Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HUYỀN MY

NGHIỆM CHUỖI CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG LÂN CẬN
CỦA ĐIỂM KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HUYỀN MY

NGHIỆM CHUỖI CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG LÂN CẬN
CỦA ĐIỂM KỲ DỊ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

Hà Nội-2011

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên
khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để
em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt
nghiệp. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn
Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em
hoàn thành tốt khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những
hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn và
tiếp thu những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Lê Thị Huyền My


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp đại học "Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị" được hoàn thành theo
sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với bất kỳ khóa luận
nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Lê Thị Huyền My


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Đại cương về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số
1.3.1. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số

11
11

1.3.2. Cấu trúc hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ
số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số

13

1.4. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không
thuần nhất hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1. Dạng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2. Dạng thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3. Dạng thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.1. Sự hội tụ và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.2. Một số tính chất của tổng của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Điểm kỳ dị và phương trình Euler . . . . . . . . . . .

22

2.1. Điểm thường và điểm kỳ dị của phương trình vi phân . . . . .

23

2.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.2. Phân loại điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Phương trình chỉ số có hai nghiệm thực phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

26
27


2.2.2. Phương trình chỉ số có hai nghiệm thực bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.3. Phương trình chỉ số có cặp nghiệm phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.4. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Chương 3. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
trong lân cận của điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1. Ý tưởng của phương pháp tìm nghiệm chuỗi . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2. Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân trong
lân cận của một điểm kỳ dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2.1. Các nghiệm bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.2. Các nghiệm sai khác nhau một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.3. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3. Phương trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3.1. Phương trình Bessel cấp 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3.2. Phương trình Bessel cấp 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3.3. Phương trình Bessel cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như ta đã biết việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
tuyến tính được dựa trên cơ sở xác định một hệ nghiệm cơ bản của
phương trình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng
của phương trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình này là tổng
nghiệm riêng của phương trình với nghiệm tổng quát của phương trình
vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng. Nhưng cho đến nay, người ta

cũng chỉ đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với
phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số không phải là hằng số, việc
tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp của một số phương
trình vi phân khá khó khăn (nếu không muốn nói là không thể). Điều
này cũng xảy ra ngay cả khi phương trình vi phân có dạng rất đơn giản.
Chẳng hạn, như phương trình dưới đây
y − 2x.y + y = 0.
Đó là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm số của một biến
độc lập, nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới dạng một hàm
số sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các dạng phương trình như phương trình
trên đây là rất quan trọng vì nó nảy sinh từ các vấn đề thực tiễn, đặc
biệt nó xuất hiện nhiều cùng với các bài toán của vật lý. Chẳng hạn, nó
liên quan đến phương trình Schr¨odinger trong cơ học lượng tử. Vì vậy,
chúng ta cần phải xây dựng các phương pháp nhằm tìm nghiệm cho các
phương trình dạng này. Một trong các phương pháp thông dụng là ứng
dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm của phương trình dưới dạng chuỗi

3


lũy thừa
∞

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ....

