Ứng dụng của phép quay trong bài toán chứng minh trong mặt phẳng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

VŨ THANH HÀ

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH
TRONG MẶT PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình Học

Người hướng dẫn khóa luận:
Th.s: Nguyễn Văn Vạn

HÀ NỘI _2011

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-1-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều

kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt thời gian học tập và
nghiên cứu tại trường. Đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy
Nguyễn Văn Vạn_ người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để em có
thể hoàn thành tốt khóa luận này.

Hà Nội, tháng 4 năm 2011
Sinh viên
Vũ Thanh Hà

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-2-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan bài khóa luận này do bản thân tự nghiên cứu, tóm tắt
và trích dẫn trung thực từ các tài liệu khoa học.
Em xin chân thành cảm ơn
Hà Nội, tháng 4 năm 2011
Sinh viên
Vũ Thanh Hà

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-3-

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………….………………….………………………………..6
PHẦN 1: NỘI DUNG ..................................................................................... 7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ...................................................................... 7
1. Bài 1: Một số khái niệm.......................................................................... 7
1.1. Đường thẳng định hướng ................................................................... 7
1.2. Mặt phẳng định hướng ....................................................................... 7
1.3. Góc định hướng giữa 2 tia ................................................................. 8
1.3.1. Định nghĩa .................................................................................... 8
1.3.2. Hệ thức Salơ ................................................................................. 8
1.4. Góc định hướng giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng: .................... 9
1.5. Đường phân giác:............................................................................. 10
1.5.1. Tia phân giác: ............................................................................. 10
1.5.2. Đường phân giác:........................................................................ 10
2. Bài 2: phép biến hình ............................................................................ 11
2.1. Khái niệm phép biến hình:............................................................... 11
2.1.1. Định nghĩa: ................................................................................. 11
2.1.2. Một số khái niệm liên quan: ....................................................... 11
2.2. Tích của 2 phép biến hình: .............................................................. 11
3. Bài 3: Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng .................................... 12
3.1. Định nghĩa: ...................................................................................... 12
3.2. Tính chất: ......................................................................................... 12
3.3. Biểu thức tọa độ: .............................................................................. 13
3.4. Tích của 2 phép quay: ...................................................................... 13
3.4.1. Định nghĩa: ................................................................................. 13

3.4.2. Cách xác định: ............................................................................ 13
3.5. Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng: ....................... 14
3.5.1. Định lý 1: .................................................................................... 14
3.5.2. Định lý 2: .................................................................................... 14
3.5.3. Định lý 3: .................................................................................... 14
3.5.4. Định lý 4: .................................................................................... 15
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN CHỨNG
MINH TRONG MẶT PHẲNG................................................................. 16
1. Bài toán chứng minh ............................................................................. 16
2. Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay. .............................. 16
3. Bài tập: .................................................................................................. 17
3.1. Dạng 1: Xác định các yếu tố của phép biến hình ............................ 17
3.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức: ............ 18

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-4-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

3.3. Dạng 3 : chứng minh đồng quy, thẳng hàng ................................... 28
3.4. Dạng 4: chứng minh hệ thức lượng ................................................. 34
3.5. Dạng 5: Chứng minh luôn đi qua điểm cố định .............................. 35
PHẦN 2: KẾT LUẬN................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………46

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-5-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là môn khó đối với học sinh.
Bởi hình học có tính chặt chẽ tính logic và trừu tượng cao hơn môn học
khác của toán học.
Trong chương trình toán học ở bậc THPT hiện nay có đưa ra cho học
sinh một công cụ mới để giải toán hình học đó là sử dụng phép biến hình
trong mặt phẳng. Bởi phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng thể
hiện tính ưu việt rõ rệt trong giải toán.
Là một giáo viên phải tùy vào trình độ của họ sinh mà đưa ra bài toán
phù hợp, mà mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng một bài toán. Sử dụng
phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng ta có thể xây dựng và
sáng tạo các bài toán.
Chính vì vậy ở khóa luận này em xin trình bày một phần nhỏ về ứng
dụng của phép quay: ‘‘ứng dụng của phép quay trong bài toán chứng minh
trong mặt phẳng”.
Nhiệm vụ, nghiên cứu
- Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phép quay
- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phép quay để giải
- Xây dựng, sáng tạo bài toán bằng cách sử dụng phép quay.
Phƣơng pháp nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết của phép quay để đưa ra hệ thống bài

tập phù hợp.

