Biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải
tích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày
khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả xin chân
thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Phạm Thị Hồng Nhung


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
khóa luận tốt nghiệp "Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải
phương trình vi phân" được hoàn thành không trùng với bất kỳ khóa
luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Phạm Thị Hồng Nhung

Mục lục

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . .

5

Chương 2. Biến đổi Laplace

7

2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3. Đòi hỏi tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4. Lớp L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5. Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace . . . . . . . . .

15

2.6. Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.7. Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8. Các định lý biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.9. Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace . . . . . . . .

25

Chương 3. Áp dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương
trình vi phân thường

28

3.1. Biến đổi Laplace của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2. Phương trình vi phân với hệ số hằng số . . . . . . . . . . .

31

3.3. Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4. Vấn đề giá trị biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.5. Phương trình vi phân với hệ số đa thức . . . . . . . . . . .

37

Phụ lục

41

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier
là hai biến đổi rất hữu ích, các biến đổi này thường được sử dụng để việc
giải quyết các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép
toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành
các phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển phép toán
nhân các số thành phép cộng logarit của chúng). Nhờ một số tính chất riêng
của nó mà biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình
vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân,. . . .
Những phương trình thuộc lĩnh vực đó thường xuất hiện trong các bài toán
vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các bài
toán cơ học,. . . . Qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển
thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Nghiệm của các phương trình
đó là các hàm ảnh trong không gian P , chúng ta dùng biến đổi Laplace
ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.
Về lịch sử của biến đổi Laplace có thể nói điểm xuất phát từ năm
1744, Leonhard Euler đã sử dụng các biến đổi tích phân
F (s) =

χ(x)esx dx và F (s) =

χ(x)xs dx

để giải một số phương trình vi phân. Về sau J. L. Langrange, khi nghiên
cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức
tích phân
χ (x)eax ax dx.
Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Langrange. Từ
năm 1782, Langrange tiếp tục công trình nghiên cứu của Euler, đã sử dụng
phép tính tích phân để giải các phương trình vi phân. Đến năm 1785, ông
1


đã đưa ra các biến đổi tích phân (biến đổi Laplace) mà sau này đã trở nên
rất phổ biến, từ tích phân dạng
xs φ(x)ds.
Tương tự với biến đổi Mellin, qua biến đổi Laplace các phép toán vi
phân trở thành các phép toán đại số. Sử dụng các phép biến đổi ngược,
người ta tìm ra lời giải của phương trình. Để tiếp cận với lý thuyết này và
hiểu biết phần nào những ứng dụng của nó, được sự định hướng của người
hướng dẫn em chọn đề tài “Biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc
giải phương trình vi phân” để hoàn thành khóa luận Tốt nghiệp Đại
học chuyên ngành Toán giải tích.
Để trình bày được vấn đề theo mục đích đặt ra, chúng tôi bố cục khóa
luận thành 03 chương và một bảng phụ lục về bảng biến đổi Laplace của
các hàm cơ bản
Chương 1. Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản về số phức,
mặt phẳng phức cùng một số vấn đề về hàm biến phức. Mục đích chính
của khóa luận là sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân,

nên trong phần này chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức căn bản
nhất về phương trình vi phân thường.
Chương 2. Chương này dành cho trình bày một số vấn đề cơ bản về
phép biến đổi Laplace gồm: khái niệm và các tính chất của phép biến đổi
Laplace; Vấn đề hội tụ của biến đổi Laplace; Biến đổi Laplace ngược và
các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm cho trước; Đạo
hàm và tích phân của biến đổi Laplace.
Chương 3. Để có thể sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích chính
trong việc giải phương trình vi phân thường, chúng ta cần đến biến đổi
Laplace đối với đạo hàm của một hàm cho trước. Kết quả đó cũng được
chúng tôi trình bày một cách chi tiết trước khi vận dụng nó vào mục đích
chính của chương này cũng là mục đích của bản khóa luận - sử dụng biến
đổi Laplace để giải phương trình vi phân.
2


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về biến đổi Laplace và áp dụng của nó trong việc giải phương
trình vi phân thường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về phương trình vi phân thường và biến đổi Laplace;
Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân
thường của một số bài toán cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của người hướng dẫn để
hoàn thành mục đích đặt ra.

