Một số phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình vi phân thường

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã có những
nhận xét và động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này trong suốt
thời gian vừa qua. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới
thầy TS. Khuất Văn Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để
em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo TS. Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học,
các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 5
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ........................................................ 7
1.1.......................................................................................................C
ác khái niệm về số gần đúng và sai số ................................................. 7
1.1.1. ...............................................................................................S
ố gần đúng........................................................................................ 7
1.1.2. ...............................................................................................S
ai phân ............................................................................................. 11
1.2.......................................................................................................M
ột số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân thường ..................... 15
1.2.1. ...............................................................................................K
hái niệm về phương trình vi phân thường ...................................... 15
1.2.2. ...............................................................................................B
ài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 ........... 17
1.2.3. ...............................................................................................B
ài toán Cauchy đối với hệ hai phương trình vi phân ...................... 18
Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI
VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG ............................................. 19
2.1. Phương pháp Euler .................................................................................. 19
2.1.1. Nội dung phương pháp ................................................................... 19
2.1.2. Ví dụ .............................................................................................. 20
2.2. Phương pháp Euler - Cauchy .................................................................. 21

3

2.2.1. Nội dung phương pháp ................................................................. 21
2.2.2. Ví dụ.............................................................................................. 22
2.3. Phương pháp Rungge - Kutta .................................................................. 23
2.3.1. Nội dung phương pháp ................................................................. 23
2.3.2. Ví dụ.............................................................................................. 25
2.4. Phương pháp Adams ............................................................................... 26
2.4.1. Nội dung phương pháp ................................................................. 26
2.4.2. Ví dụ.............................................................................................. 28
2.5. Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi
phân thường ....................................................................................................... 30
2.5.1. Nội dung phương pháp.................................................................. 30
2.5.2. Ví dụ .............................................................................................. 30
Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG ......................................................................... 33
3.1. Cách sử dụng Maple................................................................................ 33
3.2. Bài tập ..................................................................................................... 34
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 41

4


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất
nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên
cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng trong toán học. Các
bạn sinh viên đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng của bài toán
Cauchy đối với phương trình vi phân thường. Nhưng chúng ta biết rằng chỉ

một số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác.
Trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực
tiễn không tìm được nghiệm chính xác. Bởi vậy tìm nghiệm của chúng ta phải
áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau. Và ở mỗi phương pháp có thể
sử dụng thuật toán Maple để đơn giản bài toán này.
Với mong muốn học hỏi và tích lũy thêm kiến thức cho bản thân, đồng
thời để hiểu thêm về phương trình vi phân thường em chọn đề tài: “ Một số
phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường”.
2.

Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về bài

toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường. Đồng thời sử dụng thuật
toán Maple ứng dụng vào đó để giải toán.
3.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về phương trình vi phân thường.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường.

5


4.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về: Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường.

5.

Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng kết các tài liệu.

6.

Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm 3

chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương
trình vi phân thường.
Chương 3: Ứng dụng Maple để giải bài toán Cauchy đối với phương
trình vi phân thường.

6


Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Các khái niệm về số gần đúng và sai số
1.1.1. Số gần đúng
1.1.1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của
các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a* , nếu a không sai khác a*
nhiều.

Đại lượng

: a a* gọi là sai số thật sự của a . Do ta chỉ biết a ,

không biết a* nên ta cũng không biết được

. Nhưng ta có thể tìm được

a 0 , gọi là sai số tuyệt đối của a thỏa mãn điều kiện:
a a*

a a* a

hay a

a

a.

Sai số tương đối của a là a :

a
a

Ví dụ
Giả sử a*
thể lấy

, a 3.14 . Do 3.14 a* 3.15 3.14 0.01 nên ta có

a 0.01. Mặt khác, 3.14

3.142 3.14 0.002 do đó có thể coi

a 0.002.
1.1.1.2. Sai số thu gọn
Giả sử a là một số bất kỳ, a bao giờ cũng được cũng biểu diễn dưới dạng:

a

p10

p

p 110

7

p 1

...

p s10

p s


trong đó 0

9 (i

i

Nếu

p 1, p s);

p

s

p

s

0 là những số nguyên.

p

0 thì a là số nguyên,
0) thì s có phần lẻ gồm m chữ số,

m( m

, a là số thập phân vô hạn.

s

Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một
số

ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a .

