Kỳ dị trong lý thyết trường và bậc phân kỳ của các giản đồ

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật
từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Vật lý học nghiên cứu cấu trúc, tính
chất của vật chất thông qua các quy luật, định lý… Cùng với sự phát triển của
loài người, vật lý học đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được những
thành tựu đáng kể.
Vật lý hạt cơ bản nghiên cứu về các hạt nhỏ nhất tạo nên vật chất và
tương tác giữa chúng. Trong đó, lý thuyết trường là công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu thế giới siêu nhỏ “hạt cơ bản”. Trong hơn 30 năm qua, tất cả
những thí nghiệm trên các máy gia tốc năng lượng cao đã chứng tỏ điều này.
Trong lý thuyết trường có một số vấn đề, mấu chốt chính là quan niệm
hạt điểm - không có kích thước cũng như thể tích. Trong lí thuyết cổ điển,
khái niệm hạt điểm cũng dẫn đến những đại lượng phân kì như khối lượng
riêng ρ = m/V… Hiện nay chúng ta chưa có công cụ toán học thích hợp cho
các hạt có kích thước, và phải cố gắng theo chiều hướng này đều không mang
lại kết quả. Vì vậy ta phải chấp nhận kì dị trong vật lý hạt cơ bản. Để có thể
tìm hiểu rõ nguyên nhân tại sao trong lý thuyết trường chúng ta luôn phải làm
việc với các phân kỳ và tính giản đồ Feynman phân kỳ, tôi đã đi đến lựa chọn
nghiên cứu đề tài “Kỳ dị trong lý thuyết trường và bậc phân kỳ của các giản
đồ” trong khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các kỳ dị trong lý thuyết trường và các phương pháp chỉnh,
ứng dụng của nó.
- Bậc phân kỳ của các giản đồ và ứng dụng trong các không gian
D chiều.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiểu kỳ dị và phương pháp chỉnh chúng
- Bậc phân kỳ trong các giản đồ Feynman
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các kỳ dị trong lý thuyết trường và bậc phân kỳ của các
giản đồ
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu
- Phương pháp giải tích toán học và vật lý lý thuyết.

2


CHƯƠNG I
KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG
1.1. Các phân kỳ trong lý thuyết trường
1.1.1. Phân kỳ tử ngoại
1.1.1.1. Trong lý thuyết cổ điển
Trong lý thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến những đại lượng
phân kỳ như khối lượng riêng ρ=m/V… Hiện nay chúng ta chưa có công cụ
toán học thích hợp cho các hạt có kích thước, và những cố gắng theo hướng
này đều không mang lại kết quả. Vì vậy ta phải chấp nhận kỳ dị trong Vật lý
Hạt cơ bản.
Nhớ lại rằng hàm truyền (nhân quả) được xác định qua T-tích của hai
toán tử trường.
D c ( x  y )  i  0 | T ( ( x ) ( y )) | 0 

Khi x 0  y 0 ta phải tiền định nghĩa T-tích. Sự không xác định T-tích
khi “đồng thời gian” dẫn đến những kỳ dị trong hàm Green và hàm truyền. Ta
có mối quan hệ giữa Dc với D+ và D-:

D c ( x )   ( x 0 ) D  ( x )   ( x 0 ) D  ( x)
Quá trình sinh hạt vô hướng ở x và hủy hạt ở y được mô tả bởi hàm:
1
i

1* ( y )1 ( x)  0 |   ( y )  ( x) | 0  iD  ( y  x)  D  ( x  y ) .
Các hàm truyền của trường spinor, vector… được biểu diễn qua hàm
truyền của trường vô hướng như sau:
c
S
( x)  (i   m) D c ( x),

Dnlc ( x)  ( g nl 

1 2
) D c ( x).
2
n
l
m x x

3

(1.1)


Hàm Green nhân quả D c thỏa mãn phương trình sau đây:
D c ( x)   ( x ),

(i   m) S c ( x)   ( x),

1 2
( m ) D ( x)  ( g nl  2 n l ) ( x).
m x x
2

c
nl

(1.2)

Dạng tường minh của các hàm D  ( x ) như sau:
D  ( x) 
D  ( x) 

1
eikx ( k 2  m 2 ) ( k 0 )d 4k .
3 
(i 2 )
i
(2 )

3

e

 ikx

 (k 2  m 2 ) (k 0 )d 4 k .

