Một số lớp iđêan đặc biệt và sự phân tích nguyên sơ

Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Đại số là một ngành rất quan trọng của Toán học. Kiến thức của Đại số
rất phong phú, trừu tượng và được xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ
bản của Cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường,...
Iđêan là một phần quan trọng trong lý thuyết Vành nhưng trong chương
trình đại học vấn đề này mới chỉ được trình bày một cách sơ lược gây nhiều
khó khăn cho việc tìm hiểu của các bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán.
Được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều
Nga cùng với lòng yêu thích môn Đại số em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ Một
số lớp iđêan đặc biệt và sự phân tích nguyên sơ” để làm khoá luận tốt nghiệp
mong muốn giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm một cuốn tài
liệu để tham khảo.

II. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu.
Hệ thống hoá các kiến thức liên quan: Một số lớp iđêan đặc biệt, sự
phân tích nguyên sơ.

III. Đối tƣợng nghiên cứu.
Lý thuyết về iđêan và sự phân tích nguyên sơ.

IV. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

1


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vành, vành con, điều kiện tƣơng đƣơng, đặc số vành
1.1.1. Vành
a) Định nghĩa: Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán
hai ngôi, kí hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân. X được gọi là
vành nếu thoả mãn các điều kiện:
i) X cùng với phép cộng là nhóm abel.
ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tuỳ ý
x, y, z

X , ta có:
x( y

z)

(y

z) x

xy

xz,

yx zx .

b) Chú ý
+)Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân.
+) Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán.
+) Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao
hoán.
+) Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0.
+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1.
c) Tính chất
+ ) x.0 0 0.x với mọi x X .
+ ) Nếu vành có ít nhất 2 phần tử thì 0 1.
+ ) (n.x). y n.x. y
+ ) (x

y ).z

xz

x.(n. y) , x, y X, n Z .
yz .

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

2


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

1.1.2 . Vành con và điều kiện tƣơng đƣơng
a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X, ổn định
với hai phép toán trong X, nghĩa là x

y

A, x. y

A, x, y

A . A là một

vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
b) Điều kiện tƣơng đƣơng
Cho X là một vành, A là bộ phận khác rỗng của X. Các điều kiện sau
đây là tương đương:
i) A là một vành con của X.
ii)

x, y

A: x

y

A, x. y

A, x

iii)

x, y

A: x

y

A, x. y

A.

A.

1.1.3. Đặc số của vành:
Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho n.1 0 thì ta nói X có đặc số là n, ngược lại ta nói X có đặc số bằng 0.
Đặc số của X kí hiệu là: char X.
1.1.4.Tập con nhân đóng
Cho R là vành có đơn vị 1. Tập con S được gọi là tập con nhân đóng
của R nếu:
i) 1 S .
ii) Với mọi x, y S thì xy S .
1.2. Miền nguyên, trƣờng
Trong toàn bộ phần này X là vành giao hoán có đơn vị.
1.2.1. Ƣớc và bội của một phần tử
a) Định nghĩa: Cho X là vành giao hoán, a X , b X a gọi là bội của
b nếu tồn tại c

b hay a chia hết cho b, kí hiệu a M

X sao cho a b.c ; Khi đó ta

còn nói b là ước của a, kí hiệu là : b a .

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

3


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

b) Ƣớc của không: a
tại b

K33C-Toán

X , a 0 , a được gọi là ước của không nếu tồn

X , b 0 sao cho a.b 0

1.2.2. Phần tử khả nghịch:
Phần tử u
là tồn tại v

X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1, tức

X sao cho u.v 1.

1.2.3. Phần tử liên kết:
Với a, a

X , ta nói a, a’ liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao

cho: a u.a hoặc a

u.a .

Kí hiệu: a : a hoặc a : a .
1.2.4. Ƣớc thực sự:
a được gọi là ước thực sự của b nếu a là ước của b, a không khả nghịch
và a không liên kết với b.
1.2.5. Phần tử bất khả quy:

a X là phần tử bất khả quy nếu a 0 , a không khả nghịch và a không
có ước thực sự.
1.2.6. Phần tử nguyên tố:
Phần tử a 0 , không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu từ

a u.v thì

au
av .

