Định thức và ứng dụng

GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 03
NỘI DUNG ................................................................................................................ 04
Chƣơng 1: Các kiến thức liên quan ......................................................................... 04
1.1. Ma trận ............................................................................................................. 04
1.1.1. Định nghĩa ma trận .................................................................................... 04
1.1.2. Ma trận chuyển vị...................................................................................... 05
1.1.3. Ma trận nghịch đảo.................................................................................... 05
1.1.4. Ma trận tam giác........................................................................................ 06
1.1.5. Hạng của ma trận ...................................................................................... 06
1.2. Phép thế và dấu của phép thế ........................................................................... 07
1.2.1. Phép thế ..................................................................................................... 07
1.2.2. Nghịch thế, dấu của phép thế .................................................................... 08
Chƣơng 2: Định thức của ma trận........................................................................... 10
2.1. Định nghĩa ........................................................................................................ 10
2.1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 10
2.1.2. Định thức con bù và phần bù đại số .......................................................... 10
2.2. Các tính chất của định thức .............................................................................. 11
2.3. Các phương pháp tính định thức ...................................................................... 15
2.3.1. Phương pháp dùng định nghĩa .................................................................. 15
2.3.2. Phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột .............................................. 15
2.3.3. Phương pháp đưa về ma trận tam giác ...................................................... 17
2.3.4. Phương pháp rút ra nhân tử tuyến tính ..................................................... .20
2.3.5. Phương pháp truy hồi ............................................................................... .22
2.3.6. Phương pháp sử dụng tính đa tuyến tính.................................................. .24
Bài tập vận dụng..................................................................................................... .27
Chƣơng 3: Ứng dụng của định thức ....................................................................... .36

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

1

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

3.1. Xét tính độc lập, phụ thuộc của một hệ vectơ .................................................. 36
3.2. Tìm ma trận nghịch đảo ................................................................................... 38
3.3. Tìm hạng của ma trận....................................................................................... 41
3.4. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính .................................................. 42
3.5. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng ........................................................................... 48
Bài tập vận dụng...................................................................................................... 51
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 61

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

2

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi. Cùng
với thời gian các kiến thức Toán học không ngừng được đổi mới và nâng cao giá trị
của mình.
Một trong những môn học có vai trò quan trọng cho sự phát triển của Toán học
đó là đại số tuyến tính. Đại số tuyến tính là môn học cơ sở trong chương trình Toán
học cao cấp ngày nay. Trong đó nội dung định thức có nhiều ứng dụng quan trọng
trong Toán học và khoa học kĩ thuật.
Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức Toán học một cách
gọn gàng, sáng sủa; đồng thời sử dụng định thức còn là phương pháp giải toán rất
hiệu quả. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy cho người học Toán.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này em lựa
chọn đề tài “Định thức và ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày lí thuyết cơ bản về định thức của ma trận và ứng dụng của định thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Đưa ra các kiến thức liên quan về định thức và ứng dụng của định thức.

-

Nghiên cứu về định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính định thức của
ma trận; đồng thời đưa ra các ví dụ minh họa cho các phương pháp đó.

-

Xây dựng hệ thống bài tập qua các lớp bài toán về ứng dụng của định thức.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
-

Đọc sách và nghiên cứu các tài liệu tham khảo.

-

Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

3

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1. MA TRẬN
1.1.1. Định nghĩa ma trận
Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử aij

K sắp xếp theo

m dòng, n cột như sau:

a11
a 21

a12
a 22

a1n
a2n

a m1

am 2

am n

(1)

được gọi là một ma trận kiểu (m, n). Mỗi aij trong bảng được gọi là một thành phần
của ma trận.
Vectơ dòng ai1

Vectơ cột

a1 j
a2 j

ai 2

ain được gọi là dòng thứ i của ma trận.

được gọi là cột thứ j của ma trận.

am j
Ma trận thường được kí hiệu bởi các chữ: A, B,…. Ma trận (1) có thể được
kí hiệu: A = (aij)m x n .
Khi m = n thì ma trận A = (aij)n x n được gọi là một ma trận vuông cấp n, kí
hiệu là A = (aij)n.
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử thuộc trường K được
kí hiệu là Mat(m x n, K).

