Phép biến hình với các bài toán về đường tròn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.2 MB, 60 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong ch-ơng trình môn Toán ở nhà tr-ờng phổ thông, các phép biến
hình tuy khó và ch-a đ-ợc nghiên cứu sâu nh-ng là một phần không thể thiếu.
Các phép biến hình không chỉ cung cấp một công cụ mới để giải toán mà còn
tập cho học sinh làm quen với các ph-ơng pháp t- duy và suy luận mới, biết
nhìn nhận sự việc và các hiện t-ợng xung quanh trong sự vận động và biến
đổi. Vai trò của phép biến hình ngày càng đ-ợc thể hiện rõ ràng và sâu sắc cả
về ph-ơng diện lý thuyết lẫn bài tập.
Trong nhiều tr-ờng hợp, phép biến hình là một công cụ hữu hiệu để giải
quyết mội số bài toán một cách hợp lí và ngắn gọn nh- : bài toán chứng minh,
bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán, Ngoài ra, có thể
dựa vào một số bài toán cụ thể nào đó với phép biến hình ta có thể khai thác
để sáng tạo ra những bài toán mới khác nhau. Đó là việc làm mang lại hứng
thú học tập, tìm tòi nghiên cứu Hình học của học sinh. Trong khuôn khổ của
một khóa luận và do thời gian nghiên cứu ch-a nhiều nên tôi chỉ tập trung
nghiên cứu việc sử dụng phép biến hình để giải các bài toán có liên quan đến
đ-ờng tròn.
Đó chính là lí do mà tôi chọn đề tài : "Phép biến hình với các bài toán
về đ-ờng tròn ".
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép biến hình.
- Xây dựng các bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn giải đ-ợc bằng cách
sử dụng phép biến hình.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-1-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các kiến thức về phép biến hình.
- Xây dựng hệ thống các bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn thể hiện
tác dụng của phép biến hình đối với bốn bài toán cơ bản : bài toán chứng
minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán.
4. Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối t-ợng nghiên cứu : Phép biến hình.
- Phạm vi nghiên cứu : Một số bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn giải
đ-ợc bằng cách sử dụng phép biến hình.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Phong phú, đa dạng hóa các cách giải khác nhau đối với một số bài
toán có liên quan đến đ-ờng tròn.
- Đơn giản hóa các yếu tố phức tạp trong lời giải một số bài toán có liên
quan đến đ-ờng tròn, giúp cho lời giải của bài toán trở nên lôgic và ngắn gọn
hơn.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-2-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Ch-ơng 1 : các kiến thức cơ bản
1.1. Đại c-ơng về phép biến hình
1.1.1. Khái niệm về phép bin hình
Ta kí hiu tp hp tt c các im ca mt phng l P. Khi ó, mi hình
H bt kì ca mt phng u l mt tp con ca P v c kí hiu H P.
Mt song ánh f : P
P t tp im ca P lên chính nó c gi l mt
phép bin hình ca mt phng.
1.1.2. Các khái niệm c bản liên quan
Nu phép bin hình f bin im M thnh im M thì ta kí hiu
f : M a M v ta nói M l nh ca M qua phép bin hình f, kí hiu
f(M) = M . Ngc li, im M c gi l to nh ca im M qua phép
bin hình f nói trên.
Nu mt hình H P ta có th xác nh c tp hp im
H = f(H) = f(M) : M P . Khi ó, H c gi l nh ca hình H qua phép
bin hình f v hình H c gi l to nh ca H qua phép bin hình f ó.
Mt phép bin hình f cho tng ng mi im M P thnh chính nó
gi l phép bin hình ng nht, kí hiu là Id hoc e.
f = Id
M = f(M),
M P.
