Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã giúp đỡ
em trong suốt bốn năm học tập và nghiên cứu dưới mái trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để em hoàn
thành khoá luận của mình.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích và bạn bè đã tạo
điều kiện, đóng góp ý kiến hữu ích để em hoàn thành tốt luận văn này.
Hà nội, năm 2010
Tác giả
Lê Thị An

Lê Thị An

1

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu
vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Em xin cam đoan luận văn về đề tài „„Toán tử tuyến tính trong không
gian Hilbert ‟‟ không trùng với bất kỳ luận văn nào khác.

Người thực hiện

Lê Thị An

2

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Mục lục
Mở đầu ............................................................................................................ 4
Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu ............................................ 5
1.1. Không gian định chuẩn và không gian Banach ....................................... 5
1.2. Toán tử tuyến tính .................................................................................... 6
1.3. Không gian Hilbert ................................................................................... 7
Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert .............................. 10
2.1 Một số ví dụ về toán tử ........................................................................... 10
2.2 Hàm song tuyến tính và dạng toàn phương ............................................ 16
2.3 Toán tử liên hợp và tự liên hợp ............................................................... 24
2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự và toán tử
Unita .............................................................................................................. 30
2.5 Toán tử dương ......................................................................................... 36
2.6 Phép chiếu ............................................................................................... 44

2.7 Toán tử compact ...................................................................................... 50
2.8 Giá trị riêng và vectơ riêng ..................................................................... 58
2.9 Sự phân tích phổ……………………………............................

......... 69

Chương 3: Toán tử không bị chặn ................................................................ 73
Kết luận…………………………………………………………… ............. 85
Tài liệu tham khảo……………………………………………...... .............. 86

Lê Thị An

3

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một bộ môn học rất lý thú của toán học, có nhiều ứng
dụng trong vật lý, các chuyên ngành khác của toán học,… Do thời gian học
ngắn nên chưa đủ để sinh viên nghiên cứu sâu từng vấn đề của giải tích hàm.
Chương “Không gian Hilbert” là nội dung gần cuối trong chương trình
học, chứa nhiều nội dung mới và tương đối khó.
Để tìm hiểu, nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đề tài:
“Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert”.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư
duy logic đặc thù của bộ môn.
Khắc sâu các kiến thức về toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert : toán tử
đồng nhất, toán tử không, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử đơn vị,
toán tử compact, toán tử không bị chặn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận và danh mục tài liệu, luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu.
Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert.
Chương 3: Toán tử không bị chặn.

Lê Thị An

4

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1: Những khái niệm và kết quả mở đầu
1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1: Giả sử X là không gian vectơ trên trường

(

hoặc

).

Ta gọi chuẩn trong X là một ánh xạ
.

:X

K

xa

x

Thỏa mãn 3 tiên đề:
1)

x

0, x

x

0

2)
3)

x

x

X
x

.

.x,

y

x

, x

X.

y , x, y

X.

Định nghĩa 1.1.2: Không gian định chuẩn là một cặp X , . . Trong đó X
là không gian tuyến tính, . là một chuẩn trong X .
Ví dụ 1.1.3:
Cho X là tập hợp các dãy:

X

x ( n ),

n

p

£ (¡ ),

n

, p 1.

n 1

Với x ( n ) . Đặt
1/ p
p

x

n

.

n 1

Khi đó X , .

Lê Thị An

là một không gian định chuẩn.

5

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Kí hiệu l p

X, . .
b

Ví dụ 1.1.4: Cho X

p

x

x(t ) : ( L) x(t ) dt

, p 1.

a

Với x

x(t )

X , đặt
1/ p

b

x

p

x(t ) dt

p

.

a

Thì .

p

là một chuẩn trong X .

Không gian X , .

p

kí hiệu là Lp [a, b] .

Định nghĩa 1.1.5 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) :

X là không gian định chuẩn. Dãy ( xn ) các phần tử của X được gọi là
hội tụ đến phần tử a

X nếu lim xn
n

0.

a

Định nghĩa 1.1.6 (Dãy Cauchy trong không gian định chuẩn):
Dãy ( xn ) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X nếu
lim xm

m ,n

Hay tương đương
Tương đương

xn

0.

