lượt là các giá trị đúng và gần đúng của các
đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì:
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
12
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
n
*
*
1
*
n
y y f ( x1 ,..., xn ) f ( x ,..., x ) fi ' . xi xi*
i 1
'
trong đó f i là đạo hàm
f
f
tính tại các điểm trung gian. Do
liên tục và
xi
xi
xi khá bé ta có thể coi:
n
y f i ' ( x1 ,..., xn ) .xi .
i 1
Do đó
n
y
y
ln f .xi .
y
i 1 xi
Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:
1.2.5) Sai số của các phép tính cộng trừ:
Giả sử y = x1 + x2 + … +xn ;
y
1
xi
n
Khi đó y = x1 + x2 + … + xn =
x .
i
i 1
Như vậy sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối
của các số hạng thành phần.
Trong tính toán nếu có tổng là một số nhỏ thì sai số tương đối sẽ là một
số lớn, do đó kết quả không chính xác. Cho nên trong tính toán nên tránh các
công thức có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không tránh được thì cần phải lấy
các số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc.
1.2.6) Sai số của các phép tính nhân chia:
Giả sử :
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
13
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
y
x1...x p
x p 1...xn .
Khi đó
p
n
ln y ln xi
i 1
ln x
j
.
j p 1
Suy ra
n
y xi .
i 1
Như vậy sai số tương đối của một tích hoặc một thương đều bằng
tổng các sai số tương đối của các số hạng thành phần.
1.2.7) Sai số của các phép luỹ thừa, khai căn, nghịch đảo:
Cho y = xa , khi đó y
d
ln y .x a . x
dx
- Nếu a > 1 (phép luỹ thừa) thì y > x, do đó độ chính xác giảm.
- Nếu 0 < a < 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x, hay độ chính xác
tăng.
- Nếu a = - 1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác
không đổi.
1.3. Khoảng tách nghiệm của phương trình:
Cho phương trình f(x) = 0 (1.3.1)
*Định lí 1.3.1: a) Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một nghiệm x* thuộc khoảng (a,b) của phương
trình (1.3.1).
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
14
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
b) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, hơn nữa hàm số f(x)
có đạo hàm f’(x) liên tục không đổi dấu trên đoạn [a,b] thì nghiệm x* nói trên
là duy nhất.
* Định nghĩa 1.3.1: Khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b] được gọi là khoảng
tách nghiệm của phương trình (1.3.1) nếu trong khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b]
phương trình (1.3.1) có một nghiệm duy nhất.
* Định lý 1.3.2: Giả sử f(x) là hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn [a, b] và
f(a).f(b) < 0. Khi đó đoạn [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình
(1.3.1).
* Định lý 1.3.3: Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a,b] có đạo hàm f’(x)
không đổi dấu trên khoảng (a, b) và f(a).f(b) < 0 thì (a,b) là khoảng tách
nghiệm của phương trình (1.3.1).
Ví dụ 1.3.1: Cho phương trình : x3 – 3x2 + 3x + 1= 0. Hãy chứng tỏ
phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng tách nghiệm của phương
trình.
Giải:
Đặt f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1.
Ta có f’(x) = 3x2 – 6x + 3 = 3.(x – 1)2 > 0 x 1.
suy ra hàm số f(x) đồng biến trên
.
Ta có bảng biến thiên như sau:
x
-
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
1
+
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
15
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
f’(x)
+
0
+
f(x)
+
-
Vậy đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
hay phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.
Mặt khác ta có f(-1) = - 6 , f(0) = 1 suy ra f(0). f(1) < 0 nên ta có [0; 1]
là khoảng tách nghiệm của phương trình đã cho.
1.4. Tỷ sai phân:
* Định nghĩa 1.4.1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a,b]. Giả
sử các mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự a≤ x0< x1<……< xn= b
Tỷ số
f ( xi 1 ) f ( xi )
được gọi là tỷ sai phân cấp một của hàm số y =
xi 1 xi
f(x) tại xi, xi+1 và được kí hiệu là f(xi,xi+1).
