Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số và phương trình vi phân

Mục lục
Mục lục 1
Lời cảm ơn 3
Lời mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Nhóm............................... 6
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 10
1.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 Hàmbấtbiến ...................... 23
1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Địnhnghĩa........................ 24
1.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 ĐạisốLie ........................ 32
1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
www.VNMATH.com
Mục lục 2
2
ứ
ng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37
2.1
ứ
ng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi
phâncấpI............................. 37
2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2
ứ

ng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 40
2.2
ứ
ng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao . 43
2.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập,
một tham số phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi
phânbậccao....................... 49
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54
2
www.VNMATH.com
Lời cảm ơn 3
Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận đ-ợc sự h-ớng dẫn
rất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn. Mặc dù ở xa nh-ng Thầy
vẫn th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoá
luận này. Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới
Thầy.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầy
đã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanh
khóa luận mà còn về ph-ơng pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trân
trọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đóng
góp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xin
đ-ợc gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy,
Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên -
ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua. Khóa luận cũng

đ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡ
quý báu đó!
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009
Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân
3
www.VNMATH.com
Lời mở đầu 4
Lời mở đầu
Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời
Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable
manifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn.
Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của
các cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh-
tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là
trong vật lý hạt.
Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sử
dụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợp
các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý t-ởng chính trong lý
thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục,
nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiên
bản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây
giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie.
Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đối
xứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot),
trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sử
dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các
ph-ơng trình đại số.
Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản
về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúng

trong việc giải ph-ơng trình vi phân. Các bài toán và ví dụ đ-ợc trình
bày trong khóa luận đ-ợc trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration
4
www.VNMATH.com
Lời mở đầu 5
Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C.
Anco. Đây là tài liệu chính đ-ợc sử dụng trong khoá luận này. Tác giả
xin đ-ợc trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đ-a ra
những nguyên lý nền tảng nh-: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie,
cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP.
Cấu trúc của khóa luận gồm 2 ch-ơng:
Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị
1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phép
biến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi vi
phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ.
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số.
Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đại
số Lie, tính giải đ-ợc. Ví dụ minh họa.
Ch-ơng2:
ứ
ng dụng của tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân
1.1
ứ
ng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải ph-ơng
trình vi phân cấp 1.
1.2
ứ
ng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao.
Mặc dù đã rất cố gắng nh-ng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên

khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn.
5
www.VNMATH.com
Ch-ơng 1
Kiến thức chuẩn bị
Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến
đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong tr-ờng
hợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R
2
.
1.1 Nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán : G ì G G.
(G, ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề
1) Tính đóng: Nếu a, b G thì (a, b) G.
2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c G bất kỳ thì
(a, (b, c)) = ((a, b),c).
3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e G sao cho với
mọi phần tử a G: (a, e)=(e, a)=a.
4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất
phần tử nghịch đảo a
1
G sao cho (a, a
1
)=(a
1
,a)=e.
6
www.VNMATH.com
1.1. Nhóm 7

Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu
(a, b)=(b, a), với mọi phần tử a, b G.
Định nghĩa 1.1.3. Cho (G, ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A G,
khi đó tập A cùng với phép toán đ-ợc gọi là nhóm con của nhóm (G, .)
nếu thoả mãn các điều kiện
1) Với mọi phần tử a, b A thì (a, b) A.
2) Phần tử đơn vị e A.
3) Với phần tử a bất kỳ thuộc A, tồn tại phần tử nghịch đảo a
1
A
sao cho (a, a
1
)=(a
1
,a)=e.
Ví dụ 1.1.4. Cho G = Z - là tập các số nguyên với phép toán cộng
(a, b)=a + b.
i)
á
nh xạ : Zì Z Z vì tổng a + b là các số nguyên khi a, b là các số
nguyên.
ii) Lấy phần tử a, b, c Z ta có a +(b + c)=(a + b)+c.
iii) Phần tử đơn vị e =0 Z thoả mãn a +0=0+a = a, a Z.
iv) Với mọi a Z, tồn tại phần tử nghịch đảo a
1
= a thỏa mãn
a +(a)=(a)+a =0.
Vậy (Z, +) là một nhóm.
Vì a + b = b + a với mọi a, b Z nên (Z, +) là nhóm Abel.
Ví dụ 1.1.5. Cho G = R