0, n0 , m, n n0 : xm

0, n0 : n n0 , p 1,2,...

xn

.
xn

p

xn

.

1.2. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.2.1: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường . Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn
các điều kiện:
1) x, y
2) x

X : A( x

X,

y)

Ax

thì A( x)

Ay.
Ax.

Thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.

Lê Thị An

6

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Khi A thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là ánh xạ cộng tính.
Khi A thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là ánh xạ thuần nhất.
Khi Y

thì A gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.2: Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính từ không X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c 0 :
Ax

c x, x

X.

(1.1)

Định nghĩa 1.2.3: Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y . Hằng số c 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.1)
gọi là chuẩn của toán tử A .
Kí hiệu A .
Định lý 1.2.4: Định lý 3 mệnh đề tương đương.
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y . Khi đó 3 mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó trong X .
3) A bị chặn.
Định lý 1.2.5: Cho toán tử toán tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Nếu A bị chặn thì
A

sup Ax .
x 1

1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1: (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính trên
trường . Tích vô hướng trong X là ánh xạ
f: X X
K
( x, y ) a f ( x, y )

Thường kí hiệu f ( x, y )
i)

Lê Thị An

x, y ≥ 0,

x, y .Thỏa mãn các tiên đề:

x X.

7

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

x =0

x, y =0

x, y = y , x ,

ii)

x

y, z

x, y , z

iii)

x, y

x, z

X.

y, z

X

x, y

x, y , x, y

X,

K.

Từ định nghĩa suy ra:
+ Nếu x=0 hoặc y=0 thì x, y
+ x, y
+ x, y

z

0.

x, y

x, z , x, y, z

x, y ,

K; x, y

X.

X.

Định nghĩa 1.3.2: Không gian tích vô hướng là một cặp X , .,. , X là không
gian tuyến tính.
Định nghĩa1.3.3: Không gian Hilbert là không gian tích vô hướng và là
không gian đinh chuẩn với chuẩn x

x, x , x

X.

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H .
Ví dụ 1.3.4: Không gian £ k với tích vô hướng xác định bởi:
k

x, y

j

.

j

j 1

x

1

,...,

k

,y

1

,...,

£k

k

là không gian Hilbert với
2

k

x

x, x

j

1/2

.

j 1

Định lý 1.3.5 (Định lý Riezs): Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
f(x)

x,a , x H .

Lê Thị An

8

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Trong đó a H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ta có:
f

a.

Định lý 1.3.6: (Bất đẳng thức Schwart) Cho X là không gian tích vô hướng,
khi đó,

x, y

X:

x, y

x. y.

Định nghĩa 1.3.7 (Sự hội tụ mạnh): Một dãy ( xn ) các vectơ trong một không
gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ mạnh tới một vectơ x E nếu
xn

x

0 khi n

.

Định nghĩa 1.3.8 (Sự hội tụ yếu) : Một dãy ( xn ) các vectơ trong một không
gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một vectơ x E nếu
x, y khi n

xn , y

,

y E.

Để thuận tiện ta ký hiệu “ xn

x ” : hội tụ mạnh.

“ xn

x ”: hội tụ yếu.

Định lý 1.3.9: Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu.
Nghĩa là: xn

x

xn

x.

Điều ngược lại chưa chắc đúng.
Định lý 1.3.10: Nếu xn
Định lý 1.3.11: Nếu xn

Lê Thị An

x, yn

y thì xn , yn

x và xn

x, y .

x thì xn

9

x.

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert
2.1.Một số ví dụ về toán tử tuyến tính
Trong phần này chúng ta chỉ quan tâm đến những toán tử bị chặn.
Để ngắn gọn, ta chỉ viết toán tử thay cho toán tử tuyến tính.
Ví dụ 2.1.1: (Toán tử đồng nhất và toán tử không)
Ví dụ đơn giản nhất về toán tử là toán tử đồng nhất I và toán tử không.
Toán tử đồng nhất biến mọi phần tử thành chính nó,tức là, Ix=x với
mọi x E.
Toán tử không biến mọi phần tử của E thành vectơ 0.
Toán tử không được kí hiệu là 0.
Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có I
0

1,

0.