(1.3)

Lấy tích phân 2 vế (1.3):
1
2

2

1
i
im
m| |
m2
0
D ( x )   ( x ) ( )  2  2 ln

 ( x 0 ) ( )  (   ln  )
4
4  8
2
16


1

1
1
m2
im 2 m  2
D c ( x) 
 ( ) 



(

)

ln
 (   ln  ),
4
i 4 2 16
8 2
2

(1.4)

Trong đó   x 2  ( x o ) 2  ( x ) 2 .
Từ (1.4) ta thấy hàm Green D  ( x) và hàm truyền đều phân kỳ trên nón
ánh sáng tại   x 2  0
Trong biểu thức của hàm Green ta thấy có hai loại phân kỳ:
Phân kỳ nguy hiểm kiểu  ( ) và

1



Phân kỳ nhẹ nhàng kiểu  ( )
1.1.1.2. Trong lý thuyết hàm suy rộng
Điều đáng chú ý nhất là các phép phân kỳ “chồng chất” là không được
xác định.

4


Ví dụ: ta biết x ( x) , x ln( x) được xác định ra sao. Nhưng tích của hai
hàm phân kỳ tại không như  ( x) và ln x là  ( x).ln x thì không được xác định.
Đây là trường hợp phân kỳ chồng chất. Khi phân kỳ không chồng chất như

 ( x  3)ln x thì tích của chúng được xác định tốt.
Tóm lại, tích các phân kỳ chồng chất là không được xác định. Muốn
xác định các tích này, ta phải tiền xác định, nghĩa là ta phải đưa ra cách hiểu
chúng, hay nói cách khác là phải “chỉnh” chúng.
Trong lý thuyết trường, khi tính tích phân Feynman, ta luôn làm việc
với tích của các hàm truyền với phân kỳ chồng chất trên nón ánh sáng
(   0 ). Do vậy ta phải có phép chỉnh.
Kỳ dị nguy hiểm

1



và  ( x) luôn đi với hệ số không phụ thuộc vào

khối lượng, còn kỳ dị dạng ln x và  ( x) có hệ số tỉ lệ với m2.
Hiện nay người ta sử dụng các phép chỉnh khác nhau, như phương pháp
chỉnh thứ nguyên, chỉnh Pauli-Villars, cắt xung lượng, vv. Nhưng thông dụng
nhất là phương pháp chỉnh thứ nguyên. Các phương pháp chỉnh phải thỏa
mãn điều kiện: phần hữu hạn không phụ thuộc vào giới hạn khi  , M   .
Phương pháp cắt phải chọn sao cho bất biến Lorentz bảo toàn và các vấn đề
đối xứng khác.
1.1.2. Phân kỳ hồng ngoại

Phân kỳ hồng ngoại là phân kỳ khi khối lượng ở hàm truyền bằng
không. Phân kỳ này không nguy hiểm lắm và ở vùng năng lượng thấp.
Hàm Green toàn phần của electron trong QED có khai triển nhiễu loạn
trong hình 1.1.

5


Hình 1.1: Hàm truyền toàn phần của fermion
Bổ đính một vòng vào hàm truyền của electron có giản đồ Feynman
tương ứng trong hình 1.2.
Không kể đến đường ngoài, tích phân Feynman tương ứng sẽ là:
( p )  

i ( p  k  m)
d 4k
ig 
ie

ie



(2 ) 4
( p  k ) 2  m 2 
k2

  ( p  k  m) 
d 4k
 e 

ie
(2 ) 4 k 2 ( p  k ) 2  m 2 
2

Khi k   , ( p)

k4

k
k4

(1.5)

k . Đây là phân kỳ tuyến tính. Tuy nhiên

trong không gian d < 3 tích phân trên hữu hạn. Trong phân kỳ hồng ngoại ta
sẽ dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên mà sẽ được trình bày ở 1.3.2.
 ( p )  e 2  2  


d d k   ( p  k  m)
(2 ) d k 2 ( p  k ) 2  m 2 

(1.6)

Trong d chiều ta có các hệ thức sau:

Tr (    )  4d ,

  k    (2  d ) k ,

Tử số của (1.7) trở thành:
TS  (2  d )( p  k )  md

6

    d .

(1.7)


Hình 1.2: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền của fermion
Sau một vài biến đổi nhỏ ta có:
(2  d )( p  k )  md
ddk
( p )  e   dx 
d
0
(2 ) (k  px) 2  D ( p 2 ,0, m 2 )  2


2

2

1

(1.8)

Đặt q  k  px ta có:

1

( p )  e 2  2  dx 
0

d d k (2  d ) p (1  x)  md
2
(2 ) d
 q 2  M 2 

1

 e2  2  dx[(2  d ) p (1  x)  md ]I 2 ( M 2 ),

(1.9)

0

Trong đó M 2  D( p 2 ,0, m 2 )  m 2 x  p 2 x(1  x) . Thay các biểu thức cần
thiết, ta thu được

( p)   div ( p)   fin ( p ),
 div ( p ) 

ie 2
CUV ( p  4m),
16 2

1
ie2

 ( p) 
ln  2 ( p  4m)  2 dx  p (1  x)  2m  ln( M 2 )  ( ) (1.10)
2
0
16
fin





Trên bề mặt khối lượng p 2  m 2 khi đó M 2  m 2 x 2 và tích phân trong
(1.10) sẽ phân kỳ. Phân kỳ hồng ngoại này xuất hiện do khối lượng của
photon bằng không. Để giải quyết khó khăn này, người ta cho photon một
khối lượng  dù là cực nhỏ. Như vậy, trong giản đồ năng lượng riêng của
electron ta gặp phải hai loại phân kỳ: phân kỳ tử ngoại và phân kỳ hồng ngoại.

