Phép biến đổi laplace và một số ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.66 MB, 56 trang )
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
Lời Nói Đầu
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Sơ lược giải tích phức
1.2 Một số khái niện cơ bản của phương trình đạo hàm riêng
1.3 Một số khái niện cơ bản của phương trình và hệ phương trình vi phân
Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1 Biến đổi Laplace thuận
2.2 Biến đổi Laplace ngược
Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
3.1 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng
3.2 Ứng dụng giải phương trình vi phân thường
3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang
3.4 Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân hệ số là hằng số
Kết Luận
TÀI LIỆU THAM KHẢO
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
1
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân. Lý
thuyết biến đổi tích phân ban đầu được áp dụng để giải phương trình vi phân
thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương trình vi phân (PTVP) là
một lĩnh vực của toán học cơ bản, vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng
dụng rộng rãi. Thông thường các bài toán PTVP được rút ra từ các vấn đề
trong thực tế và sau đó người ta tìm ra nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác như trong Vật lý, Xác suất, kỹ thuật ….
Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng biến đổi
Laplace vào phương trình và hệ PTVP chưa nhiều. Bởi vậy việc nghiên cứu
biến đổi này là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên.
Do vậy mà em đã chọn đề tài: “Phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng”
để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về phương trình và hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt là
phép biến đổi Laplace.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận và nghịch, các ứng dụng của
phép biến đổi này vào giải toán.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp
gồm ba chương:
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
2
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phép biến đổi Laplace
Chương 3: Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace
Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự tận tình giúp đỡ
của các thầy cô trong tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất tới các thầy cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và
các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
3
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Sơ lƣợc giải tích phức
Cho hàm số f của một biến số phức z, khi đó ta có thể viết dưới dạng
sau: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) trong đó u, v là các hàm số hai biến số thực.
1.1.1 Tính khả vi của hàm số biến số phức
Cho hàm số f xác định trong miền G
£ và một điểm z thuộc miền G,
khi đó hàm f được gọi là hàm khả vi tại điểm z, nếu tồn tại một hệ số
z
sao cho:
trong đó:
R
z
f z
z
z
0
0 khi
f z
z z R
(1.1)
Hàm f được gọi là khả vi trong miền G nếu f khả vi tại mọi điểm trong
miền G.
1.1.2 Hàm giải tích
Cho hàm số f xác định trên miền G và điểm z0
, z0 G khi đó
hàm f được gọi là hàm giải tích tại điểm z 0 , nếu hàm số f khả vi trong một lân
cận nào đó của điểm z 0 .
Điểm mà tại đó mà hàm f không giải tích gọi là điểm kỳ dị hay hàm f
được gọi là có điểm kỳ dị.
Hàm f được gọi là giải tích trong miền G nếu f khả vi trong miền đó.
Ví dụ: Xét hàm f(z) = zn, n ¢
+ Nếu n ≥ 0 thì f giải tích trên £
+ Nếu n < 0 thì f giải tích trên £ \{0}
1.1.3 Khai triển Laurent
Tại một cực điểm cấp n ta có hàm
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
4
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
n
z
z a f z
vì vậy ta khai triển được thành chuỗi
là hàm giải tích trong miền z a
Taylor:
k
z
k
i
z a , f z
ai z a , ai
k 0
i 1
, i = 1, 2, …
i 0
Như vậy, một khai triển được biết như là chuỗi Laurent nó có thể là độ
phân giải đơn giản nhất của một điểm kỳ dị.
1.2 Một số khái niệm cơ bản của phƣơng trình đạo hàm riêng
1.2.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng
Xét phương trình:
Au = f
(1.2)
Trong đó f là một hàm (hoặc một vectơ hàm) đã biết trong miền
¡ n , A là một toán tử vi phân tuyến tính tác dụng trong Ω tức là toán tử A
A
có dạng:
với Dx
x1 1 ... x n n
,
1
,...,
a
và
n
x Dx
i
(1.3)
là số nguyên không âm:
n
Dn
D1 1 D2 2 ...D Nn , D j
i
1
xj
, i
1,
i
, a
là một hàm hoặc
i 1
một ma trận trong Ω còn u = u(x) là hàm chưa biết trong Ω.