Phép nhân vô hướng

I của toán tử đồng nhất là một toán tử, toán tử

này nhân mọi phần tử với vô hướng

, tức là,

I x

x

Ví dụ 2.1.2. Cho A là một toán tử trong £ N và { e1, e2,…, eN} là cơ sở trực
chuẩn chính tắc trên £ N , tức là,

e1

1,0,0,...,0

e2

0,1,0,...,0

M
eN

0,0,0,...,1

Với i, j {1, 2,…, N}, ta đặt,
Ae j , ei .

ij

Khi đó, với x

N
j 1

j

ej

N

Ax, ei

j

j 1

Ae j , suy ra

N
j

Ae j , ei

j 1

Lê Thị An

N

£ N , ta có Ax

ij

j

(2.1)

j 1

10

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Do đó, với mỗi toán tử trong không gian £ N đươc xác định bởi N×N
ma trận. Ngược lại, với mỗi N×N ma trận

ij

, công thức (2.1) xác định một

toán tử trong £ N . Vậy ta có một sự tương ứng 1-1 giữa những toán tử trong
không gian vectơ N-chiều và các N×N ma trận. Nếu toán tử A được định
nghĩa bởi ma trận

ij

, thì
N

N

2

A

ij

.

i 1 j 1

Điều này đúng với mọi toán tử trong £ N , và do đó mọi toán tử trong
không gian Hilbert có số chiều hữu hạn đều bị chặn.
Toán tử trong ví dụ sau được xác định trong một không gian con riêng
của một không gian Hilbert.
Ví dụ 2.1.3. (Toán tử vi phân) Một trong số những toán tử có vai trò quan
trọng trong toán học ứng dụng là toán tử vi phân

df
dx

Df ( x)

f ( x)

Xác định trong không gian các hàm khả vi. Ví dụ như, toán tử vi phân
trong một không gian con của L2
L2

(D)= f
Nếu L2

,

được định nghĩa bởi

,
,

:f

L2

,

được trang bị chuẩn chính tắc f

.

2

f ( x) dx , khi

đó toán tử vi phân là không bị chặn.
Thật vậy, cho fn(x)=sin nx, n=1, 2, 3,…, ta có

fn

2

sin nx dx

.

Và

Lê Thị An

11

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

2

Df n

n cos nx dx

n

.

Ví dụ này có thể tổng quát trên một đoạn [a, b] bất kỳ hay khoảng
,

.

Ví dụ 2.1.4. (Toán tử tích phân) Một lớp toán tử quan trọng khác là toán tử
tích phân. Toán tử tích phân được xác định bởi
b

Tx ( s)

K ( s, t ) x(t )dt ,
a

Trong đó a và b là hữu hạn hoặc vô hạn, a < b, và K là một hàm xác
định trên hình vuông (a, b)× (a, b). Hàm K được gọi là hạt nhân của toán tử.
Miền xác định của toán tử tích phân phụ thuộc vào K. Nếu
b b

2

K ( s, t ) dtds

,

a a

Thì T là toán tử bị chặn trong L2 a, b

và

b b

T

2

K ( s, t ) dtds .
a a

Thật vậy, với bất kỳ x L2 a, b , ta có

Tx

2

b b

2

K ( s, t ) x(t )dt ds
a a

b

b

2

b

2

K ( s, t ) dt x(t ) dt ds (theo bất đẳng thức Schwart)
a
b b

a

a
b

2

K ( s, t ) dtds x(t ) dt.
a a

a

Do đó,
b b

Tx

2

K ( s, t ) dtds x .
a a

Lê Thị An

12

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 2.1.5. (Phép nhân toán tử)
Cho z ∈ ∁([a, b]). Một toán tử trong L2([a, b]) được xác định bởi
Ax (t )

z(t ) x(t ) rõ ràng là tuyến tính. Hàm z được gọi là hàm nhân. Vì

Ax

2

b

2

2

x(t ) z (t ) dt
a

max z (t )

