Toán tử tuyến tính không bị chặn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

MAI THỊ HẢO

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2012


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy
đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của
mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và
các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ
nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do
trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận
được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Mai Thị Hảo

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán,
đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn”
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Mai Thị Hảo


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Nguyên lý thác triển Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5. Nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6. Không gian con bù. Toán tử nghịch đảo một phía. . . . . . . . . . . . .

14

1.7. Tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1. Toán tử không bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Toán tử với miền giá trị đóng và toán tử toàn ánh . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là một chuyên ngành giữ vai trò quan trọng trong Toán học. Lý
thuyết giải tích hàm đẹp đẽ và là chìa khóa để hiểu được các môn học khác
về giải tích toán học. Đối tượng chính của giải tích hàm là các không gian và
các toán tử tuyến tính liên tục hay còn gọi là toán tử tuyến tính bị chặn. Trong
chương trình của môn giải tích hàm, ta được biết đến một số khái niệm và kết
quả về toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach như định lí Hahn
- Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach - Steinhaus, nguyên lý ánh xạ mở và
định lý đồ thị đóng...
Một toán tử tuyến tính xác định trên toàn bộ không gian và thỏa mãn điều
kiện bị chặn thì nó là toán tử tuyến tính bị chặn tuy nhiên nếu ta cho phép định
nghĩa một ánh xạ tuyến tính trên một không gian thực sự nhỏ hơn không gian
đang xét thì chúng ta có thể có những toán tử tuyến tính không bị chặn. Đây là

một khái niệm mới mà với lượng thời gian eo hẹp trên lớp sinh viên khó có thể
đi vào nghiên cứu.
Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong khuôn khổ
của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy
Trần Văn Bằng tôi đã chọn đề tài “Toán tử tuyến tính không bị chặn”.Tôi hi
vọng đề tài này có ích cho việc nghiên cứu các vấn đề của giải tích hàm cũng
như trong các ngành khác của toán học lý thuyết và ứng dụng.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về toán tử tuyến tính không bị chặn.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về toán tử tuyến tính không bị chặn bao gồm khái niệm và đặc
trưng của nó.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Toán tử tuyến tính không bị chặn.

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Chuẩn và không gian định chuẩn
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không
gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X
vào tập số thực R, kí hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (∀x ∈ X), ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );
2) (∀x ∈ X), (∀α ∈ P)||αx|| = |α|||x||;
3) (∀x, y ∈ X)||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Số ||x|| gọi là chuẩn của vector x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề 1),2),3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định lý 1.1.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vector bất kì x, y ∈ X
ta đặt
d(x, y) = ||x − y||
Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới
điểm x ∈ X, nếu lim ||xn − x|| = 0.
n→∞

Kí hiệu: lim xn = x hay xn → x(n → ∞).
n→∞

3


Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ
bản, nếu

lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.1. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng trường P
(P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là ánh
xạ tuyến tính hoặc toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:
∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀α, β ∈ P.

A(αx + β y) = αAx + β Ay,

Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.2. Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y được
gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao cho:
Ax ≤ c x , ∀x ∈ X.
Nhận xét 1.2.1. :
a) Đối với các toán tử tuyến tính, các khái niệm liên tục và bị chặn là tương
đương.
b) Từ công thức trên suy ra:
sup
x=0

Ax
< +∞.

x

Định nghĩa 1.3. Chuẩn của toán tử tuyến tính A được định nghĩa như sau:
A = sup
x=0

Ax
.
x

Định nghĩa 1.4. Kí hiệu: Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Ta gọi
£(X,Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục (bị chặn) từ X vào Y được
trang bị với chuẩn
T

£(X,Y )

= sup ||T x||.
x∈X
||x||≤1

4


Thông thường, ta viết £(X) thay cho £(X, X).

1.3. Nguyên lý thác triển Hahn - Banach
Một hàm thực ϕ(x) trên một không gian vector X được gọi là dưới tuyến
tính, nếu
1) ϕ(x1 + x2 ) ≤ ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X;

2) ϕ(αx) = αϕ(x) với mọi x ∈ X và mọi số α ≥ 0.
Định lý 1.3.1. Định lý Hahn - Banach
Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trong một không gian con M của
một không gian vector thực X. Nếu có một hàm dưới tuyến tính ϕ xác định
trong X, sao cho
∀x ∈ M

f (x) ≤ ϕ(x)

thì phải có một phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định trong toàn thể X, sao cho:
1) F là khuếch của f , nghĩa là
∀x ∈ M
2) ∀x ∈ X

F(x) = f (x)

F(x) ≤ ϕ(x).

