Phương pháp lưới giải bài toán hỗn hợp với các phương trình dạng hyperbolic, phương trình dạng poisson

Khóa luận tốt nghiệp

1

Trần Thị Thu Hiền

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đạo hàm riêng là một ngành của môn giải tích toán học nghiên
cứu về ph-ơng trình đạo hàm riêng và nghiệm của chúng. Nó có mối liên hệ
các với ngành toán học khác nh- giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số,
giải tích số...
Ph-ơng trình đạo hàm riêng th-ờng xuất hiện trong các bài toán ứng
dụng của lý thuyết thuỷ động học, đàn dẻo, cơ học l-ợng tử, cơ học chất lỏng,
điện - từ tr-ờng... Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có ph-ơng pháp
giải đúng. Nhiều bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển. Mặt khác
trong nhiều tr-ờng hợp, có thể tìm nghiệm của bài toán ph-ơng trình đạo hàm
riêng một cách khá đơn giản và hiệu quả. Trong những ph-ơng pháp giải gần
đúng ph-ơng trình đạo hàm riêng, ph-ơng pháp l-ới (hay còn gọi là ph-ơng
pháp sai phân) đ-ợc sử dụng phổ biến nhất.
D-ới góc độ một sinh viên chuyên nghành Toán và trong khuôn khổ của
một bài khoá luận tốt nghiệp đồng thời đ-ợc sự h-ớng dẫn nhiệt tình của thầy
Khuất Văn Ninh em đã chọn đề tài: "Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn
hợp với các ph-ơng trình dạng hyperbolic và ph-ơng trình Poisson''.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ph-ơng pháp l-ới giải một số ph-ơng trình đạo hàm riêng.
Sử dụng ph-ơng pháp l-ới để tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp đối với
các ph-ơng trình dạng hyperbolic và ph-ơng trình Poisson.
3. Ph-ơng pháp nghiên cứu
+ Ph-ơng pháp nghiên cứu lý luận
+ Ph-ơng pháp tổng kết tài liệu

4. Đối t-ợng nghiên cứu
Ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson.

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

2

Trần Thị Thu Hiền

5. Phạm vi nghiên cứu
Một số tính chất của ph-ơng pháp l-ới, ứng dụng ph-ơng pháp l-ới giải
bài toán hỗn hợp đối với ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson.
6. Cấu trúc khoá luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 ch-ơng:
Ch-ơng 1: Một số công thức và khái niệm ban đầu.
Ch-ơng 2: Một số tính chất cơ bản của ph-ơng pháp l-ới.
Ch-ơng 3: Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các ph-ơng
trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson.

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

3

Trần Thị Thu Hiền

Ch-ơng 1
Một số công thức và khái niệm ban đầu
1.1. Ph-ơng pháp l-ới
Ph-ơng pháp l-ới là một trong các ph-ơng pháp số thông dụng để giải
bài toán biên đối với các ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng. ý t-ởng của
ph-ơng pháp l-ới đ-ợc thể hiện nh- sau: trong miền biến thiên của các biến
độc lập chúng ta tạo ra một l-ới nhờ các đ-ờng thẳng song song với hai trục
toạ độ. Điểm giao nhau của các đ-ờng thẳng đó gọi là các nút l-ới (điểm
l-ới). Tại các điểm l-ới thay đạo hàm trong ph-ơng trình kể cả điều kiện biên
bằng các biểu thức sai phân.
Nghiệm của hệ ph-ơng trình này chính là các giá trị gần đúng của
nghiệm bài toán ban đầu tại các điểm l-ới.
Nghiên cứu ph-ơng pháp l-ới liên quan tới việc giải các bài toán sau:
1) Lập luận khả năng giải đ-ợc của hệ ph-ơng trình nhận đ-ợc và xác
định nghiệm đúng hoặc gần đúng của nó bằng một ph-ơng pháp gần đúng nào
đó.
2) Đánh giá sai số của ph-ơng pháp mà sai số đ-ợc tích luỹ dần từ -ớc
l-ợng sai số xấp xỉ của ph-ơng trình vi phân với các điều kiện biên.
Giả sử cần tìm nghiệm của ph-ơng trình vi phân

Lhu ( h)
trong miền D với chu tuyến

fh

(1.1)

.

Để giải ph-ơng trình (1) bằng ph-ơng pháp l-ới trong miền D = D +
ta chọn tập điểm Dh

M h (số điểm M h đ-ợc đặc tr-ng bởi giá trị h : giá trị

h càng nhỏ càng nhiều số điểm trong tập Dh ). Tập Dh đ-ợc gọi là l-ới, còn
các điểm M h là nút l-ới. Hàm số đ-ợc xác định trong các nút l-ới đ-ợc gọi là
hàm số l-ới.

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử có u

h

- là nghiệm chính xác của ph-ơng trình (1.1) trong nút

của l-ới Dh . Theo quy tắc, việc xác định u
hàm số l-ới u ( h )

u

Trần Thị Thu Hiền

4

h

h

là không thể. Do đó ta phải tìm

và giải toán gần đúng nghiệm của ph-ơng trình (1.2)

Lhu ( h)

f h,

(1.2)

xấp xỉ với nghiệm của ph-ơng trình (1.1). Ph-ơng trình (1.2) đ-ợc gọi là công
thức sai phân.
Ta ký hiệu không gian tuyến tính định chuẩn đ-ợc hình thành bởi các
hàm số u ( h ) là U h , còn không gian tuyến tính đ-ợc hình thành bởi f ( h ) là Fh .
Khi đó ta coi nh- trong không gian U h và Fh là các không gian định chuẩn
.U , .
h

. Nếu nh- :

Fh

u

h

u (h)

0 khi h

Uh

0

(1.3)

thì có thể nói công thức sai phân là hội tụ. Nếu nh- với mọi giá trị h < h0 có
bất đẳng thức:
u

u (h)

h

Ch k

Uh

(C = const)

(1.4)

thì có thể nói hội tụ bậc k theo h .
Tóm lại, khi giải bài toán (1.1) bằng ph-ơng pháp l-ới ta cần làm những
b-ớc sau:
1) Chọn l-ới.
2) Thiết lập công thức sai phân.

3) Khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân.
+ Xác lập bài toán gần đúng của (1.1) bởi công thức sai phân (1.2).
+ Kiểm tra tính ổn định của công thức sai phân.
Cho rằng công thức sai phân (1.2) gần đúng với (1.1) nếu nh-:

Lh u
f (h)

h

Fh

f ( h)
0

f ( h) ,
khi h

0

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp
Giá trị

Trần Thị Thu Hiền

5

f ( h ) đ-ợc gọi là sai số gần đúng. Nếu

f ( h)

Mhl thì có thể

nói rằng công thức sai phân (1.2) gần đúng với ph-ơng trình (1) tại nghiệm
u

h

với bậc l t-ơng ứng với h .
Công thức sai phân (1.2) đ-ợc gọi là ổn định nếu nh- tồn tại giá trị

h0

0 sao cho với mọi giá trị h h0 và f ( h )

Fh thoả mãn:

1) Công thức sai phân (1.2) có nghiệm duy nhất.
2) u ( h )

Uh

K f (h)

Fh

, trong đó K - là hằng số không phụ thuộc vào h

và f ( h ) .
Nếu công thức sai phân (1.2) xấp xỉ bài toán (1.1) với bậc l theo h thì
sẽ thoả mãn (1.4) khi k

l.

1.2. Công thức sai phân
Giả sử cho tr-ớc toán tử vi phân L tác động lên hàm số u . Thay thế các
đạo hàm t-ơng ứng trong Lu bởi các tỉ sai phân, ta thu đ-ợc biểu thức sai
phân Lhu ( h ) là tổ hợp tuyến tính của hàm số l-ới u ( h ) trong tập hợp nút l-ới :

Lhu ( h ) ( x)

Ah ( x, )u ( h) ( ),

(1.5)

III ( x )

hoặc
Lhu ( h ) ( xi )

Ah ( xi , x j )u ( h ) ( x j )

(1.6)

x j III ( x j )

trong đó xi là các nút l-ới.

Ví dụ 1.1: Giả sử cần xây dựng công thức sai phân để xác định đạo hàm
u ( x, t ) thoả mãn ph-ơng trình (1.7) d-ới đây khi
u ( x, t )
t

a

u ( x, t )
x

x

, t >0.

f ( x, t )

(1.7)

khi t = 0 thì thoả mãn điều kiện ban đầu
u ( x,0)

( x),

x

Đạo hàm u t có thể thay thế bởi một trong các tỉ sai phân sau:

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

(1.8)

Khóa luận tốt nghiệp
u ( x, t )
t

u ( x, t )
t
u ( x, t )
t

Trần Thị Thu Hiền

6

u ( h ) ( x, t

) u ( h ) ( x, t )

u ( h ) ( x , t ) u ( h ) ( x, t
u ( h ) ( x, t

(1.9)
)

) u ( h ) ( x, t
2

,
)

(1.10)
,

(1.11)

Đạo hàm u / x có thể thay thế bởi một trong các tỉ sai phân sau:
u ( x, t )
x

u ( h ) ( x h, t ) u ( h ) ( x, t )
,
h

(1.12)

u ( x, t )
x

u ( h ) ( x, t ) u ( h ) ( x h, t )
,
h

(1.13)

u ( h ) ( x h, t ) u ( h ) ( x h, t )
.
2h

(1.14)

u ( x, t )
x

D-ới dạng l-ới ta lấy tất cả các điểm ( xm , tn ), trong đó xm

mh, tn

n

và u ( h ) ( xm , tn ) đ-ợc kí hiệu là umn . Thay thế (1.9) - (1.11) cho u t và (1.12)
- (1.14) cho u / x ta có thể thu đ-ợc các l-ợc đồ sai phân khác nhau cho
ph-ơng trình (1.7), (1.8).
umn 1 umn

um0

a

( xm , tn ),

h

(1.15)

a

umn

umn

h

1

( xm , tn ),

(1.16)

( xm ), m 0, 1, 2,... , n 0,1,2,...;
umn 1 umn

um0

umn

1

( xm ), m 0, 1, 2,... , n 0,1,2,...;
umn 1 umn

um0

umn

a

umn

umn
2h

1

1

( xm , tn ),

(1.17)

( xm ), m 0, 1, 2,... , n 0,1,2,...;
umn umn 1

a

umn

1

h

umn

( xm , tn ),

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

(1.18)


Khóa luận tốt nghiệp

um0

Trần Thị Thu Hiền

7

( xm ), m 0, 1, 2,... , n 0,1,2,...;

Tập nút l-ới áp dụng vào xấp xỉ ph-ơng trình (1.7) có thể biểu diễn
d-ới dạng sau:
* ( xm , tn 1 )

* ( xm , tn 1 )

M

M

*-------------*

*----------*

( xm , tn )

( xm 1, tn )

( xm 1, tn )
*( xm , tn 1 )

( xm , tn )

( xm , tn )
( xm 1, tn )

*-----------*

M

*-----------*----------*

( xm 1, tn ) ( xm , tn )

M

* ( xm , tn 1 )

