Nhóm lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************

ĐÀO THỊ HÒA

NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI - 2012


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô trong khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Hồng Trường đã tạo
điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đào Thị Hòa

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong
khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình
của thầy Phan Hồng Trường.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn. Em xin khẳng định kết quả của đề tài ''Nhóm
Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi '' không có sự trùng hợp với các đề
tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đào Thị Hòa


MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ……………………………………………………………….. 1
1.Lý do chọn đề tài …………………………………………………... 1
2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………….. 1
3.Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………… 1
4.Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….

1

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ
KHẢ VI…………………………………………………………. 2
1.1. Không gian tôpô và ánh xạ liên tục ……………………………

2

1.2. Đa tạp khả vi……………………………………………………..

5

1.3. Ánh xạ khả vi ……………………………………………………

10

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN
ĐA TẠP KHẢ VI…………………………………...................

13

2.1. Không gian tiếp xúc ……………………………………………..

13

2.2. Phân thớ tiếp xúc………………………………………………… 16
2.3. Trường véc tơ……………………………………………………

17

2.4. Ánh xạ tiếp xúc………………………………………………….

19

2.5. Đa tạp con……………………………………………………….

20


2.6. Đa tạp định hướng được ………………………………………… 24
2.7. Nhóm Lie ......................................................................................

27

2.8. Nhóm con của nhóm Lie .............................................................

32

2.9. Dạng vi phân bất biến trái và những phương trình MaurerCartan ..................................................................................................

33

2.10. Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp ...................................... 36
Bài tập áp dụng ....................................................................................

40

Hướng dẫn giải bài tập ........................................................................

41

KẾT LUẬN........................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 48


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn quan trọng tương đối khó trong chương trình toán
phổ thông và để hiểu được nó người học cần phải có tư duy cao. Với mong
muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa
tạp khả vi và sự biến đổi của nhóm Lie trên đa tạp khả vi em đã chọn đề tài
“Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi.
Tìm hiểu về nhóm Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi,ánh xạ khả vi,nghiên cứu về nhóm
Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng lý luận,các công cụ toán học.
Nghiên các sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài.

1


CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ
ÁNH XẠ KHẢ VI

1.1. Không gian tôpô và ánh xạ liên tục
1.1.1. Khái niệm không gian tôpô
Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ
C những tập con của M, gọi là tập mở (trong M), sao cho :
* tập rỗng, tập M là mở,
* hợp tùy ý những tập mở là tập mở,
* giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở.
Thường kí hiệu đơn giản là không gian tôpô (M, C ) bởi M (khi không

cần chỉ rõ họ C ).
Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi cặp
điểm p, q  M, p ≠ q , có các tập mở U  p, V  q sao cho U  V =  .
Ví dụ 1: Không gian mêtric : đó là tập hợp M cùng một mêtric (khoảng
cách), tức ánh xạ d : M



M  R

thỏa mãn :
* d (p,q)  0, d (p, q) = 0  p = q
* d (p, q) = d (p, q)
* d (p, q) + d (q,r )  d ( p, r) ( với p, q, r tùy ý thuộc M).
Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U  M gọi là tập mở nếu với
mọi p  U, có số  >0 sao cho hình cầu mở {q M / d(q,p) < } nằm hoàn
toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d).
Đó là một không gian tôpô Hausdorff .
Không gian tôpô có tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian
tôpô mêtric hóa được.
R n cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric.