Qui tắc thu gọn:
Giả sử

a

p10

p

...

j 10

j

và ta giữ lại số hạng thứ j . Gọi phần vứt bỏ là
a

p10

±

trong đó:

p

...

j 110

j 1

...

p s 10

p s

, ta đặt:
° 10 j
j

1

j

j
j

0,5 10 j thì ° j

Nếu

j,

nếu

j

là chẵn và °

j

1, nếu

vì tính toán với số chẵn tiện hơn số tiện hơn.
Ví dụ
; 3.141592 ; 3.14159 ; 3.1416 ; 3.14 ; 23.1 ; 43.1 ; 3

Sai số thu gọn a 0 là một số thỏa mãn điều kiện:

a a
Vì

p

...

j10

p

...

j 110

p10

còn

a

nên

a a

p10

(

j

°)

a

j
j 1

° 10 j
j

0.5 10 j

Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên:

a* a

a* a

8

a a

a

a

j

lẻ


1.1.1.3. Chữ số chắc
Định nghĩa. Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác ''0'' và cả ''0'' , nếu nó
kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
1.1.1.4. Sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:

y

f ( x1, x2 ,..., xn )

Gọi xi* , y* (i 1, n) và xi , y (i 1, n) là các giá trị đúng và gần đúng của các
đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì

y

y

*

f ( x1,..., xn )

f

( x1* ,..., xn* )

n

'

f i xi

xi* ,

i 1
'

trong đó f i là đạo hàm

f
f
tính tại các điểm trung gian. Do
liên tục và
xi
xi

xi khá bé ta có thể coi
n

fi ' ( x1,..., xn ) xi ,

y
i 1

do đó
y

n

y
y

xi

i 1

ln f xi

Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:
a) Sai số của các phép cộng trừ
Vì
n

y

y
xi

xi ;
i 1
n

nên

y

xi
i 1

9

1


Giả sử

xm

max xi
1 i n

và chữ số chắc cuối cùng của xm ở hàng thứ k , nghĩa là xm 10k. Ta có

xm 10k vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên qui tròn các xi đến mức

y

giữ lại 1 hoặc 2 chữ số hạng bên phải thứ k.
Chú ý
Trong trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là y = 1
n

thì y
i 1

xi
? 1 , do đó kết quả không chính xác. Cho nên trong tính toán
y

nên tránh các công thức có hiệu quả của hai số gần nhau. Nếu không tránh
được thì cần lấy các số với nhiều chữ số chắc để hiệu quả của chúng có thêm
chữ số chắc.
b) Sai số của các phép tính nhân chia
Giả sử

x1...x p

y

x p 1...xn

Khi đó
p

n

ln y

ln xi

ln x j

i 1

j p 1

suy ra
n

y

xi .
i 1

Gọi

xm

max xi và xi k ,
1 i n

10


ta thấy

y

xm do đó

k . Vì vậy khi làm các phép tính trung gian để

y

tính y , chỉ cần lấy k 1, k

2 chữ số là đủ.

c) Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y
Nếu

x , khi đó y

d
ln y x
dx

1(phép lũy thừa) thì

Nếu 0

x
x , do đó độ chính xác giảm.

y

1 ta có phép khai căn, khi đó

x , hay độ chính xác

y

tăng.
Nếu

1 ta có phép nghịch đảo,

x nghĩa là độ chính xác

y

không đổi.
Ví dụ. Diện tích hình vuông S=12.34, S

a

Ta có

0.01 tính cạnh a.
S
S

S ; 3.5128. Vì S

0.01
12.34

0.008 ,

a 3.5128 0.0004 1.4 10 3.

nên

Như vậy a có bốn chữ số chắc và a 3.513 .
1.1.2. Sai phân và tính chất của sai phân
1.1.2.1. Định nghĩa sai phân
Giả sử f : ¡

¡ là một hàm số cho trước và h=const, h

sai phân cấp 1 của f ( x) là đại lượng:
f ( x)

Tỷ sai phân cấp 1 của f ( x) là

f (x

h)

f ( x)

f ( x)
h

Một cách tổng quát:
n

f ( x) :

n 1

f ( x)

(n 1),

11

0

f ( x ) : f ( x)

0 . Ta gọi


1.1.2.2. Các tính chất của sai phân
1)

Sai phân là một toán tử tuyến tính, nghĩa là:
¡ ;

,

f ,g

( f

g)

f

g

Chứng minh
( f

g)

( f

g )( x
f (x

h)

h)

( f

g(x

f ( x h)

g )( x)

h)

f ( x)

f ( x)

( f

g)

f ( x)

g ( x)

g ( x h) g ( x)

g ( x)

2) Nếu c = const thì c 0 .
Chứng minh

c
3)

n

( xn ) n!hn ;

m

c c

0

c

0

( xm ) 0, m n.