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-6-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

PHẦN 1: NỘI DUNG
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị
1. Bài 1: Một số khái niệm
1.1. Đƣờng thẳng định hƣớng

e

o

r

Cho đường thẳng a, 1 điểm O và vectơ đơn vị trên nó e . Khi đó trên a có
r

2 chiều: chiều đi cùng chiều với e gọi là chiều dương, ngược lại gọi là
chiều âm. Khi đó ta nói đường thẳng a đã định hướng gọi là trục .
1.2. Mặt phẳng định hƣớng

o

Trong mặt phẳng cho điểm O tùy ý, xung quanh O có 2 chiều: chiều
ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều
âm. Khi đó ta nói đã định hướng mặt phẳng.

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-7-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

1.3. Góc định hƣớng giữa 2 tia
1.3.1. Định nghĩa

o
y
Trong mặt phẳng định hướng cho 2 tia chung gốc O: Ox, Oy. Góc định
hướng giữa 2 tia Ox và Oy là hình gồm 2 tia Ox và Oy và mội trong hai tập
hợp do 2 tia đó phân hoạch mặt phẳng ra, đồng thời giữa 2 tia Ox và Oy ta
quy ước tia nào là tia gốc ( tia đầu ), tia nào là tia cuối
Kí hiệu (Ox, Oy) hay (Ox,Oy)
Dễ thấy với 2 tia Ox và Oy có 2 góc định hướng tạo bởi 2 tia
Nhận xét: Giá trị của góc định hướng không phải là duy nhất, ta quy ước
giá trị đó âm hay dương là tùy theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương
trong mặt phẳng
Ta gọi

là giá trị đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi

quay tia đầu tới trùng với tia cuối theo góc hình học nhỏ nhất
Nếu
khác là:

là 1 giá trị của góc định hướng giữa 2 tia Ox, Oy thì những giá trị
'

k 2 (k

Z)

1.3.2. Hệ thức Salơ
Trong mặt phẳng định hướng, cho 3 tia chung gốc: Ox, Oy, Oz
Hệ thức Salơ: (Ox, Oy) (Oy, Oz) (Ox, Oz)
Mở rộng cho n tia:

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-8-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Trong mặt phẳng định hướng, chọn n tia chung gốc O:
OA1 , OA2 ,..., OAn .

Hệ thức Salơ:
(OA1 , OA2 ) (OA2 , OA3 ) ... (OAn 1 , OAn )

(OA1 , OAn ) .

1.4. Góc định hƣớng giữa 2 đƣờng thẳng trong mặt phẳng:

a
1

b2

b
o
a
b1

a2

Trong mặt phẳng định hướng cho 2 đường thẳng a và b
Nếu a b

0 thì mỗi đường thẳng bị O chia làm 2 tia và ta định

nghĩa: Góc định hướng giữa 2 đường thẳng a và b là góc định hướng giữa 2
tia ai và bi (i=1,2), kí hiệu (a,b)
Nếu a b

hoặc a b thì (a,b)= k (k Z)

Nhận xét: Nếu
và b thì các giá trị

là 1 giá trị của góc định hướng giữa 2 đường thẳng a

' của nó có dạng:

'

k (k

Z)

Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường
thẳng a1 , a2 ,..., an cắt nhau tại O. Khi đó ta có:
(a1 , a2 ) (a2 , a3 ) ... (an 1 , an ) (a1 , an ) k

