Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG

SỰ ĐẲNG CẤU
GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Hình học
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - 2011


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khoá luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán -Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã động
viên giúp đỡ em trong suốt quá trình.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn PGS.TS
Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể
hoàn thành khoá luận.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khoá luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa
những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự
trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận tốt nghiệp này là kết
quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh Trang


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Là ngành toán học nghiên cứu liên hệ không gian. Từ hàng ngàn năm
trước công nguyên, hình học xuất hiện khá sớm, con người đã phải đo đạc các
thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch hay xây dựng những kim tự tháp
khổng lồ… Môn hình học lúc đầu ra đời chỉ có ý nghĩa là một môn khoa học
về đo đạc. Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa thực sự khi con người
nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn. Nó giúp rèn luyện tư
duy, nâng cao khả năng tưởng tượng không gian của con người.
Một trong những không gian cơ bản của hình học đó là không gian
vectơ. Với mục đích, không những đi tìm hiểu kĩ hơn về các đặc điểm, tính
chất của một không gian vectơ mà còn tìm hiểu về mối liên hệ đẳng cấu giữa
chúng. Em chọn đề tài: “Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ” làm khoá
luận tốt nghiệp.
2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự đẳng cấu của các không gian vectơ hữn hạn chiều. Ứng
dụng của nó trong giải toán.
3.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Không gian vectơ, phép đẳng cấu.
Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian hữu hạn chiều.
4.Nhiệm vụ
Trình bày cơ sở lý thuyết.
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về không gian vectơ.
5.Phƣơng pháp nghiên cứu
Cơ sở lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.

1


6.Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo. Đề tài gồm 2
chương
Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II. Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ.

2


CHƢƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương sau đây chúng ta nhắc lại những khái niệm và tính chất
cơ bản của ánh xạ cũng như không gian vectơ.
1.1. ÁNH XẠ
1.1.1. Khái niệm ánh xạ
1.1.1.1. Ánh xạ
Định nghĩa 1.1.1

Cho hai tập hợp X , Y . Ta nói rằng một ánh xạ f : X

Y là quy tắc

cho tương ứng mỗi phần tử x X có tương ứng theo một quy tắc nào đó một
phần tử duy nhất y Y . Kí hiệu f : X

Y , (đọc: f là ánh xạ từ X vào Y ).

Trong đó X là tập nguồn và Y là tập đích.
1.1.1.2. Đơn ánh
Định nghĩa 1.1.2
Ánh xạ f : X

Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân

biệt là hai phần tử phân biệt. Nghĩa là
Điều kiện tƣơng đƣơng f : X

x1 ,x2

x1 ,x2 V,x1

x2 thì f(x1 )

f(x2 ) .

Y là đơn ánh khi và chỉ khi

X : f ( x1 )= f ( x2 ) thì x1 = x2 .

1.1.1.3. Toàn ánh
Định nghĩa 1.1.3
Ánh xạ f : X

Y được gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều là

ảnh của phần tử nào đó thuộc X . Nghĩa là
f(x) = y .

3

y Y, x

X sao cho


Điều kiện tƣơng đƣơng Ánh xạ f : X

Y là toàn ánh khi và chỉ khi

f (X)= Y .

1.1.1.4. Song ánh
Định nghĩa 1.1.4
Ánh xạ f : X

Y được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và là toàn

ánh.

Định lý 1.1.1
Ánh xạ

f :X Y
xa f(x)
là song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ

g :Y
X
y a g(y)
sao cho ánh xạ f o g = id

X

và g o f = id

X

.

1.1.2. Ánh xạ với phép toán
1.1.2.1. Phép cộng hai ánh xạ
Định nghĩa 1.1.5
Cho

f :X Y
x a f (x)
là hai ánh xạ từ X

g:X Y

x a g(x)

Y . Khi đó tổng của f và g kí hiệu là f + g là ánh xạ

xác định

f +g:X Y
x a (f + g)(x)= f(x)+ g(x)

4


1.1.2.2. Tích hai ánh xạ
Định nghĩa 1.1.6
Cho

f :X Y
x a f (x)

g :Y
Z
y a g(y)

là hai ánh xạ.
Khi đó ánh xạ g o f xác định

gof :X
Z
x a ( g o f)(x)= g(f(x))
gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g .

