Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng trong không gian vectơ euclide hữu hạn chiều en

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành. Đầu
tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng
Trường, người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong
suốt thời gian em thực hiện khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều
kiện giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em được
hoàn thành.
Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thể còn những
thiếu sót. Em rất mong được nhận thêm những ý kiến đóng góp của các thầy
cô và các bạn sinh viên.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Người thực hiện
Vũ Thị Vân

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của sự dày công học tập, đúc rút và tổng kết
. Chắc chắn nó sẽ mang lại những giá trị nhất định.
Em xin cam đoan khóa luận này là sản phẩm của riêng em , không
trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Người thực hiện

Vũ Thị Vân

2


MỤC LỤC
Phần 1 MỞ ĐẦU..............................................................................................5
Phần 2 NỘI DUNG..........................................................................................7
§1 Không gian vectơ euclide n chiều................................................................7

ur n
§2 Biến đổi trực giao của E .........................................................................13
ur n
§3 Phép biến đổi đối xứng E .......................................................................14
§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian vectơ euclide n chiều..........41
KẾT LUẬN....................................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................48

3


Phần 1: MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài

I.

Trong chương trình giáo trình Đại số tuyến tính chương trình không
gian vectơ Eulide là một phần hình học trừu tượng, là yếu tố mở đầu cho mọi
vấn đề của hình học cao cấp. Đặc biệt các phép biến đổi trong không gian
vectơ Euclide mà hai phép biến đổi chủ yếu là phép biến đổi trực giao và

phép biến đổi đối xứng là 2 phần quan trọng. Hai phép biến đổi này được áp
dụng rất nhiều vào các môn hình học cao cấp khác như hình học afin, hình
học Euclide…
Để hiểu rõ 2 phép biến đổi này cùng với sự gợi ý của Thầy Phan Hồng
Trường em đã quyết định nghiên cứu đề tài :
“ Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng trong không gian
ur n
vecto Euclide hữu hạn chiều E ”
II.

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm củng cố kiến thức về các phép biến đổi trong không

gian vectơ euclide n chiều,
III.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Phương pháp biến đổi trong không gian vectơ euclide n chiều

Chủ yếu là hai phép biến đổi trực giao và biến đổi đối xứng trong không gian
vectơ euclide n chiều.
IV.

Nhiệm vụ nghiên cứu.
Trình bày cơ sở lý thuyết
Đề xuất phương pháp
Xây dựng hệ thống định nghĩa, định lý

V.

Phương pháp nghiên cứu.
Thống kê

4


Khái quát hóa, trừu tượng hóa
Nghiên cứu tài liệu tham khảo, Sách Giáo Trình
VI.

Cấu trúc luận văn

Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
§1 Không gian vectơ euclide n chiều
ur n
§2. Biến đổi trực giao của E .
ur n
§3. Biến đổi đối xứng của E .
§4. Một số phép biến đổi khác trong không gian Euclide n chiều:
ur n
1. Các tính Phép biến đổi phản đối xứng của E .
ur n
2. Phép biến đổi đồng dạng của E .

5


Phần 2: NỘI DUNG
§1 KHÔNG GIAN VECTO EUCLIDE N CHIỀU.

1.1.

Định nghĩa
Cho V là không gian n chiều trên trường số thực R.
a) Ta gọi một dạng song tuyến tính đối xứng η trên V là một tích vô
hướng trên V nếu dạng toàn phương ứng với nó là một dạng toàn
phương xác định dương.
b) Ta gọi không gian V cùng với một tích vô hướng xác định trên nó là
một không gian vectơ Euclide n chiều. Ta thường kí hiệu không
uur
gian vectơ euclide n chiều là E n .