7


1.2. Thứ nguyên chính tắc
Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên d 4 x  d d x thì ta cần các thứ
nguyên của các tham số vật lý. Cách tính thứ nguyên chính tắc trong không
gian d chiều như sau:
Ta biết rằng trong không gian d chiều, để tác dụng S là một số thì
1
Lagrangian có thứ nguyên d theo xung lượng hoặc khối lượng ~ . Mặt khác
x

mỗi đạo hàm làm tăng thứ nguyên lên một đơn vị. Do vậy:

Đối với trường vector:

d

d

1
x    ,
2
1     1     d    

d
1
2

 m  1 ,

d
Tương tự  A    1.
2
Đối với trường spinor:

d

d

xi   ,

1          d ,

Từ đây ta có        

d 1
 .
2 2

Đối với hằng số tương tác:

e  2     A   d ,

e A  :

 e   d  2      A  d  d  1 
e  2 

d
2

d
 1,
2

trong không gian d  4  2 chiều:  e   e

8

(1.11)


Đối với tương tác



4 :

4!

   4   d .
Do đó:

    d  2d  4  4  d .
Khi d  4  2 ta có     2 e   2 .

Moment góc M 0lm   d x( x mT l 0  x lT m 0 ) nên sẽ có thứ nguyên chính tắc
bằng 0.
1.3. Một số phương pháp chỉnh
1.3.1. Phương pháp chỉnh Pauli-Villars hay phương pháp chỉnh hiệp biến
1.3.1.1. Phương pháp chỉnh Pauli-Villar
Phương pháp chỉnh phải thỏa mãn điều kiện: phần hữu hạn không phụ
thuộc vào giới hạn  , M  0 . Phương pháp cắt phải chọn sao cho bất biến
Lorentz bảo toàn và các vấn đề đối xứng khác.
Thay hàm truyền m( x) bằng hàm truyền đã chỉnh:
n

reg m( x)  m( x)   Ci mi ( x)

(1.12)

i 1

Trong đó các hệ số ci thỏa mãn điều kiện sau:
n

1   ci  0

(1.13)

i 1

n
2

m   ci M i2  0

(1.14)

i 1

n

m

2 n 2

  ci M i2 n2  0

(1.15)

i 1

Điều kiện (1.12) làm triệt tiêu các kỳ dị nguy hiểm. Các điều kiện còn
lại (1.14), (1.15) thì làm triệt tiêu các phân kỳ không nguy hiểm đi cùng khối
lượng m.

9


Trong kết quả cuối cùng cho M i   .
Hàm reg m( x) liên tục khác với m( x) chỉ ở vùng cực nhỏ quanh nón
ánh sáng. Khi M i   thì không còn sự khác nhau giữa reg m( x ) và m( x) .
Vì thế chỉnh Pauli-Villars là làm tăng bậc xung lượng ở mẫu.
1.3.1.2. Ví dụ
Ta tính tích phân sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars.
Ta xét lý thuyết vô hướng thực  4 với Lagrangian sau đây:
1
m2 2 g 4

L     
  
2
2
4!
s

(1.16)

Bổ đính một vòng vào hàm truyền của trường vô hướng được mô tả bởi
giản đồ Feynman hình 1.3.
k

p

p

Hình 1.3: Bổ đính một vòng vào hàm truyền trong lý thuyết  4
Biểu thức tương ứng là:
1 d 4k
i
 ( p)  ig 2  (2 )4 (k 2  m2  i )

Trong đó

(1.17)

1
là hệ số đối xứng của giản đồ. Ta thấy  phân kỳ bậc hai
2

khi k   . Nếu dùng phương pháp chỉnh Pauli-Villars ta phải dùng hai khối
lượng phụ để có hàm truyền tỉ lệ với

1
nghĩa là:
k6

1
1
a
a
1

 2
 2 1 2 2 2 2 6
2
2
k m
k m
k  M1 k  M 2
k
2

10

(1.18)


Điều kiện (1.18) cho ta tử số tỷ lệ với (1) . Cụ thể:

(k 2  M 12 )( k 2  M 22 )  a1 (k 2  m 2 )( k 2  M 22 )  a2 (k 2  m 2 )(k 2  M 12 )
 k 4  k 2 ( M 12  M 22 )  M 12 M 22  a1  k 4  k 2 ( m 2  M 22 )  m 2 M 22 

 a2  k 4  k 2 (m 2  M 12 )  m 2 M 12 

(1)

(1.19)

Từ đây ta có hai điều kiện:
Số hạng tỉ lệ với k 4 triệt tiêu:
(1.20)

1  a1  a2  0

Số hạng tỉ lệ với k 2 triệt tiêu:
( M 12  M 22 )  a1 (m 2  M 22 )  a2 ( m 2  M 12 )  0

(1.21)

Từ hai điều kiện (1.20) và (1.21) ta thu được:
M 12  m2
a2  2
M 2  M 12
a1  1  a2 

M 22  m 2
M 12  M 22

(1.22)

Với a1 , a2 cho bởi (1.22) ta thấy hàm truyền đã chỉnh có dạng:
1
M 12 M 22  m 2 ( a1M 22  a2 M 12 )

k 2  m2
(k 2  m 2 )(k 2  M 12 )(k 2  M 22 )

(1.23)

Khi M 1 và M 2 đều tiến tới  rất lớn ta có:
g d 4k
4

 ( p)  2  (2 )4 (k 2  m2 )(k 2   2 )2

(1.24)

Ta thấy biểu thức (1.24) hội tụ khi k   . Tuy nhiên ta lại có phân kỳ
theo  . Ta tham số hóa Feynman ở mẫu số:
1
1
xdx
 (3) 
3
2
0
ab
 ax  b(1  x)

11


Chọn a  k 2   2 , b  k 2  m 2 . Khi đó mẫu số có dạng:

MS  (k 2   2 ) x  (k 2  m 2 )(1  x)
 k 2  m 2  x(k 2  m 2 )  x(k 2   2 )
 k 2  x ( 2  m 2 )  m 2  k 2   2 ,

(1.25)

Trong đó:

 2  x(  2  m 2 )  m 2

(1.26)

Do vậy:
1
g
d 4k
2
 ( p)  2 (3) 0 xdx  (2 )4 (k 2   2 )3

(1.27)

Mà ta có:
d 4k
1
(1)3 i(1) 1

 (2 )4 (k 2   2 )3 (4 )2 (3) (2 )



i
1
2(4 ) 2 ( 2 )

(1.28)

Suy ra:
i  4 g 1
xdx

 ( p)  32 2 0  x( 2  m2 )  m2 



(1.29)

Áp dụng công thức:
xdx

1

 a  bx  b

2

 a  bx  a ln a  bx 

xdx
1
ab
 2 (b  a ln
)
0 a  bx
b
a



1

(1.30)

Do vậy ta có ( b   2  m 2 , a  m 2 )

 ( p) 

 2
i 4 g
1
2 
2
2


m

m
ln
32 2 ( 2  m 2 ) 2 
m 2 



ig  2
2 
2


m
ln

32 2 
m 2 

(1.31)

Ta có phân kỳ bậc hai theo  .

12


1.3.2. Phương pháp chỉnh thứ nguyên.
Các bước chính của phương pháp chỉnh thứ nguyên:
1.3.2.1. Thứ nguyên của lý thuyết trường.
Từ không gian 4 chiều chuyển sang không thời gian d chiều nhỏ hơn
bốn: d  4  2 trong đó   0 , hằng số tương tác g được thay đổi bởi g   g  .
Đối với giản đồ G phân kỳ bậc G ta có điều kiện cho  để tính tích phân đó
hữu hạn:
4  2 crit  G

  crit  2 

G
2

(1.32)

Khi    crit tích phân phân kỳ trong không gian 4 chiều sẽ hữu hạn. Về
nguyên tắc ta phải chuyển sang không gian Euclidean, nghĩa là thay
p0  p4  ip0 . Sau khi tính toán sẽ quay trở lại không gian Minkowski. Trong

tính toán cụ thể ta có thể bỏ qua phép quay Wick. Trong d chiều, ma trận
Dirac tuân theo hệ thức sau:
g  g   d ,

     d , Tr(I)=d

       (d  2)  ,         4 g  (4  d )   

(1.33)

           2       (4  d )      .
Ta thấy các ma trận Dirac vẫn thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán
trước đây:





,     2 g 

(1.34)

Trong không gian d chiều, ma trận  5 không phản giao hoán với các ma
trận   . Các hệ thức cơ bản gồm:

  (a  b )   4(a  b )  (d  4)(a  b )
5

5

5

   5   (d  8) 5

(1.35)

    (a  b 5 )   2  (a  b 5 )  (d  4)  (a  b 5 )

(1.36)

13


Tr  ( f  a f  5 )   ( f  a f  5 )   8( 2f  a 2f ) g   4(d  4)( 2f  a2f ) g 

Tr 5   5   8  d

(1.37)

Để hiểu về phương pháp chỉnh thứ nguyên ta sẽ tính cụ thể bằng
phương pháp đó cho giản đồ phân cực chân không.
Hàm Green toàn phần của photon trong QED cho bởi giản đồ sau:

=

+

+

+ ...

