Chuỗi fourier

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Mục Lục
Lời mở đầu

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1. Chuỗi số

4

1.2. Chuỗi hàm

6

1.3. Không gian các hàm khả tổng

9

1.4. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn

10

1.5. Hàm số liên tục tuyệt đối

11

Chương 2. CHUỖI FOURIER .

12

2.1. Hệ hàm lượng giác trực giao

12

2.2. Chuỗi lượng giác

12

2.3. Chuỗi Fourier

14

2.4. Sự hội tụ của chuỗi Fourier

18

2.5. Điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier

27

Chương 3. KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER

30

3.1. Thác triển một hàm tuần hoàn trên đoạn

30

3.2. Thác triển một hàm không tuần hoàn trên đoạn [- ; ]

36

3.3. Thác triển chẵn và thác triển lẻ của một hàm tuần hoàn trên đoạn [- ; ]

37

3.4. Thác triển một hàm tuần hoàn trên đoạn [  l; l ] bất kì

43

3.5. Thác triển một hàm xác định trên đoạn [a;b]

46

KẾT LUẬN

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO

56

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng. Các kết quả được
nghiên cứu trong giải tích có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của Toán
học và trong nhiều ngành khoa học khác như Vật lí, Thiên văn, Địa lí …
Trong giải tích, các kết quả về chuỗi Fourier có nhiều ý nghĩa về mặt lí
thuyết đồng thời có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt là trong việc giải
quyết các bài toán về Vật lí. Chính vì vậy em đã chọn đề tài “chuỗi Fourier” để
làm khóa luận tốt nghiệp ngành SP Toán của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Do thời gian cũng như tài liệu nghiên cứu còn ít nên em chỉ trình bày về
chuỗi Fourier, một số điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ (hội tụ đều hoặc hội tụ
điểm). Ngoài ra khóa luận còn đề cập tới cách khai triển một số hàm liên tục
thành chuỗi Fourier.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đạt được mục đích đã đề ra.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi Fourier.
Phạm vi nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp gồm

ba chương:

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Chuỗi Fourier và sự hội tụ của chuỗi Fourier.
Chương 3: Thác triển thành chuỗi Fourier.
Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự tận tình giúp đỡ của
các thầy cô trong tổ giải tích khoa Toán của trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2,
đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới
các thầy cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và
các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1. Kiến Thức Chuẩn Bị
1.1. Chuỗi số
1.1.1. Định nghĩa
Cho dãy số a1, a2,…,an,…
Lập dãy số mới

A 1 = a1
A2 = a1+a2
...
n

An = a1+ a2+…+ an=  ai
i 1



n

 ak  limAn  lim  ak và gọi

Kí hiệu hình thức

n

k 1

n

k 1



a
k 1

k

là một chuỗi số,

ak được gọi là số hạng thứ k của chuỗi số.
1.1.2. Chuỗi hội tụ
Xét chuỗi số:



a
k 1

Đặt An =

k

.

(1.1)

n

a

k 1

k

.

Khi đó An được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1). Dãy { An} được gọi
là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1).
Nếu dãy { An} hội tụ và lim An  A thì ta nói chuỗi số
n 

tổng bằng A và viết là:



a
k 1

k

hội tụ và có



a
k 1

k

=A.

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nếu dãy { An} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi



a
k 1

k

phân kỳ.

Định lí 1.1 (định lí này chỉ là điều kiện cần)
Nếu chuỗi



a
k 1

k

hội tụ thì lim an  0 .
n 

1.1.3. Phần dư của chuỗi hội tụ


a

Xét chuỗi số hội tụ:

k 1

Đặt rn 





 a  a

k  n 1

(1.2)

k

k

k 1

nk

.

Khi đó rn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi hội tụ


n

k 1

k 1



a
k 1

k

.

Giả sử A=  ak và An =  ak . Thì ta có rn=A- An  lim rn  0
n

1.1.4. Điều kiện để chuỗi hội tụ
Xét chuỗi số:



a
k 1

(1.3)

k

Có dãy tổng riêng là: An=

n

a
k 1

k

.

Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (I.3) hội tụ thì điều kiện cần và đủ là:

  0 cho trước n0  n0 ( ) , n0  N * sao cho (n  n0 ) (p  1,2,...)
thì An p  An   . Điều này có nghĩa là an1  an2  ...  an p  
Định lý 1.2


Điều kiện cần và đủ để chuỗi

a
k 1

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

k

hội tụ là:

5


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

  0 cho trước n0  n0 ( ) , n0  N * sao cho (n  n0 ) (p  1, 2,...) ta
đều có an1  an2  ....  an p  
Từ định lý trên ta suy ra chuỗi



a
u 1

n

phân kỳ khi và chỉ khi tồn tại một số

 0  0 để với mọi n  N * tồn tại số p0  N * sao cho An p  An   0 .
0

1.2. Chuỗi hàm
1.2.1. Dãy hàm số
Cho U là một tập con của tập số thực R. A là tập tất cả các hàm số xác định
trên U.
Ánh xạ F : N  A

n  un ( x)  A
u1 ( x), u2 ( x),..., un ( x),... (n 1,2,...) được gọi là dãy hàm số xác định trên tập U.
Ký kiệu là: { un ( x) }, n  1,2,...
1.2.2. Chuỗi hàm số
Cho dãy hàm số un ( x) cùng xác định trên tập U  R . Chuỗi hàm số là tổng
hình thức:

u1 ( x)  u2 ( x)  .... un ( x)  ... 




 u ( x)
n 1

n

(1.4)

Nếu tại x0 U chuỗi số

u (x )

hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ của

chuỗi (1.4). Nếu tại x0 chuỗi

u (x )

phân kì thì ta nói chuỗi hàm (1.4) phân

n 1


n 1

n

n

0

0

kì tại x0 .
Tập tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi
hàm đó. Giả sử A là miền hội tụ của chuỗi hàm (1.4). Khi đó x  A chuỗi

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2





 u ( x) có tổng là S ( x) . Như vậy S ( x)   u ( x)
n 1

n

n 1

n

( x  A) và S ( x ) được gọi

là tổng của chuỗi hàm.
1.2.3. Sự hội tụ đều
1.2.3.1. Sự hội tụ đều của dãy hàm, chuỗi hàm
1.2.3.1.1. Sự hội tụ đều của dãy hàm
Giả sử un ( x) là một dãy hàm xác định trên U  R .
Dãy hàm hàm số un ( x) , n=1,2,… được gọi là hội tụ đều tới hàm u  x 
trên tập U nếu   0 đều n sao cho:

(n  n ) (x U ) thì U n ( x)  U ( x)  
1.2.3.1.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm
Giả sử



 u ( x)
k 1

k

là một chuỗi hàm xác định trên U. Ta nói chuỗi hàm



 u ( x) hội tụ đều tới tổng S ( x) trên tập U nếu dãy hàm
k 1

k

Sn ( x) hội tụ đều đến

tổng S ( x ) trên tập U hay:   0 cho trước đều n >0 sao cho (n  n )
(x U ) thì Sn ( x)  S ( x)   .

1.2.3.2. Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm
Định lí 1.3 (dấu hiệu cần và đủ Cauchy)
Chuỗi hàm



 u ( x) hội tụ đều trên tập U khi và chỉ khi với
k 1

k

mọi   0

cho trước đều n >0 sao cho n  n và với mọi số m nguyên dương ta đều có
n m

 u ( x)  

k  n 1

k

(x U ) .

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lí 1.4 (dấu hiệu Weierstrass)
Cho chuỗi hàm



 u ( x) gồm các hàm u ( x) xác định trên tập U. Giả thiết

n

n 1

n

rằng tồn tại một dãy số dương

Cn  thỏa mãn các điều kiện sau:

a, un ( x)  Cn ( x U ) ( n  N * )


C

b, Chuỗi số dương

n

n 1


hội tụ

 u ( x) hội tụ đều trên U.

