Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán hai đường thẳng song song hai đường thẳng vuông góc điểm cố định của 2 đường thẳng bài toán nhận dạng

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em muốn nói là em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới
thầy giáo Bùi Văn Bình, khoa Tốn trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2.
Trong thời gian thực hiện luận văn, mặc dù rất bận rộn trong công việc
nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn
em. Thầy đã cung cấp cho em rất nhiều hiểu biết và kiến thức để hoàn thành
tốt khóa luận. Trong q trình em thực hiện luận văn, thầy ln định hướng,
góp ý và sửa chữa những chỗ sai giúp em không bị lạc lối trong biển kiến
thức.
Cho đến hôm nay, luận văn tốt nghiệp của em đã được hồn thành,
cũng chình là nhờ sự nhắc nhở, đơn đốc, giúp đỡ nhiệt tình của thầy.
Em cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa tốn, cũng như các
thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ em trong 4 năm học qua. Chính
thầy cơ đã xây dựng cho chúng em những kiến thức nền tảng và những kiến
thức chun mơn để em có thể hồn thành luận văn này.
Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ khơng tránh
khỏi những sai sót. Em rất mong được sự chỉ bảo và đóng góp của thầy cơ và
các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa.
Một lần nữa em xin cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn em hồn thành
khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Ngày 8 tháng 5 năm 2012

Sinh viên
Đặng Thị Lý

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong q trình hồn thành khóa
luận tơi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào
khác. Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được
hồn thiện hơn.

Sinh viên
Đặng Thị Lý

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................................. 1
NỘI DUNG.......................................................................................... 3
PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ ..................... 3
PHẦN 2: VEC TƠ VỚI CÁC BÀI TẬP............................................... 14
HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG.................................................... 14
CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN ...................................... 14
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG....................... 14
CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN ..................................... 22
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC..................... 22
CHƯƠNG III: VECTƠ VỚI BÀI TỐN CHỨNG MINH................... 33
ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH..................................... 33
CHƯƠNG IV: VECTƠ VÀ BÀI TOÁN NHẬN DẠNG...................... 40
KẾT LUẬN.......................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 46

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận cấu thành nên Toán học. Đây là một mơn học
thú vị nhưng tương đối khó đối với học sinh.
Trong chương trình mơn tốn ở trung học cơ sở các em đã dược làm quen với

các khái niệm về đại lượng vô hướng. Khi lên bậc trung học phổ thơng các
khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm mới, trong đó
vectơ là một ví dụ. Khi mở rộng đoạn thẳng vơ hướng sang đoạn thẳng có
hướng ta có khái niệm vectơ. Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các em trong q
trình học tập ở trường trung học phổ thơng.
Thơng thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có
một phương pháp mới, một cơng cụ mới để giải toán. Khái niệm vectơ ra đời
cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn. Nhờ có
phương pháp này các bài tốn như chứng minh tính song song, vng góc,
thẳng hàng,..nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn.
Với mong muốn trên, và được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã
mạnh dạn chọn đề tài “ vectơ trong mặt phẳng với các bài toán: hai đường
thẳng song song; hai đường thẳng vng góc; điểm cố định của đường
thẳng; bài tốn nhận dạng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Qua các dạng tốn, các ví dụ tham khảo mẫu…sẽ cho học sinh thấy
được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ vào các bài tập trong hình học
phẳng, đặc biệt là các bài tập hình học chứng minh các yếu tố song song, yếu
tố vng góc, điểm cố định của đường thẳng và bài toán nhận dạng.

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

1

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Với mỗi dạng tốn đều có phần cơ sở lí thuyết phương pháp giải, ví dụ
áp dụng để học sinh có thể tự giải bài tập đề nghị. Như vậy học sinh có thể coi
đây là một phương pháp giải tốn có hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về
hình học.
3. Đối tượng , phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài
tập hình học.
Do khn khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ
vectơ để giải quyết một số bài tập cơ bản của hình học, đối tượng là học sinh
trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu, phân tích tài liệu
Hệ thống, khái quát các vấn đề
Sưu tầm giải quyết các bài toán, tổng kết kinh nghiệm.

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

2

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

NỘI DUNG
PHẦN 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
I. Vectơ

I.1 Định nghĩa
Cho đoạn thẳng AB, nếu ta quy định

B

điể A là điểm đầu (điểm gốc) và
điểm B là điểm cuối (điểm ngọn),

A

thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã


được định hướng hay gọi là vectơ AB, kí hiệu là: AB .
 
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA, BB, …được gọi là

vectơ - không.
I.2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng


Hai vectơ AB và CD gọi là cùng
phương nếu chúng lần lượt

B

A

D

nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc trùng nhau.