Định nghĩa 1.1. Ta kí hiệu X ∗ là không gian đối ngẫu của X nghĩa là không
gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Chuẩn đối ngẫu trên X ∗
được định nghĩa bởi:
|| f ||X ∗ = sup | f (x)| = sup f (x).
x∈X

x∈X

||x||≤1

||x||≤1

Định nghĩa 1.2. Nếu M ∈ E là một không gian tuyến tính thì đặt
M ⊥ = { f ∈ X ∗ : f , x = 0,

∀x ∈ M}

Ta gọi M ⊥ là không gian trực giao với M.
Hệ quả 1.3.1. Với mỗi phần tử xo = 0 của một không gian định chuẩn X đều có
một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f (x) = ||xo || và || f || = 1.
5


Chứng minh. Đặt Xo = {txo : t ∈ P} ta được Xo là không gian tuyến tính con
của không gian X. Với mỗi x ∈ Xo thì x = txo ,t ∈ P, ta đặt fo (x) = t||xo ||. Hiển
nhiên, fo là phiếm hàm tuyến tính trên Xo , fo (xo ) = ||xo ||, | fo (x)| = |t|||xo || =
||x||, do đó || fo || = 1. Theo định lý Hahn - Banach, ta có thể thác triển phiếm
hàm fo thành phiếm hàm f từ Xo lên toàn X thỏa mãn: f (xo ) = ||xo ||, || f || =
|| fo || = 1.
Hệ quả 1.3.2. Cho M là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn
X và xo ∈ X là một phần tử thỏa mãn điều kiện:
dist(xo , M) = in f ||xo − y|| = d > 0
y∈M

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn không gian
X sao cho:
1) f (y) = 0, ∀y ∈ M ;
2) || f || = d1 ;
3) f (xo ) = 1.

1.4. Nguyên lý bị chặn đều
Định lý 1.4.1. Định lý phạm trù Baire

Cho X là một không gian metric đầy và cho (Xn )n≥1 là một dãy các tập con
đóng trong X. Giả sử rằng:
IntXn = 0/
Khi đó

∀n ≥ 1.

∞

Xn ) = 0.
/

Int(
n=1

Nhận xét 1.4.1. Định lý phạm trù Baire thì thường được sử dụng dưới những
dạng sau. Cho X là không gian metric đầy không trống và (Xn )n≥1 là một dãy
các tập con đóng trong X thỏa mãn:
∞

Xn = X.
n=1

Khi đó tồn tại số no sao cho IntXno = 0.
/
6


Chứng minh. Đặt On = Xnc , ta có On là mở và trù mật trong X, ∀n ≥ 1. Mục
đích của ta là chứng minh G = ∩∞

n=1 On trù mật trong X. Cho ω là tập mở
không trống trong X. Ta sẽ chứng minh rằng ω ∩ G = 0.
/ Đặt
B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) < r}.
Lấy xo bất kì thuộc ω và ro > 0 thỏa mãn:
B(xo , ro ) ⊂ ω.
Sau đó, chọn x1 ∈ B(xo , ro ) ∩ O1 và r1 > 0 thỏa mãn:
B(x1 , r1 ) ⊂ B(xo , ro ) ∩ O1
0 < r1 <

ro
2.

Điều này thì luôn có bởi vì O1 là mở và trù mật. Bằng quy nạp ta xây dựng
được hai dãy (xn ) và (rn ) thỏa mãn:
B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn ) ∩ On+1
0 < rn+1 <

∀n ≥ 0

rn
2.

Rõ ràng (xn ) là một dãy Cauchy. Giả sử xn → .
Do xn+p ∈ B(xn , rn ), ∀n ≥ 0 và ∀p ≥ 0, chúng ta thu được giới hạn khi p → ∞
ta được
∈ B(xn , rn )

∀n ≥ 0

Đặc biệt, ∈ ω ∩ G.
Định lý 1.4.2. Nguyên lý bị chặn đều Banach - Steinhaus
Cho X và Y là hai không gian Banach và (Ti )i∈I là họ (không cần thiết đếm
được) các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Giả sử rằng :
(1)

sup||Ti x|| < ∞,

∀x ∈ X.

i∈I

Khi đó
(2)

sup||Ti ||£(X,Y ) < ∞.
i∈I

Nói cách khác, tồn tại một hằng số c thỏa mãn:
Ti x ≤ c x

∀x ∈ X,
7

∀i ∈ I.