1.1.2.3. Ánh xạ ngƣợc
Định nghĩa 1.1.7
Cho f : X
duy nhất ánh xạ

Y là ánh xạ từ X vào Y là một song ánh. Khi đó tồn tại
g :Y

X sao cho g o f = i
và f o g = i . Ánh xạ
dX
dY

X như thế được gọi là ánh xạ ngược của của ánh xạ f , kí hiệu

g :Y

g = f -1 .
1.2. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ
1.2.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.2.1
Cho V là một tập khác rỗng và

là một trường. Giả sử V được trang

bị 2 phép toán gồm
Phép cộng

V.V

V

(u, v) a u + v

Phép nhân

K.V

V

(k,u) a k.u

5


Thỏa mãn 8 tiên đề sau
(V1) (u + v)+ w= u +(v + w)

u,v,w V

(V2)

u V

0 V : 0+= u +0 = u

(V3) u +u´= u´+u = 0

u V, u´ V

(V4) u+v= v+u

u,v V

(V5) (k + l).u = k.u + l.u
(V6) k.(u + v) = k.u

k,l

k.v

K, u,v V

k

K, u,v V

(V7) k.(l.u)= (k.l).u

k,l V, u V

(V8) 1.u = u.1= u

u V

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian
vectơ trên trường K ( hay K - không gian vectơ).
Nếu K là trường số thực thì không gian V được gọi là không gian
vectơ thực.
Nếu K là trường số phức thì V được gọi là không gian vectơ phức.

Ví dụ
Không gian R n .
Không gian M mn(R) các ma trận số thực kích thước mn .
Không gian gồm tất cả các hàm f[a,b]

R.

1.2.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 1.2.2
Cho K - không gian vectơ V .
a. Một tổ hợp tuyến tính của các không gian vectơ {
một bỉểu thức dạng
n

r
i

i

r

=

1

i 1

trong đó

1

,..,

n

K.

6

1

+ ...+

r
n

n

.

r r
r
V là
1 , 2 ,..., n }


Trong không gian vectơ V .
r
r
b. Hệ vectơ { 1 ,.., n } được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức

r
r
r
1 1 + ...+ n n = 0
Ta đều suy ra
c. Hệ vectơ {

r

1

= ...=

1

,..,

r
n

n

=0 .

} được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó không độc

lập tuyến tính.
Ví dụ
Trong không gian vectơ thực R 2 cho hệ ba vectơ
r

r
r
,
,
=
(2,0)
=
(0,4)
1
2
3 = (4,4) .
r r
1) Hệ vectơ { 1 , 2 } độc lập tuyến tính vì
r
r
r
+
=
0
(2 1 ,0)+(0,4 2 )= ( 0,0) .
1 2
2 2

(2 1 ,4
1

=

2

2

)= (0,0) .

=0.

r r r
2) Hệ vectơ { 1 , 2 , 3 } phụ thuộc tuyến tính vì
r
r
r r
2 1+ 2 - 3 =0.
Tính chất
r
r
i) Hệ ( 1 ,.., n ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có các vô hướng
1

,..,

n

K không đồng thời bằng 0 sao cho
r
r
r
+
..+
=
0

.
1 1
n n

r
r r
ii) Hệ gồm một vectơ ( ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi = 0
r
r
iii) Với n > 1 , hệ n vectơ { 1 ,.., n } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn
tại một vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại của hệ .
Chứng minh
Thật vậy, giả sử hệ {

r

r

1 ,.., n

} phụ thuộc tuyến tính. Lúc đó tồn tại các vô

7


hướng

1 ,..,

K không đồng thời bằng 0 sao cho

n

n

r
i

r
.
=
0
i

i 1

Nếu

i

0 , ta nhân hai vế của đẳng thức với

-1
j

rồi chuyển vế thì thu

được

r

j

r

Ngược lại, nếu các

i

=-

i

(
j

i

-1
j

r
) i.

