Định lý lagrange và ứng dụng trong giải toán phổ thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.93 MB, 62 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
L
.
ThS.
.
.
.
.
!
5 năm 2011
Sinh viên
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
:
.
.
.
5 năm 2011
Sinh viên
p
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................ 1
Chương 1. CƠ CỞ LÝ THUYẾT ............................................................... 3
1.1. Định lý Lagrange.................................................................................. 3
1.2. Các định nghĩa và định lý mở rộng ...................................................... 6
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE ........................... 8
2.1. Ứng dụng của định lý Lagrange và hệ quả trong bài toán chứng
minh bất đẳng thức ...................................................................................... 8
2.2. Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán giải phương trình,
giải bất phương trình ................................................................................... 23
2.3.Ứng dụng của định lý Lagrange trong bài toán chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình ................................................................. 39
2.4. Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giới hạn của dãy số ... 48
2.5. Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số ............................................................................... 54
KẾT LUẬN ................................................................................................. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
1.
.
.
.
.
Phùng Đức Thắng,
:
.
2.
tr
.
3.
:
Hoàng Ngọc Điệp
HPT.
.
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
4.
-
.
.
5.
Đ
:
Chương 1:
Trong
.
Chương 2:
thông
:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
:
-
.
-
.
-
Hoàng Ngọc Điệp
.
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
Chương 1
1.1
1.1.1
y
(a; b) . Ta gọi h
f ( x)
x
x x0
) x . Khi đó h
y
y
y0
f ( x x0 )
f ( x0 )
x0 (
xo (a; b) ).
1.1.
y
lim
x
x0
f ( x)
(a; b)
y
(
x
lim
x
x0
xo (a; b) .
f x
f x0
) thì
x x0
x0 ,
x0
f '( x0 ) hay y '( x0 ) :
f '( x0 )
lim
x
0
y
hay f '( x0 )
x
lim
x
x0
f x
f x0
.
x x0
1.2.
y
f ( x)
f ' x0
lim
y
f ( x)
x
0
x0
f ' x0
x0 ,
f ' x0
y
.
x
1.3.
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
f ' x0
y
x
lim
x
0
1.4.
y
f ( x)
(a; b)
.
1.5.
y
f ( x)
a; b n
a
b.
1.1.2.
1.1.
y
f ( x)
(a; b)
(a; b)
lim
x
0
x0
y 0.
1.2.
y
f ( x)
x0
1.3. (
x0 .
)
y
f ( x)
a; b
(a; b)
(a; b) sao cho
f (b)
f (a)
f '(c)(b a) .
1.1.3.
1.3.1. (
f ( x)
f (a)
f (b)
Hoàng Ngọc Điệp
)
a; b
(a; b)
(a; b) sao cho f '(c) 0 .
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
.
f ( x)
f '( x)
Lagrange:
( a, b) ,
a; b ,
(a; b) sao cho:
f (b)
f (a)
f b
f a
b a
f' c
f (b) nên f (a)
f (a)
f '(c)(b a)
f (b) 0
f '(c) 0 ( đpcm).
1.3.2.
f ( x)
f '( x) 0 ,
(a; b)
x
a; b c
f ( x) k
x (a; b)
k
)
a; b .
.
Ta sẽ
f ( x0 )
bất kì x0 , y0
a; b
x0
y0
f ( y0 ) .
y0 suy ra xo ; y0
x0
xo ; y0 ,
f' c
f '( x) 0 ,
x (a; b)
f ( y0 )
Suy ra f ( x) k ( k -
Hoàng Ngọc Điệp
f y0
y0
f ( x0 ) 0
f ( x)
a; b .
c
x0 ; y0
f x0
.
x0
f '(c) 0 . Do đó
f ( y0 )
f ( x0 ) .
) (đpcm) .
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
1.3.3.
f ( x)
a; b
f '( x) 0
(a; b)
n
f ( x) 0
(a; b)
n 1
a; b .
.
f ( x) 0
n 1
f ( x) 0
a; b
n 2
a; b .
n 2
(i 1, n 2)
xi ; xi
1
xi
x1
x2 ... xn
a; b (i 1, n 1)
yi
f ' yi
1.3.2
2
a; b sao cho
( xi ; xi 1 )
f xi 1
xi 1
f xi
xi
0
f '( x) 0
ng
a; b
, a; b
. V
f ( x) 0
a; b (đpcm).
n 1
1.2
(
)
f :X
f ( x)
Định lí (
X
Y
f ( y)
c
cx y,
)
¡ là một tập đóng và f : X
d
x, y
0;1 sao cho:
X
X
,t
X sao cho f(x) = x.
f ( x)
, c
Hoàng Ngọc Điệp
, y sao cho f ( x)
f ( y)
f '(c) x
y
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
f '( x)
.
