Vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng

PHẦN A
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói rằng Đại Số Tuyến Tính là một môn học khá quan trọng đối
với mỗi sinh viên ngành Toán. Nó được coi là môn cơ sở cho tất cả các môn
Toán mà sinh viên được học. Trong đó ma trận và các bài toán liên quan đến
ma trận là phần kiến thức cơ bản nhất, gây được nhiều hứng thú nhất trong
nội dung môn học này. Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận và chéo
hóa ma trận là một trong những những vấn đề như thế. Do đó em muốn đi sâu
vào tìm hiểu vấn đề này. Được sự hướng dẫn tận tình của Th.s Nguyễn Văn
Vạn cùng với lòng yêu thích môn học này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề
tài: “Vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu chính của đề tài mà em chọn là ứng dụng của chéo hóa ma
trận.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp chéo hóa và các ứng dụng của chéo hóa
ma trận.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Trong đề tài này em xây dựng xung quanh các vấn đề về chéo hóa ma
trận. Theo đó, em đưa ra các ứng dụng của chéo hóa ma trận.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa,
tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

1


PHẦN B
NỘI DUNG

CHƢƠNG

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Không gian vectơ
1.1.1 Định nghĩa
Cho

là một tập khác rỗng , trên

xác định 2 phép toán:

a) phép cộng:

b) phép nhân:
( _trường)
Nếu 2 phép toán thỏa mãn 8 điều kiện sau:
(V1)
(V2

.

(V3
-phần tử đối)

(V4)
(V5
(V6
(V7)
(V8

thì (

lập thành một không gian vectơ trên trường

gian vectơ

(gọi tắt là không gian vectơ ).

Các phần tử của

gọi là các vectơ. Các phần tử của

gọi là

không

gọi là các vô hướng.

Phép cộng “+” gọi là phép cộng vectơ. Phép nhân “.” gọi là phép nhân vectơ
với vô hướng.
2


Khi

thì

được gọi là không gian vectơ thực. Khi

thì

được

gọi là không gian vectơ phức.
Ví dụ:
a) Tập các vectơ tự do cùng với phép toán cộng 2 vectơ và nhân vectơ với 1
số thực là một không gian vectơ thực.
b) Tập các đa thức

) cũng lập thành 1 không gian vectơ trên trường

với

phép toán cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thuộc trường
1.1.2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
1.1.2.1. Định nghĩa (độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính)
Trong không gian vectơ
a) Hệ vectơ (

được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

chỉ xảy ra khi
b) Hệ vectơ (

là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó không độc lập

tuyến tính.
1.1.2.2. Ví dụ:
Trong không gian vectơ thực

Hệ

Hệ (

(

)

độc

cho hệ 3 vectơ:

lập

) phụ thuộc tuyến tính vì

1.1.3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
1.1.3.1. Định nghĩa
3

tuyến

tính

vì


a) Một hệ vectơ của

được gọi là 1 hệ sinh của

nếu mọi vectơ của

đều

nếu mọi vectơ của

đều

biểu thị tuyến tính được qua hệ này.
b) Một hệ vectơ của

được gọi là 1 cơ sở của

biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Như vậy mỗi cơ sở là 1 hệ sinh.
1.1.3.2. Định lý
Cho hệ hữu hạn vectơ (

của không gian vectơ

. Khi đó các

mệnh đề sau là tương đương:
a)

(

,…,

b)

(

,…,

là 1 cơ sở của
) là 1 hệ sinh độc lập

tuyến tính của
c)

(

là 1 hệ vectơ độc lập

tuyến tính tối đại của
1.1.3.3. Định nghĩa
Không gian vectơ

được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có 1 hệ sinh gồm

hữu hạn phần tử. Số vectơ trong mỗi cơ sở cuả
{ } được gọi là số chiều của

sinh

trên trường

không gian vectơ hữu hạn

và kí hiệu là

hay

.
{ } ta qui ước

Nếu
Nếu

.

không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không

gian vô hạn chiều.
1.1.3.4. Ví dụ
a) Cho

(0,0,0,…,1) trong

,

Khi đó {

là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên của
.
4

.
) và

b) Trường số phức

là một

Đồng thời

không gian vectơ với cơ sở {1,i}

là 1

Do đó

không gian vectơ với cơ sở {1}

. Tổng quát

.

1.2. Ma trận
1.2.1. Định nghĩa
là 1 trường tùy ý. Một bảng m.n phần tử

Cho

thuộc trường

có

dạng:
(1)
được gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi

được gọi là 1 phần tử của ma

) được gọi là dòng thứ i của ma trận.

trận. Vectơ dòng (

được gọi là cột thứ j của ma trận.