y(x) =
n=0

Cơ sở Toán học của phương pháp này là thay thế biểu thức trên cùng

các đạo hàm của nó vào phương trình vi phân cần giải. Từ đó, xác định
giá trị của các hằng số a0 , a1 , a2 , ... sao cho nó nghiệm đúng phương trình
vi phân đã cho. Sau khi đồng nhất các hệ số trong hệ thức nhận được,
ta thu được nghiệm của phương trình đã cho.
Tuy nhiên, cơ sở của phương pháp này như đã nói ở trên chỉ có giá trị khi
chuỗi lũy thừa ứng với các hệ số tìm được phải là chuỗi hội tụ. Như ta đã
biết, chuỗi lũy thừa có nhiều tính chất đẹp đẽ, điều đó cho phép người ta
có thể thực hiện nhiều quá trình tính toán thuận lợi. Dĩ nhiên, miền hội
tụ của chuỗi lũy thừa thu được là một tập hợp khác rỗng và nếu chuỗi
lũy thừa có bán kính hội tụ R thì trong khoảng hội tụ của chuỗi (−R, R),
ta có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi. Chuỗi mới
nhận được (sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân) cũng có bán kính hội
tụ như chuỗi ban đầu. Điều đó dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm của phương
trình vi phân dưới dạng chuỗi lũy thừa. Vì vậy được sự định hướng của
người hướng dẫn, em chọn đề tài "Nghiệm chuỗi của phương trình
vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị" để hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp bậc đào tạo cử nhân Toán học.
Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi bố cục khóa luận
thành ba chương
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kiến thức
chuẩn bị cần thiết cho mục đích của khóa luận. Đó là một số vấn đề cơ
bản về phương trình vi phân; Phương trình vi phân tuyến tính; Phương
trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số; Phương trình vi phân
tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng số; Vấn đề cần thiết căn bản về
chuỗi lũy thừa.
Chương 2. Ở đây chúng tôi trình bày về các loại điểm của phương
trình vi phân liên quan đến việc tìm nghiệm chuỗi của nó. Đồng thời,
4

chúng tôi đưa ra cách tìm nghiệm của phương trình Euler - một ví dụ
điển hình của phương trình vi phân có một điểm kỳ dị chính quy.
Chương 3. Đây là phần chính của khóa luận, chúng tôi trình bày
về phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy, cũng đưa ra một ví dụ minh họa
điển hình cho phương pháp này là phương trình Bessel - bài toán của vật
lý.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính. Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với một khóa
luận tốt nghiệp bậc cử nhân Toán học, nên chúng tôi chỉ trình bày vấn
đề này trong phạm vi tìm nghiệm chuỗi trong lân cận của điểm kỳ dị
chính quy. Việc nghiên cứu nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tại
những điểm kỳ dị không chính quy khá phức tạp nên chúng tôi xin dành
lại cho những nghiên cứu về sau.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

1.1. Đại cương về phương trình vi phân
1.1.1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm cần tìm và các
đạo hàm của nó. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập, thì
phương trình đó gọi là phương trình vi phân thường. Nếu hàm cần tìm
phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình đó gọi là phương
trình vi phân đạo hàm riêng.
Trong khóa luận này, chúng tôi chỉ xét phương trình vi phân thường.
Như vậy phương trình vi phân thường có dạng tổng quát
F x, y, y , y , ...y (n) = 0,

(1.1)

trong đó F là hàm xác định trong một miền nào đó của không gian Rn+2
gồm biến độc lập x và y là hàm của biến độc lập cùng các đạo hàm cấp
một đến cấp n của nó. Cấp của một phương trình vi phân thường được
xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình.
Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng
(a, b) nào đó thỏa mãn phương trình đã cho, tức là
F x, y(x), y (x), ..., y (n−1) (x) = 0
với mọi x thuộc (a, b). Đồ thị của hàm y = y(x), x ∈ (a, b) được gọi là
đường cong tích phân của phương trình . Khi giải phương trình vi phân
ta cũng dùng thuật ngữ "Tích phân phương trình vi phân" vì lí do này.
Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao
nhất y (n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối với
y (n) hoặc ta còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương trình
6


(1.1) có dạng

y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1) .

(1.2)

1.1.2. Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm y = y(x) với biến độc lập x thuộc khoảng (a, b)
nào đó, của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện
yo = y (xo ) , yo = y (xo ) , ..., yo(n−1) = y (n−1) (xo )

(1.3)

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầu
của bài toán Cauchy.
1.1.3. Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân
Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu về vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân. Việc chứng minh định lý này, chúng ta có thể
tham khảo trong [2]
Định lý 1 (Tồn tại duy nhất nghiệm). Cho phương trình vi phân cấp n
dạng chính tắc
y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1) .
Nếu vế phải của phương trình trên là một hàm liên tục của n + 1 biến
(n−1)
trong một miền nào đó của Rn+1 chứa điểm x0 , y0 , y0 , ..., y0
và các
đạo hàm riêng
∂f ∂f
∂f
,
, ..., (n)

∂y ∂y
∂y
liên tục thì tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 để trên khoảng này
tồn tại và duy nhất một hàm y = y(x) khả vi n lần và thỏa mãn điều
kiện đầu (1.3).