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

4

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Tập hợp các ma trận vuông cấp n cùng với phép toán cộng và nhân ma trận
lập thành một vành có đơn vị, kí hiệu là Mat(n x n, K). Vành này không giao hoán
khi n > 1.
Phần tử đơn vị của vành Mat(n x n, K) là ma trận:

I

1 0
0 1

0
0

0 0

1

và I được gọi là ma trận đơn vị cấp n.
1.1.2. Ma trận chuyển vị

Cho ma trận A

thì ma trận At

a ji

aij

a11
a 21

a12
a 22

a1n
a2 n

a m1

am 2

am n

m xn

a11
a12

a 21
a 22

a m1
am 2

a1n

a2 n

am n

nxm

được gọi là ma trận chuyển vị của

ma trận A.
Ta có:

(At)t = A

; (A-1)t = (At)-1.

(A + B)t = At + Bt

; (A.B)t = Bt . At .

1.1.3. Ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A Mat(n n, K ) là một ma trận khả nghịch nếu có một ma
trận vuông B Mat(n n, K ) sao cho AB = BA = I. Khi đó B được gọi là ma trận
nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1 .

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

5

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
1.1.4. Ma trận tam giác

Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên (hoặc
phía dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy aij = 0

i

j (hoặc i>j).

Ma trận tam giác dưới có dạng:

a11
a 21

0
a 22

0
0

0
0

a i1

ai 2

aii

0

a n1

an 2

a ni

a nn

(aij = 0 nếu i
Ma trận tam giác trên có dạng:

a11 a12
0 a 22

a1i
a 2i

a1n
a2n

0

0

aii

ain

0

0

0

a nn

(aij = 0 nếu i >j).

Ví dụ:

A

1 0 0
2 1 0
3 2 1

là ma trận tam giác dưới cấp 3.

B

1 8 9
0 2 5
0 0 6

là ma trận tam giác trên cấp 3.

1.1.5. Hạng của ma trận
Hạng của một hệ vectơ:
Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V. Ta gọi số
vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã cho.

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

6

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
Kí hiệu hạng của hệ vectơ

1

,

2

,...,

n

là rank

1

,

2

,...,

n

.

Hạng của ma trận:
Cho A Mat(m n, K ) . Coi mỗi cột (hay dòng) của A là một vectơ ta được
hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian vectơ Km (tương ứng Kn). Ta gọi
hạng của hệ n (tương ứng m) vectơ này là hạng của ma trận A và kí hiệu là rankA.
Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột (hoặc
dòng) của nó.
1.2. PHÉP THẾ VÀ DẤU CỦA PHÉP THẾ
1.2.1. Phép thế
Ta gọi mỗi song ánh từ tập {1, 2, …, n} lên chính nó là một phép thế
(hoặc hoán vị) bậc n.
Tập hợp tất cả các phép thế của tập {1, 2, …, n} được kí hiệu là Sn và Sn có
n! phần tử.
S n như sau:

Kí hiệu một phép thế

1
(1)
Như vậy

2
(2)

n
.
( n)

(1), (2),..., (n) là cách sắp xếp thứ tự của {1, 2, …, n}.

Tổng quát: Song ánh của một tập hợp A gồm n phần tử vào chính nó cũng gọi là
một phép thế của tập A. Vì nếu ta liệt kê các phần tử của A dưới dạng
A

a1 , a 2 ,..., a n thì một phép thế

của A sẽ có dạng:

a1
aj

1

trong đó j1 , j 2 ,..., j n

a2
aj

2

an
aj

,

n

1,..., n . Như vậy có thể đồng nhất phép thế này với

'

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

1
j1

2
j2

7

n
.
jn

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Ta có thể xét tích của hai phép thế trong Sn như phép hợp thành của hai
ánh xạ. Khi đó Sn là một nhóm với phép lấy tích các ánh xạ.

S n mà

Phép thế

i

j,

j

i, k

k, k

phép chuyển trí, được kí hiệu (i, j). Nghĩa là phép thế

i, j

i, j được gọi là một

đổi chỗ hai phần tử

1,2,..., n cho nhau và giữ nguyên các phần tử còn lại.
Ví dụ:
a) Ánh xạ đồng nhất của {1, 2, …, n} là một phép thế. Nó đóng vai trò là

phần tử đơn vị của Sn.

1 2 3 4
là phép thế trên tập {1, 2, 3, 4} xác định bởi
4 3 1 2

b)

1

4,

2

3,

3

1,

4

2.

1.2.2. Nghịch thế, dấu của phép thế
Với n>1, ta gọi cặp số i, j
nếu

i

1,2,..., n là một nghịch thế của phép thế

j trái dấu với i – j, nghĩa là

i

j
i

j

0.