Vectơ cột

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B.…Ma trận (1) có thể được kí
hiệu đơn giản bởi:
Khi m

(

n thì ma trận

được kí hiệu đơn giản là

. Ta cũng nói A là ma trận có m dòng, n cột.
được gọi là ma trận vuông cấp n và

(
.

Tập tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường
hiệu là Mat(m

được kí

.

1.2.2. Định nghĩa
Cho
và

(

là 2 ma trận cùng thuộc Mat(

.
Ta gọi là tổng của 2 ma trận A và B một ma trận

bởi:
5

xác định


và kí hiệu là

.

Ta gọi là tích của ma trận với vô hướng

mọi ma trận

xác

định bởi:

và kí hiệu là
Như vậy:

(

.

1.2.3. Định nghĩa (Tích của 2 ma trận)
Cho ma trận

và

.

Ta gọi là tích của ma trận A với ma trận B một ma trận C

)

mà phần tử được xác định bởi:

và kí hiệu là
1.2.4. Ma trận khả nghịch
Định nghĩa:
Ta gọi ma trận vuông

là ma trận khả nghịch (hay là

ma trận vuông không suy biến), nếu có ma trận vuông
sao cho

.

Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu

. Nếu A là

ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo cuả nó là duy nhất.
1.2.5. Ma trận chuyển
Định nghĩa:
Cho (e)

{

và

là 2 cơ sở cuả không gian

vectơ n chiều V.Ta gọi ma trận vuông cấp n
định bởi:
6

trong đó

được xác

là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở (
Gọi

và

với cơ sở (e) và cơ sở (
(

lần lượt là các cột toạ độ của vectơ

lần lượt đối

thì ta có công thức đổi toạ độ từ cơ sở (e) sang cơ sở

viết dưới dạng ma trận là :

7


2.6. Ma trận đồng dạng
Định nghĩa:
. Ta nói A, B là 2 ma trận đồng dạng

Cho 2 ma trận A, B
nếu tồn tại một ma trận C

là ma trận khả nghịch sao cho

Kí hiệu: A
2.7. Ma trận chuyển vị
Định nghĩa:
Ta gọi ma trận

là ma trận chuyển vị của ma trận A nếu các dòng của ma

trận A là các cột của ma trận

. Tức là:

Ta có : (

(
Ví dụ:

2.8. Ma trận chéo
Định nghĩa:
Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử không nằm trên
đường chéo chính bằng 0 nghĩa là

.

8


Ví dụ:
Ma trận A

là ma trận chéo.

2.9. Ma trận đơn vị.
Định nghĩa:
Ma trận I
Trong đó các phần tử chéo bằng 1, các phần tử khác bằng 0 gọi là ma trận đơn
vị cấp n.
Đặc điểm của ma trận đơn vị I là:

,

.

Ví dụ:
là các ma trận đơn vị.

,

1.3. Phép thế và dấu của phép thế.
1.3.1. Định nghĩa
Ta gọi mỗi song ánh từ tập

lên chính nó là 1 phép thế bậc n.

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập thành một
nhóm kí hiệu là

. Ta gọi nhóm này là nhóm đối xứng bậc n. Nó có

tử.
Với mỗi

ta thường viết:

9

phần


Ví dụ :
X = {1;2;3} thì

(phần tử)

1.3.2. Định nghĩa
Với

ta gọi cặp {

sao cho
là nghịch thế

Ta bảo phép thế

là 1 phép thế chẵn hay lẻ tuỳ theo số nghịch thế của nó là

chẵn hay lẻ.

Trong đó

là dấu của phép thế .

Ví dụ: Phép thế

có 1 nghịch thế (1; 2) cho nên

.

1.4. Định thức
1.4.1. Định nghĩa
Cho ma trận

trên trường

Định thức của ma trận A vuông là 1 phần tử trên trường
xác định như sau:

10

được kí hiệu là


được gọi là định thức cấp n.
Mỗi hạng tử của định thức cấp n là 1 tích của n thành phần cùng với một dấu
xác định, trong mỗi tích không có 2 thành phần nào cùng dòng hay cùng cột.
Ví dụ:
a) Định thức cấp một:
b) Định thức cấp hai:
c) Định thức cấp ba:

4.2. Các tính chất của định thức

Tính chất 1: Nếu

thì ta có

trong đó:

và

Tính chất 2: Nếu các thành phần của một cột có thừa số chung
đưa

ra ngoài dấu định thức.