2

[a ,b ]

b

2

x(t ) dt ,
a

Ta có
Ax

max z (t ) x ,
[a ,b ]

Và do đó A là bị chặn.
Hai toán tử A và B gọi là bằng nhau, A=B, nếu

(a)=

(b) và

A(x)=B(x) với mọi x thuộc miền xác định chung. Tổng của hai toán tử được
xác định bởi:
(A+B)(x)= Ax + Bx
Và

(A + B)= (A) +

(B). Ta luôn có miền xác định của một toán tử

tuyến tính là một không gian vectơ con. (A) ∩ (B) không bao giờ rỗng vì
0∈ (A)∩ (B). Do đó trong trường hợp ít nhất ta phải có
(A) ∩ (B)={0}.
Tích của một vô hướng λ với một toán tử A được định nghĩa bởi:
(λA)(x)= ( Ax) .
Và (λA)= (A). Tích AB của toán tử A và B được định nghĩa bởi:
(AB)(x)=A(Bx).
Miền xác định của tích của A và B là
(AB)={ x∈ (B): Bx∈ (A)}
Tích của A và B còn gọi là sự hợp thành của A và B. Trong một số
trường hợp từ “tích” được thay cho “sự hợp thành”.

Lê Thị An

13

K32G - Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Khi một toán tử A nhân với một vô hướng λ, thì kết quả được xem như
tích của phép nhân toán tử Iλ và A, tức là, λA= (Iλ)A. Điều này không làm
thay đổi tích chất của toán tử. Trong một vài trường hợp, nó thuận lợi trong
việc xác định các vô hướng với phép nhân toán tử.
Vì IA = 1A, toán tử đồng nhất thường được kí hiệu 1.
Những toán tử đã được định nghĩa ở trên có những tính chất hiển nhiên
sau:
A + B = A + B,
(A + B) =

A+

(A + B)+C=A + (B + C),

A

A,

A0=0,

(A + B)C= AC + BC,

AI=IA,

B,

A(BC) = (AB)C,

A

A + 0 = A,

Trong trường hợp tổng quát không khẳng định được rằng:
A(B + C)=AB +AC.
Tích các toán tử là không giao hoán, tức là AB chưa chắc bằng BA.
Toán tử A và B mà AB = BA được gọi là toán tử giao hoán.
Ví dụ 2.1.6. (Toán tử không giao hoán) Cho A và B là các toán tử trong £ 2
được xác định bởi các ma trận
A

1 0
và B
0 0

0 1
0 0

(Xem ví dụ 2.1.2). Khi đó AB BA.
Ví dụ 2.1.7. (toán tử không giao hoán) Xét các toán tử
Af(x) = xf(x) và D=

d
.
dx

Dễ dàng kiểm tra được AD DA.
Bình phương của một toán tử A được định nghĩa bằng A2

A( Ax) .

Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa
An x

A( An 1x)

Với bất kỳ số nguyên dương n. Quy ước A1

Lê Thị An

14

A và A0

I.

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Nếu A và B là những toán tử bị chặn, thì hiển nhiên A + B và
chặn (với vô hướng

A bị

bất kỳ) và ta có

A B

A

B và

A

A.

Tương tự nó cũng đúng với tích các toán tử.
Định lý 2.1.8. Tích AB của toán tử bị chặn A và B là bị chặn và

AB

A B.

Chứng minh:
Giả sử A và B là các toán tử bị chặn trong một không gian định chuẩn
E. A

K1 ,
Và B

K2 . Khi đó ABx

K1 Bx

K1K2 x ,

Với mọi x E .
Định lý 2.1.9. Một toán tử bị chặn trong một không gian có số chiều vô hạn
có thể biểu diễn bởi một ma trận vô hạn.
Chứng minh:
Giả sử A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H và (en),
n=1, 2, 3, …là một dãy trực giao đầy đủ trên H. Với i, j ¥ , đặt:
ij

Ae j , ei .