Khi đó chuỗi hàm

n

n 1

1.2.3.3. Tính Chất của Tổng chuỗi hàm
Định lí 1.5 (tính liên tục)
Cho chuỗi hàm



 u ( x) , giả thiết rằng:
n

n 1

a, un ( x) là các hàm liên tục trên tập U với mọi n  1,2,...
b, Chuỗi hàm



 u ( x)
n 1

hội tụ đều trên U đến tổng S ( x )

n

Khi đó S ( x ) là một hàm liên tục trên đoạn [a;b].
Định lí 1.6 (định lí Dini)
Giả thiết rằng:
a, Chuỗi hàm



 u ( x)
n 1

hội tụ trên đoạn [a;b] đến tổng S ( x )

n

b, un ( x) (n=1,2,…) là các hàm liên tục trên đoạn [a;b] và un ( x)  0
(hoặc un ( x)  0 ) với mọi x [a; b] n  1,2,...
c, S ( x ) là hàm liên tục trên đoạn [a;b]
Khi đó chuỗi hàm



 u ( x) hội tụ đều trên đoạn [a;b].
n 1

n

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.3. Không gian các hàm khả tổng
1.3.1. Không gian L1[   ; ]
Tập L1[   ; ] gồm tất cả các hàm đo được trên đoạn [   ; ] , tức là:




f ( x) d   



Trong tập L1[   ; ] ta đưa vào một chuẩn xác định bởi công thức:

f 





f ( x) d 



Khi đó tập L1[   ; ] cùng với chuẩn xác định như trên lập thành một
không gian định chuẩn.
Trong không gian định chuẩn L1[   ; ] ta đưa vào một khoảng cách xác
định bởi công thức: d ( f , g )  f  g
Khi đó L1[   ; ] cùng với khoảng cách xác định ở trên lập thành một
không gian metric. Sự hội tụ của một dãy các hàm khả tổng theo nghĩa của
khoảng cách này được gọi là sự hội tụ trung bình.

Định lí 1.7
Không gian C[ ; ] trù mật khắp nơi trong không gian L1[   ; ]
1.3.2. Không gian L2[   ; ]
Tập L2[   ; ] gồm tất cả các hàm có bình phương khả tổng trên đoạn

[   ; ] , tức là:





f ( x) d    .
2



Trong L2[   ; ] ta đưa vào một chuẩn xác định bởi công thức:

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


f   f ( x) d 
2



Khi đó L2[   ; ] cùng với chuẩn xác định như trên lập thành một không
gian định chuẩn.
Khoảng cách giữa hai phần tử f , g trong không gian L2[   ; ] được định
nghĩa bởi công thức:




2
d ( f , g )  f  g    f ( x)  g ( x) d  
 


1
2

Khi đó L2[   ; ] cùng với khoảng cách xác định như trên lập thành một
không gian metric. Sự hội tụ của một dãy các hàm khả tổng theo nghĩa khoảng
cách này được gọi là sự hội tụ trung bình bình phương.
Trong không gian L2[   ; ] ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần
tử f , g xác định bởi công thức:  f , g  



 f ( x).g ( x)d 



Khi đó L2[   ; ] cùng với tích vô hướng trên lập thành một không gian
Hilbert.
1.4. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn
1.4.1. Vectơ trực giao, hệ trực giao
Trong không gian Hilbert H, hai vectơ x, y được gọi là trực giao với nhau
nếu  x, y   0 . Kí hiệu là: x  y
Hệ các vectơ  xn  được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ xn đôi một
trực giao với nhau.

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.4.2. Hệ trực chuẩn
Một hệ

en 

các phần tử trong không gian Hilbert H được gọi là một hệ

trực chuẩn nếu (ei , e j )   ij , tức là:

1
Sij  

0
Một hệ

en 

khi i  j
khi i  j

các phần tử trong không gian Hilbert H được gọi là một hệ

trực chuẩn đầy đủ nếu mọi vectơ trực giao với hệ en  đều là vectơ 0, tức là nếu

x  en thì x  0 (với mọi n=1,2,…).
1.5. Hàm số liên tục tuyệt đối
1.5.1. Định nghĩa
Một hàm f ( x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là hàm liên tục tuyệt đối
trên đoạn [a;b] nếu   0,   0 sao cho với mọi họ hữu hạn những khoảng
đôi một rời nhau (ak ; bk ) (k=1,2,…,n.) mà có tổng độ dài nhỏ hơn  . Tức là
n

 (bk  ak )   thì ta có bất đẳng thức:
k 1

n

 f (b )  f (a )   .
k 1

k

k

1.5.2. Định lí (Định lí Lebesgue)
Định lí 1.8
Đạo hàm của một hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [a;b] thì khả tổng trên đoạn
x

đó và với mọi x [a; b] ta có:

 f (t )dt  F ( x)  F (a)
a

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 2.