Hình 1.4: Hàm Green toàn phần của photon
Bổ đính bậc hai, bổ đính bậc cao nhất vào hàm truyền của photon qua
giản đồ phân cực sau:
k q




q

q





q 
k

Hình 1.5: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền của photon
Khi không kể đến đường ngoài, thì tích phân Feynman có dạng sau:


d 4 k Tr  ( k  q  m) ( k  m) 
 (q)  (ie) 
(2 ) 4 ( k 2  m 2  i ) (k  q )2  m 2  i 


2

(1.38)

Tích phân (1.38) phân kỳ bậc hai khi k   . Cho nên ta không được
phép thực hiện các thao tác như đổi biến tích phân… Do đó, ta chuyển từ 4
chiều sang d chiều. Nên (1.38) có dạng:


d d k Tr  ( k  q  m) ( k  m) 
 (q)  (ie ) 
(2 ) d ( k 2  m 2 ) (k  q)2  m 2 


 2

14

(1.39)


Trong (1.39) ta đưa vào tham số  có thứ nguyên khối lượng với lũy
thừa   làm cho tích phân có thứ nguyên đúng. Ta có thể bỏ số hạng i trong
hàm truyền.
Ta thấy rằng, chỉnh thứ nguyên bảo toàn bất biến chuẩn, cụ thể là đồng
nhất thức Ward được thỏa mãn. Thật vậy:

d d k Tr  q ( k  q  m) ( k  m) 
q  ( q )  e  
(2 ) d (k 2  m 2 ) (k  q ) 2  m 2 


2

2

(1.40)

Thực hiện một số thao tác sau:

q  ( k  q  m)  ( k  m)
ab  ba  2(a.b)

Khi đó tử số có dạng:
Tr ...  Tr ( k  m) q ( k  q  m)  





 Tr ( k  m) ( k  q) 2  m 2     Tr ( k 2  m 2 )( k  q  m)  
 d ( k  q ) 2  m 2  k  d (k 2  m 2 )(k  q )

(1.41)

Do vậy ta có:
ddk
q   ( q )  e  d 
(2 ) d


2

2

 k
k  q 
 k 2  m2  (k  q)2  m2 



(1.42)

Với d  2 , tích phân trên hữu hạn nên thỏa mãn:
ddk
ddk
 (2 )d F (k )   (2 )d F (k  q),

Vì vậy (1.42) cho:
q   ( q)  0 .

Đây chính là đồng nhất thức Ward quen thuộc. Tử số của (1.39):
TS  Tr   ( k  q  m)  ( k  m) 

 2dk  k  d (q  k  q k  )  d (m 2  k 2  k .q ) g 

15

(1.43)

1.3.2.2. Tham số hóa Feynman mẫu số
Tham số hóa Feynman mẫu số theo công thức
n

 (1   xi )

1
1
1
1
i 1
 ( n)  dx1  dx2 ... dxn
0
0
0
a1a2 a3 ...an
( ai xi ) n

(1.44)

Trong đó i=1,2,…,n. Trường hợp n=2 ta có:
1
(   ) 1
x 1 (1  x)  1

dx
a b  ( )(  ) 0  ax  b(1  x)   

(1.45)

Khi     1 ta có
1
1
dx

ab 0  xa  (1  x)b 2

Với mục đích tổng quát, giả sử rằng trong (1.39) khối lượng ở hai hàm
truyền khác nhau và tương ứng là m1 và m2 .
Đặt a  ( k  q) 2  m22 , b  (k 2  m12 ), khi đó mẫu số của (1.39) có dạng:
MS  x  k 2  q 2  2kq  m22   1  x   k 2  m12 
2

  k  qx   D  q 2 , m12 , m22 

(1.46)

Trong đó ta đưa vào định nghĩa:
D  s, m12 , m22   m12 1  x   m22 x  sx 1  x 

(1.47)

Kết hợp (1.43) với (1.46) ta có:


2

 ( q )  e 

2

1

 
 
 
2
2

d d k 2dk k  d  q k  q k   d  m  k  k .q  g

 dx   2 
9

d

 k  xq 2  M 2 



2

(1.48)
Trong đó M 2  D  q 2 , m12 , m22   m 2  q 2 x 1  x  .
Đặt p  k  qx , khi đó (1.39) trở thành:

16


dd p

1

  (q)  e 2  2  dx 

 2 

0

d

1
 p 2  M 2 

2

 { 2d  p p  x  q p  q p   x 2 q q 
+ d  q p  q p  2 xq q 
+ d  m 2  p 2  q 2 x 1  x   p.q  2 x  1  g  }
1.3.2.3. Tính tích phân theo xung lượng
Ta sẽ sử dụng ký hiệu sau :

I ( M )  

dd p

 2 

d

1

p

2

M

2 



d
(  )
2 2

i



  1

 4 

d
2

(M )

d

(  )
2 . (1.49)
( )

Tích phân trong không gian d chiều
Chúng ta làm việc trong không gian Minkowski d chiều, gồm một
chiều thời gian và  d  1 chiều không gian. Chúng ta quan tâm đến các tích
phân dạng:
I d (q)  

dd p

p

2

 2 p.q  m

(1.50)

2 



Trong đó p  ( p0 , r )
Xét trong hệ tọa độ cực  p0 , r , ,1 , 2 ,..., d 3  ta có:

d d p  dp0 r d 2drd sin 1d1 sin 2  2 d 2 ...sin d 3  d 3d d 3
d 3

 dp0r d 2 drd  sin k  k d k
k 1

Với   p0  ,0  r  ,0    2 ,0  i   .
Khi đó:






0

I d ( p)  2  dp0  r

d 2

17

dr 



0

1d 3 sin k  k d k

p

2



 2 pq  m 2 

.


Sử dụng công thức:

2
0


Đặt m 

(sin  ) 2 n1  cos 

2 m 1

d 

1   n   m
2   n  m

1
1
, lưu ý rằng        , thì:
2
2

 k 1



k
2 

0  sin   d    k  2 


 2 

Do đó:

2   
r d 2 dr
I d (q ) 
dp
.
d  1  0 0 ( p02  r 2  2 pq  m 2 )
(
)
2
d 1 2

Tích phân này bất biến đối với phép biến đổi Lorentz nên ta sẽ tính nó
trong hệ quy chiếu q   m,0  . Khi đó 2 p.q  2mp0
Thực hiện phép đổi biến số: p'  p  q ,
Dẫn tới p0'  q 2  p02  2mp0 , ta có:
2 ( d 1) 2  '

r d 2 dr
dp
.
d  1  0   p ' 2  r 2  (q 2  m 2 ) 
(
)
 0

2

I d (q) 

(1.51)

Hàm beta Euler được định nghĩa như sau:
B ( x, y ) 


( x ) ( y )
 2  dtt 2 x 1 (1  t 2 )  x  y .
0
( x  y )

(đúng với Rex > 0, Rey > 0).
Đặt x 

Ta có



1 
1 
s
,y  
,t 
2
2
M


0

1 
1 
(
)( 
)
s
2
2 .
ds 2

( s  M 2 )
2( M 2 ) (1  ) 2 ( )

18

(1.52)

Thay (1.52) vào (1.51), với   d  2, M 2   p0' 2  q 2  m 2 ta thu được:
d 1
) 
dp0'
2
 (q 2  m2  p0' 2 ) (d 1) 2
( )

( 
I d (q)  (1)   ( d 1) 2

d 1
) 
dp0'
2
 [p0' 2  (q2  m2 )] (d 1) 2
( )

( 
 (1)2  ( d 1) 2  ( d 1) 2

Để tính tích phân này, ta áp dụng (1.51) một lần nữa và ta thu được:
d
(  )
1
2
I d (q)  i d 2
( )  ( q 2  m2 )  d 2



d
(  )
1
2
 (1) i d 2
( )  (q 2  m 2 )  d 2



(1.53)

Do đó từ (1.50), ta có:
d



d p

p

2



 2 pq  m 2 

d
(  )
1
2

 ( 1) d 2 i d 2
2
( )  (q  m 2 )  d 2



(1.54)

Lấy đạo hàm (1.54) theo q  :
  d d p

2 p

p

2

 1

 2 pq  m 2 

d
(  )
2 q
2 (   d )
 ( 1) d 2 i d 2
.
( )
2  ( q 2  m 2 )  d 21




Sử dụng công thức (  )  (   1) và cho   1   ta thu được:

d

d

p

p

p

2

 2 pq  m

2 



d
(  )
q
2
 (1)1 d 2 i d 2
.
2
( ) (q  m2 ) d 2

19

(1.55)


Tiếp tục lấy đạo hàm (1.55) theo q ta có:

d

d

p

p p

p

2



 2 pq  m 2 

 (1)

d 2

i d 2
1

( ) ( q 2  m 2 ) d 2

d
1
d 

  q q (  )  g (q 2  m 2 )(  1  )  .
2 2
2 


(1.56)