f ( x)
c 1
R
1.4:
Cho f: a; b
cho f x
a; b
c 1 x
a; b
xn
x1
a, b
xn
x*
xn
1
x*
xn
)
xn 1 sao cho:
xn
n
f xn
f xn 1
c xn
xn
1
f'
n
xn
... c n 1 x2
x1
xn 1
:
m Z
xn
m
xn
xn
cn
c
( xn )
x*
f ( x n ), n 1
1
f ( x* ) x*
n 2
:
lim xn
n
m 2
n 1
xn
m
x2
x1
1 cm
x2
1 c
¡
xn 1
xn
m 1
cn
m 3
m 1
x2
xn
m 2
x1
0 khi n
x1
...
xn 1 x n
.... c n 1 x2
.
( xn )
f ( xn )
lim xn 1 lim f ( xn )
x*
x1
.
f (lim xn )
f ( x* ) (đpcm)
a; b
.
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
Chương2
2.1. Ứng dụng của định lý Lagrange và hệ quả trong bài toán chứng
minh bất đẳng thức
B
f x
(f x
a; b
(a; b) ).
m
f a
f b
a b
c (a; b) sao cho f ' c
M.
f b
f a
b a
: m
f (c) M
.
2.1.2.
:
1. Cho 0 a b 1
b a
b
tg a tg b
b a
.
a
(1)
.
0 a b 1
1
cos 2 a
(1)
f ( x) tg x ,
Hoàng Ngọc Điệp
x
tg a tg b
b a
1
.
cos 2b
a; b .
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
f ( x)
(a; b)
a; b
f b
f a
b a
c (a; b) sao cho f ' c
1
cos 2c
h
tg b tg a
.
b a
(2)
, do 0 a b 1 nên
1
cos 2 a
:
1
cos 2 a
1
cos 2c
1
.
cos 2b
tg a tg b
b a
(3)
1
cos 2b
( 0 a b 1).
0 a b 1
b a
b
tg a tg b
b a
(đpcm).
a
b a
b
2.
y
y
ln x
ln
b
a
b a
.
a
a; b . Do a 0
f ( x) ln x
(a; b) :
c
f (b)
f '( x )
1
.
x
a; b sao cho:
f (a)
f '(c)(b a)
ln b ln a (b a)
ln
Do 0 a c b nên
hay
b a
b
ln
b
a
Hoàng Ngọc Điệp
b a
b
b a
a
b
a
b a
c
b a
c
b a
a
(đpcm).
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
3.
ea b a
a b
f ( x) e x trên đoạn
e ea
eb b a
f ( x)
a; b
(a; b) : f '( x) e x
c (a; b) sao cho:
f (b)
f (a)
eb
f '(c)(b a)
ea
ec b a
Do a c b
ea
ea b a
ec
eb
ec b a
ea b a
eb
ea
eb b a
eb b a .
.
1
1
n
4. Cho n 1
n
e
1
1
n
n 1
.
L
1
n 1
f ( x) ln x
1
n
ln(n 1) ln n
n, n 1 . Do n 0 nên f ( x)
(n, n 1) .
n, n 1
c (n, n 1) sao cho f (n 1)
f ( n)
ln(n 1) ln n
,
f '(c)(n 1 n)
1
c
Do n c n 1 nên
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
1
n
1
n
1
1
n
h
n
1
n 1
1
ln(n 1)
1
1
n
e
1
c
5.
n 1
n 1
(đpcm).
x>
ln(x+1) < x.
f(x):
ln( x 1) 0 ( x 1) 1
ln x 1
x 1
f (t ) ln t
ln1
1.
1
1; x 1 . Do x > 0 nên f (t )
(1; x 1)
1; x 1
c (1; x 1) sao cho
f' c
f x 1 f 1
x 1 1
1
c
ln x 1
x 1
1
c
ln x 1
x
ln( x 1)
x
c
1 c x 1
ln( x 1)
Hoàng Ngọc Điệp
x
c
x
x
1
ln1
1
x
.
c
x.
ln( x 1)
x (đpcm).
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
6.
x, y
f ( x) sinx ,
x
sinx sin y
y.
x
R.
f(x)
, f ( x) cos x .
¡ sao cho
c ( x; y )
f ( y)
f ( x)
f '(c)( y
x)
sin y sin x cos c(y x) .
Do 1 cos c 1
(y
h
x) cos c( y
x) ( y
cos c( y x)
y x
cos c( y x)
y x
sin x sin y
y x
sin x sin y
x
x)
y.
:
.
7.
n R*
x
xn 1 x
1
.
2 ne
(1)
f(x):
(1)
x2n 1 x
2n 1 x x 2 n
Hoàng Ngọc Điệp
x
1
2 ne
1
.
e
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
:
2n 1 x x
2n
2n 2nx 2nx
2n 1
2n 2nx {
x.x...x
2n
2n
2n 1
2n 1
2n
2n 1
2n 1
.