2


Ví dụ 2: M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với
tôpô sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M: tập U  N
gọi là tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M.
Ví dụ 3: M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M  N với tôpô
sau đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N : tập con

của M  N gọi là tập mở (trong M  N) nếu nó là hợp tùy ý những tập dạng
U  V , U mở trong N, V mở trong N.
Ví dụ 4: M là một không gian tôpô, ~ là một quan hệ tương đương trên
M, tập hợp các lớp tương đương M / ~ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương)
gọi là không gian tôpô thương : tập con của M / ~ gọi là tập mở ( trong M / ~)
nếu nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc p : M M / ~ là tập mở
(trong M).
1.1.2. Tập con của không gian tôpô.
M là một không gian tôpô, p M thì mọi tập con của M chứa một tập
mở chứa p gọi một là lân cận của p (trong M) .
Tập con F  M gọi là tập đóng (trong M) nếu M \ F là tập mở (trong
M). Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng. Giao tùy ý những tập đóng là
tập đóng, hợp một số hữu hạn những tập đóng là tập đóng.
A là tập con của M thì bao đóng

A của A là giao của mọi tập đóng

chứa A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A. Phần trong

Ao của A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm
trong của A. Tập A / AO gọi là điểm biên của A, mỗi điểm của nó gọi là một
điểm biên của A.
M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M) phải là tập
rỗng hay toàn bộ M. Tập con A  M gọi là tập con liên thông nếu không gian
tôpô con A là liên thông. Một thành phần liên thông của không gian tôpô M là

3


một tập con liên thông của M mà mọi tập con liên thông của M chứa nó phải

trùng với nó. Ví dụ mọi tập liên thông trong M là một khoảng (mở, đóng, nửa
đóng, bị chặn, không bị chặn,…)
1.1.3. Ánh xạ liên tục
Ánh xạ f : M  N giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạ liên tục nếu
nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N) là tập mở (trong M) (và vì vậy,
nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng) .
Song ánh f : M  N gọi là một đồng phôi nếu f và f 1 là những ánh
xạ liên tục .
Ta thấy :
* Tích các ánh xạ liên tục là liên tục ;
* Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;
* Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff là
một tập compact .
Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một không
gian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh.
Ánh xạ liên tục  : I  M từ đoạn I = {t  R 0  t  1} vào không
gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M nối (0) với (1). Không gian
tôpô M gọi là liên thông cung nếu với mọi p, q  M, có cung (liên tục) trong
M nối p với q.
Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu không
gian tôpô con A liên thông cung. Dễ thấy mọi không gian liên thông cung thì
n

liên thông; mọi tập mở liên thông trong R đều liên thông cung ; ảnh của một
không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một tập liên thông cung.
1.2. Đa tạp khả vi
1.2.1. Khái niệm đa tạp khả vi

4

Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được. M được
gọi là đa tạp tôpô m – chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m –
m
chiều R , nghĩa là với mỗi điểm x M, có lân cận mở U của x và  : U  V

là đồng phôi từ U lên một tập mở V  R m .
Giả sử M là đa tạp tôpô m – chiều, khi đó cặp (U,  ) xác định ở trên
được gọi là một bản đồ địa phương trên M , hay gọi tắt là bản đồ. Họ C
={( U i , i ): i I} nào đó các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas khả
vi lớp C k (k1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
1. Họ { U i } là một phủ mở của M.
2. Với hai bản đồ ( U i , i ) và ( U j ,  j ) mà U i  U j  , thì ánh xạ
 j o  1 xác định trên i ( U i  U j ) là ánh xạ khả vi lớp C k từ i ( U i  U j )
i

lên  j ( U i  U j ) ( xem hình 1)

Hình 1.
Hai tập bản đồ C 1 = {( U1 , 1 ), i  I} và C 2 = {( V j , j ),j  J} khả vi lớp
C k được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng cũng là một tập bản

5


đồ khả vi lớp C k . Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương
trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương
đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M .
Đa tạp tôpô m- chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó
được gọi là một đa tạp khả vi m- chiều lớp C k . Nếu M là đa tạp khả vi, thì

bản đồ của cấu trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên
M . Khi k =  , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển  j  i