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Số phức

Định nghĩa. Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là
đơn vị ảo mà i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + y1 x2 ) .
Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là
|z| =

x2 + y 2 .

Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z = x − iy. Không
khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯

z − z¯
; Imz =
2
2i
4


và
|z|2 = z.¯
z;

z¯
1
= 2 với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z(argument của số phức z được xác định
một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta
lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .

1.2.

Một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân

1.2.1.

Định nghĩa

Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm cần tìm và các
đạo hàm của nó. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập, thì
phương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường. Nếu hàm cần
tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình được gọi là
phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Trong khóa luận này, chúng tôi chỉ xét phương trình vi phân thường. Như
vậy phương trình vi phân thường có dạng tổng quát
F x, y, y , y , ...y (n) = 0,

(1.1)

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian Rn+2
gồm biến độc lập x và y là hàm của biến độc lập cùng các đạo hàm cấp
một đến cấp n của nó. Cấp của một phương trình vi phân thường được
xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình đó.
Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao nhất
y (n) qua các biến còn lại, thì ta nói phương trình giải ra được đối với y (n)
hoặc còn gọi phương trình dạng chính tắc, tức là phương trình (1.1) có
dạng dưới đây
y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1) .
5

(1.2)


Nghiệm của phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khả vi
n lần trên khoảng (a, b) nào đó thỏa mãn các phương trình đó với mọi x
thuộc khoảng (a, b). Đường cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi là đường cong tích

phân của phương trình đã cho. Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng
thuật ngữ “tích phân phương trình vi phân” vì lý do này.
1.2.2.

Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.2) xác định trên
khoảng (a, b) nào đó thoả mãn điều kiện
(n−1)

y0 = y (x0 ) , y0 = y (x0 ) , ..., y0

= y (n−1) (x0 ) ,

(1.3)

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu.
1.2.3.

Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân

Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu về vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân. Việc chứng minh định lý này, chúng ta có thể
tham khảo trong tài liệu được trích dẫn [1].
Định lý 1.1. (Tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n
dạng chính tắc
y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1)
Nếu vế phải của phương trình trên là một hàm liên tục của n + 1 biến
(n−1)

trong một miền nào đó của Rn+1 chứa điểm x0 , y0 , y 0 , ..., y0

và các

đạo hàm riêng
∂f
∂f ∂f
,
, ..., (n)
∂y ∂y
∂y
liên tục thì tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 để trên khoảng này tồn
tại và duy nhất một hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng đó và thỏa
mãn điều kiện đầu (1.3).

6


Chương 2
Biến đổi Laplace
2.1.

Một số khái niệm

2.1.1.

Định nghĩa

Giả sử f là hàm biến thực hoặc phức của biến t > 0 và s là tham số

thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và ký hiệu bởi
∞

τ

e−st f (t)dt = lim

F (s) = L (f (t)) =

e−st f (t)dt.

τ →∞

0

(2.1)

0

Biến đổi Laplace của hàm f (t) được gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội
tụ trong một miền nào đó. Trường hợp tích phân trên phân kỳ thì ta nói
không tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f .
Ký hiệu L(f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f , và tích phân
trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận. Hàm F (s) được
gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace được gọi là
thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F (s) là thực hay phức.
Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt
phẳng phức. Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân (2.1) hội tụ.
Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai
trò hết sức quan trọng. Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các

phương trình vi phân giải được, miền của tham số s thường không cần xét
đến. Khi biến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy. Ký hiệu L
là biến đổi Laplace, nó tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mới
theo biến s là hàm F (s) = L (f (t)).