+
là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân
(a, b)=a.b
i)
á
nh xạ : R
+
ì R
+
R
+
vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các
số thực d-ơng.
7
www.VNMATH.com
1.1. Nhóm 8
ii) Với các phần tử a, b, c R
+
bất kỳ, ta có
((a, b),c)=(a.b).c = a.(b.c)=(a, (b, c)).
iii) Tồn tại phần tử đơn vị e =1thoả mãn a.1=1.a = a, với mọi phần
tử a R
+
.
iv) Với mọi phần tử a R
+
bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a
1
=
1

a
thoả mãn a.
1
a
=
1
a
.a =1.
Vậy (R
+
,.) là một nhóm.
Vì a.b = b.a với mọi a, b R
+
nên nhóm (R
+
,.) là nhóm Abel.
Ví dụ 1.1.6. Cho S = { : 1 <<+} với phép toán giữa các tham
số đ-ợc cho bởi (, )= + + .
i) Ta sẽ chứng minh ánh xạ đi từ S ì S vào S, nghĩa là (, ) S,
khi , S. Lấy , S =(1, +).
Vì (1, +) nên +1> 0. T-ơng tự +1> 0
Suy ra ( + 1)( +1)> 0. Vậy + + (1, +).
ii) Tính kết hợp: Với ,, (1, +) bất kỳ,
(, (, )) = +( + + )+( + + )
= + + + + + +
=(( + + )+)+( + + )
= ((, ),).
iii) Phần tử đơn vị e =0 (1, +) thỏa mãn
(, 0) = (0,)=0+ +0. = .
iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử (1, +) bất kỳ tồn tại

1
sao cho: (,
1
)=(
1
,)= +
1
+
1
=0.
8
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9
Suy ra
1
=

1+
(1, +). Vậy (S, ) là một nhóm.
Vì (, )= + + = + + = (, ) nên (S, ) là nhóm Abel.
Ví dụ 1.1.7. Cho G = R
2
với phép toán =(, )=(
1
+
1
,e

1

2
+
2
),
=(
1
,
2
) R
2
; =(
1
,
2
) R
2
.
i)
á
nh xạ : R
2
ì R
2
R
2
vì (
1
+
1
,e

1

2
+
2
) R
2
vì , R
2
.
ii) Với các phần tử ,, bất kỳ, ta có
((, ),)=((
1
+
1
,e

1

2
+
2
),)
=(
1
+
1
+
1

,e

1
(e

1

2
+
2
)+
2
)
=(
1
+(
1
+
1
),e
(
1
+
1
)

2
+ e

1

2
+
2
)
= (, (,)).
iii) Phần tử đơn vị e =(0, 0) thoả mãn
(, e)=(
1
+0,e
0

2
+0)=(
1
,
2
)=.
iv) Với mọi phần tử R
2
, ta xác định phần tử nghịch đảo
1
Ta có: (,
1
)=e nên suy ra (
1
+
1
1
,e

1
1

2
+
1
2
)=(0, 0).
Suy ra
1
=(
1
,

2
e

1
) R
2
.
Vậy (R
2
,) là một nhóm.
Vì (, )=(
1
+
1
,e

1

2
+
2
) =(
1
+
1
,e

1

2
+
2
)=(, ) nên (R
2
,)
không là nhóm Abel.
1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
1.2.1 Nhóm các phép biến đổi
Định nghĩa 1.2.1. Cho D R
2
,S R,
(S, ) là một nhóm có phần tử đơn vị e S.
9
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10

Xét ánh xạ X : D ì S D.
Tập hợp

X(., )

S
là một nhóm các phép biến đổi một tham số nếu
thoả mãn các điều kiện
1) Với mọi phần tử S thì ánh xạ X : D ì S D là một song ánh.
2) Với = e, x D: X(x,e)=x.
3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S.
1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
Nh- phần trên đã xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số. Nếu ta
thêm cấu trúc giải tích vào nhóm này thì nó trở thành nhóm Lie các phép
biến đổi một tham số. Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổi
một tham số. Tr-ớc hết, ta định nghĩa
Định nghĩa 1.2.2. Cho D R
2
là một miền mở và x =(x
1
,x
2
) D.
S là một khoảng trên R, (S, ) là nhóm có phần tử đơn vị 0.
Phép toán : S ì S S là hàm giải tích.
á
nh xạ X : D ì S D cho ta tập hợp các phép biến đổi ký hiệu là