1

trong điều

kiện 2 ở trên thuộc lớp C  , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu
trúc nhẵn trên M . Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.
1.2.2. Nhận xét
a. Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định
nghĩa ở trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số
chiều của đa tạp M , viết dim M = m.
b. Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khác
nhau. Thật vậy mỗi atlas khả vi lớp C k xác định hoàn toàn một cấu trúc khả vi
lớp C k trên M . Vì vậy, hai atlas khả vi lớp C k không tương thích xác định hai
cấu trúc khả vi khác nhau. Ví dụ, trên đường thẳng thực R cho hai atlas khả vi
lớp C  xác định bởi U 1 = ( R ,id) và U 2 =( R ,  ), ở đó  : R  R xác định bởi
 (x) = x 3 . Vì hai atlas lớp C  này không tương thích, nên chúng xác định hai

cấu trúc khả vi lớp C  khác nhau trên R .
c. Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều, {( U i , i ),iI} là một atlas khả vi
lớp C k , U là tập con mở khác rỗng của M . Khi đó ta thấy U cũng là đa tạp
khả vi m chiều C k sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C =
{( Vi , i )}, ở đó V i = U i  U   và  i = i  vi . Đặc biệt, nếu (U,) là bản
đồ địa phương trên M , thì U cũng là đa tạp khả vi.
1.2.3. Ví dụ

6

Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng hình học là những đa tạp
khả vi thường gặp.
Ví dụ 1: Cho M = R n và bản đồ ( R n , id) tạo thành một atlas, xác định
cấu trúc khả vi lớp C k trên M . Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả
vi chính tắc trên R n .
Ví dụ 2: Giả sử  > 0 và
n
M = S = { p( p1 ,..., p n 1 )  R

n 1

n1

, p 2 =

i 2

(p )

  2 }.

i 1

S n với tô pô cảm sinh từ R

n1

được gọi là mặt cầu n chiều tâm O bán

kính . Ta xác định một atlas trên S n bởi hai bản đồ địa phương trên S n như
sau: Gọi N = (0,0,…,0,- ) là cực nam của mặt cầu. Đặt U = S n \ {S} và x, y
là hai phép chiếu nối từ cực N và S tương ứng.
x:

U R

n

p  x(p) = ( x 1 (p),…,x n (p)),
ở đó
x i (p) =
y:

 pi
  p n 1

, i= 1,2,...,n.

V  Rn
p  y(p) = (y 1 (p),...,y n (p)),

ở đó
y i (p) =

 pi
  p n1

, i= 1,2,...,n.

Các ánh xạ x, y là những đồng phôi , và "hàm chuyển" x.y 1 = y.x 1 : r


 2r
r

2

là vi phôi của R

n

\ {0}, vì x (U V) = y(U V) = R n \{0}. Do đó,

{(U,x), (V,y)} lập thành một atlas lớp C  , xác định một cấu trúc nhẵn trên
S n .

7


Ví dụ 3 : Đa tạp xạ ảnh thực P n ( R )
Xét quan hệ tương đương trên R
để y =  x. Ta gọi P n ( R ) = R
R

n1

n1

n1

\{0} xác định bởi x  y     0

\{0}/  với tô pô thương. Xét phép chiếu  :

\ {0}  P n ( R ), đặt  (x) = x.
Đặt V i = { x=(x 0 ,...,x n )  R

 R

n1

\{0} ; x i  0} với i = 0,1,...,n và i : V i

^
 o

i
x
x
xn 

cho bởi i (x) = 1 ,..., i ,..., i . Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa là số hạng
 x
x
x 



n

dưới mũ đó được bỏ đi. Dễ thấy i hằng trên mỗi lớp tương đương và xác
định đồng phôi i : U i  R n , với U i = ( V i ). Ánh xạ ngược được cho bởi
i 1  y o , y1 ,..., y n1    y o ,..., y i 1 ,1, y i ,..., y n 1   . Giả sử (U i , i ) và (U j ,  j ) là hai bản

đồ địa phương trên P n ( R ) và i < j thì  j i 1 : i ( U i  U j )   j (U i  U j )
cho bởi công thức:
^
 o

i 1
j
y
y
1
y

o
1
n 1
 y , y ,..., y    y j ,..., y j , y j ,..., y j  .





