Tìm hiểu về lý thuyết dây

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HÀ MINH TÙNG

TÌM HIỂU VỀ LÝ THUYẾT DÂY
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.s Hoàng Phúc Huấn

HÀ NỘI, 2012

-1-


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Phúc
Huấn về sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và khoa học của thầy trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 về sự giảng dạy và chỉ bảo nhiệt tình cho em
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của thầy giáo, cô giáo và
góp ý của các bạn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hà Minh Tùng

-2-


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả và số liệu trong khóa luận này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Hà Minh Tùng

-3-


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
NỘI DUNG
Chƣơng 1: Tổng quan về lý thuyết dây ..................................................... 4
1.1. Tác dụng dây trên lá thế ............................................................... 4
1.2. Phương trình chuyển động. Khai triển Mode .............................. 5
1.3. Đại số Virasoro ............................................................................ 8
1.4. Siêu đối xứng trên lá thế .............................................................. 10
1.5. Khai triển Mode tọa độ spinor trên lá thế .................................... 12
1.6. Khối lượng, toán tử chiếu GSO ................................................... 15
CHƢƠNG 2: Phiếm hàm trƣờng dây ....................................................... 18
2.1. Phiếm hàm trường dây Boson mở ............................................... 18
2.2. Phiếm hàm trường dây boson đóng ............................................. 20
2.3. Phiếm hàm trường siêu dây boson mở ........................................ 22

2.4. Phiếm hàm trường siêu dây boson đóng ...................................... 26
CHƢƠNG 3: Các lý thuyết dây ................................................................. 34
3.1. Tải BRST trong lý thuyết đối xứng Gauge .................................. 34
3.2. Tải BRST trong lý thuyết dây ...................................................... 41
3.3. Phương trình chuyển động phiếm hàm trường ............................ 48
KẾT LUẬN .................................................................................................. 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 54

MỞ ĐẦU

-4-


1. Lý do chọn đề tài
Khi Anhxtanh khởi đầu nghiên cứu về sự thống nhất tương tác hấp dẫn
với tương tác điện từ thì các nhà vật lý đã đi tìm một lý thuyết có thể thống nhất
cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng nhằm nắm được bản chất thống nhất
của 4 loại tương tác: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương
tác hấp dẫn.
Trong quá trình xây dựng lý thuyết thống nhất tương tác đã mang lại cho
chúng ta nhiều thành công, đó là hiểu biết về bản chất, quy luật vận động của các
sự vật hiện tượng từ vi mô đến vĩ mô. Vấn đề cơ bản nhất là giữa cơ học lượng
tử và thuyết tương đối rộng có những mâu thuẫn về : không – thời gian , những
giá trị vô hạn…
Trước tình hình đó, sự ra đời của lý thuyết dây (1968 – 1973) đã mở ra
một hướng đi trong công cuộc tìm kiếm một lý thuyết thống nhất tương tác. Lý
thuyết dây được xem như là hướng đi có triển vọng của Vật lý lý thuyết và vật lý
hạt cơ bản.
Trong lý thuyết dây, các hạt cơ bản không được coi là các hạt điểm mà là
những sợi dây chuyển động trong không – thời gian. Từ tầm quan trọng của lý

thuyết dây, tôi chọn đề tài: “Tìm hiểu về lý thuyết dây” làm đề tài khóa luận của
mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu và đưa ra các biểu thức tổng quát các phiếm hàm trường dây.
- Khai triển và tính toán các phương trình chuyển động của trường dây.
- Tim hiểu các quy luật biến đổi Gauge.

-5-


3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Xây dựng một lý thuyết mới có khả năng thống nhất 4 loại tương tác:
tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn.
- Phạm vi nghiên cứu: tìm phương trình chuyển động và quy luật biến đổi
Gauge của các trường dây, xuất phát từ tác dụng của trường dây, từ đó tính phổ
khối lượng cho các trạng thái dây.
4. Giả thuyết khoa học
Từ mâu thuẫn cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết tương đối rộng
như: sự không tương thích giữa không – thời gian, những giá trị vô hạn xuất
hiện… mà không thể giải quyết bằng phương pháp tái chuẩn hóa. Do vậy cần có
sự ra đời của thuyết dây để mở ra một hướng đi mới trong việc thống nhất tương
tác.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng biểu thức tổng quát và viết khai triển của các phiếm hàm
trường dây.
- Tìm được phương trình chuyển động của các trường dây.
- Xây dựng mối liên hệ giữa các trường trong khai triển của phiếm hàm.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Giải quyết được một số mâu thuẫn giữa lý thuyết tương đối rộng và cơ
học lượng tử.

