Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Lời cảm ơn

Khóa luận này của em đã được hoàn thành với sự chỉ bảo, hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên
Cường, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời gian
làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô
giáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy cô giáo trong khoa Toán trường
ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Sim

Hoàng Thị Sim

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và

lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả nghiến cứu trong khóa luận này là kết
quả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả nghiên cứu của các
tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Sim

Hoàng Thị Sim

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................... 1
Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị.......................................................... 3
§1. Không gian tôpô ....................................................................................... 3
1.1. Định nghĩa không gian tôpô................................................................. 3
1.2. Tập đóng .............................................Error! Bookmark not defined.
1.3. Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận................................................................ 3
1.4. Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục.......................................... 4
1.5. Tôpô xác định bởi họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) ............................ 4
1.6. Tập hợp compact ................................................................................. 4
§2. Không gian Fréchet .................................................................................. 5
2.1. Sơ chuẩn, nửa chuẩn trên một không gian véctơ.................................. 5

2.2. Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương.............................. 6
2.3. Không gian Fréchet ............................................................................. 9
§3. Không gian Banach, không gian Hilbert................................................... 9
3.1. Không gian Banach ............................................................................. 9
3.2. Không gian Hilbert ............................................................................ 10
Chương II. Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát........................ 11
§1. Tôpô yếu trong không gian Hilbert......................................................... 11
1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục ........................................................... 11
1.2. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert.............................................. 13
§2. Tôpô yếu trong không gian Banach ........................................................ 14
2.1. Không gian liên hợp .......................................................................... 14
2.2. Tôpô yếu ........................................................................................... 15
2.3. Không gian phản xạ........................................................................... 20
§3. Tôpô yếu trong không gian véctơ tôpô ................................................... 24

Hoàng Thị Sim

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

3.1. Tôpô yếu*  ( X * , X ) ....................................................................... 24
3.2. Không gian tách................................................................................. 27
3.3. Áp dụng............................................................................................. 28
KẾT LUẬN................................................................................................. 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 34

Hoàng Thị Sim

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ
XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ điển.
Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ
việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương trình
vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ được
một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả rất mẫu
mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên
quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài ra, nó còn có
những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó
đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích
hàm, em đã chọn đề tài “Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát” làm đề
tài khoá luận tốt nghiệp. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được sự
phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là tôpô yếu và
tôpô yếu* trên một số không gian. Thông qua đó thấy được vai trò quan trọng
của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng vào các lĩnh
vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung.

Hoàng Thị Sim

1

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về tôpô yếu trong các không gian tổng quát để thấy
thấy được sự phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là
tôpô yếu và tôpô yếu* trên một số không gian. Thông qua đó thấy được vai
trò quan trọng của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng
vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác
nói chung.
3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu
- Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian Fréchet,
không gian Banach, không gian Hilbert và không gian véctơ tôpô.
- Các kiến thức liên quan đến tôpô yếu và tôpô yếu*.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân
tích, tổng hợp, so sánh…
5. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến tôpô yếu trong một số không
gian tổng quát.
6. Bố cục khóa luận
Phần mở đầu.
Nội dung khoá luận gồm hai chương:
Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị.

Chương II. Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát.
Kết luận.

Hoàng Thị Sim

2

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị

§1. Không gian tôpô
1.1. Định nghĩa không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.1. Không gian tôpô là một cặp ( X , ) , trong đó X là một tập
hợp và  là một họ những tập con của X thoã mãn các điều kiện sau:
i)   và X  .
ii) Nếu G  ,    thì

 G  .

 

n

iii) Nếu G j  , j  1, n thì

G

j

 .

j 1

1.2. Tập đóng
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử ( X , ) là một không gian tôpô. Tập S  X được
gọi là tập đóng trong X nếu phần bù của nó CS  X \ S là tập mở trong
X.