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

-9-


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

1.5. Đƣờng phân giác:
1.5.1. Tia phân giác:
Cho 2 tia Ox, Oy trong mặt phẳng (P) đã được định hướng. Tia Oz thuộc
mặt phẳng (P) được gọi là tia phân giác của góc định hướng giữa 2 tia Ox,

Oy nếu:
A

(Ox, Oz ) (Oz, Oy) k 2
(Ox, Oz ) (Oz, Oy ) 2(Oz, Oy ) k 2
(Ox, Oy) 2(Oz, Oy) k 2
1
(Oz , Oy )
(Ox, Oy) k
2

/2

2

1

Nhận xét: Oz1 , Oz2 thẳng hàng
1.5.2. Đường phân giác:
Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho 2 đường thẳng a, b cắt
nhau tại O. Đường thẳng t qua O trong mặt phẳng (P) gọi là đường phân
giác của góc định hướng giữa 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O A
nếu:

(a, t ) (t , b) k
(a, t ) (t , b) 2(t , b) k
(a, b) 2(t , b) k
1
k
(t , b)

( a, b)
2
2

/2

t2

Nhận xét: Ot1 Ot2

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

t1

t

- 10 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

2. Bài 2: phép biến hình
2.1. Khái niệm phép biến hình:
2.1.1. Định nghĩa:
Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng
Một song ánh f: P P từ tập hợp P lên chính nó gọi là phép biến hình
trong mặt phẳng
2.1.2. Một số khái niệm liên quan:

Nếu phép biến hình f biến M thành M’ thì ta kí hiệu M M’ và ta nói
M’ là ảnh của M qua phép biến hình f, kí hiệu f(M) = M’ hoặc M là tạo ảnh
của M’ trong phép biến hình f, kí hiệu M = f

1

(M’)

Điểm M gọi là điểm bất động ( điểm kép, điểm tự ứng ) của phép biến
hình f nếu f(M) = M
Tập tất cả các ảnh của các điểm thuộc hình H qua phép biến hình f tạo
thành hình H’ gọi là ảnh của H qua f, kí hiệu H’ = f(H)
Một hình H P được gọi là hình kép đối với f nếu f(H) = H
Phép biến hình f cho tương ứng mỗi điểm M P thành chính nó gọi là
phép đồng nhất.
2.2. Tích của 2 phép biến hình:
Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp
nhau. Nếu ta dùng 1 phép biến hình f: P P để biến 1 điểm M bất kì của P
thành 1 điểm M’, rồi lại dùng tiếp 1 phép biến hình thứ 2 g: P P để biến
M’ thành M”. Ta có M’= f(M) và M” = f(M’)
Khi đó phép biến hình h biến M thành M” gọi là tích của 2 phép biến
hình f và g và kí hiệu h g0 f . Ta có:
h(M ) ( g0 f )(M )

M " g (M ')

g[f (M )]

Chú ý: Tích g 0 f và f 0 g là 2 phép biến hình nói chung khác nhau.

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 11 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

3. Bài 3: Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng
3.1. Định nghĩa:
M'

Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho 1 điểm O cố định và 1
góc định hướng

. Một phép quay tâm O với góc quay

là 1 phép biến

hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành M’ sao cho
uuuur uuuuur

OM = OM’ và (OM , OM ')
Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay
Ta thường chọn

là Q0 hoặc Q(O;

)

sao cho

Chú ý:
Khi góc quay

hoặc

thì phép quay Q0

là phép

đối xứng tâm O
Khi

k2

thì phép quay Q0 là phép đồng nhất.