( xm 1, tn )

Sử dụng (1.9) - (1.14) có thể thu đ-ợc các l-ợc đồ sai phân khác cho
ph-ơng trình (1.7) và (1.8). Ta viết ph-ơng trình (1.7) d-ới dạng:
u
t

(1

)

u
t

a

u
x

a(1

)

u
x

( x, t ),

sau đó thay thế các đạo hàm theo (1.9) - (1.14). Cũng có thể thay thế các đạo
hàm bởi các dạng khác mà không nhất thiết là (1.9) - (1.14).
Khi xây dựng các công thức sai phân, th-ờng sử dụng một ph-ơng pháp
khác đó là ph-ơng pháp hệ số bất định. Theo ph-ơng pháp này, trong lân cận
của các nút l-ới ta chọn tất cả các điểm, giá trị của hàm số l-ới tại đó sẽ đ-ợc
gán cho các giá trị gần đúng với nút của ph-ơng trình vi phân, của biên hoặc
điều kiện ban đầu. Sau đó lập ph-ơng trình dạng (1.6), các hệ số Ah ( xi , y j )
đ-ợc chọn sao cho thoả mãn điều kiện:

Rh (u( xi ))

Lh u ( xi )

L u ( xi )

0 khi h

0

Trong quá trình đó sử dụng khai triển nghiệm chính xác của ph-ơng
trình (1.1) tại nút x j theo công thức Taylor trong lân cận điểm xi .

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

8

Cần l-u ý rằng việc chọn hệ số Ah ( xi , y j ) có thể xuất hiện ẩn số có
cùng bậc t-ơng ứng với h của đại l-ợng Rh (u( xi )) . Từ các l-ợc đồ sai phân có
thể lựa chọn trong đó biểu thức có bậc hội tụ lớn nhất và tiện cho tính toán.
Ví dụ 1.2. Trên l-ới ( xi , t j ), trong đó xi

j xây dựng l-ợc đồ sai

ih, t j

phân của ph-ơng trình vi phân
u
t

Lu ( x, t )

sử dụng tập nút l-ới III ( xi , t j )

a

u
x

( x, t ) ,

( xi , t j ),( xi 1, t j ),( xi 1, t j ),( xi , t j 1) .

Lời giải: Giả sử rằng

Lhu ( h) ( xi , t j )

A( xi , t j )uij 1 B( xi , t j )uij

C ( xi , t j )uij 1 D( xi , t j )uij

1

Ta tìm đ-ợc:

Rh (u ( xi , t j ))

u ( xi , t j )

a

t

u ( xi , t j )
x

A( xi , t j )u( xi 1, t j ) B( xi , t j )u( xi , t j )
+ C ( xi , t j )u( xi 1, t j ) D( xi , t j )u( xi , t j 1 )]
Sau đó sử dụng các biểu thức khai triển

h u ( xi , t j )
u ( xi 1 , t j ) u ( xi , t j )
1!
x

2

h2
2!

u ( xi , t j )
x2

h u ( xi , t j )
u ( xi 1, t j ) u ( xi , t j )
1!
x

h2
2!

2

u ( xi , t j )

2

2

t

2!

u ( xi , t j 1 ) u ( xi , t j )

1!

u ( xi , t j )
x2

u ( xi , t j )
t2

3

h3
3!
h3
3!

u ( xi , t j )
x3

...

3

u ( xi , t j )
x3

...

...

Thay thế vào u( xi 1, t j ), u ( xi 1, t j ) , u ( xi , t j 1 ) trong Rh (u( xi , t j )) ta thu đ-ợc

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp
Rh (u ( xi , t j ))

Trần Thị Thu Hiền

9

(A B C
h2
( A C)
2!

D)u ( xi , t j ) ( a

2

u ( xi , t j )

Ah Ch)

x

u ( xi , t j )
x2

3
2
u ( xi , t j )
u ( xi , t j )
h3
( A C)
(1
D
)
D
3!
x3
t
2

2

u ( xi , t j )
t2

...

Các hệ số A, B, C, D ta có thể chọn sao cho thoả mãn điều kiện

A B C D 0, Ah Ch a

A C 0, D

1.

Từ đó ta tính đ-ợc A a / (2h), B 1/ , C

a / (2h) , D

1/ .

Với các hệ số trên ta có:
3

ah2
6

Rh (u ( xi , t j ))

2

u ( xi , t j )
x

3

u ( xi , t j )

2

t

2

0(h 2 ) 0( )
(1.19)

a j
ui 1
2h

Lhu ( h ) ( xi , t j )

1

uij

a j
ui 1
2h

1

uij

1

( xi , t j ) .

Ví dụ 1.3: Xây dựng phép tính sai phân gần đúng của ph-ơng trình
u (0, t )
x

Lu

(t )

Tại điểm ( x0 , t j ) sử dụng tập nút l-ới III ( x0 , t j )
Trong đó xi

( x0 , t j ),( x1, t j ),( x2 , t j )

j .

ih, t j

Lời giải: Giả sử rằng:

A( x0 , t j )u0j

Lhu( x0 , t j )

B( x0 , t j )u1j

C ( x0 , t j )u2j

và tìm đ-ợc

Rh (u ( x0 , t j ))

u (0, t j )
x

[ A( x0 , t j )u( x0 , t j ) B( x0 , t j )u( x1, t j )

C ( x0 , t j )u ( x2 , t j )]

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

10

Ta mở rộng khai triển u ( x1 , t j ) và u ( x2 , t j ) thành chuỗi Taylor :

u ( x2 , t j ) u ( x0 , t j )

2h u ( x0 , t j )
1!
x

2

h2
2!

h u ( x0 , t j )
u ( x1 , t j ) u ( x0 , t j )
1!
x

x2
2

(2h) 2
2!

h3
3!

u ( x0 , t j )

u ( x0 , t j )
x

2

3

u ( x0 , t j )
x3

...

