Tài liệu Phương pháp chuỗi Fourier ppt

7.2 Phương pháp chuỗi Fourier
7.2.1 Chuỗi Fourier dạng lượng giác.
7.2.2 Tính đối xứng của hàm và các hệ số khai triển
chuỗi Fourier.
7.2.3 Chuỗi Fourier dạng mũ (dạng phức) .
7.2.4 Phổ tần số.
7.2.5 Truyền tín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến
tính.
7.2.6 Công suất ở mạch tác động không sin.
7.2.7 Các đặc trưng của tín hiệu tuần hoàn.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 1
7.2.1 Chuỗi Fourier dạng lượng giác

Chuỗi Fourier dạng lượng giác của tín hiệu tuần hoàn
không sin f(t) thoả điều kiện Dirichlet (đơn điệu và bò
chặc trên một chu kỳ) có dạng:
(1)
Với : n = 0,1,2 …
Z
0
= 2
S
/T = tần số cơ bản
a
0
, a
n
, b
n
= các hệ số khai triển Fourier .

>@
000
1
() cos( ) sin( )
nn
n
ft a a n t b n t
ZZ
f

 
¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2
 Các hệ số khai triển Fourier

Tín hiệu có chu kỳ T (s)

Tín hiệu có chu kỳ 2
S
(rad)
0
0
1
()
T
a
f
tdt
T

³
0
0
2
()cos( )
T
n
aftntdt
T
Z

³
0
0
2
()sin( )
T
n
bftntdt
T
Z

³
2
0
0
1
()()
2

a
f
td t
S
ZZ
S

³
2
0
0
1
()cos( )()
n
aftntdt
S
ZZZ
S

³
2
0
0
1
()sin( )()
n
bftntdt
S
ZZZ
S

³
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 3
 Chuỗi Fourier và hài (harmonic)

Từ Phương trình (1) , ta biến đổi :
(2)

Với :
d
0
= thành phần DC (trung bình).
D
1
cos(
Z
0
t +
M
1
) = Tp hài cơ bản.
D
k
cos(k
Z
0
t +
M
k

) = Tp hài thứ k.
00
1
() cos( )
nn
n
ft d D n t
ZM
f

 
¦
00
22
nnn
n
n
n
da
Dab
b
arctg
a
M

°

°
°


®
°
°

°
¯
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 4
 Ứng dụng chuỗi Fourier
1. Ý nghóa xếp chồng : tín hiệu tuần hoàn không sin là tổng
của tín hiệu DC và các điều hòa , có tần số là bội số của tần
số cơ bản.
2. Tín hiệu tuần hoàn không sin f(t) có thể tạo ra từ các tín
hiệu : tín hiệu DC và các tín hiệu điều hòa , có tần số là bội
số của tần số tín hiệu muốn tạo.
1
()
n
n
f
t TpDC har
f


¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 5
 Tạo tín hiệu không sin từ các hài
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 6

7.2.2 Tính đối xứng của hàm và các
hệ số khai triển chuỗi Fourier.

Hàm chẵn f(t) = f(-t) : Tín
hiệu nhận trục tung làm
trục đối xứng.

Hàm lẻ f(t) = - f(-t) : Tín
hiệu nhận gốc tọa độ làm
tâm đối xứng.
/2
0
0
2
()
T
aftdt
T

³
/2
0
0
4
()cos( )
T
n
aftntdt
T
Z

³
0
n
b
0
0a
0
n
a
/2
0
0
4
()sin( )
T
n
bftntdt
T
Z

³
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 7
 Tính đối xứng của hàm

Hàm đối xứng nửa sóng :
f(t) = - f(t
r
T/2 ) :


Tp DC:

Với n chẵn : a
n
= 0 ; b
n
= 0;

Với n lẻ :
0
0a
/2
0
0
4
()cos( )
T
n
a
f
tntdt
T
Z

³
/2
0
0
4

()sin( )
T
n
b
f
tntdt
T
Z

³
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 8
 Nếu hàm không đối xứng : dời trục
 Dời tín hiệu theo trục
tung : thay đổi Thành
phần DC của tín hiệu .
 Dời tín hiệu theo trục
hoành : thay đổi góc
pha của các hài.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 9
 Nếu hàm không đối xứng :phân
tích chẵn – lẻ

Hàm không đối xứng : phân
tích thành các thành phần
chẵn và lẻ : f(t) = f
e
(t) + f
o

(t)
Hàm f(-t) xác đònh bằng đồ
thò . Và ta có :
a
0
= a
0e
; a
n
= a
ne
; b
n
= b
no
;
() ( )
()
2
e
f
t
f
t
ft


() ( )
()
2

o
f
tft
ft


%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 10
Moọt soỏ vớ duù chuoói Fourier
%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 11
7.2.3 Chuỗi Fourier dạng mũ

Nếu sử dụng các công thức biến đổi Euler vào phương
trình (1) , ta nhận được chuỗi Fourier dạng số mũ (dạng số
phức ) như sau :
(3)

Với số phức C
n
:

Và :
0
()
jn t
n
n
ft Ce
Z

f
f

¦
0
0
1
().
T
jn t
n
Cftedt
T
Z


³
000
0
1
()
T
Cftdtad
T

³
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 12
 Chuỗi dạng mũ và chuỗi lượng giác


Chuỗi dạng mũ quan hệ với các dạng khác :

Và như vậy :
(4)
22
22 2
nn
nn n n
nn
n
ab
ajb b D
Carctg
a
M

§·

 
¨¸
©¹
00
1
() 2 cos( )
nn
n
ft C C n t C
Z
f

 
¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 13
7.2.4 Phổ tần số (fre. spectrum)

Phổ tần số của tín hiệu bao
gồm đồ thò biểu diễn độ lớn
biên độ (phổ biên độ) và đồ
thò biểu diễn độ lớn góc pha
(phổ pha) các hài theo tần
số.

Độ lớn biên độ hay pha
được minh họa bằng các
đoạn thẳng : gọi là phổ
vạch. Phổ tần số của tín
hiệu tuần hoàn là rời rạc.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 14
 Xác đònh và vẽ phổ tần số

Ta có :
Nên biểu diễn:
|C
n
| theo n là phổ biên độ.

C
n

theon làphổpha.

Phổ tần số được xây dựng : xác
đònh C
0
, C
n
và sau đó vẽ biên
độ và pha theo n (ở đây là hài) .

Phổ biên độ: đối xứng qua trục
tung và phổ pha đối xứng qua
gốc toạ độ.
2
n
nn
D
C
M

%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 15
 Time Shifting

Nếu hàm f(t) bò làm trễ đi t
0
, ta có :
Tức là ở miền tần số , góc pha hài thứ n bò thay đổi : n
Z
0

t
0
.
00 00 0
()
0
() (. )
jn t t jn t jn t
nn
nn
ft t Ce Ce e
ZZZ
ff

f f

¦¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 16
7.2.5 Truyền tín hiệu tuần hoàn qua
mạch tuyến tính.
Xếp chồng trong miền tần số.

Tìm chuỗi Fourier của x(t).

Tìm Y
0
: đáp ứng DC.

Tìm vecto phức của hài:

Đáp ứng có dạng :
Tín hiệu
tuần hoàn
+
_
+
_
+
_

d
0
D
1
cos(
Z
0
t+
M
1
)
D
n
cos(n
Z
0
t+
M
n
)

+
_
Mạch
tuyến
tính
y(t)
x(t)
( K
DC
Mạch
tuyến
tính
K(jn
Z

) )
và
y(t) =
Y
0
+
6
Y
n
cos(n
Z
0
t +
\
n

)
0
().
nn
nn
YHjn XY
Z\


00
1
() cos( )
nn
n
yt Y Y n t
Z\
f

 
¦
00
1
() cos( )
nn
n
xt d D n t
ZM
f

 

¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 17
7.2.6 Công suất ở mạch không sin.

Cho một nhánh có áp , dòng là tín hiệu không sin :

Công suất tác dụng P (W) : P = P
DC
+
¦
(P
hài
)
0
1
() cos( )
DC n un
n
ut U U n t
ZM
f

 
¦
0
1
() cos( )
DC m im
m

it I I m t
ZM
f

 
¦
1
1
cos( )
2
DC DC n n un in
n
PUI UI
M
M
f

 
¦
0
1
().()
T
P
ut itdt
T

³
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 18

Trò hiệu dụng của tín hiệu

Cho tín hiệu không sin có khai triển chuỗi Fourier :

Trò hiệu dụng (RMS value) :
0
1
() cos( )
DC n un
n
ut U U n t
ZM
f

 
¦
2
2
1
2
n
RMS DC
n
U
UU
f

§·

¨¸

©¹
¦
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 19
Công suất Q ; S ; T

Công suất phản kháng Q (VAR) =
¦
(Q
hài
):

Công suất biểu kiến S (VA) :

Công suất méo dạng T (VA) : có một số hài chỉ tồn tại ở
u(t) hay i(t), mà khi thay đổi biên độ của chúng , S thay đổi
nhưng P và Q không đổi. Người ta đưa ra khái niệm công
suất méo dạng.
1
1
sin( )
2
nn un in
n
QUI
M
M
f



¦
222
TSPQ 
R
MS RMS
SU I
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 20
7.2.7 Các đặc trưng của tín hiệu tuần
hoàn không sin

Hệ số công suất cos
M
:

Hệ số méo dạng k = (Trò hiệu dụng hài cơ bản) / (Trò hiệu
dụng của tín hiệu) :

Hệ số hàm lượng hài thứ n :
cos
P
S
M

1
R
SM
R
MS
F

k
F

()nRSM
n
RMS
F
k
F

%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
&/r0LQK&ѭӡQJ Trang 21
Heọsoỏdaùng -Heọsoỏủổnh

Heọ soỏ daùng k
f
:

Heọ soỏ ủổnh k
p
:
0
R
SM
f
F
RMS value
k
Avera
g

e value F



>
@
max
max ( )
p
R
MS
ft
F
k
RMS value F


%ơ,*,1*0é10&+,1%
&/r0LQK&QJ Trang 22