Do đó  j i 1  C i . Vì vậy họ {( U i , i )} là tập bản đồ địa phương, xác
định cấu trúc khả vi lớp C  trên P n ( R ).
Ví dụ 4: Đa tạp Grassmann thực
Giả sử V là không gian véc tơ n chiều trên trường số thực R và G (k,V)

là tập hợp các không gian con k chiều của V. Xét không gian đối ngẫu V* của
*

*

V, {v 1 ,…,v n } là cơ sở của V*. Nếu v*  V* và E  G (k,V), ta kí hiệu vE *
là hạn chế của v* trên E.
Với mỗi bộ (i 1 ,…,i k ), 1  i 1 <… i k  n, ta đặt U i ,...,i ={E  G(k,V):
1

*

*

vE i1 ,..., vE i k là cơ sở của E*}.

8

k


Giả sử (j 1 ,…,j nk ) là tập hợp các chỉ số bù của (i 1 ,…,i k ) với j 1 < … <
j nk . Khi đó :
vE

j* p

k

*

  h p l vE i 1 nếu E  U i1 ,...,ik ;p=1,…,n-k;
l 1

Xét ánh xạ  i ,...,i : U i ,...,i  R
k

1

k

1

k ( nk )

 ( h p l ), p=1,…,n- k; l=1,…,k;

E

Ta chứng minh được  i ,...,i là song ánh và
1

G(k,V)=



k

U i1 ,...,ik

i1 ...ik

Do đó có thể cho một tôpô trên G(k,V) sao cho các  i ,...,i là những đồng
1

k

phôi và họ {( U i ,...,i ,  i ,...,i )} tạo thành một atlas khả vi tren G(k,V). Như vậy G
1

k

1

k

(k,V) là đa tạp khả vi số chiều k(n-k).
Ví dụ 5 :
Ta nêu một ví dụ chứng tỏ có những đối tượng hình học không thể
trang bị cấu trúc khả vi trên nó. Trong không gian afin hai chiều R

2

lấy hai

đường thẳng cắt nhau có phương trình y =  x trong một hệ tọa độ afin cho
trước. Khi đó, dễ thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô
con R 2 không là đa tạp tôpô, vì vậy không thể trang bị được một cấu trúc khả
vi trên M , nghĩa là M không thể là một đa tạp khả vi. (xem hình 2)

9


M
?
O

Hình 2
1.3. Ánh xạ khả vi
1.3.1. Định nghĩa
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ
liên tục f : M N được gọi là khả vi tại điểm p  M nếu với mọi bản đồ địa
phương (U,) quanh p và (V,) quanh f (p) = q sao cho f(U)  V, thì ánh xạ
  f   1 là khả vi tại điểm (p)  R

m

( xem hình 3 ).
V

M
f

U
p

N

.q




.
  p

  f   1

 U   R m

 V   R m

Hình 3.
10


Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p  M.
1.3.2. Một số tính chất
* Nếu f: M  N và g: N  P là những ánh xạ khả vi, thì hợp thành g  f :
M  P là ánh xạ khả vi.
* Nếu f : M  N được gọi là vi phôi từ M lên N nếu f là song ánh và cả
hai ánh xạ f, f 1 đều khả vi. Khi đó hợp thành của hai vi phôi là một vi phôi.
Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi
của M. Nếu (U,) là một bản đồ địa phương của M thì  là vi phôi từ U lên
mở (U) = V  R m , ở đó m = dim M.
* Giả sử f : M  N là ánh xạ khả vi, p  M và (V,) là bản đồ địa
phương quanh f(p), các tọa độ của nó được cho bởi hàm y j trên V.
Giải sử(U,) là bản đồ quanh p M, các tọa độ cho bởi () = ( x1 ,..., x m ),
f(U)  V. Khi đó ánh xạ   f   1 được cho bởi biểu thức :
y j =h j ( x1 , x 2 ,..., x m ), j=1,2,...,n ; (1)