Hai vec tơ cùng phương AB và CD

C

được gọi là cùng hướng, nếu chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D. Kí


hiệu là AB  CD .


Hai vec tơ cùng phương AB và CD
B
được gọi là ngược hướng, nếu
chiều từ A đến B ngược

A

với chiều từ C đến D.


Kí hiệu AB  CD .

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

C
D

3

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Chú ý:
+) Vectơ khơng được xem là cùng hướng với mọi vectơ.
+) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ khơng thì hai vectơ đó
cùng hướng với nhau.
+) Ta chỉ có thể nói hai vec tơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã
có hai vec tơ đó cùng phương.
I.3. Độ dài của vectơ


Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ AB , và được kí hiệu AB .

Như vậy AB = BA = AB.

Theo đó, độ dài của vectơ – khơng bằng 0.
I.4 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:


Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau, nếu chúng cùng phương cùng
 

hướng và cùng độ dài. Kí hiệu: AB  CD .
Chú ý:
+) Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên
tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương
và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:
   
a, b, x, y,...

+) Mọi vectơ – không đều bằng nhau và kí hiệu là 0 .

+) Nếu đã cho vectơ a và một O, thì có một điểm A duy nhất sao cho
 
OA  a .
I.5 Góc giữa hai vectơ
 

 Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b đều khác 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ
   
các vectơ OA  a , OB  b . Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

4

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

 
 
của góc giữa hai vectơ a và b . Kí hiệu: ( a, b ).

A

a


a


b


b

B

O

Nhận xét:

 
+) Hiển nhiên ( a, b )  [O0; 1800].
 
 
+) ( a, b) = 00  a và b cùng hướng.
 

 
+) ( a, b) = 1800  a và b ngược hướng.
 
 
+) ( a, b) = 900 khi đó ta nói rằng hai vectơ a và b vng góc với nhau,
 
và kí hiệu là a  b .
 
 Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a và b là vectơ – khơng thì ta có
 
thể xem ( a, b) có giá trị tùy ý trong đoạn [O0; 1800].
II. Các phép toán vectơ
II.1 Phép cộng vectơ
 Định nghĩa
 
Cho hai vectơ a và b .

Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho:
   
AB  a, BC  b .


a


a

B



b

C

b

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

A

5

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

 

Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b .
  
Kí hiệu: AB  a  b

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Chú ý:
  



+) Nếu a  b  0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a , và kí hiệu là

-a.
 


Vectơ - a ln ngược hướng với vectơ a và a  a . Mỗi vectơ có một vectơ

đối duy nhất.
 Các tính chất
 

Với mọi vectơ a, b và c ta có:
   
a  b b  a ;
     
(2) Tính chất kết hợp :
( ( a  b)  c  a  (b  c);
    
(3) Tính chất của vectơ – khơng : a  0  0  a  a .

(1) Tính chất giao hoán :

 Các quy tắc cần nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc :
a) Quy tắc tam giác :

M

Với ba điểm bất kỳ M, N, P, ta có :

  
MN  NP  MP .
N

b) Quy tắc hình bình hành :

P

Nếu OABC là hình bình hành, thì ta có :
  
OA  OB  OC .
B

O

A
GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

C
6

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

c) Quy tắc hình hộp :
Nếu ABCDA1B1C1D1 là hình hộp, thì ta có :

   
AB  AD  AA1  AC1
D

C

A

B

D1

C1

A1

B1

II.2 Hiệu của hai vectơ
 Định nghĩa
 
 

Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a  b , là tổng của vectơ a và vectơ đối của
  


b , tức là : a  b = a + (- b ).

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.

 Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ

Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta ln có :
  
MN  ON  OM
II.3 Phép nhân vectơ với một số
 Định nghĩa :


Tích của vectơ a với một số thực k là một vec tơ, kí hiệu là k a , được xác

định như sau :


1) Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a .

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

7

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2



Nếu k < 0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a .



2) Độ dài vectơ k a bằng k  a

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số thực.
 Các tính chất của phép nhân vectơ với số
 
Với hai vectơ bất kỳ a, b và mọi số thực k, l ta có :


1) k (l a ) = (k.l) a ;



2) (k + l) a = k a + l a ;
 


3) k( a + b ) = k a + k b ;
 


k( a  b ) = k a - k b ;
 
4) 1 a = a ;
 
 
k a = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a = 0 ;
III. Tích vơ hướng của hai vectơ
III.1 Định nghĩa

 
 
Tích vơ hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a . b , được xác định

bởi :
   
 
a  b  a  b cos( a, b) .

