Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (426.98 KB, 47 trang )
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
TRNG I HC S PHM H NI 2
KHOA TON
**************
PHM HOI THNG
S DNG PHẫP DI HèNH
CHNG MINH HAI HèNH BNG
NHAU TRONG MT PHNG V
KHễNG GIAN
KHO LUN TT NGHIP I HC
Chuyờn ngnh: Hỡnh hc
H NI 2012
5
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
TRNG I HC S PHM H NI 2
KHOA : TON
**************
PHM HOI THNG
S DNG PHẫP DI HèNH
CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU
TRONG MT PHNG V KHễNG
GIAN
KHO LUN TT NGHIP I HC
Chuyờn ngnh: Hỡnh hc
Ngi hng dn khoa hc
NGUYN VN VN
H NI 2012
6
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
7
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
LI CM N
Em xin chõn thnh cm n thy Nguyn Vn Vn cựng cỏc thy cụ giỏo
trong khoa Toỏn ó hng dn, ch bo tn tỡnh, giỳp em hon thnh khoỏ
lun.
Do kinh nghim bn thõn cũn hn ch nờn khoỏ lun cú th cũn nhiu
khim khuyt. Em rt mong nhn c s gúp ý ca thy cụ v bn c em
cú hng phỏt trin v sa cha cho khoỏ lun hon thin hn.
H Ni, ngy 14 thỏng 5 nm 2012
Sinh viờn
Phm Hoi Thng
8
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
LI CAM OAN
Em xin cam oan nhng kt qu t c trong khoỏ lun hon ton do
bn thõn t tỡm tũi nghiờn cu di s hng dn ca thy Nguyn Vn Vn,
khụng trựng vi bt kỡ ti no.
Nu trựng, em xin chu mi trỏch nhim.
H Ni, ngy 14 thỏng 5 nm 2012
Sinh viờn
Phm Hoi Thng
9
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
MC LC
Trang
Li cm n
Li cam oan
Phn 1. M u ............................................................................................5
Phn 2. Ni dung..........................................................................................8
Chng 1. Kin thc chun b......................................................................8
1.1.Phộp di hỡnh trong mt phng...............................................................8
1.2.Phộp di hỡnh trong khụng gian........................................................... 10
1.3.Hai hỡnh bng nhau.............................................................................. 12
1.4.iu kin xỏc nh phộp di hỡnh ........................................................ 18
1.5.Dng chớnh tc ca phộp di hỡnh........................................................ 18
Chng 2. S dng phộp di hỡnh chng ming hai hỡnh bng nhau
trong mt phng v khụng gian ................................................................. 24
2.1.Phng phỏp chung ............................................................................. 24
2.2.Chng minh hai hỡnh bng nhau trong mt phng ............................... 24
2.2.1.Ch ra s tn ti phộp di hỡnh.......................................................... 24
2.2.2.Ch ra c c th mt phộp di hỡnh............................................... 26
2.3.Chng minh hai hỡnh bng nhau trong khụng gian .............................. 33
2.3.1.Ch ra s tn ti phộp di hỡnh trong khụng gian .............................. 33
2.3.2.Ch ra c th mt phộp di hỡnh trong khụng gian ............................ 35
2.3.3.Mt s bi tp khỏc........................................................................... 39
Kt lun..................................................................................................... 44
Ti liu tham kho..................................................................................... 45
10
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
PHN 1. M U
1. Lý do chn ti
Phộp di hỡnh l mt ni dung khú i vi hc sinh trung hc. Cỏc ti
liu tham kho v phộp di hỡnh cng cha cú nhiu. Trong khi ú nhiu bi
toỏn cú th gii c mt cỏch n gin nh s dng phộp di hỡnh. Sỏch
giỏo khoa mi cng cp n khỏi nim hai hỡnh bng nhau trong mt phng
v khụng gian. gii quyt bi toỏn chng minh hai hỡnh bng nhau thỡ
phộp di hỡnh l mt cụng c hu ớch. Tuy nhiờn vn ny trong sỏch giỏo
khoa cha trỡnh by sõu. Vỡ nhng lớ do trờn m em quyt nh chn v
nghiờn cu ti S DNG PHẫP DI HèNH CHNG MINH HAI
HèNH BNG NHAU TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN. Hy
vng rng ti liu ny s l mt ti liu tham kho cú ớch cho bn c.