1.3. Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận
Giả sử ( X , ) là một không gian tôpô.
Định nghĩa 1.3.1. Một họ B   được gọi là cơ sở đối với tôpô  nếu

G  , Bi iI  B sao cho G   Bi .
iI

Định nghĩa 1.3.2. Một tập N được gọi là lân cận của x  X nếu tồn tại tập

U  sao cho x U  N .
Định nghĩa 1.3.3. Một họ  những lân cận của điểm x  X được gọi là cơ
sở lân cận của x nếu với mọi lân cận M của x đều tồn tại N  sao cho
NM.

Hoàng Thị Sim

3

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

1.4. Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục
Định lý 1.4.1. Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian
tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi nó có một trong hai điều kiện dưới đây:
i) Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X ).
ii) Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong
X ).

1.5. Tôpô xác định bởi họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff)
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử X là một tập hợp,
gian tôpô,

 f s : X  Ys sS

Y  
s, s

sS

là một họ các không

là một họ ánh xạ từ tập hợp X vào các không

gian tôpô Ys .
Khi đó tồn tại một tôpô yếu nhất  yếu nhất trên X sao cho mọi ánh xạ
f s , s  S đều liên tục. Họ gồm các tập hợp dạng

n

 f s 1(Vs ), si  S ,Vs  s ,(i  1, n)
i

i

i

i

i 1

là một cơ sở tôpô của tôpô  . Tôpô  được gọi là tôpô đầu xác định bởi họ
ánh xạ  f s sS .
Định nghĩa 1.5.2. Một không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff
nếu x  y  X , Ox , Oy  sao cho x  Ox , y  Oy và Ox  Oy   .
Ví dụ. Không gian metric là không gian Hausdorff.
1.6. Tập hợp compact
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử ( X , ) là một không gian tôpô. Tập K  X được
gọi là compact nếu với mọi phủ mở của K đều có một phủ con hữu hạn.
Chú ý
i) Ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact.
Hoàng Thị Sim

4

Lớp K34C SP Toán

Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

ii) Hai trường hợp đầu mút:

    x, tôpô rời rạc, ở đây chỉ có các dãy không đổi mới hội tụ.
x X

  , X  , tôpô thô (hay tôpô không rời rạc), ở đây mọi dãy đều hội
tụ.
iii) Tổng quát, những tập càng mở thì càng khó hội tụ.
Bây giờ, giả sử i : X  Yi , i  I là các ánh xạ từ không gian tôpô X vào
các không gian Yi . Liệu rằng tôpô nào yếu nhất trên X mà làm cho tất cả các

i đều liên tục?
Hiển nhiên, nó phải chứa i 1 (Oi ) , ở đây Oi là tập mở bất kì trong Yi , từ đó
mở rộng cho hợp tuỳ ý và giao hữu hạn của các tập mở. Bởi vậy, chúng ta
nhận được câu trả lời là:

  



1
i

(Oi ) , ở đó Oi là các tập mở trong Yi .

tuỳ ý hữu hạn

§2. Không gian Fréchet

2.1. Sơ chuẩn, nửa chuẩn trên một không gian véctơ
Giả sử X là một không gian véctơ thực hoặc phức.
Định nghĩa 2.1.1. Một sơ chuẩn trên X là một ánh xạ p : X 

thỏa mãn

các điều kiện:
i)  ( x  y )   ( x )   ( y ), x, y  X .
ii)  ( x)   ( x), x  X ,   0,   .
Định nghĩa 2.1.2. Một nửa chuẩn trên X là một ánh xạ p : X 

thỏa mãn

các điều kiện:
i)  ( x  y )   ( x )   ( y ), x, y  X .

Hoàng Thị Sim

5

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

ii)  ( x)    ( x ), x  X ,   .
iii)  ( x)  0, x  X .
2.2. Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương
Định nghĩa 2.2.1. Ta nói một tôpô  trên không gian véctơ X gọi là tương
hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô

đó, tức là nếu:
i) x  y là một hàm liên tục của hai biến x, y ; cụ thể, với mọi lân cận V
của điểm x  y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao
cho nếu x ' U x , y ' U y thì x '  y ' V .
ii)  x là một hàm liên tục của hai biến  , x ; cụ thể, với mọi lân cận V của

 x đều có một số   0 và một lân cận U của x sao cho nếu
   '   , x ' U thì  ' x ' V .
Định nghĩa 2.2.2. Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp
với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô.
Định nghĩa 2.2.3. Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian lồi địa
phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi.
Trong một không gian lồi địa phương, một cơ sở của các lân cận của 0
được cho bởi các tập có dạng





1 ,..., N ;  x  X : i ( x)   , i  1,..., N .