1.1.3. Tích ca hai phép biến hình
Gi s f v g l hai phép biến hình ca tp P. Khi ó, ánh x tích ca f v
g cũng là một song ánh t P vo P nên tích ó cng l mt phép biến hình ca
P v ta gi ó l phép biến hình tích ca f v g. Kí hiu: g o f
Nói chung : g o f
f og
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-3-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
1.1.4. Phép biến hình đảo ng-ợc
Cho phép bin hình f : P
P
M
M
Khi ó, phép bin hình bin M thnh M gi l phép bin hình đảo
ng-ợc của phép biến hình f ó.
Kí hiệu: f -1 v f -1 : P
P
M
M
Mỗi phép bin hình f có duy nhất phép biến hình đảo ng-ợc f -1 v ta có :
f of -1 = f -1 of = Id
1.2. Phép bin hình đẳng cự
1.2.1. nh nghĩa
Mt phép bin hình f : P
P c gi l phép biến hình đẳng cự nu
trong mt phng P vi hai đim M, N bt kì v hai nh ca chúng ln lt l
M =f(M), N = f(N) ta luôn có M N = MN.
> Nhận xét : T nh ngha suy ra :
- Phép ng nht Id l phép biến hình đẳng cự.
- o ngc ca phép biến hình đẳng cự l phép biến hình đẳng cự.
1.2.2. Tính chất
Phép biến hình đẳng cự bo ton s thng hng ca 3 im v th t
ca chúng trên ng thng cha 3 im ó.
Phép biến hình đẳng cự bin một ng thng thnh một ng thng,
bin một tia thnh một tia, bin một on thng thnh một on thng bng
nó.
Phép biến hình đẳng cự bin một tam giác thnh một tam giác bng
nó, bin một góc thnh một góc bng nó.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-4-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Tích ca hai phép biến hình đẳng cự l một phép biến hình đẳng cự.
T ó ta có:
- Tích ca n phép biến hình đẳng cự l một phép biến hình đẳng cự
(n 2).
- Tích ca một phép biến hình đẳng cự vi phép o ngc ca nó l phép
ng nht.
Tích ca các phép biến hình đẳng cự có tính cht kt hp.
Mt phép biến hình đẳng cự có ba im bt ng không thng hng l
phép bin hình ng nht.
1.2.3. ảnh của ng tròn qua phép biến hình đẳng cự
Phép biến hình đẳng cự bin một ng tròn thnh một ng tròn
bng nó, trong ó tâm bin thnh tâm.
(O, R)
f
( O , R)
1.2.4. Một số phép biến hình đẳng cự c bit
1.2.4.1. Phép tnh tiến
* Định nghĩa:
ur
Trong mt phng P cho véc t v , phép bin hình bin mi im M thnh
uuuur
ur
ur
M sao cho MN = v gi l phép tnh tin theo véc t v . Kí hiu : Tvr
ur
Véc t v c gi l véc t tnh tin.
* Một số tính cht:
Phép tnh tin l một phép biến hình đẳng cự.
ur
r
v = 0 thì Tvr = Id : mi im u l im bt ng.
ur
v
r
0 thì Tvr không có im bt ng.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-5-
Khóa luận tốt nghiệp
r
ur
GVHD : Đinh Văn Thủy
ur
0 ) thì các ng thng nhn v l véc t ch phng u
Qua Tvr ( v
bin thnh chính nó.
Tích ca hai phép tnh tin l một phép tnh tin : Tvr o Tur = T( vr +ur )
1.2.4.2. Phép đối xng tâm
* Định nghĩa:
Trong mt phng P cho một im O c nh, phép bin hình bin mi
im M thnh im M sao cho O l trung im ca on MM gi l phép
i xng tâm O, im O gi l tâm i xng.
Kí hiu : O
* Một số tính chất:
Phép đối xng tâm l một phép biến hình đẳng cự.
Qua phép i xng tâm ĐO thì O l iểm kép duy nhất.
Tích ca hai phép i xng tâm l một phép tnh tin.
ĐO
uuuur
ĐO' = T2OO
Phép i xng tâm biến ng thẳng i qua tâm thnh chính nó, biến
đ-ờng thẳng không i qua tâm thnh ng thẳng song song vi ng thẳng
ó, bin véc t thnh véc t đối ca nó.
