Định thức gram với khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m hộp trong không gian en

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Hình học cao cấp là một bộ phận quan trọng cấu thành nên toán học.
Đây là một môn học thú vị và tương đối khó đối với sinh viên. Chương trình
hình học cao cấp ở trường đại học sư phạm trong những năm gần đây chủ yếu
gồm ba loại không gian hữu hạn n – chiều: không gian afin, không gian Ơclít
và không gian xạ ảnh. Các vấn đề trong đó là rất phong phú và đa dạng, việc
học tập của sinh viên có nhiều khó khăn khi mới bắt đầu. Với mong muốn
được tìm hiểu sâu hơn về môn hình học và bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “ Định thức Gram với khoảng cách
giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong không gian

“.

2. Mục đích nghiên cứu:
Khóa luận nhằm mục đích giúp sinh viên có cái nhìn rõ hơn về hai vấn
đề: công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m – hộp trong
không gian

dựa vào định thức Gram.

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu:
+ Định thức Gram với công thức tính khoảng cách giữa các phẳng
+ Định thức Gram với công thức tính thể tích m – hộp
* Phạm vi nghiên cứu:
Công thức tính khoảng cách, thể tích m – hộp qua một số cơ sở lý thuyết

và một số bài toán điển hình.

Nguyễn Thị Mai

1

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu công thức tính khoảng cách giữa các phẳng và thể tích m –
hộp theo định thức Gram qua việc giải một số bài toán của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phân tích các tài liệu.
+ Tổng kết thành từng mục lý thuyết và bài tập.
6. Cấu trúc chính:
Cấu trúc chính của khóa luận gồm hai phần:
+ Phần 1: Cơ sở lý thuyết.
+ Phần 2: Môt số bài toán.

Nguyễn Thị Mai

2

Lớp K33D

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. Không gian Afin:
1.1.1. Định nghĩa:
Cho không gian vectơ

trên trường

, tập

mà các phần tử của nó

gọi là điểm, và ánh xạ:
→

:
( M, N )
Bộ ba (

,

( M, N ) =

) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được

,

thỏa mãn:
(i)

M

,

⇨

!N

(ii)

M, N, P

ta có:

+

:

= .

=

.

– gọi là không gian nền của :

+

= .

là trường số thực hoặc phức thì ta nói

+ Nếu

là không gian afin

thực hoặc phức.
+ Nếu

=n⇨

có số chiều dim

Kí hiệu:

– n chiều, dim

= n.

.

1.1.2. Ví dụ:
Xét không gian vectơ n chiều

(i)

.

→

Xét :
( ,

bất kỳ, lấy lấy

)

,

,

= [( M, N )]
!

,
⇨

Nguyễn Thị Mai

–
=

=
+

3

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
(ii)

,

ta có:
hay [( ,

= –

+

)] +

Khi đó, ( , ,

Khoa Toán

[( , )] =

[( , )]

) là không gian afin n chiều.

1.1.3. Một số hệ quả của định nghĩa:

a.

M

b.

M, N

mà

=

thì M

c.

M, N

thì

=-

.

d.

=

e.

thì

= .

⇔

O, M, N

=
ta có:

N.

.
=

-

1.1.4. Hệ điểm độc lập:
Cho không gian afin
Hệ 1 điểm của
(m

với nền là .

được gọi là một hệ điểm độc lập. Hệ m + 1 điểm
1 ) của không gian afin

nếu như hệ m vectơ

được gọi là hệ điểm độc lập
là hệ độc lập tuyến tính trong

.
Trong định nghĩa này

không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm

khác. Nếu các vectơ
với

là hệ độc lập tuyến tính thì

i nào đó các vectơ

cũng độc lập

tuyến tính.
1.1.5. Định lý:
Trong không gian afin n – chiều
lập với 1

m

, luôn tồn tại những hệ m điểm độc

n + 1, mọi hệ gồm số điểm nhiều hơn n + 1 điểm bao giờ

cũng không độc lập ta gọi là hệ phụ thuộc.

Nguyễn Thị Mai

4

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

1.1.6. Định nghĩa các phẳng trong không gian afin:
Cho không gian afin
điểm của

và

liên kết với không gian vectơ

. Gọi I là một

là không gian vectơ con của

Khi đó tập:

={M

/

}.

được gọi là cái phẳng ( gọi tắt là “ phẳng “ ) qua I và có phương là
Nếu

có số chiều là m thì

gọi là phẳng m- chiều hay m – phẳng.

Như vậy: 0 – phẳng chính là 1 điểm.
1 – phẳng là đường thẳng.
( n – 1 ) – phẳng là siêu phẳng.
1.1.7. Đơn hình m – chiều:
Đơn hình m – chiều là sự mở rộng của khái niệm tam giác trong không
gian 2 chiều, hoặc tứ diện trong không gian 3 chiều.
a) Định nghĩa:
Cho m + 1 điểm độc lập

. Ta xét tập hợp gồm những điểm

M sao cho ( với điểm O nào đó ):
=

với

=1

và

0, i = 0, 1, … , m.

Tập hợp đó gọi là m – đơn hình với các đỉnh:
là S(

và kí hiệu

).

b) Ví dụ:
Đơn hình 0 – chiều chính là một điểm.
Đơn hình 1 – chiều là đoạn thẳng.
Đơn hình 2 – chiều là tam giác.
Đơn hình 3 – chiều là tứ diện.

Nguyễn Thị Mai

5

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

Một đơn hình được hoàn toàn xác định bởi các đỉnh của nó.
( các đỉnh này phải lập thành một hệ điểm độc lập ).
Trong đơn hình n – chiều ta

lấy p + 1 điểm nào đó ( 0

p

m – 1 ) thì tất nhiên p + 1 điểm đó cũng lập thành hệ điểm độc lập và nó
xác định cho ta một đơn hình p – chiều, gọi là mặt bên p – chiều của đơn hình
đã cho. Các điểm còn lại nếu có cũng lập thành một đơn hình m – (p + 1 )
chiều ( vì nó còn m – p đỉnh còn lại ) gọi là mặt bên đối diện của mặt bên p –
chiều đã chọn.
Mặt bên 0 –chiều đỉnh của đơn hình.
Mặt bên 0 –chiều gọi là cạnh của đơn hình.
1.1.8. Hình hộp m – chiều:
Hình hộp m – chiều là sự mở rộng của khái niệm hình bình hành trong
không gian 2 chiều hoặc hình hộp trong không gian 3 chiều.
a) Định nghĩa:
Cho m + 1 điểm độc lập
, với 0

cho:

. Tập hợp những điểm M sao
1

được gọi là m – hộp.
b) Ví dụ:
Hộp 2 – chiều chính là hình bình hành.
Hộp 3 – chiều là hình hộp.
Trong định nghĩa của m – hộp ta cho p tham biến nào đó bằng 0 thì ta
được một hình hộp m – p chiều và gọi là mặt bên m – p chiều của hình hộp.
Do đó, mặt bên 0 – chiều của hình hộp gọi là đỉnh của hình hộp; mặt bên 1 –
chiều gọi là cạnh của hình hộp.
1.2. Không gian Ơclít:

Nguyễn Thị Mai

6

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán
và một ánh xạ μ :

Cho không gian vectơ thực
mà ta kí hiệu là μ

→ ℝ

; ) = . . Nếu ánh xạ này thỏa mãn 4 điều kiện sau thì

ta gọi

là một hàm tích vô hướng hay một tích vô hướng trên .

(i)

. =

(ii)

(

+

) =
+

(iii)

(k. )

. +

)=
= k( . ) = (k. )
=0 ⇨

≥0 &

(iv)

.

(Với

;

;

; ;

=

;

ℝ)

;

Số thực . được gọi là tích vô hướng của hai vectơ , .
= ( , μ ) được gọi là một không gian vectơ Ơclít.

Cặp

1.2.2. Định nghĩa không gian Ơclít:
Một không gian afin liên kết với không gian vectơ

còn được gọi là

một không gian Ơclít và kí hiệu là .
Nếu

số chiều là n thì

gọi là n chiều.

Kí hiệu:
1.2.3. Ví dụ:
a) Không gian Ơclít thông thường

học ở phổ thông.

b) Mỗi không gian vectơ Ơclít hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính tắc
là một không gian Ơclít, chẳng hạn như

.

1.2.4. Định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm:
Cho hai điểm M, N của không gian Ơclít

,khoảng cách giữa hai

điểm đó kí hiệu là d( M, N ), được định nghĩa là số:

Nguyễn Thị Mai

7

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

d( M, N ) =

Khoa Toán

=

1.2.5. Khoảng cách giữa hai phẳng:

a) Định nghĩa:
Khoảng cách giữa hai phẳng
là số: d(

) = infd( M, N ), M

Nếu

=

thì d(

, kí hiệu là d(

trong không gian
,N

)

.

) = 0.

b) Định thức Gram:
* Định nghĩa:
Trong không gian vectơ Ơclít

Kí hiệu: Gr(

,

cho m vectơ:

,

.

)=

Và gọi là định thức gram của hệ vectơ: {

,

}.

* Tính chất:
i) Gr(

,

)

0 ,

. Do đó định thức Gram

,

không phụ thuộc vào thứ tự các vectơ trong bộ.
Gr(

) = 0 khi và chỉ khi {

,

} là hệ vectơ phụ

,

thuộc tuyến tính.
Suy ra Gr(

) > 0 khi và chỉ khi hệ {

,

} độc lập

,

tuyến tính.
ii) Trong không gian vectơ Ơclít

cho m vectơ bất kỳ

,

.

Khi

đó ta có:
Gr(

Nguyễn Thị Mai

,

)

.

8

…

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

(bất đẳng thức Hadmard)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {

} là hệ trực giao.

,

c) Khoảng cách giữa hai phẳng:
Cho hai cái phẳng
sở (

của

. Giả sử không gian vectơ

) thì với điểm bất kỳ A

,

d( ,
) Nếu ,

,B

+

có cơ

, ta có:

)=

là 0 – phẳng thì:

d( ,

) = Gr(

)=|

|

Điều này đúng với định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm trong

;

trong trường hợp n = 2, hoặc n = 3, ta trở về các công thức tính khoảng cách
giữa hai điểm ở phổ thông trung học.
) Nếu
=

là 0 – phẳng,
,

) thì:
d( ,

(i) Với
Lấy

là m – phẳng qua B và có phương ,

) = d( A,

)=

là đường thẳng, tức m = 1:

thì:

( ,

)=

( A,

Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho

=

Nguyễn Thị Mai

)=

.

có phương trình:

= … =

9

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Và cho điểm A có tọa độ (
(

; …;

;

) thì ta có thể lấy B(

;

) và

) nên có công thức:

;

Hay

Khoa Toán

( A,

)=

( A,

)=

Với n = 2 hoặc n = 3 ta trở về công các thức tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng đã học ở phổ thông trung học .
(ii) Đặc biệt

là siêu phẳng có phương trình:

=0
Xét

)⇨

=(

trực giao với .

Gọi H là hình chiếu của A trên siêu phẳng . Khi đó:
d(

) = d ( A,

Do

nên

=|

= t.

(t

| = AH
ℝ)

H=(
Vì H

).

nên:

⇔
t
Từ

= t.

=⇨

Nguyễn Thị Mai

.

hay

10

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

=

Vậy

d ( A,

)=

Khi n = 2 hoặc n = 3, dễ thấy ta trở lại các công thức tính khoảng cách từ
một diểm đến một đường thẳng ( hoặc một điểm đến một mặt phẳng ) đã học
ở phổ thông trung học.
Khi

là 2 – phẳng, tức m = 2, lấy một cơ sở {
( A,

} của

thì:

)=

Khi n = 3, trong cơ sở trực chuẩn ε =

của

thì:

=

⇨

=

(Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã biết ở phổ
thông trung học ).
)

,

là 1 – phẳng:

(i) Nếu

là hai đường thẳng song song thì

= , và m = 1, ta quay trở

lại mục (i) ở phần b), và khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Điều này hoàn toàn phù hợp với kiến thức đã biết ở phổ thông.
(ii) Nếu ,
của ,

là hai đường thẳng không song song , lấy các vectơ chỉ phương
của

Nguyễn Thị Mai

thì:

11

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

( ,

Khoa Toán

)=

là hai đường thẳng chéo nhau, ta trở về công thức tính

Khi n = 3, ,

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ở phổ thông trung học.
)

là 1 – phẳng

, do đó

Ta có:

∥ :

là 2 – phẳng và

+

Nếu

thì A ≡ B ⇨

Nếu

thì:

=

⇨ d(

(

=

( Với {
Tức khoảng cách giữa

} là cơ sở của

(

.

).

là khoảng cách từ một điểm thuộc đường

thẳng đến mặt phẳng.
)
∥
⇨

là 2 - phẳng,

∥ :

⇨

+

⇨

(

. Chọn {
=

(

} là cơ sở của
=

( B,

.

Tức khoảng cách giữa hai măt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khi n = 2 hoặc n = 3, ta trở lại các công thức tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song, chéo nhau; giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai
mặt phẳng song song đã học ở phổ thông trung học.
1.2.6. Thể tích của m – hộp trong

:

Xét m – hộp H xác định bởi m + 1 điểm độc lập

Nguyễn Thị Mai

12

,

, …,

.

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán
(1

Ta đặt

n)

, i = 1, 2, …, m.

=

Thể tích của m – hộp được kí hiệu: V( H ) và được định nghĩa:
V( H ) =
* Khi m = 1, hộp H là đoạn

, lúc đó:

V( H ) =

= d(

)

Vậy trong trường hợp này thể tích chính là độ dài đoạn thẳng.
* Khi m = 2, n = 2 thì 2 – hộp H gọi là hình bình hành và
V( H ) =
chính là diện tích hình bình hành đã biết ở trường phổ thông.
1.2.7. Thể tích của đơn hình:
Cho m – đơn hình S với các đỉnh
Gọi H là m – hộp xác định bởi

,

,

, …,

, …,

(1

n ).

. Thể tích của m – đơn hình S, kí

hiệu là V( S ) và được xác định bởi công thức:
V(S)=
Khi m = 1 thì 1 – đơn hình là đoạn thẳng

.

Thể tích của 1 – đơn hình chính là độ dài đoạn thẳng đó.
Khi m = 2, n = 2 thì 2 – đơn hình gọi là tam giác và thể tích của 2 – đơn
hình gọi là diện tích, ta kí hiệu là S (
S(

).

)=

Đó chính là công thức tính diện tích tam giác ở phổ thông trung học.
Khi m = 3, n = 3, thì 3 – đơn hình là tứ diện, 3 – hộp là hình hộp và

Nguyễn Thị Mai

13

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

V( S ) =

Khoa Toán

V( H ) =

V( H ).

Như vậy khi n = 2 hay n = 3, ta trở về các công thức tính diện tích, thể
tích ở phổ thông trung học.

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN
cho m - đơn hình

Bài 1: Trong

với các đỉnh

,…,

mà

các cạnh của nó đều có độ dài bằng a (ta gọi đơn hình này là đơn hình đều,
cạnh a).
a,Tính thể tích của

.

b,Tính khoảng cách từ 1đỉnh đến (m - 1) mặt đối diện (khoảng cách này gọi là
chiều cao của đơn hình đều).
c,Tính khoảng cách từ một đỉnh đến trọng tâm G của
Lời giải:
a, Ta có:

=

=

=

+

Nguyễn Thị Mai

- 2

.

14

Lớp K33D

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
=2
Vậy với i

- 2

j và i, j

.

( i, j

Khoa Toán
0, i

j)

0 thì:
.

=

,

=

Theo định nghĩa thể tích ta có:
V(

)=

, trong đó:

.

=

Gr(

=

=

Vậy V(

=

)=

(m+1)

.

=

* m = 2, 2 – đơn hình đều chính là tam giác đều cạnh a
diện tích tam giác đều được xác định bởi:
S(

Nguyễn Thị Mai

)=

=

15

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

* m = 3, 3 – đơn hình đều chính là tứ diện đều cạnh a
thể tích tứ diện đều cạnh a được xác định bởi:
V=
b) Gọi h là khoảng cách từ

=
đến ( m – 1 ) - phẳng

đi qua

,…

thì theo công thức tính khoảng cách ta có:

,

=

(

)=

(xem kết quả đã tính câu a).

=

Suy ra: h = a
Vì vai trò bình đẳng của các đỉnh đối với đơn hình đều nên h là khoảng
cách từ một đỉnh bất kỳ đến ( m – 1 ) – mặt đối diện.
Khi m = 2, 2 – đơn hình đều là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ một đỉnh
đến cạnh đối diện của tam giác đều là:
c) G là trọng tâm của đơn hình
đều cạnh a (i

Có:
⇨
⇨

⇨(m+1)

Nguyễn Thị Mai

=

a

,…,

j

.

k)

.cos

=
+

=

16

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

⇨
⇨

=
=
=

[m+

=

⇨G

=

]=

= a.

Vì vai trò bình đẳng giữa các đỉnh của

nên khoảng cách từ một đỉnh

bất kỳ đến trọng tâm G là: a.
* m = 2 thì 2 - đơn hình đều cạnh a là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ
một đỉnh đến trọng tâm trong tam giác đều cạnh a là:
với mục tiêu trực chuẩn { O,

Bài 2: Trong
Gọi

(i = 1, … , n ) là các điểm mà

=

.

…,

}.

, i = 1, … , n.

Tính thể tích của ( n – 1 ) – hộp H(

).

Lời giải:
Ta có:
⇨

=

=

=(
=

Nguyễn Thị Mai

-

).(
(i

)

j)

17

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

V(H)=
Có:

=

=

=

+

=

+

=

+

Tiếp tục quá trình trên ta được:
=
⇨

+

=

Cứ tiếp tục quá trình đó được:
=
( Kí hiệu

nghĩa là không chứa

trong tích ).

⇨ V( H ) =

Nguyễn Thị Mai

18

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

* n = 2, có: |

Khoa Toán

|=

O
Bài 3: Đơn hình S(
= 0 với

.

i

) gọi là vuông tại đỉnh

. Ta xét ( m – 1 ) – đơn hình

j, ( i,j =

). Kí hiệu

nếu

nghĩa là ta bỏ điểm

trong tập các điểm

.
Chứng minh rằng:

.
Lời giải:

(

),

(

),

(

Chọn mục tiêu trực chuẩn
Giả sử

|

|=

=

Ta có:

.

.

(trong đó

là ( m – 1 ) – hộp xác định bởi các điểm

Theo bài 2 ta có:
Mà :
Với

).
.

thì

=

.

là ( m – 1 ) – hộp xác định bởi các điểm

Nguyễn Thị Mai

)

…

=

19

(

.

Lớp K33D

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

=

Khoa Toán

Gr

Có :
Gr

…

=

…

=

.

=

(đpcm).

* n= 3, ta có:
=

Bài 4: Trong

+

+

O

cho m vectơ bất :

.

Chứng minh rằng:
a) Gr(
b) Nếu các vectơ

)
đều khác

.
thì:
khi và chỉ khi

Gr

là

hệ trực giao.

Nguyễn Thị Mai

20

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

Lời giải:
a) Nếu hệ

phụ thuộc tuyến tính thì Gr(

)

nên bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu hệ

độc lập tuyến

tính thì ta trực giao hóa Gram Schmidt bộ

để được bộ

; mà theo công thức trực giao hóa thì

, còn với k > 1

có dạng:

thì

=

–

hay là

=

+

Do đó,

=

Vì

=

⊥

(

ℝ)

+
,…,

nên suy ra

=

,

Bây giờ ta tính:

Gr(

)

=

=

=

Nguyễn Thị Mai

21

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

=

= ………………….

( tiếp tục làm cho đến cột thứ m )

Với i < j thì

+

.

=(

).

=

.

=(

+

=0

với

( vì
Với i = j thì

.

).

=

( vì

với

Do đó:

Gr(

)

…

=
Vậy Gr(

)

b) Bây giờ giả sử mọi
.

…

= 0 với i

đều khác

và hệ

j. Do đó:

Gr(

…

)

…

=
Ngược lại, nếu: Gr(
bộ

Nguyễn Thị Mai

trực giao thì

…

)

là trực giao hóa của bộ

22

ta lại lấy
thì:

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán

,
Và Gr(

(k > 1 )
…

)

Từ

( i = 1, 2, …, m )

và

…

…
( với i = 1, 2, …, m )

suy ra

Khi trực giao hóa bộ

để được bộ

được trực giao giao hóa thành bộ
trên ta có: Gr(

)=

.

Vậy

Gr(

)=

.

Nhưng

Gr(

)=

-

Suy ra

=

⇨

-

thì bộ
nên theo lập luận ở phần

.
, hay

=0

= 0, tức là

Vì giá trị Gr(
tập

) không phụ thuộc vào thứ tự các vectơ trong
nên với mọi i

j cho trước trong tập { 1, … , m } ta có

thể cho ( i, j ) đóng vai trò ( 1, 2 ) và như thế ta được
, hệ

Bài 5: Trong

. Nói cách khác

trực giao.

cho m – đơn hình

có các đỉnh

Chứng minh rằng:

Nguyễn Thị Mai

23

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khoa Toán
.

Dấu bằng xảy ra khi nào?
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Hadmard ( bài tập 4 ) ta có:
Gr(

,…,

,

)

Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {
chuẩn.Tức:

,… ,

,

với i, j = 1, … , m và i

Mặt khác, Gr(

,…,

,

( đpcm )

)
cho m - đơn hình

Bài 6: Trong

có các đỉnh

với mọi i, j = 1, … , m và i

mãn:

đơn hình trực giao tại

. Đặt

đến ( m – 1 ) – phẳng

ứng với đỉnh

j

…

.

⇨ V(

} là hệ trực

)=

⇨

từ

…

.

j ( ta gọi

,

,

thỏa

như thế là m -

( i = 1, … , m ) và h là khoảng cách

=
qua

,

(còn gọi h là chiều cao của

,

.

Chứng minh rằng:

=

+…+

+

Lời giải:
Đặt

=

( i = 1, … , m ) ta có:

Nguyễn Thị Mai

=

24

,

⊥

với i

j.

Lớp K33D


Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Phương

của

…,

Khoa Toán

sinh ra bởi ( m – 1 ) vectơ độc lập tuyến tính {

,

}.

Ta có:

=

-

=

Với j = 1, … , m – 1 thì

-

=

.

Áp dụng công thức tính khoảng cách ta được:

=

=
Do đó:

=

Ta có:

=
=

=

=

…

(1)

(Kết quả này có thể dễ dàng tính được bằng cách qui nạp theo m)
Lại có:

Nguyễn Thị Mai

=

25

Lớp K33D

,