Ứng dụng CNTT dạy học khái niệm về phép biến hình theo phương pháp tích cực

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hà

TRNG I HC S PHM H NI 2
KHOA TON
=============

ứng dụng cntt dạy học khái niệm
về phép biến hình theo ph-ơng pháp
tích cực

KHểA LUN TT NGHIP I HC
Chuyên ngành: Ph-ơng pháp dạy học Toán

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học
Th.S NGUYễN VĂN Hà

-1SVTH: L-u Công Hoàn
Toán

Hà Nội - 5/2011

K31D - SP


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lời cảm ơn !

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:
Thầy giáo – Th.s Nguyễn Văn Hà, tổ trưởng tổ Phương pháp dạy học
toán, khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình dạy dỗ em
trong quá trình học tập và nghiên cứu, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn em
thực hiện đề tài này.
Các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa
luận.
Ban giám hiệu, phòng Đào tạo đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tinh
thần để em hoàn thành đề tài. Cuối cùng em xin kính chúc quý thầy cô, những
người thân và bạn bè lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt.
Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Trần Thị Nhung

SVTH: Trần Thị Nhung

-2-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả đúng, khách quan, trung thực và là kết quả của

em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo – Th.s Nguyễn Văn Hà.
Em xin cam đoan khóa luận và đề tài:
“Ứng dụng CNTT dạy học khái niệm về phép biến hình theo phương pháp
tích cực” không trùng với những kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Trần Thị Nhung

SVTH: Trần Thị Nhung

-3-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
1.1. PPDH tích cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

07

1.2. Dạy học khái niệm Toán học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11
1.3. Tác dụng của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán . . . . . . . .

28

Chương 2. Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm phép biến hình. 31
2.1. Phương pháp sử dụng phần mềm tin học trong dạy học Toán
ở trường phổ thông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1. Phần mềm Microsoft PowerPoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2. Phần mềm Cabri (Cabri Geometry II Plus và Cabri 3D). . . . 34
2.1.3. Phần mềm Geometer’s Sketchpad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Ứng dụng CNTT trong dạy học các khái niệm về phép biến hình.

36

2.2.1. Mở đầu về phép biến hình . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.3. Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4. Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.5. Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.6. Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.7. Hai hình bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.8. Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.9. Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.10.Hai hình đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . .

43

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

SVTH: Trần Thị Nhung

-4-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, hiện nay ứng dụng Công nghệ Thông tin (CNTT) đã
được áp dụng ở hầu hết các lĩnh vực hoạt động của xã hội và mang lại hiệu
quả thiết thực. Trong giáo dục cũng vậy, CNTT đã mang lại triển vọng to lớn
trong việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và quản lý giáo dục.
Cùng với việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa thì việc đổi mới
phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức cần thiết.
Hiện nay ngoài các phương pháp dạy học truyền thống, việc ứng dụng CNTT
trong dạy học sẽ góp phần làm cho giờ học trở nên sinh động, hiệu quả, kích

thích được tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
Qua nghiên cứu chương trình SGK môn Toán (THPT), bản thân tôi nhận
thấy có nhiều nội dung khi dạy học rất cần sự hỗ trợ CNTT để tiết kiệm thời
gian trên lớp, đảm bảo nội dung cần truyền đạt, làm đơn giản hoá các vấn đề
mang tính trừu tượng cao, phát huy tính tích cực của học sinh nhằm nâng cao
hiệu quả của việc dạy học. Phép biến hình là một trong những nội dung khá là
khó và trừu tượng đối với học sinh THPT. Chính vì thế tôi đã chọn đề tài
“Ứng dụng CNTT dạy học khái niệm về phép biến hình theo phương pháp
tích cực ” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm phát huy được hứng thú và tính tích cực học tập của học sinh đối
với việc học tập nội dung phép biến hình trong mặt phẳng .
Bước đầu giúp cho giáo viên và học sinh tiếp cận với phương pháp dạy
học hiện đại, từ đó nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

SVTH: Trần Thị Nhung

-5-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo
phương pháp dạy học tích cực.
Phương pháp sử dụng một số phần mềm chuyên dụng trong dạy học

môn toán ở phổ thông.
Thiết kế và xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy học theo
phương pháp tích cực các khái niệm về phép biến hình trong hình học
phẳng – Hình học 11 nâng cao.
4. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo
phương pháp dạy học tích cực.
Các phần mềm chuyên dụng trong dạy học môn toán ở phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu một số tài liệu về PPDH tích cực; tham khảo các giáo án,
bài giảng theo phương pháp dạy học này.
Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết kế bài
giảng điện tử theo PPDH tích cực:
- Phần mềm trình diễn MS PowerPoint, Violet,...
- Phần mềm hình học động Cabri Geometry, Geometer’s Sketchpad.
Nghiên cứu nội dung chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong
mặt phẳng – sách giáo khoa Hình học 11 NC.