Phép thế với số nghịch thế chẵn (tương ứng lẻ) được gọi là phép thế chẵn
(tương ứng lẻ).
Dấu của phép thế

là một số được kí hiệu sgn
1

sgn

1

Nếu
Nếu

cho bởi

là phép thế chẵn
là phép thế lẻ

Ví dụ:
a) Phép thế

1 2 3
có hai nghịch thế là {1, 3}, {2, 3} cho nên
2 3 1

sgn( ) 1 .

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

8

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

1 2 3 4
có 5 nghịch thế là {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},
4 3 1 2

b) Phép thế

{2, 3}, {2, 4} cho nên sgn

1.

Hệ quả 1: Nếu i < j thì số nghịch thế của phép chuyển trí (i, j) là 2(j – i) – 1. Hay
mỗi phép chuyển trí là một phép thế lẻ.
Hệ quả 2: Mỗi phép thế bậc n, n

2 đều là tích của một số hữu hạn chuyển trí.

S n và n > 1 thì sgn

Hệ quả 3: Với mọi

trên mọi cặp số (không có thứ tự) i, j
Hệ quả 4: Với mọi

,

j
i

tích này chạy

j

1,2,..., n .

S n , ta đều có: sgn .

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

i
i j

9

sgn

. sgn

.

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Chƣơng 2: ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
2.1. ĐỊNH NGHĨA
2.1.1. Định nghĩa
Định thức của ma trận vuông A

aij

Mat n n, K là một phần tử thuộc

nxn

trường K, kí hiệu là det A, cho bởi:
det A

sgn

.a1

1

.a 2

2

.....a n

n

.

Sn

det A cũng được gọi là một định thức cấp n. Định thức của ma trận A còn được kí
hiệu là A .
Ví dụ:
a) Định thức cấp một: det (a) = a.
b) Định thức cấp hai: det

Số các phép thế bậc hai:
nên sgn(

1

Do đó det

) 1,

2

a11 a12

a21 a22
1 2
,
1 2

1

a11 a12
a21 a22

1 2
trong đó
2 1

2

là phép thế lẻ nên sgn(

a11 a12
a21 a22

sgn( ).a1

2

)

(1)

.a2

( 2)

.

S2

1

là phép thế chẵn

1.

a11a22 a12a21.

2.1.2. Định thức con bù và phần bù đại số
Cho A

(1 k

aij

nxn

Mat n n, K . Nếu chọn k dòng và k cột của A

n) thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở

giao của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.
Ví dụ: Cho ma trận A

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

1
2
7

2 3
2 5
6 9

10

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Nếu ta chọn dòng 2, cột 3 thì giao của dòng 2 và cột 3 cho ta định thức con cấp 1
của ma trận A là M 0

5.

Nếu ta chọn dòng 1, dòng 2; cột 1, cột 2 thì giao của dòng 1, dòng 2; cột 1, cột 2

1
2

cho ta định thức con cấp 2 của ma trận A là M 1

2
.
2

Nếu ta chọn dòng 2, dòng 3; cột 1, cột 3 thì giao của dòng 2, dòng 3; cột 1, cột 3

2 5
.
7 9

cho ta định thức con cấp 2 của ma trận A là M 2

Định thức M’ của ma trận vuông cấp n – k nhận được sau khi xóa đi k
dòng và k cột lập nên định thức con M được gọi là một định thức con bù của định
thức con M.
Ví dụ: Định thức con bù của các định thức M0, M1, M2 lần lượt là các định thức:

1 2
, M 1'
7 6

M 0'

9, M 2'

2.

Nếu k dòng đã chọn là i1, i2, …, ik và k cột đã chọn là j1, j2, …, jk thì ta gọi:

k

1

( iq

jq )

q 1

M ' là phần bù đại số của định thức con M.

Khi k = 1 thì phần bù đại số của phần tử aij là Aij

1

i j

.M ij' trong đó M ij' là

định thức con bù cấp n – 1 của phần tử aij .
Ví dụ:
Phần bù đại số của phần tử 5 là ( 1) ( 2 3) M 0'

( 1) 5

1 2
7 6

8.

Định thức con M1 có phần bù đại số là ( 1) (1

2 1 2)

M 1'

( 1) 6 .9 9.

Định thức con M2 có phần bù đại số là ( 1) ( 2

3 1 3)

M 2'

( 1) 9 .2

2.