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u, có mặt trong hệ thức (1.2) gọi là
cấp của toán tử A.
Định nghĩa: Phương trình (1.2) với toán tử A cấp m và các hàm u, f thỏa mãn
những điều kiện nêu trên được gọi là một phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp m.
Định nghĩa tổng quát: Phương trình liên hệ các hàm ẩn: u1,u 2 ,...,u n các biến
và các đạo hàm riêng của chúng được gọi là phương trình đạo hàm riêng.
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
5
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Một phương trình đạo hàm riêng chứa ít nhất một đạo hàm cấp m và
không chứa các đạo hàm cấp cao hơn m được gọi là phương trình cấp m.
1. Phương trình Laplace: u 0
2
2. Phương trình truyền sóng:
u
u
t2
3. Phương trình truyền nhiệt:
u
t
u trong đó
n
u
i 1
2
u
là toán tử
x i2
Laplace.
Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là hệ bất kỳ các hàm số sao
cho khi thay vào các hàm ẩn, phương trình này biến thành phương trình đồng
nhất thức theo các biến số độc lập.
1.2.2 Bài toán Cauchy
Giả sử Ω là miền nào đó trong không gian ¡ n (có thể trùng với ¡ n ).
Xét trong Ω phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai:
2
n
a ij x
i, j 1
n
u
xi x j
ai x
i 1
u
xi
a x u f x
(1.4)
ở đây a ij , a i , a, f là các hàm phức trơn.
Ta tách một biến trong các biến chẳng hạn x n và đặt t = x n . Giả sử mặt
phẳng t = t 0 và trong một lân cận của điểm x 0
kiện ban đầu: u t
t
0
u0 x' ,
u
t t
x10 ,x 20,...,x n0 1 cho các điều
u1 x '
t
(1.5)
0
Bài toán tìm nghiệm phương trình trong một lân cận điểm với các điều
kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy.
Trong trường hợp tổng quát: Giả sử trong miền Ω cho một mặt (n-1)
chiều đủ trơn S và tại mỗi điểm của mặt cho một đường cong
nào đó không
tiếp xúc với mặt S, biến thiên đủ trơn trên mặt S.
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
6
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4) trong một lân cận nào đó
của mặt S sao cho:
uS
u0 x
(1.6)
u
tS
u1 x
(1.7)
ở đó u 0 , u1 là các hàm đã cho trên mặt S, được gọi là bài toán Cauchy tổng
quát của phương trình (1.4). Các hàm u 0 , u1 được gọi là các dữ kiện Cauchy
còn mặt S được gọi là mặt Cauchy.
1.2.3 Bài toán biên
Giả sử Ω là miền bị chặn nào đó trong ¡ n . Trong Ω xét phương trình
(1.4) khi đó bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện
(1.8)
u
ở đây
là hàm đã cho trên
, được gọi là bài toán biên thứ nhất.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên
u
v
ở đây
(1.9)
là hàm đã cho liên tục trên
vectơ ngoài tới
,
u
là đạo hàm theo hướng pháp
v
, được gọi là bài toán biên thứ hai.
Bài toán biên thứ ba là bài toán tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện biên
dạng
u
v
với a và
là hàm đã cho trên
au
.