7


2.1.2.

Các ví dụ

Ví dụ 2.1. Nếu f (t) ≡ 1 với mọi t ≥ 0, thì
∞

L (f (t)) =

e

−st

.1dt = lim

τ →∞

e−st
−s

0

τ

= lim
0

τ →∞

e−sτ 1
+
.
−s
s

(2.2)

Trường hợp s là số thực dương thì ta nhận được ngay
1
L(1) = , s > 0.
s

(2.3)

Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và dĩ nhiên không có lời giải của biến
đổi Laplace.
Nếu s là biến phức với Re(s) > 0 thì bằng tính toán tương tự ta cũng có
1
L(1) = . Thực vậy, để có thể kiểm tra tính toán trên đây, ta cần đến công
s
thức Euler
eiθ = cos θ + i sin θ, θ thực.

(2.4)

Dĩ nhiên, ta có eiθ = 1. Chúng ta cần chứng tỏ (có thể bỏ qua đi dấu trừ
cũng như những cận lấy tích phân để đơn giản hóa sự tính toán)
est dt =

est
,
s

(2.5)

với số phức tùy ý s = x + iy khác 0. Để thấy điều này, theo công thức
Euler chúng ta có nhận xét rằng
est dt =

e(x+iy)t dt =

ext cos ytdt + i

ext sin ytdt.

Tích phân từng phần đối với hai tích phân trên ta nhận được
est dt =

ext
[(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos yt)] .
x2 + y 2

Ta biểu diễn vế phải của (2.5) như sau
est
e(x+iy)t
ext (cos yt + i sin yt) (x − iy)
=
=
s
x + iy
x2 + y 2
ext
= 2
[(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos yt)] .
x + y2
8


Như vậy đẳng thức (2.5) được chứng minh.
Thêm nữa, chúng ta cũng thu được đẳng thức (2.3) với tham số phức s
nếu lấy Re(s) > 0. Bởi vì
lim e−sτ = lim e−xτ e−iyτ = lim e−xτ = 0,
τ →∞

τ →∞

τ →∞

nên ta nhận được giới hạn trong (2.3).
Sử dụng kết quả trên đây, chúng ta có thể tính được L (cos ωt) và L (sin ωt),
với ω là số thực.
Ví dụ 2.2. Trước hết ta tính

∞

L eiωt =

e(iω−s)t
−st iωt
e e dt = lim
τ →∞ iω − s

0

τ

=
0

1
s − iω

Bởi vì x = Re(s) > 0 nên lim eiωt e−sτ = lim e−xt = 0. Tương tự ta tính
τ →∞
τ →∞
1
được L e−iωt =
. Sử dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổi
s + iω
Laplace L và các tích phân là toán tử tuyến tính, ta suy ra
L eiωt + L e−iωt
eiωt + e−iωt
=L

2
2

= L (cos ωt) .

Do đó
L (cos ωt) =

1
2

1
1
+
s − iω s + iω

=

s
.
s2 + ω 2

(2.6)

Hoàn toàn tương tự
L (sin ωt) =

1
2i

1
1
−
s − iω s + iω

=

ω
(Re(s) > 0) .
s2 + ω 2

(2.7)

Biến đổi Laplace của các hàm được xác định trong một phân đoạn được
sử lý dễ dàng như sau
Ví dụ 2.3. Cho hàm
t

khi 0

1

khi t > 1

t

f (t) =

9

1


Từ định nghĩa
∞

e−st f (t)dt

L (f (t)) =
0

te−st
=
−s

1

1

1
+
s
0

−st

e

e−st
dt + lim

τ →∞ −s

0

τ
1

1 − e−s
=
(Re(s) > 0)
s2

2.2.

