Định lý tách tập lồi và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 đã động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Năng
Tâm đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm2011

Sinh viên
Phùng Thị Như Quỳnh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Kết quả của đề tài này không có sự
trùng lặp với kết quả của đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách
nhiệm.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2011

Sinh viên
Phùng Thị Như Quỳnh


MỤC LỤC
Mở đầu.......................................................................................................1

Nội dung
Chương I: Kiến thức chuẩn bị...................................................................3
1.1 Tập lồi................................................................................................3
1.2 Bao lồi và bao lồi đóng.....................................................................4
1.3 Nón lồi...............................................................................................5
1.4 Tập afin và bao afin...........................................................................8
1.5 Phần trong tương đối........................................................................11
1.6 Siêu phẳng tựa..................................................................................12
1.7 Phiếm hàm........................................................................................12
Chương II: Các định lí tách – tập lồi.......................................................14
2.1 Định lí tập lồi...................................................................................14
2.2 Định lí tách......................................................................................22
Chương III: Ứng dụng của định lí tách – tập lồi.....................................32
Kết luận...................................................................................................40
Tài liệu tham khảo...................................................................................41


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài.
Hình học là môn học quan trọng, tương đối khó trong chương trình
toán học phổ thông, và có rất nhiều ứng dụng trong đời sống con người, để
hiểu được nó người học cần phải tưởng tượng, tư duy cao. Với mong muốn
được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu được nhiều phương pháp
giải toán hình được hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho
mình lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em đã chọn đề tài:
''Định lí tách tập lồi và ứng dụng'' để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu sâu hơn kiến thức về giải tích lồi.
- Làm rõ tính ưu việt của việc ứng dụng định lí tách tập lồi vào giải
một số bài toán hình học.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về giải tích lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán giải bằng phương pháp áp dụng
định lí tách của giải tích lồi.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Trình bày định lí tách – tập lồi.
- Đề xuất phương pháp giải một số bài toán hình học nhờ ứng dụng
của định lí tách tập lồi.
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan.
6. Cấu trúc đề tài
Đề tài gồm ba chương

1


Chương I: Kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Các định lí tách, tập lồi.
Chương III: Ứng dụng của định lí tách tập lồi.

2


Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Để chứng minh các định lí tách tập lồi và ứng dụng của chúng được dễ
dàng hơn, trước hết chúng ta cần có một kiến thức chuẩn bị cơ bản về tập lồi
và các vấn đề có liên quan đến đề tài này.
Giả sử X là không gian véctơ định chuẩn, R là tập số thực.
1.1 TẬP LỒI

Định nghĩa 1. (Xem [5], tr 3)

X , khi đó đoạn thẳng nối a với b , ( kí hiệu a, b ) là tập

Cho a, b

hợp tất cả những điểm x

X thỏa mãn:

1 b b với

x ta

t

0,1

Nhận xét 1.
n

Nếu xét trong không gian ơclít E hệ tọa độ trực chuẩn 0, x1 , x2 ,...., xn và

a a1 , a2 ,....., an ; b b1 , b2 ,....., bn ; 0 01 ,02 ,....,0n

thì đoạn nối a, b là

tập hợp các điểm

yi

i 1, n với t

y y1 , y2 ,....., yn

thỏa mãn:

tai

1 t bi ;

0,1 .

Ví dụ 1.
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy có a 1,3 ; b 2,5 . Khi đó, x

a, b

nếu x x1 , x2 có tọa độ thỏa mãn:

x1
x2

t.1
t.3

1 t .2
với t
1 t .5

0,1

Định nghĩa 2. (Xem [5], tr 3)
Tập hợp P

X; P

được gọi là tập hợp lồi nếu

3

a, b P thì


mọi điểm thuộc đoạn thẳng nối a với b cũng thuộc P , nghĩa là: Nếu

X thỏa mãn x ta

x

a, b P;

Quy ước: Tập

1 t b thì x

P.

là tập lồi.

Ví dụ 2. Đoạn thẳng a, b

X là tập lồi .