1.2.4.3. Phép đối xng trc
* Định nghĩa:
Trong mt phng P cho ng thng d c nh, phép bin hình bin mi
im M thnh im M sao cho on thng MM nhn d lm ng trung
trc thì phép bin hình ó gi l phép i xng trc d, ng thng d gi l
trc i xng. Kí hiệu : Đd.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-6-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
* Một số tính chất:
Phép i xng trc l một phép biến hình đẳng cự.
Mi im ca trc i xng d u l im kép, tc l:
Đd(M) = M
Phép i xng trc d bin mi ng thng a d thnh chính nó, tức
là:
Đd(a) = a ,
a d.
1.2.5.4. Phép quay quanh một điểm
* Định nghĩa:
Trong mt phẳng P cho mt iểm O c nh v mt góc định hng
sai khác k2 . Mt phép quay tâm O vi góc quay
l mt phép biến hình
bin mỗi im M thnh iểm M sao cho OM = OM v OM; OM =
- ;
thng
,
.
Kí hiu : QOk hoc Q(O,
).
> Chú ý:
- Khi góc quay
=
hoc
=-
thì phép quay QOk tr thnh phép
đối xng tâm O.
- Khi góc quay
= k2
thì phép quay QOk tr thnh phép ng nht Id.
* Một số tính chất:
Phép quay l một phép biến hình đẳng cự.
Phép quay QOk có im bt ng duy nht l tâm quay O.
Tích của hai phép quay:
+ Cùng tâm l một phép quay : QO oQO = QO
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-7-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
+ Khác tâm:
- Vi
- Vi
- + 2k
= - + 2k
ta có : QO o QO = QI
uuuur
ta có : QO o QO = T2OO
1.3. Phép v t và đồng dng
1.3.1. Phép vị tự
* Định nghĩa:
Trong mt phng P cho im O c nh v mt s không i k 0. Phép
bin hình bin mi im M ca mt phng thnh im M sao cho
uuuuur
uuuur
OM = kOM c gi l phép v t tâm O, t s k.
Kí hiu : V(O, k) hoc VOk .
im O gi l tâm v t, s k gi l t s v t.
Nu k > 0 thì VOk l phép v t thun.
k < 0 thì VOk l phép v t nghch.
* Các trng hp c bit:
Nu k = 1 thì VOk l phép ng nht Id.
Nu k = -1 thì VOk l phép i xng tâm O.
* Một số tính cht:
Vi k 0, phép v t VOk có duy nht O l im bt ng.
ng thng ni một im bt kỳ vi nh ca nó qua phép v t VOk
luôn i qua im O.
Phép v t t s k bin ng thng thnh ng thng song song hoc
trùng vi nó, bin tia thnh tia, bin on thng thnh on thng có di
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-8-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
c nhân lên vi k , bin tam giác thnh tam giác ng dng vi t s ng
dng l k , bin góc thnh góc bng nó.
Tích ca hai phép v t : Ta t V1 = VOk11 , V2 = VOk22 , V3 = VOk1k2
- Nếu O
O 2 thì V2 o V 1 = V3 vi O
O1
O2 .
O 2 thì V2 o V1 = V3 vi O xác nh bi :
- Nếu O 1
uuuur
O1O =
1 k 2 uuuuuur
OO
1 k1 k 2 1 2
(k1.k 2 1)
ur
Khi k1.k2 = 1 thì V2 o V1 = Tvr vi v
uuuuuur
(1 k 2 )O1O2
* ảnh của đ-ờng tròn qua phép vị tự
Phép v t VOk bin một ng tròn có bán kính R thnh một ng tròn
có bán kính k .R .
(I; R)
VOk
(I ; k R)
Ngc li, vi 2 ng tròn bt kì cho trc ta có th xác nh c một
phép v t bin ng tròn ny thnh ng tròn kia.