2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

2.2.1. Tính chất 1.

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

11

Lớp: K33 - Cử nhân Toán

GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
a) Nếu đối với một cột thứ j nào đó 1

D

D'

j

a11
a 21

a12
a 22

a1' j
a 2' j

a1" j
a 2" j

a1n
a2n

a n1

an 2

a nj'

a nj"

a nn

a11
a 21

a12
a 22

a1' j
a 2' j

a1n
a2n

a n1

an 2

a nj'

a nn

D"

b) Nếu đối với một cột thứ j nào đó 1

D

D'

a11
a 21

a12
a 22

ka1' j
ka2' j

a1n
a2n

a n1

an2

kanj'

a nn

a11
a 21

a12
a 22

a1' j
a 2' j

a1n
a2n

a n1

an 2

a nj'

a nn

j

n , ta có aij

aij'

aij" nghĩa là: Nếu

thì ta có D = D’ + D” trong đó

a11
a 21

a12
a 22

a1" j
a 2" j

a1n
a2 n

a n1

an 2

a nj"

a nn

n , ta có aij

.

kaij' nghĩa là:

thì ta có D = k.D’ trong đó

.

c) Nếu định thức có hai cột giống nhau thì nó bằng 0.
d) Định thức của ma trận đơn vị bằng 1.
2.2.2. Tính chất 2. Cho A là ma trận vuông cấp n: A
ma trận chuyển vị là At

aij

nxn

Mat n n, K có

(a ji ) nxn thì det At = det A.

2.2.3. Tính chất 3. Giả sử A, B Mat(n n, K ). Khi đó:
a) det (A.B) = det A . det B.
b) A khả nghịch khi và chỉ khi det A

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

0 . Hơn nữa, ta còn có det A

12

1

1
.
det A

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
2.2.4. Hệ quả

a) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột của nó.

b) Nếu các cột của định thức cấp n, coi là những vectơ của Kn là một hệ phụ
thuộc tuyến tính thì định thức bằng 0. Nói riêng, nếu định thức có một cột
bằng 0 (gồm toàn số 0) thì nó bằng 0.
c) Định thức bằng 0 nếu có hai cột tỉ lệ với nhau.
d) Định thức không thay đổi nếu ta nhân một cột của định thức với một vô
hướng thuộc K rồi cộng vào một cột khác của nó.
e) Tất cả các tính chất của định thức đối với các cột vẫn đúng đối với các dòng
của nó.
2.2.5. Ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các định thức sau bằng 0.

sin 2
a) sin 2
sin 2

1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2

a b c 1
b) b c a 1
c a b 1
Lời giải:

a) Lấy cột 1 cộng cột 3, ta được:

sin 2
sin 2

sin 2

1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2

sin 2
sin 2
sin 2

cos 2
cos 2
cos 2

1 cos 2
1 cos 2
1 cos 2

1 1 cos 2
1 1 cos 2
1 1 cos 2

0

b) Lấy cột 1 cộng cột 2, ta được:

a b c 1
b c a 1
c a b 1

a b c c 1
b c a a 1
c a b b 1

1 c 1
(a b c) 1 a 1
1 b 1

0

Ví dụ 2. Sử dụng các tính chất của định thức chứng minh rằng:

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

13

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
1 a bc
a) 1 b ca
1 c ab

1 a a2
1 b b2
1 c c2

1 a a3
b) 1 b b 3
1 c c3

1 a a2
( a b c) 1 b b 2
1 c c2

Lời giải:
a) Lần lượt lấy dòng 2, dòng 3 trừ đi dòng thứ nhất; đẳng thức đó tương đương
với:

1
a
bc
0 b a ca bc
0 c a ab bc

1
a
a2
0 b a b2 a2
0 c a c2 a2

Chuyển vế đồng thời đưa nhân tử chung của dòng 2 và dòng 3 ra ngoài định
thức ta được:

1 a a2
(b a)(c a) 0 1 b a
0 1 c a

1 a
0 1
0 1

1 a a 2 bc
(b a)(c a) 0 1 b a c
0 1 c a b

bc
c
b

0

0

Vậy đẳng thức là đúng.
b) Ta có:

VP

1 a a2
(a b c) 1 b b 2
1 c c2

1 a a 3 a 2b a 2 c
1 b ab 2 b 3 b 2 c
1 c ac 2 bc 2 c 3

1 a a3
1 b b3
1 c c3

1 a a 2b a 2 c
1 b ab 2 b 2 c
1 c ac 2 bc 2

Đối với định thức thứ hai, ta cộng vào cột thứ ba tích của cột thứ nhất nhân với abc

VP

1 a a3
1 b b3
1 c c3

1 a a 2 b a 2 c abc
1 b ab 2 b 2 c abc
1 c ac 2 bc 2 abc

1 a a3
1 b b3
1 c c3

1 a a(ab ac bc)
1 b b(ab bc ac)
1 c c(ac bc ab)