ở đó h j là những hàm khả vi. Ngược lại, giả sử cho ánh xạ liên tục f : M  N
mà biểu diễn địa phương có dạng (1), trong đó các hàm h j khả vi, thì f khả
vi. Biểu thức dạng (1) của ánh xạ f phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa
phương (U,) và (V,).
 h j 

Ta thấy rằng hạng của ma trận  i  kiểu (n  m) tại điểm (p)
 x 
=( x1 ( p), x 2 ( p),..., x m ( p) ) không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương, nó
được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p.
1.3.3. Ánh xạ dìm, ngập
Các định nghĩa :
* Cho ánh xạ khả vi f : M  N. Ánh xạ f được gọi là một dìm nếu hạng
của f tại mọi điểm p đều bằng m = dim M.

11


* Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng
phôi từ M lên f(M).
* Ánh xạ f : M  N được gọi là một ngập nếu hạng của f tại mọi điểm
p  M đều bằng n= dim N.
Chú ý :
Ta nói f : M  N là dìm tại điểm p (tương ứng: ngập tại p) nếu hạng
của f tại p bằng số chiều của M (tương ứng : số chiều N). Như vậy f là dìm
(hay ngập) nếu f là dìm (hay ngập ) tại mọi điểm p  M.

12

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI
2.1. Không gian tiếp xúc
Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k  1. Một ánh xạ c : J  M
khả vi lớp C r ( r  k) được gọi là một đường cong khả vi lớp C r trên M, ở đó
J là khoảng mở của R chứa điểm 0. Ánh xạ f : M  R lớp C r được gọi là
một hàm khả vi lớp C r trên M. Nếu U mở nằm trong M, f  U : U  R thuộc
lớp C r thì f được gọi là hàm khả vi trong lân cận U  M. Kí hiệu F r (M) là
tập hợp hàm khả vi (lớp C r ) trên M, F r (p) là tập hợp các hàm khả vi lớp C r
trong lân cận của p và C p l (M) là tập các đường cong c khả vi lớp C 1 trên M
sao cho C(0) =p.
Ta xét một quan hệ  trên lớp C p l (M) như sau : c 1 :J  M, c 2 : J 
M, c 1 (0) = c 2 (0) =p. Ta nói c 1  c 2  có bản đồ (U,x) quanh p sao cho
d i
d
với i =1,2,...,m. Ta thấy quan hệ  là một quan hệ
x  c1    x i  c2 

dt
dt
t 0
t 0

tương đương trên tập các đường cong khả vi lớp C 1 qua p  M. Mỗi lớp
tương với quan hệ tương đương trên được gọi là một vector tiếp xúc tại p của
M. Vector tiếp xúc có đại diện là đường cong c được kí hiệu [c]. Tập các
vector tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là T p M hay M p .
Ta mô tả cấu trúc của T p M. Tập F k (p) với các phép toán cộng, nhân
tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một R - đại số. Ta gọi
một đạo hàm tại p là một hàm v : F k (p)  R thỏa mãn hai điều kiện :

a. v là ánh xạ tuyến tính giữa các R - không gian vector.
b. v(f.g) = v(f) . g(p) + f(p) . v(g),  f,g  F k (p).
Dễ thấy tập các đạo hàm tại p với phép toán cộng và nhân với một số
thực làm thành R - không gian vector.