biểu thị tuyến tính qua (

r

1 ,...,

là các vô hướng ( 1 ,..., i 1 , i 1 , ..., n ) sao cho

r
r
r
r
i = ( 1 i +...+ i 1 i 1 + i 1 i 1 , ...,

r
i

1,

r
n n

r
i

1 , ...,

r
n

) , tức

)

Thì ta có
r
r
r

r
+
(-1)
+
,
...,
=
0
1
i 1 i 1
i
i 1 i 1
n n
r
r
Theo tính chất i. ta có hệ { 1 ,.., n } phụ thuộc tuyến tính.
r

i + ...+

r

iv) Mỗi hệ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là một hệ vectơ độc
lập tuyến tính .
v) Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì cũng là một hệ phụ
r
thuộc tuyến tính . Nói riêng, mỗi hệ có chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến
tính.
r
r r

{
,..,
độc
lập
tuyến
tính
.
Khi
đó,
hệ
}
1
n , } phụ
n
r
thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ
biểu thị tuyến tính được qua hệ
r
r
{ 1 ,.., n } . Trong trường hợp đó, biểu thị tuyến tính này là duy nhất .

vi) Giả sử hệ {

r

1 ,..,

r

1.2.3. Cơ sở và Số chiều

Định nghĩa 1.2.3
a. Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều
biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
b. Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều
biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.

8


Định lý 1.2.1
Cho hệ hữu hạn vectơ (

r r
r
1 , 2 ,..., n ) của không gian vectơ V . Khi đó hai

mệnh đề sau đây là tương đương:
r r
r
a) ( 1 , 2 ,..., n ) là một cơ sở của V .
r r
r
b) ( 1 , 2 ,..., n ) là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V.
Chứng minh
r r
r
(a => b). ( 1 , 2 ,..., n ) là cơ sở của V nên là một hệ sinh của V . Hơn nữa,
r
r r
r

vectơ 0 có biểu diễn duy nhất qua ( 1 , 2 ,..., n ) .
r
r
r
r
0 = 0 1 +0 2 + ... +0 n
r
r
r
r
Cho nên nếu có 1 1 + 2 2 + ... + n n = 0 thì phải có 1 = 2 = ... = n = 0 .
r r
r
Vậy hệ ( 1 , 2 ,..., n ) độc lập tuyến tính.
r
r
(b => c). Với mọi vectơ
biểu thị tuyến tính được qua hệ
V , vì
r r
r r
r r
r
( 1 , 2 ,..., n ) cho nên ( 1 , 2 ,..., n , ) phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, coi V
r r
r
như một hệ vectơ trong V , theo định nghĩa hệ ( 1 , 2 ,..., n ) là một hệ vectơ
con độc lập tuyến tính tối đại của V .
Định nghĩa 1.2.4
Một không gian vectơ V trên trường gọi là hữu hạn sinh nếu V có một

hệ sinh hữu hạn.
Ví dụ
Không gian vectơ R 2 là không gian vectơ hữu hạn sinh với hệ sinh là

{e1 =(1,0);e2 =(0,1)}
Định nghĩa 1.2.5
r

a. Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V {0}
được gọi là số chiều của V trên trường K . Và kí hiệu là dimV hay rõ hơn
dim V .
K

9


r

Nếu V = {0} , ta quy ước dimV =0 .
b. Một không gian vectơ có một cơ sở gồm hữu hạn vectơ được gọi là không
gian vectơ hữu hạn chiều.
c. Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không
gian vectơ vô hạn chiều.
Ví dụ
1) Trong K - không gian vectơ K n xét hệ vectơ:
r
r
r
(e)= {e = (1,0,...,0), e = (0,1,..,0),..., e = (0,0,...,1)}
1

2
n

Thì với mọi

r

= (x ,x ,...,x )
1 2
n

K n . Ta đều có

r

r
= in= 1( x e ) . Nên (e) là một
i i

hệ sinh của K n .
Mặt khác, nếu có

r
n ( x er )= 0 thì ( , ,..., )= (0,0,...,0) . Suy ra
i=1 i i
1 2
n
1=

2 = ...=

n =0.