Nhận xét 1.4.2. Kết luận của Định lý 1.4.2 là khá quan trọng. Từ các đánh
giá từng điểm ta nhận được một đánh giá toàn cục.
Chứng minh. Với mỗi n ≥ 1, ta xét tập

Xn = x ∈ X;

∀i ∈ I,

sup||Ti (x)|| ≤ n ,
i∈I

Mỗi tập này là đóng trong X, vì nó là giao của họ tập {x ∈ X : ||Ti (x)|| ≤ n} (i ∈
I), mà các tập ấy đóng do Ti liên tục. Hiển nhiên, do Xn ⊂ X(n = 1, 2...) suy
ra

∞
n=1 Xn

⊂ X. Mặt khác, với mỗi x ∈ X, tập {x : ||Ti (x)|| ≤ n} (i ∈ I) bị chặn,

nên tồn tại số tự nhiên n sao cho sup||Ti (x)|| ≤ n, do đó x ∈ Xn , suy ra:
i∈I
∞

Xn = X.
n=1

Theo Định lý phạm trù Baire thì tồn tại no ≥ 1 sao cho Int(Xno ) = 0.
/ Lấy xo ∈ X
và r > 0 sao cho B(xo , r) ⊂ Xno . Ta có:
||x − xo || ≤ r ⇒ sup||Ti (x)|| < no .
i∈I

Từ đó, chú ý rằng nếu ||x|| ≤ 1 thì ||(xo + rx) − xo || ≤ r, ta suy ra với mọi x

nghiệm đúng ||x|| ≤ 1 và với mọi i ∈ I ta có:
Ti (xo + rx) ≤ no .
Vậy ||Ti (xo ) + rTi (x)|| ≤ no , do đó
r Ti (x)

£(X,Y )

≤ no + Ti (xo ) .

và vì điều này đúng với mọi x mà ||x|| ≤ 1 nên
||Ti || ≤ 2no /r,
Chứng tỏ họ {Ti , i ∈ I} bị chặn đều.
Nhận xét 1.4.3. Nói chung giới hạn theo từng điểm T (x) của một dãy các
ánh xạ liên tục Ti (x) thì có thể không liên tục. Giả thiết về tính tuyến tính của
các Ti là yếu tố cần thiết trong Định lý 1.4.2 để ta có T liên tục. Tuy nhiên, nói
chung ta vẫn không khẳng định được Tn − T
8

£(X,Y )

→ 0.


Cụ thể ta có hệ quả:
Hệ quả 1.4.1. Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho Tn là một dãy các
toán tử tuyến tính từ X vào Y sao cho ∀x ∈ X, Tn (x) hội tụ (khi n → ∞) tới một
giới hạn kí hiệu bởi T (x). Khi đó chúng ta có:
(a)

sup Tn

n

£(X,Y )

< ∞,

T ∈ £(X,Y ),

(b)
(c)

T

£(X,Y )

≤ limin f Tn
n→∞

£(X,Y ) .

Chứng minh. Vì lim ||Tn (x)|| = ||T (x)|| nên ta có sup Tn
n→∞

n

£(X,Y )

< ∞. Do đó

theo Định lí 1.4.2 tồn tại hằng số c thỏa mãn:

Tn (x) ≤ c x ,

∀x ∈ X, ∀n.

Cho n → ∞ ta tìm được:
T (x) = lim ||Tn (x)|| ≤ c x ,
n→∞

∀x ∈ X.

Điều này chứng tỏ T bị chặn mà T tuyến tính nên ta có T tuyến tính liên tục
Cuối cùng, ta có:
Tn (x) ≤ Tn

£(X,Y )

x ,

∀x ∈ X.

Từ đây ta có (c).
Hệ quả 1.4.2. Cho G là một không gian Banach và B là một tập con của G.
Giả sử
(3)

∀ f ∈ G∗ thì f (B) = { f , x ; x ∈ B} là bị chặn (trong R).

Khi đó
(4)

B bị chặn.

Chứng minh. Ta sử dụng Định lý 1.4.2 với X = G∗ ,Y = R và I = B. Với mọi
b ∈ B đặt
f ∈ X = G∗ ,

Tb ( f ) = f , b ,
Từ (3) ta có:
sup | Tb ( f ) |< ∞,
b∈B

9

∀ f ∈ X.


Theo Định lý 1.4.2 thì tồn tại một hằng số c thỏa mãn:
∀ f ∈ G∗ , ∀b ∈ B.

| f , b |≤ c f ,

Vì vậy sử dụng hệ quả của nguyên lý thác triển Hahn - Banach ta có:
b ≤ c,

∀b ∈ B.

Nhận xét 1.4.4. Hệ quả 1.4.2 nói rằng để chứng minh tập B là bị chặn ta
chỉ cần nhìn B qua các hàm tuyến tính bị chặn. Đây là cách quen thuộc trong
không gian hữu hạn chiều, ở đó các phiếm hàm tuyến tính là các tọa độ đối với
một số cơ sở. Theo một nghĩa nào đó, Hệ quả 1.4.2 là sự thay thế cách nhìn đó.