Mệnh đề 1.
Giao của các tập lồi bất kỳ là các tập lồi, tức: Nếu Pi

I

các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kì thì P

X i

I là

Pi cũng là tập lồi.

i I

Chứng minh
Lấy x1 , x2

Pi ,

Với

i

I .

I do Pi lồi cho nên tx1

i

P (điều phải chứng

1 t x2

minh)
Nhận xét 2.
Nếu P1 , P2 là tập lồi thì P1 I P2 chưa chắc đã lồi.
Định nghĩa 3. ( Xem [5], 6)
Cho x1 , x2 ,....., xm

X . Ta gọi véc tơ x

X là tổ hợp lồi của

m

x1 , x2 ,...., xm nếu tồn tại t1

0 : i 1, m;

m

ti
1

1 sao cho x

ti xi .
1

1.2. BAO LỒI VÀ BAO LỒI ĐÓNG
Định nghĩa 4. (Xem [1], tr7)
Giả sử

là tập lồi tùy ý thuộc X, Pi

với I là tập chỉ số.
Khi đó P

I

i

được gọi là bao lồi của tập .

i I

4

i I

là họ tất cả các tập lồi chứa


Ký hiệu: co .
Ví dụ 3.

2

Trong không gian ơclít E cho B(0, r )
Khi đó coB 0,1

R 2 : x12

x1, x2

x22

r .

B 0,1 .

Nhận xét 3.
là tập lồi nhỏ nhất chứa

a) co

lồi

b)

.

co .

Hệ quả 1.
Tập

là lồi lồi khi và chỉ khi

chứa tất cả các tổ hợp lồi của

.

Định nghĩa 5. (Xem [5], tr 7)
Giả sử

X . Bao lồi đóng của tập

tất cả các tập lồi đóng chứa

được định nghĩa là giao của

, và được kí hiệu là: co

.

Ví dụ 4.
Trong ví dụ 3 ta cũng có co B (0,1)

B 0,1

Nhận xét 4.

co là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa

.

Mệnh đề 1.
Giả sử A

X lồi. Khi đó:

a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;
b) Nếu xi

intA, x

Nói riêng, nếu intA

A , thì x1 , x 2
thì A

tx1

1 t x2 : 0 t 1

intA

intA, int A intA .

1.3 NÓN LỒI
Định nghĩa 6. (Xem [5], tr8)
Cho tập K

X , thỏa mãn: x K ;

5

0

x

K được


gọi là nón có đỉnh tại 0 .
Tập K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K là tập lồi, có nghĩa là:

x, y K ;

,

0

x

y K.

Nhận xét 4.
n

Khi xét trong không gian ơclít E .

E n thỏa mãn:

Tập K

phép vị tự tâm 0 , tỉ số t , với 0

a

K;

t

0

V0t a

K , với V0t -

E n được gọi là nón có đỉnh tại 0 .

Ví dụ 5.
n

Trong không gian ơclít E cho hệ tọa độ trực chuẩn 0, e1 , e2 ,.....en .
Khi đó các tập sau đây:
1 , 2,........,

n

1 , 2,........,

n

:

i

0, i 1,....n ;
- là nón lồi có đỉnh tại 0.

:

i

f 0, i 1,....n

Mệnh đề 2.
Giả sử Ki i
Khi đó

I

I là nón lồi có đỉnh tại 0, với I là tập chỉ số bất kì.

K i là nón lồi có đỉnh tại 0.

i I

Ví dụ 6.
Với X

Ki

uur
E n i I , 0 E n . Khi đó tập:
uur ur
n
E : 0abi 0, i I - là nón lồi.

ur
E , bi
n

a

Hệ quả 2.
Giả sử A là tập bất kì thuộc X . Nếu với

6

a1 ,.......an

A;


m
1 ,..... n

0 mà

i ai

K thì K là nón lồi nhỏ nhất chứa A .

i 1

Định nghĩa 7. (Xem [5], tr 10)
Ta gọi là nón lồi sinh bởi tập A một tập hợp là giao của tất cả các nón
lồi (có đỉnh tại 0) chứa A và điểm 0. Ký hiệu là K A .
Mệnh đề 3.
a) K a

KcoA

I

b) Nếu A là tập lồi thì: K A

A

a

X :a

b,

0, b

A .