Một cơ sở của các lân cận của điểm x0 bất kì thuộc X được cho bởi các
tập có dạng





1 ,..., N ;  x  X : i ( x  x0 )   , i  1,..., N .

Tính chất. Một ánh xạ tuyến tính T là liên tục nếu và chỉ nếu C  0 sao cho
T ( x )  C ( 1 ( x)  ...  1 ( x )) .

Hoàng Thị Sim

6

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Định lý 2.2.1. Một không gian lồi địa phương là Hausdorff.
Chứng minh. Lấy x  y . Khi đó,  sao cho  ( x  y )  0 (trường hợp
x  y  0 thì họ các nửa chuẩn có tính chất tách).

Bây giờ, giả sử    ( x  y ) và giả sử


4
O   z  X :  ( z  y )   .
4
Ox  z  X :  ( z  x)  



y

Theo định nghĩa của tôpô lồi địa phương, các tập này là mở. Do đó, nếu
z  Ox  Oy , khi đó

   ( x  y )   ( x  z )   ( z  y )
  ( z  x)   ( z  y )       .
4
4
2
Điều này rõ ràng là vô lí, do đó Ox  Oy   . Từ đó ta có điều phải chứng


minh.
Định nghĩa 2.2.4. Trong tôpô lồi địa phương, xn  x khi và chỉ khi
  ,  ( xn  x)  0 .

Định nghĩa 2.2.5. Cho không gian tuyến tính X . Một tập lồi C trong X
được gọi là cân đối hoặc tròn nếu x  C   x  C ,  ,   1.
Định nghĩa 2.2.6. Cho không gian tuyến tính X . Một tập lồi C trong X
được gọi là hấp thu nếu

 tC  X .
t 0

Chú ý. Nếu  là một họ các nửa chuẩn trên X khi đó các tập có dạng:



1 ,..., N ;  x  X : i ( x)   , i  1,..., N



là các tập lồi, cân đối và hấp thu.

Định lí 2.2.2. Giả sử X là không gian tuyến tính cùng với một tôpô
Hausdorff trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục. Khi đó X
Hoàng Thị Sim

7

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi 0 có một cơ sở lân cận là các tập
lồi, cân đối, hấp thu.
Chứng minh
() Điều này có từ chú ý ở trên.
() Điều mà chúng ta cần làm ở đây là xây dựng họ các nửa chuẩn. Lấy C là

một lân cận lồi của 0 và giả sử C được xác định:
x
t







C  inf t  0 :  C  .

Dễ dàng kiểm tra được C là một nửa chuẩn, hơn nữa

C ( x)  1  C  C ( x)  1 .
Nhưng ý nghĩa của cơ sở lân cận cho bởi nửa chuẩn giống cơ sở lân cận
nguyên thủy của C . Do đó, hai tôpô là trùng nhau, tức là tôpô nguyên thủy là
cảm sinh bởi tôpô xác định bởi các nửa chuẩn. Bởi vậy, không gian X là lồi


địa phương.