3

(2h)3
3!

u ( x0 , t j )
x3

...

Thay thế vào u( x1, t j ), u( x2 , t j ) trong Rh (u( x0 , t j ))
2

Rh (u ( x0 , t j ))

( A B C )u ( x0 , t j ) (1 Bh 2Ch)
2

h2
( B 4C )
2

u ( x0 , t j )
x2

u ( x0 , t j )
x2

3
u ( x0 , t j )
h3
( B 8C )
...
6
x3

Trong đó các hệ số A, B, C, thoả mãn điều kiện:

A B C 0, 1 Bh Ch 0 , B 4C 0
Ta tìm đ-ợc A

3 / (2h) , B 4 / (2h) , C

Lhu ( h ) (0, t j )

1
( 3u0j
2h

Rh (u (0, t j ))

h2
6

4u1j

1 / (2h) . Từ đó ta thu đ-ợc:

u2j ),

3

u ( x0 , t j )
x

3

o( h 2 ) .

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

11

Ch-ơng 2
Một số tính chất cơ bản của ph-ơng pháp l-ới
2.1. Sai số của phép xấp xỉ bài toán vi phân bởi l-ợc đồ sai phân
Đặc tính quan trọng của l-ợc đồ sai phân là tính gần đúng nghiệm của nó
với nghiệm của bài toán vi phân tại các nút l-ới. Để thoả mãn các đặc tính đó,
cần đảm bảo rằng với các bài toán sai phân thu đ-ợc phải xấp xỉ bằng với bài
toán vi phân. Tính "gần đúng" đ-ợc đánh giá bởi đại l-ợng:
f (h)

Fh

Lh u

h

f ( h)

Fh

,

trong đó u h - là nghiệm chính xác của bài toán vi phân tại các nút l-ới.
Ví dụ 2.1: Đánh giá sai số của phép xấp xỉ ph-ơng trình (1.7) và (1.8) bởi
l-ợc đồ sai phân (1.15).
Lời giải.

u ( xm , tn 1 ) u ( xm , tn )

u ( xm 1, tn ) u ( xm , tn )
h
u ( xm , t0 )
( xm ),
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...

f (h)

Nếu tồn tại các đạo hàm liên tục

x

a

u t,

2

u / t2 ,

( xm , tn ),

u / x,

, t 0 thì áp dụng khai triển
2

u ( xm , tn )
u ( xm , tn 1 ) u ( xm , tn )
1!
t

2!

h u ( xm , tn )
1!
x

h2
2!

u ( xm 1 , tn ) u ( xm , tn )
tn

t%
tn 1 , xm
n

2

u ( xm , t%
n)
,
2
t

2

u ( x%m , tn )
,
x2

x%
xm 1,
m

Ta thu đ-ợc :

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

2

u / x 2 khi


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

12

u ( xm , tn )
h 2u ( x%m , tn )
a
x
2
x2
u ( xm , t0 )
( xm ),
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...

u ( xm , t%
n)
2!
t2

u ( xm , tn )
t
f (h)

a

( xm , tn ),

Do
u ( xm , tn )
t

u ( xm , tn )
x

a

u( xm , t0 )

( xm , tn ),

( xm ),

Nên ta có:
2

h 2u ( x%m , tn )
a
,
2
2
x2
0,
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...

f (h)

u ( xm , t%
n)
2
t

Đối với hàm số l-ới

( xm , tn ), m 0, 1, 2,..., n 1,2,...
( xm ), m 0, 1, 2,...

f (h)

Ta đ-a vào chuẩn sau :
f (h)

Fh

( xm , tn ) + max

max

( xm ) .

m

m ,n

(2.1)

Giả thiết rằng :
2

u
x2

(2)
x

M ,

2

u

t

2

M t(2) , với

x

,

t 0.

Khi đó ta thu đ-ợc :
2

f (h)

Fh

max
m ,n

2

u ( xm , tn )
t2

a

h
2

2

u ( x%m , tn )
x

2

M t(2)

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

a

h (2)
Mx .
2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

13

Ví dụ 2.2. Đánh giá sai số của phép xấp xỉ ph-ơng trình (1.7), (1.8) bởi l-ợc
đồ sai phân (1.17).
Lời giải.
Ta có

u ( xm , tn 1 ) u ( xm , tn )

u ( xm 1 , tn ) u ( xm 1 , tn )
2h
u ( xm , t0 )
( xm ),
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...

f (h)

a

Giả sử rằng tồn tại các đạo hàm liên tục u / t ,

3

u / x3 với

2

2

2

h u ( xm , tn )
u ( xm 1 , tn ) u ( xm , tn )
1!
x

h2
2!

2

h u ( xm , tn )
1!
x

h2
2!

2

t%

tn 1 , xm
n

2

2

u ( xm , t%
n)
2
t

t

2

3

u ( xm , tn )
x2

h3
3!