1.2 Nhận xét

ur n ur n
Giả sử f : E E
¡ là một tích vô hướng trên R không gian vectơ
ur ur
ur ur ur n
ur ur
ur n
E , số thực f ,
gọi là tích vô hướng của hai vectơ ,
E . Với ,
và kí hiệu

ur ur
. .

ur n ur n

Ta có, ánh xạ f : E E

¡ ,

ur ur
ur ur
, →f ,

là một tích vô

ur n
hướng trên E khi và chỉ khi nó có các tính chất sau đây, với
ur uur ur uur ur n
, ', , ' E và mọi
¡ :
1.2.1. Tính chất song tuyến tính
ur uur ur
ur ur
uur ur
f
',
f ,
f ',
ur ur uur
ur ur
ur ur
f ,
'
f ,
f , '

ur ur
ur ur
ur ur
f
,
f ,
f ,
1.2.2. Tính chất đối xứng
ur ur
f ,

f

ur ur
,

6


1.2.3. Tính chất xác định
ur ur
f ,

0

1.2.4. Tính chất dương
ur ur
f ,

0

ur

r
0

Định nghĩa
ur n
Cho E là một không gian vectơ euclide n chiều với tích vô hướng
ur ur
ur ur
của hai vectơ ,
và kí hiệu . . Khi đó ta gọi số thực không âm
1.3.

ur ur
.

ur 2

ur

là chuẩn (hay độ dài) của vectơ

và kí hiệu

ur

. Vectơ có độ

dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị.
Để ý rằng, nếu cho tích vô hướng thì ta có độ dài vectơ. Ngược lại,
khi có độ dài vectơ thì tích vô hướng cũng hoàn toàn được xác định. Đó là vì
ta có:
ur ur
.

1 ur
2

ur

ur

2

ur

2

2

Định lý ( Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)
ur ur
ur ur
ur ur ur n
E ta có .
Với mọi ,
. .

1.4.

Chứng minh

ur

Xét trường hợp

0 . Ta có t

ur

ur

2

0, t ¡ . Điều đó tương

tương với:
ur

Vì

ur

2

t2

ur ur

, t

2

ur

0, t ¡

0 nên vế trái là một tam thức bậc 2 đối với t. Nó không âm với mọi

giá trị của t nên
'

ur ur
.

2

ur

2

.

ur

2

0

7


Từ đó:

ur ur
.

2

ur

.

ur

2

Khai căn hai vế của bất đẳng thức, ta nhận được
Trong ¡

n

ur ur
.

ur

.

ur

.

với tích vô hướng chính tắc, bất đẳng thức trên có dạng:

n

n

n
2
i

xi yi

yi2 ;

x .

i 1

i 1

xi , yi

¡ .

i 1

ur ur
ur n
, là hai vecto khác không của không gian vectơ E . Ta gọi
ur ur
ur ur
là số đo góc giữa hai vecto , số thực kí hiệu
được xác định duy
,
Giả sử

nhất bởi các điều kiện sau:

cos

ur ur
,

`

ur ur
.
ur ur
.

ur ur
,

0

r

Ta coi góc giữa vecto 0 và một vecto khác không là không xác định.
Định nghĩa
ur ur
Hai vectơ ,
ur ur
và kí hiệu là
nếu
ur ur
Như vậy
1.5.

ur n
E được gọi là vuông góc ( hay trực giao) với nhau
ur ur
. =0
khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một trong hai vectơ

ur ur
, là vectơ không, hoặc
1.6.

ur

ur ur
,

2

Định lý Pythagore
ur

ur ur ur n
ur
Cho ,
trực giao với
khi và chỉ khi
E . Khi đó,
ur 2 ur 2 ur 2
.

Chứng minh

8


Ta có

ur

ur

2

ur

2

ur

2

ur

ur

ur

2

2

2

ur ur

ur

2

.

Bởi vậy
ur

ur
ur

2

2

ur ur

ur ur

0

0

ur

Định lý
ur ur ur n
Với ,
E và
ur
ur
i)
0;
0
1.7.

ii)
iii)

ur
ur

¡ ta có:
ur

0

ur

.
ur

ur

ur

( bất đẳng thức tam giác)

Chứng minh
Các khẳng định i), ii) suy trực tiếp từ định nghĩa của tích vô hướng và
độ dài vectơ.

ur ur
.