1.3.2. Phép đồng dạng
* Định ngha:
Mt phép bin hình f : P
P gi l phép bin hình ng dng nu nó
bin hai im A, B bt kì ca mt phng thnh hai im A = f(A) v B = f(B)
sao cho luôn có A B = k.AB , trong ó k l một s thc dng xác nh. S k
c gi l t s ng dng.
* Các trng hp c bit:
Phép biến hình đẳng cự l phép ng dng vi t s k=1.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
-9-
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Phép v t VOk l phép ng dng vi t s k .
* Một số tính chất:
Tích ca một phép ng dng t s k 1 vi phép ng dng t s k 2 l
phép ng dng t s k 1 .k 2 .
Mỗi phép đồng dạng có th xem l tích ca một phép v t v một
phép biến hình đẳng cự hoc tích ca một phép biến hình đẳng cự vi một
phép v t.
Phép ng dng t s k bin một ng thng thnh một ng thng,
bin một tia thnh một tia, bin một on thng thnh on thng có di
gp k ln on thng ban u, bin một góc thnh một góc bng nó, bin một
tam giác thnh một tam giác đồng dạng vi nó.
1.4. Phép nghịch đảo
1.4.1. Định nghĩa
Cho mt im O c định v một s k 0. Nếu ng vi mi im M ca
mặt phẳng khác im O ta tìm c im M trên ng thng OM sao cho
uuuur uuuur
OM . OM = k thì phép nghch o N(M) = M gi l phép nghch o cc
O, phng tích k.
Kí hiu : N(O, k).
1.4.2. Các tính chất
Nu M l nh ca M qua phép nghch o N(O, k) thì M, O, M
thng hng.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 10 -
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Tích ca hai phép nghch o cùng cc O l N(O, k) v N(O, k ) l
phép v t tâm O, t s
k
.
k
Nu M, N, O không thng hng thì M, M , N, N l t giác ni tip,
trong ó M , N l nh ca M, N qua N(O, k).
Phép nghch o N(O, k) bo tn góc.
1.4.3. ảnh của đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn qua phép nghịch đảo
Phép nghch o bin ng thng không i qua cc nghch o O
thnh ng tròn i qua cc nghch o tr im O.
Ngc li, một ng tròn i qua cc nghch o O ( tr im O ) thì
có nh l một ng tròn không i qua cc nghch o ó.
Mt ng thng v một ng tròn có th coi l nh ca nhau trong
hai phép nghch o nu ng thng không tip xúc vi ng tròn.
Qua phép nghịch o, một ng tròn không i qua cc nghch o O
bin thnh một ng tròn không i qua im O ó.
1.4.4. Phép nghịch đảo với hai đ-ờng tròn
1.4.4.1. Tr-ờng hợp tổng quát
Cho hai ng tròn (C) v (C ) không bng nhau v không tip xúc nhau
R
R
O
có hai phép v t V
-
v VO
R
R
bin (C) thnh (C ) . Các tâm v t O và O
không nm trên hai ng tròn ó. Khi ó, có hai phép nghch o bin (C)
thnh (C ) l :
Phép nghch o tâm O, phng tích k =
R
p , trong ó p l phng
R
tích ca im O i vi (C).
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 11 -
O'
O
Khóa luận tốt nghiệp
P
GVHD
: Đinh Văn Thủy
B
M
A
I
M'
Phép nghch o tâm O , phng tích k = t'
O3
t
O
phng tích ca im O vi (C).
A
J
Q
R
p , trong ó p l
R
O'
M
A
M'
O2
t'
R'
t
R
O
O
O'
I'
I
(C)
C
(C')
R'
J
R
O
I
H
tip xúc nhau thì ta
d Nu 2 ng tròn (C) v (C ) bng nhau v không(C)
B'
B
I'
I
1.4.4.2. Các tr-ờng hợp đặc biệt
D
O'
có một phép nghch o cc O , phng tích k = -
y
R
p.