Tỷ số
f ( xi 2 , xi 1 ) f ( xi 1 , xi )
được gọi là tỷ sai phân cấp hai của hàm
xi 2 xi
số y = f(x) tại xi, xi+1, xi+2 và được kí hiệu là f(xi,xi+1,xi+2).
…………………………………………………………………
Một cách tổng quát: Tỷ số
f ( xi k ,...., xi 1 ) f ( xi k 1 ,...., xi )
được gọi
xi k xi
là tỷ sai phân cấp k của hàm số tại xi, xi+1,…,xi+k và được kí hiệu là f(xi,
xi+1,….,xi+k).
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
16
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
* Các tính chất:
k
f ( xi )
;
i 0 '( xi )
a)Tính chất 1: f ( x0 ,..., xk )
k
trong đó ω(x) = ( x x j )
j 0
b)Tính chất 2: Tỷ sai phân cấp m+1 của đa thức bậc m đồng nhất bằng 0.
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
17
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải
phương trình một biến số: f(x) = 0 (1) trong đó f(x) là hàm số đại số hay siêu
việt.
Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như
phương trình đại số bậc 1, 2, 3, 4 có công thức tính nghiệm cụ thể, còn nói
chung là không có một công thức tính đúng nghiệm. Mặt khác, các hệ số của
f(x) trong nhiều trường hợp là số gần đúng. Cho nên vấn đề giải đúng phương
trình trên cũng không thật sự cần thiết. Vì vậy việc tìm ra những phương pháp
giải gần đúng phương trình phi tuyến cũng như việc đánh giá độ chính xác
của nghiệm gần đúng có một vai trò quan trọng.
Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) gồm hai bước
sau:
Bước 1: Tìm khoảng (a, b) đủ nhỏ sao cho phương trình (1) có nghiệm
duy nhất x* (a, b). Bước này gọi là bước tách nghiệm.
Bước 2: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết theo một phương pháp
giải gần đúng. Bước này được gọi là bước kiện toàn nghiệm.
Sau đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu các phương pháp giải gần
đúng phương trình phi tuyến (1).
2.1.Phương pháp tách nghiệm
Nội dung phương pháp: Phương pháp tách nghiệm là phương pháp chỉ ra
đoạn [a,b] mà [a,b] chỉ chứa một nghiệm của phương trình f(x) = 0 (2.1.1).
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
18
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
Sau đó áp dụng một thuật toán nào đó để tìm nghiệm của phương trình (2.1.1)
với một độ chính xác theo yêu cầu.
Khi tách nghiệm của phương trình (2.1.1) cố gắng để đoạn [a,b] có độ dài
càng nhỏ càng tốt.
Có thể tách nghiệm bằng đồ thị: Tìm nghiệm của phương trình (2.1.1)
nghĩa là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành.
Nếu vẽ đồ thị hàm số y = f(x) gặp khó khăn thì có thể biểu diễn phương
trình (2.1.1) về dạng tương đương f1(x) = f2(x) (2.1.2) sao cho đồ thị của y =
f1(x) và y = f2(x) đơn giản hơn. Nghiệm của (2.1.2) là hoành độ giao điểm của
các đồ thị y = f1(x) và y = f2(x).
2.2. Phương pháp chia đôi
a)Nội dung phương pháp:
Xét phương trình: f(x) = 0
(2.2.1)
Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.2.1).
Phương pháp chia đôi là phương pháp thu nhỏ dần khoảng tách nghiệm
của phương trình đã cho.
* Trước hết ta chia đôi [a,b] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia
c
ab
2
+ Nếu f(c) = 0 thì x* = c chính là nghiệm đúng của (2.2.1).
+ Nếu f(c) 0. Gọi [a1,b1] là một trong hai đoạn [a,c]; [c,b] mà ở đó
f(a1).f(b1) < 0. Khi đó độ dài đoạn [a1,b1] bằng
ba
.Ta được khoảng tách
2
nghiệm thu nhỏ là [a1,b1]
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
19
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
* Tiếp tục chia đôi đoạn [a1,b1] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia
c1 =
a1 b1
và làm tương tự như trên ta được khoảng tách nghiệm thu nhỏ
2
mới, kí hiệu là [a2,b2], độ dài đoạn [a2,b2] bằng
ba
.