1.2.7. Miền nguyên:
Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không
có ước của 0 được gọi là một miền nguyên.
1.2.8. Trƣờng:
Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch

trong vị nhóm nhân được gọi là một trường.
Như vậy X là trường thì:

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

4


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

+)

X,

là nhóm abel.

+)

X * ,. là nhóm abel, X *

X\ 0 .

+ ) Phép nhân phối đối với phép cộng.
1.3. Iđêan
1.3.1. Định nghĩa:
Cho X là một vành, I là vành con của X. Khi đó:
+) I gọi là iđêan trái của X nếu
+ ) I gọi là iđêan phải của X nếu

x X , a I : x.a I .

x X , a I : a.x I .

+ ) I gọi là iđêan của X nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của X.
Nhận xét:
- Nếu X là vành không giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là phân
biệt.
- Nếu X là vành giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là trùng nhau và
gọi là iđêan.
1.3.2. Điều kiện tƣơng đƣơng:
Cho X là vành, I

X,I

. Các điều kiện sau tương đương:

i) I là iđêan của X.
ii) Với mọi a, b X thì a b I , x X thì: a.x I , x.a I .
1.3.3. Tính chất:
a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X.
b) Cho X là vành có đơn vị là 1, I là iđêan của X, 1 I thì I

X.

1.4. Vành chính, vành nhân tử hoá, vành Ơclit:
1.4.1. Vành chính:
a) Định nghĩa: Miền nguyên X được gọi là vành chính nếu mọi iđêan
của X đều là iđêan chính.

b) Ví dụ: Vành các số nguyên Z là vành chính.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

5


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

1.4.2. Vành nhân tử hóa:
a) Định nghĩa: Miền nguyên X được gọi là vành nhân tử hoá nếu và
chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích được một cách
duy nhất thành tích các nhân tử bất khả qui.
b) Nhận xét :
+ ) Mọi vành chính đều là vành nhân tử hoá.
+ ) Nếu K là trường thì K[x] là vành nhân tử hoá.
1.4.3. Vành Ơclit:
a) Định nghĩa: Cho X là miền nguyên, X* là tập các phần tử khác
không của X. X được gọi là vành Ơclit nếu tồn tại một ánh xạ

: X*

¥ từ

X* vào tập số tự nhiên thỏa mãn các tính chất sau:
i) Nếu a là bội của b và a 0 thì

b

a .

ii) Với a, b X và b 0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho a bq r
và

r

b nếu r

Kí hiệu: X ,

0.
.

được gọi là ánh xạ Ơclit.
1.5. Vành thƣơng và đồng cấu vành
1.5.1. Vành thƣơng
a) Định nghĩa: Cho A là iđêan cuả vành X, khi đó:
X/A={x+A/ x
(.): với mọi x, y

X} là vành thương của X theo iđêan A với 2 phép toán (+),

X
(x+A)+(y+A) = x+y+A
(x+A).(y+A) = xy +A.

b) Nhận xét :
+) Nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao hoán.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

6


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

+ ) Nếu X là vành có đơn vị là 1 thì X/A cũng là vành có đơn vị 1+A.
c) Ví dụ :
nZ là iđêan của

Z là vành,
Z

nZ

Z (n N). Khi đó tồn tại vành thương

.
+) Nếu n=0 thì n Z ={0}. Ta có Z /{0}= Z .
+) Nếu n 0 thì Z nZ

x nZ x Z

Zn .

Trường hợp đặc biệt:

{0}, X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thương:

X

X

0

X

x 0x X

x

X x

X

X

X .

d) Tính chất
Cho vành giao hoán R, I là iđêan cuả R.
+) Nếu J là iđêan cuả R sao cho J
thương R và với r

R ta có r

I

I thì J

là iđêan cuả vành

J / I nếu và chỉ nếu r J .

+) Mỗi iđêan A của R/I đều có dạng K/I với K là iđêan cuả R thoả
mãn: K

I.