3.2. Tính chất:
- Phép quay Q0 là phép dời hình
k 2 , k Z) có 1 điểm bất động duy nhất và là
- Phép quay Q0 (
phép biến đổi 1-1
- Phép quay Q0 biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và
bảo tồn thứ tự của chúng
Chứng minh:

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 12 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Thật vậy theo tính chất 2.1 thì phép quay Q0 là phép dời hình. Do đó
nếu A’, B’, C’ theo thứ tự là ảnh của 3 điểm theo thứ tự thẳng hàng A, B,
C thì A’, B’, C’ thẳng hàng.
Hệ quả: Phép quay Q0 biến:
i, Một đường thẳng d thành đường thẳng d’ và góc định hướng tạo bởi 2
đường thẳng đó bằng
(90 0

( nếu 0 0 <

900 ) hoặc bằng ( 180

0

) nếu

180 0 )

d

d ' khi

900

ii, Biến tia Sx thành tia S’x’ và góc tạo bởi 2 tia đó bằng
iii, Biến đoạn PQ thành đoạn P’Q’ và PQ = P’Q’
iv, Biến góc

xSy thành góc

x ' S ' y ' và

xSy =

x'S ' y'

v, Biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R) (tâm thành tâm)
- Tích của 2 phép quay là 1 phép tịnh tiến hoặc là 1 phép quay.
3.3. Biểu thức tọa độ:
Cho phép quay tâm O (a, b), góc quay
Ta có: x = xcos

- ysin

+a

y = xsin

- ycos

+b

biến M(x, y) thành M’(x’, y’)

3.4. Tích của 2 phép quay:
3.4.1. Định nghĩa:
Tích của 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là 1 phép quay bằng
tổng 2 góc quay của 2 phép quay đã cho hay đặc biệt là 1 phép tịnh tiến nếu
2 phép quay đã cho có các góc đối nhau
3.4.2. Cách xác định:
Nếu Q1 Q0 và Q2 Q0

2

1

1

thì Q3

2

Q2 .Q1 là phép quay tâm O3 , góc quay

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 13 -

3

2

1

k2


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

3.5. Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng:
3.5.1. Định lý 1:
Phép đẳng cự trong En (n 2,3) sẽ được phân tích thành tích không quá
(n+1) phép đối xứng qua siêu phẳng
Hệ quả 1: phép phản chiếu trong E 2 có điểm bất động là phép đối xứng trục
Hệ quả 2: Trong E2 tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến giao hoán
được khi và chỉ khi giá của vectơ tịnh tiến và trục đối xứng song song nhau
và phép biến hình tích được gọi là phép đối xứng trượt
3.5.2. Định lý 2:
Phép dời hình trong E2 (còn gọi là phép đẳng cự loại I) không phải phép
đồng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép quay hoặc một
phép tịnh tiến.
3.5.3. Định lý 3:
Trong không gian En (n

2,3) . Tích của 1 phép tịnh tiến và 1 phép đối

xứng qua siêu phẳng có vectơ tịnh tiến vuông góc với siêu phẳng đối xứng
là 1 phép đối xứng qua siêu phẳng
Ta chứng minh trong E2
Giả sử Tar

T , Sd

r
trong E2 sao cho a

S là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đã cho

d

Xét d ' Tar (d ) . Theo định lý: Tích của 2 phép đối xứng qua siêu phẳng có
2

siêu phẳng đối xứng song song nhau là 1 phép tịnh tiến nên Sd .Sd '

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 14 -

Tar


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Ta suy ra T .S Tar .Sd = Sd ' .Sd .Sd = S d '
3.5.4. Định lý 4:
Phép phản chiếu trong E 2 (đẳng cự loại II) được biểu diễn duy nhất dưới
dạng một phép đối xứng trượt.
Dạng chính tắc của tích hai phép đẳng cự trong E 2