Trong không gian vô hạn chiều, đôi khi kết luận của Hệ quả 1.4.2 được phát
biểu như sau "bị chặn yếu" ⇔ "bị chặn mạnh".
Tiếp theo chúng ta có một phát biểu đối ngẫu với Hệ quả 1.4.2.
Hệ quả 1.4.3. Cho G là một không gian Banach và B∗ là tập con của G∗ . Giả
sử rằng:
(5)

∀x ∈ G tập B∗ , x = { f , x ; f ∈ B∗ } là bị chặn (trong R).

Khi đó
(6)

B∗ bị chặn.

Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.4.2 với X = G,Y = R và I = B∗ . Với mỗi
b ∈ B∗ đặt
(x ∈ G = X).

Tb (x) = b, x ,

Từ đó khẳng định tồn tại một hằng số c sao cho:
∀b ∈ B∗ , ∀x ∈ G.

| b, x |≤ c x ,

Do đó (theo định nghĩa của chuẩn đối ngẫu)
∀b ∈ B∗ .

b ≤ c,

10


1.5. Nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng
Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ f : X → Y (X,Y : không gian metric) gọi là mở
tại một điểm a ∈ X nếu nó biến mỗi lân cận của a thành một lân cận của f (a).
Ánh xạ đó gọi là mở nếu nó mở tại mọi điểm: điều này xảy ra khi và chỉ khi f
biến mọi tập mở trong X thành tập mở trong Y .
Để ý rằng một ánh xạ liên tục không nhất thiết là mở. Tuy nhiên ta có kết
quả quan trọng sau:
Định lý 1.5.1. Nguyên lý ánh xạ mở
Cho X và Y là hai không gian Banach và T là một toán tử tuyến tính liên tục
từ X lên Y . Khi đó tồn tại một hằng số c > 0 thỏa mãn:
T (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, c).

(7)

Nhận xét 1.5.1. Tính chất (7) có nghĩa là ảnh của một tập mở bất kì trong
X là một tập mở trong Y (điều này nói lên ý nghĩa của tên định lý này). Thực
vậy, giả sử U ⊂ X là tập mở thì ảnh của nó T (U) ⊂ Y cũng mở. Cố định một
điểm bất kì yo ∈ T (U). Đặt yo = T xo với xo ∈ U. Khi đó tồn tại r > 0 sao cho
B(xo , r) ⊂ U, xo + B(0, r) ⊂ U. Khi đó
yo + T (B(0, r)) ⊂ T (U).
Sử dụng (7) ta có
T (B(0, r)) ⊃ B(0, rc)
và do đó
B(yo , rc) ⊂ T (B(xo , r)) ⊂ T (U).
Sau đây là một vài hệ quả quan trọng của Định lý1.5.1:
Hệ quả 1.5.1. Nếu toán tử tuyến tính liên tục T ánh xạ một đối một từ không
gian Banach X lên không gian Banach Y toán tử ngược T −1 cũng liên tục (từ

Y vào X).
Chứng minh. Từ tính chất (7) và giả thiết T là ánh xạ một đối một nếu ta chọn
x ∈ X thỏa mãn T x < c thì x < 1. Do tính đồng nhất chúng ta có:
x ≤

1
Tx ,
c
11

∀x ∈ X.


Và do đó T −1 là liên tục.
Hệ quả 1.5.2. Cho X là không gian vector cùng với hai chuẩn .

1 và

. 2 . Giả

sử X là một không gian Banach với cả hai chuẩn và tồn tại một hằng số c1 thỏa
mãn:
x

2

≤ c1 x

1,

∀x ∈ X.

Khi đó hai chuẩn là tương đương, do đó là tồn tại một hằng số c2 thỏa mãn:
x

1

≤ c2 x

2,

∀x ∈ X.

Chứng minh. Áp dụng hệ quả với X = (X, . 1 );Y = (X, . 2 ) và T = I ta có:
Xét ánh xạ Id : (X, . 1 ) → (X, . 2 ). Khi đó Id tuyến tính liên tục và do đó
2 ≤ c1
Id −1 : (X,

1 , ∀x ∈ X.

Id bị chặn tức là ∃c1 : x

x

tồn tại toán tử ngược

. 2 ) → (X, . 1 ) cũng tuyến tính liên tục do

đó Id −1 cũng bị chặn tức là ∃c2 : x

1

≤ c2 x

Mặt khác, theo Hệ quả 1.5.2 thì
2 , ∀x ∈ X.

Từ đó ta có điều phải

chứng minh.
Chứng minh. Định lý (1.5.1) Chúng ta chia làm hai bước:
Bước 1: Giả sử T là một toán tử tuyến tính từ X lên Y . Khi đó, tồn tại một hằng
số c > 0 thỏa mãn:
(8)

T (B(0, 1)) ⊃ B(0, 2c).