13


Giả sử [c]  T p M ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau :
với f  F k (p), ta đặt [c](f) =

d
(f  c(t)) 0 . (1)
dt

Ta thấy quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại
diện của [c], và nó thỏa mãn hai tính chất a và b ở trên. Bằng đồng nhất này,
ta có một đơn ánh từ T p M vào không gian các đạo hàm tại p. Ta chứng tỏ
T p M không gian con m chiều của không gian vector các đạo hàm tại p. Xét
bản đồ địa phương (U,x) quanh p sao cho x = ( x 1 ,...,x m ). Với mỗi j, xét
đường cong: c j (t) = x 1 (x(p) + te j ); {0,e 1 ,...,e m } là mục tiêu trong R m , thì c j


là đường cong trên M qua p, nó xác định vector tiếp xúc, kí hiệu  j  . Ta
 x  p

có  j  (f) = D j (f  x 1 ) x ( p ) , ở đó D j kí hiệu đạo hàm riêng thứ j. Ta viết
x


p

  
  
 j  (f) =  j  .
 x  p
 x  p

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên M với c(0)= p, và [c]  T p M.
Trong bản đồ địa phương (U,x) quanh p, ta có:
x  c(t) = (x j (t)), j =1,...,m và
[c](t) =

d
 f  c(t )   t 0
dt
j
1  dx (t ) 
D
(
f

x
)



j
j 1
 dt t 0

m

=



m



j 1

  
(f)
j  
 x  p 

=    j 

 dx j (t ) 
 .
 dt t 0

Với  j  



Như vậy, mỗi vector tại p là tổ hợp tuyến tính của  1  ,...,  m  .
 x 
 x 

14


m

Ngược lại, nếu cho một tổ hợp tuyến tính


j 1

j

  
j
 j  ,   R , thì ta xét

x

p

đường cong xác định bởi:


m



j 1



c(t) = x 1  x( p)    j t.e j  , j=1,2,...,m.


m

Khi đó vector tiếp xúc [c] là



j

j 1

  
 j  . Do đó tập các vector tiếp xúc
 x  p

tại p là không gian con của không gian vector các đạo hàm tại p, sinh ra bởi m

vector  j  , j=1,2,...,m.
 x  p


Dể chứng minh tính độc lập tuyến tính của  j  , (j=1,...,m), ta xét v
x


m

=


j 1

j

p

  
j
 j  =0 và hàm tọa độ x của bản đồ địa phương (U, x ). Khi đó
 x  p

 

v( x j )   j  0 ,  i=1,...,m. Như vậy, hệ  j  , j  1, 2,..., m  là cơ sở của
x


p



không gian vector tiếp xúc T p M của đa tạp M tại p.
Nhận xét:
a. Người ta chứng minh được rằng nếu M là đa tạp nhẵn (thuộc lớp
C  ), thì không gian các đạo hàm tại p trùng với không gian các vector tiếp
xúc tại p. Nếu M là đa tạp lớp C k , 1 k  +, thì không gian vector các đạo

hàm tại p có số chiều vô hạn.
b. Từ việc trình bày ở trên, ta thấy nếu p  M, (U,x) là bản đồ quanh p,
thì mỗi vector tiếp xúc v  T p M được coi là một đạo hàm tại p và được cho
m

 
, ở đó  j  v( x j ) . Nếu (V, y) là một bản đồ địa phương
j 
 x  p

bởi v =   j 
j 1

15


khác trong lân cận điểm p với các tọa độ  y1 ,..., y m  , thì các vector tiếp xúc tại
p có biểu diễn khác nhau đối với các bản đồ này. Đặc biệt, ta có:
m
 x j    
  

  j  . j 
 j
 y  p j 1  y  p  x  p

(2)

2.2. Phân thớ tiếp xúc
Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp C k . Xét tập TM =

 T M . Đối
p

pM

với mỗi bản đồ (U,x) trên M, đặt TU =

T M
p

và xét ánh xạ :

pM

x : TU  x(U )  R m

cho bởi công thức :
x(v)   x( p ), v( x1 ),..., v( x m )  .
m

Ở đó v  Tp M và v    v  x j 
j 1



 
 . x
x j  p

(3)
là một song ánh từ TU lên

x(U) R m .
Ta gọi (TU, x ) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U,x). Nếu (V,y) là một
bản đồ địa phương khác trên M, với U  V   thì với (a, b)  y(U  V) x
R m , ta có:
m
m