Chuỗi Fourier

và sự hội tụ của chuỗi Fourier
2.1. Hệ hàm lượng giác trực giao
Ta đã biết rằng một dãy các hàm khả tích {n }n=1 trên đoạn [a;b] được gọi
là một hệ trực giao trên đoạn [a;b] nếu thỏa mãn điều kiện:
b

  ( x)
n

m

( x)dx =0 n, m  N , n  m

a

Xét hệ hàm lượng giác trên đoạn [- ; ] :
1, cosx, sinx, cos2 x, sin2 x,...,cos nx,sin nx. ..

(2.1)

Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng:


0 khi k  n
cos
kx
cos
nxdx



 khi k  n



0 khi k  n
khi k  n

 sinkxsinnxdx  





 sin kx cos nxdx  0

(2.2)

n, m  N



Như vậy hệ hàm lượng giác (2.1) là hệ hàm trực giao trên đoạn [   ; ] .
Hơn nữa nó là một hệ hàm lượng giác đầy đủ.
2.2. Chuỗi lượng giác
Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng:

a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n1

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

(2.3)

12


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trong đó a0 , an , bn (n  1,2...) là những số thực. Ta thấy số hạng tổng quát
của chuỗi này là: un ( x)  an cos nx  bn sin nx . Đây là một hàm số tuần hoàn với
chu kì

2
, liên tục và khả vi mọi cấp. Nếu chuỗi (2.3) hội tụ và có tổng là S ( x )
n

thì S ( x ) là một hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì 2 . Vì vậy ta chỉ xét chuỗi
hàm lượng giác trên đoạn có độ dài bằng 2 . Chẳng hạn trên đoạn [- ; ] .
Giả sử chuỗi hàm lượng giác (2.3) hội tụ đều trên đoạn [- ; ] và:

a0 
f ( x) 
   an cos nx  bn sin nx  x [- ; ]
2 n1

(2.4)

Bây giờ ta đi tìm các hệ số a0 , an , bn (n  1,2...)
Trước tiên ta lấy tích phân từ -  tới  của chuỗi hàm ở vế phải của biểu
thức (2.4). Ta tính được:











a0
f ( x)dx   dx    (ancosnx +bn sin nx)dx
2
n 1 








 f ( x)dx  



 a0 



1



a0
dx   a0
2



 f ( x)dx



Để tính ak (k  1,2...) ta nhân hai vế của (2.4) với co s kx , sau đó lấy tích
phân hai vế của đẳng thức nhận được trên đoạn [- ; ] và do tính trực giao của
hệ hàm lượng giác ta có:




 f ( x)cos kxdx  a  cos
k



Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

2

kxdx   ak



13


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 ak 

1





 f ( x)coskxdx

(k=1,2,…)



Tương tự để tính bk (k  1,2,....) ta nhân hai vế của (2.4) với sin kx , rồi sau
đó lấy tích phân hai vế của đẳng thức nhận được trên đoạn [- ; ] , và do tính
trực giao của hệ hàm lượng giác ta có:




 f ( x)sin kxdx  b  sin

2

k



kxdx   bk



 bk 

1





 f ( x)sin kxdx

(k=1,2...)



2.3. Chuỗi Fourier
2.3.1. Chuỗi Fourier

Trong không gian L2[- ; ] , cho hàm số f ( x) . Khi đó các hệ số

a0 
an 
bn 



1


1


1



 f ( x)dx





 f ( x)cosnxdx

n  1,2,...

(2.5)





 f ( x)sin nxdx

n  1,2,...



được gọi là hệ số Fourier của hàm f ( x) .
Chuỗi hàm lượng giác:

a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n1

(2.6)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f ( x) .

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nếu xét hàm số

1





 f ( x)cosnxdx ,



1



f  L1[- ; ]



 f ( x)sin nxdx

thì các tích phân:

1





 f ( x)dx ,



( n  1,2,... ) vẫn có nghĩa đối với các hàm



trong không gian L1[- ; ] . Vậy với mỗi hàm f  L1[- ; ] ta có thể ứng với các
hệ số Fourier và chuỗi Fourier của nó xác định như các công thức (2.5) và (2.6).
2.3.2. Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet)
Cho hàm f  L2[- ; ] có khai triển thành chuỗi Fourier là:

a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n1
Trong đó: a0 

an 
bn 



1


1


1



x [- ; ]

 f ( x)dx







f ( x)cosnxdx

n  1,2,...

 f ( x)sin nxdx

n  1,2,...






Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier là:

a0 n
Sn ( x)     ak cos kx  bk sin kx 

2 k 1

(2.7)

Thay các hệ số a0 , ak , bk (n  1,2...) theo công thức (2.5) vào công thức
(2.7) ta được:

1
Sn ( x) 
2



1

n



 f (t )dt     f (t ) cos ktcoskx  sin ktsinkx dt



k 1 

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

15

Khóa luận tốt nghiệp

=



1



=







1





Ta có: 2sin



Trường ĐHSP Hà Nội 2

1 n

f (t )    cos ktcoskx  sin ktsinkx   dt
 2 k 1

1 n

f (t )    cosk (t  x)  dt
 2 k 1


t  x1 n

  cosk (t  x) 

2  2 k 1


= sin

tx
tx
tx
 2cos(t  x)sin
 2cos 2(t  x)sin
2
2
2
+…+ 2cos n(t  x)sin

= sin

tx
2

tx
3(t  x)
tx
 sin
 sin
2
2
2
(2n  1)
 (2n  1)
+…+ sin 
 t  x    sin 
 t  x  
 2

 2


 (2n  1)
= sin 
 t  x  
 2

 (2n  1)


sin 
t  x 

1

2

    cosk (t  x)  = 
(t  x)
 2 k 1

2sin
2
n

Vậy Sn ( x) 

1









 (2n  1)
sin 
 t  x  

2
 dt
f (t ) 
(t  x)
2sin
2

(2.8)

t  z  x
Đặt z  t  x  
dt  dz

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do f [- ; ]  hàm f ( x) xác định trên [- ; ] vì vậy ta có thể khuếch
tuần hoàn cho hàm f ( x) với chu kì 2 trên toàn bộ trục số. Khi đó dưới dấu
tích phân của biểu thức (2.8) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên tích phân
trên đoạn bất kì có độ dài 2 đều có giá trị như nhau. Vì vậy ta có thể giữ
nguyên cận như cũ là -  tới  . Ta được:
1

Sn ( x) 







f ( x  z)



sin

(2n  1)
z
2
dz
z
2sin
2

(2n  1)
sin
z
1
2
Đặt Dn ( z ) 
z
2
sin

2

Khi đó Sn ( x) được gọi là tổng Dirichlet của hàm f ( x) , còn Dn ( z ) được
gọi là nhân Dirichlet của hàm f ( x) (nếu z  k 2 thì Dn ( z ) 

2n  1
).
2

Ta thấy rằng với mỗi hàm số f  L2[- ; ] (hoặc f  L1[- ; ] ) đều tồn tại
chuỗi Fourier xác định như công thức (2.3). Câu hỏi đặt ra là khi nào chuỗi
Fourier này hội tụ tới hàm f ( x) (hội tụ điểm hoặc hội tụ đều).
Để tìm hiểu vấn đề này ta sẽ xét hiệu Sn ( x)  f ( x)
Ta có:






Dn ( z )dz 



1 n

  cos kz dz


   2 k 1


1

z
=
2






 2 n sin kz 
 
 1
  k 1 k  0

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vậy Sn ( x)  f ( x) =

1





 f ( x  z )

2n  1
z
2
dz  f ( x)
z
2sin
2

sin











=  f ( x  z ) Dn ( z )dz 

 f ( x) D ( z)dz
n



=   f ( x  z )  f ( x)Dn ( z )dz


=



1
2

  f ( x  z )  f ( x)



sin

2n  1
z
2
dz
z
sin
2

(2.9)

Các vấn đề hội tụ của chuỗi này ta sẽ nghiên cứu trong phần tiếp sau đây.