1.2.4 Bài toán hỗn hợp
Giả sử ¡
n
là không gian n chiều với các điểm x1,x 2 ,...,x n ,
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
7
¡
n
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
là miền bị chặn, ¡
n 1
¡
n
t
là không gian (n + 1) chiều, T là
một số dương nào đó. Ta kí hiệu Qt
t
QT
x
,0 t T có mặt xung quanh là
x
t 0 . Đáy trên của QT là
x
,0 t T ;
x
, t T ; đáy dưới của QT là Q0
t0
,t
,t 0 .
x
Với T > 0 trong hình trụ QT ta xét phương trình (1.4). Bài toán tìm nghiệm
(1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu
ut
x ,
0
u
tS
và điều kiện biên
x
0
(1.11)
(1.12)
u1 x
T
u
x;t
(1.13)
T
u
v
(hoặc
trong đó ,
,
x;t )
au
(1.14)
T
và a là những hàm đã cho, gọi là bài toán hỗn hợp thứ nhất
(hoặc thứ ba). Nếu a = 0 trên
T
thì nó được gọi là bài toán hỗn hợp thứ hai.
1.3. Một số khái niện cơ bản của phƣơng trình và hệ phƣơng trình vi
phân
1.3.1. Phương trình vi phân cấp một
Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là
F x, y, y
trong đó hàm F xác định trong miền D
¡
0
(1.15)
3
Nếu trong miền D, từ phương trình (1.15) ta có thể giải được y :
y
f x, y
(1.16)
thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
8
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
x xác định và khả vi trên khoảng I = (a;b) được gọi là
Hàm y
nghiệm của phương trình (1.15) nếu:
a. x,
b. F x,
x ,
D với mọi x D
x
x ,
0 trên I
x
Bài toán Cauchy: Nghiệm của phương trình vi phân cấp một là vô số, cho
nên ta thường quan tâm đến nghiệm của PTVP cấp một thỏa mãn những điều
kiện nào đấy. Chẳng hạn tìm nghiệm của phương trình (1.15) hoặc (1.16) thỏa
mãn điều kiện:
y x0
y0
(1.17)
trong đó x 0 , y0 là các số cho trước. Điều kiện (1.17) được gọi là điều kiện
ban đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.15) hoặc (1.16) thỏa mãn
điều kiện ban đầu (1.17) được gọi là bài toán Cauchy.
Nghiệm tổng quát: Ta nói rằng hàm y
x,C
(1.18) là nghiệm tổng quát
của phương trình (1.16) trong miền G nếu:
y0
a. Từ hệ thức
ta có thể giải ra được:
C
x 0 , y0
x 0 ,C
(1.19)
với x 0 , y0 G
(1.20)
b. Hệ thức (1.18) là nghiệm của (1.16) với mỗi hằng số C được xác định từ hệ
thức (1.20).
Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.16) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo, được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.16) mà tại mỗi điểm tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ, được gọi là nghiệm kì dị.
1.3.2. Phương trình vi phân cấp cao
Định nghĩa: PTVP cấp n có dạng tổng quát là:
F x, y, y , y ...., y
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
9
n
0
(1.21)
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Hàm F được xác định trong miền G nào đấy của không gian ¡
n 2
. Trong
phương trình (1.21) có thể vắng mặt một trong các biến x, y, y , …, y
nhưng y
n
n 1
nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.21) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình
(1.21) có dạng:
y
n
f x, y, y ,..., y
n 1
(1.22)
thì ta được PTVP cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất.
Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm y y x của phương trình (1.21)
hoặc (1.22) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y x0
trong đó x 0 , y0 , y0 ,....., y0
y0 , y x 0
n 1
y0 ,....., y
n 1
x0
y0
n 1
(1.23)
là các giá trị cho trước.
Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình (1.22), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy
nhất đối với mỗi điểm x 0 , y0 , y0 ,....., y0
n 1
G hàm y
x,C1,C2 ,...,Cn
xác định và biến thiên của các biến x, C1 , C2 ,...., Cn có tất cả các đạo hàm
riêng theo x liên tục đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình
(1.22) trong miền G nên trong G từ hệ phương trình
y0
y0
x 0 ,C1 ,...Cn
x
x 0 ,C1 ,...Cn
...
y0
n 1
n 1
x
x 0 ,C1 ,...Cn
Ta có thể xác định được:
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
10
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
C10
x 0 , y0 , y0 ,...y0
n 1
1
C02
x 0 , y0 , y0 ,...y0
n 1
2
(1.24)
...