Với bất kỳ x H ta có:
n

Ax

A

x, e j e j
j 0

A lim
n

x, e j e j

.

j 0

n

lim
A
n

x, e j e j (Do tính liên tục của A).
j 0
n

lim
n

x, e j Ae j (Do tính tuyến tính của A).
j 0

x, e j Ae j .
j 1

Lê Thị An

15

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Bây giờ:

Ax, e j

x, e j Ae j , ei
j 1

Ae j , ei x, e j
j 1

ij

x, e j .

j 1

Do đó, A biểu diễn được bởi ma trận (

ij

).

2.2 Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương
Khái niệm về hàm song tuyến tính và dạng toàn phương không đòi hỏi
cấu trúc của một không gian tích vô hướng. Chúng có thể được định nghĩa
trong một không gian vectơ bất kỳ. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến
vấn đề đó.

Định nghĩa 2.2.1. (Hàm song tuyến tính) Một hàm song tuyến tính
một không gian vecto phức là một ánh xạ

trên

: E E a £ thỏa mãn 2 điều kiện

sau:
(a)

( x1

(b)

( x, y1

Với ,

x2 , y)

( x1 , y)

( x2 , y).

y2 )

( x, y1 )

( x, y2 ) .

là các vô hướng bất kỳ và bất kỳ x, x1 , y, y1 , y2

E.

Dễ thấy tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một không gian
vectơ.
Ví dụ 2.2.2. Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính.
Ví dụ 2.2.3. Cho A, B là các toán tử trong một không gian tích vô hướng trong
E. Khi đó

1

( x, y)

Ax, y , 2 ( x, y)

x, By , 3 ( x, y)

Ax, By là các hàm

song tuyến tính trên E.
Ví dụ 2.2.4. Cho f, g là các hàm tuyến tính trên không gian vectơ E. Khi đó
( x, y)

f ( x).g ( y) là hàm song tuyên tính trên E.

Định nghĩa 2.2.5. (Hàm đối xứng, hàm dương, hàm dương hoàn toàn, hàm
song tuyến tính bị chặn) Cho
(a)

Lê Thị An

là một hàm song tuyến tính trên E.

gọi là đối xứng nếu ( x, y)

( y, x), x, y E .

16

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

(b)

gọi là dương nếu ( x, x) 0, x E .

(c)

gọi là dương ngặt nếu nó dương và ( x, x) 0, x 0 .

(d) Nếu E là một không gian định chuẩn,
( x, x)

K x y ,K

gọi là bị chặn nếu

0, x, y E.

Chuẩn của một hàm song tuyến tính bị chặn được xác định bằng:

sup
x

Trong ví dụ 2.2.4 nếu f=g thì

( x, y ) .

y 1

là đối xứng và dương. Tích vô hướng

là dương ngặt.
Trong ví dụ 2.2.3 nếu A và B là bị chặn thì

1

, 2,

3

là bị chặn. Tương

tự, nếu f và g trong ví dụ 2.2.4 bị chặn thì hàm song tuyến tính được định
nghĩa cũng bị chặn.

Một hàm song tuyến tính bị chặn

trên E ta có:
x y , x, y E .

( x, y)

Định nghĩa 2.2.6 (Dạng toàn phương) Cho

là một hàm song tuyến tính

trong không gian vectơ E.
Hàm Ф: E a £ xác định bởi Ф(x)= ( x, x) được gọi là dạng toàn
phương liên hợp với

.

Dạng toàn phương Ф trong một không gian định chuẩn E gọi là bị chặn
nếu

K

2

0 : Ф( x) K x , x E .

Chuẩn của một dạng toàn phương bị chặn được định nghĩa bởi:

Ф

sup Ф( x) .
x 1

Chú ý rằng, một dạng toàn phương bị chặn Ф trong một không gian
định chuẩn ta có Ф( x)

Lê Thị An

2

Ф( x) . x .

17

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Một hàm song tuyến tính và dạng toàn phương liên hợp với nó có tính
chất tương tự tích vô hướng x, y và bình phương của chuẩn được định nghĩa
2

bởi tích vô hướng x

x, x .