Tồn tại duy nhất iđêan K={ a R / a I

J } của R thỏa mãn điều kiện

trên.
+) J1, J 2 là các iđêan cuả R sao cho J1, J 2
khi và chỉ khi J1

I . Ta có : J1 / I

J2 / I

J2

1.5.2. Đồng cấu vành:
a) Định nghĩa: Cho X, Y là 2 vành. Ánh xạ f : X
vành nếu thoả mãn: với mọi x, y

X:

f ( x y)
f ( x. y )

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

Y gọi là đồng cấu

f ( x) f ( y )
f ( x). f ( y )
7


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

+ ) f là đơn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh.
+ ) f là toàn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh.
+ ) f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đơn cấu và f cũng là toàn cấu.
- Cho hai vành X, Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu
vành f : X

Y.

b) Tính chất:

b1) Tích của 2 đồng cấu vành là 1 đồng cấu vành.
b2 ) Cho f : X

Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường thì f là

đồng cấu không hoặc đơn cấu.

b3 ) Cho f : X

Y là một đồng cấu vành:

+) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành

g:X

Y sao cho: g. f

1X thì f là đơn cấu.

+) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành
g:X

Y sao cho f .g 1Y thì f là toàn cấu.

+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu.
Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X, B là iđêan

b4 ) f : X
con của Y thì:

là một vành con của Y.

+) f

+) f 1 ( B) là một iđêan của X.
Đặc biệt :
Cho f : X

Y là đồng cấu vành.

Hạt nhân của f kí hiệu ker f , ker f

x X:f x

Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu Imf , Im f
Khi đó : +) X là vành con của
+)

0

f X

0 .
f x

Y x X .

nên Im f là vành con của Y.

là iđêan Y nên kerf là iđêan của X.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

8


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

Vậy: +) f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f

0X .

+ ) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f

Y.

b5 ) Định lý cơ bản của đồng cấu vành:
Cho đồng cấu vành f : X
sao cho f A

Y . A, B tương ứng là các iđêan của X, Y

B . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X / A

làm cho biểu đồ sau giao hoán:

f

X

Y

pA

pB

X/A

Nghĩa là: f . p A

Y/B

Y /B

_

.

f

pB. f với pA : X

X / A, pB : Y

Y / B là toàn cấu

chính tắc.
Đặc biệt : Nếu A ker f , B
sau giao hoán :

0Y

thì Y / B Y / 0Y

f

X

p

Y tức biểu đồ

Y
f

X / ker f

Nghĩa là f . p

f với

p: X

X / ker f là toàn cấu chính tắc.

Hệ quả:
(1) Cho f : X

Y là đồng cấu vành thì X / ker f ; Im f .

(2) Nếu f : X

Y là toàn cấu vành thì X / ker f ; Y .

(3) Cho A, B là 2 iđêan thoả mãn B

R/B

A , khi đó:

R/ A / B/ A .

(4) B, C là các iđêan của X thì B C

C

B

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

B

C

9


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

1.6 . Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự:
1.6.1. Định nghĩa: Cho tập V
tự trên V ( kí hiệu

. Quan hệ hai ngôi, được gọi là quan hệ thứ

) nếu có 3 tính chất sau:

(i) Phản xạ: tức với mọi u V : u u .
(ii) Phản xứng:tức với mọi u, v V :

u v
v u thì u v .

(iii) Bắc cầu: tức mọi u, v,w V nếu

u v
v w thì u

Khi đó ta viết V ,

w.

được gọi là sắp thứ tự.

+) Tập sắp thứ tự V ,

được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi

u, v V luôn có: uv uv . Ta viết u v nếu uu vv .
1.6.2. Định nghĩa:
Cho X là tập sắp thứ tự, tập A

X , A được gọi là một xích của X nếu

A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập thành tập sắp thứ tự toàn phần.
Khi đó nếu A

a1,..., an , không giảm tính tổng quát ta có thể viết:

a1 a2 ... an .
1.6.3. Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới:
Cho X ,

là tập sắp thứ tự.

+) Phần tử cực đại: phần tử m

X được gọi là phần tử cực đại của X

nếu tồn tại n X mà m n thì m = n.
+) Phần tử cực tiểu: phần tử m

X gọi là phần tử cực tiểu của X nếu

tồn tại n X mà n m thì n = m.
+) Chú ý: A
dưới) của A nếu

X , X,

là tập sắp thứ tự, a0

X gọi là cận trên (cận

a A thì a a0 a0 a .