2. Mc ớch nghiờn cu
- H thng túm tt cỏc kin thc c bn v phộp di hỡnh trong mt
phng v trong khụng gian.
- a ra cỏc vớ d v bi tp minh ho cho phn ng dng phộp di
hỡnh chng minh hai hỡnh bng nhau.
3. i tng, phm vi nghiờn cu
- Phộp di hỡnh trong mt phng v trong khụng gian.
- Hai hỡnh bng nhau trong mt phng v trong khụng gian.
4. Nhim v nghiờn cu
- Nờu phng phỏp chung khi s dng phộp di hỡnh chng minh hai
hỡnh bng nhau trong mt phng v trong khụng gian.
- a ra c cỏc vớ d v bi tp minh ha.
5. Phng phỏp nghiờn cu
11
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Phõn tớch cỏc ti liu cú liờn quan, tng kt kinh nghim bn thõn, tham
kho ý kin ca thy cụ, bn bố.
6. Cu trỳc lun vn
Lun vn bao gm ni dung chớnh l:
Chng 1. Kin thc chun b
Chng 2. S dng phộp di hỡnh chng minh hai hỡnh bng nhau
trong mt phng v trong khụng gian.
12
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
PHN 2. NI DUNG
CHNG 1. KIN THC CHUN B
1.1.Phộp di hỡnh trong mt phng
1.1.1.nh ngha phộp bin hỡnh trong mt phng
Phộp bin hỡnh trong mt phng l mt quy tc vi mi im M
thuc mt phng, xỏc nh c duy nht mt im M thuc mt phng ú.
im M gi l nh ca im M qua phộp bin hỡnh ú.
Kớ hiu: Phộp bin hỡnh F
M F ( M ) hay F : M M
1.1.2.nh ngha v tớnh cht phộp di hỡnh
* nh ngha:
Phộp di hỡnh trong mt phng l phộp bin hỡnh khụng lm thay i
khong cỏch gia hai im bt kỡ trong mt phng, tc l nu phộp bin hỡnh
F bin hai im M , N tng ng thnh hai im M , N thỡ M N MN .
* Tớnh cht:
Phộp di hỡnh trong mt phng:
+ Bin ba im thng hng thnh ba im thng hng v khụng lm thay
i th t ba im ú.
+ Bin ng thng thnh ng thng.
+ Bin tia thnh tia.
+ Bin on thng thnh on thng bng nú.
+ Bin tam giỏc thnh tam giỏc bng nú.
+ Bin ng trũn thnh ng trũn cú cựng bỏn kớnh.
+ Bin gúc thnh gúc bng nú.
13
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
1.1.3.Cỏc phộp di hỡnh trong mt phng
* Phộp tnh tin
nh ngha:
Phộp tnh tin theo vect u l phộp bin hỡnh bin im M thnh im
M sao cho MM ' u .
Kớ hiu: T
u
u c gi l vect tnh tin.
Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
* Phộp i xng trc
nh ngha:
Phộp i xng qua ng thng d l phộp bin hỡnh bin im M thnh
im M i xng M qua d.
Kớ hiu: d : M M hay d( M ) = M .
Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
Trc i xng ca mt hỡnh:
ng thng d c gi l trc i xng ca hỡnh (H) nu phộp i xng
trc d bin hỡnh (H) thnh chớnh nú.
* Phộp i xng tõm
nh ngha:
Phộp i xng tõm O l phộp bin hỡnh bin im M thnh im M
i xng M qua O , tc l OM OM ' 0 .
Kớ hiu: O : M M hay O( M ) = M .
Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
* Phộp quay
nh ngha:
14
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Trong mt phng cho mt im O c nh v gúc lng giỏc khụng
i. Phộp bin hỡnh bin im O thnh chớnh nú v bin mi im M khỏc
O thnh im M sao cho OM OM v (OM , OM ) c gi l phộp
quay tõm O , gúc quay .
Kớ hiu: QO
Tớnh cht: Phộp quay cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
1.2.Phộp di hỡnh trong khụng gian
1.2.1.nh ngha phộp bin hỡnh trong khụng gian
Phộp bin hỡnh trong khụng gian l mt quy tc vi mi im M
trong khụng gian xỏc nh c duy nht mt im M trong khụng gian.
im M c gi l nh ca im M qua phộp bin hỡnh ú.