Định lý 2.2.7 (Đồng nhất thức phân cực) Cho

là một hàm song tuyến tính

trong E, và cho Ф là dạng toàn phương liên hợp với
4 ( x, y) Ф( x
x, y E .

y ) Ф( x

. Thì:

y ) iФ( x iy ) iФ( x iy)

(2.2)

Chứng minh:

£ , ta có:

,

Ф( x

y)

( x

=

1;

Cho
Ф( x

2

1và

y, x

Ф( x)

1;

y ) Ф( x )

y)

( x, y)

1và

( x, y )

2

( y, x)

i;

Ф( y).

i ta được:

1và

( y , x ) Ф( y )

Ф( x y ) Ф( x )
( x, y )
( y , x ) Ф( y )
iФ( x iy ) iФ( x)
( x, y )
( y, x) iФ( y)
iФ( x iy )
iФ( x)
( x, y )
( y, x) iФ( y ).
Cộng các đẳng thức lại ta được (2.2).
Hệ quả 2.2.8: Cho
Nếu

1

( x, x)

Nghĩa là
Tương

1

1

,

2

2

( x, x), x E thì

( x, y)

tự,

là các hàm song tuyến tính trong E.

2

nếu

1

2

.

( x, y), x, y E .

A

và

B

là

các

toán

tử

trong

E

mà

Bx, x , x E thì A=B.

Ax, x

Chứng minh:
Nếu
với

1

,

2

1

( x, x)

2

( x, x), x E thì dạng toàn phương Ф1 và Ф2 liên hợp

là bằng nhau. Do đó theo (2.2) các hàm

Lê Thị An

18

1

,

2

là bằng nhau.

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ta kết thúc chứng minh, cho

1

Ax, y và

( x, y)

Định lý 2.2.9: Hàm song tuyến tính

2

Bx, y .

( x, y)

trong E là đối xứng khi và chỉ khi dạng

toàn phương liên kết Ф là số thực.
Chứng minh:
Nếu ( x, y)

( y, x), x, y E thì
Ф( x)

( x, x)

( x, x) Ф( x), x E

Do đó Ф là số thực.
Bây giờ nếu Ф( x) Ф( x) với mọi x E . Xây dựng một hàm song
trong E xác định bởi:

tuyến tính

( x, y)

( y, x) .

Thì dạng toàn phương liên hợp với

ta có:

( x, x) Ф( x) Ф( x) .

( x)

Theo hệ quả 2.2.8, ( x, y)
Vậy hàm

( y, x), x, y E .

là hàm đối xứng trong E.

Định lý 2.2.10: Một hàm song tuyến tính

trong không gian định chuẩn E là

bị chặn khi và chỉ khi dạng toàn phương Ф là bị chặn, hơn nữa, ta có

Ф

2Ф

(2.3)

Chứng minh:
Do Ф

sup Ф( x)
x 1

Nếu

sup
x 1

sup
x

( x, y)

.

y 1

là bị chặn thì Ф bị chặn và bất đẳng thức đầu đúng.

Giả sử Ф là bị chặn. Từ (2.2) ta có:
( x, y )

Lê Thị An

1
Ф( x y ) Ф( x y ) iФ( x iy ) iФ( x iy )
4
1
2
2
2
2
Ф. x y
x y
x iy
x iy
4

19

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp
Do đó, theo qui tắc hình bình hành,

( x, y)

Do vậy: sup
x

( x, y )

y 1

Ф. x

2

2

y

sup Ф
x

x

y
2

2

.

2Ф .

y 1

Do đó nếu Ф bị chặn thì

bị chặn và bất đẳng thức thứ 2 trong (2.3)

được chứng minh.
Định lý 2.2.11: Cho

là một hàm song tuyến tính trong không gian định

chuẩn E và cho Ф là dạng toàn phương liên hợp của nó. Nếu
bị chặn, thì

đối xứng và

.

Chứng minh:
Theo định lý 2.2.10 Ф

.