Sự hội tụ

Mặc dù toán tử Laplace có thể áp dụng cho một số khá rộng các hàm,
nhưng có nhiều hàm mà tích phân (2.1) không hội tụ. Chẳng hạn, với hàm
2

f (t) = e(t ) ta có
τ

τ
2

2

e−st et dt = lim

lim

et

τ →∞

τ →∞
0

−st

dt = ∞,

0

với mọi cách chọn của biến s vì tích phân không bị chặn khi τ → ∞.
Để có thể nghiên cứu sâu hơn về biến đổi Laplace, chúng ta cần phân biệt
hai dạng hội tụ của tích phân Laplace
2.2.1.

Định nghĩa

Tích phân (2.1) hay biến đổi Laplace được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
tồn tại giới hạn

τ

e−st f (t) dt.

lim

τ →∞
0

Nếu L(f (t)) hội tụ tuyệt đối, thì
τ

τ

e−st f (t)dt

e−st f (t) dt → 0,

lim

τ →∞

τ

τ

khi τ → ∞, với mọi τ > τ . Điều đó suy ra rằng L(f (t)) cũng hội tụ theo
nghĩa thông thường như trong định nghĩa (2.1).
10


Có một dạng khác của sự hội tụ đóng vai trò quan trọng nhất theo khía
cạnh của Toán học.
2.2.2.

Định nghĩa

Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trong một miền Ω nào
đó của mặt phẳng phức nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số τ0 sao cho với mọi
τ ≥ τ0 ta có

∞

e−st f (t)dt < ε, với mọi s ∈ Ω.
τ

2.3.

Đòi hỏi tính liên tục

Như trên ta đã biết có thể tính được biến đổi Laplace của một số hàm
này cũng như không thể tính được đối với một số hàm khác, chúng ta mong
muốn biết được một lớp các hàm có biến đổi Laplace. Có một lớp các hàm
như vậy mà trên đó có một chút hạn chế đối với chúng. Trước hết ta đưa
ra một khái niệm đảm bảo cho sự tồn tại các lớp hàm như vậy
2.3.1.

Định nghĩa

Một hàm f được gọi là gián đoạn nhảy (gián đoạn loại một) tại điểm
t0 nếu tồn tại và hữu hạn cả hai giới hạn
+
lim− f (t) = f t−
0 , lim+ f (t) = f t0 ,

t→t0

t→t0

+
nhưng f t−
0 = f t0 .

2.3.2.

Các ví dụ

1
có điểm gián đoạn tại t = 3, nhưng không
t−3
là điểm gián đoạn nhảy tại đó vì lim f (t) = ∞.

Ví dụ 2.4. Hàm f (t) =

t→3

Ví dụ 2.5. Hàm
f (t) =

 2
 e− t2
0

khi t > 0
khi t < 0

có điểm gián đoạn nhảy tại t = 0 và nó liên tục tại các điểm còn lại.
11


2.3.3.

Định nghĩa

Một hàm f được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) nếu thỏa
mãn các điều kiện dưới đây
(i) Tồn tại giới hạn lim+ = f (0+ );
t→0

(ii) f liên tục trên mọi đoạn (0, b) trừ ra tại một số hữu hạn điểm
τ1 , τ2 , ..., τn trong (0, b) mà chúng là các điểm gián đoạn nhảy.
Từ định lý Weierstrass chúng ta nhận được kết quả hiển nhiên sau đây
2.3.4.

Mệnh đề

Hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) thì bị chặn trên mỗi đoạn
con, nghĩa là tồn tại các hằng số Mi > 0 sao cho
|f (t)|

Mi , với mỗi 1, 2, ..., n − 1,

và với mọi t ∈ [τi , τi+1 ].

2.4.

Lớp L

Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng một lớp lớn các hàm có
biến đổi Laplace. Trước hết ta cần đến khái niệm về bậc mũ của một hàm
2.4.1.

Định nghĩa

Một hàm f có bậc mũ α nếu tồn tại hằng số M > 0 và một số α sao
cho
|f (t)|
2.4.2.

M eαt , với một số t ≥ t0 .