1
 x1 
 x m 
x y (a, b)   x. y 1 (a ),   j 
.b j ,...,   j 
.b j  . (4)


j 1  y  y 1 ( a )
j 1  y  y 1 ( a )



Như vậy, các hàm x y

1

là khả vi lớp C k 1 . Vì thế, có thể trang bị cho

TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU, x ) trên TM có x x
là đồng phôi. Cụ thể là, xét
U = Vi , xi  , i  I  là một tập bản đồ trên M, xi : U i  Vi  R m .
Khi đó A trong TM khi và chỉ khi A (TU i ) là tạo ảnh của tập mở trong
Vi  R m qua x i , i  I .

16


Đối với tô pô này, tập các bản đồ TU i , x tạo thành một atlas khả vi lớp
C k 1 trên TM. TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi
2m chiều, được gọi là đa tạp phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M. Ánh xạ
: TM M ở đó (v)= p nếu v  T p M là khả vi và có hạng cực đại. Bộ ba
(TM, , M) là một phân thớ tầm thường địa phương. Với p  M,  1 (p) =
T p M được gọi là thớ tại điểm p. Phân thớ tiếp xúc được gọi là tầm thường
nếu có vi phôi  : TM  M  R m sao cho mỗi p  M,  hạn chế trên  1 (p)
là một vi phôi từ T p M lên p  R m .
2.3. Trường véc tơ
Để đơn giản, từ nay, ta nói đa tạp khả vi nghĩa là khả vi lớp C k với k
nào đó, và tùy trường hợp cụ thể, ta giả thiết k lớn đủ cần thiết.
2.3.1. Khái niệm về trường véc tơ
Cho M là đa tạp khả vi m chiều. TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M,
U mở  M. Trường véc tơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi X : M TM
sao cho .X(p) = p với mọi p  M. Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định
trên M. Tập các trường véc tơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M).
Ta xét biểu diễn địa phương của trường véc tơ. Giả sử (U,x) là một bản
 

đồ địa phương trên M,  i  , i  1,..., m  , là các trường véc tơ trên U, thì X U
 x 



m

là hạn chế của trường X trên U được biểu diễn ở dạng X U =   i
i 1


;  i là
i
x

các hàm số xác định trên U :  i (p) =X p ( xi ) . Trường véc tơ X khả vi lớp C k
khi và chỉ khi  i  C r (U ) với mọi i = 1,...,m.
Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường véc tơ tiếp xúc độc
lập tuyến tính trên M, nghĩa là có m trường véc tơ khả vi X 1 ,..., X m sao cho
mỗi p  M, X 1 ( p),..., X m ( p) tạo thành cơ sở của T p M.

17


Phân thớ tiếp xúc TM là tầm thường khi và chỉ khi M là khả song. Thật
vậy, giả sử TM là tầm thường và  : TM  M  R m là vi phôi sao cho  1 .
=, ở đó  1  R m  M là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Khi đó các


trường véc tơ X i ( x)   1 ( x, e i ) tạo thành hệ m trường véc tơ tiếp xúc trên M,




ở đó e1 ,..., em  là cơ sở của R m . Ngược lại, nếu có hệ m trường véc tơ tiếp xúc
trên M , độc lập tuyến tính X 1 ,..., X m , thì ánh xạ  : TM  M  R m xác định
m

bởi (v) = (p, x1 ,..., x m ) với v =  xi X i ( p) là vi phôi đòi hỏi.
i 1

2.3.2.Tích Lie của hai trường véc tơ
Với mỗi trường véc tơ khả vi X  V(M) và mỗi hàm khả vi f F r (M),
ta xác định hàm Xf F

1

( M) như sau: với p  M, (Xf)(p)= X p (f) =

d
( f  c(t )) , ở đó X p = [c]. Khi đó, với X, Y là hai trường véc tơ khả vi trên
dt
t 0

M, tích Lie (hay móc Lie) của X và Y kí hiệu bởi [X, Y] được xác định như
sau:
Với f F

r

(M), [X, Y]f = X(Yf ) - Y(Xf). Trong bản đồ địa phương

(U,x) với các tọa độ địa phương x1 ,..., x m , giả sử
X=   i
i



, Y   j j ,thì
i
x
x
j

[X, Y]f =

 k   j
  . k

k, j 
 x

 k   j   f
 _  k   j ,

 x   x

nó chứng tỏ [X, Y] là trường véc tơ trên M.
 