Để chứng minh iii) ta có
ur

ur
ur

ur

2

ur

ur

2

ur

2

ur ur
.

2

ur ur

ur
ur

2

.

ur
ur

cho nên:
2

2.

ur

.

ur

ur

2

2

Từ đó suy ra

ur

ur

ur

ur

.

1.8. Định lý

ur n
Không gian vecto Euclide E chiều luôn có cơ sở trực chuẩn.

Chứng minh
Giả sử

ur uur
uur
,
,......,
là một cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ
1 2
n

uur uur
uur
ur n
euclide E ; Xây dựng hệ vecto 1 ', 2 ',......, n ' bằng quy nạp theo
9


uur

1'

uur
2

ur
1

uur uur' uur
'

2. 1
uur 2 1

'

'
1

uur

k 1

'
k

i 1

uur
2

uur uur' uur
uur
'
k. i
uur 2 i
k
'
i

Với mọi k =2,……,n thì dễ thấy bằng quy nạp theo k( = 1, 2,….., n)

uur uur
uur uur
uur
ur uur
uur
rằng 1 ', 2 ',......, k ' = 1, 2 ,......, k và k' . i' 0 với k ≠ i. Vậy được một

uur uur
uur
uur
cơ sở trực giao 1 ', 2 ',......, n ' . Bây giờ chỉ cần đặt k
sở trực chuẩn

uur
'
k

uur thì được cơ
'
k

uur uur
uur
,
,......,
1
2
n .
uur uur
uur

',
',......,
1
2
n ' có được bằng cách trực giao hóa

Cơ sở trực giao

Gram smit cơ sở trực chuẩn
hóa Gram smit cơ sở

ur
i

uur uur
uur
có được bằng cách trực chuẩn
,
,......,
1
2
n

.

Từ đó dễ thấy cho hệ trực chuẩn

uur uur
uur
ur n

trong
,
,......,
E thì có thể
1
2
n

ur n
bổ sung để được một cơ sở trực chuẩn của E
1.9.

Định nghĩa

Giả sử W là một không gian vectơ con của của không gian vectơ
ur ur n
ur
ur n
E gọi là trực giao với W nếu
Euclide E . Vecto
trực giao với mọi
ur
vectơ của W và khí hiệu là
W.
ur n
Hai không gian vectơ con W, Z của E gọi là trực giao nếu mọi vectơ
của không gian này trực giao với mọi vectơ của không gian kia và ký hiệu

W

Z.
10


1.10.

Định lý

Giả sử W là một không gian vectơ con của của không gian vectơ
ur ur n ur
ur n
Euclide E thì phần bù trực giao của nó: W=
E ,
W làm thành một

ur n
ur n
không gian vectơ con của E thì E W W ,(W )

W.

Chứng minh

r
Rõ ràng vectơ 0 W
W
r
W ta có
k , l ¡ và mọi vectơ
r ur ur

r ur
. k
l
k .

. Với mọi

r ur
.

l

ur ur
,
W mọi cặp số thực

k.0 l.0 0

Vậy W là một không gian vectơ con.
uur uur
uur
Lấy một cơ sở trực chuẩn
của W, bổ sung để được
,
,......,
1
2
m

uur uur

uur
ur
ur
ur
ur n
cơ sở trực chuẩn của E là 1 , 2 ,......, n thì rõ ràng m 1, m 2 ,......, n là
một hệ độc lập tuyến tính của W .
Mặt khác với mọi vectơ

ur

ur

W

V

ur

n

xj

uur
j

j 1

xi

ur

n

xp

uur
p

ur ur
.ui

, do đó

0 với

ur

m 1,

ur
m

i 1, m ,
2 ,......,

ur
n

là cơ sở của W . Từ đó suy ra

p m 1

ur n
điều phải chứng minh E W W ,(W )

W.