3

x%
2m

xm ,

a

h2
6

3

xm 1 ,

, t 0 . Ta có:

x
u

xm 1 , xm 1

h3
3!

u ( zm , tn )
, xm 1 zm
x3
0,
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...

f (h)

2

x%
1m

u ( xm , tn )
x2

f ( h ) ta thu đ-ợc

Thay thế vào

3

M

(2)
t

2

u / x2 ,

u ( xm , t%
n)
,
t2

u ( xm , tn )
u ( xm , tn 1 ) u ( xm , tn )
1!
t

tn

u / t2 , u / x ,

, t 0 . Khi đó ta có thể viết:

x

u ( xm 1 , tn ) u ( xm , tn )

Nếu

2

( xm , tn ),

,

u
x3

M x(3) ,

Với chuẩn (2.1) ta thu đ-ợc:

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

u ( x%
1m , t n )

,
x3

u ( x%2 m , t n )
,
x3


Khóa luận tốt nghiệp
f

Trần Thị Thu Hiền

14

(h)

2

Fh

M

h 2 (3)
a Mx .
6

(2)
t

2.2. Sự hội tụ và sự ổn định của l-ợc đồ sai phân
Định nghĩa 1:
a. L-ợc đồ Lhu ( h)
Lu

f h xấp xỉ bài toán Lu

f tại nghiệm u * của

f nếu:
Lh hu *

h

b. L-ợc đồ Lhu ( h)

f

0 (h

Fh

0 ).

f h xấp xỉ bậc k bài toán Lu

f tại nghiệm u *

nếu:

Lh hu*

h

k

f

c1 h .

Fh

Định nghĩa 2: Nghiệm của bài toán sai phân hội tụ tới nghiệm của bài
toán vi phân nếu :
h

Hội tụ bậc k , nếu

u * uh
h

0 (h

Uh

u* uh

0)
k

Uh

Ch .

Định lý Lax: Nếu l-ợc đồ Lhu ( h)
Lu

f thì nghiệm của Lhu ( h)

f h ổn định và xấp xỉ (bậc k ) bài toán

f h hội tụ (bậc k ) tới nghiệm của Lu

f.

Nói vắn tắt: Xấp xỉ (bậc k ) + ổn định suy ra hội tụ ( bậc k ).
Trong đó

h

và

h

là các toán tử rời rạc hoá thoả mãn điều kiện t-ơng

thích chuẩn sau:

u U,
f

F,

h

u

h

f

Uh

Fh

u
f

U

F

(h

0)

(h

0 ).

Nếu chỉ số h R k thì h là một chuẩn nào đó của h .
Giả sử trong ph-ơng trình vi phân có sự tham gia của hàm số

nào đó.

Chọn một điểm P tuỳ ý thuộc miền xác định của hàm số cần tìm u . Giả sử

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

15

rằng giá trị u ( P) phụ thuộc vào giá trị

tại các điểm của tập số

G ( P) thuộc miền xác định của hàm số

, tức là nếu thay đổi giá trị của

G

trong lân cận nhỏ của điểm Q bất kỳ thuộc miền G ( P) có thể kéo theo sự
thay đổi của u ( P) . Giả sử rằng để xác định u ta sử dụng l-ợc đồ sai phân

f ( h) , trong đó giá trị nghiệm u ( h ) trong lân cận của nút l-ới P đ-ợc

Lhu ( h)

xác định hoàn toàn bởi giá trị của hàm số
Để thoã mãn u ( h )

u khi h

trên tập G( h)

G( h) ( P).

0 l-ợc đồ sai phân phải xây dựng sao

cho khi h h0 trong lân cận tuỳ ý của điểm bất kỳ thuộc miền G ( P) có đặc
tính đó đ-ợc gọi là điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi. Từ các điều kiện đó có
thể xác định tính không thích ứng của l-ợc đồ sai phân.
Cần l-u ý rằng điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi là điều kiện cần cho
sự hội tụ cũng nh- sự ổn định của l-ợc đồ sai phân.
Ví dụ 2.3. Sử dụng điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi khảo sát l-ợc đồ sai
phân sau:

Lhu ( h)

f ( h) ,

umn 1 umn
Lhu ( h )

f (h)

Trong đó xm

mh, tn

umn umn 1
,
n

um0
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,..., N 1,
( xm , tn ),
( xm ),
m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...

n , N

1.

Biết rằng l-ợc đồ sai phân đã cho xấp xỉ bài toán vi phân với sai số
O(h

).

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

16

u
t

u
x

( x, t ),

u ( x,0)

, 0 t 1,

x

( x),

x

Lời giải.
Nghiệm của ph-ơng trình vi phân tại điểm ( x p , t p ) phụ thuộc vào giá trị
của hàm số

( x, t ) và

( x ) tại tất cả các điểm mà đ-ờng thẳng x+t = C (C =

const) xuất phát từ điểm A của trục 0x và đi qua điểm P. Nh- vậy:

dx
dt

1,

du
dt

u
t

u dx
x dt

( x, t ) ,

tp

u( x p , t p )

( A)

( x(t ), t ) dt,
0

Giả sử x p

0, t p 1 . Khi đó C =1, tức là nghiệm của ph-ơng trình vi

phân phụ thuộc vào giá trị của hàm số

(0 t 1) và giá trị

( x, t ) trên đ-ờng thẳng x t 1

(1) .

Dễ thấy u0N thu đ-ợc theo l-ợc đồ sai phân phụ thuộc vào giá trị
với

Nh x 0 . Suy ra, nếu thay đổi giá trị

( x ) đối với x thuộc

( x)

(1) và giữ nguyên giá trị

Nh,0 sẽ dẫn tới thay đổi nghiệm của ph-ơng trình vi

phân, giữ nguyên nghiệm của ph-ơng trình sai phân. Tức là không đảm bảo
tính hội tụ.
Khi khảo sát l-ợc đồ sai phân với các hệ số không đổi ta áp dụng dấu
hiệu phổ của tính ổn định. Cũng giống nh- điều kiện Curant, Fridricxơ và
Levi, dấu hiệu phổ là điều kiện cần của tính ổn định. Bản chất của nó sẽ đ-ợc
làm rõ trong ví dụ khảo sát l-ợc đồ sai phân sau:
umn 1 umn

umn

1

h

um0

umn

( xm , tn ),

( xm ) , m 0, 1, 2,... , n 0,1,2,..., N 1 ,

xấp xỉ bài toán (1.7), (1.8) trên l-ới (mh, n ) khi a = 1 với sai số 0(h

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

).