2.4. Sự hội tụ của chuỗi Fourier
Ta xét điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ điểm.
2.4.1. Điều kiện Dini
Điều kiện Dini:
Hàm số f ( x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dini tại điểm x nếu tồn tại số

  0 sao cho tích phân:






f ( x  t )  f (t )
dt tồn tại
t

Bổ đề (bổ đề Riemann)
Nếu  ( x ) là hàm khả tổng trên đoạn [a;b] thì:
b

a, lim   ( x)sin pxdx  0
p 

a

b

b, lim   ( x)cospxdx  0
p 

a

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh:
b

a, lim   ( x)sin pxdx  0
p 

a

- Nếu  ( x ) là hàm khả vi liên tục thì sử dụng công thức tính tích phân từng
phần ta có:
b

  ( x)sin pxdx
a

b

b

cospx
cospx
   ( x)
   '( x)
dx
p a a
p


=

 (a)cos pa   (b)cos pb
p

 (a)cos pa   (b)cos pb
p

b

1
 max  ' ( x)  dx
p [a,b]
a



1
(b  a) max  , ( x)  0( p  )
[a,b]

p

(2.10)
- Nếu  ( x ) là hàm khả tổng tùy ý trên đoạn [a;b], vì hàm  ( x ) khả vi liên
tục, trù mật khắp nơi trong L1[a;b] nên với mỗi   0 bất kì tồn tại hàm khả vi
liên tục  sao cho:
b

  ( x)   ( x) dx 
a



(2.11)

2

Vì vậy ta có:
b

b

b

a

a

a

  ( x)sin pxdx    ( x)   ( x) sin pxdx    ( x)sin pxdx

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b

b

a

a

   ( x)   ( x ) dx    ( x )sin pxdx
Theo (2.10)   0, p0  0 sao cho p  p0 thì:
b

  ( x)sin pxdx 
a



(2.12)

2

Từ (2.11) và (2.12) ta có   0, p0  0 sao cho p  p0 thì:
b

  ( x)sin pxdx 
a


2




2



b

Vậy lim   ( x)sin pxdx  0
p 

a

b

b, lim   ( x)cospxdx  0 (chứng minh tương tự phần a).
p 

a

Bổ đề được chứng minh.
Hệ quả:
Dãy hệ số Fourier { an } và { bn } của hàm khả tích trên đoạn [- ; ] có giới
hạn bằng 0 khi n   .
Định lí 2.1
Nếu f ( x) là hàm khả tổng, và với mỗi x cố định hàm số f ( x) thỏa mãn
điều kiện Dini, tức là ta tìm được số  > 0 sao cho tích phân:






f ( x  t )  f (t )
dt tồn tại
t

(2.13)

thì các tổng riêng Sn của chuỗi Fourier của hàm f ( x) sẽ hội tụ tại điểm x tới
hàm f ( x) .

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh:
Ta có:

S n ( x )  f ( x) =

=

Đặt

 ( z) 

Do hàm

1
2

1





  f ( x  z )  f ( x)

sin









2n  1
z
2
dz
z
sin
2

f ( x  z )  f ( x) z
 2n  1 
.
.sin 
z  dz
z
z
2


2sin
2

f ( x  z )  f ( x)
z

.
z
z
2sin
2

f ( x  z )  f ( x)
khả tổng theo biến z trên đoạn [- ; ] nên nó khả
z

tổng trên toàn đoạn [- ; ] (do giả thiết hàm f ( x) khả tổng).

z
 1 nên với   0 bất kì luôn  0  0 sao cho
z 0 sin z
2

Mặt khác do lim

z : z   0 thì:
z
z
2sin
2

1   

z
z
2sin

2

Và trên các đoạn [- ;- ] , [ ; ] hàm

max

z
z
2sin
2

1 

z
z
2sin
2

liên tục nên tồn tại giá trị

 m trên hai đoạn này.

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Đặt M = max{m;1+ } thì z [- ; ] ta có:

  ( x)  M .

z
z
2sin
2

f ( x  z )  f ( x)
  ( z ) khả tổng trên đoạn [- ; ]
z

Áp dụng bổ đề Riemann cho hàm  ( z ) với p 


  ( z)sin



M

2n  1
ta được:
2

2n  1
dz  0 (n  )
2

Vậy Sn ( x) hội tụ về hàm f ( x) khi n   tại điểm x .
Định lí được chứng minh.