0

Sau đây ta đưa ra vài loại nón lồi được sử dụng nhiều trong giải tích

lồi và tối ưu hóa.
Giả sử X là không gian véc tơ định chuẩn. X

*

là không gian các

phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Định nghĩa 8. (Xem [5], tr 11)
*

Véc tơ a

X * được gọi là pháp tuyến của tập lồi A tại b
a* , a b

0

a

A nếu:

A

Tập tất cả các véc tơ pháp tuyến của tập A tại b

A được gọi là nón

pháp tuyến của A tại b và ký hiệu là N b / a
Như vậy:

N b\ A

a*

X * : a* , a b

0, a

A .

Nhận xét 5.
Nón pháp tuyến của tập lồi A tại b

X là tập lồi đóng.

Định nghĩa 9. (Xem [5], tr 11)
Ta nói tập A

X lồi,

là tập lùi xa theo phương d

7

0 nếu


0,

A thì x

x

d

A hay với

0 ta có A

d

A.(*)

Nhận xét 6.
Tập A lùi xa theo phương d nếu A chứa tập tất cả các nửa đường
thẳng xuất phát từ các điểm của A và theo phương d .
Định nghĩa 10. (Xem [5], tr 12)
Ta gọi là nón lùi xa của A tập tất cả các véc tơ d
và véctơ d

X thỏa mãn (*)

0 . Ký hiệu 0 A .

1.4 TẬP AFIN VÀ BAO AFIN
Giả sử X là không gian hữu hạn chiều X

Rn .

A. Tập afin
Định nghĩa 11. (Xem [5], tr 13)
Ta gọi tập A

R n là tập afin, nếu:

x, y

A;

R thì 1

x

y

A

Nhận xét 7.
Nếu A là tập afin thì tập: A

a

x a:x

A với

a Rn

cũng là tập afin.

Mệnh đề 4.
Tập M

R n là không gian con

M là tập afin chứa 0.

Chứng minh
a) Giả sử M là không gian con. khi đó, 0

M và M là đóng với
phép cộng và phép nhân vô hướng. Vậy M là tập afin chứa 0 .
b) Ngược lại, giả sử M là tập afin chứa 0. Khi đó,
có:

x

1

0

x M

8

x, y M ;

R ta

x

y

1
x
2

2

1

1
y
2

M

Như vậy, M là đóng với phép cộng và phép nhân vô hướng. Vậy M
là không gian con.
Định nghĩa 12. (Xem [5], tr 13)
Hai tập afin A và M được gọi là song song với nhau, nếu tồn tại

a Rn sao cho: A M

A a ). Kí hiệu A / / M (hay

a (hay M

M / / A)

Định nghĩa 13. (Xem [5], tr14)
Ta định nghĩa chiều của một afin khác rỗng là chiều của không gian
con song song với nó.
Quy ước: dim

1
n

Giả sử L là không gian con trong R . Ta kí hiệu L là phần bù trực
giao của L , và xác định là:

Trong đó :

x

L

x

y

x, y

Rn : x

y, y

L

0.

Khi đó tập L cũng là một không gian con, và: dimL

L

dimL

L.

Định nghĩa 14. (Xem [5], tr 15)
n

Ta gọi tập afin n 1 chiều trong R là một siêu phẳng.
B. BAO AFIN
Định nghĩa 15. (Xem [5], tr 15)
Cho A

R n , bao afin của tập A được định nghĩa là giao của tất cả

các tập afin chứa A , và được kí hiệu là affA .