C0n
Và hàm y
n
x 0 , y0 , y0 ,...y0
n 1
x,C10 ,...,C0n là nghiệm của phương trình (1.22) ứng với mỗi hệ
số C10 ,C02 ,...,C0n được xác định từ (1.24) khi x 0 , y0 , y0 ,..., y0
n 1
biến thiên
trong G.
Nghiệm riêng: Nghiệm của phương trình (1.22) mà tại mỗi điểm của nó tính
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo gọi là nghiệm riêng của
phương trình (1.22).
Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.22) mà tại mỗi điểm của nó tính
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị của
phương trình (1.22).
1.3.3. Hệ phương trình vi phân
Định nghĩa: Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương
trình vi phân sau
dy1
dx
dy 2
dx
f1 x, y1 , y 2 ,..., y n
f 2 x, y1 , y 2 ,..., y n
(1.25)
...
dy n
dx
ở đây x là biến số độc lập, y1
f n x, y1 , y 2 ,..., y n
y1 x , y2
y2 x ,..., yn
yn x là các hàm
phải tìm. Các hàm f i (i = 1, 2,…,n) xác định trong miền G của không gian (n
+ 1) chiều ¡
n 1
.
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
11
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Bài toán Cauchy: Cho điểm x 0 , y10, y10,..., y n0
G tìm nghiệm
y1 x 0 , y2 x 0 ,..., yn x 0 của hệ (1.25) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y1 x 0
y10 , y 2 x 0
y02 ,..., y n x 0
y 0n
Nghiệm tổng quát: Hệ n hàm khả vi liên tục theo x phụ thuộc n hằng số tùy ý
C1,C2 ,...,Cn
y1
1
x,C1 ,C2 ,...,Cn
y2
2
x,C1 ,C2 ,...,Cn
n
...
x,C1 ,C2 ,...,Cn
yn
(1.26)
Được gọi là nghiệm tổng quát của (1.25) trong miền G nếu:
a. Ứng với mỗi x 0 , y10 , y10 ,..., y0n
G từ hệ (1.26) ta có thể xác định được các
hằng số
C1
1
x 0 , y10 , y 02 ,..., y 0n
C2
2
x 0 , y10 , y02 ,..., y 0n
(1.27)
...
Cn
n
x 0 , y10 , y 02 ,..., y 0n
b. Hệ hàm (1.26) nghiệm đúng hệ phương trình (1.25) với C1,C2 ,...,Cn xác
định từ (1.27).
Nghiệm riêng: Nghiệm của hệ (1.25) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm kì dị: Nghiệm của hệ (1.25) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị.
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
12
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
CHƢƠNG 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1. Biến đổi Laplace thuận
2.1.1. Hàm gốc và vị trí hàm gốc
Hàm biến số thực f(t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn 3 điều kiện
sau:
i. f(t) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực t.
ii. f(t) = 0 khi t < 0.
iii. f(t) tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số
M > 0 và S0 ≥ 0 sao cho với mọi t ta đều có: │f(t)│ ≤ M. eS0 t
Số inf S0 với tất cả S0 thỏa mãn (iii) được gọi là chỉ số tăng của f
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm đơn vị sau đây là hàm gốc
0
1
(t)
khi t 0
khi t 0
Giải:
Điều kiện i, ii, rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện iii, ta có thể lấy M =
2, S0 = 0 ta sẽ có ngay:
2e0t
t
2
Vậy η(t) là hàm gốc.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc
f t
t
2
t
t 2 khi t 0
0 khi t 0
Giải:
Điều kiện i, ii, rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện iii, ta thấy
rằng:
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
13
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
e
nên khi t ≥ 0, rõ ràng e
t
t
t 2 t3
...
2! 3!
1 t
t2
hay t 2
2!