X(., )

S
. Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phép
biến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện
1) Với mọi S, ánh xạ X(., ): D ì S D là một song ánh và khả
vi vô hạn.
Với x cố định D, ánh xạ X(x,.):S D là hàm giải tích theo .
2) X(., 0) = Id
D
.
3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S.
10
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 11
Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các
phép biến đổi
x

= x + ,
y

= y, R.
với phép toán (, )= + .
Nh- vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng đ-ợc cho bởi D = R
2
,
(S, ) là nhóm cộng và ánh xạ
X : R
2
ì R R
2

((x, y),) (x

,y

)=(x + , y).
Ta chứng minh nhóm {X(., )}
R
các phép biến đổi này là nhóm Lie các
phép biến đổi một tham số
1) Tr-ớc hết ta cần chỉ ra với mọi S, ánh xạ X(., ): R
2
R
2
là
một song ánh.
Với mọi số thực cố định, lấy (x, y) =(x

,y

).
Dễ thấy, (x + , y) =(x

+ , y

) nên ánh xạ X(., ):R
2
R
2
là một
đơn ánh.

Giả sử có (x, y) bất kỳ R
2
ta tìm đ-ợc (x
1
,y
1
) thoả mãn
x = x
1
+ ,
y = y
1
.
Suy ra (x
1
,y
1
)=(x , y) R
2
. Tức là ImX R
2
.
Vậy X : R
2
R
2
là song ánh.
2) X((x, y),)=(x + , y) khả vi vô hạn theo (x, y) do ta có
X
x

=(1, 0),
X
y
=(0, 1),

2
X
x
2
=(0, 0),

2
X
y
2
=(0, 0),

2
X
xy
=

2
X
yx
=(0, 0).
11
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 12
3) Với (x, y) cố định R

2
, ta có biểu diễn
x + = x +
0
+(
0
),
y = y.
Vì X((x, y),.) có khai triển Taylor tại
0
và hội tụ tại
0
nên nó giải
tích theo .
4) Ta có


=1,


=1,

2


2
=

2

2
=0,

2


=

2


=0.
Suy ra + =
0
+
0
+(
0
)+(
0
).
Vì hàm (, )= + là hàm khai triển đ-ợc d-ới dạng khai triển
Taylor và hội tụ tại điểm (
0
,
0
) nên giải tích theo , .
5) X((x, y), 0) = (x +0,y)=(x, y).
6) Với , bất kỳ thuộc S, ta có

X(X((x, y),),)=X((x + , y),)
=(x + + , y)
=(x +( + ),y)
= X((x, y),(, )).
Vậy X((x, y); ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings). Xét nhóm
x

= x,
y

=
2
y, 0 <<+.
12
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13
Và phép toán giữa các tham số (, )=.
Vì phần tử đơn vị là =1nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham
số hoá lại với số hạng = 1 nên =1+. Khi đó,
x

=(1+)x,
y

=(1+)
2
y; 1 <<+.
Nhóm Scaling đ-ợc cho bởi D = R
2

,S =(1, +) với phép toán
: S ì S S
(, ) + + ,
và ánh xạ
X : R
2
ì S R
2
((x, y),) (x

,y

) = ((1 + )x, (1 + )
2
y).
Ta chỉ ra rằng nhóm các phép biến đổi X((x, y),.) trên là nhóm Lie các
phép biến đổi một tham số
1) Ta chỉ ra rằng với mọi S ánh xạ X(., ):R
2
R
2
là song ánh.
Với mọi (1, +), ta lấy (x, y) =(x

,y

).
Dễ thấy ((1 + )x, (1 + )
2
y) = ((1 + )x

, (1 + )
2
y

) nên ánh xạ
X : R
2
R
2
là đơn ánh.
Giả sử có (x, y) bất kỳ R
2
ta luôn tìm đ-ợc (x
1
,y
1
) R
2
thoả mãn
(1 + )x
1
= x,
(1 + )
2
y = y.
Suy ra (x
1
,y
1