Kớ hiu: phộp bin hỡnh F , M F ( M ) .
1.2.2.Phộp di hỡnh trong khụng gian
* nh ngha:
Mt phộp bin hỡnh F trong khụng gian c gi l phộp di hỡnh nu
nú bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ trong khụng gian. Tc l, nu
phộp di hỡnh F bin hai im M , N tng ng thnh hai im M , N thỡ
M N MN .
* Tớnh cht:
Phộp di hỡnh trong khụng gian:
+ Bin ng thng thnh ng thng.
+ Bin mt phng thnh mt phng.
+ Bin tia thnh tia.
+ Bin ba im thng hng thnh ba im thng hng v khụng lm thay
i th t ba im ú.
+ Bin gúc thnh gúc bng nú.
15
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
+ Bin bn im ng phng thnh bn im ng phng.
+ Bin mt cu thnh mt cu cú cựng bỏn kớnh.
1.2.3.Cỏc phộp di hỡnh trong khụng gian
* Phộp tnh tin
nh ngha:
Phộp tnh tin theo vect u l phộp bin hỡnh bin im M thnh im
M sao cho MM ' u .
Kớ hiu: T
u
u c gi l vect tnh tin.
Tớnh cht: Phộp tnh tin cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
Hn na, nu T : M M
u
N N
thỡ M ' N ' MN .
* Phộp i xng tõm
nh ngha:
Phộp i xng tõm O l phộp bin hỡnh bin im M thnh im M
sao cho O l trung im ca MM .
Kớ hiu: O : M M hay O( M ) = M .
Tớnh cht:
+ Phộp i xng tõm cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
+ Nu O : M M
N N
thỡ M ' N ' MN .
* Phộp i xng qua ng thng
nh ngha:
16
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Cho ng thng d trong khụng gian, phộp i xng qua ng thng d
l phộp bin hỡnh bin mi im thuc d thnh chớnh nú v bin mi im M
khụng thuc d thnh im M sao cho trong mt phng ( M , d), d l ng
trung trc ca MM .
Kớ hiu: d
Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
Phộp i xng qua ng thng d bin hỡnh (H) thnh chớnh nú thỡ d
gi l trc i xng ca hỡnh (H).
* Phộp i xng qua mt phng
nh ngha:
Phộp i xng qua mt phng (P) l phộp bin hỡnh bin mi im thuc
mt phng (P) thnh chớnh nú v bin mi im M khụng thuc (P) thnh
im M sao cho (P) l mt phng trung trc ca MM .
Kớ hiu: (P)
Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh.
Nu phộp i xng qua mt phng (P) bin hỡnh (H) thnh chớnh nú thỡ
mt phng (P) gi l mt phng i xng ca hỡnh (H).
1.3.Hai hỡnh bng nhau
1.3.1.nh ngha hai hỡnh bng nhau
Hai hỡnh c gi l bng nhau trong mt phng (khụng gian) nu cú
phộp di hỡnh trong mt phng (khụng gian) bin hỡnh ny thnh hỡnh kia.
1.3.2.nh lý 1 (trong mt phng)
Nu ABC v ABC l hai tam giỏc bng nhau thỡ cú duy nht phộp di
hỡnh bin tam giỏc ABC thnh tam giỏc ABC .
Chng minh:
17
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Ta xỏc nh F nh sau: Vi mi im M trong mt phng ta cú
CM m CA m CB cho tng ng im M c xỏc nh bi
1
2
CM ' m CA ' m CB ' . Ta s ch ra rng F l phộp di hỡnh cn tỡm.
1
2
+ Vi mi im M ng vi b (m , m ) duy nht.
1 2
Nu M , N phõn bit thỡ hai b s (m , m ) , (n , n ) phõn bit. Do ú
1 2
1 2
cỏc im M , N tng ng l nh ca M , N cng phõn bit.
F l n ỏnh.
+ Vi mi im M m CM ' m CA ' m CB ' s cú im M ng vi
1
2
b s (m , m ) l to nh ca M .
1 2
F l ton ỏnh.
Nh vy F l mt song ỏnh.
F l phộp bin hỡnh.