1.11. Định lý

ur n
Trong không gian vectơ euclide E ánh xạ
ur n
ur n
E
Hom E , R
ur
r
r ur
a x a x.

11


Là một đẳng cấu ( giữa không gian vectơ thực).
Chứng minh

ur n
Đặt f : E

ur

ur n
Hom E , R

a

r
r ur
x a x.

ur ur ur n
E , mọi ,
f là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy với mọi ,
r ur n
x E ta có:
ur
ur r
ur
ur ur
ur r
ur r
f
x
.x
.x
.x
ur r
ur r
ur

ur
r
f
. x
f
. x
f
f
. x

Vậy f

ur

ur

f

ur

f

f là đơn cấu. Thật vậy giả sử f

f

ur

ur

ur ur
.

ur
ur

0 . Khi đó:

0

ur

0

Do tính chất xác định của tích vô hướng nên
ur n
ur n
Vì dim E dim Hom E , R n nên f là đẳng cấu

12

ur

r
0.

R và mọi


§2 BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO CỦA

ur n
E

Định nghĩa
Định nghĩa

2.1.

ur n
ur n
E được gọi một biến đổi trực giao của E nếu f là

ur n
Ánh xạ f : E

ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng, tức:
ur
ur uur ur
uur ur ur n
,
E
f
.f
. ,
2.2. Định lý

ur n
ur n
là

một
biến
đổi
trực
giao
của
E
E khi và

ur n
Ánh xạ tuyến tính f : E

chỉ khi nó bảo toàn độ dài của vectơ.
Chứng minh

ur n ur n
Giả sử ánh xạ tuyến tính f : E
E là một biến đổi trực giao. Khi đó
ur ur n
E ta có:
bảo toàn vô hướng nên với
ur
ur ur ur
ur 2 ur 2
f
.f
.
f
f

ur

ur

.

Vậy f bảo toàn độ dài của vecto.
ur n
Ngược lại, giả sử ánh xạ tuyến tính f : E
là ta có:
ur
f

f

ur

ur

với

ur

ur n
E bảo toàn độ dài của vectơ, tức

ur n
E .

uur ur ur n

,
E , do f tuyến tính nên:
Khi đó, với
ur
ur
ur
f
f
. Từ tính chất bảo toàn vectơ ta có:
f

ur

ur

ur

ur

f

ur

13

ur

2

ur

ur

2


ur

f

2

ur

2f

ur

ur

.f
.f

2

ur

ur

ur

.f
ur
ur
2f
.f

2f

ur

f

f

f

ur

f2

ur

ur

ur

2

ur

f2

ur 2

ur

f

2

ur ur ur 2
2 .
ur 2
ur ur
22 .

ur

2

ur ur
2 .
ur ur
.

ur n
Vậy ánh xạ tuyến tính f : E
ur n
là biến đổi trực giao của E .

ur n
E bảo toàn tích vô hướng. Do đó, f

2.3. Định lý

ur n
Nếu ánh xạ f : E

ur n
E bảo toàn tích vô hướng thì f là ánh xạ
ur n
tuyến tính và do đó là biến đổi trực giao của E .
Chứng minh
uur ur ur n
,
E và k , l R
ur ur
ur
ur
f k
l
kf
lf

Với
đặt

ur

r ur n

E ta có:
Vì f bảo toàn tích vô hướng nên với mỗi
uur r
ur ur
ur
ur
r
.f
f k
l
kf
lf
.f

f k
k

ur

ur

l
l

ur

ur r
.

.f

r
uur r
k .

kf

ur

.f

r

lf

ur

f

r

.

uur r
l .

0
Như thế

ur

trực giao với mọi vectơ có dạng f

với mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ dạng f

14

r

r

, do đó

. Nói riêng

ur

ur

trực giao

ur

. Từ đó


ur

suy ra

= 0 hay

f k

ur

l

ur

kf

ur

lf

ur

. Điều này đúng cho

uur ur ur n
,
E và k , l R nên f là ánh xạ tuyến tính. Ngoài ra
ur n ur n
ur n
f :E
E bảo toàn tích vô hướng nên f là biến đổi trực giao của E .