2e t
từ đó suy ra với mọi t ta đều có:
t2
f t
t
2e t
có nghĩa là điều kiện (iii) được thỏa mãn, ở đây coi M = 2, S0 = 1
Ví dụ 3: Hàm số sau đây có phải là hàm gốc hay không?
f t
e
t2
et
0
t
2
khi
khi
t 0
t 0
Giải:
Điều kiện i, ii, rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện iii, ta chú ý khi
t ≥ 0 nếu f(t) là hàm gốc thì: tồn tại M >0, S0 ≥ 0 sao cho:
et
2
MeS0t
et
2
2
S0 t
S0 t
M,
t 0
đây là một điều mâu thuẫn vì:
lim e t
t
2.1.2. Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace
Cho hàm số gốc f(t), ta gọi hàm số phức F(p) của biến số phức
p = s + iζ được xác địnhh bằng công thức dưới đây
f t e pt dt
F p
0
là hàm ảnh của hàm f(t) hay là phép biến đổi Laplace của hàm f(t)
Kí hiệu: L{f(t)} = F(p) hoặc f(t) = F(t)
Chú ý:
+ Hàm ảnh F(p) chỉ xác định trong miền Rep = S > S0 và là hàm giải
tích trong miền đó.
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
14
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
+ Còn có thể chứng minh được khi Rep = S → +∞ thì limF p
0.
Cho nên những hàm F(t) nào không thỏa mãn điều kiện này sẽ không phải là
hàm ảnh của một hàm gốc nào cả. Chẳng hạn φ(p) = cosp không phải là hàm
ảnh của hàm hàm gốc nào cả vì nếu lấy p = 2kπ thì khi k→ +∞ ta sẽ có:
Rep = 2kπ → +∞, nhưng khi đó:
lim φ(p) = lim cos 2kπ = 1 ≠ 0
p2 1
Tương tự cũng dễ thấy các hàm sinp, e , 2 , ... không phải là ảnh
p
p
của hàm gốc nào cả.
1 khi t 0
0 khi t 0
Ví dụ 4: Xét hàm số đơn vị Heaviside (t)
Biến đổi Laplace của η là:
1
e
p
pt
F p
e dt
0
t
1
p
pt
t 0
với Rep > 0
Ví dụ 5: Xét hàm mũ f(t) = eαt
Biến đổi Laplace của f là:
e t e pt dt
F p
e(
0
p)t
dt
0
1
1
p
e
(
p)t
t
t 0
1
p
p
với Re(α - p) > 0.
Ví dụ 6: Xét hàm f(t) = tα, α > -1, α ¤
Biến đổi Laplace của hàm f là:
t e pt dt
F p
0
e uu
0
du
p p
1
p
e u u du
1
0
1
p
1
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
15
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
e u u du là hàm Gamma.
với
0
2.1.3 Các định lý và tính chất của phép biến đổi Laplace
2.1.3.1 Định lý
Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng α0. Khi đó biến đổi Laplace F của hàm f
là hàm giải tích trong miền Rep > α0.
Chứng minh:
Đặt Fn là hàm định bởi:
n
e pt dt, Rep
Fn p
0
0
thì dãy (Fn ), n = 1, 2, 3,... hội tụ đều về F trên miền Rep ≥ α0 + 2ε
với ε > 0 bất kỳ
Thật vậy, với mọi p
Rep
Fn p
ta có:
2
0
F p
e
(Rep)t
f t dt
0
M e
(Rep)t
e
0
t
dt
e
n
0
M
M e t dt
0
Do bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào p trong miền Rep ≥ α0 + 2ε nên
suy ra (Fn) hội tụ đều về F trên miền đó.
Ngoài ra, với mỗi n ¥ , Fn giải tích trên miền Rep > α0. Sử dụng định
lý hội tụ bị chặn của Lebesgue ta có:
Fn p
n
F p h Fn p
lim n
h 0
h
n
pt
tf t e dt lim
0
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
h
16
0
e
lim tf t e
h
ht
ht
0
1
0
pt
e
ht
ht
1
dt
n
tf t e pt dt
0
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy suy ra F giải tích trên miền Rep > α0.