Dễ thấy rằng  i , j   0 (trên U).
 x x 

2.4. Ánh xạ tiếp xúc
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và f : M
N là ánh xạ khả vi. Với mỗi p M, xét T p f: Tp M  T f ( p ) N xác định như

18


sau: với v Tp M , v=[c], c : J M mà c(0)=p, đặt Tp f (v)   f  c   T f ( p ) N dễ
thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v.
Ta xét biểu diễn địa phương của T p f. Giả sử (U,x) là bản đồ địa
phương quanh p, (V,y) là bản đồ địa phương quanh f(p), sao cho f(U) V.
m

Khi đó, nếu v   v( x i )
i 1


x i

thì
p
n

T f  .(v)   v  y
p

j 1

j

f


y j

(5)
f ( p)

Do đó Tp f là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy ta xác định được ánh xạ
Tf : TM TN, với v  Tp M (Tf)(v) = Tp f   v  . Ta có biểu đồ sau giao hoán
Tf
TM

TN




M

N
f

Ta cũng thường kí hiệu Tp f là f  p và Tf là f  và gọi là ánh xạ tiếp xúc
của ánh xạ khả vi f.
Mệnh đề:
Nếu f :M N là ánh xạ khả vi lớp C r thì f  : TM TN là ánh xạ khả vi
lớp C r 1 .
Chứng minh:
Giả sử (U,x) là bản đồ địa phương trên M, (V,y) là bản đồ địa phương

trên N sao cho f(U) V, xét (TU, x ), (TV, y ) là các bản đồ phân thớ kết hợp

19


với (U,x), (V,y) tương ứng. Khi đó, đối với các bản đồ trên, f  có biểu diễn
địa phương dạng:
y. f .x

1



m



j 1



 a, b    y. f .x 1 (a),  D j ( y i . f .x 1 )b j  , i  1,..., n , với (a,b)  x(U )

m

R .



Do đó f  khả vi lớp C r 1 .

Mệnh đề:
Hạng của ánh xạ khả vi f :MN tại điểm p M bằng hạng của f  p:
Tp M  T f ( p ) N .

Chứng minh:
Theo (5), f p được xác định bởi
 
f p  i
 x


 n 
j
   i  y . f . j
y
 j 1 x

n

  Di  y j o f o x 1 
f ( p)

j 1

.
x( p)


y j

  
, ở đó  i 
f ( p)

 x

p



 
và  i


 là hai cơ sở của Tp M và của T f ( p ) N tương ứng, trong hai bản đồ
 y f ( p ) 

(U, x) quanh p và (V, y) quanh f(p). Như vậy, hạng của f  p chính bằng hạng



của ma trận Di  y j o f o x 1 

xp

 kiểu n  m. Vậy ta có đó chính là hạng của ánh

xạ f tại điểm p.
2.5. Đa tạp con
Ta nhận thấy một ánh xạ khả vi f : M N từ đa tạp khả vi M đến đa tạp

khả vi N là dìm (tương ứng ngập) nếu với mọi p M ánh xạ tiếp xúc f p là
đơn cấu (tương ứng toàn cấu). Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề:
Giả sử M, N là các đa tạp khả vi số chiều m và n tương ứng và f : M
N là một dìm, khi đó với mỗi p M có bản đồ địa phương (U,x) quanh p và
(V,y) quanh f(p) sao cho với mọi q  V  f (U ) ta có : y m1 (q)  ...  y n (q)  0 và
f

U

là một nhúng.

20