1.6.4 - Bổ đề Zorn: Cho tập sắp thứ tự X ,

nếu mỗi xích của X đều có

cận trên thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại.
Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

10


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

Chƣơng 2: MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT
2.1. Iđêan hữu hạn sinh:
2.1.1. Tập sinh của iđêan:
Cho vành X, tập S

X . Giao của tất cả các iđêan của X chứa S là

iđêan nhỏ nhất của X chứa S và gọi là iđêan của X sinh bởi S.

Kí hiệu S .
Đặt

S thì S gọi là tập sinh của iđêan B.

+) Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là iđêan hữu hạn sinh.
Trường hợp đặc biệt:

0 ;

và

,

.

2.1.2. Iđêan sinh bởi n phần tử:
a) Định nghĩa: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị 1; a1,..., an

. Khi

đó
n

:

ai .xi , xi

a1 ,..., an

, n ¥ là iđêan sinh bởi n phần tử

i 1

ai , i 1, n .

b) Iđêan chính:
Định nghĩa: X là một vành bất kỳ, iđêan chính là iđêan sinh bởi tập
gồm một phần tử của X.
Với a

X:

a

a. .

a.x x

c) Ví dụ: Vành Z có:

3,5,7
3
Tổng quát: m, n
Đặt: d= m, n ;

3.x 5. y 7.z x, y, z Z .

3. x x Z

3Z

m, n Z . Thật vậy:

m, n

km ln / k , l Z

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

11


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

Với mọi x

:x

K33C-Toán

k .m l.n k .d .

Suy ra x d.Z do đó

m
n
l.d .
d
d

d(

k .m l.n
)
d

(*).

d.Z

Ngược lại, y d .Z ta có: y d .t , t Z
Do d

(1)

m, n nên tồn tại u, v Z : u.m v.n d

Từ (1), (2) ta có: y

(2)

u.m v.n .t u.m.t n.v.t suy ra y

Vậy d.Z

A

(**)

Từ (*), (**) ta có: m, n

m, n Z .

2.2. Các phép toán của iđêan.
2.2.1. Tổng các iđêan :
a) Định nghĩa:
là họ các iđêan của vành giao hoán R. Ta định nghĩa tổng

Cho

các iđêan của họ đã cho, kí hiệu

U

.Vậy

U

là một iđêan của R sinh bởi tập

.

+) Đặc biệt nếu A

0 là iđêan không.

thì

b) Biểu diễn phần tử:

là họ các iđêan của R.

Cho R là vành giao hoán,
n

Khi đó:

i 1

c i |c i

,

.

i

Chứng minh:
Đặt

U

. Từ (2.1.2.a) ta có:
n

U

hi ri \ ri

R, hi

i 1

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

12


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

Vì

rh
i i

i

U

nên hi

Do hi

K33C-Toán

suy ra hi

là iđêan của R nên rh
i i

i

,

.

i

i

nên

i

n

U

. Do đó

ci \ ci

.

i 1

n

Vậy

i 1

c i |c i

,

.

i

c) Ví dụ:
Cho vành giao hoán ¢ , các iđêan

2¢ , J

4¢ . Khi đó

Tổng quát: Trên vành giao hoán ¢ , các iđêan

J
n¢ , J

2¢ .
m¢ ,

(n, m ¥ ) . Thì I+J = d¢ với d = (m,n)

Chứng minh:
Với x I

J bất kì luôn tồn tại a

J , b J sao cho x a b .

a n¢ thì tồn tại a1 ¢ : a na1 ;
¢ : b mb1 ;

b m¢ thì tồn tại b1

m dm1

Đặt d= (m,n) suy ra
Khi đó x

n¢

m¢

n dn1

na1 mb1

,(m1 , n1 ¢ ).

dn1a1 dm1b1

d (n1a1 m1b1 ) d¢ nên

d¢

(1)

Với mọi y d¢ luôn tồn tại y1

¢ sao cho : y

Do d = (m,n) nên luôn tồn tại p, q
Khi đó y
suy ra d ¢

(mp nq) y1

n¢

Từ (1) và (2) suy ra

¢ sao cho d

mpy1 nqy1 n¢

m¢

d¢

dy1 .
mp nq .

m¢ ;
(2)

n¢

m¢ .