1
e
2n
ln
2n 1
ln 2n 1
2n 1
f ( x) ln x
c
Lagrange luôn
2n 1
2n 1
ln
ln 2n
2n
1
e
1
.
2n 1
(2)
2n;2n 1
2n;2n 1 sao cho
f c
0 2n c 2n 1
ln 2n 1
2n 1
1
c
ln 2n 1
1
c
1
2n 1
ln 2n
2n
ln 2n .
ln(2n 1) ln 2n
1
.
2n 1
minh.
8.
a; b
f(x)
f (a)
f (b) 0
max f x
x a ;b
Hoàng Ngọc Điệp
b
4
b a
f x dx .
2
a
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
f’(x)
a; b nên f’(x)
a; b .
t M
x
max f ( x)
x a ;b
a; b
c (a; x) sao cho
f ( x)
v
x
f '(c)( x a)
a; b
(2)
x; b sao cho:
d
f (b)
f (a )
f (a)
f ( x)
f '(d )(b x) .
(3)
f (b) 0
f ( x)
f (c) ( x a) M x a
f ( x)
f (d ) (b x) M b x .
và
a b
2
b
f x dx
a
b
f x dx
f x dx
a b
2
a
a b
2
b
M x a dx
M b x dx
a b
2
a
M b a
8
hay
Hoàng Ngọc Điệp
2
M b a
4
2
.
f x dx M
2
max f x
x a ;b
M b a
8
b
4
b a
2
a
b
4
b a
f x dx
2
(đpcm).
a
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
u thay max f ( x)
:
min f ( x)
x a ;b
x a ;b
b
4
min f ' x
x a ;b
b a
f x dx max f ( x) .
2
x a ;b
a
9.
:
3
abc abd
acd bcd
ab ac ad bc bd cd
.
6
4
(1)
như nhau,
0
b
c
d.
f ( x) ( x a)( x b)( x c)( x d ) , f ( x)
R v
f (a)
f ( x)
f (c )
y1, y2 , y3 ¡
1,
cho f ( y1 )
f (b)
f ( y2 )
f (d ) 0 .
y1 (a; b) , y2 (b; c) , y3 (c; d ) sao
f ( y3 ) 0
( x a)( x b)( x c)( x d )
4( x
y1 )( x
y2 )( x
f ( x)
y3 ) .
x
4y1 y2 y3
f x
:
4 y1 y2 y3
y1 y2 y3
x
x2
f x
Hoàng Ngọc Điệp
f x
(abc abd
abc abd
acd bcd )
acd bcd
4
4( y1 y2
2(ab ac ad
y2 y3
bc bd
(1)
y1 y3 ) . Đ
cd ) ,
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
y1 y2
ThS.Phùng Đức Thắng
y2 y3
ab ac ad bc bd
2
y1 y3
cd
.
(2)
:
y1 y2
y2 y3
3
y1 y2
y1 y3
y2 y3
3
( y1 y2 y3 ) 2
3
y1 y3
3
( y1 y2 y3 ) .
(3)
:
3
abc abd
acd bcd
ab ac ad bc bd cd
.
6
4
(đpcm).
2.1.3.
1: Cho 3 n ¢
nn
1
4: C
1 x
1 x
: 1
1 x
x 1
1
1
1
,
x 1 1 x2
x
x
0.
0.
x
,
x > 0.
x 1.
( x 1)cos
x
y
2
f c
Hoàng Ngọc Điệp
2
1
1
x
x 1
x
f' x
x
earctgx ,
7:
t
(1)
arctg
2
ex
5:
6:
n 1 .
1
2:
3:
n
1
x 1
x cos
x
1.
x y
.
ln x ln y
f b
f a
.
b a
f b
f a
b a
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
. Ta
f x
f
x
, ta
(a;b): f
x
0
0 x0
(a; b) .
x
a; b
f x
y0
z0 ; x0 , y0 , z0 (a; b)
x1 ( x0 , y0 ) sao cho f c1
f y0
y0
f x0
.
x0
x2 ( x0 , y0 ) sao cho f c2
f z0
z0
f y0
.
y0
c2
f c2
c1
f z0
z0
f y0
y0
f c1 hay
f y0
y0
f x0
x0
x0 , y0 , z0 (a; b) ; x0
y0
z0 .
(I)
:
1.
f(x)
a; b
x, y, z (a; b) sao cho x
f x z
f
y
y
x
f
x
0
x (a; b)
z ta luôn
f y x z
0
f z y x
0.