9

n,


Nhận xét 8.

affA là tập afin nhỏ nhất chứa A .
Định nghĩa 16. (Xem [5], tr 16)

R n . Khi đó điểm x Rn xác định:

Cho các điểm x1 , x2 ,......, xn
m

x

i xi

, với

n

1 ,...., m

m

R ;

1

i

1 - được gọi là tổ hợp afin của

1

các điểm x1 ,....., xm .
Nhận xét 9.

affA trùng với tất cả các tổ hợp afin các điểm của A . Tức:
m

affA

m
i xi

: xi

A;

i 1

i

1

i 1

Định nghĩa 17. (Xem [5], tr 16)
Tập m 1 điểm a0 , a1 ,...., am được gọi là độc lập afin nếu

aff {a 0 ,a1 ,....,a m } - là m chiều.
Nhận xét 10.

a0 , a1 ,......am độc lập afin

a1 a0 ,......., am

1

a0 , am

a0 độc

lập tuyến tính.
Thật vậy: aff {a 0 ,a1 ,....,a m }=L+b 0 ,trong đó

L

0, a1 a0 ,......., am
Do đó,

a0

dimL m

a1 a0 ,......., am

tuyến tính.
Nhận xét 11.
Từ nhận xét 10, suy ra:

10

1

a0 , am

a0 độc lập


m

a)

m

a0 , a1 ,......am độc lập afin nếu với

i ai

0;

i 1
0

1

.....

n

i

0 thì suy ra

i 1

0.

b) Nếu a0 , a1 ,......am độc lập afin thì

x aff a0 , a1 ,...., am có thể biểu

diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp afin của a0 , a1 ,......am tức là
m
0 ,...., m

duy nhất với

m
i

1 sao cho x

i 0

Các số

0 ,...., m

i ai

.

i 0

như thế được gọi là tọa độ trọng tâm của x.

Định nghĩa 18. (Xem [5], tr 17)
Bao lồi của m 1 điểm độc lập afin a0 , a1 ,......am được gọi là đơn
hình m

chiều.

Các điểm a0 , a1 ,......am được gọi là đỉnh của đơn hình.
Định nghĩa 19. (Xem [5], tr 18)
Chiều của tập lồi A được gọi là chiều của affA .
Chú ý: Vì một đơn hình là một tập lồi cho nên có thể xét chiều của
đơn hình theo định nghĩa 19.
1.5. Phần trong tương đối.
Định nghĩa 20. (Xem [5], tr19)
Phần trong tương đối của tập A

R n là phần trong của A trong,

affA kí hiệu riA .
Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A .
Định nghĩa 21. (Xem [5], tr 19)
Tập A \ riA được gọi là biên tương đối của tập A . Tập A được gọi là
mở tương đối, nếu riA

A.

11

Nhận xét 12.

A2 không suy ra được riA1

A1

riA2 .
3

Thật vậy, Ví dụ lấy A2 là một khối lập phương trong R , A1 là
mặt trong A2 . Khi đó A1

riA1 I riA2

A2 ; riA1

nhưng

; riA2

.

Hệ quả 3.
n

Giả sử A là tập lồi trong R . Khi đó, aff riA

aff A

(*)

Chứng minh
(*) Được suy ra từ aff A

affA và aff riA

affA

Hệ quả 4.
n

Giả sử A là tập lồi trong R . Khi đó: dimA
Nói riêng A

riA

dim riA

dimA

.

1.6. SIÊU PHẲNG TỰA
Định nghĩa 22. (Xem [2], tr 13 )
Nếu x

t , x x0
H

0

0,

C thì một siêu phẳng t , x x0

x C gọi là một siêu phẳng tựa của C tại x0 . Ta cũng nói

x | t , x x0

0 là một nửa không gian tựa của C tại x0 .

0
Khi đó có một siêu phẳng tựa của C tại x

biên của C .
1.7. PHIẾM HÀM
Cho V là không gian véc tơ trên K.

f :V

0 (đi qua x0 ) sao cho

K tuyến tính gọi là phiếm hàm trên V.