SVTH: Trần Thị Nhung

-6-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
1.1. Phương pháp dạy học tích cực
1.1.1. Các khái niệm:
- Phương pháp là con đường, là cách thức để đạt những mục đích nhất
định.
- PPDH là những cách thức hoạt động và ứng xử của GV gây nên
những hoạt động và giao lưu cần thiết của HS trong quá trình dạy học nhằm
đạt được các mục đích dạy học.
- Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là để chỉ những
PPDH theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học.
- PPDH tích cực còn có thể được hiểu một cách ngắn gọn là PPDH
hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động.
1.1. 2. Hệ thống phân loại các PPDH:
- Hiện nay, chúng ta chưa có sự thống nhất trên phạm vi quốc tế việc
phân loại các PPDH. Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thống
nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương
diện khác nhau từ đó đưa ra các loại phương pháp khác nhau.
- PPDH với cách truyền thông tin tới HS bằng hoạt động bên ngoài:
+ PPDH thuyết trình.
+ PPDH giảng giải minh họa.
+ PPDH gợi mở- vấn đáp.
+ PPDH trực quan.
- PPDH với tình huống điển hình trong quá trình dạy học:
+ Môn toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lý toán
học.

SVTH: Trần Thị Nhung

-7-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học.
+ Môn vật lý: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật
lý.
PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm, …
+ Môn văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân
tích tác phẩm văn học, …
1.1.3. Đặc trưng của PPDH tích cực:
- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS
Theo tâm lý học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi họ có nhu
cầu hứng thú với hoạt động đó. Nhà tâm lý học Xô Viết V.P Simonov đã mô
tả tính tích cực hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn và
lôi cuốn của nhiệm vụ học tập - nhu cầu là một hàm phụ thuộc vào hiệu số
của kiến thức cần thiết và kiến thức đã có như sau:
T = N(KCT – KĐC) (Trong đó T là mức độ tích cực của HS; N là nhu cầu nhận
thức; KCT là kiến thức, kỹ năng cần thiết của HS; KĐC là kiến thức, kỹ năng
đã có của HS). Do đó, trong dạy học theo phương pháp tích cực GV cần thiết
và trước tiên phải làm cho HS có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm
vụ học tập.
- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
Phương pháp tự học là rèn luyện cho người học có được phương pháp,
kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức: biết tự lực phát hiện, đặt ra và
giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh hoạt vận dụng
những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó sẽ tạo cho người học

lòng ham học, ham hiểu biết. Do vậy, trong quá trình dạy học cần chú ý dạy
cho người học phương pháp học, tạo ra sự chuyển biến từ việc học tập thụ
động sang học tập chủ động.
- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

SVTH: Trần Thị Nhung

-8-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình
thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân. Thông qua việc thảo luận,
tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay
bác bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới.
Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt
động hợp tác trong nhóm nhỏ. Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập,
nhất là phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu
phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung. Trong hoạt động
nhóm nhỏ sẽ không có hiện tượng ỷ lại, tính cách năng lực của mỗi thành viên
được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ.
- Kết hợp sự đánh giá của GV với sự đánh giá của HS:
Trong dạy học, việc đánh giá HS là nhằm mục đích đánh giá thực trạng
và điều chỉnh hoạt động của đồng thời của cả HS và GV.
Trong PPDH tích cực, GV phải hướng dẫn HS tự đánh giá kiến thức

của mình để tự điều chỉnh cách học tập của mình và GV cũng phải tạo điều
kiện để các HS tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau. Từ đó hình thành cho HS
biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình
đó chính là năng lực rất cần thiết cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà
trường cần trang bị cho các HS.
- Dạy học thông qua các hoạt động học tập của HS
Trong dạy học, theo quan điểm tích cực GV phải đặt HS vào những
tình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và HS được trực tiếp quan sát,
thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết.
Đối với môn Toán, GV tạo ra và đặt HS vào các tình huống toán học
thực tiễn, đồng thời tổ chức để cho HS có thể trực tiếp tham gia trải nghiệm
vào các dạng khác nhau của hoạt động toán học sau đây:

SVTH: Trần Thị Nhung

-9-

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Hoạt động trí tuệ chung: Quan sát, so sánh, phân tích, tổng
hợp, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, …
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức toán học.
+ Hoạt động toán học phức hợp: Chứng minh toán học, định
nghĩa khái niệm toán học, giải bài toán (giải phương trình, giải toán dựng
hình, giải toán tìm tập hợp điểm, … )

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến của toán học: Lật ngược vấn đề, xét
tính giải được, mô hình hóa và thể hiện, …
+ Hoạt động ngôn ngữ: HS phát biểu, trình bày nội dung kiến
thức toán học hoặc lập luận biến đổi mệnh đề, chứng minh mệnh đề toán học.
Như chúng ta đã biết, đặc điểm của môn Toán là khoa học suy diễn,
trong đó mọi kiến thức toán học đều được rút ra từ tiên đề hoặc điều đã biết
bằng suy luận lôgic. Do đó, nhiệm vụ hàng đầu của dạy học toán ở trường phổ
thông là phải dạy cho HS cách suy nghĩ một cách đúng đắn, hợp lý (cách suy
nghĩ hợp lôgic). Vì vậy, dạy học toán ở trường phổ thông bằng các hoạt động
toán học thực chất là cho HS trực tiếp được tập dượt cách suy nghĩ thông qua
việc trải nghiệm các hoạt động toán học phức hợp.
Từ những nghiên cứu trên ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đối
với sự đổi mới PPDH toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng, cụ
thể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đối với các tình huống dạy học
điển hình của môn Toán. Quan điểm đó là: Dạy học tình huống toán học này
như thế nào được coi là tích cực và như thế nào được coi là thụ động (ít tích
cực)?
Dạy học tích cực

Dạy học thụ động (ít tích cực)

Dạy

+ Phân tích tìm các dấu hiệu + Công bố định nghĩa khái niệm

học

đặc trưng khái niệm toán học.

SVTH: Trần Thị Nhung

- 10 -

toán học.

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
khái

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Hình thành định nghĩa khái + Hoạt động luyện tập củng cố

niệm niệm và nêu định nghĩa khái khái niệm toán học.
niệm.
+ Hoạt động luyện tập củng cố.
Dạy

+ Hoạt động gợi động cơ suy + Nêu nội dung định lý toán học.

học

đoán định lý - Nêu nội dung định + Hoạt động chứng minh định lý.

định

lý.

lý

+ Hoạt động luyện tập, củng cố

+ Phân tích tìm đường lối chứng định lý .

toán

minh định lý toán học.

học

+ Hoạt động chứng minh định lý
+ Hoạt động luyện tập, củng cố.

Dạy

+ Tóm tắt nội dung bài toán.

+ Tóm tắt nội dung bài toán.

học

+ Phân tích tìm đường lối chứng + Hoạt động chứng minh toán

bài

minh toán học.

tập

+ Hoạt động chứng minh toán

toán

học.

học

+ Kiểm tra và khai thác bài toán.

học.

Kết luận: Quan điểm nổi bật của PPDH tích cực đối với môn Toán ở
trường phổ thông là tổ chức các hoạt động học tập cho HS theo phương châm
coi trọng việc tìm ra đường lối chứng minh toán học, không chỉ chú trọng vào
việc dạy học chứng minh toán học.
1.2. Dạy học khái niệm Toán học
1.2.1. Đại cương về định nghĩa khái niệm
a) Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó
một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối

SVTH: Trần Thị Nhung

- 11 -

K33A Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính
chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó.
Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ có tính quy luật, nội hàm càng
được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Thật vậy, nếu ta
mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sung
đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ
phận thực sự của lớp các hình bình hành.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái
niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là
một khái niệm loại của A.
b) Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ
Ở trên có nêu khái niệm phản ánh một lớp đối tượng. Điều đó có gì sai
hay không, trong khi có những tác giả phân biệt khái niệm về một đối tượng,
chẳng hạn “hình chóp” với khái niệm về một quan hệ, chẳng hạn “chia hết” ?
Thật ra, dưới góc độ Toán học, một quan hệ n ngôi là một tập con của tích
Đềcac của n tập hợp. Quan hệ chia hết là một tập con A của tích Đềcac N N:
A= m, n /

q/n

mq

, trong đó N là tập số tự nhiên, còn m, n,

q N và m 0.
Đối tượng được xem xét về mối quan hệ này là những phần tử của tích

Đềcac N N, chẳng hạn:
- Đối tượng (3, 12) là một phần tử của A ( hay ta còn nói “số 3 chia hết
12”), bởi vì tồn tại số tự nhiên 4 sao cho 12 = 4 3.
- Đối tượng (3, 25) không phải là một phần tử của A ( hay ta còn nói
“số 3 không chia hết cho 25”), bởi vì không tồn tại một số tự nhiên q nào sao
cho 25 = 3 q ).
Tuy về mặt Toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trường
hợp riêng của khái niệm về một đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt

SVTH: Trần Thị Nhung

- 12 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ lại là cấn thiết dưới
góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình học sinh còn mơ hồ về khái niệm
quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương trình hệ quả”
hoặc phát biểu: “Tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ có một điểm chung với
đường tròn”.
c) Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt lớp đối
tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch
ra nội hàm của khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Từ mới

( Những ) từ chỉ miền Tân từ

(biểu thị khái niệm mới) đối tượng đã biết (loại)

(diễn tả khác biệt về
chủng)

Ví dụ: Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng
nhau.
Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình
chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái
niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm
đó. Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có
thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Hình vuông,
ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một
cách khác, chẳng hạn: Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào
đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó:

SVTH: Trần Thị Nhung

- 13 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi
là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của
khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang
xét.
Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)
A

Nếu xét xem ABCD có phải là một hình

B

vuông hay không thì “AB=CD” là một trong
các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ
giác đó có phải là hình bình hành hay không
C

D

thì thuộc tính đó là không bản chất.

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, từ chỉ miền
đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết. Một khả năng vi
phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ: “Phép
cộng là phép tìm tổng của hai hay nhiều số”; “Tổng của hai hay nhiều số là
kết quả thực hiện phép cộng”.
d) Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa một khái niệm mới dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết.

Ví dụ:
Để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa
hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành
ta cần định nghĩa tứ giác... Tuy nhiên, quá trình trên không thể kéo dài vô
hạn, tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm
xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận
điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thủy.
Ở trường phổ thông còn có một số khái niệm khác cũng không được định
nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học.

SVTH: Trần Thị Nhung

- 14 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả,
giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những
khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác.
1.2.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm
Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học
nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách
vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến
thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả
năng vận dụng các kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có

tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế
giới quan cho học sinh.
Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải
làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết
thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải Toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư
phạm, các yêu cầu trên lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với
từng khái niệm.
Chẳng hạn, đối với những khái niệm “hình bình hành”, “đạo hàm”,
…học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng

SVTH: Trần Thị Nhung

- 15 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm chiều của
vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường
minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh
nghiệm sống.
1.2.3. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phổ
thông
a) Định nghĩa theo phương pháp loài ─ chủng
* Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài ─ chủng là một hình thức
định nghĩa nêu lên khái niệm loài và hình thức đặc trưng của chủng.
Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng.
+ Ví dụ 1: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Trong định nghĩa trên, hình bình hành là khái niệm loài, hai cạnh liên tiếp
bằng nhau là đặc tính của chủng.
+ Ví dụ 2: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1
và chính nó.
Ở định nghĩa này, số tự nhiên là khái nitệm loài, chỉ có hai ước số chung
là 1 và chính nó là đặc tính của chủng.
+ Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm cố định và một số k không
đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM’ = k OM
được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k . Kí hiệu V(O, k)
Trong định nghĩa này:
+ Phép biến hình là khái niệm loài.
+ Số k không đổi khác 0, O cố định, OM’ = k OM là đặc trưng của
chủng.
b) Định nghĩa bằng quy ước

SVTH: Trần Thị Nhung

- 16 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

* Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối
tượng cần định nghĩa một đối tượng cụ thể nào đó.
Ví dụ: a0 = 1 ( Đối tượng cần định nghĩa là a0 )
a─n =

1
( n N, a ≠ 0)
an

(- a).(- b) = a.b
Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không giải thích
tại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp
lý không.
am
Ví dụ: a = 1 là hợp lý vì 1= m = am - m = ao
a
0

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề
* Nội dung: Người ta chọn ra một đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản và
thừa nhận chúng gọi là các tiên đề. Từ đó đi định nghĩa các khái niệm khác,
chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp logic.
+ Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Cho tập X cùng quan hệ tương đương , (X,

) được gọi là quan hệ

tương đương nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:
i) Tính chất phản xạ.
ii) Tính chất đối xứng.
iii) Tính chất bắc cầu.
+ Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:
Cho tập X cùng phép toán hai ngôi *
*:X×X