Vậy hệ (e) còn là một hệ độc lập tuyến tính. Do đó hệ (e) là một cơ sở của
K n . Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của K n . Từ đó suy ra dimK n = n .

2) Trường số phức £ là một £ - không gian vectơ với cơ sở {1} . Đồng
thời £

cũng là R - không gian vectơ với cơ sở {1,i} . Do đó

dim £ = 1, dim £ = 2 . Tổng quát dim £ n = n, dim £ = 2n .
£
R
£
R

3) R[x] không gian các đa thức hệ số thực, nó có cơ sở
{1, x, x1 , x 2 , ..., x n , ...}

1.2.4. Không gian vectơ con
Định nghĩa 1.2.6
Giả sử V là một K - không gian vectơ và W là một tập con của V .
Ta nói tập W là ổn định (hay đóng kín) trên V đối với 2 phép toán trên V nếu:

10


u,v W

u +v V

k

k.u K

K, u V

Khi đó tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với 2 phép
toán của V và cùng với 2 phép toán của V hạn chế trên nó.

W cũng là một không gian vectơ trên trường K .
Ví dụ
r

1) Tập {0} và V là hai không gian con của K - không gian vectơ V . Và được
gọi là những không gian vectơ con tầm thường của V .
2) Tập Pn [X] = {a0 + a1 X + ..+ an X | ai

K} là một không gian vectơ con của K -

không gian vectơ K[X 0 ] .
Định lý 1.2.2 (Định lý về số chiều)
Nếu W là không gian con của K - không gian vectơ hữu hạn chiều V
thì W cũng là không gian vectơ hữu hạn chiều và dimW dimV .
Đẳng thức dimW = dimV xảy ra khi và chỉ khi W =V .
Mệnh đề 1.2.1
Giao của một họ những không gian vectơ con của không gian vectơ V
là một không gian vectơ con của V .
Định nghĩa 1.2.7

Cho X là một tâp con của không gian vectơ V . Giao của tất các không
gian vectơ con của V chứa X được gọi là không gian vectơ con của

V sinh bởi X và được kí hiệu là < X > hay L((X)) . Ta cũng gọi < X > là
bao tuyến tính của tập X . Suy ra từ định nghĩa, ta có < X > là không gian
con bé nhất của V chứa X .
r
Rõ ràng < >= {0} và <W >= W đối với mọi không gian vectơ con W
của V .

11


Định nghĩa 1.2.8
a. Ta gọi W1 +W2 +...+Wm = {x1 + x2 +...+ xm | xi W , i = 1,..., m là tổng của
các không gian W1 ,W2 ,...,Wm . Và được kí hiệu là :

m

Wi .
i 1

r
b. Nếu mọi vectơ
W1 +W2 +...+Wm đều viết được duy nhất dưới dạng
r
r r
r
r
= 1 + 2 +...+ m với i Wi , i = 1,2,..,m thì tổng W1 +W2 +...+Wm được

gọi là tổng tực tiếp của các không gian W1 ,W2 ,...,Wm và được kí hiệu là

W1

W2

... Wm .

Định lý 1.2.3
Giả sử U và W là hai không gian vectơ con của không gian vectơ hữu
hạn chiều V . Khi đó :
dimW +dimV = dim(U +V)+dim(U

V) .