12

C thì x0 phải là một điểm


Kết luận 1

Qua chương I, ta thấy đây là kiến thức chuẩn bị cơ bản của đề tài này,
nó gồm các định nghĩa, kí hiệu, hệ quả, mệnh đề, nhận xét..... , giúp ta hiểu rõ
hơn về tập lồi và các tính chất của nó và để ta có cơ sở và thuận tiện hơn trong
việc chứng minh các định lí ở chương II.

13


Chương II: CÁC ĐỊNH LÍ TÁCH TẬP LỒI
Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác nhau như giải tích hàm, giải
tích không trơn và giải tích phi tuyến v.v..... Các định lí tách hai tập lồi có một
vai trò trung tâm. Về bản chất, định lí tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có
thuộc một tập lồi không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Đây là
câu hỏi về liên thuộc (membership), một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có
thể hình dung tập lồi đó là tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là một
tập nghiệm của một bài toán tối ưu v.v.... Dĩ nhiên nếu câu trả lời là có, thì
vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ
xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lí tách thuộc loại các định lí
chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của
một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực rất khác nhau. Người
ta đã chứng minh được sự tương đương giữa định lí tách và định lí HahnBnach rất quen thuộc trong giải tích hàm. Sự mở rộng các định lí tách và
những ứng dụng đa dạng của chúng từ lí thuyết đến các vấn đề thực tế (chuẩn
đoán u lành , u ác trong y học, hoặc dự đoán sự thành bại, phát triển của các
doanh nghiệp ....) hiện vẫn là một đề tài nghiên cứu thu hút sự quan tâm của
nhiều người.
2.1 ĐỊNH LÍ TẬP LỒI.
Định lí 1. (Xem [5], tr6)
Cho P là tập lồi, A

P . Giả sử x1 , x2 ,...., xm

ta có tổ hợp lồi x1 , x2 ,...., xm thì x

A.

Chứng minh
Ta chứng minh bằng qui nạp.

14

A . Khi đó, với

x


2 . Với

+) m

t1 , t2

0 : t1 t2

A . Theo định nghĩa

1; x1 , x2

2 ta có:

A . Vậy khẳng định đúng với m

t1 x1 t2 x2

+) Giả sử khẳng định đúng với m
với k 1, tức chứng minh
k 1

2.

k . Ta chứng minh khẳng định đúng

x1 , x2 ,....., xk

A;

1

ti

i 1, 2,..., k 1 ;

k 1

ti : x

ti xi

i 1

A.

i 1

Trường hợp 1: Nếu tk

1

1 thì t1

t2

...... tk

0 ta có x A .

Khẳng định là đúng.

1 tk

Trường hợp 2: Nếu 0

tk

t1 t2 ...... tk

o

1

k

Bởi vì
i

y

t1
1 tk

ti
1 1 tk

x1 ......
1

Với các điểm y

1

1p

1, khi đó:

ti
1 tk

0 i 1,2,..., k .
1

1 cho nên theo giả thiết qui nạp ta có:

1

tk
1 tk

xk

A.

1

A; x

1

A ta có 1 tk

y tk 1xk

1

A (điều phải chứng minh).

1

0;

1 tk

1

tk

1

1, do

đó:

x

1 tk

1

W

Định lí 2. (Xem [5], tr 7)

co trùng với tất cả các tổ hợp lồi của
Chứng minh
Theo định nghĩa 4 thì

X . Bao lồi đóng của tập

nghĩa là giao của tất cả các tổ hợp lồi của

15

(định lí 1).

được định


Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của

là lồi, chứa

. Do đó nó

chứa co .
Định lí 3. (Xem [5], tr 8)
Với

X ta có co

co .

Chứng minh
Ta có co

co

là tập lồi suy ra co

là tập lồi đóng, chứa

. Do đó

co . (1)

Mặt khác co

co , bởi vì co

(không cần đóng) chứa

. Vì vậy co

Từ (1) và (2) suy ra co

là giao của tất cả các tập lồi

co .

(2)

W

co .

Định lí 4. (Xem [5], tr 9)
Tập K

X là một nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi

0

a, b K ;

a b K, a K.