Thật vậy: Đặt Xn = nT (B(0, 1)). Do T là toàn ánh nên ta có ∪∞
n=1 Xn = Y
và theo định lý phạm trù Baire, tồn tại một số no sao cho Int(Xno ) = 0.
/ Khi đó
ta có
Int{T (B(0, 1))} = 0.
/
Lấy c > 0 và yo ∈ Y thỏa mãn:
(9)

B(yo , 4c) ⊂ T (B(0, 1)).

Đặc biệt, yo ∈ T (B(0, 1)) và

12


−yo ∈ T (B(0, 1)).

(10)
Cộng (9) và (10) ta có:

B(0, 4c) ⊂ T (B(0, 1)) + T (B(0, 1))
Mặt khác, vì T (B(0, 1)) là lồi nên
T (B(0, 1)) + T (B(0, 1)) = 2T (B(0, 1))
và ta cũng có (8).
Bước 2: Giả sử T là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y mà thỏa mãn
(8). Khi đó chúng ta có:
T (B(0, 1)) ⊃ B(0, c).

(11)

Hay (11) tương đương với T (BX ) ⊃ BY .
Thật vậy, chọn y bất kì thuộc Y với y < c. Mục đích là tìm một phần tử x ∈ X
thỏa mãn :
x <1

và T x = y.

Từ (8) ta có:
(12)

∀ε > 0, ∃z ∈ X

z <

với

1
2

và

y − T z < ε.

Chọn ε = 2c , ta tìm được z1 ∈ X thỏa mãn:
z1 <

1
2

và

y − T z1 < 2c .

Bằng cách xây dựng tương tự áp dụng với y − T z1 (thay cho y) với ε =

c
4

ta tìm

được z2 ∈ X thỏa mãn:

z2 <

1
4

và

(y − T z1 ) − T z2 < 4c .

Bằng quy nạp ta thu được một dãy (zn ) thỏa mãn:
zn <

1
2n

và

y − T (z1 + z2 + · · · + zn ) <

c
,
2n

∀n.

Vì chuỗi ∑∞
n=1 zn trong không gian Banach hội tụ tuyệt đối nên hội tụ. Giả sử z
là tổng của chuỗi. Khi đó ta có:||z|| ≤ ∑∞
n=1 ||zn || < 1 ⇒ z ∈ BX .
Mặt khác y = lim ∑nk=1 T zk = lim T ( lim (∑nk=1 zk )) = T (∑∞

k=1 ) = T z.
n→∞
n→∞
n→∞
Suy ra y ∈ T (BX )
13


Định nghĩa 1.2. Cho hai không gian định chuẩn X,Y và ánh xạ T từ không
gian X vào không gian Y . Ta gọi đồ thị của toán tử T . kí hiệu G(T ), là tập:
G(T ) = {(x, T x) : x ∈ X} ⊂ X ×Y.
Nếu đồ thị G(T ) là tập đóng trong không gian định chuẩn tích X ×Y thì toán
tử T là toán tử đóng.
Một ánh xạ liên tục thì bao giờ cũng là đóng. Ngược lại nói chung không
đúng, nhưng riêng đối với toán tính tuyến tính Định lý ánh xạ mở cho ta hệ quả
sau đây.
Định lý 1.5.2. Định lý đồ thị đóng
Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho T là toán tử tuyến tính từ X vào Y .
Giả sử rằng đồ thị của T là G(T ) mà đóng trong X ×Y . Khi đó T là liên tục.
Nhận xét 1.5.2. Điều ngược lại của định lý vẫn đúng, bởi vì đồ thị của ánh xạ
liên tục bất kì (tuyến tính hoặc không) là đóng.
Chứng minh. Nếu A là toán tử tuyến tính thì đồ thị của nó là không gian con
của không gian tích X × Y . Nếu A lại là đóng thì G là không gian con đóng
của X × Y , cho nên bản thân G cũng là không gian Banach. Ta xét toán tử
B : G → X xác định bởi
(x, A(x)) → x.
Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục, 1 - 1 từ không gian Banach G lên không
gian Banach X. Vậy theo hệ quả của nguyên lý ánh xạ mở thì B có ánh ngược
B−1 liên tục tức là xn → x thì (xn , Axn ) → (x, Ax). Do đó A liên tục.

1.6. Không gian con bù. Toán tử nghịch đảo một
phía.
Chúng ta bắt đầu với một số thuộc tính hình học của các không gian đóng
trong một không gian Banach, được suy ra từ nguyên lý ánh xạ mở.