Hệ quả 1.2.1
dim(U

V)= dimU +dimV

1.2.5. Không gian vectơ thƣơng
Định nghĩa 1.2.9
Giả sử U

V là các K - không gian vectơ. Với mỗi v V xét tập con

có dạng
v +U = {v + u |u U}

của V . Một tập như vậy được gọi là lớp ghép của v theo U . Tưởng tượng

hình học, đây là không gian con U được tịnh tiến đi bởi vectơ v . Dễ dàng
kiểm tra rằng các lớp ghép của các vectơ v hoặc v´ theo U hoặc trùng nhau
hoặc không giao nhau. Tương tượng hình học ta thấy chúng song song với
nhau. Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U được gọi là tập thương
của V theo U .
Điều kiện để v+U và v´+U trùng nhau là v - v´ U .

12


Trên tập thương U / có một cấu trúc không gian vectơ được định nghĩa như
V
sau.
(v +U)+(v´+V)= (v + v´)+U
(v +U)= (v)+U .

Tập U / với cấu trúc không này được gọi là không gian thương của V theo
V

U.
Ví dụ
Cho A, B là các không gian vectơ con của V . Chứng minh rằng
A

B là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi A

B hoặc B

A.

Chứng minh
Nếu A

B hoặc B

A thì A

B = A hoặc A

B = B nên A

B là

không gian vectơ con của V .
Ngược lại, giả sử A

B là không gian vectơ con của V nhưng A

và B

A . Khi đó tồn tại x

A, x B và y B, y

x+ y

A

z= x+ y

y= z - x

x+ y

A

B . Thật vậy nếu
A hoặc x = z - y

A

B

A . Ta chứng minh rằng

B thì z

A hoặc z

B do đó

B . Điều này trái với cách chọn x, y vậy

B . Như vậy tồn tại x + y

A

B nhưng x + y

A

A

B là không gian vectơ con của V (!). Mâu thuẫn chứng tỏ A

B

A.

13

B , do đó
B hoặc


Bài tập đề nghị
1. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, A là một không gian vectơ
con của V . Chứng minh tồn tại không gian vectơ con B của V sao cho
A+ B =V và A B= .
2. Trong R 4 cho cá vectơ : u1 = (1,1,0,0) , u2 =(1,1,1,1) , u3 =(0,-1,0,1) ,

u4 =(1,2,-1,-2) . Và E = (u1 ,u2 ,u3 ,u4 ) .
a. Tìm cơ sở, số chiều của E .
b. Tìm một điều kiện cần và đủ để vectơ x = (a1 ,a2 ,a3 ,a4 , ) E
c. Cho v1 = (1,a 3 , a, 1) , v2 = (1, b 3 , b, 1) , v3 =(ab+1,ab, 0, 1) . Tìm a,b để

v1 ,v2 ,v3 là cơ sở của E .
3. Cho U là không gian vectơ con của V . Biết dimU = m < dimV = n . Chứng
minh.
a. Cơ sở của V không chứa vectơ nào của U .

b. Có cơ sở nào của V chứa đúng k vectơ độc lập tuyến tính của
U (0 < k < m) .
4. Chứng minh rằng với mọi không gian vectơ con V1 của V tồn tại một
không gian vectơ con V2 sao cho V V1

V2 . Không gian V2 có xác định duy

nhất không?
Tiểu kết chƣơng 1
Ở chương 1 ta đã nhắc lại định nghĩa và các phép toán trên ánh xạ giữa
hai tập hợp, cũng như các khái niệm không gian vectơ, không gian vectơ con,
không gian vectơ thương, các hệ độc lâp tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.
Trong đó có kèm theo các ví dụ, bài tập minh họa, ngoài ra còn bổ sung thêm
một phần bài tập đề nghị để bạn đọc tham khảo.
Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về mối liên hệ giữa
các không gian vectơ hữu hạn chiều.