R
O'
I'
I
(C)
(C')
Nu hai ng tròn (C) v (C ) bng nhau, tip xúc vi nhau thì không
có phép nghch o no bin ng tròn ny thnh ng tròn kia.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 12 -
O'
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD : §inh V¨n Thñy
I
Nếu hai đường trßn (C) và (C ) tiếp xóc với nhau(C)
tại A nhưng kh«ng
bằng nhau th× A là t©m vị tự nhưng kh«ng phải cực nghịch đảo và chỉ cã t©m
vị tự cßn lại là cực O của mét phÐp nghịch đảo.
O
A
I'
I
O
(C')
(C)
I'
A
I
(C)
(C')
Hµ ThÞ Hßa K33B_To¸n
- 13 -
I'
(
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Ch-ơng 2 : Phép biến hình với các
bài toán về đ-ờng tròn
2.1. Phép biến hình với bài toán chứng minh về đ-ờng tròn
2.1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong Toán học nói chung và
trong Hình học nói riêng. Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các
bài toán khác nh- bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán,
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A
B đúng, trong đó
A là giả thiết, B là kết luận của bài toán.
Có rất nhiều cách để giải bài toán chứng minh và việc sử dụng phép biến
hình để giải bài toán chứng minh cũng là một cách khá hay. Khi đã thiết lập
đ-ợc mối quan hệ giữa các điểm, các đ-ờng đã cho trong giả thiết A với các
điểm, các đ-ờng trong kết luận B thông qua phép biến hình hoặc tích của phép
biến hình thì nhờ tính chất 1-1 của phép biến hình và tính chất không đổi
trong phép biến hình đã chọn có thể khẳng định kết luận B.
Giải bài toán chứng minh bằng sử dụng phép biến hình th-ờng thông qua
3 b-ớc sau :
- B-ớc 1 : Xác định giả thiết A, kết luận B.
- B-ớc 2 : Thiết lập các mối quan hệ giữa các yếu tố trong giả thiết A và
kết luận B. Từ đó lựa chọn các phép biến hình phù hợp.
- B-ớc 3 : Thực hiện các phép biến hình đã chọn để đi đến khẳng định kết
luận B.
2.1.2. Sử dụng phép biến hình để giải bài toán chứng minh về đ-ờng tròn
Bài toán 1 : ( Đ-ờng tròn Ơle)
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 14 -
B
M'
M
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
A
Chứng minh rằng trong một tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba
O'
O
chân đ-ờng cao và ba trung điểm nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên
E
một đ-ờng tròn.
Giải:
A
B
O
'
A2
B1
C'
C1
F
H
B'
O' G
B2
O
B
C2
A1
A'
C
Kí hiệu tam giác đó là
A
nGọi
ABC.
A , B , C lần l-ợt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
A1, B1, C1 lần l-ợt là chân đ-ờngD cao hạ từ A, B, C của
O'
M' A2,
ABC.C
B2, C2 lần l-ợt là trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm H với
K
các đỉnh A, B, C.
B
O, G, H lần l-ợt là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm
của
P
ABC.
N
F
E
O là trung điểm của OH
O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp A B C ( thực hiện phép vị tự
A
OA=OB=OC
c
(1)
Hà Thị Hòa K33B_Toán
Q
)
M
- 15 -
(C'1)
(C1)
-1
VG2
A
B
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Xét hình thang vuông HA1A O có đáy HA1 và A O . Do điểm O là trung
điểm của OH nên O nằm trên đ-ờng trung bình của hình thang.
(2)
O A = O A1
T-ơng tự ta có :
O B = O B1
O C = O C1
(3)
Gọi R và R là bán kính của (O) và (O )
R =
Trong
1
R.
2
AOH có O A2 là đ-ờng trung bình nên :
O A2 =
T-ơng tự ta có :
1
1
OA = R = R = O A
2
2
O B2 = O B
O C2 = O C
(4)
(5)
Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra 9 điểm A , B , C , A1, B1, C1, A2, B2, C2
cùng nằm trên một đ-ờng tròn tâm O , bán kính R =
1
R.