Định lý 2.2.3. Giả sử X là không gian véctơ lồi địa phương, khi đó các điều
sau là tương đương:
1) X metric hóa được (tôpô là cảm sinh bởi khoảng cách).
2) 0 có một cơ sở lân cận đếm được bao gồm các tập lồi, cân đối, hấp thu.
3) Tôpô được xác định bởi một họ đếm được các nửa chuẩn.
Chứng minh
(1)  (2) Lấy các hình cầu có bán kính đếm được (tức là số hữu tỉ).
(2)  (3) Làm giống như sự xây dựng họ các nửa chuẩn ở phần chứng minh
định lí 2.2.2 bằng cách sử dùng độ đo.
(3)  (1) Khoảng cách có thể cho bởi:


1 n ( x  y)
.
n
n0 2 1   n ( x  y )

d ( x, y )  

Hoàng Thị Sim

8



Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

2.3. Không gian Fréchet
Định nghĩa 2.3.1. Một không gian Fréchet là một không gian lồi địa phương
metric hóa được và đủ.
Ví dụ 2.3.1. Lớp Schwartz S các hàm giảm nhanh:



S f:

n



Với mỗi f  S , ta xác định: f



: sup x   f ( x)  C ,  ,  
x

n



.



 ,

 sup x   f ( x) .
x

Tập S * (đối ngẫu của S  không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên S ) được gọi là không gian các hàm phân bố nhiệt suy rộng.

S là không gian Fréchet.
Ví dụ 2.3.2
Giả sử D ()  C  () với nửa chuẩn xác định bởi: f



 sup   f ( x) .
x

Giả sử D ' () là D ()*  Đối ngẫu của D ()  không gian các hàm suy
rộng.
T  D ' ()  T là tuyến tính liên tục.

 C , n sao cho T ( f )  C  f



.

 n

n được gọi là bậc của hàm suy rộng.

§3. Không gian Banach, không gian Hilbert
3.1. Không gian Banach
Định nghĩa 3.1.1. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới phần tử của X .

Hoàng Thị Sim

9

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

3.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 3.2.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường, K ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào K , kí
hiệu .,. thoả mãn các tiên đề sau:
i) (x, y  X ) : y, x  x, y .
ii) (x, y, z  X ) : x  y, z  x, z  y, z .
iii) (x, y  X )(  K ) :  x, y   x, y .
iiii) (x  X ) : x, x  0 nếu x   và x, x  0 nếu x   .

Các phần tử x, y , z … gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số  x, y 
được gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y. Các tiên đề i),ii),iii),iiii)
được gọi là hệ tiền đề vô hướng.
Nếu (x, y  X ) : x, y  0 thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó, ta viết
x  y.

Mỗi x  X , ta đặt:
x 

(3.2.1)

x, x

thì công thức trên xác định một chuẩn trên X , và gọi là chuẩn sinh bởi tích
vô hướng.
Định nghĩa 3.2.2. Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn xác định bởi công thức (3.2.1).
Định nghĩa 3.2.3. Ta gọi một tập H   gồm các phần tử x, y, z … nào đó là
không gian Hilbert nếu H thoả mãn các điều kiện:
i) H là không gian tuyến tính trên trường K .
ii) H được trang bị một tích vô hướng .,. .
Hoàng Thị Sim

10

Lớp K34C SP Toán

Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

iii) H là không gian Banach với chuẩn x 

x, x , x  H .

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H .

Chương II. Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát
§1. Tôpô yếu trong không gian Hilbert
1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục
Giả sử H là không gian Hilbert.
Với mỗi phần tử cố định y  H phiếm hàm
f ( x )  x, y , x  H

là tuyến tính liên tục trên H . Đảo lại, thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên một không gian Hilbert cũng đều có dạng đó. Điều này được chỉ rõ trong
định lí sau:
Định lý 1.1.1 (Định lí Riesz). Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất a của H sao
cho
(1.1.1)

f ( x)  x, a , x  H
và

f  a .

(1.1.2)

Chứng minh. Giả sử a là phần tử cố định thuộc không gian H . Nhờ các
tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức
f ( x)  x, a , x  H

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H .
Hoàng Thị Sim

11

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Bây giờ giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kỳ trên H . Ký hiệu

H 0   x  H : f ( x)  0. Ta thấy H 0 là không gian tuyến tính con của không
gian H , vì x, y  H 0 , a, b  K ta có
f (ax  by )  af ( x)  bf ( y )  0  ax  by  H 0 .