2.4. Định lý

ur n
Mỗi biến đổi trực giao của E đều là đẳng cấu tuyến tính.
Chứng minh

ur n
Giả sử f : E
ur 2
ur
Nếu f
0 thì
Kerf

r
0

ur n
E là một biến đổi trực giao.
ur ur
ur
ur
ur r
.
f
.f
0
0

f là đơn cấu tuyến tính.

ur n

Mặt khác, do dim E = dim Im f + dim Kerf
ur n
dim E = dim Im f
f là một toàn cấu tuyến tính.

Vậy f là một đẳng cấu tuyến tính.
2.5. Định lý

ur n
Tự đồng cấu f : E

ur n
ur n
E là một biến đổi trực giao của E khi nó biến

một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn.
Chứng minh

ur n
Giả sử f : E

ur ur
ur
ur n
ur n
E là một biến đổi trực giao của E và e1, e2 ,...., en

ur n
là một cơ sở trực chuẩn trong E .
ur

ur ur ur
Ta có: f ei . f e j ei .e j

ij

ur n
chuẩn trong E .
15

ur
ur
ur
f e1 , f e2 ,.... f en là cơ sở trực


ur n
Ngược lại, nếu tự đồng cấu f : E

ur n
E biến một cở sở trực chuẩn

thành một cơ sở trực chuẩn thì rõ ràng nó bảo toàn độ dài của mọi vectơ nên
ur n
f là biến đổi trực giao của E .
Định lý

2.6.

ur n
ur n

Tập O E tất cả các biến đổi trực giao của E với phép toán lấy
ur n
tích ánh xạ lập thành nhóm. Nhóm này là nhóm con của nhóm GL E tất cả

ur n
các tự đẳng cấu tuyến tính E .
Chứng minh

ur n
Trước hết, để ý rằng, tích của hai tự đẳng cấu của E là một tự đẳng
ur n
ur n
cấu của E ; nghịch đảo của một tự đẳng cấu của E lại là một tự đẳng cấu
ur n
ur n
ur n
của E ; phép id ur n là một tự đẳng cấu của E cho nên tập GL E với phép
E

ur n
toán lấy tích ánh xạ là một nhóm con của nhóm các song ánh từ tập E lên
chính nó.

ur n
Hiển nhiên O E

id ur n
E

ur

f

Nếu

f

1

f

ur n
:E

ur

g f

ur n
O E

vì có

ur n
O E .

ur n
O E thì với

Nếu g . f

ur n
ur n
GL E . O E

ur

ur

ur n
E ta có:

g. f

ur

nên g . f

thì theo định lý 2.4,

ur n
E thì với

ur

ur n
E ta có:

16

f

ur n
O E .
là đẳng cấu. Khi đó xét:


1

f

ur

ur

1

f f

id ur n

ur

ur

E

nên f

ur n

O E .

1

ur n
Vậy O E , với phép toán lấy tích ánh xạ là một nhóm con của nhóm
ur n
GL E .
2.7. Định lý ( Các mối liên hệ với ma trận )

ur n ur n
Cho A là ma trận của tự đồng cấu f : E
E trong một cơ sở trực
ur n
chuẩn của E . Khi đó, f là một biến đối trực giao khi và chỉ khi At . A I n
( I n : là ma trận đơn vị cấp n), tức khi và chỉ khi A là ma trận trực giao.
Chứng minh
Giả sử

i 1, n f

uur

ur uur uur
1 , 2 ,..., n

ur n
là một cơ sở trực chuẩn của E . Với mỗi

uur

aij. j thì A

aij là ma trận của f trong cơ sở trực chuẩn

n

i
j 1

uur
i

. f là biến đổi trực giao

f

uur
i

.f

uur
k

ij

( f biến cơ sở trực chuẩn

thành cơ sở trực chuẩn)
n

aij

uur
j

n

.

j 1
n

aik

uur
i

ij

i 1
n

aij .a jk

ik

At . A I n

j 1 i 1

Tức A là ma trận trực giao.
2.8. Định nghĩa ( Ma trận trực giao)
Một ma trận A Mat n n; R được gọi là ma trận trực giao nếu

At . A En hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn
trong R n với tích vô hướng chính tắc.
2.9.