11

thì có thể


Tính chất 3: Nếu định thức có hai cột giống nhau thì nó bằng 0.
Tính chất 4: Định thức của ma trận đơn vị bằng 1.

1.5. Vectơ riêng và giá trị riêng
1.5.1. Định nghĩa
là 1 tự đồng cấu của

Cho :
. Ta bảo

và

là 1 không gian vectơ con của

là không gian con bất biến đối với

bất biến) nếu

(hay 1 không gian con

.

Ví dụ:
Với tự đồng cấu

bất kì, các không gian sau đây đều là

bất

biến: {
1.5.2. Định nghĩa (Vectơ riêng và giá trị riêng)
Giả sử
vectơ

là một tự đồng cấu của
của

giá trị riêng còn

và vô hướng

sao cho

được gọi là vectơ riêng của

Nhận xét : Nếu
thì

- không gian vectơ

là 1 vectơ riêng của

thì

. Nếu có

được gọi là 1

ứng với giá trị riêng .
ứng với giá trị riêng

trừ phần tử

1.5.3. Định nghĩa (Đa thức đặc trƣng)
Giả sử
vectơ

là một giá trị riêng của tự đồng cấu
gồm vectơ

Khi đó không gian

và tất cả các vectơ riêng của

12

ứng với


giá trị riêng

được gọi là không gian con riêng của

và được ki hiệu là
Giả sử
trong

ứng với giá trị riêng

.
và

có ma trận là

đối với 1 cơ sở nào đó

. Khi đó đối với cơ sở này, đồng cấu

có ma trận là

.
Khiđó:

Như vậy

là đa thức bậc n của .
Thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f

Bước 1: Tìm ma trận của tự đồng cấu

trong 1 cơ sở nào đó.

Bước 2: Lập đa thức bậc n đặc trưng

của ma trận A.

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n của ẩn

Bước 4: Với mỗi nghiệm

tìm được ở phương trình đa thức đặc trưng trên ta

giải hệ phương trình thuần nhất tuyến tính là:

Ứng với mỗi nghiệm không tầm thường (
là 1 vectơ riêng của

của hệ này ta có
ứng với giá trị riêng .

Ví dụ: Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu

13

có ma trận


Giải
Xét phương trình đa thức đặc trưng

=0

Ứng với giá trị riêng

ta giải hệ phương trình:

với
Vậy các vectơ riêng

) với

ứng với giá trị riêng

là các vectơ riêng của

.

Ứng với giá trị riêng

, ta giải hệ phương trình:

với

Vậy các vectơ
với giá trị riêng

với

là các vectơ riêng của

ứng

.

1.6. Chéo hóa ma trận
1.6.1. Định nghĩa
Tự đồng cấu

của

không gian vectơ hữu hạn chiều

chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở của
của .

14

được gọi là

gồm toàn những vectơ riêng


Hay

chéo hóa được nếu có một cơ sở của

mà ma trận của

đối với

cơ sở đó là ma trận chéo.
Giả sử A là ma trận của
ta suy ra rằng

trong một cơ sở nào đó của . Từ định nghĩa

chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận

C

không

suy

biến

(det

C

và
Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) để

là ma trận chéo

gọi là việc chéo hóa ma trận.
Nhận xét:

chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận A của

đồng dạng với ma

trận chéo.
1.6.2. Định nghĩa
Ma trận A

đồng dạng với ma trận chéo
thì A được gọi là ma trận chéo hoá được.

B

là ma trận chéo hóa được.

Ví dụ: A

Nếu A chéo hoá được thì mọi ma trận đồng dạng với A cũng chéo hoá được.
Việc tìm 1 cơ sở (nếu có) của

gồm toàn những vectơ riêng của

gọi là việc

chéo hoá tự đồng cấu .

1.6.3. Định lý
Giả sử

là những vectơ riêng của tự đồng cấu

với những giá trị riêng đôi một khác nhau
độc lập tuyến tính.

vectơ
Chứng minh:

Định lí được chứng minh quy nạp theo m.
15

ứng
. Khi đó hệ


Với m =1, vectơ riêng

nên hệ gồm một vectơ {

độc lập tuyến tính.

Giả sử quy nạp rằng định lý đã được khẳng định đối với 1 hệ gồm
ứng với m giá trị riêng đôi một khác

vectơ. Xét hệ vectơ riêng
nhau

.