Đồng thời H 0 là một tập con đóng trong H . Thật vậy, nếu dãy điểm

 xn   H 0

hội tụ tới điểm x  H , thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm f ta có
f ( x)  lim f ( xn )  0  x  H 0 .
n 

Do đó H 0 là một không gian con của không gian H .

Nếu H 0  H , chọn phần tử a   , ta nhận được biểu diễn (1.1.1):

f ( x)  x, , x  H .
Giả sử H 0  H , nhờ định lý về hình chiếu lên không gian con, tồn tại phần tử

x0  H 0  , do đó x0   và f ( x0 )  0 . Với mỗi phần tử x  H ta đặt
y  xf ( x0 )  x0 f ( x ) , thì
f ( y )  f ( x0 ) f ( x )  f ( x) f ( x0 )  0  y  H 0 .

Từ đó suy ra

0  y, x0  f ( x0 ) x, x0  f ( x) x0 , x0

f ( x0 )
f ( x0 ) 
 f ( x )   x,
x0   x, a , trong đó a 
x0  H .
x0 , x0
 x0 , x0


Do đó phiếm hàm f có dạng (1.1.1).
Giả sử phiếm hàm f có hai cách biểu diễn

f ( x)  x, a  x, a ' , x  H .
 x, a  a '  0  x  H   a  a ', nghĩa là phần tử a trong biểu diễn

(1.1.1) được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm f .

Hoàng Thị Sim

12

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Cuối cùng ta chứng minh hệ thức (1.1.2). Nhờ bất đẳng thức Schwarz ta
có
f ( x)  x, a  x a , x  H  f  a .

Mặt khác,
f (a )  a, a  a a  f  a .

Vì vậy , f  a .


Định lý được chứng minh.
Nhờ định lí Riesz mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian

Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a  H . Hiển nhiên, tương ứng
đó vừa tuyến tính, vừa đẳng cự. Vì vậy, ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm

f  H * với phần tử a  H , nghĩa là H *  H . Nói cách khác ta có thể đồng
nhất H * với H và sẽ phân biệt hội tụ mạnh và hội tụ yếu trên H .
1.2. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian Hilbert. Dãy  xn n được gọi là hội
tụ yếu đến phần tử x  H ,nếu với mọi y  H ta đều có

lim xn , y  x, y .
n

yếu

yêu
Kí hiệu xn 
x . Và tôpô sinh bởi sự hội tụ yếu trên H được gọi là

tôpô yếu trên H .
Ví dụ 2.2.1. Giả sử không gian Hilbert H là khả ly, và e1 ,.., en  là một cơ sở
yếu

yêu
trực chuẩn đếm được của H . Thế thì en 
0.

Chứng minh
Thật vậy, theo đẳng thức Parseval ta có:
2



2

x    x, en  .
i 1

Hoàng Thị Sim

13

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Vì vậy lim x, en  0  x,0 , x  H .
n

Để ý rằng dãy  en  không hội tụ ( theo chuẩn ) đến 0 bởi vì:
en  0  en  1, n .



Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Như vậy, qua ví dụ trên ta thấy được rằng tôpô yếu trong không gian
Hilbert vô hạn chiều thực sự yếu hơn tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn).
yếu

yêu
Định lý 2.2.1. Trong không gian Hilbert H , nếu xn 
x và yn  y thì

xn , yn  x, y .
yếu

yêu
Định lý 2.2.2. Trong không gian Hilbert H , nếu xn 

x và xn  x

thì xn  x .
Chứng minh. Thật vậy:
2

xn  x  xn  x, xn  x
2

 xn  xn , x  x, xn  x

2

2

Khi n   thì: xn  x , xn , x  x .
Do đó lim xn  x  0 .
n



Vậy xn  x .
§2. Tôpô yếu trong không gian Banach
2.1.Không gian liên hợp

Định nghĩa 2.1.1. Cho không gian định chuẩn X trên trường K ( K = hoặc
K = ). Ta gọi không gian I ( X , K ) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không
gian X và kí hiệu X * .

Hoàng Thị Sim

14

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Như vậy, không gian liên hợp X * của không gian định chuẩn X là không
gian Banach.
Không gian liên hợp của không gian X * gọi là không gian liên hợp thứ hai
của không gian định chuẩn X và kí hiệu X ** , các không gian liên hợp thứ ba
X *** không gian liên hợp thứ tư X **** ,…. của không gian định chuẩn X

được định nghĩa tương tự.
2.2. Tôpô yếu
Giả sử X là không gian Banach trên trường K ( K =

hoặc K = ) và

f  X * . Kí hiệu  f : X  K là các phiếm hàm tuyến tính  f ( x)  f ( x) . Khi

  f X

f chạy khắp X * ta có một họ ánh xạ  f

*

, f : X  K . Bây giờ ta bỏ

qua tôpô mạnh trong X (tôpô sinh bởi . ) và định nghĩa một tôpô mới trong
X như sau:

Định nghĩa 2.2.1. Tôpô yếu trên X được định nghĩa là tôpô đầu sinh bởi họ

  f X

ánh xạ  f

*

. Kí hiệu  ( X , X * ) .

Như vậy tôpô  ( X , X * ) là tôpô yếu nhất trên X đảm bảo tất cả các phiếm
hàm f  X * đều liên tục. Nói cách khác, nó là :



f 1 (O ), ở đó O là

tuỳ ý hữu hạn

tập mở.
Chú ý
i) Một tập mở yếu thì mở mạnh.
ii) Trong một không gian vô hạn chiều, tôpô yếu không metric hóa được.
iii) Một cơ sở lân cận của x0 được cho bởi các tập hợp có dạng:

 f1 ,..., f N ;   x  X : fi ( x  x0 )   , i  1,..., N  .
Định lý 2.2.1. Tôpô yếu là Hausdorff.

Hoàng Thị Sim

15

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Chứng minh. Giả sử x  y . Áp dụng dạng hình học của định lí Haln-Banach
cho x  y khi đó f  X * sao cho f ( x)    f ( y ) . Ta định nghĩa:
O1  f 1 ((; )); O2  f 1 (( ; )) .

Rõ ràng O1; O2 là các tập mở yếu lần lượt chứa x và y , và hiển nhiên


chúng rời nhau.
Chú ý. Cho dãy  xn n , chúng ta phân biệt giữa:
1, xn  x mạnh, nghĩa là hội tụ theo chuẩn trên X , tức là xn  x X  0 .
yếu

yêu
2, xn 
x , nghĩa là hội tụ trong tôpô yếu, tức là

f  X * , f ( xn )  f ( x) .

Định lý 2.2.2. Cho X là không gian định chuẩn và  xn n là một dãy trong
X . Khi đó các mệnh đề sau là đúng:
yếu

yêu
1, xn 
x khi và chỉ khi f ( xn )  f ( x), f  X * .
yếu

yêu
2, Nếu xn  x thì xn 
x ( tuy nhiên, đảo lại không đúng).
yếu

yêu
3, Nếu xn 
x thì  xn

X



n

bị chặn và x

X

 liminf xn
n

X

.

yếu

yêu
4, Nếu xn 
x và f n  f trong X * thì f n ( xn )  f ( x ) .

Chứng minh
(1) Đây là định nghĩa của hội tụ yếu.
(2) Nếu xn  x thì f ( xn )  f ( x)  f
Từ đó xn  x

X

X*

xn  x

X

 0.

 0 độc lập với f .
yếu

yêu

Do đó f ( xn )  f ( x), f  X . Bởi vậy xn 
x.
*

(3) f  X * , f ( xn )n bị chặn.
Theo hệ quả của nguyên lí bị chặn đều chúng ta nhận được  xn n bị chặn.
Bởi vậy:

Hoàng Thị Sim

16

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

f ( xn )  f

X*

xn

X

f ( x)  liminf f

X*

xn

n

 f

Mà x

X

X*

(liminf xn
n 

X

X

).

 sup f ( x) . Bởi vậy:
f X * 1

x

X

 sup f ( x)
f X * 1

 sup f
f

1
X*

X*

(liminf xn
n 

X

)  liminf xn
n 

X

.