2
Đ-ờng tròn này đ-ợc gọi là đ-ờng tròn Ơle đi qua 9 điểm.
Bài toán 2 :
Cho bốn đ-ờng tròn mà mỗi đ-ờng tròn tiếp xúc với hai đ-ờng tròn
khác. Chứng minh rằng các tiếp điểm A, B, C, D nằm trên một đ-ờng tròn.
Giải:
Xét phép nghịch đảo N(A; 1), khi đó ảnh của (O1), (O2), (O3), (O4) t-ơng
ứng là d1, d2, (O3 ) , (O4 ) trong đó d1// d2, (O3 ) tiếp xúc với (O4 ) tại C1=N(C),
D1=N(D).
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 16 -
I
O
I'
I'
A
I
(C')
(C)
(C)
Khóa luận
tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
(C')
D1
O1
A
O2
O'4
C1
B
D
O'3
O3
C
O4
B1
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đ-ờng tròn ta
phải
d chứng minh ba điểm B1, C1, D1 thẳng hàng.
C
A
Thật vậy, ta có :
E
O3B1 d 2
O4 D1 d1
d1 // d 2
C'
A
I
O3B1 // O4 D1
A
B
O
ã
C1O3B1 = ã
C1O4D1 (so le trong)
F'
A2
F
ã
ãCD
O3C1B1 = O
4 1 1
B1
C'
C1
D
Vậy B1, C1, D1 thẳng hàng.
H
B'
O' G
B2
O
Do đó A, B, C, D cùng nằm trên một đ-ờng tròn.
B
C2
A1
A'
C
m
Hà Thị Hòa
A K33B_Toán
- 17 -
n
O
O'
D
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
> Nhận xét:
Bài toán trên cho bốn đ-ờng tròn đôi một tiếp xúc nhau, ta nghĩ tới việc
sử dụng một phép biến hình làm giảm bớt số đ-ờng tròn đi để việc chứng minh
đỡ phức tạp hơn. Do phép nghịch đảo có khả năng biến đ-ờng tròn thành
đ-ờng thẳng và ng-ợc lại, đồng thời bảo toàn góc giữa hai đ-ờng cong nên
trong bài toán này ta sử dụng phép nghịch đảo thì việc chứng minh trở nên dễ
dàng hơn.
Bài toán 3 :
Chứng minh rằng hai đ-ờng tròn bất kì là hai hình đồng dạng.
Giải:
Cho hai ng tròn bt kì (O; R) v (O ; R ) .
M'
M''
M
O'
O
uuuur : (O; R) a
TOO
(O ; R)
R
VO'R : (O ; R) a (O ; R )
(O ; R ) l nh ca (O; R) qua phép ng dng t s k =
R
R
Do ó ta nói rng : hai ng tròn (O; R) v (O ; R ) l hai hình ng
dng.
M (O; R) v (O ; R ) l bt kì nên ta có iu phi chng minh.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 18 -
B1
Khóa luận tốt nghiệp
M1
GVHD : Đinh Văn Thủy
A
Bài(C1)
toán 4 :
C
Cho đ-ờng tròn (O) và điểm
A cố định không thuộc (O). Đ-ờng kính
C1
BC của (O) quay quanh
O. Giả sử AB, AC cắt (O) thứ tự tại B', C'.
D1
ChứngB1minh rằng :
(C)
a, Các đ-ờng tròn (ABC) lập thành một chùm đ-ờng tròn.
D (AB'C') lập thành một chùm đ-ờng tròn.
b, Các đ-ờng tròn
B
Giải:
A
B'
M
C'
H
B
M'
C
O
N
a, Chứng minh các đ-ờng tròn (ABC) lập thành một chùm đ-ờng tròn.
Xét phép nghịch đảo N1 = N(O; -R2) với R là bán kính đ-ờng tròn (O).
Ta có :
N1 : B a
C
C a
B
Giả sử N1(A) = A .
A cố định ( do A cố định).