7


1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n
1.2.1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình có dạng
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + · · · + p1 (x)y + p0 (x)y = f (x),

(1.4)

trong đó p0 (x), p1 (x), ..., pn−1 (x) và f (x) là các hàm liên tục trên khoảng
(a, b) nào đó.
Từ định lý tồn tại duy nhất nghiệm, ta suy ra phương trình vi phân
tuyến tính cấp n luôn tồn tại một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
đầu (1.3). Vế phải của (1.4) thường được ký hiệu là Ln [y] và gọi là toán
tử vi phân tuyến tính cấp n. Khi đó phương trình (1.4) được viết dưới
dạng
Ln [y] = f (x).
Phương trình Ln [y] = 0 gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng của phương trình Ln [y] = f (x). Trong trường hợp pi (x), i =
0, ..., n − 1, là các hằng số thì phương trình (1.4) được gọi là phương trình
vi phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Để xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính
chúng ta cần đến một số khái niệm và kết quả liên quan đến hàm số dưới

đây
1.2.2. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các
hàm
Các hàm y1 (x), y2 (x), ..., ym (x) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là
phụ thuộc tuyến tính trên khoảng đó nếu tồn tại các hằng số c1 , c2 , ..., cm
không đồng thời bằng 0 sao cho
m

ck yk (x) = 0
k=1

8

(1.5)


với mọi x ∈ (a, b). Các hàm số đó được gọi là độc lập tuyến tính trên
khoảng (a, b) nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, tức là hệ thức (1.5)
chỉ xảy ra khi c1 = c2 = · · · = cm = 0.
Giả sử các hàm y1 , y2 , ..., ym xác định và có đạo hàm đến cấp m − 1 trên
khoảng (a, b) nào đó, ta đặt

W [y1 , y2 , ..., ym ] = Det

y1

y2

···

ym

y1
···

y2
···

···
···
···

ym
.
···
(m−1)
ym

(m−1)

(m−1)

y1

y2

Giá trị trên được gọi là định thức Wronski của các hàm y1 , y2 , ..., ym trên
(a, b).
Bổ đề 1. Nếu các hàm y1 , y2 , ..., ym phụ thuộc tuyến tính thì W (x) = 0
với mọi x ∈ (a, b).

Chứng minh. Vì các hàm y1 , y2 , ..., ym phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại
các hằng số λ1 , λ2 , ..., λm không đồng thời bằng không để


λ1 y1 (x) + λ2 y2 (x) + · · · + λm ym (x) = 0



 λ y (x) + λ y (x) + · · · + λ y (x) = 0
1 1
2 2
m m

..............



 λ y (m−1) (x) + λ y (m−1) (x) + · · · + λ y (m−1) (x) = 0
1 1
2 2
m m
với mọi x ∈ (a, b). Vì hệ thuần nhất này có nghiệm không tầm thường
(λ1 , λ2 , ..., λm ) nên định thức của nó W (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).
Bổ đề 2. Cho các hàm y1 , y2 , ..., ym xác định trên khoảng (a, b) là nghiệm
của phương trình Ln [y]. Khi đó để các hàm y1 , y2 , ..., ym độc lập tuyến
tính thì điều kiện cần và đủ là W [y1 , y2 , ..., ym ] = 0 với mọi x ∈ (a, b).
Chứng minh. Theo bổ đề 1, nếu tồn tại x ∈ (a, b) để W (x) = 0 thì
y1 , y2 , ..., ym độc lập tuyến tính, bất luận các hàm này có là nghiệm của
phương trình Ln [y] = 0 hay không.
Ngược lại, giả sử các hàm y1 , y2 , ..., ym độc lập tuyến tính nhưng tồn tại

9


x0 để W (x0 ) = 0.
Xét hệ phương trình


λ1 y1 (x0 ) + λ2 y2 (x0 ) + · · · + λm ym (x0 ) = 0



 λ y (x ) + λ y (x ) + · · · + λ y (x ) = 0
1 1 0
2 2 0
m m 0

..............