22
……………………………………………………………
* Lặp lại quá trình trên đến lần thứ n, ta được khoảng tách nghiệm thu nhỏ
thứ n, kí hiệu là [an,bn]. Độ dài đoạn [an,bn] bằng
a b
2n
Nghiệm xấp xỉ xn có thể được lấy theo công thức:
xn =
an bn
2
b) Sai số của phương pháp:
Khi dừng lại ở bước thứ n thì ta có :
bn an
ba
2n
Có thể lấy nghiệm gần đúng là xn
an bn
.
2
Gọi x* là nghiệm đúng của (2.2.1).
x* an bn x*
ba
bn an n .
Ta có đánh giá: 0 ≤ |xn - x | ≤
2
2
2
*
Do đó ta có thể xấp xỉ xN sao cho: |xN – x*| < δ. Khi đó suy ra ta phải có
ba
ln(b – a) – N.ln2 < lnδ.
2N
Như vậy nếu cho sai số không vượt quá δ thì phải tiến hành đến bước lặp
ln(b a) ln
lần thứ N với N = integer
1
2
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
20
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
2.3. Phương pháp lặp đơn
a)Nội dung phương pháp:
Xét phương trình: f(x) = 0
(2.3.1)
Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.3.1).
Để giải phương trình (2.3.1) ta đưa nó về dạng:
x = φ(x)
(2.3.2)
Chọn một số x0 [a,b] bất kì. Xây dựng dãy (xn) nhờ hệ thức:
xn+1 = φ(xn) ; n 0
(2.3.3)
*
Nếu hàm φ liên tục và dãy (xn) hội tụ thì x ln im x n là nghiệm của
(2.3.1).
Việc xây dựng dãy (xn) dựa vào định lý sau:
* Định lý 2.3.1: Giả sử φ C1[a,b] sao cho:
a) x [a,b] ta có: |φ’(x)| ≤ q < 1.
b) x [a,b] ta có: φ(x) [a,b].
Khi đó ta có:
1) Phương trình (2.3.2) có nghiệm x* duy nhất trên đoạn [a,b].
2) Phép lặp (2.3.3) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng:
|xn – x*| ≤ q.(1 – q)-1.|xn – xn-1|.
hoặc
|xn – x*| ≤ qn.(1 – q)-1.|x1 – x0|.
Chứng minh:
Theo công thức số gia hữu hạn ta có:
|φ(x) – φ(y)| ≤ |φ’(c)|.|x – y| ≤ q.|x – y| ; c [a,b].
φ là ánh xạ co.
Mà không gian X = [a,b] với mêtric d(x,y) := |x – y|.
Áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach ta suy ra điều phải chứng minh.
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
21
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
Chú ý: Trong thực hành giải phương trình (2.3.1) người ta thường thực hiện
như sau:
+ Nếu φ’(x) > 0 x [a,b] thì ta chọn x0 tùy ý.
+ Nếu φ’(x) < 0 x [a,b] thì ta chọn:
+) x0 = a nếu x* < c
ab
.
2
+) x0 = b nếu x* > c
ab
.
2
b)Đánh giá sai số:
Theo trên ta có: |xn – x*| ≤ qn.(1 – q)-1.|x1 – x0|
(2.3.4)
Công thức (2.3.4) là công thức đánh giá sai số của phương pháp lặp ở trên.
Muốn |xn – x*| < ta chỉ cần qn.(1 – q)-1.|x1 – x0| <
.(1 q )
ln
ln
q
1 n0
hay n >
x
x
1 0
(2.3.5)
Như vậy; ta có thể chỉ ra số phép lặp cần thực hiện để nghiệm gần đúng xn
xấp xỉ x* với độ chính xác ; bởi công thức (2.3.5).
Chú ý: Trong thực tế người ta thường dừng quá trình tính khi |xn – xn-1| <
với là sai số cho phép.
c) Nhận xét: Phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính.
2.4. Phương pháp Newton
a) Nội dung phương pháp:
Xét phương trình f(x) = 0 (2.4.1).
Phương pháp Newton áp dụng để giải phương trình (2.4.1), trong đó f là
hàm khả vi liên tục, được mô tả như sau:
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
22
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
+Chọn xấp xỉ đầu tiên x0; các xấp xỉ tiếp theo được xây dựng theo công
thức:
xn 1 xn
f ( xn )
f '( xn )
; f’(xn) 0 ; n = 0,1,2….
(2.4.2)
Về mặt hình học xn+1 là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại điểm
(xn,f(xn)) của đường cong y = f(x) với trục hoành.
b)Sai số của phương pháp:
Nếu f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục thì sai số được đánh giá bởi bất đẳng
thức:
|x* - xn+1| ≤
f ''( n )
.( x* xn )2
2 f '( xn )
; n [x*,xn]
(2.4.3)
hoặc ta có thể dùng công thức đánh giá sai số khác là:
x* xn
*
hoặc: x xn
f ( xn )
m
; với m > |f’(x)| x
(2.4.4)
M
2
. xn xn 1 với |f’’(x)| ≤ M x .
2m
Vì đạo hàm f’, f’’ không đổi dấu trên đoạn [a,b] nên ta có : m = min
{|f’(a)|,|f’(b)|}.
c) Nhận xét: Phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bình phương.
2.5. Phương pháp dây cung
a) Nội dung phương pháp:
Xét phương trình: f(x) = 0
(2.5.1)
Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.5.1)
Giả sử rằng f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục và ta có f’’(x)>0 trên [a,b] .
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
23
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
( Nếu f’’(x) < 0 thì ta chuyển (2.5.1) về dạng: - f(x) = 0; lúc đó - f’’(x) > 0
trên [a,b]).
Khi đó đồ thị y = f(x) nằm phía dưới dây cung AB với A(a,f(a)), B(b,f(b)).
Trường hợp 1: Nếu f(a) > 0; ta xây dựng dãy (xn) theo hệ thức :
x0 b
f ( xn )
x
x
.( xn a)
n
1
n
f
(
x
)
f
(
a
)
n
(2.5.2)
Khi đó ta sẽ có dãy (xn) đơn điệu giảm, bị chặn và:
a < x* <…< xn+1 < xn <…< x0.
Trường hợp 2 : Nếu f(a) < 0; ta xây dựng dãy (xn) theo công thức:
x0 a
f ( xn )
xn 1 xn f (b) f ( x ) .(b xn )
n
(2.5.3).
Khi đó dãy (xn) đơn điệu tăng, bị chặn và:
x0 < x1 <….< xn < xn+1 <….< x* .
Ý nghĩa hình học của hai dãy (xn) được xây dựng bởi (2.5.2) và (2.5.3)
nêu ở trên được mô tả tương ứng trên hình 1 và hình 2 dưới đây và chính điều
đó giải thích cho tên gọi của phương pháp.
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
24
GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH
yA
y
B
a=x0
x1
O
O
x* b
x1 x0=b
x
*
a x
x
B
A
Hình 1
Hình 2
b)Sai số:
+ Nếu |f’(x)| m > 0 x [a,b] thì ta có ước lượng sai số sau:
x* xn
f ( xn )
(2.5.4)
m
+ Nếu 0 < m ≤ |f’(x)| ≤ M; x [a,b] thì ta có ước lượng sau:
xn 1 x*
M m
. xn 1 xn
m
(2.5.5)
2.6.Phương pháp parabol
Nội dung phương pháp:
Xét phương trình f(x) = 0 (2.6.1).
Giả sử biết trước ba xấp xỉ liên tiếp xn, xn+1, xn+2 của nghiệm của phương
trình (2.6.1). Ta xây dựng theo các mốc này đa thức nội suy Newton:
f(x) = f(xn) + f(xn,xn-1).(x – xn) + f(xn,xn-1,xn-2).(x – xn).(x – xn-1) +
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
25