Ta cần chỉ ra rằng bất đẳng thức ngược lại vẫn đúng.
Vì

đối xứng, Ф là số thực nên theo định lý 2.2.9, ta có:

1
Ф( x
4

Re ( x, y)
Do đó Re ( x, y)

1
Ф. x
4

2

y

y ) Ф( x
x

y

2

y) .

1
Ф
2

x

2

y

2

.

Theo qui tắc hình bình hành, Lấy x và y là các phần tử bất kỳ cố định
trong E mà x

y

1.

Lấy θ là số phức sao cho

( x, y)

( x, y)

1 và

( x, y)

( x, y) . Thì

( x, y)

Re ( x, y)

1
Ф

2

x

2

y

2

Ф .

Và do đó

sup
x

( x, y)

Ф .

y 1

Định lý 2.2.12: Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H. Khi
đó hàm song tuyến tính xác định bởi ( x, y)

Lê Thị An

20

Ax, y là bị chặn và A

.

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh:
x, y H , áp dụng bất đẳng thức Schwart, ta có:

( x, y)
Do đó,

Ax, y

là bị chặn và
Ax

2

Ax . y

A. x. y .

A . Mặt khác:

Ax, Ax

. Ax . Ax .

x, Ax

Với Ax 0 , ta có :
.x .

Ax

Bất đẳng thức trên cũng đúng nếu Ax 0 .
Ta được: A

.

Chú ý: Định lý vẫn đúng nếu thay

( x, y)

( x, y)

Ax, y

bởi

x, Ay .

Định lý 2.2.13. Cho

là một hàm song tuyến tính bị chặn trong không gian

tuyến tính Hilbert H. Khi đó ! toán tử bị chặn A trong H sao cho
( x, y)

x, Ay , x, y H .

Chứng minh:
Với y cố định

H , ( x, y ) là hàm tuyến tính bị chặn trong H.

Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, ! Ay H :
( x, y)

Ta phải chứng minh ánh xạ y

x, Ay , x H .

Ay là toán tử bị chặn trong E.

Thật vậy, với bất kỳ x, y1 , y2 H và

x, A( y1

y2

( x, y1

y2 )

,

£ , ta có :

( x, Ay )
x, Ay1

( x, y2 )
Ay2 .

Và do đó :

A

Lê Thị An

y1

y2

Ay1

21

Ay2 .

K32G - Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Bây giờ ta chứng minh A là bị chặn. Do
Ay

Do đó nếu Ay

2

Ay, Ay

( Ay, y )

là bị chặn, ta có :
k Ay . y .

0 , ta có:
k y.

Ay

Dễ kiểm tra được bất đẳng thức trên vẫn đúng với Ay 0 . Vậy A bị
chặn.
Chứng minh tính duy nhất:
x, Ay

x, By , x, y H .

Do đó A=B.
Định nghĩa 2.2.14 (Phiếm hàm thỏa mãn điều kiện bức ): Một hàm song
tuyến tính

trong không gian định chuẩn E đươc gọi là phiếm hàm thỏa

mãn điều kiện bức nếu tồn tại một số dương K sao cho:
2

( x, x) K x , x E .
Ví dụ 2.2.15: Nếu z là hàm nhận các giá trị thực liên tục trên [0, 1] thỏa mãn
min t

0,1

z (t ) 0 , khi đó hàm song tuyến tính

trong

L2 ([0,1]) được xác

định bởi:
1

( x, y)

x(t ) y (t )z (t )dt
0

là phiếm hàm thỏa mãn điều kiện bức.

Thật vậy, ta có:
1

( x, x )

2

x(t ) z (t )dt

K x

2

0

Trong đó K

Lê Thị An

min
z (t ).
t [0,1]

22

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp
Định lý 2.2.16. (Định lý Lax-Milgram) Cho

là một hàm song tuyến tính bị

chặn, thỏa mãn điều kiện bức trong không gian Hilbert H. Khi đó với mọi
phiếm hàm tuyến tính bị chặn f trong H, tồn tại duy nhất x f

H:

( x, x f ), x H .

f ( x)

Chứng minh:
Theo định lý 2.2.13, tồn tại một toán tử bị chặn A sao cho:
( x, y)

x, Ay ,

x, y H .