)=

1
1+
,
1
(1 + )
2

R
2
. Tức là ImX = R
2
.
Vậy X : R
2
R
2
là một song ánh.
2) X((x, y),) khả vi vô hạn theo (x, y) vì ta có
X
x
=(1+, 0),
X
y
=(0, (1 + )
2
),

2

X
x
2
=

2
X
y
2
=

2
X
xy
=

2
X
yx
=(0, 0).
13
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 14
3) Với (x, y) cố định R
2
, ta có biểu diễn
(1 + )x =(1+
0
)x +(
0

)x,
(1 + )
2
y =(1+
0
)
2
y +2(
0
)y +2(
0
)
0
y +(
0
)
2
y.
Vì X((x, y),) khai triển đ-ợc d-ới dạng khai triển Taylor tại =
0
nên nó giải tích theo
0
.
4) Ta có biểu diễn
(, )= + +
=
0
+
0
+

0

0
+ + +
0

0

0

0
=
0
+
0
+
0

0
+(
0
)+(
0
)
+(
0
)(
0
)+
0

+
0

0

0

0

0
=
0
+
0
+
0

0
+(
0
)+(
0
)
+(
0
)(
0
)+
0
(

0
)+
0
(
0
).
Ta thấy (, ) khai triển đ-ợc d-ới dạng khai triển Taylor và hội tụ
tại điểm (
0
,
0
),dođó(, ) là hàm giải tích theo , .
5) X((x, y), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)
2
y)=(x, y).
6) Cuối cùng ta chứng minh với , bất kỳ, ta có
X(X(x, y),),) = (((1 + )x, (1 + )
2
y),)
= ((1 + )(1 + )x, (1 + )
2
(1 + )
2
y)
= ((1 + + + )x, (1 + + + )
2
y)
= X((x, y),(, )).
Vậy X((x, y),) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
14

www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 15
1.2.3 Biến đổi vi phân
Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số
X

= X(x,) (1.1)
với phần tử đơn vị =0và phép toán . Khai triển Taylor (1.1) tại =0
trong lân cận của =0, ta có
x

= x +

X(x,)




=0

+
1
2

2


2
X(x,)

2



=0

+ ...
= x +

X(x,




=0

+ O(
2
).
(1.2)
Đặt
(x)=
X(x; )




=0
. (1.3)
Phép biến đổi x + (x) đ-ợc gọi là biến đổi vi phân của nhóm Lie các

phép biến đổi (1.1). Các thành phần của (x) đ-ợc gọi là vi phân của phép
biến đổi (1.1).
Một vấn đề đặt ra là nếu chỉ cho biết (x) thì liệu rằng ta có thể biết đ-ợc
biến đổi X(x; ) hay không? Chúng ta cùng tìm hiểu về Định lý Lie cơ
bản thứ nhất để giải quyết vấn đề này.
1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất
Tr-ớc tiên ta xét bổ đề
Bổ đề 1.2.5. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) thỏa mãn hệ
thức
X(x; +)=X(X(x; ); (
1
+)). (1.4)
15
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 16
Chứng minh:
X(X(x; ); (
1
,+)) = X(x; (, (
1
,+)))
= X(x; ((,
1
),+))
= X(x; (0,+))
= X(x; +).
Định lý 1.2.6 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất). Tồn tại một phép tham số
hóa () sao cho Nhóm Lie các phép biến đổi X

= X(x; ) t-ơng ứng với

nghiệm của bài toán giá trị ban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I
dx

d
= (x

), (1.5)
với điều kiện ban đầu
x

= x,khi=0. (1.6)
Trong đó:
Phép tham số hoá
()=


0
(

)d

. (1.7)
Với
()=
(a, b)
b



(a,b)=(

1
,)
, (1.8)
và
(0) = 1. (1.9)
Chứng minh: Tr-ớc hết ta chỉ ra (1.1) dẫn đến (1.5) - (1.6) và (1.7) - (1.8).
Khai triển chuỗi luỹ thừa vế trái của (1.4) theo tại =0, ta đ-ợc
X(x; +)=X(x; )+
X(x; )

+ O(()
2
). (1.10)
16
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 17
Khai triển chuỗi luỹ thừa (
1
,+) theo tại =0, ta có
(
1
,+)=(
1
,)+
(
1
,)

+ O(()
2

)
=

(
1
,)




(
1
,)

+ O(()
2
).
(1.11)
Đặt
(
1
; )




(
1
,)
=().

Ta dẫn đến
(
1
,+)=() + O(()
2
). (1.12)
Sau đó khai triển chuỗi luỹ thừa theo vế phải của (1.4) tại =0,ta
thu đ-ợc
X(x; +)=X(X(x,),(
1
,+)) = X(X(x,), () + O(()
2
))
= X(X(x,), 0)+()

X(X(x,),)




=0

+ O(()
2
)
= x

+()(x

) + O(()

2
).
(1.13)
Từ (1.11) và (1.13) ta thấy x

= X(x,) thoả mãn bài toán giá trị ban đầu
của hệ ph-ơng trình vi phân
dx

d
=()(x

). (1.14)
và giá trị ban đầu
x

= x, khi =0. (1.15)
Từ (1.2) và (0) = 1 phép tham số hoá ()=


0
(

)d

ta suy ra đ-ợc
hệ (1.5) - (1.6). Vì
(x)
x
1

,
(x)
x
2
liên tục nên theo định lý tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ ph-ơng trình vi phân (1.5) - (1.6),
do đó hệ (1.14) - (1.15) tồn tại và duy nhất. Nghiệm đó chính là (1.1). Định
lý đ-ợc chứng minh.
17
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 18
Ví dụ 1.2.7 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các
phép biến đổi
x

= x + ,
y

= y.
(1.16)
với phép toán (a, b)=a + b, phần tử nghịch đảo
1
= .
Do
(a, b)
b
=1nên () 1.
Ta đặt x =(x, y) nhóm (1.16) trở thành X(x; )=(x + , y).
Vì
X(x; )

=(1, 0) nên ta có
(x)=
X(x; )




=0
=(1, 0).
Bây giờ, giả sử ta chỉ có (x)=(1, 0). Khi đó từ hệ (1.5) - (1.6) ta sẽ xây
dựng trở lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng. Thật vậy,
dx

d
=1,
dy

d
=0, (1.17)
và điều kiện ban đầu
x

= x, y

= y, khi =0. (1.18)
Giải hệ (1.17) - (1.18), ta có
x

= + C

1
,
y

= C
2
.
Khi =0thì x

= x, y

= y nên C
1
= x, C
2
= y.
Vậy nghiệm của hệ (1.17) - (1.18) là
x

= x + ,
y

= y.
Ví dụ 1.2.8. Xét nhóm
x

=(1+)x,
y

=(1+)

2
y, 1 <<+.
(1.19)
18
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 19
với phép toán giữa các tham số là (a, b)=a + b + ab, và có phần tử
nghịch đảo
1
=

1+
. Do đó,
(a, b)
b
=1+a.
Suy ra ()=
(a, b)
b



(a,b)=(
1
,)
=1+
1
=
1
1+

.
Cho x =(x, y). Hệ (1.19) trở thành
X =(x; )=((1+)x, (1 + )
2
y)
nên ta có
X(x; )

=(x, 2(1 + )y),và(x)=
X(x; )




=0
=(x, 2y).
Giả sử ta chỉ có (x). Khi đó từ kết quả của hệ (1.14) - (1.15) ta sẽ xây
dựng lại nhóm Scalings. Ta có
dx

d
=
x

1+
,
dy

d
=

2y

1+
,
x

= x, y

= y, khi =0.
(1.20)
Giải hệ (1.20) ta thu đ-ợc hệ (1.19) Thực hiện phép tham số hoá
=


0
(

)d

=


0
1
1+

d

=ln|1+|.
Nhóm (1.19) trở thành

x

= e

x,
y

= e
2
y, <<+.
(1.21)
với phép toán giữa các tham số mới là (
1
,
2
)=
1
+
2
.
1.2.5 Toán tử sinh vi phân
Từ định lý Lie thứ nhất, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng nhóm
Lie các phép biến đổi một tham số đ-ợc tham số hoá lại bằng phép toán
cho bởi (a, b)=a + b với
1
= và () 1. Do đó, với hàm vi phân
là (x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số sẽ trở thành
dx

d

= (x

), (1.22)
19
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 20
với điều kiện ban đầu
x

= x khi =0. (1.23)
Định nghĩa 1.2.9. Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi
một tham số là toán tử
X = X(x)=(x). =
1
(x)

x
1
+
2
(x)

x
2
. (1.24)
với là toán tử gradient:
=


x

1
,

x
2

với mọi hàm khả vi F (x)=F (x
1
,x
2
), ta có
XF(x)=(x).F (x)=
1
(x)
F(x)
x
1
+
2
(x)
F(x)
x
2
.
Chú ý rằng
Xx = X(x)x =


1
(x)

x
1
x
1
+
2
(x)
x
1
x
2
,
1
(x)
x
2
x
1
+
2
(x)
x
2
x
2

=((x
1
),(x
2

))(x).
Theo định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta
xác định đ-ợc toán tử sinh vi phân. Định lý d-ới đây chỉ ra rằng bằng
việc sử dụng toán tử sinh vi phân (1.23) ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm
t-ờng minh của bài toán Cauchy.
Định lý 1.2.10. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số t-ơng đ-ơng với
x = e
X
x = x+Xx+
1
2

2
X
2
x+ããã= [1+X+
1
2

2
X
2
+...]x =


k=0

k
k!
.X

k
x.
(1.25)
với toán tử
X = X(x)=(x)

x
i
.
và toán tử X
k
= X
k
(x) k =1, 2,.... Trong đó toán tử X
k
F (x) đ-ợc từ
toán tử X trong X
k1
F (x),k=1, 2,..., với X
0
F (x) F (x).
20
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 21
Chứng minh: Cho
X = X(x)=
1
(x)

x

1
+
2
(x)

x
2
,
X(x

)=
1
(x

)

x

1
+
2
(x

)

x

2
,
(1.26)

x

= X(x; ), (1.27)
là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
Khai triển Taylor (1.27) tại =0, ta có
x

=


k=0

k
k!

X(x; )

k



=0

=


k=0

k
k!

d
k
x

d
k



=0

. (1.28)
với mọi hàm khả vi F (x), ta thu đ-ợc
d
d
F (x

)=
F(x

)
x

1
dx

1
d
+

F(x

)
x

2
dx

2
d
=
1
(x

)
F(x

)
x

1
+
2
(x

)
F(x

)
x

2
= X(x

)F (X

).
(1.29)
Do vậy,
dx

d
= (x

)=X(x

)x

d
2
x

d
2
=
d
d

dx

d

=
d
d
X(x

)x

= X(x

)X(x

)x

= X
2
(x

)x

.
(1.30)
Tổng quát
d
k
x
d
k
= X

k
(x

)x

,k=1, 2,... (1.31)
Do đó,
d
k
x

d
k




=0
= X
k
(X

)x

= X
k
(x)x.
vì khi =0thì x

= X(x; )=X(x;0)=x nên ta suy ra

x

=
2

k=1

k
k!
X
k
x.
21
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 22
Hệ quả 1.2.11. Nếu F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến
đổi một tham số x

= X(x; ) với toán tử sinh vi phân
X(x)=(x)


x
1
+

x
2

, ta có

F (x

)=F(e
X
.x)=e
X
.F (x). (1.32)
Chứng minh:
F (e
X
)=F (x

)=


k=0

k
k!

d
k
F (x

)
d
k

=0

.
Từ (1.29) ta thấy
d
2
F (x

)
d
2
= X
2
(x

)F (x

),dođó
d
k
F (x

)
d
k
= X
k
(x

)F (x

).
Vì
d
k
F (x

)
d
k



=0
= X
k
(x)F (x), nên ta có
F (x

)=F (e
X
x)=



k=0

k
k!
X

k
(x)

F (x)=e
X
F (x).
Ví dụ 1.2.12. Ta xét ví dụ cho nhóm phép quay
x

= x cos + y sin ,
y

= x sin + y cos .
(1.33)
Phép biến đổi vi phân của hệ (1.33)
(x

)=(
1
(x, y);
2
(x, y)) =

dx

d



=0

,
dy

d



=0

=(y,x).
Toán tử sinh vi phân của hệ (1.33)
X =
1
(x, y)

x
+
2
(x, y)

y
= y

x
x

y
. (1.34)
Chuỗi Lie t-ơng ứng với hệ (1.34) là (x

,y

)=(e
X
x, e
Y
y). Khi đó,
Xx = y
x
x
x
x
y
= y, Xy = y
y
x
x
y
y
= x.
22
www.VNMATH.com
1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 23
Ta tính các X
k
x; X
k
y với k =1, 2,...
X
2

x = XXx = Xy = x, X
3
x = X
2
Xx = X
2
y = XXy = Xx = y,
X
4
x = X
3
Xx = X
3
y = X
2
Xy = X
2
x = x.
X
2
y = XXy = Xx = y, X
3
y = X
2
Xy = X
2
x = x,
X
4
y = X

3
Xy = X
3
x = X
2
Xx = X
2
y = y.
Do đó,
X
4n
x = x; X
4n1
x = y; X
4n2
x = x; X
4n3
x = y; n =1, 2,...,
X
4n
y = y; X
4n1
y = x; X
4n2
y = y; X
4n3
y = x; n =1, 2,....
Bởi vậy (x

,y

) đ-ợc viết lại d-ới dạng
x

= e
X
x =


k=0
X
k
x =

1

2
2!
+

4
4!
+ ...

x +



3
3!

+

5
5!
+ ...

y
= x cos + y sin .
T-ơng tự: y

= e
X
y = x sin + y cos .
1.2.6 Hàm bất biến
Định nghĩa 1.2.13. Cho F : D D và F (x) là hàm khả vi vô hạn. Khi
đó F đ-ợc gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu và chỉ
nếu
F (X(x,)) = F (x). (1.35)
Định lý 1.2.14. F(x) là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu
và chỉ nếu
XF(x) 0.
Chứng minh:
F (x

) e
X
F (x)


k=0

k
k!
X
k
F (x) F (x)+XF (x)+
1
2

2
X
2
F (x)+....
(1.36)
23
www.VNMATH.com
1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 24
Vì F (x) là hàm bất biến nên F (x

)=F (x). Vậy từ (1.36) ta suy ra
XF(x) 0.
Định lý 1.2.15. Cho nhóm Lie các phép biến đổi (1.1), đồng nhất thức
F (x

) F (x)+, (1.37)
chỉ xảy ra khi và chỉ khi
XF(x) 1. (1.38)
Chứng minh: Cho F (x) thoả mãn (1.37) thì
F (x)+ F (x)+XF (x)+
1

2

2
X
2
F (x)+....
Do đó, XF(x) 1.
Ng-ợc lại, nếu ta cho F (x) thoả mãn XF(x) 1. Khi đó X
n
F (x) 0,
với n =2, 3,.... Do vậy,
F (x

) e
X
F (x) F (x)+XF (x) F (x)+.
1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số
1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Cho D R
2
, x =(x
1
,x
2
) D,
S =(S
1
,S
2
), và phần tử =(

1
,
2
) S.
(S,) là nhóm có phần tử đơn vị e =(0, 0).
Phép toán
i
: S
i
ì S
i
S
i
là hàm giải tích.
X =(X
1
,X
2
):D ì S D cho ta tập các phép biến đổi 2 tham số ký
hiệu là

X(., )

S
.
Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham
số nếu thoả mãn các điều kiện
24
www.VNMATH.com
1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 25

1) Với phần tử cố định S : X(., ):D ì S D là một song ánh
và khả vi vô hạn.
Và với mọi phần tử x cố định D : X(x,.):S D là hàm giải tích
theo x.
2) X(., 0) = Id
D
.
3) Với mọi phần tử , S, ta có
X(X(x, ), )=X(x,(, )).
Ma trận vi phân (x) cấp 2 ì 2
(x)=


11
(x)
12
(x)

21
(x)
22
(x)

=



X
1
(x; )

1



=0
X
2
(x; )

1



=0
X
1
(x; )

2



=0
X
2
(x; )

2

=0



(1.39)
Cho (x) là ma trận cấp 2ì 2
(x)=




1
(, )

1



=0

2
(, )

1



=0

1
(, )

2



=0

2
(, )

2



=0



(1.40)
và ma trận nghịch đảo của ()
()=
1
(). (1.41)
Định lý 1.3.2 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất). Nhóm Lie các phép biến
đổi 2 tham số tại lân cận của =0t-ơng ứng với nghiệm bài toán giá trị
ban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I

X
1

1
X
2

1
X
1

2
X
2

2



= ()(x

). (1.42)
với điều kiện ban đầu
x

= x khi =0. (1.43)
25
www.VNMATH.com