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

17

Theo định nghĩa về sự ổn định, nghiệm của bài toán sai phân

f ( h) phải thoả mãn điều kiện u ( h )

Lhu ( h)

K f (h)

Uh

Fh

đối với f ( h ) bất kỳ.

Suy ra điều kiện đó phải đ-ợc thoả mãn với

0, m 0, 1, 2,..., n 0,1,2,...
eim , m 0, 1, 2,...

f1( h )

Trong đó, i - là đơn vị ảo.
Bài toán sai phân Lhu ( h)

f1( h) đ-ợc viết thành dạng:

umn 1

rumn 1 (1 r )umn , r

r/h

um0

eim , m 0, 1, 2,... , n 0,1,2,...

(2.2)

Nghiệm của ph-ơng trình (2.2) sẽ tìm d-ới dạng umn

n im

e .

1 C , C = const, thì nghiệm của (2.2) có giới hạn và tiếp tục

Nếu

tiến hành khảo sát. Tr-ờng hợp ng-ợc lại thì kết luận l-ợc đồ sai phân không
có tính ổn định.
Trong tr-ờng hợp này um0
n 1 i m

e

rei

Từ đó

e

r nei (m 1)

(1 r ) neim ,

nằm trong đ-ờng tròn bán kính r với tâm

(1 r ) . Giá trị

(1 r ,0) . Nếu r 1 thì

eim thế umn vào (2.2) ta thu đ-ợc:

0 im

1.

Tr-ờng hợp r 1 sẽ tìm đ-ợc các giá trị

t-ơng ứng sao cho

1.

Nh- vậy khi r 1 l-ợc đồ sai phân không ổn định. Khi r 1 thì thoả mãn
điều kiện cần của đặc tính ổn định và ta tiếp tục khảo sát.
Giả sử

u (h)

f (h)

Uh

Fh

max umn ,

m ,n

max
m

( xm ) + max
m ,n

( xm , tn ) ,

Từ (2.2) khi r 1 ta có

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

(2.3)


Khóa luận tốt nghiệp

umn 1

Trần Thị Thu Hiền

18

rumn 1 (1 r )umn

r umn 1

( xm , tn )

(1 r ) umn

( xm , tn ) ,

Tức là

umn 1

max umn

max

( xm , tn ) ,

m ,n

m

Cộng 2 vế của các bất đẳng thức
max um0 = max
m

m

( xm ) ,

max u1m

max um0

max

( xm,tn ) ,

max um2

max u1m

max

( xm , tn ) ,

m

m

m

m

m ,n

m ,n

.........................................................
max umn

max umn 1

max umn

max

m

m

max
m ,n

( xm , tn ) ,

Ta thu đ-ợc
m

m

( xm )

n max
m ,n

( xm , tn ) ,

Suy ra

max umn
m ,n

max

Trong đó K

m

( xm )

N max

max(1, T ) , T

m ,n

( xm , tn )

K max
m

( xm )

max
m ,n

( xm , tn )

N.

Nh- vậy khi r 1 đối với l-ợc đồ sai phân (2.2) thoả mãn điều kiện về
sự ổn định và do l-ợc đồ sai phân xấp xỉ với bài toán Côsi (1.7), (1.8) nên

nghiệm của nó hội tụ với nghiệm của bài toán (1.7), (1.8).

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

19

Ch-ơng 3
Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp
với các ph-ơng Trình dạng hyperbolic,
ph-ơng trình poisson
3.1. Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các ph-ơng trình dạng
hyperbolic
Giả sử rằng ta phải tìm u ( x, t ) - nghiệm của ph-ơng trình hyperbolic:
2

u ( x, t )
t2

2
2

a ( x, t )

u ( x, t )
x2

( x, t ),

(3.1)

(t ), 0 t T

(3.2)

0 x 1, 0 t T ,
thoả mãn điều kiện biên:

u(0, t )

0

(t ), u(1, t )

1

và các điều kiện ban đầu:
u ( x,0)

u ( x,0)
t

( x),

( x),

0 x 1.

Tập l-ới chúng ta lấy là tập hợp các điểm ( xm , tn ) với các toạ độ xm

tn

n (m 0,1,..., M , n 0,1,..., N ) , h 1/ M ,

(3.3)

mh,

T / N . Sử dụng phép thay

thế các đạo hàm bậc hai bằng các hệ thức sai phân vào ph-ơng trình (3.1), ta
sẽ có ph-ơng trình sai phân:

umn 1

smn umn 1 2(1 smn )umn

m 1,..., M 1,

smn umn 1 umn 1

( xm , tn ),

(3.4)

n 1,..., N 1,

2
n
m

s

h

2

a 2 ( xm , tn ),

Ph-ơng trình sai phân này xấp xỉ ph-ơng trình vi phân (3.1) với sai số

M4(

2

Ah2 ) / 12, trong đó

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp
4

ma x

M4

Trần Thị Thu Hiền

20

t

x ,t

u
4

4

u
,
x4

,

A ma x a 2 ( x, t ) .
x ,t

Từ các điều kiện biên (3.2), ta có:

u0n

0

(tn ), uMn

1

(tn ),

n 0,1,..., N.