X
c

(a, b) |

thỏa mãn * có tính chất kết hợp

* có phần tử đơn vị e
nghịch đảo

x

X,

x−1

SVTH: Trần Thị Nhung

X sao cho

x

X: x.e = e.x, tồn tại phần tử

X : x.x−1 = x−1.x = e

- 17 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

d) Định nghĩa bằng phương pháp mô tả
* Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định nghĩa
chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng cần
định nghĩa hoặc quan hệ đối tượng cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra
chúng ( Mô tả theo kiểu kiến thiết).
+ Ví dụ 1: Khái niệm “ điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng”
là không định nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả.
+ Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 ( định nghĩa theo quy trình tạo
ra chúng): Cho hai tia Ou, Ov nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương ( hay
chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với Ov thì ta nói Tia Om quét
một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.
1.2.4. Các quy tắc định nghĩa khái niệm:
a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa theo quy tác này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa
và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm là
quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa.
+ Ví dụ 1: “ Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định
nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng.
+ Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp
những số này không thể khai căn được.” là định nghĩa không tương xứng vì
khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái niệm định
nghĩa, ví dụ số e và số là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép
khai căn nào.
+ Ví dụ 3: “ Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” là định nghĩa không tương
xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định

SVTH: Trần Thị Nhung

- 18 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

nghĩa, ví dụ có những số thập phân vô hạn như

1 1
, ..... nhưng không phải là
3 7

số vô tỉ.
b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh
Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa mà phải dựa vào khái
niệm đã biết, đã được định nghĩa.
+ Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc: " Độ là

1
của góc vuông, góc
90

vuông là góc có số đo 90o " là định nghĩa vòng quanh.
+ Ví dụ 2: " Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng đi qua một
đường thẳng " là định nghĩa không đúng vì khái niệm góc chưa xác định.
Ta phải định nghĩa góc nhị diện như sau: “ Góc nhị diện là phần không
gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng”.
c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu nghĩa là trong nội dung khái niệm
định nghĩa không chứa những thuộc tính mà có thể suy ra được những thuộc
tính còn lại.
+ Ví dụ 1: Định nghĩa: “Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh
song song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa 1 trong
điều kiện song song hoặc bằng nhau.
+ Ví dụ 2: Định nghĩa : “ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có
hai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “ là 1 và chính nó” nhưng vì lý do
sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ 2 ước đó
là 2 ước cụ thể nào.
d) Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định nếu loài không được
phân chia thành hai tập hợp triệt để ( Khái niệm loài không bao gồm hai khái
niệm mâu thuẫn).

SVTH: Trần Thị Nhung

- 19 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Ví dụ 1: “ Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu
lên dấu hiệu xem xét 1 hình không phải là hình thoi, chưa chỉ ra được đặc
trưng của hình thoi.
+ Ví dụ 2: “ Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩa
đúng vì khái niệm loài được phân chia thành số đại số và số siêu việt.
1.2.5. Những con đường tiếp cận khái niệm
Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và
tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh,
nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình
huống có thuộc về khái niệm đó hay không.
Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
Con đường quy nạp;
Con đường suy diễn;
Con đường kiến thiết;
Sau đây sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên.
a) Con đường quy nạp
Xuất phát từ một số những đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình
vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát
hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường

hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết
trực giác về khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:
i) Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc
tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;
ii) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc
điểm chung của các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu
một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

SVTH: Trần Thị Nhung

- 20 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

iii) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu
tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm.
Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt
động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo
cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa. Tuy nhiên con
đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian, vì vậy không bao giờ cũng có điều
kiện thực hiện.
Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:
- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát
cho con đường suy diễn;

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái
niệm cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
b) Con đường suy diễn
Một khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định
nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm nào đó mà
học sinh đã được học.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn:
i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm;
ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định
nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn
chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó;
iii) Đưa ra ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định
nghĩa.
Việc định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như những trường hợp riêng của
hình bình hành, định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit và những hàm số lượng

SVTH: Trần Thị Nhung

- 21 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

giác như những trường hợp riêng của khái niệm hàm số là những ví dụ về việc
tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn.

Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc
tập dượt cho học sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài
liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực Toán học. Tuy nhiên
con đường này bị hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những
năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và
khái quát hóa.
Con đường này thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại
làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
c) Con đường kiến thiết
Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết:
i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được
hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ
Toán học hay từ thực tiễn;
ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;
iii) Phát biểu định nghĩa đã được gợi ý.
Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy
diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một
hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp
thể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện
riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
Ví dụ: Lũy thừa với số mũ nguyên âm (đã quy ước a 0 1 với a 0 )
i) Xây dựng một đối tượng đại diện

SVTH: Trần Thị Nhung

- 22 -

K33A Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta muốn định nghĩa chẳng hạn 3 4 . Để đảm bảo phép nâng lên lũy thừa mới
này cũng có các tính chất cơ bản của các lũy thừa với số mũ tự nhiên, chẳng
hạn a m bn a m n , ta cần có: 3 4 34 3 4

4

30

Nhưng 30 1 , do đó: 3 4 34 1 . Muốn vậy, phải định nghĩa 3 4

1
.
34

ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng đối tượng đại diện.
Một cách tổng quát, để đảm bảo lũy thừa với số mũ âm cũng có các tính
chất cơ bản của lũy thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa:
a

m

1
, trong đó a là một số thực, còn m là số tự nhiên.
am

iii) Phát biểu một định nghĩa được gợi ý ở bước (ii)
a

m

1
, trong đó a là một số thực, còn m là một số tự nhiên.
am

Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi động hoạt động tự giác,
tích cực của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong
quá trình hình thành khái niệm. Tuy nhiên, con đường này nói chung dài, tốn
nhiều thời gian.
Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:
- Chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do
đó con đường quy nạp không thích hợp;
- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho
con đường suy diễn.
1.2.6. Hoạt động củng cố khái niệm
Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định
nghĩa khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm; khâu này
thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:
Nhận dạng và thể hiện khái niệm,
Hoạt động ngôn ngữ,

SVTH: Trần Thị Nhung

- 23 -

K33A Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học.
a) Nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều hướng
trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng
khái niệm.
Ví dụ 1: (nhận dạnh khái niệm hình chóp đều): Phải chăng mọi hình chóp
có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều?
Ví dụ 2: (thể hiện một khái niệm hình chóp đều): Cho hình lập phương
ABCDA’B’C’D’. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O. Các đường
thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau tại O’. Hãy vẽ hai hình chóp đều có đáy là hình
vuông ABCD.
Khi tập dượt cho học sinh nhận dạng và thể hiện một khái niệm, cần lưu
ý:
Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối
tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó.
Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xét
thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó. Việc đưa ra
những trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang những thuộc tính
nổi bật nhưng không phải là thuộc tính bản chất đói với khái niệm đang xét
vừa giúp học học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm, lại vừa
rèn luyện cho các em khả năng trừu tượng hóa thể hiện ở chỗ biết phân biệt và
tách đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất.
Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm
đang xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản

ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc
hội, còn các thuộc tính thành phần khác đều được thỏa mãn.

SVTH: Trần Thị Nhung

- 24 -

K33A Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ: Theo định nghĩa hàm số, tính chất đặc trưng của khái niệm này có
thể được phân tích thành hội của hai điều kiện đơn p1 và p2 như sau:
- Điều kiện p1 : Với mỗi số thực x X đều tồn tại số thực tương ứng y Y
(điều kiện tồn tại);
- Điề kiện p2 : Với mỗi số thực x X thì số thực tương ứng y Y là duy
nhất (điều kiện duy nhất).
Trên cơ sở đó, có thể đưa ra hai phản ví dụ sau đây:
Phản ví dụ 1: R

R

x a x (vi phạm điều kiện p1 ).

Phản ví dụ 2: N
na

N

một ước của ( vi phạm điều kiện p2 )

Thứ tư, trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai điều
kiện, cần làm rõ cấu trúc này để học sinh nhận dạng khái niệm đó.
Trường hợp tổng quát, khi đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện,
định nghĩa có cấu trúc:
đn

x, x M

A( x)

B1 ( x) B2 ( x) ... Bn ( x)

Bằng cách tương tự, có thể xây thuật toán nhận dạng tương ứng với
trường hợp đặc trưng của khái niệm là một tuyển của n điều kiện:
đn

x, x M

A( x)

B1 ( x) B2 ( x) ... Bn ( x)

b) Hoạt động ngôn ngữ
Cho học sinh hoạt động những hoạt động ngôn ngữ dưới đây vừa có tác
dụng củng cố khái niệm lại vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh,
một nhiệm vụ bao trùm mà tất cả các bộ môn trong nhà trường đều có trách

nhiệm thực hiện:

SVTH: Trần Thị Nhung

- 25 -

K33A Toán