(4) f n ( xn )  f ( x )  f n ( xn )  f ( xn )  f ( xn )  f ( x )
 fn  f

X*

xn

X

 f ( xn )  f ( x )  0 .

Khi đó f n  f và f ( xn )  f ( x), f , do dãy  xn n hội tụ yếu tới x và khi
đó dãy  xn n bị chặn bởi vì nó hội tụ yếu tới x .



Định lý 2.2.3. Nếu dim X   thì tôpô yếu và tôpô mạnh trùng nhau.
Chứng minh
Như đã biết, một tập mở yếu là môt tập mở mạnh, nhưng một tập mở
mạnh liệu có là mở yếu ?
Giả sử U là tập mở mạnh với x0 U , khi đó có r  0 sao cho
B ( x0 , r )  U .

Giả sử e1,..., en  là một cơ sở của X với ei  1.
Giả sử

 f1 ,..., f n 

là một cơ sở đối ngẫu, nói cách khác f j (ei )   i , j . Cơ sở

đối ngẫu có tính chất là nếu chúng ta có thể mở rộng cho mọi y bất kì:

y   fi ( y )ei . Khi đó tập:
r


N   x  X :| fi ( x  x0 ) | , i  1, n 
n



Hoàng Thị Sim

17

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

n

là mở yếu, bởi vậy: x  N  x  x0

X



 f ( x  x )e
i

0

i

i 1

n

  fi ( x  x0 )  r

i 1



Do đó, N  B ( x0 , r )  U . Như vậy, U là mở yếu.
Ví dụ. Nếu dim X   , khi đó S   x  X : x

X

 1 là không đóng yếu.

Trong trường hợp này, nó có bao đóng yếu là BX   x  X : x

X

 1 .

Chứng minh trường hợp này
Giả sử x0  BX . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi lân cận yếu của x0 đều giao
với S .
Lấy tập U bất kì có dạng:





U  x  X : fi ( x  x0 )   , i  1, n .

Khi đó y0  X sao cho f1 ( y0 )  ...  f n ( y0 )  0 . Nếu không khi đó ánh xạ
x  ( f1 ( x),..., f n ( x)) sẽ là ánh xạ 1-1, nghĩa là dim X  n   .

Do đó t  , f i (( x0  ty0 )  x0 )  tf i ( y0 )  0 .
Vì vậy, x0  ty0 U , t 

.

Đặt g (t )  x0  ty0 , khi đó g (0)  x0  1 , g là liên tục và g   khi
t  .

Do đó g phải nhận tất cả các giá trị nằm giữa x0

X

 1 và  . Do đó t0

sao cho g (t0 )  1 . Bởi vậy x0  ty0  S  U . Điều này chứng tỏ rằng bao đóng
yếu chứa B .
Chúng ta nhận thấy rằng nó chính là B . Vậy B là tập đóng yếu.



Ví dụ. BX   x  X : x  1 không là mở yếu. Nó có phần trong rỗng, do đó
mọi lân cận yếu của x0  BX đều chứa một phần tử của S .

Hoàng Thị Sim

18

Lớp K34C SP Toán

Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Định lý 2.2.4. Giả sử C  X là một tập lồi. Khi đó, C là đóng yếu khi và chỉ
khi C là đóng mạnh.
Chứng minh.
() Khi mở yếu  mở mạnh, lấy phần bù ta được đóng yếu  đóng mạnh.
() Giả sử C là đóng mạnh. Khi đó, chúng ta chỉ ra rằng C là đóng yếu,
nghĩa là chúng ta chỉ ra rằng C C là mở yếu.
Giả sử x0  C C . Theo định lí Haln-Banach (dạng hình học thứ hai),
f  X * ,  

sao cho: f ( x0 )    f ( x), x  C . 

Do vậy, N  f 1 ((; )) là tập mở yếu ( bởi nghịch ảnh của một tập mở
qua ánh xạ liên tục là một tập mở) chứa x0 và nằm trong C C . Do đó, C C là


mở yếu.
Hệ quả 2.2.4. Giả sử  là một hàm số lồi, nửa liên tục dưới (trong tôpô
mạnh). Khi đó  là nửa liên tục dưới trong tôpô yếu. Đặc biệt, nếu
yếu

yêu
xn 
x thì  ( x )  liminf  ( xn ) .