Các phép đẳng cự trong E2 :
- Đối xứng trục: Đ d
- Đối xứng tâm: ĐO
- Tịnh tiến: Ta
- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng: Q(O;α)
Định lý 1: Tích của hai phép đối xứng trục Đd , Đd2 với d1 // d 2 trong E 2 là
1

một phép tịnh tiến Tv trong đó v có phương vuông góc với với 2 trục d1 , d 2 ,
có hướng từ d 1 sang d 2 , có độ dài bằng 2 lần khoảng cách giữa d1 , d 2 . Kí
hiệu: Tv = Đd1 . Đd2
Định lý 2: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục d1 , d 2 cắt
nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O, góc quay α = 2( d1 , d 2 ). Kí
hiệu: Q(O; α)= Đd2 . Đd1
Định lý 3: Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc α là một phép
quay góc α
Định lý 4: Tích của hai phép quay có tâm quay khác nhau là một phép quay
với góc quay bằng tổng hai góc quay của hai phép quay đã cho, đặc biệt là
một phép tịnh tiến nếu hai góc quay là đối nhau.
Trên đây là một số kiến thức liên quan và tư tưởng chung của việc vận
dụng phép quay vào giải quyết các bài toán chứng minh trong hình học
phẳng. Trên cơ sở tư tưởng đó, tôi đi vào minh họa việc ứng dụng phép quay
vào việc giải các bài toán chứng minh của hình học phẳng.

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 15 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Chƣơng 2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN
CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG
1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh có dạng A

B , trong đó

A: là giả thiết (các yếu tố đã cho) như điểm, đường thẳng,…, những
quan hệ đã biết (song song hoặc vuông góc), những yếu tố về lượng: độ
dài, đoạn thẳng, độ dài bằng nhau, độ lớn của góc.
B: là kết luận, cần khẳng định và ta cần đi từ A suy ra B bằng những suy
luận hợp logic trên cơ sở định nghĩa, định lý và từ các giả thiết đã cho.
2. Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay.
Giải một bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay gồm có 3 bước sau:
- Lựa chọn phép quay ( với tâm và góc quay ) thích hợp
- Thực hiện phép quay
- Rút ra kết luận của bài toán
Ứng dụng của phép quay vào giải bào toán chứng minh là ta phải tìm được
phép quay f thích hợp và làm theo các bước trên. Nhưng ở đây ta có thể thay
cả bài toán hoặc một bộ phận bài toán bằng một bài toán khác dựa trên công
cụ phép biến hình
Sau đây là một số trường hợp có thể vận dụng:
- Dùng trực tiếp định nghĩa và tính chất của phép quay để suy ra kết quả
- Có thể chuyển một bộ phận của bài toán (A) sang (A’), nếu (A’) đúng
thì bộ phận tương ứng (A) đúng
- Có thể chuyển cả bài toán (B) sang (B’) qua phép quay, nếu (B’) đúng
thì (B) đúng

- Trong khi chuyển (A) sang (A’), nếu ở (A’) lại dùng tiếp phép biến
hình để giải nó thì thực chất đã sử dụng tích của hai phép biến hình.

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 16 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

3. Bài tập:
3.1. Dạng 1: Xác định các yếu tố của phép biến hình
Phương pháp: Phép biến hình gồm 3 yếu tố chính là: ảnh, tạo ảnh và quy
tắc f
Bài toán cho 2 trong 3 yếu tố trên, tìm yếu tố còn lại. Đây là dạng toán
cơ bản của học sinh phổ thông. Giải tập này bằng cách sử dụng định nghĩa
hoặc sử dụng biểu thức tọa độ của các phép biến hình.
Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD tâm O, vẽ hình vuông AOBE
Xác định ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay QA với
( AO, AD)
D

O'

A

O

E
E'

B'

C

B

=( AO,AD)= 450 =(AB, AO) vì ABOE là

Vì ABCD là hình vuông nên
0

hình vuông nên QA 45 : E

Vậy hình vuông AOBE

E ’ với E’

AB / AE = AE’

A

A

B

B, với B’

AC / AB = AB’

O

O’, với O’

AD / AO = AO’
0

hình vuông AO’B’E’qua phép QA 45

Bài toán 2:Cho 2 đoạn AB, CD bằng nhau và không song song với
uuur
uuur
nhau. Xác định phép quay biến AB thành CD
Gọi phép quay cần xác định là Qo