Chứng minh
Thật vậy:
n

(x )

(x
x

( xn )

Do đó
Ta được

( xn )

n n

x

m

x

1

Cn hx

n 1

1

n 1

Cn h x

m n

(

n
n

2 2 n 2

Cn h x

2 2 n 2

(nhx n 1) (

n!h n rõ ràng

( xn )

n

n

Cn hx
2

n

h)

... h

... h

2

n

n !h

n(n 1) 2 n 2
h x ) ...
2

( x n ) n !h n

( xn )) 0

const

( m n)

4) Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor:
n hi (i )
P : P ( x h) P ( x )
P x.
i
!
i 1

12

x

n

n

(hn )


Chứng minh
Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức P( x h)
P ( x h)

P( x)

(do P( x) là đa thức bậc n nên

h2 (2)
hn ( n)
P ( x) ...
P ( x),
i!
n!

h (1)
P ( x)
i!

m n ta có P( m)

0

Khi đó:

P( x)

P ( x h) P ( x )
h (1)
h2
P ( x)
P
1!

2!
h (1)
h2
hn ( n)
(2)
P ( x)
P ( x) ...
P ( x)
1!
2!
n!
n
hi ( i )
P ( x)
i
!
i 1

5) f ( x nh)

n
i 0

Cni

i

f ( x).

Chứng minh

f ( x)

Suy ra:

f (x
f (x

h)
2h )

f (x

f ( x)
f (x

(1

h)

f ( x)
h
2

h)

f ( x)
(1
(1
n

) f ( x)
i 0

Qui nạp với n ta có :

f ( x nh)

) f (x

C2i

i

h)

f ( x)

f x h (n 1)h
) n f ( x)

(1
n
i 0

13

) f ( x)

Cni

2

f ( x)


6) Mọi sai phân đều biểu diễn qua giá trị của hàm số
n

n

f ( x)

i 0

( 1)Cni f ( x (n 1)h).

Chứng minh
Ta có
n

f ( x)

n
i 0
n
i 0

7) Giả

sử

C n a, b

f

n

(1

) 1 f ( x)

( 1)i C ni (1

)( n

1)

f ( x)

( 1)Cni f ( x (n i )h)

( x, x nh)

và

a, b . Khi

đó:

n

f ( x)
hn

f n (x

nh)

(0,1)

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp
Với n=1 ta có:
f ( x)
h

f '( x

là công thức số gia hữu hạn

h)

Vậy mệnh đề đúng với n=1.
Giả sử mệnh đề đúng với n
Tức là

k

f ( x)
hk

k

(k 1).

kh) đúng.

f k (x

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1.
Tức là ta phải chứng minh:
Hay

k 1

f ( x) h k

1

f (x

k 1

h

k 1

fk

(k 1))

14

1

n 1

x

(k 1)h .

do h 0 .


Thật vậy:
k 1

trong đó

'

k

f ( x)

hk 1 f k ( x

f ( x)

' kh)

(0,1).

Áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f ( k ) ( x

' kh),

ta có:
( k 1)

f ( x) h k f ( k ) ( x
hk f k ( x

' kh)
' kh h)

h kn f k 1 ( x

' kh

(vì
f k (x

là toán tử tuyến tính)
' kh)

' h)

(do mệnh đề đúng với n 1). Trong đó ' (0,1)
Đặt

Ta được

'k
"
,
k 1
k 1

f ( x)

(0,1)
hk 1 f k 1( x

(k 1)h)

1.1.2.3. Hệ quả
Nếu f ( x) C n a, b khi h đủ nhỏ ta có:
n

f n ( x)

f ( x)
hn

1.2. Một số kiến thức về phƣơng trình vi phân thƣờng
1.2.1. Khái niệm khái niệm về phương trình vi phân thường
1.2.1.1. Phương trình vi phân thường cấp một
Phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát:
F ( x, y, y ')

(1)

0

trong đó hàm F xác định trong miền D

¡ 3.