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

1 a a3
1 b b3
1 c c3

14

VT

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
2.3. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC
2.3.1. Phƣơng pháp dùng định nghĩa
Định thức của ma trận vuông A

aij

Mat n n, K được tính theo công

nxn

thức:
det A

sgn

.a1

1

.a 2

2

.....a n

n

Sn

trong đó Sn là tập hợp tất cả các phép thế bậc n.
Ví dụ: Định thức cấp ba:

a11 a12
det a 21 a 22
a31 a32

a13
a 23
a33

a11 a12
a 21 a 22
a31 a32

a13

a 23
a33

sgn( )a1

(1)

a2

( 2)

a3

( 3)

.

S3

Số các phép thế bậc 3:

1 2 3
;
1 2 3

1

4

trong đó

1

,

2

,

3

1 2 3
;
3 2 1

2

5

1 2 3
;
2 3 1
1 2 3
;
2 1 3

là những phép thế chẵn,

4

,

5

1 2 3
;
3 1 2

3

6

,

6

1 2 3
;
1 3 2
là những phép thế lẻ. Do đó

ta có:

a11 a12
a 21 a 22
a31 a32

a13
a 23
a33

a11a 22 a33 a12 a 23a31 a13a 21a32 a13a 22 a31 a12 a 21a33 a11a 23a32 .

Nhận xét: Việc tính định thức theo định nghĩa là rất khó khăn vì số phép
thế bằng n! là một số khổng lồ khi n tăng. Trên thực tế nó chỉ được áp dụng để tính
khi n = 2, 3; hoặc khi ma trận A có dạng rất đặc biệt.
Sau đây là một số phương pháp thông dụng.
2.3.2. Phƣơng pháp khai triển theo dòng hoặc cột

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

15

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Cơ sở của phương pháp này là Định lí khai triển Laplace:
Cho A = (aij)nxn . Giả sử trong A đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) cố định
với 1 k

n 1. Khi đó định thức của ma trận A bằng tổng của tất cả các định thức

con M cấp k lấy ra từ k dòng (tương ứng cột) đó với phần bù đại số M’ của chúng,
tức là:
k

det A

M. 1

( iq j q )
q 1

.M '

1 i1 ... ik n 1

Hệ quả: Công thức khai triển định thức của ma trận A theo dòng thứ i:
det A ai1 Ai1

ai 2 Ai 2 ... ain Ain

và công thức khai triển định thức của ma trận A theo cột thứ j:

det A a1 j A1 j

a2 j A2 j ... anj Anj

trong đó Aij là phần bù đại số của aij.
Ví dụ: Tính các định thức sau:

a) D

1
2
3

d

0
0
c
0

2
b
4
0

a
0
5
0

l
d
f
c
v

b) D '

;

h
y
e

a
0

k
0
z
b
0

u
0
0
0
0

g
0
0
x
0

Lời giải:
a) Khai triển theo dòng 2 và dòng 4, ta được một định thức con cấp 2 khác 0.
Do đó ta có:

2 b
( 1) 2
d 0

D

4 1 3

0 a
c 5

abcd.

b) Khai triển Laplace theo thứ tự dòng 5, dòng 2, dòng 2, dòng 2 ta được:

D'

l
d
f
c
v

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

h
y
e
a
0

k
0
z
b

0

u g
0 0
0 0
0 x
0 0

v( 1)1 5

16

h k
y 0
e z
a b

u g
0 0
0 0
0 x

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
k u g
vy( 1) 2 1 z 0 0

b 0 x

( vyz)( 1) 2 1

u g
0 x

xyzuv

Nhận xét:
Nên sử dụng công thức khai triển theo dòng i (cột j) nếu dòng i(cột j) chứa nhiều
phần tử 0 hay những số đơn giản. Do đó các dòng hay cột được chọn phải sao cho
tạo ra ít định thức con khác 0 để đơn giản trong tính toán và trình bày.
2.3.3. Phƣơng pháp đƣa về ma trận tam giác
Sử dụng các tính chất của định thức ta đưa về ma trận tam giác trên hay dưới, rồi
áp dụng kết quả của định thức của ma trận tam giác:

a11 a12
0 a22

a1i
a2i

a1n
a2 n

0

0

aii

ain

0

0

0

ann

a11
a21

0
a 22

0
0

0
0

a i1

ai 2

aii

0

an1

an 2

ani

ann

a11a22 ...aii ...ann .

a11a22 ...aii ...ann .