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 17 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

uuur
Q
Ta có o : AB

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

uuur
CD

=> O nằm trên trung trực của AC và BD hay O là giao điểm của hai
đường trung trực đó
Khi đó

=

AOC , gọi I = AB I CD

Xét phép quay Qo :
Do đó

BAO =

BAC

ICO

A,O,I,C cùng thuộc một cung tròn

DCO

Vậy phép quay xác định như sau
+ Tâm quay O :
+ Nằm trên trung trực của AC ,BD
+ Nằm trên đường tròn qua (ACI) và ( BDI) Góc

=

AOC

3.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức:
Bài toán 1:Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng các tam
giác đều ABD, BCE sao cho D, E nằm cùng phía với đường thẳng BD. M,
N là trung điểm của AE, DC. Chứng minh tam giác BMN đều.
Giải:
D

E
N
M

A

B

Xét phép quay:

QB

600

:A a D
Ea C

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 18 -

C


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

đoạn AE biến thành đoạn DC qua phép quay QB

600

trung điểm M của AE biến thành trung điểm N của DC
Như vậy QB

600

:M a N
Ba B

Theo định nghĩa phép quay thì BM = BN và

MBN = 600

Vậy tam giác BMN là tam giác đều
Khai thác:
1, Cho B ‘‘ tách’’ khỏi đoạn AC thì kết quả bài toán còn đúng hay không
?
Phát biểu: cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ta dựng 2 tam
giác đều ABD và BCE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC thì

khi đó tam giác BMN là tam giác đều
Chứng minh: giống VD3
2, thay tam giác đều bằng tứ giác đều
Phát biểu: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Dựng các hình vuông ABPQ,
BCRS về cùng một phía đối với AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AS, CP. Chứng minh tam giác BMN vuông cân
Giải:
Q

P

S

N

R

M

A
B

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 19 -

C


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Xét phép quay:

QB

900

:A a P
Sa C

đoạn AS biến thành đoạn PC
trung điểm M của AS biến thành trung điểm N của đoạn PC
Vậy phép quay QB

900

:M a N
Ba B
MBN = 900

theo định nghĩa phép quay thì BM = BN và
tam giác BMN vuông cân tại B

Bài toán 2: cho hình vuông ABCD. Một đường thẳng d cắt các đường
thẳng AB và CD tương ứng tại các điểm M, N. Một đường thẳng d’ vuông
góc với d, cắt các đường thẳng AD, BC tương ứng tại các điểm P, Q.
Chứng minh MN = PQ
Giải:

d
A

M

B
d'
N'
Q

M'
P
O

D

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

N

- 20 -

C


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
Xét phép quay:
o

QO 90 : B a A
Aa D
đường thẳng BA biến thành đường thẳng AD
M

BA có ảnh là điểm M’
o

90
Vậy QO (M) = M’

AD sao cho OM

OM’ tại O

(1)

o

90
Và QO : D a C

Ca B
đường thẳng DC biến thành đường thẳng CB
N

DC có ảnh là điểm N’
o

90
Vậy QO (N) = N’

CB sao cho ON

ON’ tại O

(2)

Theo tính chất phép quay thì từ (1), (2)
Mặt khác theo giả thiết MN

MN = M’N’, MN

PQ
A

PQ // M’N’ hoặc PQ

M’N’
M

B

M’N’

Vậy trong bất kì trường hợp nào thì MN =

PQ

Q
I
P

Khai thác: Từ bài toán trên ta thấy
Tứ giác AMIP nội tiếp ( O1 ;

PM
)
2

Tứ giác IQCN nội tiếp ( O2 ;

QN
)
2

D

N

C

Vậy ta có bài toán ngược sau:
‘‘ cho hình vuông ABCD, I là một điểm trong hình vuông. Qua I kẻ các
đường thẳng cắt các cạnh AD, CB tại P, Q. Gọi M là giao điểm thứ 2 của

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 21 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

(IPA) với AB. N là giao điểm thứ 2 của (IQC) với CD. Chứng minh rằng
MN

PQ và MN = PQ.’’