14


CHƢƠNG 2. SỰ ĐẲNG CẤU
GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ
2.1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2.1.1. Khái niệm
Định nghĩa 1.2.1
Cho V ,W là hai không gian vectơ trên trường K . Ánh xạ f :V

W

được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu

r
r r
r
f ( + )= f ( )+ f ( )
r
r
f (k )= k. f ( )
r r
với
,
V và k K .
Ánh xạ tuyến tính f :V

W được gọi là:

Đơn cấu nếu f là đơn ánh.
Toàn cấu nếu f là toàn ánh.
Đẳng cấu nếu f là song ánh.
Ví dụ
1) Ánh xạ hằng giá trị 0 :V

W

x a 0(x) = 0W
là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không.
2) Ánh xạ đồng nhất id :V
V

V

x a id (x) = x
V
là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất.

15


Tính chất 2.1.1
Cho f :V

W là ánh xạ tuyến tính. V,W là hai K - không gian vectơ. Khi đó:

i) f(0 ) = 0W .
V
ii) f(-x) = - f(x) , x V .
Các phép toán về ánh xạ tuyến tính
W là hai ánh xạ tuyến tính

Cho f, g :V

i) Tổng của hai ánh xạ tuyến tính
(f + g)(u) = f(u) + g(u) , u V .

ii) Tích của ánh xạ tuyến tính f và một số thực

, kí hiệu là

f và là

ánh xạ được xác định

( f )(u )

f (u ) ,

u V.

iii) Giả sử U, V, W là những không gian vectơ. f :V

W và g : W

V

là ánh xạ tuyến tính
(g o f)(u) = g (f(u)) ,

u V

Khi đó ánh xạ hợp xác định bởi
là một ánh xạ từ V tới U .
Định lý 2.1.1 (Sự xác định một ánh xạ tuyến tính)
r
r
Giả sử V, W là hai không gian vectơ, {e1 ,e2 ,..,en } là một cơ sở của V
r r
r
và 1 , 1 , ... , n là n vectơ tuỳ ý của W . Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ
r
r
f :V W , f ( ei ) = i , i = 1,...,n
Ví dụ

Các ánh xạ sau có phải là ánh xạ tuyến tính hay không ?
a. f : R 3

R3

f(x1 ,x2 ,x3 ) = (x1 - x3 ,x2 ,5) .

16


b. f : R 3

R3

f(x1 ,x2 ,x3 ) = (x2 - x3 ,x1 ,x2 ) .
Giải
a. Ta có

x = (x1 ,x2 ,x3 ) R 3

y = (y1 , y2 , y3 ) R 3
x + y = (x1 + y1 ,x2 + y2 ,x3 + y3 ) .
f(x + y) = (x1 + y1 - x3 - y3 ,x2 + y 2 ,5)
f (x)= (x1 ,x2 ,x3 ) = (x1 x3 ,x2 ,5)

f (y)= (y1 ,y2 ,y3 )= (y1
Ta thấy f(x + y)

y3 ,y2 ,5)

f(x)+ f(y) , x,y R 3 .

Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính.
b. Ta có
x = (x1 ,x2 ,x3 ) R 3

y = (y1 , y2 , y3 ) R 3
x + y = (x1 + y1 ,x2 + y2 ,x3 + y3 )
f(x + y)= (x1 + y2 - x3 - y3 ,x1 + y1,x2 + y 2 )
f (x)= (x1 ,x2 ,x3 ) = (x2

y3 ,x1 ,x2 )

f (y)=(y1 ,y2 ,y3 ) =(y2

y3 ,y1 ,y2 )

Như vậy
f(x + y) = f(x)+ f(y) ,

x, y R 3

Lại có

x = ( x1 , x2 , x3 )

f ( x )= ( x1 - x3 , x1 , x2 )
= (x1 - x3 ,x1 ,x2 )= (x)
Suy ra f là một ánh xạ tuyến tính.

17


2.1.2. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 2.1.2
Giả sử V, W là hai không gian vectơ, và f :V

W là một ánh xạ

tuyến tính. Khi đó tập tất cả các phần tử của V có ảnh là 0 V gọi là hạt nhân
của f , kí hiệu là kerf
kerf = { x V / f(x)= 0} .