Lưu ý :

 
a.b
+) Cơng thức tính góc giữa hai vectơ : cos(a, b)   
a.b

+) Biểu thức tích vơ hướng của hai vectơ cịn được viết dưới dạng sau :
 1
- Dạng độ dài : a.b 
2
 1
hay a.b 
4

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

 2 2 2
ab  a  b ,



 
a
 b
8



2

 2
 a b .



Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

- Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy, cho hai


vectơ a (x1, y1) và b (x2, y2). Khi đó :

a.b  x1x2 + y1y2 ;
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hai



vectơ a (x1, y1, z1) và b (x2, y2, z2).

Khi đó a.b  x1x2 + y1y2 + z1z2 ;
   


- Dạng hình chiếu : a.b  a.b ' , trong đó b ' là hình chiếu của b

trên đường thẳng chứa vectơ a .

III.2 Tính chất của tích vơ hướng
 
Với ba vectơ a, b, c tùy ý và một số thực k, ta có :
 
1) a.b  b.a ;



2) a.b  0  a  b ;
   

3) k .a .b  a. kb  k a.b ;
4)

     
  
  
a. b  c   a.b  a.c ;
  
   

a. b  c   a.b  a.c ;

III.3 Định lý
 

Trong mặt phẳng cho hai vectơ a, b với mọi vectơ c tồn tại duy nhất cặp số

thực m, n sao cho :



c  m.a  n.b

VI. Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1 : Chứng minh rằng :
  
1) I là trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0 .

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

9

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

 


2) I là trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB  2MI , với M là điểm tùy

ý.
Chứng minh
1) Điều kiện cần:
Giả sử I là trung điểm đoạn thẳng AB. Khi đó:
 
IA = IB, AI và IB cùng hướng.
 
Do đó suy ra AI  IB .
     
Vậy IA  IB  IA  IA  II  0 .
Điều kiện đủ:
  


Giả sử IA  IB  0  IA   IB (*).
Từ (*) suy ra IA = IB và I, A, B thẳng hàng, tức I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
  
2)I là trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0
   

 MI  IA  MI  IB  2MI , với M là điểm tùy ý.
 

 MA  MB  2MI , với M là điểm tùy ý.

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

   
1) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC  GA  GB  GC  0 .

2) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm O, ta ln có:
  

OA  OB  OC  3OG .
Chứng minh

A

G
B

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

I

10

C

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

1)Giả sử AI là trung tuyến của tam giác ABC.



Điểm G là trọng tam của tam giác ABC  GA   2GI
  
I là trung điểm của BC 2GI  GB  GC .
Do vậy, G là trọng tâm của ABC

 
   
 GA   (GB  GC )  GA  GB  GC  0 .
   
2)Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: GA  GB  GC  0
      
 GO  OA  GO  OB  GO  OC  0 , với O là điểm bất kỳ.
   
 OA  OB  OC  0 , với O là điểm bất kỳ.

Bài tốn 3: Trong khơng gian chứng minh rằng:
    
1)Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD  GA  GB  GC  GD  0 .
2)Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD thì với mọi điểm O ta ln ln có:
   

OA  OB  OC  OD  4OG .
A
Chứng minh
L

I

N
G

B

M

D

K

J
C
1) Gọi I, J, K, L, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, BD,
AC.
* Điều kiện cần:
Giả sử G là trọng tâm tứ diện ABCD, suy ra G là trung điểm của IJ.
  
 GI  GJ  0 . (1).
Do I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, suy ra:
 

GA  GB  2GI
(2).

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

11

Đặng Thị Lý K34 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp
 

GC  GD  2GJ

Trường ĐHSPHN2

(3).

Từ (1), (2) và (3) ta có:
   
  
GA  GB  GC  GD  2(GI  GJ )  0
*Điều kiện đủ:
Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*), ta sẽ chứng minh G là trọng tâm tứ
diện ABCD.
Thật vậy :
Do I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên với điểm G ta có:
 

 

GA  GB  2GI
và
GC  GD  2GJ
    
  
  

Mà: GA  GB  GC  GD  0  2(GI  GJ )  0  GI  GJ  0
Suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng IJ.
Một cách tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn
thẳng KL và MN. Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
3)Do G là trọng tâm tứ diện ABCD nên:
    
 GA  GB  GC  GD  0 (*)
Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:
        
GO  OA  GO  OB  GO  OC  OG  OD  0
   

 OA  OB  OC  OD  4OG .

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

12

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

PHẦN II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC
TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG I: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG
MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
I.1. Phương pháp


Giả sử vectơ AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.