Nếu trong miền D , từ phương trình (1) ta có thể giải được y ' :
y'

f ( x, y )

15


thì ta được phương trình vi phân thường cấp một đã giải ra với đạo hàm.
Hàm y

( x) xác định và khả vi trên khoảng I

(a, b) được gọi là

nghiệm của phương trình (1) nếu:
a.

( x, ( x), '( x))

D

với mọi x I
b.

F ( x, ( x), '( x))

trên I
Ví dụ. Phương trình
dy
dx

2y

có nghiệm là là hàm y ce2x xác định trên khoảng (

,

) ( c là hằng số

tùy ý).
1.2.1.2. Phương trình vi phân thường cấp n
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng:

F ( x, y ( x), y '( x),..., y ( n ) ( x)) 0

(2)

trong đó: x là biến số độc lập, y ( x) là hàm ẩn, y '( x), y "( x) là các đạo hàm của
hàm y ( x).
Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x)
thỏa mãn phương trình này với những giá trị x (a, b) hữu hạn hoặc vô hạn.

Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng:

y

y( x, c1 ,..., cn )

trong đó c1 ,..., cn là các hằng số tùy ý, mỗi giá trị của hằng số đều cho một
nghiệm.
Trong bài toán Cauchy (bài toán ban đầu) cần tìm nghiệm riêng thỏa
mãn n điều kiện ban đầu:

16

0


y ( x0 )

y0 ; y ' ( x0 )

y '0 ,..., y n 1 ( x0 )

y0n

1

1.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp một
Xét bài toán:
x '(t ) f (t , x)
x(0) x0

(t , x) R

0,T

(3)
(4)

x0 r, x0 r

Với 0,T cho trước hàm f (t , x) và x0 cho trước được gọi là bài toán
Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một, điều kiện (4) được gọi là
điều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu).
1.2.2.1. Điều kiện Lipschitz
Ta nói rằng trong miền G hàm f (t , x) thỏa mãn theo điều kiện
Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L>0 sao cho với hai điểm ( x, y ) G,
( x, y ) G bất kỳ ta có bất đẳng thức:

f ( x, y )

f ( x, y )

Ly

y

1.2.2.2. Định lý 1 (Định lý tồn tại nghiệm)
Xét bài toán (3-4), (t , x) R

0,T

x0 r , x0 r

Nếu f (t , x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R(r

0) cố định thì tồn

tại ít nhất một nghiệm x (t ) của phương trình (3) thỏa mãn điều kiện (4), tức
là x (t ) là nghiệm của bài toán (3-4)
1.2.2.3. Định lý 2 (Định lý duy nhất nghiệm)

17


Xét bài toán (3-4). Nếu f (t , x) là hàm liên

tục trên hình chữ nhật

0) cố định và f (t , x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thiên x

R(r

trên hình chữ nhật R tức là:

f (t , x)

f (t , y)

Nx y

trong đó N là hằng số (hằng số Lipschitz) thì nghiệm của bài toán (3-4) là duy
nhất.
1.2.2.4. Định lý tồn tại nghiệm và duy nhất
Xét bài toán (3-4), (t , x) R

0,T

x0 r , x0 r . Hàm f (t , x) xác

định trong R(r 0) cố định thỏa mãn 2 điều kiện:
a.

f (t , x)

trên R và do R đóng và bị chặn nên f (t , x)
M

liên tục

M với

max f (t , x) .
(t , x ) R

f (t , x) thỏa mãn

b.
điều kiện Lipschitz

(t , x), (t , y) R

với N là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm x (t ) của bài toán (3-4) xác định
trên 0,T .

1.2.3. Bài toán Cauchy đối với hệ hai phương trình vi phân
dy
dx
dz
dx

f ( x, y, z ),

y ( x0 )

y0

g ( x, y, z ),

z ( x0 )

z0

18


Chƣơng 2
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY
ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG
2.1. Phƣơng pháp Euler
Nội