Một số ví dụ

Rõ ràng hàm mũ f (t) = eat có bậc mũ α = a, trong khi f (t) = tn có bậc
mũ α với mọi α > 0 và mọi n ∈ N. Các hàm bị chặn sin t, cos t và tan−1 t
2

có bậc mũ 0 trong khi đó e−t có bậc mũ −1. Tuy nhiên, hàm et không có
bậc mũ.
Lưu ý rằng nếu β > α thì bậc mũ α kéo theo bậc mũ β vì eαt

eβt với mọi

t > 0. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm mà đối với chúng
tồn tại biến đổi Laplace.

12


2.4.3.

Định lý

Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ∞) và có bậc mũ α, thì biến đổi
Laplace tồn tại và hội tụ tuyệt đối với Re(s) > α.
Chứng minh. Trước hết ta có
M1 eαt , với một số t ≥ t0 và một số thực α.

|f (t)|

Hơn nữa, hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, t0 ] và do đó bị chặn trên
đoạn đó. Khi đó tồn tại số dương M2 sao cho
|f (t)|

M2 , với mọi t ∈ [0, t0 ].

Bởi vì hàm eαt có một cực tiểu dương trên đoạn [0, t0 ], nên ta có thể chọn
được một hằng số dương M đủ lớn sao cho
|f (t)|

M.eαt , với mọi t > 0.

Do đó
τ

τ

e−st f (t) dt

e−(x−α)t dt

M

0

0
−(x−α)t τ

Me
−(x − α) 0
M
M e−(x−α)τ
=
−
.
x−α
x−α
=

Cho τ → ∞ và lưu ý rằng Re(s) = x > α ta suy ra
τ

e−st f (t) dt

M
.

x−α

(2.8)

0

Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối với Re(s) > α .
2.4.4.

Các ví dụ

Ví dụ 2.6. Xét hàm f (t) = eαt , với α là số thực. Đó là hàm liên tục trên
[0, ∞) và có bậc mũ α. Khi đó
∞
αt

L e

=

∞

e
0

−st αt

e dt =

e

−(s−α)t

0

13

e−(s−α)t
dt =
−(s − α)

τ

=
0

1
s−α


Với Re(s) > α. Việc tính toán tương tự cũng nhận được kết quả với số
phức α mà Re(s) > Re(α).
Ví dụ 2.7. Áp dụng tích phân từng phần đối với hàm f (t) = t(t ≥ 0) liên
tục và có bậc mũ, ta nhận được
∞

te−st dt.

L(t) =
0

−te−st
=
s

∞
0

∞

1
+
s

e−st dt
0

1
= L(1), Re(s) > 0
s
1
= 2.
s
Lấy tích phân từng phần hai lần như trên, ta nhận được
2
L(t2 ) = 3 , Re(s) > 0
s
Bằng quy nạp, ta có thể chứng tỏ được công thức
n!
L(tn ) = n+1 , Re(s) > 0,

s
với n = 0, 1, 2, ....

(2.9)

Chúng ta ký hiệu lớp L là tập hợp các hàm nhận giá trị thực hoặc phức
xác định trên khoảng (0, ∞) mà biến đổi Laplace tồn tại với giá trị nào
đó của s. Ta cũng đã thấy rằng khi F (s) = L (f (t)) tồn tại với một giá trị
nào đó s0 , thì nó cũng sẽ tồn tại với mọi giá trị s mà Re(s) > Re(s0 ). Theo
định lí 2.4.3 các hàm liên tục từng khúc trên [0, ∞) có bậc mũ thuộc lớp
L. Tuy nhiên, có những hàm thuộc lớp L không thỏa mãn một hoặc cả hai
điều kiện này. Các ví dụ dưới đây cho ta thấy điều đó
2

2

Ví dụ 2.8. Xét hàm f (t) = 2tet cos et . Ta thấy hàm này liên tục trên
[0, ∞) nhưng không có bậc mũ. Tuy nhiên, biến đổi Laplace của nó
∞
2

2tet cos et

L (f (t)) =
0

14

2

dt


tồn tại vì bằng phương pháp tích phân từng phân ta suy ra
∞

L (f (t)) = e−st sin et

∞

2

te−st sin et

+s

2

dt

0
0

= − sin(1) + sL sin

2

et

, với Re(s) > 0.