 λ y (m−1) (x ) + λ y (m−1) (x ) + · · · + λ y (m−1) (x ) = 0.
1 1
0
2 2
0
m m
0
Vì W (x0 ) = 0 nên tồn tại bộ số (λ1 , λ2 , ..., λm ) không đồng thời bằng
m

λk yk là

không là nghiệm của hệ trên. Theo định lý 2 dưới đây, y =
k=1

nghiệm của phương trình Ln [y] = 0. Theo hệ trên thì nghiệm này thỏa
mãn điều kiện đầu (1.3). Hiển nhiên y = 0 cũng thỏa mãn điều kiện này
nên theo định lý 1
m

y=

λk yk (x) = 0
k=1

trên khoảng (a, b). Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của
y1 , y2 , ..., ym . Bổ đề được chứng minh.
1.2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
Định nghĩa. Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
Ln [y] = 0 gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó.
Như chúng ta đã nghiên cứu trong các giáo trình bậc đại học, các kết
quả dưới đây cho phép ta xây dựng được nghiệm tổng quát của phương
trình phân tuyến tính.
Định lý 2. Nếu y1 , y2 , ..., ym là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình vi phân tuyến tính thuần nhất Ln [y] = 0, thì nghiệm tổng quát của
phương trình có dạng
m

y=

ck yk (x),
k=1

10

(1.6)


trong đó c1 , c2 , ..., cm là các hằng số tùy ý.
Định lý 3. Giả sử y˜ là một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến
tính không thuần nhất Ln [y] = f (x) và y1 , y2 , ..., yn là một hệ nghiệm cơ
bản của phương trình thuần nhất Ln [y] = 0 tương ứng với phương trình
đã cho. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình Ln [y] = f (x) là
n

ck yk (x).

y(x) = y˜(x) +

(1.7)

k=1

1.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ
số hằng số
1.3.1. Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất hệ số hằng số
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số là phương
trình có dạng
Ln [y] = y (n) + pn−1 y (n−1) + · · · + p1 y + p0 y = 0,

(1.8)

trong đó p0 , p1 , ..., pn−1 là các hằng số thực. Ta tìm nghiệm riêng của
phương trình (1.8) dưới dạng y = eλx , trong đó hằng số λ được xác định
sao cho y là nghiệm của phương trình đó. Các đạo hàm của nghiệm trên
được tính toán đơn giản là
y = λeλx , y = λ2 eλx , ..., y (n) = λn eλx .
Thay vào phương trình (1.8) ta nhận được
Ln [y] = Ln (eλx ) = λn + pn−1 λn−1 + · · · + p1 λ + p0 eλx = 0.
Bởi vì eλx = 0, nên từ phương trình trên, ta suy ra
Pn (λ) = λn + pn−1 λn−1 + · · · + p1 λ + p0 = 0.