Định lý
17


ur n
Nếu V là một không gian vectơ con của E bất biến đối với biến đổi
ur n ur n
trực giao f : E
E thì phần bù trực giao V cũng là không gian vectơ con
bất biến đối với f
Chứng minh
ur n
E là không gian vectơ con bất biến đối với biến đổi trực

Giả sử V
ur n ur n
giao f : E
E thì ta cũng có f v : V
ur uur
ur
ur

mỗi
.
V để f
V luôn

r
Lúc đó, với v V ta có:
r ur
r
ur r ur
f v .
f v .f
v.

V là một biến đổi trực giao. Vậy với

r
0 . Chứng tỏ f v

V . Vậy f V

V

hay

V là không gian con bất biến đối với f .

2.10.

Định lý

Giả sử

uur uur uur
uur uur uur
và
là hai hệ vectơ nào đó trong
,
,....
1
2
m
1 , 2 ,.... m

ur n
E . Khi đó, điiều kiện cần và đủ để tại một biến đổi trực giao
uur uur
ur n ur n
1, m là ma trận của Gram của hai hệ
f :E
E sao cho f i
i ,i
vectơ đó trùng nhau, tức là:
uur uur
uur uur
.i j
i. j
m.m

m.m

Chứng minh
Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ.
uur uur
uur uur
Giả sử có i . j
i. j
m.m

m.m

Ta chứng minh số vectơ độc lập tuyến tính trong mỗi hệ

uur uur uur
1 , 2 ,..., m và

uur uur uur
uur uur uur
,
,....
là
như
nhau
và
độc lập tuyến tính
1
2
m
i1 , i 2 ,..., ir

18

uur uur uur
uur uur uur
là hệ con của hệ
i1 , i 2 ,.... ir độc lập tuyến tính ( với
i1 , i 2 ,..., ir
uur uur uur
uur uur uur
uur uur uur
,
là
hệ
con
của
hệ
1 , 2 ,..., m
i1 , i 2 ,.... ir
1 , 2 ,.... m ).
Thật vậy:

uur uur uur
độc lập tuyến tính và:
i1 , i 2 ,..., ir
uur r
.
.....
.
0
2 i2

r
ir
uur
uur
.
.
.....
.
0
1 i1
2 i2
r
ir

Giả sử
uur
.
1 i1
uur
ik

uur uur
.j ik ij

r

r

j 1

uur uur
.j ik ij

0

j 1

uur

uur

r

ik

j

ij

0

k 1,2,..., r .

j 1

uur

r

Vecto

j

0 trực giao với

ij

uur
ik

với

k 1,2,..., r nên trực giao với

j 1

uur uur uur
i1 , i 2 ,..., ir . Vậy nó phải trực giao với

không gian con r chiều sinh bới
chính nó nên

uur

r
j

ij

2

uur

r

0

j 1

j

ij

0

j

0

j 1, 2, . .r. , . ( vì

uur
ij

j 1

độc lập tuyến tính ).
Điều ngược lại chứng minh tương tự.
uur uur uur
Bây giờ giả sử

là hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ
1 , 2 ,..., m

uur
i

uur
i

, i 1, m thì

uur uur uur
1 , 2 ,.... m

là hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ

, i 1, m .
Gọi W=

uur uur uur
1 , 2 ,..., r

19


uur uur uur
W = 1 , 2 ,.... r
'

uuur uuur ur

r r
r
Giả sử: er 1 , er 2 ,..., en , er' 1, er' 2 ,...en'

là các cơ sở trực chuẩn của

ur n
f :E

ur n
E sao cho

và W . Khi đó có ánh xạ tuyến tính
ur ur'
uur uur
f i
1, r và f e j e j , j r 1, n . Ta chứng minh f là ánh xạ tuyến
i ,i
'