Chứng minh
a) Giả sử K là nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi:

c

1
a b
2

:

K.

Do K là nón lồi có đỉnh tại 0, ta lại có a
b) Ngược lại, với

b 2c K .
0 ta có a

a k,

K . Vậy K là nón có

đỉnh tại 0 .
Với 0

1

a

1,

a, b K ta có

b K . Khi

0 hoặc

Vậy K là nón lồi có đỉnh tại 0 .

1

a

1 ta vẫn có 1

K;
a

b K và
b K.

W

Định lí 5. (Xem [5], tr 11)
Ta nói tập A

X lồi,

. Khi đó, 0 A là nón lồi chứa điểm 0 và

16


được xác định là: 0 A

d

X:A d

A

(**)

Chứng minh
a) Trước hết chứng minh (**)
Lấy d

0 A . Khi đó x

A, (

d

0; x

A)

với

1

ta có:

x d

A
A

0

x

A , tức là A d

d

X:A d

b) Ngược lại, lấy d

A.

A

(i)

X thỏa mãn A d

A 2d

A d

d

x md

A( x

A;

A

A d

A

m - nguyên dương).

Do A lồi, đoạn thẳng nối các điểm x, x

d , x 2d ,.... nằm trong

A . Vì vậy,
x

d

A

0

d

0 A

0 A

Từ (i) và (ii) ta suy ra 0 A

d

d

X :A d

X:A d

A (ii)

A .

c)Chứng minh 0 A là nón lồi.
Bởi vì phép nhân số dương không âm không làm thay đổi phương,
cho nên 0 A là một nón.
Lấy d1 , d2

1

1. Do A lồi ta có:

0 A;0

d1

d2

1

1

d1

d2

d1

A

0 A

0 A lồi.

17

d2

A

1

A

A

A


Vậy 0 A là nón lồi.

W

Định lí 6. (Xem [5], tr 14)
Với mỗi tập afin A

, tồn tại duy nhất không gian con L xác

định:

L

A A

x

y:x

A; y

A song song với A .

Chứng minh
Trước hết ta chứng minh rằng: Nếu A song song với các không gian
con L1 , L2 thì L1

L2 . Thật vậy, ta có:

L1 || L2
Ta lại có: 0

L2

L2

L1 a

a R n ; L2

L1 a .

a

L1

L1

a

L1

Tương tự ta nhận được L1

L2 . Do đó L1

L2 . Vậy ta đã chứng

minh được tính duy nhất.
Lấy y

A ta có A y là tập afin chứa 0. Vậy A y là không gian

con duy nhất L || A . Vì y là tùy ý nên L

A y

A A (điều phải chứng
W

minh).
Định lí 7. (Xem [5], tr 15)

R, b R n , b 0 . Khi đó tập hợp:

Giả sử

H

x

R n : x, b

n

- là một siêu phẳng trong R .

Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất bằng cách này
(theo nghĩa: đồng nhất các siêu phẳng có b và

được nhân cùng với một

số).
Chứng minh
Trước hết ta chú ý các không gian n 1 chiều là các tập các tập có

18


dạng

Rn ; x

x

0 ; các siêu phẳng là các dịch chuyển của

b ; b

chúng.
Như vậy:

H

Rn : x

x

x a : x, b

b

a

0

y

R n : y a, b

y

R n : y, b

0
.
W

Định lí 8. (Xem [5], tr 17)
n

Giả sử S là đơn hình n

Khi đó intS

chiều trong R với các đỉnh a0 , a1 ,....., an .

.

Chứng minh
Không mất tính tổng quát ta có thể xem như : a0

a1 ..... an

(1)

0 thuộc R n ;

Lấy x
n

i a1

1;

i

i 0

Giả sử

max

1
e

là tọa độ trọng tâm của x .

n

Khi đó, x
Đặt

0 ,......, n

(2)

i 0
0

n 1

,...,

n

.