(1.9)

Điều đó cho thấy, nếu λ là một nghiệm của phương trình (1.9) thì y = eλx
là một nghiệm của phương trình (1.8). Phương trình (1.9) được gọi là
11


phương trình đặc trưng của phương trình (1.8). Đa thức Pn (λ) gọi là đa
thức đặc trưng của phương trình (1.8).
1.3.2. Cấu trúc hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số
Như vậy, hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.8) được xây dựng
trên cơ sở các nghiệm của phương trình đặc trưng. Để xây dựng được hệ
nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, ta
cần một số bổ đề sau trong việc xử lý các nghiệm của phương trình đặc
trưng. Chứng minh chi tiết các bổ đề này ta có thể tham khảo trong [3].
Bổ đề 3. Nếu λ1 , λ2 , ..., λm là các nghiệm khác nhau của phương trình

đặc trưng (1.9), thì
eλ1 x , eλ2 x , ..., eλm x
là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất (1.8).
Bổ đề 4. Nếu λ1 là một nghiệm bội m của phương trình đặc trưng (1.9),
thì các hàm
eλ1 x , xeλ1 x , ..., xm−1 eλ1 x
là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất (1.8).
Bổ đề 5. Nếu α ± iβ là các nghiệm phức bội m của phương trình đặc
trưng (1.9), thì các hàm
eαx cos βx, xeαx cos βx, ..., xm−1 eαx cos βx
và
eαx sin βx, xeαx sin βx, ..., xm−1 eαx sin βx
là 2m nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất (1.8).
12


1.3.3. Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất hệ số hằng số
Từ "định lý cơ bản của đại số", đa thức đặc trưng Pn (λ) có đúng n
nghiệm kể cả nghiệm bội. Do đó, từ các bổ đề trên cho phép ta xây dựng
được đúng n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.8). Từ đó,
ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Ví dụ 1. Giải phương trình
y (5) + y − 10y = 0.
Phương trình trên đây có phương trình đặc trưng là
λ5 + λ3 − 10λ2 = 0.
Các nghiệm của phương trình đặc trưng là λ = 0 (bội 2), λ = 2 (nghiệm

đơn) và cặp nghiệm phức đơn liên hợp λ = −1 ± 2i. Do đó, theo các bổ
đề đã xây dựng ở trên, ta có hệ nghiệm cơ bản của phương trình đã cho
là
e0x = 1, xe0x = x, e2x , e−x cos2x, e−x sin 2x.
Từ đó, ta được nghiệm tổng quát của phương trình là
y = c1 + c2 x + c3 e2x + c4 e−x cos2x + c5 e−x sin 2x,
trong đó ci , i = 1, 5 là các hằng số.

1.4. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến
tính không thuần nhất hệ số hằng số
Trong phần này chúng ta xét các phương trình có dạng
y (n) + pn−1 y (n−1) + · · · + p1 y + p0 y = f (x),

(1.10)

trong đó p0 , p1 , ..., pn−1 là các hằng số, f (x) liên tục trên khoảng (a, b)
nào đó.
Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (1.10), ta lấy một
13


nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cộng với nghiệm tổng
quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Vấn đề này đã được trình
bày trong phần cấu trúc nghiệm tổng quát của nó. Tuy nhiên việc tìm
một nghiệm riêng của phương trình này cũng không hẳn đơn giản. Dưới
đây, chúng tôi đưa ra một số trường hợp của f (x) mà ta có thể tìm được
nghiệm riêng của phương trình này một cách đơn giản.
1.4.1. Dạng thứ nhất
Vế phải của phương trình (1.10) có dạng f (x) = eαx Pk (x) trong đó
Pk (x) là một đa thức bậc k của x. Ta phân biệt hai trường hợp sau

+ Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta có thể
tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng
y = eαx Qk (x);
+ Nếu α làm nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta có
thể tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng
y = xm eαx Qk (x);
trong đó Qk (x) là đa thức bậc k của x.
Ví dụ 2. Giải phương trình
y + 3y − 4y = x.
Phương trình đặc trưng của phương trình này là λ2 + 3λ − 4 = 0 và nó
có hai nghiệm phân biệt λ1 = 1, λ2 = −4. Do đó y1 = ex và y2 = e−4x
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Vế phải của phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng eαx P1 (x) với
α = 0 và P1 (x) = x. Vì α = 0 không phải là nghiệm của phương trình
đặc trưng, nên ta tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng
y˜(x) = e0x Q1 (x) = Ax + B.
14