Chứng minh
Vì  nửa liên tục dưới mạnh   ( x)   là một tập lồi và đóng mạnh
 là tập đóng yếu.

  là nửa liên tục dưới yếu.
Chú ý. Cho trước lồi, liên tục mạnh  nửa liên tục dưới yếu.
Ví dụ. x  x là hàm số lồi, liên tục. Do đó, nó là nửa liên tục dưới yếu, do
yếu

yêu
đó nếu xn 
x , khi đó x  liminf xn đã được chứng minh.

Định lý 2.2.5. Giả sử X và Y là hai không gian Banach và T : X  Y tuyến
tính. Khi đó là liên tục mạnh khi và chỉ khi nó liên tục từ  ( X , X * ) vào

 (Y , Y * ).

Hoàng Thị Sim

19

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Chứng minh
() Giả sử T là liên tục mạnh.
Giả sử f  Y * , và lấy tập bất kì trong  (Y , Y * ). có dạng f 1 ((a, b))  Y .
Khi đó T 1 ( f 1 (( a, b)))  ( f 0T ) 1 (( a, b)) .
Nhưng f 0T : X  Y là tuyến tính và liên tục.
Do đó, ( f 0T )1 ( a, b) là mở trong  ( X , X * ) , bởi nghịch ảnh của một tập

mở qua ánh xạ liên tục là một tập mở .
Do đó, T là liên tục yếu.
() Đảo lại, giả sử T là liên tục yếu (T ) là đóng yếu (nghĩa là đóng trong

 ( X  Y ,( X  Y )* ) . Do đó (T ) là đóng mạnh. Do đó, T là liên tục mạnh
theo nguyên lí đồ thị đóng.
2.3. Không gian phản xạ
Định nghĩa 2.3. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ
nếu X  X ** .
Nhận xét. Không gian phản xạ là không gian Banach.
Định lí l.3.1 (Định lí Kakutani). Giả sử X là không gian Banach. Khi đó
hình cầu đơn vị đóng, BX   x  X :| x  1 là compact trong tôpô yếu

 ( X , X * ) khi và chỉ khi X là phản xạ.
Trước khi chứng minh định lí này chúng ta cần chứng minh bổ đề Helley
và bổ đề Goldstein.
Bổ đề Helley. Giả sử X là không gian Banach, f1 ,..., f n  X * và

1 ,..., n 

Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

1,   0, x , x  1 sao cho:

Hoàng Thị Sim

f i , x   i   , i  1, n .

20

Lớp K34C SP Toán


Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

n

n

2, i ,   i i 
i 1

 f

.

i i

i 1

X

*

Chứng minh
(1)  (2) Từ (1) chúng ta nhận thấy rằng i :
n

n



fi , x   i i     i

i

i 1

i 1

n



n
i 1

n

 ii 
i 1

n

 i f i , x    i


i 1

i 1

n

n

 i fi , x    i



i 1

i 1

n



n

 f

Nhưng x

X

x

i i

i 1

X

X*

   i .
i 1

 1 . Bởi vậy, giả sử   0 thì:
n

n


i

i 1

i



 f

.

i i

i 1

X

*

(2)  (1) Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử  ( x )  ( f1 ( x),..., f n ( x) ) .

Khi đó (1 ,..., n )   ( BX ) , từ đó (1 ,..., n )    là một tập compact

và  ( BX ) là đóng, lồi. Áp dụng định lí Haln- Banach và chúng ta có  và

 

 sao cho  .     . ( x), x  BX . Bởi vậy:
n

n

x  BX ,   i i     i fi , x .
i 1

i 1

Thay thế x bởi  x trong biểu thức trên ta nhận được:
n

n

  i f i ( x)   

i 1

Hoàng Thị Sim

21

 
i

i

.

i 1

Lớp K34C SP Toán