Do f thỏa mãn điều kiện bức, nên ta có:

K x

2

( x, x)

x, Ax

Ax . x .

Và do đó
K x

Lấy x1 , x2

H . Nếu Ax1

Ax2 thì A( x1

x1
Dẫn đến x1

Ax ,

x2

1
A( x1
K

x H.

x2 ) 0 , do đó:

x2 )

0

x2 .

Vậy A là tương ứng 1-1.
Kí hiệu tập giá trị của A là ( A ).
Lấy ( xn ) là một dãy các phần tử của H. Nếu Axn

xn

xm

1
A( xn
K

xm )

y

0 khi m,n

0, y

.

Suy ra ( xn ) là dãy Cauchy trong H. Vì H là đủ nên x H : xn
Do đó Axn
Vậy Ax

Ax

H thì

x

0.

0 , do A liên tục.

y , do đó y

(A).

Chứng tỏ (A) là một không gian con đóng của H.
Ta chứng minh (A)=H.

Lê Thị An

23

K32G - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử (A) là không gian con thực sự của H, x H , x 0 trực giao
với (A): x, Ay

0, y H .

Do đó ta có:
0

x, Ax

( x, x)

2

K x .

Điều này mâu thuẫn với giả thiết x 0 .
Nếu f là hàm tuyến tính bị chặn trong H, thì ! x0
f ( x)

H:

x, x0 , x H .

Do A là ánh xạ 1-1 và (A) = H nên ! x f
f ( x)

H : x0

Ax f , do đó:

( x, x f ), x H .

x, Ax f

2.3 Toán tử liên hợp và tự liên hợp
Định nghĩa 2.3.1 (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong
không gian Hilbert H. Toán tử A*: H

H được xác định bởi

x, A* y , x, y H

Ax, y
Gọi là toán tử liên hợp của A.

Nhận xét : Do A là liên tục nên

Ax, y là phiếm hàm song

( x, y)

tuyến tính. Theo định lý 2.2.13, tồn tại duy nhất toán tử liên tục A* , để
x, A* y . Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A

Ax, y

luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục.
Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa 2.3.1:

( A*

B* )

( A)*
( A* )*
I*

A*
A*

A

I

( AB )*

B* A* .

Với A, B là các toán tử bất kỳ và vô hướng

Lê Thị An

B*

24

tùy ý.

K32G - Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.3.2: Toán tử liên hợp A* của toán tử bị chặn A là bị chặn.
Hơn nữa, ta có A

2

A* và A* A

A .

Chứng minh: Vì Ax, y và x, A* y cùng xác định một hàm song
tuyến tính, định lý 2..2.13 suy ra A

A* .

Áp dụng định lý 2.1.8 ta có:
A* A

Mặt khác,

A* . A

2

A .

x H:

Ax

Do đó A* A

2

A* Ax

Ax, Ax

A* Ax

2

A* A x .

2

A .

Lưu ý: các toán tử A và A* không bằng nhau. Ví dụ, H = £ 2 , A xác
định bởi:

A( z1 , z2 ) (0, z1 )
Khi đó: A( x1 , x2 ),( y1 , y2 )

x1. y2 và ( x1 , x2 ), A( y1 , y2 )

x2 . y1 .

Định nghĩa 2.3.3. (Toán tử tự liên hợp): Nếu A = A* thì A gọi là toán tử tự
liên hợp.
Nói cách khác nếu A là toán tử tự liên hợp thì
Ax, y

Ví dụ 2.3.4: Với H

x, Ay , x, y H .

£ N và { e1, e2,…,eN} là cơ sở trực chuẩn chính tắc

trong H.
A là một toán tử biểu diễn bằng ma trận (aij) . Trong đó aij= Ae j , ei
(xem, ví dụ 2.1.2).
Khi đó toán tử liên hợp A* được biểu diễn bằng ma trận bkj

A*e j , ek .

Do đó,

Lê Thị An

25

K32G - Toán