W

tính trực giao.
Thật vậy, nếu:

ur

r

xi

ur
i

i 1

Thì: f

ur

ur

r

xi

uur

xi y j

uur uur
i

xi y j
xi

j

uur uur
i

ur
xi ei

n

i

r

yj

i r 1

ur ur

uur

uuur
k, k

k

i

ur ur
xi y j ei e j

n

j

uur

i 1

k

j r 1

i, j r 1

r

ur

j

ur
y j e'j

ur ur
xi y j ei' e'j

n

i, j 1

xi

n

i, j r 1

r

r

yj

uur

j 1

i, j 1

Ta chứng minh: f

j

r

i r 1

ur
y j .e j

r
j r 1

ur
xi ei'

n

i

r

Giả sử

yj

uur

j 1

i 1

uur

r

i r 1

ur

.f

ur

xi ei ,

n

uur

n

j

j 1

ur
y j ej

j r 1

r 1, m thật vậy:

. Khi đó ta có:

i 1

uur uur
j

r

xi

k

uur

uur uur

i

j

i 1

=

uur uur
j

r

xi

k

uur uur
i

uur uur

j

i 1

r

xi

k

uur
i

uur r
0, j 1, m
j .0

i 1

20

j

r

xi

k
i 1

uur uur
j

k


uur

Vecto

r

xi

k

uur
i

phải trực giao W’. Nói riêng nó phải trực giao với

i 1

chính nó tức là ta có:

uur

r

xi

k

2

uur

uur

0

i

r

xi

k

i 1

Từ đó: f

uur

uur

r
0

i

uur

i 1
r

xi f

k

uur

r

xi

i

i 1

r

xi

k

uur
i

i 1

uur

uur

i

k

i 1

2.11. Định lý ( liên hệ với giá trị riêng)
ur n ur n
Nếu f : E
E là một biến đổi trực giao thì mọi giá trị
riêng ( nếu có) của f đều bằng

1. Khi đó các không gian riêng ( nếu có)

ứng với các giá trị riêng bằng 1 và - 1 trực gaio với nhau.

P1 f và P 1 f
Chứng minh

ur
Giả sử
là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của f , nghĩa là
ur
ur
ur ur ur

uur ur ur ur
. Ta có: f
cho nên
.f
.
. hay

ur

f
2

.

ur

2

ur

2

Giả sử

. Từ đó do

ur

ur

P1 f ,

r
0 nên

ur

2

1, tức là

1.

P1 f .

Ta có

uur
.

ur

ur ur
ur
. = 0, do đó

ur

ur ur
.

Từ đó suy ra

f

ur

.f

ur

ur ur
.
.

2.12. Định lý
Cho f
chỉ khi f . f

ur n
ur n
End E . Khi đó f là biến đổi trực giao của của E Khi và
f.f

id ur n .
E

Chứng minh
21

ur n
Gọi A là ma trận của f trong một cơ sở trực chuẩn của E thì At là
ma trận của f trong cơ sở đó.

ur n
Vì f là biến đổi trực giao của E

A là ma trận trực giao

At . A A. At
Điều này tương đương với f . f

f.f

id ur n .
E

22

In


§3 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI XỨNG CỦA

ur n
E

Định nghĩa
3.1. Định nghĩa

ur n ur n
Ánh xạ f : E
E được gọi là một phép biến đổi đối xứng của
uur ur ur n
ur n
,
E ta đều có:
E nếu với mọi
ur ur ur ur
f
.
.f
3.2. Định lý

ur uur uur
ur n
là
một
cơ
sở
tùy
ý
của
,
,...,
E . Khi đó phép biến đổi
1 2
n

Cho

ur n ur n
f :E
E là một phép biến đổi đối xứng ki và chỉ khi:
ur uur ur uur
i, j 1, n .
f i . j
i f
j
Chứng minh

ur uur uur
ur n
à
một
cơ
sở
tùy
ý
của
,
,...,
E .
1 2
n

Giả sử

uur ur
ur n uur' n

,
Nếu f : E
E là một phép biến đổi đối xứng thì
ur ur ur ur
ur uur ur uur
i, j 1, n .
do đó f i . j
f
.
.f
i f
j

ur n
Ngược lại, giả sử phép biến đổi f : E
ur uur ur uur
i, j 1, n .
f i . j
i f
j
Với

ur

n

xi

ur
i

ur

,

n

yj

ur ur
.