(3.5)

Do đó, chúng ta có thể tìm umn 1 khi n 1,..., N 1 theo ph-ơng trình
(3.4), (3.5) nếu ta đã biết um0 , u1m khi m 1,..., M 1.
Để tính um0 và u1m cần sử dụng các điều kiện (3.3). Việc này có thể làm
bằng một vài ph-ơng pháp.
Ph-ơng pháp 1. Sử dụng phép biểu diễn:
u ( x,0)
t

2

u ( x, t%
0)
,
2
t

u ( x, t1 ) u ( x, t0 )
2

t0

t%
t1 ,
0

Từ các điều kiện (3.3) ta có:

um0

( xm ),

u1m

( xm )

( xm ),

m 1,..., M 1.

(3.6)

Sai số xấp xỉ của các điều kiện ban đầu (3.3) bởi ph-ơng trình (3.6) đ-ợc
đánh giá bằng giá trị (đại l-ợng) M t(2) / 2, trong đó:

M t(2)

2

u / t2 .

ma x

x ,t

Ph-ơng pháp 2. Theo công thức Taylor ta có:
u ( x, t1 ) u ( x, t0 )

2

u ( x, t0 )
1!
t

t0

2!

2

3

u ( x, t0 )
t2

3!

3

u ( x, t%
1)
,
3

t

t%
t1.
1

Từ đây suy ra:
u ( x, t0 )
t

Nếu

2

u ( x, t1 ) u ( x, t0 )
2

u ( x , t0 )
t2

2

6

3

u ( x, t%
1)
.
t3

(3.7)

( x) có đạo hàm thứ hai hữu hạn, thì từ ph-ơng trình (3.1) và (3.4) ta

có:

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp
2

u ( x, t0 )
t

Trần Thị Thu Hiền

21
2

2

a ( x, t0 )

u ( x, t 0 )
x2

( x, t 0 ) a 2 ( x, t 0 )

( x)

( x, t0 ).

Sau khi thay giá trị của nó vào ph-ơng trình (3.7), chúng ta tìm đ-ợc:
2

um0

( xm ) , u1m

( xm )

( xm )

a 2 ( xm ,0)

2

( xm )

( xm ,0) , (3.8)

m 1,..., M 1.
Sai số xấp xỉ của điều kiện ban đầu bởi ph-ơng trình (3.8) đ-ợc -ớc
l-ợng bằng giá trị

2

M t(3) / 6 , trong đó M t(3)

3

u / t3 .

ma x
x ,t

L-ợc đồ sai phân (3.4) - (3.6) và (3.4), (3.5), (3.8) sẽ ổn định khi thực
hiện điều kiện

2

/ h2 1 / A . Trong tr-ờng hợp này ta có:

umn u( xm , tn )

T S

2

M4(

h2 ) / 12 ,

trong đó S - -ớc l-ợng sai số xấp xỉ các điều kiện ban đầu.
Ví dụ 3.1. Tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp đối với ph-ơng trình hyperbolic
trên l-ới ( xm , tn ) trong đó xm
2

u ( x, t )
t2
u (0, t )
u ( x,0)

2

u ( x, t )
,
x2

1
t 1

,

1
x 1

0,25n , (m, n 0,...,4) .

0,25m , tn

0 x 1, 0 t 1,

u (1, t )

1
t

2

u ( x,0)
t

,

,

0 t 1,
1

( x 1) 2

,

0 x 1.

Lời giải:
Sử dụng phép thay thế các đạo hàm bậc hai bằng hệ thức sai phân vào
ph-ơng trình (3.1) ta có ph-ơng trình sai phân:

umn 1 umn 1 umn 1 umn 1
Từ các điều kiện biên u (0, t )

u00 1 , u01

1
t 1

0,8 ; u02

, u (1, t )

1
t

0,6667 ; u03

2

, ta tính đ-ợc:

0,5714 ; u04

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

0,5 .


Khóa luận tốt nghiệp
u40

Trần Thị Thu Hiền

22

0,5 ; u14

0,4444 ; u42

Từ các điều kiện biên u ( x , 0)

0,4 ; u43

1
x 1

,

0,3636 ; u44

u ( x,0)
t

1
( x 1) 2

0,3333 .
và (3.6) ta tính

đ-ợc:

u10
Vì:

0,8 ; u20

u1m

0,6667 ; u30

0,5714 ;

u40

0,5 ;

( xm ) do đó ta có:

( xm )
u11

0,25(

1
1
)
1,252 1,25

0,64

u12

0,25(

1
1
)
2

1,5
1,5

0,5556

u31

0,25(

1
1
)
2
1,75
1,75

u14

0,25(

1
1
)
2
2
2

0,4898

0,375

Từ ph-ơng trình sai phân:

umn 1 umn 1 umn 1 umn 1 ,
Thay n 1 vào ta có: um2

u1m 1 u1m 1 um0 với m 1,2,3 , ta tính đ-ợc:

u12

u12 u01 u10

0,5556

u22

u31 u11 u20

0,4631

u32

u14 u12 u30

0,4286

Thay n 2 vào ta có: um3

(m, n 1,2,3) .

um2 1 um2 1 u1m với m 1,2,3 , ta tính đ-ợc:

u13

u22 u02 u11

0,4898

u23

u32 u12 u12

0,4286

u33

u42 u22 u31

0,3733

Thay n 3 vào ta có: um4

um3 1 um3 1 um2 với m 1,2,3 , ta tính đ-ợc:

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

23

u14

u23 u03 u12

0,4444

u24

u33 u13 u22

0,4

u34

u43 u23 u32

0,3636.