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

13


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

2.2.2.Tích các iđêan:
a) Định nghĩa: Cho R là vành giao hoán và hai iđêan I, J. Tích của I và
J, kí hiệu là IJ, được định nghĩa là iđêan của R sinh bởi tập

ab \ a

,b J .

b) Biểu diễn phần tử:

J

aibi \ ai

, bi

J , phép lấy tổng là hữu hạn

i I

Chứng minh:
Theo định nghĩa tích hai iđêan thì: J

ab \ a

,b J

.

n

hi ri \ ri

Mà theo 2.1.2a) có:

R, hi

. Trong trường hợp

i 1

này, hi

aibi , ai

, bi

J.

Do có I,J là iđêan của vành giao hoán R nên:

(ri ai )bi

bi ri

J

suy ra

.

(bi ri )ai

đều được biểu diễn dạng x ab với

Suy ra mọi phần tử x

a

ri ai

,b J .
Vậy

J

aibi \ ai

, bi

J ,i

I .

i

c) Ví dụ:
Trên vành giao hoán ¢ ,
giả sử n

m . Ta có: J

mn¢

n¢ , J

m¢ ,(n, m ¥ ) là các iđêan của ¢ ,

(*)

Thật vậy:
+) Với mọi x

J theo định nghĩa tích iđêan:

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

14


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

x

m¢ , bi

aibi , ai

K33C-Toán

n¢ . Có thể viết: ai

mti , bi

nki do đó

i I
n

x

mti nki suy ra x nm¢
i 1

Vậy J

nm¢

(1)

+) Ngược lại, với mọi x nm¢ thì x

x

nmt

m.1 n.t , t ¢ suy ra

J.
Vậy nm¢

J

(2)

Từ (1) và (2) suy ra J

mn¢

(đpcm).

d) Tính chất:
Cho I,J,K,I1,…,In là các iđêan của vành giao hoán R. Khi đó:
d1)

J

J

d2)

J K

J.
JK

H với

abc \ a

,b J ,c K .

Chứng minh:
d1) Có I.J=J.I . Thật vậy:
a, b R ta có : ba ba, a b b a

Do R là vành giao hoán nên
Nên

IJ

aibi | ai

I , bi

J , i 1.n

i I

bi ai | ai

I , bi

J , i 1.n

J , i I , với bất kì x

J thì x

JI .

i I

+) J

J . Thật vậy:
n

Có: J

aibi \ ai

, bi

i I

với ai

, bi

aibi
i 1

J

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

15


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

Do có I,J là iđêan của vành giao hoán R và ai

R, bi

J

R, i 1, n

n

nên

bi ai

bi ai
bi ai

J

n

i 1
n

thì

suy ra x

bi ai

bi ai

J

i 1

J

i 1

Vì x bất kì nên J

J .

n

d2) Do 2.1.2a) ta có

, bi

J , ci

, i 1, n .

aibi ai

, bi

J , i 1, n nên

aibi ci ai
i 1

IJ và JK đều là iđêan của R và IJ=

n
i 1

m

n

j 1

i 1

J

aibi c j ai

, bi

J ,cj

, i 1, n, j 1, m .

Nhận thấy:
m

n

aibi c j
j 1

a1.b1.c1 ... an .bn .c1 a1.b1.c2 ... an .bn .c2 ... an .bn .cm

i 1
m

n

j i

i 1

Suy ra
Vậy

aibi .c j

, ai

, bi

J, cj

, i 1, n, j 1, m
(1)

J
n

Lại có x

thì x

aibi .ci , ai

, bi

J ,cj

, i 1, n, j 1, m .

i 1

n

Do đó x

aibi ci

J

.

i 1

Vậy

J

Từ (1),(2) suy ra

.

(2)

J

.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

16


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

Tương tự ta chứng minh được

.Vậy ta có điều phải chứng

J

n

minh

J

J

aibi ci ai

, bi

, i 1, n .