2.1.3.2 Tính chất tuyến tính
Cho hàm gốc fk có các chỉ số tăng αk, biến đổi Laplace là Fk, k 1..n .
Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm fk,
n
n
const là hàm F xác định bởi F p
ck f k t , ck
f(t) =
ck Fk p
k 1
k 1
với miền xác định Rep > max αk
Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của một tổng gồm nhiều số hạng ta chỉ
cần tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của từng số hạng mà thôi.
Ví dụ 7: Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
Trong ví dụ 2 của 2.1.2 ta có:
L e
1
t
;
p
Re p
0
Từ tính chất tuyến tính và kết quả trên ta sẽ tìm biến đổi Laplace của
các hàm thông dụng sau:
a. Tính L(chαt), L(shαt).
Ta có: với Re (p – α) > 0 thì:
L e
1
t
p
1
t
và L e
với Re(p + α) > 0
p
ta đã biết các hàm Hyperbolic được định nghĩa:
1
e
2
ch t
t
t
e
1
e
2
; sh t
t
e
t
nên
L ch t
1
L e
2
1
1
2 p
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
t
L e
t
1
p
17
p
p
2
2
Rep
Re
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1
L e
2
1
1
2 p
L sh t
t
L e
t
1
p2
p
Rep
2
Re
b. Tính L(cosωt); L(sinωt)
Tương tự:
1
cos td(e pt )
p 0
cos te pt dt
L cos t
0
1
cos te
p
1
p
e
p
pt
pt
t
e
t 0
pt
sin tdt
0
sin tdt
0
có
e
pt
1
p
sin tdt
0
sin td e
0
1
p
p
pt
sin te
t
pt
t 0
e pt cos tdt
0
e pt cos tdt
0
suy ra
pt
e cos tdt
0
1
p
2
p
e pt cos tdt
2
0
do đó
e pt cos tdt
0
Tương tự ta có L sin t
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
p
p2
2
p2
2
18
hay L cos t
p
p2
2
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
2.1.3.3 Tính chất đồng dạng
Cho hàm gốc f có chỉ số tăng α0, L(f) = F và c > 0 là hằng số. Khi đó:
1 p
F
, Rep
c c
L{f(ct)} =
0
Ý nghĩa: Nếu biết ảnh của f(t) là F(p) thì sẽ tìm được ảnh của f(ct) chính là:
1 p
F
c c
Ví dụ 8: Hàm lũy thừa f(t) = tn có ảnh là hàm:
n!
, Re p 0
pn 1
F p
Vậy nên ảnh của hàm f(ct) = cntn là:
1 n!
c p n
c
cn
n! n 1 với Rep > 0
p
1
2.1.3.4 Tính chất chuyển dịch ảnh:
Cho L(f) = F, f có chỉ số tăng α0, λ là hằng số. Khi đó
L e t f ct
Ví dụ 9: Ta đã biết: L t n
F p
, Rep
0
Re
n!
với Rep > 0
pn 1
nên theo tính chất chuyển dịch ảnh có:
n!
L e ttn
n 1
p
,
Rep Re
Tương tự ta cũng có:
L e t cos t
L e t sin t
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
p
p
p
2
2
2
2
19
, Rep
Im
Re
, Rep
Im
Re
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
2.1.3.5 Tính chậm trễ của gốc
Cho L {f(t)}= F(p), Rep > α0, với
> 0 ta có:
e pF p
L f t
Ý nghĩa:
+ Muốn tìm ảnh của hàm f t
trước hết ta phải tìm ảnh của f(t) là
F(p) rồi theo tính chậm trễ của gốc sẽ tìm được ảnh của hàm f t
là
e pF p .