Bài tập:
Tìm nghiệm bài toán hỗn hợp đối với ph-ơng trình hyperbolic trên l-ới

( xm , tn ) , trong đó xm
2

1)

2

u( x, t )
t2

0,1n (m, n 0,1,...,10) :

0,1m , tn

2( 2 1)
,0 x 1,0 t 1,
(x
t 1)3

u ( x, t )
x2

1
, u (1, t )
t 1

u (0, t )

1

u ( x,0)

1 x

,

1
t

u ( x,0)
t

0,5 0,1k ( k
2

2)

u ( x, t )
t2
u (0, t )
u ( x,0)

2

u ( x, t )
t2

u ( x, t )
,0
x2
1

(1 x) 2

,0

x 1,

0,1,...,10).

t
1
x

x 1,0 t 1,

, u (1, t )
,

2

u ( x, t )
x2

u (0, t ) 0, u (1, t )
u ( x,0)

,0 t 1,

2

0,5 0,1k
3)

2

x
,
x 2

1
t

1

u ( x,0)
t

,0 t 1,

1
)2

(x

, 0 x 1,

(k 1,2,...,10).

2
(x t) 2

2

0 x 1,0 t 1,

,

1
, 0 t 1,
(t 1) 2
u ( x,0)
t

x
( x 2) 2

, 0 x 1,

0,2k ( k 1,2,...,10 ).

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp
2

4)

2

u ( x, t )
t2

Trần Thị Thu Hiền

24

u ( x, t )
, 0 x 1, 0 t 1,
x2

u(0, t ) e t , u(1, t ) e
u( x,0) e x ,

0,5k ( k

(1 t )

u ( x,0)
t

, 0 t 1,

e x , 0 x 1,

5, 4, 3, 2, 1,1,2,3,4,5).

3.2. Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán Dirichlet đối với các ph-ơng trình
Poisson
Giả sử ta phải tìm hàm u ( x, y ) , thoả mãn ph-ơng trình sau trong miền
D:
2

2

u ( x, y)
x2

còn trên biên giới hạn
u

ở đây ( x, y ) và

u ( x, y)
y2

(3.9)

( x, y),

của miền D thoả mãn điều kiện:
(3.10)

( x, y )

( x, y ) - là hàm cho tr-ớc .

Sau khi chọn các b-ớc h và l theo x và y , chúng ta xây dựng một tập
hợp các điểm ( xm , yn ) với toạ độ xm

x0

toạ độ của điểm nào đó thuộc D

( m, n 0, 1, 2,... ). Chúng ta đ-a vào

l-ới tập hợp các điểm ( xm , yn ) thuộc D

mh, yn

. Khi xấp xỉ ph-ơng trình (3.9) ta

sẽ sử dụng tập l-ới. Các điểm l-ới ( xm , yn ) thuộc D
thuộc tập các điểm l-ới của D

nl , trong đó x0 , y0 -

y0

mà bốn điểm kề cùng

gọi là các điểm nút trong. Những điểm l-ới

dù chỉ có một điểm l-ới kề không thuộc tập các điểm l-ới của D

gọi là

các điểm nút biên.
Sau khi thay thế các đạo hàm vào ph-ơng trình (3.9) bằng các hệ thức sai
phân tại mỗi điểm nút trong, ta sẽ có ph-ơng trình sai phân:
um

1n

2umn

h2

um

1n

umn

1

2umn
l2

umn 1

( xm , yn ),

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2

(3.11)


Khóa luận tốt nghiệp

Trần Thị Thu Hiền

25

xấp xỉ ph-ơng trình (3.9) với sai số:

M4 2
(l
12

4

2

h ), trong đó M 4

ma x
D

u 4u
,
.
x4 y 4

Ph-ơng trình (3.11) cùng với các giá trị umn tại các điểm nút biên tạo
thành hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính. Sau khi giải hệ ph-ơng trình này ta sẽ
tìm đ-ợc các giá tri umn .
Chúng ta xét tr-ờng hợp miền D là hình chữ nhật, nghĩa là 0 x a,
0

y b . Khi đó điều kiện giới hạn (3.10) có thể viết d-ới dạng:

u( x,0)

0

( x),

u( x, b)

u(0, y)

0

( y),

u(a, y)

( x),

0 x a,

(3.12)

( y),

0

(3.13)

1
1

y b,

Sau khi lấy h a / M , l b / N , trong đó M , N - là các số nguyên d-ơng, ta

sẽ có đ-ợc hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính:

um 1n

umn 1 2(1

)umn

umn 1 um 1n

h2 ( xm , yn ),

(3.14)

m 1,..., M 1, n 1,..., N 1,
um0
u0n

0

( xm ),
0

( ym ),

umN

1

( xm ),

uMn

1

( yn ),

m 0,1,..., M ,
n 0,1,..., N ,

(3.15)
(3.16)

h2 / l 2 .

Nếu miền D có giới hạn (biên)

là một đ-ờng cong thì các giá trị umn tại

các điểm nút biên có thể tìm đ-ợc bằng ph-ơng pháp chuyển các giá trị
u ( x, y ) từ các điểm trên biên

. Sai số xấp xỉ của điều kiện (3.10) tại điểm

nút ( xm , yn ) sẽ bằng giá trị O ( ), trong đó
tới điểm trên

- là khoảng cách từ điểm nút này

, mà từ điểm này ta chuyển giá trị của hàm số.

Sai số xấp xỉ của điều kiện biên có thể giảm đi nếu nh- để xác định umn
tại điểm nút biên ta sử dụng giá trị u ( x, y ) tại một điểm nào đó của giới hạn
và tại một điểm nút bên trong gần nhất. Thuận lợi hơn cả để dựng phép xấp
xỉ này là sử dụng các hệ số bất định.

Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2