Tìm hiểu phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được
nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học và qua đó đã giúp
em hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận này.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các
thầy cô và của các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Hoàng Thị Thúy

1


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp
đúng thời hạn. Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Em
xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các
kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Hoàng Thị Thúy

2

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 5
2. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................. 6
3. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 6
4. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 6
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 6
NỘI DUNG
Chương I: Phuơng pháp luợng tử hóa lần thứ hai cho hệ
các hạt đồng nhất ............................................................................................ 7
1.1. Hệ các hạt vi mô đồng nhất ...................................................................... 7
1.1.1. Nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất ........... 7
1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng. Các boson và
Fermion ........................................................................................................... 8
1.1.3. Nguyên lý loại trừ. ................................................................................ 11
1.1.4. Các hàm sóng cho hệ các fermion và boson. ........................................ 14
1.2. Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất ............ 16
1.2.1. Mở đầu .................................................................................................. 16
1.2.2. Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai .................................................. 17
Chương II: Hamiltonian của hệ điện tử và hệ điện tử-phonon ....................... 26
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử ...................................................................... 26
2.2. Hamiltoinan của hệ điện tử - phonon. ...................................................... 27
Chuơng III: Các toán tử thống kê trong phép biểu diễn luợng tử hóa lần thứ
hai. Ma trận tán xạ trong biểu diễn tuơng tác ................................................. 31
3.1. Các toán tử thống kê trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai ............... 31
3.2. Ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác ................................................. 35
3

3.2.1. Các toán tử và các vecto trạng thái trong biểu diễn tương tác .............. 35
3.2.2. Phép biểu diễn Schrodinger và biểu diễn Heisenberg .......................... 36
3.2.3. Phép biểu diễn tương tác ....................................................................... 37
3.3. Ma trận tán xạ........................................................................................... 38
KẾT LUẬN ................................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47

4


MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lý học là một môn khoa học thự c nghiệm chuyên nghiên cứu các
qui luật tự nhiên
, cấu trúc của vật chất thông qua hệ thống các đị nh, đị
luânh
̣ t ly.́
Bằng công cụ toán học thì đã giúp vật lý học đã thu được nhiều kết quả
mong muốn . Tuy nhiên với qui luật h ạt vi mô , vĩ mô dưới tác dụng của các
trường khác nhau thì việc giải quyết trở nên rất khó khăn . Từ đó người ta xây
dựng lên chuyên nghành Vật lý lý thuyết , nó đã nâng cao và khái quát hóa
những đị nh luật thành qui luật tạo ra một “Bức tranh” tổng quát về vật lý học.
Để mô tả thế giới vi mô với những hạt chuyển động có vận tốc nhỏ thì
cơ học lượng tử đã ra đời đem lại nhiều thành công rực rỡ . Vậy một câu hỏi
đặt ra rằng khi hạt chuyể n động với vận tốc lớn thì cơ học lượng tử còn áp
dụng được nữa hay không ? Và để khắc phục điều này một lí thuyết mới ra
đời. Đó là Lý thuyết trường lượng tử . Có thể nói rằng Lý thuyết trường lượng
tử là lý thuyế t hạt cơ bản. Nó là sự tổng hợp của Cơ học lượng tử và lý thuyết
tương đối.

Kiến thức của nhân loại vốn rất bao la . Với mong muốn tì m tòi và mở
rộng kiến thức của bản thân về trường lượng tử cho hệ nhiều hạt
lựa chọn Lý thuyết lượng tử làm đề tài khóa luận của mì nh

, vì vậy tôi

. Với nội dung

“tìm hiểu phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ
nhiều hạt” tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu phương pháp hiểu công cụ sử
dụng trong lượng tử hóa. Tôi hy vọng thông qua đề tài này bạn đọc sẽ có thêm
nhiều kiến thức cho riêng mì nh.

5


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ
nhiều hạt. Và ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra ta cần thực hiện các
nhiệm vụ sau:
Tìm hiểu về hệ các hạt vi mô đồng nhất.
Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ
nhiều hạt.
Tìm hiểu nguyên lý loại trừ.
Tìm hiểu về ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác.
IV. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
Các công cụ sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử.
V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp của vật lý lý thuyết.

6


NỘI DUNG
CHƢƠNG I: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ LẦN THỨ
HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT
1.1. Hệ các hạt vi mô đồng nhất
1.1.1 Nguyên lý về tính không thể phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất
Như chúng ta đã biết các véctơ trạng thái của trường lượng tử (trường
điện tử, trường vô hướng …) diễn tả các trạng thái với số hạt khác nhau. Do
đó, lý thuyết trường lượng tử là công cụ tốt để nghiên cứu các hệ nhiều hạt mà
ở đó số hạt có thể thay đổi. Các vecto trạng thái của trạng thái của trường
lượng tử là các vecto trạng thái của hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê
Bose-Einstein hoặc Fermi-Dirac.
Các hạt đồng nhất là các hạt có những đặc trưng giống nhau như khối
lượng, điện tích, spin…
Trong cơ học cổ điển, ta có thể phân biệt được các hạt đồng nhất dựa
theo quỹ đạo chuyển động của chúng. Trong cơ học lượng tử ta không thể
phân biệt được các hạt đồng nhất vì khái niệm quỹ đạo của các hạt không còn
có ý nghĩa (đó là hệ quả của nguyên lý bất định). Từ đó trạng thái của một hệ
các hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt. Đó là nội dung của
nguyên lý về tính không thể phân biệt được của các hạt đồng nhất.
Sau đây chúng ta xét xem đối với hệ các hạt đồng nhất như vậy, trạng
thái của nó được mô tả bởi hàm sóng có dạng như thế nào. Như sẽ thấy, các
hàm sóng này sẽ đối xứng hoặc phản đối xứng tùy thuộc vào các hạt boson
hay fermion.

7

1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng. Các boson và fermion
Ta giả sử hệ gồm N hạt đồng nhất. Gọi  i là tập hợp 3 tọa độ không
gian (và có thêm tọa độ thứ tư là hình chiếu của spin) của hạt thứ i. Khi đó
hàm sóng có thể viết thành:

   1 ,2 ,...,i ,... N , t 
Hamiltonian của hệ có dạng:
N
 1 2

Hˆ 1 , 2 ,...,i ,.... N , t     
 i  U  i , t     W  i k 
2m
i 1 
 i # k ;i ,k

(1.1)

Với m là khối lượng của mỗi hạt, U i , t  là thế năng tương tác của các
hạt thứ i với trường ngoài, W i ,k  là năng lượng tương tác của các cặp hạt
thứ I và thứ k. Rõ ràng là Hamiltonian này không thay đổi khi hoán vị tọa độ
của một cặp hạt cho nhau.
Ta đưa vào toán tử hoán vị cặp hạt Pik tác động lên hàm f ...,i ,...,k 
của các tọa độ hạt thứ i và thứ k như sau:

Pik f ...,i ,...,k   f  ,...,k ...,i ,...

(1.2)

Theo lý luận ở trên thì ta có:

Pik H  H
Từ đó ta có:

 P H    P  H     P H  p
ik

ik

ik

ik

   HPik 

Tức là toán tử Hˆ và Pik giao hoán với nhau:

 Pik , Hˆ   0



(1.3)

Giả sử  ...,i ,...,k ,... là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt
đồng nhất. Khi hoán vị các hạt thứ i và thứ k, trạng thái của hệ được mô tả bởi





hàm sóng  ..., ,..., ,... . Theo nguyên lý về tính không thể phân biệt
k

i

8


được các hạt đồng nhất ta suy ra trạng thái của hệ không thay đổi, tức là   và
 mô tả cùng một trạng thái của hệ.

Vì hàm sóng có thể xác định được sai khác một nhân tử không đổi nên
ta có:
   

Hay

Pik  .....,i ,.....,k ,.... =  .....,i ,.....,k ,....

(1.4)

Do đó phương trình (1.3) là phương trình cho hàm riêng  và trị riêng
 của toán tử Pik .

Từ đây ta có thể xác định được  bằng cách tác động toán tử Pik một
lần nữa vào hai vế của (1.4) ta thu được:
Pik2    Pik    2 
  2 

Hay

(1.5)

Từ đó suy ra:
2  1 và    1

(1.6)

Từ (1.6) và (1.7) ta có:

Pik   

(1.7)

Pik   

(1.8)

Hoặc là:

Như vậy, khi ta hoán vị cặp hạt (i,k) hàm sóng mô tả hệ hoặc là không
đổi hoặc là đổi dấu. Người ta gọi hàm sóng đó là đối xứng (ứng với   1 ),
hoặc là phản đối xứng (ứng với   1).
Từ tính bình đẳng của các hạt ta thấy rằng không thể có hàm sóng đối
xứng với một cặp hạt này và đồng thời phản đối xứng với một cặp hạt khác.
Ta đó ta đưa ra kết luận sau: chỉ có thể có hai lớp trạng thái cho các hạt đồng
nhất, đó là:

9


Đối xứng theo tất cả các hạt:

Pik  s   s

(1.9)

( với i, k là bất kì)
Phản đối xứng theo tất cả các hạt:

Pik   

(1.10)

( với i, k là bất kì)
Vì toán tử Pik không phụ thuộc tường minh vào thời gian và giao hoán
với Hˆ nên đại lượng ứng với nó là  phải bảo toàn theo thời gian. Bởi vậy,
nếu tại một thời điểm nào đó, hệ ở trạng thái đối xứng  s (hoặc phản đối
xứng   ) thì nó luôn ở trạng thái đối xứng (hoặc phản đối xứng).
Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của hàm sóng mô tả hệ là xác
định tính chất nội tại của các hạt. Các nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết
chứng tỏ rằng, các hạt có spin nguyên được mô tả bằng các hàm sóng đối
xứng  s , còn các hạt có spin bán nguyên được mô tả bởi các hàm sóng phản
đối xứng   . Các hạt có spin nguyên được gọi là các hạt Bose (các boson) và
tuân theo thống kê Bose – Einstein. Các hạt có spin bán nguyên gọi là các
Fermi ( hay các Fermion ) và tuân theo thống kê Fermi – Dirac.
Ví dụ các hạt cơ bản có spin nguyên như là Photon (s=1),  - meson
(s=0), K- meson (s=0). Các hạt cơ bản có spin bán nguyên bằng

1
gồm có
2

electron, proton, neutron, muon, neutrion và các phản hạt của chúng …..Các
hạt phức tạp như hạt nhân, nguyên tử có spin nguyên hay bán nguyên tùy
thuộc vào số các hạt có spin bán nguyên tham gia tạo thành hạt phức hợp là
chẵn hay lẻ.

10


1.1.3. Nguyên lý loại trừ
Hệ các hạt đồng nhất fermion được mô tả bởi các hàm sóng phản đối
xứng tuân theo nguyên lý loại trừ. Nguyên lý này được pauli đưa ra lần đầu
tiên khi áp dụng cho các electron trong nguyên tử và được phát biểu như sau:
“ trong hệ nhiều điện tử không thể có hai điện tử (hoặc nhiều hơn hai điện tử )
ở cùng một trạng thái”. Tuy nhiên không thể coi cách phát biểu này của
nguyên lý pauli là hoàn toàn chính xác. Vấn đề là ở chỗ trong hệ nhiều điện tử
chỉ khi bỏ qua tương tác giữa các điện tử, ta chỉ có thể coi về trạng thái của
mỗi điện tử riêng biệt mới được xác định một cách chặt chẽ. Trong trường
hợp không bỏ qua tương tác giữa các điện tử, Ta chỉ có thể nói về trạng thái
của một điện tử riêng biệt trong một sự gần đúng nào đó. Ta hãy phát biểu lại
nguyên lý pauli trên cơ sở lý thuyết tổng quát của hệ nhiều hạt sao cho nó
thuận tiện trong các tương tác mạnh bất kỳ giữa các điện tử. Để làm được
điều này, trước hết ta hãy xây dựng lý thuyết biểu diễn trong trường hợp
nhiều hạt. Biểu diễn cho hệ gồm N hạt cần phải được xác định 4N toán tử
giao hoán độc lập với nhau là F1 , F2 ,....., FN . Ở đây F1 kí hiệu của bốn toán tử

F11 , F1 2 , F13 , F1 4 và vv……Giả sử đối với hạt thứ nhất có bốn toán tử giao
hoán với nhau F1i  là các tích phân của chuyển động tức là:

 H , F1i    0

(1.11)

Với i = 1, 2, 3, 4
Vì bốn toán tử F1i  giao hoán với nhau nên tồn tại hàm riêng chung
 1  của chúng. Kết quả là:

F11 1   11 1 

F1 2 1   1 2 1 

F13 1   13 1 

F1 4 1   1 4 1 

11

(1.12)


Kí hiệu 1 là đại lượng gồm bốn thành phần: 1   1112 1314  và đánh
số  1  theo trị riêng 1 này, ta có thể viết lại (1.12) dưới dạng ngắn gọn
như sau:

F11 (1 )  1 (2 )

(1.13)

Tương tự như trên ta có các phương trình trị riêng cho các toán tử

F2 , F3 .......FN là:

F2 2 (2 )  2 2 (2 )

(1.14)

F33 (3 )  33 (3 )
………………………..

Fn N ( N )  N  N ( N )

(1.15)

Chú ý là toán tử Fk (k = 1, 2, 3,……, N) chỉ tác dụng lên hàm của các
biến số  k nên ta suy ra hàm riêng chung cho tất cả N toán tử Fk (k = 1, 2,
3,….., N) có dạng sau:

  .....
1 2

N

(1 , 2 ,..., N

)  1 (1 ) ....N ( N )

(1.16)

Bằng cách khai triển Fourier hàm sóng  của hệ N hạt theo hệ kín đầy
đủ các hàm riêng



  ...
1 2

N

(1 , 2 ... N )

 c(  ...

1 ... N

1

2

N

ta nhận được:

, t ) 12 ...N (1 , 2 ,... N )

(1.17)

Theo lý thuyết biểu diễn tập hợp c  12 .....N , t  là hàm sóng  trong
F- biểu diễn. Bình phương môđun của hệ số Fourier trong khai triển (1.17) là :

  12 ....N , t   c  12 .....N , t 
12

2

(1.18)


Là xác suất thu được các giá trị 12 ....N ở thời điểm t khi đo các đại
lượng tương ứng với các toán tử F1 , F2 ,....., FN
Bây giờ ta đi khai triển hàm sóng phản đối xứng   theo (1.17) và thay
vào (1.10).thì ta có kết quả là:
Pik



1  i  k  N
,....







,...

c  1 ,....., i ,...., k ,.....N , t 1 1  ......i i  ......k  k  .....N  N  

,....



 1,......, i ,...., k ,.... N



 1,......, i ,...., k ,.... N
1

,......,



i k  N
,....,

c  1 ,.... i ,..., k ,...N , t 1 1  ...i i  ...k  k  ...N  N 

c  1 ,....i ,..., k ,...N , t 1 1  ...i i  ...k  k  ...N  N 

c  1 ,....i ,..., k ,...N , t 1 1  ...i i  ...k  k  ...N  N  (1.19)

,....

Ở phép biến đổi cuối cùng trong (1.19) ta đã đổi chỗ i và k dựa trên
tập hợp các trị riêng i và k là như nhau. Từ tính trực giao của các hàm

i i  thì ta có:

 *i (i )  i (i ) d i  ' i
(1.20)
Và từ khai triển (1.20) ta suy ra được:

c  1,...., i ,...., k ,...., N , t   c  1,...., i ,...., k ,...., N , t 

(1.21)

Giả sử i = k và từ (1.21) ta có:

c  1,...., i ,...., k ,...., N , t   0

(1.22)

  1,...., i ,...., k ,...., N , t   0

(1.23)

Bởi vậy:

Như vậy xác suất tìm thấy trong hệ các fermion một cặp mà kết quả đo
các đại lượng đặc trưng cho các trạng thái của hạt
bằng không.
13

 i 

như nhau là

Điều khẳng định trên có thể coi là cách phát biểu tổng quát của nguyên
lý Paoli, nó đúng cho tất cả các fermion như: electron, positron,
neutrion,…..Ví dụ như trong trường hợp của nguyên tử, hai electron không
thể có cùng xung lượng và spin (ở đây  gồm các giá trị Px , Py , Pz , S ).
1.1.4. Các hàm sóng cho hệ các fermion và boson.
Ta đi nghiên cứu cụ thể hơn về các hàm sóng có tính chất đối xứng và
phản đối xứng. Ta bắt đầu với các hàm sóng phản đối xứng cho các hạt
fermion. Áp dụng (1.17) cho trường hợp hai hạt, hàm sóng phản đối xứng

   có thể khai triển theo các hàm riêng n  1  và n  2  thuộc về các hạt
1

2

riêng biệt như sau:

   1, 2 , t  

  c  n ,n , t         +
1

n1 n 2 n 2

2

n1

1

n2

2

  c  n ,n , t        

+

1

n1 n 2 n 2

2

n1

1

n2

(1.24)

2

Bằng cách thay đổi n1 thành n2 và n2 thành n1 trong tổng thứ hai ở
(1.24) ta thu được:

   1, 2 , t  

  c  n ,n , t         +
1

n1 n 2 n 2

+

2

n1

1

n2

2

  c  n ,n , t        
2

n 2 n1 n 2

1

n2

2

n1

(1.25)

1

Chú ý là từ (1.21) ta có c  n1 , n2 , t   c  n2 , n1 , t  . Ngoài ra các tổng ở
(1.25) đều thực hiên theo n1 , n2 sao cho n1 > n2 . Từ (1.25) ta đi đến biểu thức
sau đây:

 1,2 , t  


 c n , n , t           

n1 n2

1

2

n1

1

n2

2

n2

  c n , n ,t    

n1 n2 n2

1

2

n1n2

1 2

Ở đây  n1n2 1 2  có thể viết dưới dạng định thức:
14

2

n1

1

(1.26)


 n1n2 1 2  

n 1  n  2 
1

1

2

2

(1.27)

n 1  n  2 

Tương tự như trên, đối với trường hợp hệ gồm N hạt Fermi ta có khai
triển sau:

 1 ,2 ,.....,  N , t      c  n1 , n2 ,...., nN , t  n n .....n 1, 2 ,....,  N  (1.28)
1 2
N
n1  n2 ... nN

n 1 n  2  ......n  N 
 n1n2 ...nN 1 ,  2 ,....,  N  

1

1

1

2

2

2

n 1 n  2  ......n  N 
...........................
nN 1 nN  2  ......nN  N 

(1.29)

Nếu tương tác giữa các fermion là chủ yếu thì trạng thái của mỗi
fermion trong hệ sẽ khác ít so với trạng thái của nó khi không có các fermion
khác. Nếu fermion thứ nhất ở trạng thái được đặc trưng bởi các giá trị (hay số
lương tử) n1 thì xác suất tim thấy giá trị n1 # n1 ở trạng thái này là bằng
không. Tương tự, nếu fermion thứ hai ở trạng thái n2 thì xác suất tìm thấy giá
trị n2 # n2 là bằng không ……Khi xét hệ N fermion tương tác yếu thì tât cả
các c  n1, n2 ...., nN , t  ở (1.28) là nhỏ ngoại trừ c  n1 , n2 ...., nN , t  . Trong gần
đúng bậc không ta bỏ qua tương tác giữa các fermion và thu được hàm sóng
cho hệ N fermion là:

 0 1,2,....N   c n1, n2,..., nN , t  n1,n2 ,....,nN 1,2,...,N  (1.30)
Vì nhân tử cn1 , n2 ....,nN , t  không đóng góp vai trò nên ta có:
 0 1 ,  2 ..... N    n1 ,n2 ,....,nN 1 , 2 ,...., N 

(1.31)

Như vậy, biểu diễn hàm sóng phản đối xứng dưới dạng định thức ở
(1.29) chính là biểu diễn hàm sóng của hệ N fermion tương tác qua các hàm
sóng của các hạt riêng rẽ.

15

Trong trường hợp hệ N hạt Bose ta cũng áp dụng khai triển (1.17) và
thực hiện tương tự như trên, và chỉ cần chú ý rằng xuất phát từ (1.9) ta sẽ có:

c  n1 ,...., n2 ,....., nk ,...., nN , t   c  n1,...., nk ,....., ni ,...., nN , t 

(1.32)

Vì vậy đối với hai hạt ta có:

 s 1,2 , t  

  c n , n , t           
1

n1 n2 n2

2

n1

1

n2

2

n2

1

n1

2

  c n , n ,t    

=

1

n1 n2 n2

2

n1 ,n2

(1.33)

1 2

Trong trường hợp hệ N hạt Bose ta thu được:
 s 1, 2 ,..., N , t     c  n1, n2 ,..., nN , t  n n ...n 1, 2 ,..., N 
1 2

n1  n2 ... nN

n n
1

nN

....

2

N

 , ,....,       .....  
1

2

N

p

n1

1

n2

2

nN

N

(1.34)
(1.35)

Ở đây:
Trong trường hợp tương tác giữa các Bose là yếu, biểu thức gần đúng
cho hàm sóng của trạng thái N hạt sẽ gần với hàm sóng (1.35) của trạng thái
các hạt không tương tác, trong đó hạt thứ i (i=1, 2,…, N) ở trạng thái ni
1.2. Phƣơng pháp lƣợng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất
1.2.1. Mở đầu
Phương pháp lượng tử hóa các trường sóng thực chất tương tự như
phương pháp lượng tử hóa trong cơ học lượng tử phi tương đối tính. Vấn đề là
ở chỗ có thể khảo sát trường sóng với vô hạn bậc tự do N khi N đủ lớn mà các
hệ với số N lớn đã được nghiên cứu ở cơ học lượng tử. Một trường hợp riêng
của các hệ này là hệ N dao động tử điều hòa.
Công cụ quan trọng được áp dụng trong phương pháp lượng tử hóa các
trường là phép biểu diễn các số lấp đầy (còn được gọi là phép biểu diễn lượng
tử hóa lần thứ hai hay phép biểu diễn Fock).

16


Theo nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất,
trạng thái của hệ các hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt. Ta hãy
trả lời câu hỏi trạng thái của hệ các hạt đồng nhất được xác đinh bởi cái gì. Có
thể xác định được trạng thái của hệ nếu chỉ rõ có bao nhiêu hạt ở trạng thái
khác nhau, tức là các số sau đây: N1 hạt ở trạng thái n1 , N 2 hạt ở trạng thái n1
và vv…..Số hạt toàn phần là N  N1  N2  ...... Số hạt ở trong cùng một
trạng thái nào đó được gọi là số lấp đầy của trạng thái này.
Ta nhớ lại lý thuyết biểu diễn. Các biểu diễn có thể khác nhau. Khi giải
quyết các bài toán cần lựa chọn biểu diễn để cho việc tính toán được thuận
lợi. Việc nghiên cứu những tính chất của các hệ gồm nhiều hạt đồng nhất
trong các biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lượng…., trong đó các trạng thái

của mỗi hạt được xét riêng rẽ gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Đối với hệ
nhiều hạt, người ta sử dụng phép biểu diễn các số lấp đầy các trạng thái( các
biến đôc lập được chọn là số hạt của hệ ở trạng thái khác nhau: N1  N2  ......
), đồng thời đưa vào lý thuyết khái niệm toán tử sinh và hủy hạt là phương
pháp lượng tử hóa lần thứ hai.
Phép biểu diễn các số lấp đầy đã làm đơn giản hóa lý thuyết một cách
đáng kể. Khi trạng thái của hệ được đặc trưng bởi số hạt trong mỗi trạng thái
của hạt, tính chất đối xứng của hàm sóng đối với sự hoán vị các cặp hạt đã
được kể đến và điều này hoàn toàn phù hợp với tinh chất thực của hệ
đồng nhất.
1.2.2. Phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai.
Phương trình Schrodinger cho hàm sóng của hệ gồm N hạt đồng nhất
trong biểu diễn tọa độ:

i

 1 ,....,i ,...., N , t   N
1 N

  H i   W i ,k   1 ,....,i ,...., N , t  (1.36)
t
2 i #k
 i 1


17


Ở đây:
H i   

1
 i  U i  là toán tử năng lượng của hạt thứ i khi
2m

không tính tương tác của nó với các hạt còn lại.

U i  là thế năng của hạt thứ i trong trường ngoài.
W ik  là năng lượng tương tác giữa các hạt thứ i và thứ k.
Ý nghĩa vật lý của hàm sóng  là ở chỗ:  d1d2 ....dn cho ta xác
2

suất tìm thấy một cách đồng thời hạt thứ nhất trong khoảng tọa độ
( 1 ,1  d1 ), hạt thứ hai trong ( 2 ,2  d2 ),…., hạt thứ N trong

 , 
N

 d N  . Mật độ xác suất là  . Xác suất toàn phần là
2

N



2

d  1, ở

đây d là yếu tố thể tích vô cùng bé trong toàn bộ không gian. Xác suất tìm

thấy hạt thứ i nào đó trong khoảng i ,i  di  khi vị trí các hạt còn lại
tùy ý bằng:

di   d i
2

với

d i 

d
d i

Các tích phân trên bao gồm cả phép lấy tổng theo các biến spin.
Bây giờ ta chuyển sang biểu diễn mới, đó là F-biểu diễn được xác định
bởi 4N toán tử giao hoán với nhau: F1i  , F2i  ,....., FNi  , với i = 1, 2, 3, 4. Để đơn
giản ta coi các giá trị riêng của mỗi toán tử tạo thành phổ gián đoạn và xác
định bộ bốn số lượng tử cho mỗi hạt. Ta kí hiệu chúng là: n1 , n2 ,...., nN . Từ
(1.17) ta có thể khai triển  dưới dạng chuỗi Fourier theo các hàm riêng của
chung của các toán tử nói trên:
 1 ,  2,....,  N , t  



c  n1 , n2 ,...., nN , t  n1 1  n 2  2  ...... n

n1,n 2 ,...n N

N

  (1.37)
N

Tập hợp tất cả hệ số các biên độ c  n1 , n2 ,..., nN , t  xác định hàm sóng
trong F-biểu diễn. Thay (1.37) vào (1.36) và nhân trái phương trình thu được với:
18


m1 1  m 2 .... m  N  , rồi lấy tích phân theo 1 ,2 ,..., N ta thu được:
2

N

N
d
i c  m1 ,..., mi ,...., mk ,.....mN , t    H m1nic  m1 ,..., ni ,..., mk ,..., mN , t 
dt
i 1 ni

+

1
 Wmi mk , ni nk c  m1 ,...., ni ,...., nk ,...., mN , t 
2 i # k ;i ,k ni nk

(1.38)

Ở đây các yếu tố ma trận H mi ,ni và Wmi mk ,nink bằng:

H mi ,ni =

  i    H     1   d 

m

i

i

n

i

(1.39)

i

Wmi mk ,nink =   mi i m k k W i ,k  n i nk k  dik
i

(1.40)

Phương trình (1.38) là phương trình Schrodinger trong F- biểu diễn.
Do tính đồng nhất của các hạt, các yếu tố ma trận (1.39) và (1.40) chỉ
phụ thuộc vào giá trị của các số lượng tử mi  m , mk  m , ni  n , nk  n mà
không phụ thuộc vào việc đánh số hạt i và k. Vì vậy ta có thể viết lại như sau:

H mi ,ni = H m,n
Wmi mk ,nink = Wmm,nn

(1.41)

Tiếp theo, ta hãy chuyển F- biểu diễn sang biểu diễn các số lấp đầy của
các trạng thái. Trong biểu diễn các số lấp đầy, hàm sóng  được cho bởi tập
hợp các biên độ c  N1 , N2 ,....., Nm ,...., t  , ở đây N1 là số hạt trong cùng trạng
thái 1, N 2 là số hạt trong cùng trạng thái 2,…., N m là số hạt ở trong cùng trạng
thái m và vv……
Các số hạt này có thể nhận giá trị bất kỳ trong trường hợp hệ các hạt
đồng nhất Bose và chỉ có thể nhận hai giá trị 0 và 1 trong trường hợp hệ các
hạt Fermi.
Đối với cá hạt Bose ta đi viết phương trình Schrodinger trong biểu diễn
các số lấp đầy của các trạng thái. Muốn vậy ta hãy đi tìm sự phụ thuộc
giữa c  N1 , N2 ,....., Nm ,...., t  và c  m1 , m2 ,....., mi ,...., mr , t  .

19


Và chú ý rằng c  N1 , N 2 ,....., N m , t  là xác suất tìm thấy N1 hạt ở trạng
2

thái 1, N 2 hạt ở trạng thái 2,….., N m hạt ở trạng thái m và vv…... Xác suất này
được biểu thị qua c  m1 , m1 ,....., mi ,...., mN , t  , dưới dạng sau:

c  N1 , N 2 ,....., N m , t  =
2

 c  m , m ,...., m , t 
1

2

2

N

(1.42)

Ở đây tổng được lấy theo tất cả các c  m1 , m2 ,....., mN , t  có N1 hạt ở
trạng thái thứ nhất, N 2 ở trạng thái thứ hai vv….Số các số hạng như vậy bằng

N ! N1!, N2 !,...., Nm !..... . Do tính chất đối xứng, tất cả các c đều bằng nhau.
1

Vì vậy từ (1.42) ta có:

c  N1 , N 2 ,....., N m , t  =
2

2
N!
c  m1 , m2 ,....., mN , t 
N 1! N 2 !......N m !....

(1.43)

Hay
1

 N ! N !.....N m !...  2
c  m1 , m2 ,....., mi ,...., mN , t  =  1 2

 c  N1 , N 2 ,....., N m ,...., t 
N!



(1.44)

Chú ý rằng: c  m1 ,....., ni ,.....nk ,....., mr , t  khác với

c  m1 ,....., mi ,.....mk ,....., mr , t  ở chỗ số hạt trong trạng thái ni  n tăng
lên 1.
Tương tự, c  m1 ,....., ni ,.....nk ,....., mr , t  khác với

c  m1 ,....., mi ,.....mk ,....., mr , t  ở chỗ số hạt trong các trạng thái mi  m và
mk  m giảm đi 1, còn số hạt trong các trạng thái ni  n và n k  n  tăng lên 1.

Trên cơ sở của các nhận xét này và bằng cách thay (1.44) vào (1.43) và chia
1


2
N!
 ta thu được:
cả hai vế của phương trình nhận được cho 
N
!
,
N
!.....
N

!....
2
m
 1


i

d
c  N1 ,......, N m ,...., N m ,...., N n ,....., N n .....t  
dt

20


1

1

=  N m2  N n  1 2
m ,n

H

c  N1 ,...., N m  1,....., N m ,...., N n  1,...., N n ,....t  

mn

1
1

1
1
1
2
2
2 N 1 2
N
N
N

1
+




 m m n
n
2 mm,nn

Wmm,nnc  N1 ,....Nm  1,...., Nm  1,....Nn  1,...., Nn  1,...., t 

(1.45)

Phương trình (1.45) chính là phương trình Schrodinger cần tìm, ở đó
các biến độc lập là số hạt ở các trạng thái riêng biệt. Phương trình này có thể
được viết dưới dạng tổng quát hơn nếu ta đưa vào các toán tử sinh và hủy hạt
các hạt tác dụng lên hàm của các số lấp đầy và thời gian theo qui tắc sau đây:

aˆn f  N1 , N2 ,...., Nm ,...., Nn ,....., t 

1
2

=  N1  1 f  N1 , N 2 ,...., N m ,...., N n  1,....., t 

(1.46)

aˆn f  N1 , N2 ,...., Nm ,...., Nn ,....., t  =
1

= N n2 f  N1 , N 2 ,...., N m ,...., N n  1,....., t 

aˆn f  N1 , N2 ,...., Nm ,...., Nn ,....., t  =0

(1.47)
(1.48)

Sử dụng các hệ thức (1.11) – (1.13) ta chứng minh được các toán tử này
có tinh chất sau đây:

aˆn aˆn  Nn

aˆm , aˆn   0

aˆn aˆn  Nn  1
 aˆm , aˆn   0 , aˆm , aˆn    m,n

(1.49)
(1.50)

Từ (1.49) và (1.50), phương trình (1.45) được viết lại dưới dạng sau:
i

d
ˆ  N , N ,....., t 
c  N1 , N 2 ,...., t   Hc
1
2
dt

(1.51)

Ở đây:

1
Hˆ   aˆn H mn aˆn   aˆm aˆm Wmm,nnaˆn aˆn
2 mm,nn
m ,n

21

(1.52)


Toán tử Hˆ ở (1.52) là Hamiltonian của hệ được biểu thị qua các toán tử

aˆ

n

và

aˆ


n

. Nó được gọi là Hamiltonian lượng tử hóa lần thứ hai. Ngoài ra

toán tử này còn được viết dưới dạng khác tương ứng với năng lượng của một
trường sóng nào đó. Giả sử hàm sóng của một hạt là   . Ta khai triển hàm
này theo các hàm riêng  n   của các toán tử F 1 , F  2 , F 3 , F  4 .
  =

 a   
n

(1.53)

n

n

Bây giờ ta xét biên độ an không phải là số mà là các toán tử có tính
chất (1.50). Khi đó, các hàm   và     biến thành các toán tử:
ˆ   =


 aˆ   
n

n

(1.54)

n

ˆ      aˆ    

n n

(1.55)

n

Ngoài ra các toán tử aˆ n và aˆn tác dụng lên hàm f  N1 , N2 ,....., Nm ,....
(mà không phải lên

   , và    ). Phép chuyển từ (1.53) sang (1.54) có


n

n

nghĩa là ta chuyển từ số sang toán tử, tức là ta đã đi từ lý thuyết cổ điển sang
lượng tử. Nhưng sự mô tả chuyển động của một hạt nhờ hàm sóng   đã là
sự lượng tử hóa, cho nên sự thay thế các biên độ an thành các toán tử aˆ n được
gọi là sự lượng tử hóa lần thứ hai và hàm sóng ˆ   được gọi là hàm sóng
lượng tử hóa.

Phép chuyển từ hàm sóng không lượng tử hóa sang hàm sóng lượng tử
hóa có thể phát biểu một cách trực tiếp không qua toán tử aˆ . Thật vậy, từ
(1.50) và (1.45), (1.55) ta suy ra:
ˆ
ˆ


 aˆn , aˆm n  n    
   ,       
m ,n

=

           


n

n

n

22

(1.56)


Nhờ hàm sóng lượng tử hóa ˆ   , Hamiltonian (1.52) có thể được viết
dưới dạng:
1

ˆ   
ˆ d  
ˆ   U  
ˆ  d +
Hˆ 



2m

+

1
ˆ   ˆ  W ,  
ˆ  
ˆ  dd 

2

(1.57)

Trong cơ học ta đã biết rằng, năng lượng toàn phần của trường sóng cổ
điển   bằng:
H=

1
    d      U   d +

2m

+

1
      W  ,    dd 


2

(1.58)