1. Khi đó, 0 e 1 . Từ (1) và (2) suy ra:
n

ex

1 e 0 ex
i 0

19

1 e
e
1 n

1

ai

0


Đặt

1 e
e i . Ta nhận được
n 1

i

n
i

0;

i

1 . Và

i 0

n

ex

i ai

S.

i 0

Vì vậy, nếu e1 ,...., en
cho

ee j

bán kính

n

làn một cơ sở trong R , thì tồn tại e

S j 1,...n . Do đó co

0 sao

ee j ; j 1,...n lại chứa hình cầu

e
n
n

Vì vậy intS

W

.

Định lí 9. (Xem [5], tr 18)

R n là tập lồi. Khi đó chiều của các đơn hình trong A đạt

Giả sử A

cực đại nếu bằng dimA .
Chứng minh
Nếu C

A thì coC

A . Vì thế cực đại số chiều các đơn hình trong

A là số m lớn nhất sao cho A chứa một tập m 1 điểm độc lập afin, chẳng
hạn a0 , a1 ,...., am
Đặt M

aff a0 , a1 ,....., am . Khi đó, dimm m và M

Mặt khác A

a0 , a1 ,...., am

M , bởi vì tồn tại a

A \ M , thì tập m 2 phần tử

A

Độc lập afin, và do đó mâu thuẫn với tính cực đại của m .

A M affA
affA M

dimA m

W

20

affA .


Định lí 10. (Xem [5], tr 19)
n

Giả sử A là tập lồi trong R . Khi đó aff A

affA

Chứng minh
Hiển nhiên aff A
Mặt khác A
Vì vậy aff A

affA .

affA affA
affA .

W

Định lí 11. (Xem [5], tr 19)
n

Giả sử A là tập lồi trong R . Khi đó, riA

và aff riA

affA

Chứng minh

Rn .

a) Trước hết xét trường hợp dimA=n, tức là affA

Theo định lí 9, A chứa tập n 1 điểm độc lập aff a0 , a1 ,......, an .
Đơn hình S với các đỉnh a0 , a1 ,......, an có intS
Hiển nhiên aff int A

(định lí 8).

affA

(1)

Mặt khác, theo định lí 10 và mệnh đề 1 ta có:

affA aff A aff int A
Từ (1) và (2) suy ra aff riA
b) Trường hợp dimA

aff intA

(2)

affA .

n . Không mất tính tổng quát có thể xem như 0

tức affA là một không gian con. Giả sử dimA

A,

m , khi đó có thể đồng nhất

affA với R n và ta lại xét trường hợp a). Ta được điều phải chứng minh. W
Định lí 12. (Xem [5], tr 20)
n

Giả sử A là lồi trong R . Khi đó, riA
Chứng minh

21

A; ri A riA .


Giả sử dimA

0

m n . không mất tính tổng quát ta có thể xem như

A . Khi đó affA là không gian con và ta có thể đồng nhất affA với R n .
n

Áp dụng mệnh đề 1 cho không gian R ta được điều phải chứng minh.

W
2.2. CÁC ĐỊNH LÍ TÁCH
Tập H :

x

Rn : t, x

, ở đó t

R n \ 0 và

R được

n

gọi là một siêu phẳng trong R .
Tập H :

Rn : t, x

x

và H :

x

Rn : t, x

gọi

n

là nử không gian đóng trong R .

R n . Ta nói rằng 2 tập A và B được tách bởi siêu

Cho 2 tập A, B

R n \ 0 và

phẳng nếu t

R sao cho

inf t , x

sup t , y

x A

y B

(1)

Ta thấy siêu phẳng H tách A và B có dạng

H:

x

Rn : t, x

.

Định lí 13. (định lí tách thứ nhất) (Xem [3], tr 71)
n

Hai tập lồi dời nhau, khác rỗng A và B trong R có thể tách được
bởi một siêu phẳng. Có nghĩa là t

R n \ 0 và

inf t , x

sup t , y

x A

y B

R sao cho
(2)

Để chứng minh định lí trên ta cần chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.
n

Cho D là tập lồi khác rỗng trong R . Nếu 0

22

D thì tồn tại véc tơ