Ta lại có : PO / ( ABC ) = OB . OC = - R2
(ABC) là đ-ờng tròn kép qua N1.
Mà A
(ABC)
A
(ABC).
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 19 -
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
Do đó đ-ờng tròn (ABC) luôn đi qua 2 điểm A, A cố định.
Các đ-ờng tròn (ABC) lập thành một chùm Eliptic với 2 điểm căn cứ là A,
A.
b, Chứng minh các đ-ờng tròn (AB C ) lập thành một chùm đ-ờng tròn.
* Cách 1 :
- Ta có : PA / (ABiCi ) = 0 ; i I
(1)
- Mặt khác 2 đ-ờng tròn (O) và (AB C ) trực giao với nhau.
Thật vậy :
Gọi H là trực tâm
Giả sử : AH
ABC
AH là đ-ờng kính của (AB C ) .
(O) = M, N .
Khi đó, do MN BC và BC là đ-ờng kính của (O).
ẳ
B là điểm chính giữa cung MN
ã B = NC
ã B
MC
ã N.
BC là phân giác trong MC
Lại do : BC
AC
ã N.
AC là phân giác ngoài MC
(C A, C H, C M, C N) = -1
(O)
- Do (O)
(AHMN) = -1
(AB C )
(AB C )
PO / (ABiCi ) = R2 ; i I
(2)
Từ (1) và (2) suy ra (AB C ) lập thành một chùm đ-ờng tròn.
* Cách 2 :
Xét phép nghịch đảo N2 = N(A; PA / (O)).
Ta có :
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 20 -
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
N2 : B a
B
C a
C
N2 : BC a (AB C )
Mà ta lại có : O BC
N2(O) = O
Do O cố định
(AB C )
O' cố định
Do đó (AB C ) luôn đi qua A, O cố định.
Các đ-ờng tròn (AB C ) lập thành một chùm Eliptic với 2 điểm căn cứ là
A, O .
> Nhận xét:
Qua việc giải bài toán trên bằng 2 cách ta nhận thấy rằng : nếu giải bài
toán trên bằng cách sử dụng định lý 4 mệnh đề t-ơng đ-ơng của chùm đ-ờng
tròn thì việc tìm điểm cố định mà mọi đ-ờng tròn đi qua t-ơng đối khó khăn,
xong nếu ta dùng phép nghịch đảo thì việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn
và lời giải bài toán ngắn gọn hơn.
Bài toán 5 :
Cho hai ng tròn (O1) v (O2) trực giao vi nhau v ct nhau A,
B. Ta lấy các iểm C, D trên hai ng tròn ó sao cho ng thẳng CD
không i qua A v B.
Chứng minh rằng các ng tròn (ACD) v (BCD) lúc đó trực giao
với nhau.
Giải:
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 21 -
Khóa luận tốt nghiệp
A
A
D'
O1
C
C
GVHD : Đinh Văn Thủy
O2
O1
A'
O2
B'
d
B
D
B
D
Xét phép nghịch đảo N(C; k) với k là một hằng số.
N[(O1)] = d là đ-ờng thẳng.
N[(O2)] = (O2 ) là đ-ờng tròn trực giao với d tại A = N(A) ; B = N(B) .
A B phải là đ-ờng kính của (O2 ) .
Đặt : D = N(D) thì D
(O2 )
ã
A D B = 90 hay A D
BD .
N(A D )
(CAD)
N(B D )
(CBD)
( Nếu chọn D làm cực nghịch đảo thì ta có cách giải t-ơng tự.)
Bài toán 6 :
Cho đ-ờng tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên nó. Giả sử M di
động trên (O). Gọi (C) và (C') theo thứ tự là các đ-ờng tròn qua M tiếp xúc
với AB tại A, B.
Chứng minh rằng trục đẳng ph-ơng của (C) và (C') đi qua điểm cố
định.
Giải:
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 22 -
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
I
A
B
M'
C
O
M
C'
Gọi I là trung điểm của AB. Do A, B cố định nên I cố định.