2.1.1.
dung phương pháp
Xét bài toán Cauchy:

y'

f ( x, y )

y (a)

a

x b

(5)
(6)

y0

Trên đoạn a, b ta lấy tập hợp điểm hữu hạn xi (i 0,1,..., N )

a

x0

x1 ... xN

b

Trong phương pháp Euler, giá trị gần đúng y( xi )

y1 được tính theo

công thức:

yi

1

Trong đó hi

hi f ( xi , yi ) , i 0,1,..., N 1

yi
xi

1

(7)

xi . Đường biểu diễn tích phân cần tìm đi qua điểm

( x0 , y0 ) được thay thế bởi đường gấp khúc có những điểm ( xi , yi ) . Mỗi mắt
xích của đường gấp khúc có hướng trùng với hướng của đường cong tích
phân đi qua điểm ( xi , yi ) . Do đó, phương pháp Euler thường được gọi là
phương pháp đường cong gấp khúc.
Nếu hàm số f ( x, y ) không gián đoạn và các đạo hàm riêng cấp một
của nó bị chặn:

19

f

với x

f
x

f
y

M2,

M3

y0 , y thì ta có bất đẳng thức:

a, b , y

y ( xi )
trong đó M 4

M1,

M2

M 4h M 3 ( xi
e
2M 3

yi

M1M 2 , h

x0 )

(8)

max hi .

0 i N 1

Phương pháp Euler cho hệ phương trình vi phân bậc nhất. Ta xét ví dụ
sau:
Cho hệ

với điều kiện y( a )

y0 , z( a )

Nghiệm gần đúng yi

y'

f1 ( x, y, z )

z'

f 2 ( x, y , z )

a x b

z0 .
y( xi ), zi

z ( xi ) của hệ này tại điểm xi

1

được

tính theo công thức:

yi

1

yi

hi f 1 ( xi , yi , zi )

zi

1

zi

hi f 2 ( xi , yi , zi )

i 0,1,..., N 1
Ví dụ

2.1.2.

Áp dụng phương pháp Euler, hãy tìm trên đoạn [1;1,5] nghiệm của
phương trình vi phân y '

y

(1 x) y 2 với điều kiện ban đầu y (1)

khoảng h 0,1.
Nghiệm và kết quả tính được trình bày trong bảng 1.

20

1, chọn


BẢNG 1

xi

i

yi

Nghiệm chính

f ( xi , yi )

xác
0

1

-1

1

-1

1

1,1

-0,9

0,801

-0,909091

2

1,2

-0.8199

0,659019

-0,833333

3

1,3

0.753998

0,553582

-0,769231

4

1,4

-0.698640

0,472794

-0,714286

5

1,5

-0,651361

-0,666667

2.2. Phƣơng pháp Euler-Cauchy
Nội dung

2.2.1.
phương pháp
Tìm nghiệm của bài toán Cauchy :

y'

f ( x, y),

a

x b, y(a)

y0.

Giống như trong phương pháp Euler, trên đoạn a, b ta xác định một
tập hợp điểm hữu hạn xi

N
i 0

(a x0

Tính nghiệm gần đúng yi

x1 ... xN

b) .

y( xi ) theo phương pháp Euler-Cauchy như

sau: Trước tiên ta tính giá trị gần đúng thứ nhất:

%
yi 1 yi

hi f ( xi , yi ),

sau đó tính

21


yi

1

yi

hi

f ( xi , yi )

f ( xi 1, %
yi 1)
.
2

Sai số ở mỗi khoảng trong phương pháp Euler – Cauchy có bậc 0(h3 ).
Phương pháp Euler-Cauchy có thể giải thích rõ hơn bằng việc chỉnh lại
yi. Đầu tiên tính: yi0 1

yi
yik 11

hi f ( xi , yi ) sau đó tính theo công thức:
hi
( f ( xi 1, yi( k1)
2

yi

f ( xi , yik 11 )).

BẢNG 2

i

xi

yi

%
yi 1

fi

°
fi

yi

1

Nghiệm
đúng

0

1

0,5

0,25

0,023835

1 1,1 0,523835 0,226756 0,525

0,5

0,226704 0,021664 0,523809

2 1,2 0,545499 0,206608 0,546511 0,206531 0,019777 0,545455
3 1,3 0,565276 0,189030 0,566160 0,188941 0,018127 0,565216
4 1,4 0,583403 0,173603 0,584179 0,173510 0,016675 0,583333
5 1,5 0,600078

0,600783 0,159898

0,600000

Ví dụ

2.2.2.

Áp dụng phương pháp Euler-Cauchy, giải phương trình vi phân

y'

1
1 2
y
y với điều kiện ban đầu y (1) 0,5 đoạn [1;1,5], khoảng h=0,1.
x
x

Sau đó so sánh kết quả với nghiệm đúng.
Lời giải
Trong quá trình tính toán, áp dụng những công thức sau

xi

1

fi
°f

i

xi

h

f ( xi , yi )
1

f ( xi 1, %
yi 1)

yi 1 yi
yi
%
y i 1 yi hfi
22y h ( f °
f i 1)
i
2 i


Kết quả tính toán phương trình này trong bảng 2.
2.3. Phƣơng pháp Runge-Kutta
Nội dung phương pháp

2.3.1.