+ Gi s M , N l cỏc im ng vi b s (m , m ) , (n , n ) . Ta cú:
1 2
1 2
MN (n m )CA (n m )CB
1 1
2
2
M ' N ' (n m )C ' A ' (n m )C ' B '
1 1
2
2
CA C ' A ' , CB C ' B ' , (CA, CB) (C ' A ', C ' B ')
(do ABC A ' B ' C ' )
2
T ú suy ra MN
2
M 'N '
hay MN 2 M ' N '2
F bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ.
F l phộp di hỡnh.
Rừ rng F bin A, B, C ln lt thnh A, B, C .
F : ABC A ' B ' C ' .
Ta chng minh phộp di hỡnh F l duy nht. Tht vy:
18
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Gi s cú phộp di hỡnh G cng bin A, B, C ln lt thnh A, B, C .
Xột im M bt kỡ trong mt phng, F ( M ) M , G ( M ) M .
AM AM , AM AM
AM AM
A nm trờn ng trung trc ca M M .
Chng minh tng t ta cng cú B, C nm trờn ng trung trc ca
M M .
A, B, C thng hng. iu ny vụ lý.
Gi s sai. Vy phộp di hỡnh F l duy nht. (PCM).
* T nh ngha hai hỡnh bng nhau ta suy ra:
Nu hỡnh (H1) bng hỡnh (H2), hỡnh (H2) bng hỡnh (H3) thỡ hỡnh (H1)
bng hỡnh (H3).
Tht vy:
Vỡ (H1) = (H2) nờn cú phộp di hỡnh F1 bin (H1) thnh (H2).
(H2) = (H3) nờn cú phộp di hỡnh F2 bin (H2) thnh (H3).
Thc hin liờn tip hai phộp di hỡnh trờn ta c phộp di hỡnh bin
(H1) thnh (H3).
Do vy (H1) = (H3).
Chng hn trờn hỡnh v, hỡnh (H1) bng hỡnh (H2) vỡ cú phộp tnh tin
bin (H1) thnh (H2); hỡnh (H2) bng hỡnh (H3) vỡ cú phộp i xng trc bin
(H2) thnh (H3). Vy hai hỡnh (H1) v (H3) bng nhau.
(H1)
(H2)
19
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
(H3)
1.3.3.nh lý 2 (trong khụng gian)
Trong khụng gian hai t din ABCD v ABC D bng nhau nu chỳng
cú cỏc cnh tng ng bng nhau.
Chng minh: Ta xột cỏc trng hp sau
+ Trng hp 1: Hai hỡnh t din ú cú ba cp nh tng ng trựng
nhau. Chng hn A A , B B , C C , D D
A
D
D
B
C
Khi ú mi im A, B, C u cỏch u hai im D, D nờn mp ( ABC ) l
mt phng trung trc ca on thng DD .
Phộp i xng qua mp ( ABC ) bin A, B, C , D ln lt thnh A, B, C , D .
(ABC) : ABCD ABC D
Hai t din ny bng nhau.
+ Trng hp 2 : hai t din ú cú hai cp nh tng ng trựng nhau,
chng hn A A , B B .
20
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
D
A
C
D
B
C
Gi ( P) l mt phng trung trc ca on thng CC thỡ ( P) i qua A
v B (vỡ A , B cựng cỏch u hai im C , C ).
Phộp i xng qua mp ( P ) s bin A, B, C , D ln lt thnh A, B, C , D1 .
Hai t din ABC D1 v ABC D cú cỏc cnh tng ng bng nhau v
cú ba nh tng ng trựng nhau nờn theo trng hp 1, chỳng bng nhau.
Hai t din ABCD v ABC D bng nhau.
+ Trng hp 3: hai t din ú cú mt cp nh tng ng trựng nhau,
chng hn A A .
Gi (Q ) l mt phng trung trc ca BB .
Vỡ A cỏch u B v B nờn A (Q)
Xột (Q) : A A
B B
C C1
D D1
(Q) : ABCD ABC1D1
Hai t din ABCD v ABC1 D1 bng nhau.
Mt khỏc, hai t din ABC1D1 v ABC D cú hai cp nh tng ng
trựng nhau nờn theo trng hp 2, chỳng bng nhau.
21
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Nh vy hai t din ABCD v ABC D bng nhau.
+ Trng hp 4: hai t din ú khụng cú cp nh tng ng no trựng
nhau.
A
B
A
D B
C
D
C
Gi ( R ) l mt phng trung trc ca AA .
Xột (R) : A A
B B1
C C1
D D1
(R) : ABCD AB1C1D1
Hai t din ABCD v AB1C1D1 bng nhau.
M hai t din AB1C1D1 v ABC D cú cỏc cnh tng ng bng nhau
v mt cp nh tng ng trựng nhau nờn theo trng hp 3, chỳng bng
nhau.
Nh vy hai t din ABCD v ABC D bng nhau.
1.3.4.nh lý 3
Trong khụng gian, cho hai t din bng nhau ABCD v ABC D , tn
ti duy nht mt phộp di hỡnh trong khụng gian bin A, B, C , D ln lt
thnh A, B, C , D .
22
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
nh lý ny c chng minh tng t nh trong nh lý 1 trong mt
phng.
1.4.iu kin xỏc nh phộp di hỡnh
1.4.1.Trong mt phng, phộp di hỡnh c xỏc nh bi hai tam giỏc
bng nhau.
1.4.2.Trong khụng gian, phộp di hỡnh c xỏc nh bi hai t din
bng nhau.
1.5.Dng chớnh tc ca phộp di hỡnh
1.5.1.nh lý
Mi phộp di hỡnh trong En (n=2,3) s c phõn tớch thnh tớch khụng
quỏ (n+1) phộp i xng qua siờu phng.
Chng minh:
Ta chng minh nh lý trong mt phng, trong khụng gian nh lý c
chng minh tng t.
Gi s F l mt phộp di hỡnh trong mt phng c xỏc nh bi hai
tam giỏc bng nhau ABC v ABC ( AB AB , BC BC , CA C A ).
* Trng hp 1: A, A phõn bit.
Xột u l ng thng trung trc ca AA A = u( A )
Gi B1 = u( B ), C1 = u( C ).
- Nu B1 B
+ Gi s C1 C , ta xột v l ng trung trc ca B1B .
Vỡ AB AB AB1 nờn A v
v : A A
B1 B
Gi C2 = v( C1 ). Khi ú nu C2 C thỡ ta cú F v.u. Ngc li ta
cú A , B nm trờn trung trc t ca C2C . Xột t ta s i ti F = t.v.u.
23
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
+Gi s C1 C . Khi ú A, C nm trờn trung trc v ca B1B v ta cú
F = v.u.
u
C
A
A
C
C
C
B
B
B
v
-Nu B1 B
+Gi s C1 C , xột t l ng trung trc ca C1C thỡ F = t.u.
+Gi s C1 C thỡ F = u.
Nh vy F cú th phõn tớch thnh tớch ca khụng quỏ 3 phộp i xng
trc.
*Trng hp 2: A A
Lm tng t nh trng hp 1 i vi cp B , B ta s cú F l tớch ca
khụng quỏ 2 phộp i xng trc.
1.5.2.nh lý
Mi phộp di hỡnh trong mt phng khỏc phộp ng nht u cú th biu
din di dng mt phộp quay hoc mt phộp tnh tin.
Chng minh:
24
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Gi s F l phộp di hỡnh trong mt phng. Rừ rng F c biu din
thnh tớch hai phộp i xng trc do F khỏc phộp ng nht.
C th F v.u vi u v
+ Nu u v thỡ F l phộp tnh tin. Tht vy, ly hai im A, B ln lt
thuc u , v sao cho AB u . Vi im M bt kỡ
u : M M 1 , v : M 1 M 2
A
B
M
M2
M1
H
K
Gi H , K ln lt l trung im ca MM 1 , M 1M 2 . Ta cú:
MM 2 MM 1 M 1M 2
2 HM 1 2M 1K
2( HM 1 M 1K ) 2 HK 2 AB
M F ( M ) v.u( M ) = v( M 1 ) = M 2 , MM 2 2 AB nờn F l phộp
tnh tin theo vect 2AB .
+ Nu u , v ct nhau ti O thỡ F l phộp quay. Tht vy, ly A u , B v
( A, B khỏc O ) sao cho gúc AOB khụng tự. t (OA, OB ) .
Vi mi im M O , gi s u : M M 1 , v : M 1 M 2
Gi H , K ln lt l trung im ca MM 1 , M 1M 2 . Ta cú:
OM OM 1 OM 2
25
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
V (OM , OM 2 ) (OM , OM 1 ) (OM 1 , OM 2 )
2(OH , OM 1 ) 2(OM 1 , OK )
2(OH , OK ) 2
F v.u : M M 2
Nh vy F l phộp quay tõm O , gúc quay 2 .
M
H
A
M1
O
B
K
M2
1.5.3.nh lý
Phộp di hỡnh trong khụng gian khỏc phộp tnh tin cú th phõn tớch
bng vụ s cỏch thnh tớch ca mt phộp quay v mt phộp tnh tin hoc
theo th t ngc li l tớch mt phộp tnh tin v mt phộp quay.
Chng minh:
Gi s F l phộp di hỡnh trong khụng gian. Ly im A trong khụng
gian. t F ( A) A . Xột phộp tnh tin T T
ta cú:
AA
26
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
(T 1.F )( A) T 1 ( A) A .
Do T 1.F l phộp di hỡnh nờn ta cú T 1.F Q Q( d , )
F T .Q
Tng t ta cú: F Q.T
Do A bt k v do F khụng l phộp tnh tin nờn AA khụng phi l
khụng i cho phộp ta khng nh s cỏch phõn tớch l vụ s.
1.5.4.nh lý
Phộp di hỡnh trong khụng gian khụng l phộp tnh tin cú th biu din
duy nht di dng mt phộp di hỡnh xon c.
Chng minh:
Theo nh lý 1.5.3. nu F l phộp di hỡnh khỏc phộp tnh tin trong
khụng gian thỡ ta cú F Ta .Q (d , )
+ Nu a cú giỏ vuụng gúc vi d thỡ F Q(d , ) Q( d , ).T0
+ Nu a khụng cú giỏ vuụng gúc vi d thỡ ta phõn tớch:
a u v vi u d , v d
Ta cú: F Tv .Tu .Q Tv .Q vỡ Tu .Q Q
Do v d nờn v song song vi trc quay ca Q .
Nh vy F Tv .Q Q.Tv
Vy c 2 trng hp F u l tớch giao hoỏn ca phộp quay v phộp tnh
tin.
Ta chng minh tớnh duy nht nh sau:
Gi s F cú hai cỏch phõn tớch theo kiu trờn.
F T .Q Q.T , T Ta , Q Q (d , )
V F T .Q Q.T , T Ta, Q Q(d , )
T trờn ta cú:
27
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
Q.T Q.T
T .Q.T T .Q.T
T .Q T .Q.T .T 1
(1)
Mt khỏc: Q.T T .Q
Q T .Q.T 1
Q.T T .Q.T 1.T
(2)
T (1) v (2) ta cú: T .Q Q.T
a d
Nh vy a d d a
Gi s M E3 v F ( M ) M . Ta cú biu din:
MM MN NM trong ú MN d , NM d .
Rừ rng trong cỏch biu din F T .Q Q.T thỡ a NM .
Tng t, ta cú a NM .
a a
T T
Q Q
Tớnh duy nht ca cỏch biu din c chng minh.
28
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Phạm Hoài Thương K34CN Toán
CHNG 2. S DNG PHẫP DI HèNH CHNG
MINH HAI HèNH BNG NHAU
TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN
2.1.Phng phỏp chung
chng minh hai hỡnh (H1), (H2) bng nhau trong mt phng (khụng
gian):
+ Cỏch 1: ch ra c tn ti phộp di hỡnh trong mt phng (khụng gian)
bin hỡnh ny thnh hỡnh kia.
+ Cỏch 2: tỡm c phộp di hỡnh bin (H1) thnh (H2) m (H2) bng
(H2).
2.2.Chng minh hai hỡnh bng nhau trong mt phng
2.2.1.Ch ra s tn ti phộp di hỡnh
2.2.1.1.Vớ d
Vớ d 1. Chng minh rng hai tam giỏc vuụng bng nhau nu cú cỏc cnh
huyn bng nhau v ng cao ng vi cnh huyn bng nhau.
Gii:
Xột tam giỏc ABC vuụng ti A v tam giỏc ABC vuụng ti A , cú
BC BC v hai ng cao AH AH .
A
B
H
B
M
H
M
C
A
C
29