Số chiều của kerf được gọi là số khuyết của f .
Tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V gọi là ảnh của
f , kí hiệu là Imf
Imf = {y W \ x V , y = f(x)}

Số chiều của Imf được gọi là hạng của f và được kí hiệu là rank f .

Tính chất
Định lý 2.1.2
Cho V, W là hai không gian vectơ, và f :V

W là một ánh xạ tuyến

tính thì
a) kerf là không gian vectơ con của V .
b) Imf là không gian vectơ con của W .
Định lý 2.1.3

Ánh xạ tuyến tính f :V
r
kerf = {0 } .
W

W là một đơn cấu khi và chỉ khi

Định lý 2.1.4
Ánh xạ tuyến tính f :V

W là toàn cấu khi và chỉ khi Im f = W

18


Định lý 2.1.5
Cho f :V

W là ánh xạ tuyến tính. V ,W là các không gian vectơ

hữu hạn chiều. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
a) f là một đơn cấu.
r
b) kerf = {0} .
c) Ảnh bởi f của mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ vectơ độc lập
tuyến tính.
d) Ảnh bởi f của mỗi cơ sở của V là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong W
e) Ảnh bởi f của một cơ sở nào đó của V là một hệ vectơ độc lập tuyến tính
trong W .
f)

rank f = dim V .

Chứng minh
r
r
r
r
r r
(a
b)
kerf . Ta có f ( )= 0 = f (0) . Do f là đơn cấu cho nên = 0 .
r
Suy ra kerf = {0} .
r r
r
(b => c) Giả sử ( 1 , 2 ,..., n ) là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V.
r
r
r
Khi đó, xét hệ (f( 1 ), f( 2 ),..., f( n )) trong W . Nếu
m

r
f(
)=
0
= f(
i
i

r

i 1

Mà

r
kerf = 0

m

r
i

r
)=
0
=
i

i 1

nên phải có

m

r
i i

kerf

i 1

m

r
i

r
=
0
=>
i

1 = ... =

m

=0

(do hệ n

i 1

r
r
r
r r
r
( 1 , 2 ,..., n ) độc lập tuyến tính). Vậy hệ (f( 1 ), f( 2 ),..., f( n )) độc lập

tuyến tính.
(c => d) và (d=>e) là hiển nhiên.

19


r
r
(e => g) Giả sử {e1 , ..., en } là một cơ sở của không gian vectơ V sao cho hệ
r
r
{f(e1 ), ..., f(en )} độc lập tuyến tính trong W . Dễ thấy hệ vectơ này sinh ra
f(V) . Ta có

r
r
rankf = dimf(V)= rank(f(e1 ), ..., f(en ))= n= dimV
r
r
(g => a) Giả sử {e1 , ..., en } là một cơ sở của V . Do rankf = dimV ta có
r
r
r
r
rank(f(e1 ), ..., f(en ))= n . Vậy hệ {f(e1 ), ..., f(en )} phải độc lập tuyến tính. Bây
giờ, với

r

m

=

r r
xi ei , =

i 1

n

r
r
yi ei thuộc V mà thuộc f ( )= f ( ) thì ta có

i 1

r
r
r
r r
0 = f ( ) - f ( )= f ( - )= f(

n

r
( xi - yi )ei )=

i 1

n

r
( xi - yi ) f ( ei )

i 1

r
r
Do hệ {f(e1 ), ..., f(en )} độc lập tuyến tính từ

n

r
r
(xi - yi )f (ei )= 0 ta rút ra

i 1

được xi - yi = 0, i = 1,2, ...,n hay xi = yi ,i 1, 2,..., n . Vậy có

r

=

r

và do đó

f là một đơn cấu.