- Xây dựng hình thức luận phiếm hàm trường dây.
7. Cấu trúc khoa luận

-6-


Trên cơ sở những kết quả thu được, cấu trúc khóa luận ngoài phần mở đầu, phần
kết luận, và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp gồm 3
chương:
Chƣơng 1 : Tổng quan về lý thuyết dây.
Chƣơng 2 : Phiếm hàm trường dây.
Chƣơng 3 : Các lý thuyết dây.

-7-


NỘI DUNG
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT DÂY
1.1. Tác dụng dây trên lá thế
Trong lý thuyết dây hạt được xem là những đối tượng một chiều – Dây khi
chuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2 nó sẽ quét lên một
mặt gọi là lá thế ( Hình vẽ 1.1).

Hình 1.1
Vị trí của dây trong không – thời gian được xác định bởi hàm X   ,  phụ
thuộc hai thông số  và  . Trong đó:
*      : có thể hiểu như thời gian riêng của dây.
* 0     :  có thể hiểu như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây.
Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:

   ,  ,  0   , 1  

(1.1)

Đưa vào tenxơ metric trên lá thế h và h với các tính chất:

h  h ,

h  h  ,

h .h  

Và biến đổi theo quy luật

-8-

(1.2)


 

'
h     h
' 



h

   h

'

 


'

 h   

(1.3)

 '  '  
     h  



 
'

Dưới tác dụng của phép biến đổi tổng quát:

(1.4)

   '  f   x 

(1.5)

Chuyển động của dây trong không – thời gian được mô tả bởi tác dụng

S

1
  d 2   h  h  X     X 
2

Trong đó:

2
,
h  det h  h00  h11  h01

(1.6)

 X  

X 




(1.7)

*) Tác dụng (1.6) bất biến với phép biến đổi tổng quát (1.3), (1.4).
*) Ngoài ra tác dụng S còn bất biến với phép biến đổi Weyl định xứ metric:

 

'
h     h

 '      h   

(1.8)

Có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor h theo metric Minkoski

 hai chiều:

h    diag 1, 1

(1.9)

Ta nói rằng đã dùng conformal gauge và lúc này tác dụng (1.6) sẽ thành:
S


1
  d 2    X     X  
2



1
  d d   X   X    X   X 
2



(1.10)

1.2. Phƣơng trình chuyển động. Khai triển Mode
Theo (1.10) ta có:
S

1
  d 2    X     X 
2

Từ phương trình chuyển động Euler – Largrange:

-9-

(1.11)


L
L


0


X
  X



Ta có:







  X   2  2 X   0

(1.12)

Đó là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dưới dạng:
X      X R      X L    

(1.13)

Trong đó X R mô tả các mode “chuyển động phải”, X L mô tả các mode
“chuyển động trái” của dây.
Cần phân biệt dây mở, dây đóng

- Với dây mở ta có điều kiện biên:
X '   0 tại   0,

(1.14)

Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.12) thỏa mãn điều kiện (1.14) có dạng khai
triển như sau:

X R     

1  1 
i

1  in  
x  p     
n  e

2
2
2 n 1,2... n

X L     

1  1 
i
1  in  
x  p     
n  e

2
2
2 n 1,2... n

- 10 -

(1.15)


X      x   p   i

1  in
 n  e cos n
n

n 1,2...



Ở đây có thể xem x  và p  như tọa độ và xung lượng của khối tâm của hạt
dây,  n như các dao động tử quỹ đạo.
Ta đòi hỏi X  phải thực nên x  và p  cũng phải thực và  n    n .
Với dây đóng, ta đặt điều kiện tuần hoàn:
X   ,   X   ,   

(1.16)

Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.12) thỏa mãn điều kiện (1.16) có dạng khai
triển như sau:

X R     

1  1 
i
1  2in  
x  p     
n  e

2
2
2 n 1,2... n

X L     

1  1 

i
1   2in  
x  p     
n e

2
2
2 n 1,2... n

(1.17)

  2in   2in 
2
in

 n e
  n e

1


e

1
1
i
X      x   p  

2
2

2 n 1,2... n

Chú ý rằng trong trường hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo  n ứng

với “chuyển động phải” và  n ứng với “chuyển động trái”.




Để tiện ta viết ra các biểu thức khai triển của X   X



và X



'

  X  .