J , ci

i 1

Từ 2 tính chất (d1), (d2) ta có thể đưa ra định nghĩa tích của một họ các
iđêan của R như sau:
e) Tích một họ các iđêan :
+) Định nghĩa:
Cho

1

, 2 ,...,

là 1 họ các iđêan của vành giao hoán R. Khi đó tích các

n

n

iđêan đã cho, kí hiệu:

i

, là 1 iđêan của R sinh bởi tập:

i 1

L

a1.a2 ...an ai

i

, i 1, n .
n

n

+) Biểu diễn phần tử :

a1 j a2 j ...anj aij

i

i

, i 1, n, j 1, m

i 1

i 1

+) Nhận xét :
i) Với I, J, K là các iđêan của R ta có : I(J+K)=IJ+IK. Thật vậy :
n

J

ai (bi

ci ) ai

, bi

ai ci ai

, bi

J , ci

J , ci

, i 1, n .

i 1
n

n

aibi
i 1

, i 1, n

J

i 1

ii) Trường hợp đặc biệt Im ( m ¥ ) các phần tử được xác định như sau:
+) Nếu m ¥ : x
*

n
m

x

ai1ai 2 ...aim , aij

, i 1, n, j 1, m .

i 1

+) Nếu m=0 thì I0 = R.
2.2.3. Giao các iđêan:
a) Định nghĩa:

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

17


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

là họ các iđêan của vành giao hoán R. Giao của họ các

Cho
iđêan

là một iđêan của R xác định như sau:

I

aa

.

;

b)Ví dụ:
Z là vành giao hoán, nI=m Z , J=n Z là 2 iđêan của Z .

Khi đó:

bZ , b= [m,n].

J

b m.m
m, n thì b n.n 1
1

Ta có : b

m do đó xM
b hay x b.t bZ
J ta có xM
xM
n

Với mọi x
J

Suy ra

bZ

(1)

Ngược lại, với mọi x bZ : x bt

Do đó x

x b.t

n.n1.t nZ

J

(2)

J nên bZ

Từ (1),(2) ta có

J

m.m1.t mZ. =

bZ

Cụ thể: I=2 Z ,J=3 Z thì

J

6Z .

2.2.4. Thƣơng các iđêan
a) Định nghĩa:
Cho R là vành giao hoán, I và J là 2 iđêan của R:

:J

a R aJ

0

Đặc biệt: I=0 thì thương 0 : J

a R aJ

0

a R ab 0, b J

Thương (0:J) được gọi là linh tử hoá của J và được kí hiệu là AnnJ hoặc
AnnRJ.
Nhận xét :
1) (I:J) là iđêan của R.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

18


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

2) J

J

J

K33C-Toán

J.

Chứng minh:
Với

n

J , có thể biểu diễn x dưới dạng là: x

x

aibi , ai

, bi

J

(

J).

i 1

Mà aibi

J nên x

J

Với mọi x

J có

J)

(

J .

x
x J nên x

Với mọi x

do đó (

J suy ra J

J do đó (

J)

x x 0, x ,0 J
x x 0, x J ,0 suy ra x

x
x J

J

J)

Vậy (*) đã được chứng minh.
b) Ví dụ :
I=m Z ,J=n Z là 2 iđêan của vành giao hoán Z .
Chứng minh :
+ Nếu

0

0 :J

Vậy 0 : J

x Z xJ

xJ

0

xJ

0

x 0.

0 .

+) Nếu J=0 thì : 0
+) Nếu

0

0, J

0

x Z : x. 0

:J

mZ : nZ

Z

m, n
Z
n

m
Z..
m, n

(**)

Chứng minh (**):
Ta có:

:J

mZ : nZ

x Z x.nZ

m¢

x Z nxM
m .

Đặt

d

m, n , b

nxM
m

x.

m, n , x

: J.

n m
m n
M do
,
d d
d d

1.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

19


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

m
suy ra xM
d

m1

x m1Z

MJ

m1Z=

m do đó y
y.n m. n1t vậy ynM

mt
Vậy

m1¢

m
¢
m, n

m
Z m1.Z thì y
m, n

Ngược lại, với mọi y

yd

K33C-Toán

(1)

m1.t , t ¢ suy ra

:J

I :J

(2)

0, J

Từ (1), (2) ta có
Chứng minh : J

0 thì : J

mZ : nZ

mZ : nZ

m
Z..
m, n

m, n
Z tương tự.
n

+) Cụ thể:
Có

2Z, J

:J

2Z :3Z

3Z là 2 iđêan của Z . Khi đó :
x Z x.3Z

2¢

x Z 3xM
2

x Z xM
2

2Z .