Định lý 2.1.6
Cho f :V

W là ánh xạ tuyến tính từ không gian hữu hạn chiều V

vào không gian vectơ W trên K . Khi đó
dimV

dimKerV

dimImf

Chứng minh
Trường hợp 1) Nếu f là đơn ánh thì theo định lý 2.1.5, ta có với mọi

{e1 ,...,en } là cơ sở của V ta có hệ vectơ {f(ei )}in 1 là hệ độc lập tuyến tính
trong W.
Hơn nữa, do hệ {ei }in 1 là cơ sở của V nên {f(ei )}in 1 là hệ sinh của Imf . Vì
vậy, hệ {f(ei )}in 1 là cơ sở của Imf . Vậy dimV

20

dimKerf

dimImf .


Trường hợp 2) Nếu Kerf

{0} suy ra tồn tại {e1 ,...,er } cơ sở của

Kerf . Bổ sung thành {e1 ,...,er , er 1 , ..., en } là cơ sở của V .

Khi đó,

y Imf

x V : f ( x)

y.
n

n

Ở đây, x

xi ei suy ra y

n

f x

xi ei
i 1

i 1

Suy ra {f(ei )}in r

1

n

xi f ( ei )
i 1

xi f ( ei )
i r 1

là hệ sinh của Imf (1).

Ta chứng minh {f(ei )}in r

1

là hệ độc lập tuyến tính.

Thật vậy, giả sử
n

n
i

f ( ei ) 0

f(

i r 1

i ei

) 0

i r 1
n
i ei

Kerf

i r 1
n

r
i ei

Suy ra

r

n

je j

i r 1

je j

j 1

j 1

Do ( ei )in 1 cơ sở của V
Suy ra {f(ei )}in r

1

i ei

0

i r 1

j

0, j = 1, r

i

0, i = r +1, ..., n

độc lập tuyến tính.

Từ (1) và (2) suy ra {f(ei )}in r

1

dimV

là cơ sở của Imf . Vậy
dimKerf

dimImf .

2.1.3. Quan hệ ánh xạ tuyến tính và ma trận
2.1.3.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa 2.1.3

r
r r
r
Cho V, W là hai không gian vectơ hữu hạn chiều. (e)= {e1 ,e2 ,..,en } là
r
r r
r
một cơ sở của V và ( )= { 1 , 2 ,.., m } là một cơ sở của W . Mỗi ánh xạ
tuyến

tính

f :V

W

được

xác

21

định

duy nhất

bởi

hệ

vectơ


r
r
r
r
{f(e1 ), f(e2 ),..., f(en )} . Các vectơ f(e j ) lại biểu thị tuyến tính một cách duy
r
r r
r
nhất qua cơ sở ( )= { 1 , 2 ,.., m } của W .
r
f(e )=
j

m

aij

r
i

, j = 1,2,...n

i 1

Trong đó các aij đều thuộc trường K . Nói tóm lại, ánh xạ tuyến tính f được
xác định một cách duy nhất bởi hệ thống các vô hướng {aij |1 i m, 1

j} .

Ta sắp xếp chúng thành ma trận
a11 K
A= M O
am1 L

a1n
M = ( aij )mn
amn

Và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V

r
r
W đối với cặp cơ sở (e) và ( ) .

2.1.3.2. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.
W là ánh xạ tuyến tính, có ma trận A= ( aij )mn đối với
r
V có toạ độ {x1 , ....,xn } trong cơ sở (e)
cặp cơ sở (e) và ( ) . Nếu vectơ
r

thì toạ độ f ( ) W trong cơ sở ( ) sẽ là {y , ...., y } tính bởi công thức
1
m

Cho f :V

n

yi =

aij x j
j 1

i = 1,2,...,m

Hay là

y1 = a11 x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn
y2 = a21 x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn
................................................
ym = am1 x1 + am2 x2 + ...+ amn xn
Ta gọi công thức trên là biểu thị toạ độ của ánh xạ tuyến tính f đối với
cặp cơ sở (e) và ( ) đã cho. Thật vậy, ta có

22