+ Muốn tìm gốc của e p F p trước hết ta tìm gốc của F(p) là f(t) rồi
theo tính chậm trễ của gốc sẽ tìm được gốc của hàm e p F p là f t
nên sự có mặt của thừa số e
p
. Cho
không gây khó khăn cho việc tìm gốc.
2.1.3.6 Tính chất ảnh của hàm tuần hoàn
Nếu khi t > 0, hàm gốc f(t) là một hàm tuần hoàn chu kỳ T thì hàm ảnh
của nó sẽ được tính theo công thức sau:
L f t
F p
p
1 e pT
(2.1)
T
trong đó:
e pt f t dt
p
(2.2)
0
Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh của hàm tuần hoàn ta chỉ phải tính tích phân với cận
hữu hạn (2.2) rồi áp dụng công thức (2.1)
Ví dụ 10: Tính L(cosωt), L(sinωt) trong 2.1.3.2. Bằng cách sử dụng tính chất
2.1.3.6 ta cũng tìm được kết quả như vậy. Chẳng hạn: Tính L(sinωt)
Hàm sin là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π trước hết ta tính
2
p
2
e
pt
sin tdt
0
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
p
20
1
sin td e
p0
pt
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1
p
e
pt
2
t 2
sin t
e pt cos tdt
t 0
0
2
e pt cos tdt
p
0
Ta tính
2
2
1
cos td e
p0
pt
e cos tdt
0
1
p
pt
e cos t
1
e
p
p
suy ra
p
p
1 e
p2
e
2
2 p
1
pt
2
t 2
sin te pt dt
t 0
0
2
2 p
1
e
pt
sin tdt
0
p
2 p
2
Theo công thức (2.1) suy ra L sin t
1 e
F p
p2
2
2 p
1 e
2 p
p2
2
p
Tương tự cách tính trên ta cũng tính được L cos t
p2
2
2.1.3.7 Tính chất của hàm Delta δ(t)
Hàm Delta δ(t) là hàm
0
t
khi
t 0
và
khi t 0
Hàm này có ảnh là: L{δ(t)} = F(p) =
L
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
t
t e pt dt 1 có:
e
21
t dt 1
p
với
const
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
2.1.3.8 Tính chất ảnh của hàm bậc thang θ(t)
Hàm bậc thang θ(t) là hàm:
0 khi t 0
1 khi t 0
t
t
Suy ra
có L
t
d
d ,
t
pt
e
t
dt
1
p
t dt
0
2.1.3.9 Tính chất về đạo hàm của gốc
Cho L(f) = F. Giả sử f(k) tồn tại và là hàm gốc, f
k 1
0 tồn tại với mọi
k = 1, 2,..., n thì ta có:
L f
ở đây f
k 1
0
n
lim f
t
n
p F p
k 1
f 0
p
f 0
p2
...
f
n 1
0
pn
(2.3)
t , n 1, k 1,n
0
Ý nghĩa:
+ Nếu biết ảnh của hàm f(t); L{ f(t) }= F(p) thì ta tìm được ảnh của
f
n
t .
+ Ngược lại có khi cần tìm ảnh của f(t) mà ta lại thấy rằng việc tìm ảnh
của f
n
t đơn giản hơn, khi đó ta hãy đi tìm ảnh của f
n
t trước rồi theo
(2.3) ta sẽ tìm được ảnh của f(t) là F(p).
Khi làm bài tập cần vận dụng tính chất theo cả hai chiều.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau:
y" 2y' 3y e t
y 0 y' 0 0
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
22
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Thật vậy, đặt Y = L{y}. Theo tính chất đạo hàm của gốc trình bày ở trên ta
có:
p2 y p
1
4(p 1)
y p
suy ra:
Vậy y t
1
e
4
2 py p
t
L
1
e
4
1 t
e
8
1
e
8
– 3y p
1
8(p 1)
1 t
e
8
t
3t
1
p 1
1
8(p 3)
1
e
8
3t
.