Khi đó
y˜ (x) = A, y˜ (x) = 0.
Thay vào phương trình đã cho, ta được hệ thức 3A − 4(Ax + B) = x.
Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ta tìm được
1
3
A = − ,B = − .
4
16
3
1

Như vậy, ta được một nghiệm riêng của phương trình là y˜(x) = − x− .
4
16
Vậy nghiệm tổng quát của nó là
1
3
y = c1 ex + c2 e−4x − x −
4
16
với c1 , c2 là các hằng số.
1.4.2. Dạng thứ hai
Vế phải của phương trình (1.10) có dạng f (x) = eαx [P (x) cos βx + Q(x) sin βx],
trong đó P (x), Q(x) là những đa thức và α, β là các hằng số. Ta cũng
xét hai khả năng
+ Nếu α + iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta
tìm nghiệm riêng y˜(x) của phương trình dưới dạng
y˜(x) = eαx [R(x) cos βx + S(x) sin βx] ;
+ Nếu α + iβ là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta
tìm nghiệm riêng y˜(x) của phương trình dưới dạng
y˜(x) = xm eαx [R(x) cos βx + S(x) sin βx] ;
trong đó R(x) và S(x) là các đa thức có bậc bằng bậc lớn nhất của đa
thức P (x) và Q(x).
Ví dụ 3. Giải phương trình
y + y − 2y = ex (cos x − 7 sin x).
15


Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là λ2 + λ − 2 = 0 và nó
có hai nghiệm phân biệt λ1 = 1, λ2 = −2. Do đó y1 = ex và y2 = e−2x là
hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất tương ứng. Vế phải của

phương trình có dạng
eαx [P (x) cos βx + Q(x) sin βx] ,
với α = 1, β = 1, P (x) = 1, Q(x) = −7. Vì α+iβ = 1+i không là nghiệm
của phương trình đặc trưng, nên ta tìm nghiệm riêng y˜(x) của phương
trình dưới dạng
y˜(x) = ex (A cos x + B sin x).
Khi đó
y˜ (x) = ex [(A + B) cos x + (B − A) sin x] ,
y˜ (x) = ex (2B cos x − 2A sin x).
Thay vào phương trình đã cho ta được
ex [(−A + 3B) cos x − (3A + B) sin x] = ex (cos x − 7 sin x).
Đồng nhất các hệ số của cos x và sin x ta được A = 2, B = 1. Do đó, một
nghiệm riêng của phương trình là y˜(x) = ex (2 cos x + sin x), và nghiệm
tổng quát là
y = c1 ex + c2 e−2x + ex (2 cos x + sin x)
với c1 , c2 là các hằng số.
1.4.3. Dạng thứ ba
Vế phải của phương trình (1.10) có dạng f (x) = f1 (x) + f2 (x) +
· · · + fm (x), trong đó mỗi hàm fk (x) có dạng trong hai dạng đã xét trên
đây. Trước hết, ta tìm nghiệm riêng y˜k của từng phương trình Ln [y] =
fk (x); k = 1, 2, ..m. Khi đó nghiệm riêng của phương trình Ln [y] = f (x)
là
y˜(x) = y˜1 (x) + y˜2 (x) + · · · + y˜m (x).
16


Ví dụ 4. Giải phương trình
y − y = xcos2 x.
x
x

cos2x − . Nghiệm tổng quát
2
2
của phương trình thuần nhất tương ứng là

Ta viết phương trình dưới dạng y − y =

y¯(x) = c1 ex + c2 e−x .
x
x
cos 2x, ta có phương trình y −y = cos 2x. Đây là phương
2
2
trình có dạng thứ hai, nên ta tìm được nghiệm riêng của phương trình
2
1
sin 2x.
này là y˜1 (x) = − x cos 2x +
10
25
x
x
Với f2 (x) = − , ta có phương trình y − y = − . Đây là phương trình
2
2
có dạng thứ nhất, nên ta được nghiệm riêng của phương trình này là
x
y˜2 (x) = .
2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Với f1 (x) =

y = c1 ex + c2 e−x −

1
2
x
x cos 2x +
sin 2x +
10
25
2

với c1 , c2 là các hằng số.