Nếu

có

thì

Nhân đẳng thức đầu với

rồi cộng vào đẳng thức cuối cùng này ta được:

độc lập tuyến tính cho nên ta có:

Theo giả thiết quy nạp, hệ

Do

. Thay các giá trị

này vào đẳng thức đầu tiên ta có
Tóm lại

. Vì

nên

.

độc lập tuyến tính.

. Chứng tỏ hệ

1.6.4. Hệ quả (Điều kiện cần)
a) Nếu
nhau thì

và tự đồng cấu

có n giá trị riêng đôi một khác

chéo hoá được.

b) Nếu ma trận

có n giá trị riêng đôi một khác nhau trong

thì A chéo hoá được.
1.6.5. Định lý
Giả sử
có tính chất

là 1 tự đồng cấu của
Thế thì

không gian vectơ hữu hạn chiều

chéo hoá được.

Chứng minh

16


Đặt

và

Ta sẽ chứng minh rằng
lên . Trước hết, ta thấy ngay rằng

chính là phép chiếu từ

Vì
để

có

nên

đều là

Mặt khác

Khi đó ta có

. Khi đó ta có

nên
. Vì

))

Vì

Kết hợp hai sự kiện trên ta có

nên

nên

)

. Vậy

ta đều có

Với mỗi

và

bất biến đối với .

những không gian con của
Giả sử

và

.
trong đó

. Đó là vì

còn

)

Do vậy mà ta có

.

.

.
. Trong chứng minh phần trên ta đã chỉ ra

Lấy {

là 1 cơ sở của

rằng

. Vì thế các vectơ

đều là vectơ riêng của

ứng với

đều là các vectơ riêng của

ứng với

giá trị riêng bằng 1.
Giả sử {
Vì

là cơ sở của
nên các vectơ

giá trị riêng bằng 0.
Do

cho nên {

gồm toàn vectơ riêng của

là 1 cơ sở của . Cơ sở này
cho nên

chéo hóa được.

1.6.6. Định lý (Điều kiện cần và đủ để tự đồng cấu chéo hoá đƣợc)
Cho
thì

là một

không gian vectơ n chiều và

là 1 tự đồng cấu của

chéo hóa được khi và chỉ khi 2 điều kiện sau đây được thoả mãn:

a) Đa thức đặc trưng của

phân tích được.

17


Trong đó

là các vô hướng đôi một khác nhau trong .
; ở đây

là bội của

xem như là

nghiệm của đa thức đặc trưng
Chứng minh
Giả sử

chéo hóa được. Khi đó ta có thể tìm được 1 cơ sở của

đối với ma trận này

có dạng ma trận chéo là D với

đường chéo bằng

phần tử nằm trên

phần tử nằm trên đường chéo bằng

, trong đó

đôi một khác nhau. Do đó:

và các

Nhận xét rằng ma trận
đường chéo bằng

sao cho

là một ma trận chéo với

phần tử nằm trên

, các phần tử còn lại bằng

với

nào đó.
Cho nên ta có

với

.

Ngược lại, giả sử các điều kiện a) và b) được thoả mãn.
Xét không gian con riêng của
,

ứng với giá trị riêng

là

.

Ta có
Mà theo định lý các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng đôi một khác nhau
thì lập thành 1 hệ vectơ độc lập tuyến tính, cho nên:

Mặt khác,

nên ta có

18


với mỗi

ta lấy {

là 1 cơ sở của

này với nhau ta sẽ nhận được 1 cơ sở của
. Vậy

rồi gộp tất cả các cơ sở

gồm toàn những vectơ riêng của

chéo hóa được.

1.6.7. Định lý (Điều kiện cần và đủ để 1 ma trận chéo hoá đƣợc)
Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là A có n vectơ riêng độc lập
tuyến tính. Khi đó C là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc
sang cơ sở gồm n vectơ riêng

của

của A.

Chứng minh
A chéo hóa được tức là A đồng dạng với ma trận chéo B có dạng

Nghĩa là tồn tại ma trận không suy biến C sao cho
Kí hiệu

trong đó

hay

) là các vectơ cột của C. Theo

định nghĩa phép nhân 2 ma trận ta có ma trận tích
và ma trận tích

Từ

.
là các giá trị riêng của

tương ứng với các giá trị riêng
Vì

các giá trị riêng là
Xây dựng ma trận

là các vectơ riêng

và

.

khả nghịch nên các vectơ cột

Ngược lại, giả sử

sẽ có các cột là

sẽ có các cột là

ta có

Do vậy

.

độc lập tuyến tính.

có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

tương ứng với

.
với các cột là các vectơ

Khi đó các cột của ma trận tích

là

19

nghĩa là

].