14


Định lý 1.6.1. Cho X là một không gian Banach. Giả sử rằng G và L là hai
không gian tuyến tính đóng thỏa mãn G + L là đóng. Khi đó tồn tại một hằng
số c ≥ 0 sao cho với mọi z ∈ G + L đều có thể phân tích thành
(13) z = x + y

với

x ∈ G, y ∈ L,

x ≤ c||z|| và ||y|| ≤ c||z||.

Chứng minh. Vì G và L là những không gian Banach nên G × L cũng là không
gian Banach với chuẩn
[x, y] = x + y .
và không gian G + L với chuẩn trong X.
Ánh xạ T : G × L → G + L xác định bởi T [x, y] = x + y là song ánh tuyến
tính. Ngoài ra: ||T [x, y]|| = ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| = [x, y] . Suy ra T bị chặn.Theo
hệ quả của nguyên lý ánh xạ mở ánh xạ ngược T −1 của T là toán tử tuyến tính
bị chặn tức là tồn tại một hằng số c > 0 sao cho:
||T −1 z|| = ||T −1 (x + y)|| = [x, y] ≤ c||z|| ∀z ∈ G + L
Hay ||x|| + ||y|| ≤ c||z||, ∀z ∈ G + L. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.6.1. Giả thiết giống như trong Định lý 1.6.1, tồn tại hằng số c thỏa

mãn:
dist(x, G ∩ L) ≤ c {dist(x, G)

(14)

+

dist(x, L)} ,

∀x ∈ X.

Chứng minh. Cho x ∈ X và ε > 0, tồn tại a ∈ G và b ∈ L sao cho:
x − a ≤ dist(x, G) + ε;

x − b ≤ dist(x, L) + ε.

Áp dụng tính chất (13) với z = a − b ta có: tồn tại a ∈ G và b ∈ L thỏa mãn:
a−b = a +b ;

a

≤ c a−b ;

b

≤ c a−b .

Suy ra a − a ∈ G ∩ L và
dist(x, G ∩ L)

≤

x − (a − a ) ≤ x − a + a

≤

x − a + c a − b ≤ x − a + c( x − a + x − b )

≤
Cho ε → 0 ta có (14).

(1 + c)dist(x, G) + dist(x.L) + (1 + 2c)ε

15


Nhận xét 1.6.1. Điều ngược lại của Hệ quả 1.6.1 cũng đúng: Nếu G và L là
hai không gian tuyến tính đóng thỏa mãn (14). Khi đó G + L là đóng.
Định nghĩa 1.1. Cho G ⊂ X là một không gian đóng của không gian Banach
X.Một không gian G ⊂ X được gọi là phần bù topo hay đơn giản là một phần
bù của G nếu:
(i) L là đóng.
(ii) G ∩ L = {0} và G + L = X.
Ta cũng sẽ nói rằng G và L là các không bù của nhau trong X. Tức là khi đó
∀z ∈ X có thể được viết một cách duy nhất z = x + y

với x ∈ G và y ∈ L.

Theo Định lý 1.6.1 thì toán tử chiếu z → x và z → y là các toán tử tuyến tính
liên tục. (Tính chất này có thể được dùng làm định nghĩa của các không gian

bù của nhau).
Ví dụ 1.1. 1. Mọi không gian hữu hạn chiều G đều có một phần bù. Thực vậy,
gọi e1 , ..., en là một cơ sở của G. Với mọi x ∈ G có thể viết x = ∑ni=1 xi ei . Đặt
ϕi (x) = xi , sử dụng định lý Hahn - Banach hoặc một cách chính xác - mỗi ϕi
có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục ϕi∼ trên X. Thật dễ
kiểm tra L = ∩ni=1 (ϕi∼ )−1 (0) là phần bù của G.
2. Mọi không gian đóng G với đối chiều hữu hạn đều có một phần bù. Thật vậy
ta chỉ cần chọn một không gian hữu hạn chiều bất kì L thỏa mãn G ∩ L = {0}
và G + L = X (L là đóng bởi vì nó hữu hạn chiều).
Đây là một ví dụ điển hình cho tình huống trên. Cho N ⊂ X ∗ là không gian
với số chiều p. Khi đó
G = {x ∈ X,

f , x = 0,

∀ f ∈ N} = N ⊥ .

là đóng và có đối chiều p. Thật vậy, giả sử f1 , ..., f p là một cơ sở của N. Khi
đó tồn tại e1 , ..., e p ∈ X thỏa mãn
∀i, j = 1, p.

fi , e j = δi j
(Xét ánh xạ φ : E → R p xác định bởi:
(15)

φ (x) = ( f1 , x , f2 , x , ..., f p , x )

và chú ý rằng φ là toàn ánh vì nếu không thì sẽ tồn tại (bởi Hahn - Banach,
16

dạng hình học thứ hai) một số α = (α1 , α2 , ..., α p ) = 0 thỏa mãn:
p

αφ (x) =

∑ αi f i , x

= 0,

∀x ∈ X.

i=1

Từ đây ta dẫn tới mâu thuẫn).
Dễ thấy các vector (ei )i=1,p là độc lập tuyến tính và không gian sinh bởi
các vector đó là phần bù của G.