Biến đổi Laplace cuối cùng là tồn tại bởi định lý 2.4.3. Do đó, chúng ta có
một hàm liên tục không có bậc mũ nhưng vẫn có một biến đổi Laplace.
Một ví dụ khác là hàm
1
f (t) = √
t

(2.10)

Người ta tính được biến đổi Laplace của nó khi xét đến hàm gamma. Trong
khi hàm đó có bậc mũ α = 0 (|f (t)|

1, t > 1) nhưng nó không liên tục

từng khúc trên [0, ∞) vì f (t) → ∞ khi t → 0+ .

2.5.

Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace

2.5.1.

Tính chất tuyến tính

Giả sử f1 ∈ L với Re(s) > α và f2 ∈ L với Re(s) > β. Khi đó c1 f1 +c2 f2 ∈
L với Re(s) > max {α, β} và
L (c1 f1 + c2 f2 ) = c1 L (f1 ) + c2 L (f2 ) ,

(2.11)

với các hằng số tùy ý c1 và c2 .
Chứng minh. Tính chất này của biến đổi Laplace được suy ra từ định nghĩa
và tính chất tuyến tính của tích phân
∞

e−st (c1 f1 + c2 f2 )dt

L (c1 f1 + c2 f2 ) =
0

∞

∞

e−st f1 dt + c2

= c1
0

e−st f2 dt
0

= c1 L (f1 ) + c2 L (f2 )
15


2.5.2.

Các ví dụ

Ví dụ 2.9. Hàm cosin hyperbolic
eωt + e−ωt
cosh(ωt) =
2
mô tả đường cong của hai cáp treo giữa hai giá. Bởi tính chất tuyến tính,
ta có
1
L(eωt ) + L(e−ωt )
2
1
1
1
=
+
2 s−ω s+ω
s
.
= 2
s − ω2

L (cosh(ωt)) =

Tương tự, ta cũng tính được
s
.
s2 + ω 2
Ví dụ 2.10. Cho f (t) = a0 + a1 t + ... + an tn là một đa thức bậc n. Khi
L (cosh(ωt)) =

đó, từ (2.9) và (2.11), ta nhận được
∞

∞

L (f (t)) =

ak L t

k

=

k=1

2.6.

ak
k=1

k!
sk+1

.

Hội tụ đều

Chúng ta cũng đã thấy trong định lý 2.4.3, các hàm f liên tục từng
khúc trên [0, ∞) và có bậc mũ, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối, nghĩa
∞

là tích phân

|e−st f (t)| dt hội tụ. Hơn nữa, với những hàm như vậy tích

0

phân Laplace cũng hội tụ đều. Để thấy điều này, ta giả sử rằng
|f (t)|

M eαt , t > 0.

Khi đó
∞

∞

e−st f (t)dt
t0

∞

e−st |f (t)| dt
t0

e−(x−α)t
M
−(x − α)
16

t0
−(x−α)t0

∞

=M
t0

e−(x−α)t dt

M
e

x−α

.

(2.12)


Với Re(s) > α. Lấy x > x0 > α, ta nhận được một chặn trên của biểu diễn
cuối cùng
e−(x−α)t0
M
x−α

M
e−(x0 −α)t0 .
x0 − α

Chọn t0 đủ lớn ta có thể là cho số hạng bên vế phải của (2.12) nhỏ tùy ý,
nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại số T > 0 sao cho
∞

e−st f (t)dt < ε, khi t0 ≥ T,

(2.13)

t0

với mọi giá trị của s mà Re(s)

x0 > α. Đây là điều kiện đòi hỏi về tính

hội tụ đều của tích phân Laplace trong miền Re(s)

x0 > α.