Do đó

Trong đó

là ma trận chéo với các giá trị riêng

nằm trên đường

chéo chính.

Vì những vectơ cột của ma trận cột

độc lập tuyến tính nên

là ma trận khả

nghịch.
Từ

.
Hay

chéo hoá được.
Từ định lý trên ta rút ra quy tắc để chéo hoá 1 ma trận A

cho trước như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm đặc trưng của ma trận A và các vectơ riêng tương ứng.
Bước 2: Nếu mọi vectơ riêng A đều phụ thuộc tuyến tính thì A không đồng
dạng với ma trận chéo. Ngược laị nếu tìm được n vectơ riêng độc lập tuyến
tính thì ta lập được ma trận

ở đây

là các vectơ cột

của C.
Bước 3: Khi đó ma trận

sẽ là ma trận chéo với

trị riêng và chúng sẽ là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ví dụ 1:
Hãy chéo hóa ma trận A

Giải
20

là các giá


Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

Vì A có 3 giá trị riêng phân biệt
Ứng với

A chéo hóa được.
ta có hệ phương trình

trong đó

Vectơ riêng

Ứng

với

ta

có

là cơ sở của f.

hệ

phương

trình:

Vectơ riêng

Ứng với

ta có hệ:

Vectơ riêng

3 vectơ riêng

tương ứng với 3 giá trị riêng phân biệt chúng độc lập

tuyến tính.
Mà

nên (

lập thành 1 cơ sở của

21

Vậy

Ví dụ 2: Cho ma trận

. Hãy chéo hóa ma trận A
Giải

Xét phương trình đa thức đặc trưng:

+ Nếu A là ma trận thực thì A chỉ có 1 giá trị riêng

nên A không chéo

hóa được.
+ Nếu A là ma trận phức thì A có 3 giá trị riêng phân biệt là

chéo hóa được.
Với

ta có:

Xét hệ phương trình:

Vectơ riêng

Với

ta xét hệ phương trình:

22

Vectơ riêng

Với
Xét hệ:
vectơ riêng

Vậy
1.6.8. Chéo hóa trực giao
1.6.8.1. Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu

trong đó

là ma trận chuyển vị của A hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một
hệ trực chuẩn trong

.

Ví dụ:
Xét ma trận
Khi đó

23


Vậy A là ma trận trực giao.
Nhận xét: Nếu A là ma trận trực
giao thì A khả nghịch và

1.6.8.2. Định nghĩa
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận trực giao C sao cho
là ma trận chéo thì A gọi là chéo hóa trực giao được và C gọi là ma
trận làm chéo hoá trực giao A.
1.6.8.3. Định lý
Ma trận vuông A làm chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A có n vectơ
riêng trực chuẩn.
Chứng minh
Giả sử ma trận A làm chéo hoá trực giao được và tồn tại ma trận trực giao
C sao cho

, trong đó B là ma trận chéo mà n vectơ cột của C là

các vectơ riêng của A. Mặt khác C là ma trận trực giao nên theo định nghĩa
các vectơ cột của C là hệ trực chuẩn.
Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng trực chuẩn
] là ma trận vuông gồm các vectơ cột là
Ma trận

kí hiệu
.

là 1 ma trận chéo. Do các vectơ của C là n vectơ trực chuẩn

nên C là ma trận trực giao. Khi đó ma trận A làm chéo hoá trực giao được.
Thuật toán tìm ma trận trực giao C
làm chéo hóa A
Bước 1: Lập đa thức đặc trưng và giải phương trình đặc trưng để tìm giá trị
riêng.
Bước 2: Tìm cơ sở gồm toàn những vectơ riêng ứng với giá trị riêng

ở bước 1.
Bước 3: Trực giao hóa, trực chuẩn hóa cơ sở tìm được ở bước 2.

24

đã tìm


Bước 4: Ma trận C tìm được là ma trận mà các cột tọa độ của nó là tọa độ của
các vectơ cơ sở đã trực chuẩn ở bước 3.
Gọi ma trận

trong đó

. Khi đó B là ma trận có dạng chéo:

là các giá trị riêng của A và

.

Ví dụ:
Cho ma trận:
.
Hãy tìm 1 ma trận trực giao C để

có dạng chéo.
Giải

Xét phương trình đa thức đặc trưng:

Vậy A có 2 giá trị riêng
Với

, ta có

.

là không gian nghiệm của hệ phương trình:

Gọi
Với

, ta có

(1;1;1)

là không gian nghiệm của hệ phương trình:

25