Rút gọn ta có:
d
d p

p2

p

2



 2 pq  m 2 

 (1)d 2

i d 2

1
2
( ) ( q  m 2 ) d 2

d
d
d 

  q 2(  )  ( q 2  m 2 )(  1  )  .
2
2
2 


1.3.2.4. Thác triển giải tích   0
Bây giờ ta cho   0, thì biểu diễn của hàm  là:
( ) 

1



    ( ) ,

(1.57)

Trong đó  là hằng số Euler-Mascheroni   0.5772 . Như vậy ta có
biểu thức:
2die 2 2
1

  (q)  
( q g   q q ) {    ln(4 2 )
2
6(4 )

1

6 dxx(1  x)ln  m 2  x(1  x) q 2  } + ( )
0

(1.58)

Để thu được (1.58) ta đã sử dụng x  eln x , x e  1   ln x  ( ) . Như
vậy tích phân trên có hai phần: một phần phân kỳ khi   0 và phần thứ hai
hữu hạn.
 div
 ( q )  

ie 2
1

q 2 g   q q      ln(4 )  ,
2 
12



fin
 
(q )  

1
ie 2
2
2
ln


{
q
g

q
q





2
12 2

1

6 dxx(1  x)ln  m 2  x(1  x) q 2  }     .
0

20

(1.59)

(1.60)


Do

1



   ln(4 ) luôn đi cùng nhau nên người ta thường gộp chúng lại

và ký hiệu là: CUV 

1



   ln(4 )

Đây là phân kỳ tử ngoại ở vùng xung lượng rất lớn được viết trong lý
thuyết trường.
1.3.2.5. Tích phân theo tham số Feynman
q2
Ta có:  dx ln D (q , m , m )  lnm 
0
2m 2
1

2

2

2

2

(1.61)

1
q2
2
0 dxx ln D(q , m , m )  2 lnm  3m2

(1.62)

1
q2
2
2
2
2
2
dxx
ln
D
(
q
,
m

,
m
)

ln
m

0
3
4m 2

(1.63)

1

2

2

2

1

Do vậy
1
q2
2
0 dxx(1  x)ln D(q , m , m )  6 lnm  12m2
1

2

2

2

(1.64)

Ta có biểu thức cuối cùng:
 
fin ( q )  

ie 2
1 q2
2 
 
2
2
(
q
g

q
q
)(ln


ln
m



). (1.65)
12 2
2 2m 2

21


CHƯƠNG II
BẬC PHÂN KỲ CỦA CÁC GIẢN ĐỒ
2.1. Xây dựng công thức tính
Đầu tiên ta đưa vào một số khái niệm:
Giản đồ liên kết mạnh là giản đồ mà chặt một đường nó không tách
thành hai giản đồ được. Giản đồ này còn có tên gọi là tối giản. Ví dụ của loại
này là giản đồ phân cực chân không hay giản đồ năng lượng riêng của
electron.
Giản đồ liên kết yếu (hay giản đồ khả tách) là giản đồ mà chỉ cần chặt
một nhát là nó có thể thành hai giản đồ dời nhau.
Hàm hệ của giản đồ là biểu thức toán học của giản đồ đó, khi đã bỏ đi
các đường ngoài. Ví dụ như hàm   và ( p) .

Hình 2.1: Giản đồ liên kết yếu
Đầu tiên ta xét trường hợp liên kết mạnh. Gọi G là giản đồ có n đỉnh và
L đường trong. Khi đó hàm hệ của nó có dạng:
L

J G ( k )     ( p  kq )lc ( pl ) dpl .
4

1 q  n

(2.1)

l 1

Trong (2.1), nếu làm việc trong chỉnh thứ nguyên thì ta dùng hàm
truyền thông thường, nếu làm việc trong chỉnh Pauli-Villars thì  lc ( pl ) được
thay bởi biểu thức của hàm truyền đã chỉnh (1.12) có dạng:


1
1
reg lc ( p )  Z ( pl )  2

j p 2  M 2  i  ,
2
 p  m  i

j

Với Z ( pl ) là đa thức bậc rl , y như trong hàm truyền chưa chỉnh.