1.5. Chuỗi lũy thừa
1.5.1. Sự hội tụ và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞
n

an (x − x0 )n ,

a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 ) + · · · =

(1.11)

n=0

trong đó x0 , a0 , a1 , a2 , ... là những số thực. Bằng phép đổi biến x − x0 = t,

ta có thể chuyển chuỗi trên về dạng
∞
n

an x n .

a0 + a1 x + · · · + an x + · · · =
n=0

17

(1.12)


Điều đó, cho phép ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi (1.12). Hiển nhiên, chuỗi
này hội tụ ít nhất tại điểm x = 0. Tuy nhiên, miền hội tụ của chuỗi lũy
thừa có tính chất khá hay. Điều đó trước hết được khẳng định qua định
lý dưới đây
Định lý 4 (Định lý Abel). Nếu chuỗi (1.12) hội tụ tại điểm x0 = 0, thì
nó hội tụ tuyệt đối và đều tại mọi x mà |x| < |x0 | .
∞

an xn0 hội tụ, nên lim an xn0 = 0. Do đó

Chứng minh. Bởi vì chuỗi số

n→∞

n=0

dãy {an xn0 } là bị chặn. Điều đó chứng tỏ rằng tồn tại một số K > 0 sao
cho
|an xn0 | ≤ K
với mọi n = 0, 1, 2, .... Mặt khác, ta có
n

|an x | =

|an xn0 |

x
x0

n

x
≤K
x0

n

với mọi n = 0, 1, 2, .... Ta đã biết rằng, với mọi x mà |x| < |x0 | thì chuỗi
∞

n=0

x
x0

n

hội tụ. Từ bất đẳng thức trên và theo định lý Weierstrass, ta nhận được
sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi xuất phát.
∞

an xn phân kỳ tại x0 thì nó phân kỳ tại

Từ định lý Abel suy ra, nếu
n=0

mọi x mà |x| > |x0 |. Đặt
∞

an xn hội tụ .

R = sup |x| :
n=0

Chuỗi lũy thừa (1.12) luôn có điểm hội tụ x = 0, nên R tồn tại.
Định nghĩa. Số R được gọi là bán kính của chuỗi (1.12) nếu với mọi x

18


mà |x| < R thì chuỗi hội tụ, |x| > R thì chuỗi phân kỳ.
Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta dựa vào định lý sau
Định lý 5 (Công thức Cauchy-Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa (1.12).
Giả sử rằng
an+1
lim

= ρ hoặc lim |an | = ρ.
n→∞ an
n→∞
1
Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = (nếu ρ = 0 thì
ρ
R = +∞; nếu ρ = +∞ thì R = 0).
an+1
1
Chứng minh. Nếu lim
= ρ, 0 < ρ < +∞, thì với mọi x, |x| < ,
n→∞ an
ρ
ta có
an+1 xn+1
|an+1 |
1
=
lim
lim
|x|
<
ρ
= 1,
n→∞ |an |
n→∞
an x n
ρ
1
nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Datlembert. Nếu |x| > , thì

ρ
lim

n→∞

an+1 xn+1
1
|an+1 |
|x|
>
ρ
= 1,
=
lim
n→∞ |an |
an x n
ρ

1
nên chuỗi phân kỳ. Vậy R = .
ρ
|an+1 |
an+1 xn+1
=
lim
Nếu ρ = +∞ thì R = 0; còn nếu ρ = 0 thì lim
|x| >
n→∞ |an |
n→∞
an xn

1
ρ = 1, nên chuỗi hội tụ với mọi x, tức là R = +∞.
ρ
Ví dụ 5. Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

n=1

xn
.
n!