j

ur n
E thỏa mãn:

thì:

j 1

i 1

f

uur

ur n
E ta luôn có :

n

f

xi
i 1

ur
i

n

.

yj

uur

n

xi . f

j

j 1

i 1

23

ur
i

n

.
j 1

uur
y j. j


ur uur
xi . y j f i . j

n

n

xi

ur
i

.f

yj

i 1

i, j 1

uur ur
,

Điều này đúng với

uur

n

ur

j

ur

.f

j 1

ur n
E . Vậy f là một phép biến đổi đối xứng.

3.3. Định lý
uur ur ur n
ur n ur n
,
E đều có
Nếu ánh xạ f : E

E có tính chất
ur ur ur ur
thì f là ánh xạ tuyến tính và do đó nó là một phép biến đổi
f
.
.f

ur n
đối xứng của E .
Chứng minh

uur uur ur
1, 2 ,

Nếu f có tính chất đã nêu thì với

ur n
E và

R ta

a1, a2

có:

f a1

uur

a2

1

uur ur
2 .

a1

a2

1

uur ur
a1 1. f

a2

uur ur
a1. f 1 .

uur ur
a2 . f 2 .

a1. f

uur

f a1

uur

Suy ra: f a1

uur
1

a2

1

a2

ur

uur
2

uur

uur
2

uur

.f

2

ur

ur

2. f

a2 . f

1

Điều này đúng với

uur

uur

uur
.

2

a1 f

uur

a2 f

1

uur
2

uur
uur
ur n
E nên f a1 1 a2 2
a1 f

uur
1

a2 f

uur
2

ur
.
a1 f

24

uur
1

a2 f

uur
2

r
0.

do đó f là ánh xạ tuyến tính.

ur n
Vậy f là một phép biến đổi đối xứng của E .
3.4. Định lý ( Liên hệ với ma trận)

0


ur n ur n
Cho A là ma trận của ánh xạ f : E
E trong một không gian trực
ur n
chuẩn nào đó của E . Lúc đó, f là một phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi

A At tức là A là ma trận đối xứng.
Chứng minh

ur uur uur
ur n
là
một
cơ
sở
trực
chuẩn
của
,
,...,

E . Với mỗi i 1, n
1
2
n

Giả sử

f

uur

uur
aij. j thì A

n

i

uur

aij là ma trận của f trong cơ sở trực chuẩn

i

.

j 1

Ta có, với i, j 1, n :

uur uur
i. f
j

uur
uur
.i akj . j

n
k 1

uur

uur

j. f

akj

uur uur
i. j

k 1

uur

n

n

j .aki

i

uur

k 1

akj

ik

aij

k 1

n

aki

k

n

uur uur
j. k

k 1

n

aki

jk

aij

k 1

Do vậy f đối xứng :
uur uur
uur uur
.i f j
f i . j

aij
3.5.

a ji

A

At

Định lý

Những không gian con riêng ứng với những giá trị riêng khác nhau
ur n ur n
của một ánh xạ f : E
E đôi một trực giao với nhau.

Chứng minh

uur n
ur n
E ' là một phép biến đổi đối xứng của E và P 1 , P 2 là

ur n
Cho f : E

hai không gian vecto riêng của f ứng với hai giá trị riêng khác nhau
ur
ur
ur
Giả sử
P1
f
.
1

ur

P2

f

ur

ur
.
2

1

25

2

1

,

2

.