Định nghĩa 1.2. Cho T ∈ £(X,Y ). Nghịch đảo phải của T là toán tử S ∈
£(Y, X) thỏa mãn: T ◦ S = IY . Nghịch đảo trái của T là một toán tử S ∈ £(Y, X)
thỏa mãn S ◦ T = IX .
Kết quả tiếp theo cung cấp cho chúng ta điều kiện cần và đủ để có nghịch
đảo.
Định lý 1.6.2. Giả sử rằng T ∈ £(X,Y ) là toàn ánh. Các tính chất sau là tương
đương
(i) T có một nghịch đảo phải.
(ii)N(T ) = T −1 (0) có một phần bù trong X.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử S là một nghịch đảo phải của T . Ta thấy R(S) =
S(Y ) là một phần bù của N(T ) trong X.
Thật vậy: ∀x ∈ R(S) ∩ N(T ) thì tồn tại x ∈ X sao cho Sx = x và T x = 0. Do S

là một nghịch đảo phải của T nên T Sx = T x = 0 ⇔ x = 0. Do đó x = 0.
Mặt khác đặt y = x − ST x ⊂ X. Ta có T x2 = T x − T ST x = 0 suy ra y ∈ N(T ).
Do đó x = ST x + y ∈ R(S) + N(T ).
(ii) ⇒ (i). Giả sử L là một phần bù của N(T ). Gọi P là toán tử chiếu liên tục từ
X lên L. Với f ∈ Y , ta kí hiệu x là nghiệm bất kì của phương trình T x = f . Đặt
S f = Px và chú ý rằng S độc lập với x. Dễ thấy S ∈ £(Y, X) và T ◦ S = IY .
Định lý 1.6.3. Giả sử rằng T ∈ £(X,Y ) là đơn ánh, các tính chất sau là tương
đương:
(i) T có một nghịch đảo trái.
(ii) R(T ) = T (X) là đóng và có một phần bù trong Y .
17


Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Thật dễ kiểm tra rằng R(T ) là đóng và N(S) là một
phần bù của R(T ) [bằng cách viết f = T S f + ( f − T S f )].
(ii) ⇒ (i) Cho P là toán tử chiếu liên tục từ Y lên R(T ). Cho f ∈ Y , vì P f ∈ R(T )
nên tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho T x = P f . Đặt S f = x. Khi đó ta có S◦T = IX ,
hơn nữa S là liên tục theo Hệ quả 1.4.2.

1.7. Tính trực giao
Đây là một số công thức đơn giản biểu diễn trực giao của một tổng hoặc
của một giao.
Mệnh đề 1.1. Cho G và L là hai không gian đóng trong X. Khi đó:
(16)

G∩L

(17)

G⊥ ∩ L ⊥

=

(G⊥ + L⊥ )⊥ .
=

(G + L)⊥ .

Chứng minh. (16) Rõ ràng G ∩ L ⊂ G⊥ + L⊥

⊥

. Thật vậy, nếu x ∈ G ∩ L và

f ∈ G⊥ + L⊥ thì f , x = 0. Ngược lại, ta có G⊥ ⊂ G⊥ + L⊥ và G⊥ + L⊥
G⊥

⊥

= G (Chú ý rằng N1 ⊂ N2 thì N2⊥ ⊂ N1⊥ ). Tương tự, G⊥ + L⊥

Do đó, G⊥ + L⊥

⊥

⊥

⊥

⊂

⊂ L.

⊂ G ∩ L.

Chứng minh (17) lập luận tương tự như chứng minh (16).
Hệ quả 1.7.1. Cho G và L là hai không gian đóng trong X. Khi đó
(18)
(19)

(G ∩ L)⊥
G⊥ ∩ L ⊥

G⊥ + L ⊥ ,

⊃
⊥

=

G + L.

Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.1
Đây là một kết quả tổng quát hơn.
Định lý 1.7.1. Cho G, L là hai không gian đóng trong không gian Banach X.
Các tính chất sau là tương đương:
(a)

G + L là đóng trong X,

(b)

G⊥ + L⊥ là đóng trong X ∗ ,

(c)

G + L = G⊥ ∩ L ⊥

(d)

⊥

,

⊥

G⊥ + L⊥ = (G ∩ L) .
18


Chứng minh. (a) ⇔ (c) được suy ra từ (19), (d) ⇒ (b) là hiển nhiên. Ta chỉ
còn phải chứng minh (a) ⇒ (d) và (b) ⇒ (a).
(a) ⇒ (d). Theo (18) ta chỉ cần chứng minh rằng (G ∩ L)⊥ ⊂ G⊥ + L⊥ . Với
f ∈ (G ∩ L)⊥ , xét phiếm hàm ϕ : G+L → R xác định như sau với mọi x ∈ G+L
ta viết x = a + b với a ∈ G và b ∈ L. Đặt
ϕ (x) = f , a .
Khi đó ϕ là độc lập đối với sự phân tích của x và ϕ tuyến tính. Mặt khác theo
Định lý 1.6.1 thì ta có thể chọn một sự phân tích của x sao cho a ≤ c x và
khi đó
|ϕ (x)| ≤ c x ,

∀x ∈ G + L

Theo định lý Hahn - Banach ta thác triển ϕ thành một phiếm hàm tuyến tính
liên tục ϕ trên X sao cho:
|ϕ (x)| ≤ c x ,

∀x ∈ G + L

Khi đó ta có:

f = ( f − ϕ) + ϕ

f − ϕ ∈ G⊥

với

và

ϕ ∈ L⊥ .

(b) ⇒ (a) Theo Hệ quả 1.6.1 tồn tại một hằng số c sao cho
(20)

dist f , G⊥ ∩ L⊥ ≤ c dist f , G⊥ + dist f , L⊥

,

∀ f ∈ X ∗.

Mặt khác, ta có :
(21)

dist( f , G⊥ ) = sup f , x ,

∀ f ∈ X ∗.

x∈G
||x||≤1

Tương tự ta có :
(22)

dist( f , L⊥ ) = sup f , x ,

∀ f ∈ X∗

x∈L
||x||≤1

và theo (17) ta còn có:
(23)

dist f , G⊥ ∩ L⊥ = dist f , (G + L)⊥ = sup
x∈G+L
||x||≤1

Kết hợp (20),(21),(22) và (23) ta nhận được
19

f,x ,

∀ f ∈ X ∗.


(24)

sup

f,x ≤ c

x∈G+L
||x||≤1





sup f , x + sup f , x
x∈L


 x∈G

Từ (24) và chú ý rằng với ϕ (x) = IBX (x) − f , x

,

∀ f ∈ X ∗.




||x||≤1

||x||≤1





và

ψ (x) = IG (x), ở đó

BX = {x ∈ X : x ≤ 1}
Ta có:
(25)

BG + GL ⊃ 1c BG+L .

Thật vậy, giả sử xét ngược lại, tồn tại xo ∈ G + L với ||xo || ≤

1
c

và xo ∈
/

BG + BL . Khi đó có một siêu phẳng đóng trong X tách ngặt {xo } và BG + BL .

Vì vậy tồn tại fo ∈ X ∗ và α ∈ R thỏa mãn:
f o , x < α < f o , xo ,

∀x ∈ BG + GL .

Do đó ta có
sup fo , x + sup fo , x ≤ α < fo , xo ,
x∈G
||x||≤1

x∈L
||x||≤1

Điều này mâu thuẫn với (24) và do đó (25) được chứng minh.
Cuối cùng, xét không gian E = G × L với chuẩn
||[x, y]|| = max { x , y } .
và không gian F = G + L với chuẩn của X. Ánh xạ T : E → F xác định bởi
T ([x, y]) = x + y là tuyến tính liên tục. Từ (25) ta có
1
T (BE ) ⊃ BF .
c
Sử dụng bước hai, trong chứng minh Định lý 1.5.1 ánh xạ mở ta kết luận rằng
T (BE ) ⊃

1
BF .
2c

Chứng tỏ, T là toàn ánh từ E lên F tức là G + L = G + L.

20


Chương 2

Toán tử tuyến tính không bị
chặn
2.1. Toán tử không bị chặn
.
Định nghĩa 2.1. Cho X và Y là hai không gian Banach. Một toán tử tuyến tính
không bị chặn từ X vào Y là một ánh xạ tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y xác định
trên một không gian tuyến tính con D(A) ⊂ X với giá trị trong Y . Tập D(A)
được gọi là miền xác định của A.
Ta nói A là bị chặn (hoặc liên tục) nếu D(A) = X và nếu tồn tại hằng số c ≥ 0
sao cho:
Ax ≤ c x , ∀x ∈ X.
Nhận xét 2.1.1. Tất nhiên có thể xảy ra rằng một toán tử tuyến tính không bị
chặn là bị chặn. Thuật ngữ này không thật thích hợp nhưng nói chung nó vẫn
được sử dụng và không dẫn tới bất kì sự nhầm lẫn nào.
Một số ví dụ về toán tử tuyến tính không bị chặn.

21