Đối chiếu với dạng tổng quát của chuỗi lũy thừa, ta thấy rằng
an =
Do đó
lim

n→∞

1
1
, an+1 =
.
n!
(n + 1)!

an+1
n!
1
= lim

= lim
= 0.
n→∞ (n + 1)!
n→∞ n + 1
an
19


Điều đó chứng tỏ rằng R = +∞ và chuỗi hội tụ tại mọi x ∈ R.
Ví dụ 6. Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

n=1

(x + 1)n
.
n2n

Bởi vì
(n + 1)2n+1
1
n
1
an
=
= lim
lim
=
,
lim

n→∞
n→∞ an+1
n2n
2 n→∞ n + 1 2
nên bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là R = 2. Theo định lý Abel, chuỗi
hội tụ nếu |x + 1| < 2 hay −3 < x < 1. Tại x = 1, chuỗi trở thành chuỗi
∞
∞
1
1
điều hòa
và phân kỳ. Tại x = −3, chuỗi trở thành
(−1)n , đây
n
n
n=1
n=1
là chuỗi Leibnitz, nên hội tụ. Như vậy, miền hội tụ của chuỗi đã cho là
−3 ≤ x < 1.
1.5.2. Một số tính chất của tổng của chuỗi lũy thừa
Định lý 6 (Tính liên tục). Giả sử chuỗi lũy thừa (1.12) có bán kính hội
tụ R > 0. Khi đó, tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục
trong (−R, R).
Chứng minh. Lấy x0 bất kỳ thuộc khoảng (−R, R). Khi đó, tồn tại một
số r > 0 sao cho x0 ∈ [−r, r] ⊂ (−R, R). Theo định lý Abel, chuỗi lũy
thừa hội tụ đều trên [−r, r], và vì các số hạng của nó đều là các hàm liên
tục nên tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là hàm liên tục trên [−r, r] . Do
đó S(x) là hàm liên tục tại x0 , suy ra S(x) là hàm liên tục tại mọi điểm
thuộc (−R, R).
Định lý 7 (Tích phân từng số hạng). Giả sử chuỗi lũy thừa (1.12) có

bán kính hội tụ R > 0. Khi đó, tổng S(x) của chuỗi lũy thừa này là một
hàm số khả tích trên mọi đoạn con [a, b] ⊂ (−R, R) và
b

S(x)dx =
a

b

∞

xn dx.

an
n=0

20

a


Đặc biệt, với mỗi x ∈ (−R, R) ta có
x

∞

S(t)dt =
n=0

0

an xn+1
.
n+1

Định lý 8 (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng). Giả sử chuỗi lũy
∞

an xn , x ∈ (−R, R).

thừa (1.12) có bán kính hội tụ R > 0 và S(x) =
n=0

Khi đó, ta có

∞

nan xn−1 nhận được bằng cách lấy đạo hàm

(i) Chuỗi lũy thừa
n=0

từng số hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.
(ii) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số khả vi trong khoảng hội
tụ (−R, R) và
∞

∞

an x

n

nan xn−1 .

=

n=0

n=0

Chứng minh
(i) Đặt lim n |a| = ρ. Khi đó lim n n|a| = ρ, điều này có nghĩa là chuỗi
∞

nan xn−1 cũng có bán kính hội tụ là R.

lũy thừa
n=0

(ii) Lấy x0 bất kỳ thuộc (−R, R). Khi đó tồn tại số r > 0 sao cho
x0 ∈ (−r, r) và [−r, r] ⊂ (−R, R). Theo định lý Abel, các chuỗi lũy thừa
∞

∞

n

nan xn−1 cũng hội tụ đều trên [−r, r]. Từ đó suy ra tổng

an x và
n=0

n=0

S(x) là hàm khả vi trên (−r, r) và
∞

∞

an xn0
n=0

nan xn−1
= S (x)
0

=
n=0

∞

nan xn−1 = S (x).

Vì x0 ∈ (−r, r) nên
n=0

21