22

(2.2)


 lc ( p )  Z ( pl )

1

p  m2  i

(2.3)

2

Từ biểu thức tường minh của các hàm truyền ta có
đối với trường vô hướng, trường chuẩn vector

rl  0,

rl  1,
r  r ,
l

đối với trường fermion
đối với trường vector khối lượng

Nếu lấy tích phân theo L đường trong và có n hàm  4 . Các hàm  4
làm mất 4(n  1) tích phân vì một hàm  4 để lại cho định luật bảo toàn năng
xung lượng. Vậy ta còn 4( L  n  1) tích phân theo xung lượng. Tích phân
này cho P 4( L n 1) , trong đó P là giá trị tuyệt đối của xung năng lượng ở năng
lượng cao P 2

m 2 . Các hàm truyền cho P

P

4( L  n 1)

 lint ( rl 2)

 lint ( rl 2)

. Vậy ta còn

 P 4( n1) P

 lint ( rl  2)

,

Trong đó ta đã sử dụng L  lint 1.
Thay vào ta có công thức tính bậc phân kỳ của giản đồ P (G )

  G    (rl  2)  4(n  1).
lint

Ta định nghĩa chỉ số đỉnh i

i 
Hệ số

1
 (rl  2)  4.
2 lint

1
là do một đường nối hai đỉnh, lint là đường trong đi tới đỉnh i .
2

Vậy ta có mối liên hệ:
1

 (G )   
i





 (r  2)  4  4,
2
l

(2.4)



lint

Hay

 (G ) 

   4.
i

1i  n

23

(2.5)


Gọi imax là chỉ số đỉnh mà các đường đi tới đỉnh là đường trong

i  imax 

1
 (rl  2).
2 lext

Khi đó bậc phân kỳ  (G ) của giản đồ chỉ phụ thuộc vào số đường ngoài

 (G )   imax  4 
i

1
 (rl  2).
2 lext

(2.6)

Với lext chạy theo các đường ngoài. Từ định nghĩa của rl , ta viết lại
công thức(2.6) như sau:
3
2

 (G )   imax  4  F  B  2M .

i

(2.7)

Trong đó F và B lần lượt là số đường fermion và boson (vô hướng và
trường chuẩn vector) ngoài của giản đồ. Còn M là số trường vector có khối
lượng nhưng không là trường chuẩn ngoài của giản đồ. Từ công thức (2.7)
ta thấy:
Nếu ta tăng số đường ngoài, bậc phân kỳ của giản đồ sẽ giảm.
Khi imax  0 bậc phân kỳ của giản đồ sẽ tăng, nếu ta tăng số đỉnh (tức
là bậc của lý thuyết nhiễu loạn). Ngược lại, nếu imax  0 bậc phân kỳ của
giản đồ chỉ có thể giảm hoặc không tăng, nếu số đỉnh n tăng. Vậy ta có kết
luận: Lý thuyết tái chuẩn hóa được, nếu imax  0 . Khi imax  0 người ta
thường gọi là lý thuyết siêu tái chuẩn hóa được.
Chỉ số đỉnh có thứ nguyên nghịch đảo khối lượng và liên quan tới hằng
số tương tác như sau:  g 

max

 m

. Do vậy, nếu chỉ số đỉnh dương thì thứ

nguyên của hằng số tương tác tương ứng âm và lý thuyết không tái chuẩn hóa
được. Ngược lại, nếu chỉ số đỉnh không dương, thì hằng số tương tác có thứ
nguyên khối lượng không âm, và lý thuyết là (siêu) tái chuẩn hóa được.

24

Trong các lý thuyết tái chuẩn hóa được số bậc phân kỳ lớn nhất thuộc
về các giản đồ chân không và lớn nhất là 4.
Do các lý thuyết hiện tại đều dựa trên lý thuyết trường chuẩn, nên ta
loại các trường vector có khối lượng nhưng không là trường chuẩn ra khỏi lý
thuyết. Cho nên, đối với các lý thuyết tái chuẩn hóa được có chỉ số đỉnh đều
bằng không là những lý thuyết phong phú và công thức (2.7) trở thành:

3
2

 (G )  4  F  B.

(2.8)

Trong đó F và B tương ứng là số đường fermion và boson ngoài của
giản đồ.
Khi tương tác chứa đạo hàm   thì phải cộng một đơn vị cho mỗi đạo hàm

imax 

1
 (rl  2)  4  l ,
2 lines

Trong đó l là số đạo hàm. Ví dụ: tương tác dạng TV  g   A A A có
chỉ số đỉnh là:

1
2

 TV  (2  2  2)  4  1  0
Việc xét bậc phân kỳ như trên vẫn còn hời hợt vì có những phân kỳ sẽ
xuất hiện khi tính tích phân theo tham số Feynman – kiểu phân kỳ hồng ngoại,
vv. Dù sao, đây cũng là dấu hiệu quan trọng nhất.
Bây giờ ta xét trường hợp cụ thể QED với tương tác
e (  ) ( x )  (  ) ( x) A ( x).

Chỉ số đỉnh là:
1
2

 max  (3  3  2)  4  0
Do vậy công thức (2.8) áp dụng cho trường hợp này.
Trong QED bậc phân kỳ của giản đồ không phụ thuộc vào số vòng
hoặc đỉnh mà chỉ phụ thuộc vào số đường ngoài

25