Ví dụ 12: Tìm nghiệm của phương trình: y”’ – 2y” + y’ = 4
(2.4)
thỏa mãn điều kiện ban đầu: y(0) = 1; y’(0) = 2; y”(0) = - 2
Giải:
Đặt Y = L{y}. Theo tính chất đạo hàm của gốc trình bày ở trên ta có:
L{y(t)} = y(p); L{y’(t)} = py(p) – 1; L{y’’(t)} =p2 y(p) – p – 2.
L{y”’(t)} = p3 y(p) – p2 – 2p + 2 và L(4) =
4e pt dt
0
4
e
p
pt
t 0
(2.5)
4
p
Bằng cách lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình trên và thay (2.5) vào
ta được: (p3 – 2p2 + p) Y(p) =
suy ra: Y p
p3 5p 4
p2 (p 1)2
4
+ p2 – 5
p
3
p
4
p2
2
p 1
Vậy y(t) =3 + 4t – 2et là nghiệm của (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu.
2.1.3.10 Tính chất đạo hàm của ảnh
Cho L(y) = F, f có chỉ số tăng α0.
Khi đó:
L{(-t)n f(t)} = Fn(p), n
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
¥ , với Rep > α0
23
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
L{tn f(t)} = (-1)n Fn(p)
hay
Ý nghĩa:
Muốn tìm ảnh của t f(t) hoặc tnf(t) trước hết ta tìm ảnh của f(t) là F(p)
sau đó theo tính chất đạo hàm của ảnh sẽ suy ra ảnh của t f(t) là – F’(p) hoặc
ảnh của t f(t) là (–1)n Fn(p)
Như vậy có thể nói: Sự có mặt của thừa số t, tn ở hàm gốc không gây
khó khăn cho việc tìm ảnh
Ví dụ 13:
L(t sin t)
L(tcos t)
L(t s h t)
L(tch t)
d
2p
2
2
2
2 2
dp p
(p
)
2
2
d
p
p
L{( t)cos t}
2
2
2 2
dp p
(p2
)
d
2p
L{( t)s h t}
2
2 2
dp p 2
(p 2
)
2
d
p
p2
L{( t)ch t}
2
2 2
dp p2
(p2
)
L{( t)sin t}
2.1.3.11 Tính chất tích phân gốc
Cho L(f) = F và f liên tục. Khi đó ánh xạ:
t
ta
f
d
0
Cũng là hàm gốc c nếu như f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm f và:
t
F p
L f
d
p
0
Ý nghĩa:
t
+ Muốn tìm ảnh của f
d
ta chỉ cần tìm ảnh của hàm dưới dấu tích
0
phân, tức tìm F(p) rồi theo tính chất 2.1.3.11 suy ra ngay ảnh của
t
f
0
d là
F p
.
p
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
24
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
+ Tính chất này còn cho phép ta tìm gốc trong trường hợp hàm ảnh có
dạng
F p
. Khi đó trước hết ta tìm gốc của hàm ảnh F(p) là f(t) rồi sẽ tìm
p
t
F p
được gốc của
là f
p
0
d .
t
Ví dụ 14: Tìm ảnh của hàm:
sin
d
0
t
L(sin
)
p2
L
2
sin
d
p(p 2
0
2
)
2.1.3.12. Tính chất tích phân ảnh
Nếu L(p) = F và
f t
là hàm gốc thì:
t
L
F t
t
=
F u du
p
z
Trong đó:
= lim
0
Re z
p
Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh của hàm gốc có dạng
f t
trước hết ta tìm ảnh của
t
hàm f(t) là F(p) sau đó theo tính chất 2.1.3.12 suy ra được ảnh của
vậy sự có mặt của thừa số
f t
. Như
t
1
về nguyên tắc không gây khó khăn cho việc tìm
t
ảnh.
sin t
Ví dụ 15: Tìm ảnh của hàm số:
và
t
GVHD: Nguyễn Văn Hùng
25
t
sin
d
0
SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy
