Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ
Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.
Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa
luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em xin chân thành
cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Lệ


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào khóa
luận tốt nghiệp "Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến
tính phức" được hoàn thành theo sự hiểu biết, nhận thức và được trình
bày theo quan điểm riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, tôi đã thừa kế những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Lệ

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Tích phân phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5. Vấn đề điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính phức . .
19
1.5.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.2. Phân loại điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
21
2.1. Phương trình chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Phương trình chỉ số có các nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.1. Phương pháp tìm nghiệm chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1


2.3. Phương trình chỉ số có nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1. Hệ nghiệm tương ứng từ nghiệm bội của phương trình chỉ số . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2. Sự độc lập tuyến tính của hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4. Ứng dụng vào phương trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5. Điều kiện để tất cả các nghiệm liên quan tới một chỉ số có thể
không chứa logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.6. Điểm kì dị thực và kì dị bề ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như ta đã biết việc tìm nghiệm tổng quát của một phương trình vi
phân tuyến tính được dựa trên cơ sở xác định một hệ nghiệm cơ bản
của phương trình thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng của
phương trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình này là tổng của

nghiệm riêng của phương trình đó với nghiệm tổng quát của phương
trình vi phân tuyến tính thần nhất tương ứng. Nhưng cho đến nay người
ta cũng chỉ mới đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với
phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số không phải là hằng số, việc
tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm sơ cấp của một số phương trình
vi phân không phải dễ dàng, thậm chí ngay cả đối với nhiều phương
trình có dạng khá đơn giản. Chẳng hạn
P (z)w (z) + Q(z)w (z) + R(z)w(z) = 0.
Đó là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm của biến số độc
lập, nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới dạng một hàm số
sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các phương trình như dạng trên đây là rất
quan trọng vì nó nảy sinh từ các bài toán thực tiễn, đặc biệt nó xuất
hiện nhiều trong các bài toán vật lý kĩ thuật. Vì vậy, ta cần thiết phải
xây dựng các phương pháp nhằm tìm nghiệm cho các phương trình này.


Một trong các phương pháp thông dụng là tìm nghiệm của phương trình
dưới dạng chuỗi lũy thừa. Ý tưởng của phương pháp này khá đơn giản:
Giả sử các hàmP (z), Q(z), R(z) là giải tích trong một lân cận của điểm
z0 , khi đó chúng có khai triển thành chuỗi lũy thừa tâm tại z0 . Giả sử
phương trình có nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa
∞

cn (z − z0 )n .

w=
n=0

Cơ sở toán học của phương pháp này là ta thay thế biểu thức này cùng

các đạo hàm của nó vào phương trình vi phân cần giải. Từ đó, xác định
giá trị của các hằng số c0 , c1 , c2 , ... sao cho nó nghiệm đúng phương trình
vi phân đã cho. Sau đó đồng nhất các hệ số trong hệ thức thu được, ta
nhận được nghiệm của phương trình vi phân đó.
Điều đó dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
dưới dạng chuỗi lũy thừa. Được sự định hướng của người hướng dẫn, em
chọn đề tài "Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
phức" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích.
Khóa luận được bố cục thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, em đưa ra một số kiến thức chẩn bị: số
phức và mặt phẳng phức; dãy số và chuỗi số phức; hàm phức và tính khả
vi phức; hàm giải tích. Cũng ở đây liên quan tới việc tìm hiểu phương
trình vi phân tuyến tính phức nên em trình bày về khái niệm phương
trình vi phân tuyến tính phức, định lý tồn tại nghiệm của phương trình
vi phân phức, vấn đề về điểm kì dị của phương trình vi phân tuyến tính
phức.
Chương 2. Trong chương này em trình bày về vấn đề tồn tại nghiệm
4


chuỗi đối với một số lớp phương trình vi phân tuyến tính phức và phương
pháp tìm nghiệm chuỗi đối với các phương trình vi phân tuyến tính này.

2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa của phương trình
vi phân tuyến tính phức.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tài liệu tham khảo, phân tích, so sánh, tổng hợp và xin ý
kiến định hướng của người hướng dẫn.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà
i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như
các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
6


Một số tính chất của phép cộng và nhân số phức
+ Tính chất giao hoán

z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 .z2 = z2 .z1 .
+ Tính chất kết hợp
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ); (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ).
+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 .
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
x2 + y 2 .

|z| =
Modul của số phức có các tính chất

(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z¯ = x − iy.
Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯
z − z¯
; Imz =
2
2i

và
|z|2 = z.¯
z;

1
z¯

= 2 với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác
7


định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2π) và
eiθ = cosθ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng,
ta lưu ý rằng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì
z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là
w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0.
n→∞

n→∞

Dễ dàng kiểm tra rằng
w = lim zn ⇔
n→∞



 lim Rezn = Rew,
n→∞


 lim Imzn = Imw.
n→∞

Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm | → 0 khi m, n → ∞
⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |zn − zm | < ε với mọi n, m ≥ N.
Như vậy, dãy số phức hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy.
1.1.3. Chuỗi số phức
Định nghĩa 1.1. Cho dãy số phức {un }. Khi đó, tổng vô hạn
∞

u1 + u2 + · · · + un + · · · =

un
n=1

8

(1.1)


được gọi là chuỗi số phức. Tổng Sn = u1 + u2 + · · · + un được gọi là tổng
riêng thứ n của chuỗi (1.1).
Nếu tồn tại lim Sn = S = 0 thì chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và S
n→∞

được gọi là tổng của chuỗi, kí hiệu
∞

s=

un .
n=1

Chuỗi không hội tụ gọi là chuỗi phân kì.
∞

un hội tụ khi và chỉ khi

Định lý 1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi
n=1

với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N = N (ε) sao cho với mọi n ≥ N
và mọi p = 1, 2, ... ta có
|un+1 + un+2 + · · · + un+p | < ε.
∞

un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

Định nghĩa 1.2. Chuỗi
n=1

∞

|un | hội tụ.
n=1
∞

un hội tụ tuyệt đối thì nó cũng hội tụ.

Định lý 1.2. Nếu chuỗi
n=1

1.2. Hàm biến phức
1.2.1. Hàm liên tục
Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f (z) liên tục tại
điểm z0 ∈ Ω nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z0 | < δ thì
|f (z) − f (z0 )| < ε.
9


(ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ).
n→∞

n→∞

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục.
1.2.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
; khi h → 0,
h
ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)
tại điểm z0 . Như vậy, ta có

f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f (z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C - khả vi tại z. Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại
mọi điểm của Ω. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Định lý 1.3. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì
(i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g) = f + g ,
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g) = f g + f.g ,
f
f .g − f.g
f
=
.
(iii) Nếu g(z0 ) = 0, thì chỉnh hình tại z0 ∈ Ω và
g
g
g2
Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm
hợp gof : Ω → C cũng là hàm chỉnh hình.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường
của hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f (z) = z¯ tương ứng như ánh xạ
10


của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo

nghĩa hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến
tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai
các đạo hàm riêng của các tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại
các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi
phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến
điều kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải
được điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong
đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả
vi tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.4. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả vi
tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 - khả
vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂v
∂u
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x
1.2.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an (z − z0 )n

(1.2)

n=0

hoặc bằng phép đổi biến đơn giản ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi dạng
∞

an z n ,

(1.3)

n=0

trong đó an ∈ C. Từ Định lý Abel ta thấy rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ
điểm z0 nào đó, thì nó cũng hội tụ tại mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Bây giờ
11


ta sẽ chứng minh luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.2) hội tụ
tuyệt đối.
∞

Định lý 1.5. (H’adamard) Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi đó tồn tại

n=0

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì chuỗi có thể hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
∞

∞

z 2n+1
cos z =
(−1)
2n) và sin z =
(−1)
.
(
(2n
+
1)!
n=0
n=0

nz

2n

n

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
eiz − e−iz
eiz + e−iz
cos z =
và sin z =
.
2
2
∞

Định lý 1.6. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm chỉnh

n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f cũng là một chuỗi lũy thừa
12


thu được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f , tức
là

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f có cùng bán kính hội tụ với f .
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng
số hạng của nó.
Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai
∞

triển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

an (z − z0 )n

n=0

tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
∞

an (z − z0 )n ;

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f có khai triển lũy thừa tại
mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f giải tích trên Ω. Từ Định lý 1.5 ta thấy

rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh hình trên đó.

1.3. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
13


lượng z (a) và z (b) được hiểu như giới hạn một phía
z (a) = lim+
h→0

z(b + h) − z(b)
z(a + h) − z(a)
và z (b) = lim−
.
h→0
h
h

Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b]
và tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên
mỗi đoạn [ak , bk+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể
khác nhau với k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến
[a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t (s) > 0 đảm bảo

hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và
t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường
cong.

14


Ví dụ 1.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 , bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.3. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi
b

f (z)dz =

γ

f (z(t)).z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Giả sử z¯ là một tham số hóa tương đương xác
định như trên thì
d

b

f (z(t)).z (t)dt =
a

f (z(t(s))).z (t(s)).t (s)ds
c
d

=

f (¯
z (s)).¯
z (s)ds.
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
n−1

ak+1

f (z)dz =
γ

f (z(t)).z (t)dt.
k=0 a
k

15


Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Định lý 1.7. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

(αf + βg)dz = α
γ

g(z)dz; α, β ∈ C.

f (z)dz + β
γ

γ

(ii) Nếu γ − là đường cong đóng ngược hướng với γ thì
f (z)dz = −
γ−

f (z)dz.
γ

f (z)dz ≤ sup |f (z)| length(γ).

(iii) Ta có

z∈γ
γ

Định lý 1.8. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2 , thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Hệ quả 1.2. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm
liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.3. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f = 0 thì f là hàm
hằng.

16


1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức
Định nghĩa 1.4. Trước hết ta định nghĩa hàm giải tích theo hai biến
phức f (z, ω) là một hàm giải tích của z và ω trong miền D nếu
(i) f (z, ω) là một hàm liên tục theo z và ω trong D.
∂f ∂f
(ii) Tồn tại các đạo hàm riêng
,
tại mọi điểm của D.
∂z ∂ω
Định nghĩa hàm này bao hàm cả các điều kiện Cauchy-Riemann là nếu
z = x + iy, ω = u + iυ, f (z, ω) = P (x, y, u, υ) + iQ(x, y, u, υ),
thì P và Q là các hàm khả vi trong D với bốn đối số thực, các đạo hàm
riêng của chúng liên tục và thỏa mãn các phương trình
∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q
=
;
=
;
=
;
=
.
∂x

∂y ∂y
∂x ∂u
∂υ ∂υ
∂u
Ta gọi phương trình vi phân phức cấp một là phương trình có dạng
dω
= f (z, ω);
dz

(1.4)

ở đó hàm f (z, ω) giải tích trong lân cận của điểm (z0 , w0 ).
Ta gọi nghiệm của phương trình vi phân (1.4) là tất cả các hàm giải tích
ω = ω(z) thỏa mãn phương trình đó. Nói chung, nghiệm của phương
trình vi phân phức cũng phụ thuộc vào các hằng số tùy ý; nghiệm như
vậy cũng được gọi là nghiệm tổng quát. Nghiệm suy ra từ nghiệm tổng
quát với các giá trị cụ thể của hằng số được gọi là nghiệm riêng.
Định nghĩa 1.5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương
trình có dạng
dn ω
dn−1 ω
dω
+
p
(z)
+
·
·
·
+

p
(z)
+ pn (z)ω = f (z),
1
n−1
dz n
dz n−1
dz
17

(1.5)


trong đó p1 (z), p2 (z), ..., pn (z) và f (z) là các hàm giải tích trong miền D
của mặt phẳng phức.
Nếu f (z) ≡ 0 thì phương trình có dạng
dn−1 ω
dω
dn ω
+
p
(z)
+
·
·
·
+
p
(z)
+ pn (z)ω = 0.

1
n−1
dz n
dz n−1
dz

(1.6)

Phương trình (1.6) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng với phương trình (1.5). Trong trường hợp pi (z) (i = 1, n)
là các hằng số thì phương trình được gọi là phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng số.
Đối với phương trình vi phân việc nghiên cứu vấn đề tồn tại và duy nhất
nghiệm là khá phức tạp. Dưới đây chúng tôi chỉ phát biểu kết quả cho
trường hợp tổng quát.
Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy là bài toán tìm hàm giải tích
ω = ω(z) là nghiệm của phương trình vi phân (1.4) thỏa mãn điều kiện
(z0 , ω0 ) ∈ D × G và ω (z0 ) = ω0 .
Định lý 1.9. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Xét phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất cấp n
dn ω
dn−1 ω
dω
+ p1 (z) n−1 + · · · + pn−1 (z)
+ pn (z)ω = 0.
n
dz
dz
dz
Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm giải tích ω(z) trên hình tròn |z − z0 | <

a là nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu là ω (z0 ) = ω0 .
Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối,
đều trong bất kỳ đường tròn có tâm z0 , trong đó các hệ số p1 (z), ..., pn (z)
là các hàm giải tích trong miền D nào đó của mặt phẳng phức.
18


1.5. Vấn đề điểm kỳ dị của phương trình vi phân
tuyến tính phức
Vấn đề tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức
liên quan trực tiếp đến các điểm kỳ dị của nó. Vì vậy, ở đây chúng tôi
sẽ trình bày về khái niệm và phân loại điểm kỳ dị.
1.5.1. Khái niệm
Để đơn giản trong việc trình bày, chúng tôi chỉ trình bày khái niệm
điểm kỳ dị đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương
trình vi phân tuyến tính cấp cao hơn hoàn toàn tương tự.
Định nghĩa 1.6. Điểm z0 được gọi là điểm thường của phương trình vi
phân tuyến tính
P (z)ω (z) + Q(z)ω (z) + R(z)ω(z) = 0

(1.7)

Q(z)
R(z)
và
là giải tích tại đó. Trong các trường hợp khác
P (z)
P (z)
nó được gọi là điểm kỳ dị.
nếu các hàm

1.5.2. Phân loại điểm kỳ dị
Điểm z0 được gọi là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (1.7) nếu
nó là một điểm kỳ dị của phương trình đó, đồng thời các hàm
(z − z0 )

Q(z)
R(z)
; (z − z0 )2
P (z)
P (z)

đều có khai triển chuỗi Taylor hội tụ tại z0 , nghĩa là các hàm này giải
tích tại điểm z = z0 .
19


Các hàm này có thể không xác định tại z0 . Trong trường hợp này, các
giá trị tại z0 được gán là các giá trị giới hạn của chúng khi z → z0 . Đặc
biệt, nếu P (z), Q(z) và R(z) là các đa thức thì z0 được gọi là điểm kỳ dị
chính quy của phương trình (1.7) nếu nó là một điểm kỳ dị và các giới
hạn sau
lim (z − z0 )

z→z0

R(z)
Q(z)
và lim (z − z0 )2
z→z0

P (z)
P (z)

đều nhận giá trị hữu hạn.
Điểm z0 được gọi là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình (1.7)
nếu nó không phải là một điểm kỳ dị chính quy.

20


Chương 2
Nghiệm chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính
Nghiệm dưới dạng chuỗi luỹ thừa tại điểm z0 nào đó của phương trình
vi phân tuyến tính có thể không tồn tại hoặc tồn tại một cách hình thức
tức là chuỗi không hội tụ. Điều đó nói chung là do nghiệm thực sự không
thể khai triển được thành chuỗi luỹ thừa. Trong các trường hợp phương
trình có z0 là điểm kỳ dị chính quy thì có thể có nghiệm dưới dạng chuỗi
luỹ thừa với số mũ âm (trong giải tích phức ta gọi là khai triển Laurentz)
hoặc số mũ không nguyên; đối với điểm kỳ dị không chính quy, nghiệm
dưới dạng chuỗi vô hạn nói chung là phân kỳ. Do đó, để đơn giản ta xét
đến một lớp phương trình vi phân tuyến tính nhận z0 = 0 là điểm kỳ dị
n
nd w
z
dz n

+z

n−1

dn−1 w
dw
P1 (z) n−1 + · · · + zPn−1 (z)
+ P (z)w = 0,
dz
dz

trong đó P1 (z), P2 (z), ..., Pn (z), là các hàm giải tích trong lân cận của
z = 0. Khi đó nghiệm của phương trình vi phân dạng này có thể khai
triển thành chuỗi luỹ thừa liên quan đến điểm kỳ dị tại gốc. Ta sẽ xây
dựng phương pháp tìm nghiệm chuỗi của các phương trình vi phân tuyến
tính dạng này và chứng minh nó hội tụ với những giá trị |z| đủ nhỏ.

21


2.1. Phương trình chỉ số
Ta lập chuỗi
∞

cν z ρ+ν

W (z, ρ) =

(c0 = 0) ,

ν=0

trong đó ρ và các hệ số cν được xác định để W là nghiệm của phương

trình vi phân.
Ta ký hiệu phương trình vi phân là Lw = 0. Khi đó
LW (z, ρ) =

cν Lz ρ+ν =

cν z ρ+ν f (z, ρ + ν) ,

trong đó
f (z, ρ + ν) = [ρ + ν]n + [ρ + ν]n−1 P1 (z) + · · · + [ρ + ν]1 Pn−1 (z) + Pn (z)
với
[ρ + ν]n = ([ρ + ν])([ρ + ν] − 1)...([ρ + ν] − n + 1).
Giả sử f (z, ρ + ν) là một hàm giải tích của z trong lân cận của điểm
z = 0 được khai triển thành chuỗi luỹ thừa của z
∞

fλ (ρ + ν)λ .

f (z, ρ + ν) =
λ=0

Khi đó
LW (ρ + ν) =

{cν f0 (ρ + ν) + cν−1 f1 (ρ + ν − 1) + · · · + c0 fν (ρ)} z ρ+ν .

Nếu LW (ρ + ν) = 0, thì hệ số của mỗi luỹ thừa của z phải bằng 0. Do
đó ta có hệ thức truy toán
c0 f0 (ρ) = 0,
22

c1 f0 (ρ + 1) + c0 f1 (ρ) = 0,
...
cν f0 (ρ + ν) + cν−1 f1 (ρ + ν − 1) + · · · + c0 fν (ρ) = 0,
...
Vì c0 = 0 nên từ phương trình đầu suy ra
f0 (ρ) ≡ [ρ]n + [ρ]n−1 P1 (0) + · · · + ρPn−1 (0) + Pn (0) = 0.
Phương trình này gọi là phương trình chỉ số, phương trình này có n
nghiệm ρ, có thể phân biệt hoặc không. Nếu có thể chọn một trong
những nghiệm ρ này sao cho f0 (ρ + ν) = 0 với mọi ν nguyên dương thì
từ hệ thức truy toán ta tìm được các hằng số cν duy nhất
(−1)ν c0 Fν (ρ)
cν =
,
f0 (ρ + 1)f0 (ρ + 2)...f0 (ρ + ν)
trong đó
f1 (ρ + ν − 1) f2 (ρ + ν − 2) ... fν−1 (ρ + 1)

fν (ρ)

f0 (ρ + ν − 1) f1 (ρ + ν − 2) ... fν−2 (ρ + 1) fν−1 (ρ)
Fν (ρ) =

0

f0 (ρ + ν − 2) ... fν−3 (ρ + 1) fν−2 (ρ) .

...

...

...

...

...

0

0

...

f0 (ρ + 1)

f1 (ρ)

2.2. Phương trình chỉ số có các nghiệm phân biệt
Giả sử chuỗi W (z, ρ) hội tụ với mỗi giá trị ρ được chọn. Khi đó, nếu
n nghiệm của phương trình chỉ số là phân biệt và không có hai nghiệm
nào sai khác nhau một số nguyên thì mỗi ρ tương ứng xác định một dãy
các hệ số cν và xác định n nghiệm hoàn toàn phân biệt, tạo thành một
23