Đây là phương pháp thường dùng để tính định thức có cấp là một số cụ thể.
Ta có thể trình bày thuật toán như sau:
Phương pháp Gauss:
+) Chọn một chỉ số i sao cho ai1

0 , rồi đổi chỗ dòng thứ 1 và dòng thứ i cho

nhau, đồng thời đổi dấu định thức.
Lần lượt trừ từ dòng thứ j

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

2 đi tích của dòng thứ 1 (của ma trận mới) với

17

a i1
.
a11

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
+) Tại bước thứ k, 2

k

n , lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n – k + 1 ở

góc phải bên dưới cùng.
+) Tối đa sau n – 1 bước ta sẽ được một ma trận tam giác trên. Định thức của nó
bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ 1. Tính định thức:

2 1 4
5 19 1
1 4 3

1 4 3
5 19 1
2 1 4

1

0
0

4
1
7

3
14
2

1
0
0

4
1
0

3
14
96

96.

Nhận xét:
Trong quá trình tính toán, để viết cho gọn ta nên phối hợp các phương pháp tính
định thức với nhau. Ở ví dụ trên sau bước 1 ta nhận được định thức có cột đầu chỉ
có một phần tử khác 0. Sử dụng khai triển Laplace đối với cột này ta đưa về tính
định thức cấp thấp hơn. Làm như thế ta không những khỏi phải viết lại cột đầu và

dòng đầu trong bước tiếp theo mà còn có thể sử dụng các tính chất của định thức để
đơn giản hóa ma trận nhận được từ bước thứ hai trở đi, trước khi sử dụng tiếp thuật
toán trên.
Thuật toán trên tuy luôn cho ta kết quả, nhưng việc luôn trừ đi một bội của dòng
(cột) thứ nhất có thể dẫn tới một ma trận phức tạp ở bước tiếp sau đó. Do đó khi áp
dụng phương pháp đưa về dạng tam giác ta phải tùy xem đặc điểm bài toán mà linh
hoạt trong việc sử dụng thứ tự các phép biến đổi sơ cấp.
Ví dụ 2. Tính các định thức:

a) D

a1b1
a1b2
a1b3
a1bn

a1b2
a 2 b2
a 2 b3
a 2 bn

a1b3
a 2 b3
a3b3
a3bn

a1bn
a 2 bn
a3bn

a b
b a

b b
b b

b b
b b

a b
b a 2011x 2011

; b) D '

a n bn

Lời giải:

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

18

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

a) D

b1
b2
a1 b3

a1b2
a 2 b2
a 2 b3

a1b3
a 2 b3
a3b3

a1bn
a 2 bn
a3bn

bn

a 2 bn

a3bn

a n bn

Lần lượt từ cột thứ 2 trừ đi tích của cột thứ nhất với a2, a3, …, an ta có

D

b1

b2
a1 b3

a1b2

a 2 b1

a1b3
a 2 b3

0
0

bn

a3b1
a3b2

a1bn
a 2 bn
a3bn

0

0

0

a n b1
a n b2

a n b3
0

Chuyển cột đầu xuống cột cuối ta có

a1b2
D

a2 b1

a1b3
a2 b3

0
0

( 1) n 1 a1

a3b1
a3b2

a1bn
a2 bn
a3bn

0

0

0

a1bn (a2 b1 a1b2 )(a3b2

an b1
an b2
an b3
0

b1
b2
b3
bn

a2 b3 )...(an bn 1 an 1bn ).

b) Cộng tất cả các cột với cột đầu tiên, ta thu được

1 b
1 a

b b
b b

1 b
1 b

a b
b a 2011x 2011

D' (a 2010b)

Nhân dòng đầu với (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta được

1
b
0 a b

b
0

b
0
(a 2010b)(a b) 2010.

D' (a 2010b)
0
0

0
0

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

a b
0
0
a b 2011x 2011

19

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
2.3.4. Phƣơng pháp rút ra các nhân tử tuyến tính

Nếu mỗi phần tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất đối với
biến x nào đó, thì định thức A là một đa thức của các biến đó với bậc không quá n.
Biến đổi sao cho có thể tìm được n đa thức bậc nhất f1, f2, …, fn độc lập tuyến tính
với nhau và mỗi fi là ước của A . Ta kết luận A và tích f1f2 … fn sai khác nhau
một nhân tử hằng số.
Ví dụ 1. Tính định thức:

D( x)

1 2
3
1 x 1 3
1 2
x 1
1

2

n
n
n

3

x 1

Lời giải:

Định thức D( x)