Xét bài toán Cauchy trên đoạn x0 , X cho phương trình vi phân
y'

(9)

f ( x, y )

với điều kiện ban đầu:

y( x0 )

(10)

y0

Ta sẽ tìm được giá trị nghiệm gần đúng của bài toán này tại điểm cố
định xi (i 1,..., N ) của khoảng cho trước. Chọn điều kiện đúng ta sẽ tính
được:

xi

x0 ih,

i 1,..., N ,

h 0, N

X

x0
h

Phương pháp Runge-Kutta cũng như phương pháp Euler-Cauchy đều
là phương pháp giải toán (9),(10). Phương pháp này còn được dùng để tính
giá trị nghiệm gần đúng của bài toán cho trước tại xi

1

theo thông tin về

nghiệm này trong lân cận điểm cho trước xi . Nghĩa là sau giá trị gần đúng yi
của giá trị tìm được tại điểm xi .
Xét phương pháp Runge-Kutta bậc 4. Đây là phương pháp phổ biến
nhất để giải những bài toán với điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân
thường. Phương pháp trên cho thấy 6 mối quan hệ sau:

yi

1

yi

(11)

yi

23


1 i
( K1
6

yi

K1i

2 K 2i

2 K 3i

K 2i

hf ( xi , yi );

K3i

hf ( x i

K 2i
);
2

h
, yi
2

K 4i )

hf ( xi
K 4i

(12)

h
, yi
2

K1i
)
2

hf ( xi

h, yi

(13)

K3i )

Bậc đúng của phương pháp Runge-Kutta gọi là s , để cho các sai số của
đẳng thức gần đúng

yi

y( xi 1) y( xi ) có giá trị bậc h s 1 . Để có sai số,

giá trị bậc là h5 . Việc tính toán được sắp xếp theo trình tự và trình bày tại
bảng 3.
BẢNG 3
i

X

y

0

x0

y0

x0

h
2

x0

h
2

x0

h

y0

K1(0)
2

y0

K 2(0)

y0

K 2(0)
2

K

hf ( x, y )

y

K1(0)

K1(0)

K 2(0)

2K 2(0)

K 3(0)

2K 3(0)

K 4(0)

K 4(0)
y

1

x1

y1

Bằng việc áp dụng phương pháp này, giá trị của hàm số f ( x, y ) cần
được viết lại 4 lần với các đối số : xi và yi , xi
yi

K 2(i )
; xi
2

h và yi

K3(i ) .

24

h
và yi
2

K1(i )
, xi
2

h

và
2


Cần chú ý rằng bước lưới có thể thay đổi chuyển từ điểm này sang điểm
khác. Để kiểm tra sự đúng đắn khi chọn h, người ta tính phân số:
K 2(i )
K1(i )

K3(i )
K 2(i )

Trong thực hành, để kiểm tra quá trình tính toán người ta áp dụng cách
đếm hai lần. Đầu tiên, tính nghiệm với bước h , sau đó với bước

h
.
2

Phương pháp Runge-Kutta cũng được áp dụng phổ biến với hệ phương
trình vi phân bậc nhất.
Ví dụ

2.3.2.

Bằng phương pháp Runge-Kutta, hãy tìm nghiệm của phương trình

y'

2

y x với điều kiện ban đầu y(1) = 0 trên đoạn [1;1,5], khoảng h = 0,1.
x
Nghiệm và kết quả tính toán được trình bày trong bảng 4.
BẢNG 4

i

xi

yi

f ( xi , yi )

0

1

0

1

0,1

0,1

1,05

0,05

1,145238

0,114524

0,229048

1,05

0,057262

1,145238

0,115907

0,231814

1,1

0,115907

1,310740

0,131074

0,131074

K

hf ( xi , yi )

yi

0,115323
1

1,1

0,115323

1,309678

0,130968

0,130968

1,15

0,180807

1,464447

0,146445

0,292889

1,15

0,188546

1,477905

0,147791

0,295581

1,20

0,263114

1,638523

0,163825

0,163852

25