CD là vectơ chỉ phương của đường thẳng b.
Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt a và b song song với nhau ta đi


chứng minh cho AB  k .CD , k  0, k .


 AB  k .CD , k  0, k 
a//b  
 M  AB ; M  CD
I.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD khơng là hình bình hành, sđường thẳng vẽ qua
đỉnh A song song với BC và cắt BD tại M; đường thẳng qua đỉnh B song song
với AD và cắt AC tại N. chứng minh rằng MN // DC.
Chứng minh
C
B

N
O
M
D

A

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

13

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Trường hợp tứ giác ABCD khơng phải là hình bình hành thì N  C nên N 
CD.
Do đó để chứng minh MN // CD ta sẽ chứng minh :


DC  k . MN ( k  0) .
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.


Đặt AO  p.OC
(p0).


(q0).
BO  q.OD
Ta có:
   1  1 
CD  OD  OC   BO   AO
q
p

(1).

Từ giả thiết ta có: BM // AD nên:
BO ON
BO. AO

 ON 
OD AO
OD
 BO 

 ON 
 AO  q. AO .
OD

Ta lại có: AM // BC (giả thiết) nên:
AO OM
AO

 OM 
 OB
OC OB
OC


 AO 
 OM 
 BO  OM  p  BO
OC

Mặt khác :
  


MN  ON  OM  q  AO  p  BO

1  1 
=  p  q (  BO   AO)
q
p

(2)

Từ (1) và (2) ta có:



MN   p  q  CD  p  q  DC

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

14

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2


1 
Hay DC 
 MN . Vậy MN // DC.
pq

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác, AM cắt BC tại
D. Gọi I, N lần lượt là trung điểm của BM, CM. DI cắt AB tại P, DN cắt AC
tại Q. Chứng minh PQ // BC.
Chứng minh
A
A1
M

P

Q
N

I
B

D

C

Gọi A1 là trung điểm của AM.


Để chứng minh PQ // BC ta sẽ chứng tỏ BC  k PQ (k  0) .

Trong  ABM có A1I là đường trung bình nên
A1I // AC

 A1I // AP.

Trong  ACM có A1N là đường trung bình nên
A1N // AC  A1N // AQ.
Từ A1N // AQ ta suy ra:
DA1 DN
.

DA DQ

(1)

Từ A1I // AP ta suy ra:

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

15

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

DA1 DI


DA DP

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
DA1 DN DI


DA DQ DP

Đặt:

DA1

DA

(  0)

Khi đó:


DN
   DN   .DQ
DQ


DI
   DI   .DP
DP

Trừ theo vế ta có:
 
 
DN  DI   .( DQ  DP ) .


 IN   . PQ
(*)

Mặt khác IN là đường trung bình trong  BMC nên:

 1 
IN   BC
2

(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra


1 
 BC    PQ
2
  
 BC   PQ
2
Vậy BC // PQ.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo

của các tứ giác AMND và BMNC là các đỉnh của hình bình hành.
Chứng minh

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

16

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Gọi R là trung điểm của BN
S là trung điểm của MC
P là trung điểm của AN
Và Q là trung điểm của MD.

C
B
S

R

M

N
P
Q

A

D

Ta có:

 1  1  1 
BS  BN  BC  BD
2
4
4
 1  
1  1 
BS  ( BM  BC )  BA  BC
2
4
2
   1  1  1 
  BR  BS  RS  BA  BC  BD .
4
4
4
Lại có:
 1  
1  1 
BQ  BM  BO  BA  BD
2
4
2

 1  
1  1  1 
BP  BA  BN  BA  BC  BD .
2
2
4
4





GVHD: Thầy Bùi Văn Bình





17

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

   1  1  1  
 BP  BQ  QP  BA  BC  BD  RS .
4

4
4
 
Vậy QP  RS .

Hay tứ giác PQRS là hình bình hành.
I.3. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình bình hành. M và N lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Ta có MN =

1
(AD + BC).
2

Chứng minh rằng AD // BC.
Bài tập 2: Cho tứ giác lồi MNPQ. Gọi A là giao điểm của hai đường chéo
MN và PQ. Chứng minh rằng nếu A và hai trung điểm B, C của hai cạnh đối
diện MN và PQ nằm trên một đường thẳng thì MNPQ là hình thang hoặc là
hình bình hành.
Hướng dẫn
   
+ Đặt AM  a , AN  b
 


+ Biểu diễn MN , PQ theo a và b .
Bài tập 3: Các đường thẳng p và p1 cắt nhau ở O. trên p cho các điểmA, B,
Cvà trên p1 lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho AB1//A1B, BC1//B1C. Chứng
minh AC1 // A1C.
Hướng dẫn