1 2
3
1 x 1 3
1 2
x 1
1

2

n
n
n

3

là một đa thức mà mỗi số hạng

x 1

trong định nghĩa của đa thức là một tích a1

1

.a2

2

.....an

n

đều có thừa số thứ nhất

là một hằng số. Do đó bậc của đa thức bằng n – 1, hệ số đầu là 1.
Mặt khác lần lượt cho x = 1, 2, …, n – 1, ta nhận được định thức có 2 dòng bằng
nhau nên chúng đều bằng 0, tức là:
D(1) = D(2) = … = D(n – 1) = 0.
Do đó D(x) chia hết cho x – 1, …, x – n + 1.
Suy ra D(x) = (x – 1)(x – 2)…(x – n + 1).
Ví dụ 2. Tính định thức Vandermonde

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

20

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Dn

1
1

x1
x2

x12
x 22

x1n
x 2n

1

1

xn

x n2

x nn

1

1

Lời giải:
Lấy cột thứ n – 1 nhân với (–xn) rồi cộng vào cột n,

lấy cột thứ n – 2 nhân với (-xn) rồi cộng vào cột n – 1,
…
lấy cột thứ nhất nhân với (-xn) rồi cộng vào cột thứ hai, ta được:

1
1

x1
x2

xn
xn

x1 ( x1 xn )
x2 ( x2 xn )

1
1

xn 1

xn

x1n 2 ( x1
x2n 2 ( x2

xn )
xn )

xnn 12 ( xn 1

0

xn )

Dn
xn 1 ( xn 1
0

0

xn )

Khai triển định thức theo dòng thứ n rồi đặt thừa số chung của mỗi dòng ra ngoài ta
có:

Dn

hay Dn

( xn

( 1)

x1 )( xn

n 1

( x1

xn )...(xn 1

x2 )...(xn

xn ).

xn 1 ).Dn

1
1

x1
x2

x12
x22

x1n
x2n

2

1

xn 1

xn2 2

xnn 12

2

1

Dn-1 là định thức Vandermonde cấp n – 1 vắng xn
Dn

1

( xn

x1 )( xn

1

x2 )...(xn

1

xn 2 ).Dn

1

2

Dn-2 là định thức Vandermonde cấp n – 2 vắng xn-1, xn.
Dn

2

( xn

x1 )( xn

2

2

x2 )...(xn

2

xn 3 ).Dn

3

…
Tiếp tục quá trình như vậy (để ý rằng D1 = 1) ta được:

Dn

( xn

x1 )( xn
(x j

x2 )...(xn

xn 1 )( xn 1

x1 )( xn 1

x2 )...(xn 1

xn 2 )...(x2

x1 )
.

xi )

1 i j n

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

21

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
2.3.5. Phƣơng pháp truy hồi

Ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột sao cho có thể biểu
diễn định thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn; sau đó
tính định thức của một số định thức cấp thấp ta sẽ tìm được định thức cấp n. Ta
thường gặp quan hệ có dạng:
Dn = pDn – 1 + qDn – 2.
+ Nếu q = 0 thì Dn = pn – 1 D1.

+ Nếu q

0 , gọi

là nghiệm của tam thức bậc hai x2 – px – q = 0. Xét hai

,

trường hợp nhỏ:
thì Dn

- Nếu

Dn
Dn

Dn 1
Dn 1

Lấy (2)

(

) Dn 1

Dn 2 )
Dn 2 )

Dn

Dn
Dn

2

n 2

Dn 1
Dn 1

( D2
2
( D2

n

(1)
(2)

D1 )
D1 )

ta được:
n 1

( D2

( D2
(

Dn
- Nếu

D1 )

D1 )
)

n

n 1

( D1

( D1
(

D2 )

D2 )
)

n

.

(*)

thì:

Dn

Dn 1

Dn 1
Dn

( Dn 1
( Dn 1

(1)

) Dn

(

Dn
Dn

2

n 2

( D2

D1 )

n 3

( D2

D1 )

2
n 4
3

( D2

2

Dn 1
2

D1 )

Dn

Dn
3

2

n 2
2

Dn

( D2

D1 )

n 2

( D2

D1 )

n 2

( D2

D1 )

3

...
Dn

Dn

( n 2)

( n 1)

D2

n 2

D1

D2

n 1

D1

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được

Dn

n 1

D1

(n 1)

n 2

( D2

Dn

(n 1)

n 2

D2

n 1

Dn

(n 1)

n 2

D2

(n 2)

D1 )
(2 n) D1
n 1

D1 .

Ví dụ 1. Tính định thức:

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

22

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp

Dn

9 8 0
1 9 8
0 1 9

0 0
0 0
0 0

0 0 0
0 0 0

9 8
1 9

Lời giải:
Khai triển theo hàng 1 ta được:

Dn

9 Dn 1 8Dn

Dn

Dn 1

8( Dn 1

Dn

Dn 1

8 n 2 ( D2

(1)

2

Dn 2 ) 8 2 ( Dn

2

Dn 3 ) ... 8 n 2 ( D2

D1 )

D1 )

(2)

Mặt khác từ (1) ta có:
Dn – 8Dn – 1 = Dn – 1 – 8Dn – 2
= Dn – 2 – 8Dn – 3
=…
= D2 – 8D1

Dn 8Dn 1

D2 8D1

(3)

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Dn

8 n 2 ( D2 D1 )
D2 8D1

Dn 1
Dn 8Dn 1

Với D1

Suy ra

Vậy Dn

9

,

D2

9 8
1 9

Dn Dn 1
64.8

Dn 8Dn 1 1

8n

1

7

1

n 2

73

8

n

Dn 1
Dn

8n 1
7
8n 1 1
7

.

Ví dụ 2. Cho a, b

R với a b . Tính định thức cấp n sau:

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

23

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
a b ab
0
1
a b ab
0
1
a b

0
0
0

0
0
0

0
0

0

Dn
0
0
0

0
0
0

0
0
0

a b ab
0
1
a b ab
0
1
a b

Lời giải:
Vì a

D1

b nên áp dụng công thức (*) với
a b, D2

a2

Dn

an

a b ab
1
a b

a2

ab b 2 b(a b) n
a
a ( a b)

ab b 2 ta có:

a(a b) (a 2 ab b 2 ) n
b
b( a b)

1

bn 1
, n 3.
a b

2.3.6. Phƣơng pháp sử dụng tính đa tuyến tính
Sử dụng tính đa tuyến tính của định thức, ta đưa việc tính một định thức thành

việc tính tổng của các định thức đơn giản hơn.
Ví dụ 1. Cho ma trận

A

1 x1
1
1
1
1 x2
1
1
1
1 x3
1
1
1
1

1
1
1
x4

Tính det A.
Lời giải:
Ta có:

det A

1 0
1 x2
1 0
1 0

0
0
x3
0

0
0
0
x4

x1
0
0
0

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

1 0
1 0
1 x3
1 0

0
0
0

x4
24

Lớp: K33 - Cử nhân Toán


GVHD: Đinh Thị Kim Thuý

Khoá luận tốt nghiệp
x1
0
0
0

0
x2
0
0

1 0
1 0
1 0
1 x4

x1
0
0
0

x 2 x3 x 4

x1 x3 x4

x1 x2 x4

0
x2
0
0

0
0
x3
0

1
1
1
1

x1 x2 x3

x1
0
0
0

0
x2
0

0

0
0
x3
0

0
0
0
x4

x1 x2 x3 x4 .

Ví dụ 2. Tính định thức:

D( x)

x a1
a1
a1

a2
x a2
a2

a3
a3
x a3

an
an
an

a1

a2

a3

x an

Lời giải:
Mỗi dòng của định thức có thể tách thành tổng của hai dòng như sau:
(a1, …, x + ai , …, an) = (a1, …, ai, …, an) + (0, …, x, …, 0)
Khi đó định thức D(x) được viết thành tổng của các định thức chứa hai dòng như
nhau (có định thức bằng 0), trừ các trường hợp sau:

+ Một định thức dạng

x 0
0 x

0
0

0 0

x

xn

+ n định thức có đúng một dòng j là (a1, …, an), còn các dòng khác có dạng
(0, …, x, …, 0) (x ở vị trí thứ i). Áp dụng khai triển Laplace ta có các định thức
này bằng ajxn-1.
Vậy D(x) = xn + xn – 1 (a1 + … + an).
Kết luận: Như vậy sau chương 2 ta đã biết 6 phương pháp tính định thức của
ma trận. Tùy vào đặc điểm của từng bài toán mà ta nhận biết nên áp dụng phương
pháp nào cho phù hợp nhất và linh hoạt trong việc phối hợp giữa các phương pháp
với nhau khi tính toán.
 Ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông, học sinh đã cần tính định thức
của ma trận cấp 2, cấp 3 nhưng chưa được biết về khái niệm phép thế và dấu của

SVTH: Nguyễn Thị Hiển

25

Lớp: K33 - Cử nhân Toán