Ý nghĩa quan trọng của tính hội tụ đều của biến đổi Laplace là không cần
nhấn mạnh nhiều, vì nó là một công cụ hiệu lực trong nhiều phép chứng
minh của các kết quả.
2.6.1.

Định lý

Nếu f là liên tục từng khúc trên [0, ∞) và có bậc mũ α thì
F (s) = L (f (t)) → 0,
khi Re(s) → ∞.
Chứng minh. Thực vậy, bởi (2.8)
∞

e−st f (t)dt

M
, Re(s) = x > α
x−α

0

và cho x → ∞ ta nhận được kết quả.
2.6.2.

Chú ý

Như đã chỉ ra F (s) → 0 khi Re(s) → ∞. Khi biến đổi Laplace tồn tại,
tức là với tất cả các hàm f ∈ L. Như một hệ quả, bất kỳ hàm F (s) không
s − 1 es
có tính chất này, chẳng hạn các hàm
, hoặc s2 , không thể là biến
s+1 s
đổi Laplace của bất cứ hàm f nào.

17


2.7.

Biến đổi Laplace ngược

2.7.1.

Một số khái niệm

Để có thể áp dụng biến đổi Laplace tới các bài toán Vật lý cũng như
việc giải các phương trình vi phân, chúng ta cần đến phép biến đổi Laplace
ngược. Nếu L (f (t)) = F (s) thì biến đổi Laplace ngược được xác định bởi
L−1 (F (s)) = f (t), t

0.

Nó ánh xạ biến đổi Laplace F (s) của một hàm trở lại thành hàm ban đầu,
hàm ban đầu f (t) được gọi là hàm gốc. Chẳng hạn
L−1

ω
s2 + ω 2

= sin ωt, t

0.

Một vấn đề tự nhiên xuất hiện là: có thể có hàm f (t) nào khác sin ωt mà
ω
= f (t) hay không?
vẫn có L−1 2
s + ω2
Ví dụ 2.11. Cho hàm
sin ωt

khi t > 0

1

khi t = 0

g(t) =
Thế thì
ω
.
s2 + ω 2
Bởi vì sự thay đổi một hàm tại một điểm (thậm chí tại hữu hạn điểm)
L (g(t)) =

không làm thay đổi giá trị của tích phân (Riemann) Laplace. Ví dụ này
minh họa rằng L−1 (F (s)) có thể có nhiều hơn một hàm, thậm chí nhiều
vô hạn, ít nhất là khi ta xét các hàm không liên tục.
Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào
đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó. Đồng thời, ta cũng chỉ ra
rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất.

18


2.7.2.

Định lý

Các hàm xác định liên tục trên [0, ∞) có biến đổi Laplace ngược hoàn
toàn xác định.
Kết quả này được gọi là định lý Lerch. Nó có nghĩa là chúng ta hạn chế

việc đề cập tới các hàm liên tục trên [0, ∞) thì biến đổi ngược
L−1 (F (s)) = f (t),
là xác định duy nhất và ta có thể nói về hàm ngược, L−1 (F (s)). Đây chính
là những gì chúng ta sẽ làm trong phần tiếp theo. Bởi vì nhiều hàm chúng
ta sẽ đề cập tới, chúng là nghiệm của các phương trình vi phân và dĩ nhiên
chúng liên tục. Do đó giả thiết trên là đủ cho những gì chúng ta cần đến.
Khi đó, chúng ta có thể viết
L−1

ω
s2 + ω 2

= sin ωt, t

0.

Biến đổi Laplace ngược cũng có tính chất tuyến tính, tức là
L−1 (aF (s) + bG(s)) = af (t) + bg(t),
với L−1 f (t)) = F (s), L−1 (g(t)) = G(s). Điều này được suy ra từ tính chất
tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền chung của F và
G.
2.7.3.