Ta có : PI / (C) = IA2 ;
PI / (C ' ) = IB2 = k
Xét phép nghịch đảo N( I; k ) :
N [(C)] = (C)
N [(C )] = (C )
Do đó giao điểm của (C) và (C ) lại biến thành giao điểm của (C) và (C ) .
Gọi M là giao điểm thứ hai của (C) và (C ) .
IM . IM = k
Hay I, M, M thẳng hàng.
Mà M M là trục đẳng ph-ơng của (C) và (C ) .
M M đi qua điểm cố định I là trung điểm của AB.
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 23 -
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
2.1.3. Bài tập luyện tập
Bài 2.1.3.1 : Cho đ-ờng tròn tâm O, đ-ờng kính AB và đ-ờng thẳng d, d
vuông góc với AB, đ-ờng tròn tâm A cắt (O) ở C và D , cắt d tại E , F .
A C , A D cắt d lần l-ợt tại C, D. AE và AF cắt (O) lần l-ợt tại E, F.
Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đ-ờng tròn
Bài 2.1.3.2 : Cho bốn điểm không thẳng hàng A, B, C, D. Chứng minh
rằng góc giữa hai đ-ờng tròn (ABC) và (ABD) bằng góc giữa hai đ-ờng tròn
(CDA) và (CDB).
Bài 2.1.3.3 : Cho
ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O; R). Gọi H là trực tâm
của tam giác và O1, O2, O3 lần l-ợt là tâm các đ-ờng tròn ngoại tiếp các tam
giác : HBC, HCA, HAB. Chứng minh rằng:
a, Các điểm đối xứng của H qua các cạnh của
ABC nằm trên đ-ờng
tròn (O; R).
b, Các đ-ờng tròn ngoại tiếp các tam giác : HBC, HCA, HAB bằng nhau.
Bài 2.1.3.4 : Trong mặt phẳng cho ba đ-ờng tròn (S1), (S2), (S3) đôi một
tiếp xúc ngoài; với (S1), (S2) tiếp xúc nhau ở A; (S2), (S3) tiếp xúc nhau ở B;
(S3), (S1) tiếp xúc nhau ở C. Các đ-ờng thẳng AC, AB cắt (S3) lần l-ợt tại B',
C'.
Chứng minh rằng B C là đ-ờng kính của (S3).
2.2. Phép biến hình với bài toán quỹ tích về đ-ờng tròn
2.2.1. Bài toán quỹ tích
Khi giải một bài toán quỹ tích thông th-ờng ta phải tuân theo hai phần:
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 24 -
N
B
N1
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD : Đinh Văn Thủy
B1
- Phần thuận : Chứng minh những điểm có tính chất
thuộc hình (H).
- Phần đảo : Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất
.
A
Tuy nhiên phần đảo luôn là phần khó đối với học sinh. Và công cụ phép
biến
C hình đã giải quyết đ-ợc khó khăn đó vì tính chất song ánh của phép biến
C1
hình. Đây là một trong những ứng dụng quan trọng của phép biến hình vào
D1
việc giải các bài toán tìm quỹ tích.
B1
(C)
Giải
bài toán quỹ tích bằng ph-ơng pháp biến hình gồm 2 b-ớc:
- B-ớc 1: Chọn phép biến hình.
D
- B-ớc 2: Thực hiện các phép biến hình để tìm quỹ tích. Phép biến
B
hình f : M a M với M H thì quỹ tích M là hình
A
H = f(H) .
B'
M
2.2.2. Sử dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích về đ-ờng tròn
C'
Bài toán 1H :
Cho đ-ờng tròn (O) và (O') tiếp xúc với nhau tại A, (O') nằm trong
B
C
(O). BC
O là một dây cung của (O) tiếp xúc với (O').
Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn nội tiếp
ABC khi dây cung BC thay
đổi.
Giải:
N
B
A
n
B'
M
M'
I
O'
C
O
C
O'
'
H
D
Hà Thị Hòa K33B_Toán
- 25 -