2.3. Iđêan cực đại :
2.3.1. Định nghĩa:
Iđêan A của vành giao hoán R được gọi là iđêan cực đại nếu thoả mãn 2
điều kiện sau:

R.

(i)

(ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A Ø B thì B=R.

Ví dụ : ¢ là vành giao hoán có p¢ là iđêan cực đại khi và chỉ khi p là
số nguyên tố.
Chứng minh:
Mọi iđêan của vành

¢ đều có dạng

n¢ với n

¢.

) Có p¢ là iđêan cực đại, ta phải chứng minh p là số nguyên tố.
Giả sử p không là số nguyên tố thì p = p1.p2 với p1, p2 ¢ \ 1 .

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

20


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

Với mọi x

K33C-Toán

p1¢

p¢ ta có x = p.x1=p1.p2.x1

Suy ra p¢

p1¢ trái với giả thiết p¢ là iđêan cực đại.

Vậy p là số nguyên tố.
) Ngược lại, có p là số nguyên tố.

Giả sử p¢ không là iđêan cực đại thì tồn tại iđêan m¢ của

¢ sao cho

p¢ Ø m¢ do đó m là ước thực của p. Điều này trái với giả thiết p là số
nguyên tố. Nên điều giả sử là sai.
Vậy p¢ là iđêan cực đại.
2.3.2 Định lý:
Cho R là vành giao hoán, có đơn vị, A là iđêan cực đại của R nếu và
chỉ nếu R A là trường.
Chứng minh:
Có A là iđêan cực đại của R. Ta chứng minh R A là trường. Thật
vậy:
Do R là vành giao hoán, có đơn vị nên R A là vành giao hoán, có đơn
vị. Vậy R/A có ít nhất 2 phần tử là 0
Giả sử x
Đặt
nên

.

suy ra x

R A mà x

x

và 1

thì B là iđêan của R và

Ù

.
là iđêan cực đại

. Do

R.

Do đó 1
Suy ra 1

vậy tồn tại x0

xx0

a

Hay nghịch đảo của x
Vậy R

R, a

sao cho: 1 xx0

xx0
là x0

x

x0

a
.

.

là một trường.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

21


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

Có R/A là trường nên R

1

và có ít nhất 2 phần tử là 0

,

.
R (vì nếu A=R thì 1

Suy ra

1

Ø

Giả sử B là iđêan của R thoả mãn
Suy ra

. Do R

x

).

0
khi đó tồn tại

x

\

.

R

là trường nên tồn tại x0

A sao

cho:

x

x0

1

Hay

xx0 1
( vì

1 xx0 a
Vậy

suy ra xx0

1

. Vậy tồn tại a

để

là iđêan của R và tập x, a

a

xx0 1 suy ra

).

R hay A là iđêan cực đại của R. W

2.3.3 Định lý:
Cho R là vành giao hoán không tầm thường thì R luôn có ít nhất một
iđêan cực đại.
Chứng minh:
là tập tất cả các iđêan thực sự của R. Do R là iđêan không tầm

Gọi

thường nên 0 là iđêan thực sự của R suy ra

.

Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên
Cho

Vlà tập con sắp thứ tự toàn phần của

Đặt J

I V

I , rõ ràng J

Do

,

.

vì 0 J .

+) Với mọi a J , r R thì ra
+) Với a, b

J.

J luôn tồn tại I1, I 2 V sao cho a

sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có

Không mất tính tổng quát ta giả sử

.

1

2

,khi đó a b

Do vậy J là iđêan thực sự của R vì với mọi

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

1

2

:1

1

,b
2

2.

hoặc

2

1

.

J.

1 J.

22

Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

Suy ra J

K33C-Toán

, vì vậy J là cận trên của

V trong

.

Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận

,

luôn có phần tử

cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại.
Hệ quả 1:
Cho R là vành giao hoán,I là iđêan thực sự của R, luôn tồn tại 1 iđêan
cực đại M của R sao cho

.

Chứng minh:
Do I là iđêan thực sự của R nên vành thương R
định lý trên thì R

không tầm thường. Theo

có iđêan cực đại và iđêan cực đại phải có dạng M

đúng một iđêan M của R thoả mãn M

với

.

Ta lại có :

R

R/

M

(theo hệ quả định lý cơ bản tổng quát của đồng cấu vành).

là iđêan cực đại nên

R

là 1 trường. Suy ra R

M

cũng là 1

trường.
Vậy M là iđêan cực đại của R và

.

Hệ quả 2:
Cho R là vành giao hoán, a

R . Khi đó a là đơn vị của R nếu và chỉ

nếu với mỗi iđêan cực đại M của R thì a

.

Chứng minh:
Giả sử a là đơn vị của vành giao hoán
Nếu a

với

R thì a

là iđêan cực đại nào đó của R thì

R.

R . Điều này

trái với giả thiết M là iđêan cực đại.
Vậy a không thuộc iđêan cực đại nào đó của R

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

23


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

Ta có : a

K33C-Toán

với mọi M là iđêan cực đại của R.

(1)

Giả sử a không là đơn vị của R , khi đó a là iđêan thực sự của
R.Theo hệ quả 1, luôn tồn tại 1 iđêan cực đại

0

R để:

a .

0

(1) và (2) mâu thuẫn nhau

(2)
điều giả sử là sai.

Vậy a là đơn vị của R.
2.3.4. Vành địa phƣơng:
a) Định nghĩa:
+) Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại được gọi là vành
địa phương.
+) Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phương R thì R

M

là

trường và được gọi là trường thương của R.
b)Ví dụ: Trường R là một vành địa phương vì trường có đúng 2 iđêan
là 0 và R nên R có duy nhất iđêan cực đại là 0 .
c) Bổ đề:
Cho R là vành giao hoán có đơn vị thì R là vành địa phương nếu và chỉ
nếu tập các phần tử khác đơn vị của R là một iđêan.
Chứng minh:
Giả sử R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất M. Theo
hệ quả 2 của 2.2.3 thì M là tập chứa các phần tử khác đơn vị của R.
Giả thiết rằng tập các phần tử khác đơn vị của R là I và I là iđêan
của R. Gọi đơn vị của R là 1.
Do 0

nên 0 1 suy ra R không tầm thường. Theo (2.2.3) thì R có ít

nhất một iđêan cực đại M.

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

24


Sv thực hiện: Nguyễn Thị Thuý Hà

K33C-Toán

Theo hệ quả 2 của (2.2.3) thì M không chứa đơn vị của R nên

R (1

vì 1 là đơn vị của R).

Vậy R là vành địa phương.
2.3.5. Định nghĩa:
Cho R là vành giao hoán, căn jacobson của R, kí hiệu là Jac(R), là giao
của tất cả các iđêan cực đại của R.
Nhận xét:
+) Jac(R) là một iđêan của R.
+) Nếu R là vành giao hoán tầm thường, ta quy ước: Jac({0})={0}.
+) Khi R là vành địa phương thì Jac(R) chính là iđêan cực đại duy nhất
của R.
Ví dụ: R là trường thì Jac(R)={0}.
2.3.6. Bổ đề:
Cho R là vành giao hoán và r

R.

r Jac R nếu và chỉ nếu với mọi a R thì (1-r.a) là một đơn vị của

R.
Chứng minh:
Có r Jac R . Giả sử tồn tại a R sao cho (1-r.a) không là đơn vị
của R.
Theo hệ quả 2 của (2.2.3) thì sẽ tồn tại một iđêan cực đại M nào đó của
R sao cho 1 r.a

.

Lại có r

do r

Do đó 1

1 r.a

Jac R suy ra r.a

r.a hay 1

.

R , điều này mâu thuẫn với

giả thiết M là iđêan cực đại nên điều giả sử là sai.
Vậy với mọi a

R , r Jac R thì (1-r.a) là đơn vị của R

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Kiều Nga

25