Từ giả thiết bài toán và định lí về các đoạn thẳng tỉ lệ, ta có:




OA1  k .OB1
OB = k. OA ;




OB1  l.OC1
OC  l.OB
 
Khử các vectơ OB, OB1 ta có:

 


OC  l.( k .OA); OA1  k .(lOC1 )  k .l.OC1
  
 

OC  OA1  AC

kl
(
OA

OC

)

kl
.
C
A
Từ đó :
1
1
1

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

18

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Vậy A1C // C1A.
Bài tập 4: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy tương ứng các
điểm C1, A1, B1 sao cho

AC1 BA1 CB1


 k ( k  1) .

C1 B AC
B1 A
1

Trên các cạnh A1B1, B1C1,C1A1 của tam giác A1B1C1 theo thứ tự lấy các điểm
C2, A2, B2 sao cho

AC
BA CB
1 2
 1 2  1 2  k (k  1).
C2 B1 A2C1 B2 A1

Chứng minh rằng :

A2C2//AC, C2B2//CB, B2A2 // BA.

Hướng dẫn
Lấy O bất kì, đặt:
 
 
 
OA  a;
OB  b;
OC  c ;
 
 
 
OA1  a1 ;
OB1  b1 ;

OC1  c1 ;
 
 
 
OA2  a2 ;
OB2  c2 ;
OC2  c2 ;
  
  
Biểu diễn các vectơ a1 , b1 , c1 theo các vectơ a , b, c và k.
  
  
Biểu diễn các vectơ a2 , b2 , c2 theo các vectơ a1 , b1 , c1 và k.
Từ đó:
  

A2C2  c2  a2  m. AC

(m 

k2  k 1
).
(1  k ) 2

Tương tự với các trường hợp còn lại.
Bài tập 5: Các điểm M, N, P, Q nằm tương ứng trên các cạnh AB, BC, CD và
DA của hình bình hành ABCD. Lại có:
AM : AB = BN : BC = CP : CQ = DQ : DA.
Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
Hướng dẫn

Đặt

AM
m.
AB

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

19

Đặng Thị Lý K34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

  


MN  MB  BN  (1  m) AB  m.BC (1)



Tương tự có:
(2)
QP  (1  m) DC  mAD
 
So sánh (1) và (2) ta suy ra MN  QP

Biểu diễn

Kết luận tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Bài tập 6: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I sao cho:
    
IA  IB  IC  ID  0
a) Chứng minh ABCD là hình bình hành.
b) Xét hình bình hành A1B1C1D1. Từ một điểm O dựng các vectơ:
       
OM  AA1 , ON  BB1 , OP  CC1 , OQ  DD1
Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD và một điểm M. Chứng minh rằng các điểm
đối xứng của điểm M đối với trung điểm các cạnh của tứ giác là đỉnh của hình
bình hành.

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

20

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

CHƯƠNG II: VECTƠ VỚI CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH HAI
ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG MẶT PHẲNG

II.1 Phương pháp

Để chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau ta thường dựa vào
tính chất của tích vơ hướng.
 

 
Hai vectơ a , b ( khác 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a  b  0

Gọi a là vectơ chỉ phương của đường thẳng a

Gọi b là vectơ chỉ phương của đường thẳng b
Khi đó:
 
a  b  a b 0

 
a  0
 
 
 
 a  b  cos a, b  0  b  0
 

cos a, b  0

 

 

Ngồi ra ta cịn sử dụng các tính chất của tích vơ hướng.
Chú ý:



Nếu a  a1 , a2  và b  b1 , b2  thì điều kiện
a  b  a1b1 + a2b2 = 0.
II.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và gọi D là hình chiếu
của H trên AC. Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AI  BD.
Chứng minh
Ta có:

 1  
AI  AH  AD
2





GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

21

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

    

BD  BH  HD  HC  HD

 
(do BH  HC )

A

D
I

B

C

H

Do đó:
  1    
AI  BD  AH  HD  HC  HD
2
1        
=
AH  AC  AH  HD  AD  HC  HD  AD
2
 
 
1    
= AH  HD  AD  HC
(do AH  HC  0; HD  AD  0) .
2

  
1  
=  AH  HD  AH  HD  HC 

2



















1      
AH  HD  AH  HC  HC  HD
2
 
1    
=

AH  HD  HC  HD
( do AH  HC  0)
2
1   
= HD AH  HC
2
1  
= HD  AC  0 .
2

=













Vậy AI  BD.

GVHD: Thầy Bùi Văn Bình

22

Đặng Thị Lý K34 CN Tốn