Một số phương pháp tìm hàm gốc

(i) Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của
biến đổi ngược. Từ tính duy nhất của biến đổi ngược, ta suy ra rằng
giữa biến đổi thuận và biến đổi ngược có sự tương ứng 1-1. Như thế ta có
thể sử dụng các kết quả đã biết của biến đổi thuận để tìm lại hàm gốc.
Ví dụ 2.12.

L−1

1
1
+
2(s − 1) 2(s + 1)

1
1
= et + e−t = cosh t; t
2
2

19

0.


Ví dụ 2.13. Một hàm quan trọng xuất hiện trong hệ thống mạch điện là
hàm bước nhảy đơn vị
ua (t) =

1

khi t

a

0

khi t < a

với mọi a ≥ 0, khi a = 0 ta viết ua (t) = u(t). Ta tính toán biến đổi Laplace
của nó như sau
∞

e−st ua (t)dt

L(ua (t)) =
0
∞

=

e

−st

e−st
dt =
−s

a

Như vậy
L−1

e−as
s

∞

=
a

e−as
; (R e(s) > 0).
s

= ua (t).

Ví dụ 2.14. Với 0 ≤ a < b cho

uab (t) =


0




1
1
(ua (t) − ub (t)) =

b−a
b−a


0

Khi đó
L (uab (t)) =

khi t < a
khi a

t
khi t

b.

e−as − e−bs
.
s(b − a)

(ii) Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh
Giả sử hàm ảnh của biến đổi Laplace có khai triển chuỗi lũy thừa
F (s) = a0 +

a1 a2
an
+ 2 + ... + n + ...
s
s
s

Khi đó hàm gốc của nó được xác định bởi
f (t) = L

−1

a1 t a2 t 2
an t n
(F (s)) = a0 +
+
+ ... +
+ ...
1!
2!
n!

20


1
Ví dụ 2.15. Tìm hàm gốc của hàm F (s) = s−1 e s . Sử dụng khai triển
−

Taylor của hàm ex ta được
1

1
1
1
n 1
−
...
+

(−1)
+ ...
1− +
s
s 2!s2
n!sn
1
1
1
1
1
n
= −
+
−
+
...
+
(−1)
+ ...
s 1!s2 2!s3 3!s4
n!sn+1

s−1 e− s =

Khi đó hàm gốc của nó là
1 −1
e s
s
n

t2
t3
n t
−
+
...
+
(−1)
+ ...
=1−t+
(2!)2 (3!)2
(n!)2
√ 2
√ 4
√ 2n
2 t
2 t
2
t
n
=1−
+
−
...
+
(−1)
+ ...
22
22 42
22 42

√
= J0 2 t

f (t) = L−1

Hàm J0 ( ) là hàm Bessel bậc 0.
(iii) Biến đổi Laplace ngược của một phân thức hữu tỷ. Nhiều
ứng dụng của phép biến đổi Laplace cần đến việc tìm biến đổi ngược F (s)
của các phân thức hữu tỷ có dạng
F (s) =

P (s)
,
Q(s)

ở đó bậc của Q(s) lớn hơn bậc của P (s) và hệ số của lũy thừa lớn nhất
của Q(s) bằng 1. Ta viết Q(s) = (s − a)m ...(s2 + ps + q)n ... là tích của các
thừa số có dạng (s − a)m và (s2 + ps + q)n ; với p2 − 4p < 0. Khi đó, ta có
P (s)
=
Q(s)

Am
A1
A2
+
+
...
+ ...
s − a (s − a)2

(s − a)m
B2 s + C2
Bn s + Cn
B1 s + C1
... +
+
+
...
+
s2 + ps + q (s2 + ps + q)2
(s2 + ps + q)n

Các hằng số Ak , Bk , Ck tìm được theo phương pháp hệ số bất định. Do
biến đổi Laplace có tính chất tuyến tính nên để đơn giản ta có thể coi các
21