Nếu ta thay thế   và     bởi các toán tử ˆ   và ˆ   tuân theo
qui tắc giao hoán (1.56) thì từ biểu thức năng lượng (1.58) ta thu được
Hamiltonian (1.57). Từ đó ta thấy rằng, lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai giả
định quan điểm đáng chú ý sau đây cho hệ các hạt đồng nhất. Xét trường cổ
điển  nào đó. Trong biểu thức năng lượng H của nó, trường cổ điển  được
thay thế bởi toán tử ˆ . Như vậy, ta đi đến Hamiltonian Hˆ của lý thuyết
lượng tử hóa lần thứ hai và thu được qui luật về các hạt thể hiện tính chất của
trường  đã cho: Sau khi lượng tử hóa, trường thể hiện tính chất hạt, gián
đoạn. phương pháp này được gọi là “lượng tử hóa trường”.
Ở trên ta vừa đề cập đến sự lượng tử hóa trường cho trường hợp các hạt
Bose. Bằng phương pháp tương tự như vậy, ta có thể thực hiện sự lượng tử
hóa cho trường hợp các hạt fermi. Sự khác biệt chỉ ở các tính chất của các
toán tử aˆ , aˆ  . Sau một số phép biến đổi , từ (1.38) ta lại thu được phương trình
Schrodinger (1.51) với Hamiltonian (1.52) nhưng các toán tử aˆ n và aˆn được
định nghĩa khác đi cụ thể là:

23


aˆ f  N , N ,....., N



1

n

2

m

,...., On ,...., t    f  N1 , N 2 ,......, N m ,......, ln ,......, t 
0

aˆ f  N , N


1

n

2

,....., N m ,...., ln ,...., t  = 0

aˆ f  N , N ,....., N
aˆ f  N , N ,....., N

(1.59)
(1.60)

n

1

2

m

,....., ln ,....., t   f  N1, N2 ,....., Nm ,....., On ,...., t 

(1.61)

n

1

2

m

,....., ln ,....., t  = 0

(1.62)

Ở đây dấu + hay – được lấy phụ thuộc vào số các trạng thái N m  1 xảy
ra trước trạng thái n là chẵn hay lẻ nếu như các trạng thái sắp xếp theo thứ tự
tăng dần.
Từ (1.58) – (1.62) ta suy ra:
aˆn aˆn  N n (0 hay 1), aˆn aˆn  1  N n
aˆn aˆm  aˆmaˆn   mn

(1.63)
(1.64)

Sử dụng (1.54), (1.55) và (1.64) ta thu được:
ˆ  
ˆ     
ˆ   
ˆ         


(1.65)

Tất cả công thức còn lại như biểu thức cho Hˆ ở (1.57) đều không thay
đổi đối với trường hợp các hạt Fermi.
Cuối cùng, ta chú ý rằng phương trình Schrodinger dưới dạng (1.51)
tổng quat hơn phương trình dạng (1.36). trong phương trình (1.51) số hạt toàn
phần N không viết dưới dạng tường minh. Điều này cho phép tổng quát hóa
toán tử Hˆ ở (1.52) sao cho có thể nghiên cứu các quá trình trong đó số hạt
toàn phần không bảo toàn. Như vậy, phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai
thích hợp cho việc mô tả các quá trình sinh và hủy hạt (các quá trình này vượt
ra khỏi khuôn khổ của cơ học lượng tử). Thật vậy, có thể thực hiện điều này
nếu như bổ sung vào Hˆ số hạng, ví dụ như có dạng:
Qˆ n   Qˆ n aˆn   Qˆ n aˆn
n

n

24

(1.66)


Trong đó Qˆ n và Qˆ n là các toán tử đặc trưng cho tương tác giữa các hạt
nào đó với các hạt khác.
Nếu lượng tử của ánh sáng (các photon) được xét như là các hạt thì cỏ
thể khảo sát các quá trình bức xạ và hấp thụ ánh sáng như là các quá trình
sinh và hủy photon. Bằng phương pháp tương tự có thể nghiên cứu các hiện
tượng sinh và hủy electron và positron khi phân rã





tạo thành và phân rã

các meson vv…..Tất cả các hiện tượng này được xem xét bởi lý thuyết lượng
tử của các trường.
Ngoài lý thuyết lượng tử của các trường, lý thuyết lượng tử hóa lần thứ
hai còn được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực thống kê lượng tử.
KẾT LUẬN: Trong chương I ta đã đi tìm hiểu về hệ các hạt vi mô đồng
nhất và phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ đó. Qua chương này
chúng ta đã biết được hệ vi mô đồng nhất là những hạt có những đặc trưng
giống nhau như cùng khối lượng, điện tích, spin. Và biết được phương pháp
lượng tử hoá lần thứ hai là phương pháp chuyển từ số sang toán tử tức là ta dã
đi từ lý thuyết cổ điển sang lý thuyết lượng tử. Sự mô tả chuyển động của một
hạt nhờ hàm sóng   đã là sự lượng tử hóa, cho nên sự thay thế các biên độ

an thành các toán tử aˆ n được gọi là sự lượng tử hóa lần thứ hai và hàm sóng
ˆ   được gọi là hàm sóng lượng tử hóa.



25