Chứng minh:
A

M

B

I

Q

O1

P

O2

D

C

N

+ Ta có ABCD là hình vuông nên

MAP

900

PM là đường kính của ( O1 )
Tương tự

INQ

900

M ,N, I thẳng hàng và MN

PQ

+ chứng minh tương tự ví dụ ta có MN = PQ
Nhận thấy (IAP) là ( O1 ) , (IQC) là ( O2 ) có chung giao điểm là I
Bài toán 3: Cho hai tam giác vuông cân OAB, OA’B’ tại O sao cho O
nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn A’B. Gọi G, G’ lần lượt là trọng
tâm của tam giác OAA’, OBB’. Chứng minh tam giác GOG’ vuông cân.

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 22 -


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

B
A'

G
G'
B'

A

O

Giải:
Xét phép quay:
0

Q090 : A a B

A’ a B’
Oa O
tam giác OAA’ biến thành tam giác OBB’
trọng tâm G của tam giác OAA’ biến thành trọng tâm G’ của tam
giác OBB’

0

Vậy Q090 : G’ a G
Oa O
theo định nghĩa phép quay thì OG’ = OG và

GOG’ = 90 0

tam giác GOG’ vuông cân tại O
Khai thác: Nếu ta thay tam giác vuông bởi các hình vuông thì bài toán
được phát biểu như sau:
‘‘ Cho 3 điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C; B nằm giữa A và C. Dựng
cùng về một nửa mặt phẳng bờ AC các hình vuông ABMN, BCPQ
a, chứng minh rằng: CM = AQ và CM

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 23 -

AQ


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

b, gọi E, F lần lượt là trung điểm của CM, AQ. Chứng minh tam giác
BEF vuông cân
Giải: chứng minh giống phần khai thác ví dụ 3
Bài toán 4: Cho một điểm M chuyển động trên một nửa đường tròn tâm

O bán kính AB = 2R. Dựng ra ngoài tam giác AMB một hình vuông
MBCD. Hãy tìm quỹ tích đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn nói trên.
Trên tia Bx vuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường tròn,
ta lấy điểm O’ sao cho BO’ = BO. Chứng minh OM

O’C.

X

D

M
O'

Q
A

O

B

Giải:
+Theo giả thiết MBCD là hình vuông nên BM = BC và
Vậy với phép quay QB

900

MBC= 900

:M a C

Do đó khi M chuyển động trên (O;R) thì C nằm trên đường tròn đường
kính A’B với A’ là ảnh của A qua phép quay QB
ABA’ = 900
+ qua phép quay: QB

900

:M a C
O a O’

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 24 -

900

tức là BA = BA’ và


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD:NGUYỄN VĂN VẠN

Bài toán 5: Cho lục giác đều ABCDEF
a, Gọi K là trung điểm của đường chéo BD, N là trung điểm của EF. Chứng
minh ANK là tam giác đều.
b, Gọi M và H lần lượt là trung điểm của CD và DE, L là giao điểm của AM
và BH. Chứng minh S ABL S MDHL
Giải:

C

B
K

M

L

A

D
H

F

N

a, Chứng minh ANK là tam giác đều.
Vì ABCDEF là lục giác đều nên AC = AE,
Xét QA

600

E
CAE = 60 0

:O F
C E

OC FE
Vì K, N tương ứng là trung điểm của OC, FE nên K N
Do vậy ta có AK = AN, KAN = 60 0
AKN là tam giác đều
b, Chứng minh S ABL S MDHL
Ta có COD = DOE và 2 tam giác là 2 tam giác đều
OM = OH và MOH = 60 0
Xét phép quay QO

tứ giác ABCM

600

:A B
B C
C D
M H
tứ giác BCDH

SVTH:VŨ THANH HÀ_K33A SP TOÁN

- 25 -