(1)
x (a; b)
).
x, y, z
x
y
z ; x, y, z
:
a; b .
f x z
y
f y x z
f x z
y
f y
f x
f y
z
Hoàng Ngọc Điệp
x
y
f z y x
y
f y
y z
f z
0
f z y x
0
y x
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
f x
x
f y
y
f y f z
.
y z
(2)
x; y , y; z
f x
c1
x; y , c2
y; z : f (c1 )
f ( y ) f ( x)
, f (c2 )
y x
f (c2 )
f ( z)
z
f ( y)
, c1 c2 .
y
,
f (c1 )
.
10. Cho x
y
z
x2 z
y2z
z2 y
x2 y
y 2z
f ( x) x 2
¡
¡
1
z 2x .
f ( x) 2 x ; f ( x ) 2 0
x ¡
f x
x2 ( z
y 2 ( x z ) z 2 ( y x) 0
y)
x2 z x2 y
x2 z
11. Cho 0 x
y
y2 x z2 y
y
z
y ln
x(ln y ln z )
(x) = lnx,
f ( x)
Hoàng Ngọc Điệp
x2 y
y2 z z2 x .
z
x ln
(1)
y2x y2z z 2 y z 2x 0
z
x
z ln
x
y
0.
y (ln z ln x) z (ln x ln y ) 0 .
x>0
1
; f ( x)
x
1
x2
0, x
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ln x( z
ThS.Phùng Đức Thắng
y) ln y( x z ) ln z ( x
(đpcm).
y) 0
:
8: Cho 0
(e y
x
e x )ln
y
y
x
z t
(e z
e y )ln
ez
ey
z
y
(e t
e Z )ln
t
z
t
e x )ln .
x
(e t
9: Cho 1
z
z
y
ln
ey
ex
y
y
ln
x
y
x.
(I) ta suy ra
lim
z0
y0
lim
z0
y0
f ( z0 )
z0
f ( y0 )
y0
f ( z0 )
z0
f ( y0 )
y0
f '( y0 )
(vì f ( y0 )
f ( y0 )
lim
z0
y0
lim
z0
y0
f ( y0 ) f ( x0 )
y0 x0
f ( y0 ) f ( x0 )
y0 x0
f ( y0 ) f ( x0 )
,( y0
y0 x0
x0 )
f ( z0 )
z0
f ( y0 )
y0
f ( x0 )
f ( y0 ) ( y0
x0 ) f '( y0 )
f ( z0 )
f ( y0 ) ( z0
y0 ) f '( y0 )
f '( y0 ),( z0
y0 )
f ( y0 ) ).
(2) suy ra f ( x)
f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ),
x, x0 (a; b) .
.
2(
1.
f x
Hoàng Ngọc Điệp
)
a; b
f
x
0
x
a; b
x, x0
a; b ta
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) .
f ( x)
x
2.
f x
x0 .
a; b
f x
f
x
x
a; b
x, x0
a; b
x x0 f x0 .
f x0
x
0
x0 .
.
12.
v
ABC
sin A sin B sin C
3 3
.
2
.
(0;
f x
cos x ; f
x
0;
.
f x
sin A sin
sin B sin
sin C sin
3
3
3
(A
(B
(C
3
3
3
)cos
)cos
)cos
sin x 0
x
0;
.
3
3
3
.
3
Hoàng Ngọc Điệp
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
sin A sin B sin C 3sin
1
1
( A B C)
2
2
3
3 3
2
Vậy sin A sin B sin C
3sin
3
3 3
.
2
( đpcm).
13. Cho a, b 0
0
1
a
b
a b
2
2
.
.
f x
Do đó
f
x ,x 0
f ( x)
(0;
x
a
a b
2
b
a b
2
a b
2
b
2
2
x 0.
)
a b
2
a
1 x
1
a
a b
2
b
a b
2
1
a b
2
hay
a
b
a b
2
2
(đpcm).
14. Cho ABC
cot A cot B cot C
1
1
2 cos A
2
1
1
B
cos
2
C
cos
2
.
.
1
A
2cos
2
Hoàng Ngọc Điệp
A
2
sin A
sin
cos
A
2
sin A
K33 cử nhân toán
Khóa luận tốt nghiệp
ThS.Phùng Đức Thắng
A
cos
2
A
cos A
1
1
1
3A
2
3C
cot C
C
2cos
2
cot A
3B
2
cot B
B
2cos
2
VP
3A
2
cot A
A
2cos
2
A sin A
2
cot B
2
3B
2
.
,
.
cot C
3C
2
h
1
1
2 cos A
2
cot A cot B cot C
1
1
B
cos
2
C
cos
2
(đpcm).
:
11. Cho ABC
sin A sin B sin C cos
A
B
C
cos
cos .
2
2
2
12.
a)
a
b
b) a
Bài
b
1
c
b
c
13.
Hoàng Ngọc Điệp
c
1
ab
a
1
1
bc
a b c,
1
ca
1
.
a b, a, b R*
K33 cử nhân toán