 Chú ý
- Nếu f ( x) liên tục và có đạo hàm hữu hạn hoặc có đạo hàm trái và đạo
hàm phải hữu hạn tại điểm x thì điều kiện Dini được thỏa mãn.
Thật vậy:
Khi đó

f ( x  z )  f ( x)
bị chặn trong đoạn [- ; ] hoặc bị chặn trong từng
z

đoạn [- ;0] , [0; ] nên tích phân (2.13) là tồn tại.
- Lập luận trong định lí trên vẫn đúng khi thay điều kiện Dini bởi sự hội tụ
của hai tích phân sau:
0





f ( x  z )  f ( x  0)
dt
z



và


0

f ( x  z )  f ( x  0)
dt
z

Trong đó f ( x  0) , f ( x  0) là các giới hạn trái và giới hạn phải của hàm
f ( x) tại điểm x (với giả sử x là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f ( x) )

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Thật vậy ta có:

f ( x  0)  f ( x  0)
2

Sn ( x) 

=

1

2

0

 f ( x  z ).



sin

2n  1
z
f ( x  0)  f ( x  0)
2
dz 
z
2
sin
2

2n  1
z
1
2

dz
 f ( x  z )  f ( x  0).
z
2 
sin

2
2n  1

sin
z
1
2

dz
 f ( x  z )  f ( x  0)
z
2 0
sin
2
sin

0

1

2
1

2

0








0

f ( x  z )  f ( x  0) z
 2n  1 
.
.sin 
z  dz
z
z
2


sin
2
f ( x  z )  f ( x  0) z
 2n  1 
.
.sin 
z  dz
z
z
2


sin
2

- Lập luận tương tự như trong chứng minh định lí trên ta cũng có:

f ( x  0)  f ( x  0) 

S
(
x
)

 n
  0 (n  )
2



 Sn ( x) 

f ( x  0)  f ( x  0)
( n  )
2

Từ đó ta có điều kiện đủ cho sự hội tụ của chuỗi Fourier là:

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lí 2.2
Giả sử f ( x) là hàm bị chặn, tuần hoàn với chu kì 2 chỉ có điểm gián
đoạn loại 1 và giả sử tại mỗi điểm hàm số có đạo hàm trái và đạo hàm phải. Khi
đó chuỗi Fourier của nó hội tụ khắp nơi và có tổng bằng f ( x) tại những điểm
liên tục và bằng

f ( x  0)  f ( x  0)
tại các điểm gián đoạn loại 1.
2

 Chú ý:
Kết luận của định lí trên vẫn còn đúng với những điều kiện rộng rãi hơn.
Chúng ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 2.3 (điều kiện Dirichlet)
Giả sử f ( x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 , thỏa mãn một trong hai điều
kiện sau trên đoạn [- ; ] :
- Hoặc f ( x) liên tục từng khúc và có đạo hàm f '( x) liên tục từng khúc.
- Hoặc f ( x) đơn điệu từng khúc và bị chặn.
Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm. Chuỗi này có tổng
bằng f ( x) tại những điểm liên tục của nó. Và bằng

f (c  0)  f (c  0)
tại các
2

điểm gián đoạn c của nó.
2.4.2. Điều kiện Lipschitz

2.4.2.1. Điều kiện Lipschitz
Cho hàm số f ( x) tuần hoàn với chu kì 2 , và f ( x)  L1[- ;  ] . Hàm f ( x)
được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc   0 tại điểm x0 nếu tồn tại một
hằng số C và số dương r thỏa mãn:
f ( x)  f ( x0 )  C. x  x0

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán



( x : x  x0  r )

24


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nếu điều kiện này đúng với tất cả các giá trị x0 với cùng một hằng số C thì
hàm f ( x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều.
2.4.2.2. Hệ quả
Nếu hàm f ( x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc   0 tại điểm x0 thì tổng
riêng Sn của chuỗi Fourier của hàm f ( x) tại điểm x0 sẽ hội tụ về f ( x0 )
Chứng minh:
Hàm f ( x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc   0 tại điểm x0 nên tồn tại
một hằng số C và số dương  thỏa mãn:
f ( x  z )  f ( x0 )  C. z





(x : z   )

f ( x  z )  f ( x0 )
 1
C z
(x : z   )
z

Ta có:


 C. z



 1

dz  2 C. z



 1

dz  2

0



Vậy tích phân

 C. z

 1

C.z 





2
0

C. 





dz tồn tại



 f ( x  z)  f ( x )
0
0

 


z

 f ( x  z)  f ( x )
0
0

 


z

dz tồn tại

dz tồn tại

Hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện Dini theo định lí trên do đó chuỗi Fourier
của hàm f ( x) hội tụ về f  x0  .

Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán

25