Trong trường hợp dây mở, từ (1.15) ta có:




X 



 in

 n e

n 

'

cos n

;



X i



  n ein sin n

n 

- 11 -

(1.18)


trong đó ta kí hiệu:  0  p 
Trong trường hợp dây đóng, từ (1.17) ta có:




X 





n 
'



X 





 n  e2in
ein  n e2in  





n 







 n  e2in
ein  n e2in  

(1.19)



   1 p
trong đó, ta kí hiệu  0  
0
2
1.3. Đại số Virasoro
Khi đã lượng tử hóa các dao động quỹ đạo tuân theo các hệ thức giao hoán sau:
-Với dây mở:

 m ,n   m   m n,0



(1.20)

-Với dây đóng:
  
 m ,n    m
, n  m   m  n,0 ;



 

  ,   0
 m n 

(1.21)

Từ tensor năng – xung lượng

1
T : T   X     X     X    X 
2

(1.22)

Ta lập các toán tử:
1

£n   e



in



 d (T00 cos n  iT10 sin n ), n  Z
0

Hãy biểu diễn Ln qua các dao động tử quỹ đạo:
- Đối với dây mở:
Thay (1.18) vào các biểu thức (1.23) ta tính được:

- 12 -

(1.23)


£ n  Ln  

1 
 k  ,n  k

2 k 

(1.24)

- Đối với dây đóng:
n
£ n  Ln  L

1 
Ln     k  ,n  k
2 k 



;


n   1
L
 k   ,n  k

2 k 

(1.25)

Từ định nghĩa (1.23), cũng như các biểu thức (1.24), (1.25) ta nhận thấy rằng:
 n  L
 n
L

Ln  Ln ,



Ta xem  n ,  n với n  0 như các toán tử hủy và  n ,   n như các toán tử

  n : viết (1.24), (1.25) dưới dạng tích normal,
sinh. Ta cũng định nghĩa lại Ln , L

trong đó toán tử sinh đứng trước toán tử hủy.
1 
Ln    :  k   ,n  k :
2 k 



n   1
L
:   k   , n  k :

2 k 

(1.26)

Hệ thức giao hoán của các vi tử

 Ln , Lm    n  m  Ln m  A  n    n m,0

(1.27)

  

L
 n , Lm    n  m  Ln  m  A  n    n m,0

(1.28)

 0
 Ln , L
m


- 13 -

A(n) 

D
n(n 2  1) là các số dị thường
12

Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (1.27) (1.28) được gọi là đại số
Virasoro dị thường.
1.4. Siêu đối xứng trên lá thế
Lý thuyết dây boson có những hạn chế như:
+ Sự tồn tại các tachyon, số chiều không- thời gian ngoại phụ quá nhiều.
+ Cấu trúc lý thuyết dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái có spin
bán nguyên.
Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đã đưa vào siêu đối xứng trên lá
thế, thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không - thời gian X  ( , )
và các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giao hoán   ( , ) . Đối với
không - thời gian của dây đó là các vector, còn đối với lá thế đó là các spinor hai
thành phần, ( A )( , ) , A=1,2. Ngoài ra chúng là các đại lượng thực
(Majorana):
( A )  (   ) A   A

Lúc này vị trí của dây trong không- thời gian được xác định bởi cả X  ( , ) và

 A ( , ) , và dây được gọi là siêu dây.
Chuyển động của siêu dây được mô tả bởi tác dụng :

- 14 -


S  S ( X )  S ( )

(1.29)

Trong đó S ( X ) vẫn là biểu thức (1.10):
S(X ) 

1
. d 2.   X  .  X 
2

(1.30)

S ( ) 


1
. d 2 .      
2

(1.31)

      0 ,   là các ma trận Dirac 2x2 có dạng:

 0 i 
,
i 0 

0  

0 i 


 i 0

1  

(1.32)

Chú ý đến các tính chất của các ma trận   :

    T     
 
i 
,
  
 
 i



 

(1.33)

 ,     2

Dùng tính chất này dễ dàng chứng minh rằng với hai spinorMajorana bất kỳ

 (1) và (2) ta có hệ thức:
  1   2 ...  n  (2)  (1)n 
(1)

Đặc biệt là:

(2)  n



...  2  1 

  (2)  (2)  (1)
(1)

- 15 -

(1)

(1.34)
(3.35)


Từ (1.35) ta thấy ngay:
S ( )   S ( )

(1.36)

Tác dụng S bất biến với phép biến đổi siêu đối xứng như sau:

X   X     A
A

;

 A   A  i X  (    ) A



A



A

 i X  (    ) A

Ta tìm được phương trình chuyển động cho  A ( , ) từ tác dụng (1.31) ta có:

L
i
  (  0   ) BA    B

2
 A

L

i
1
1
 A
0  A



(


)



(


)


(  0   ) BA   B

B
B

2
2
2
 (  A )
Thay kết quả này vào phương trình Euler- largrange ta được phương trình
chuyển động:

     0

(1.37)

Viết phương trình cho từng thành phần sẽ là:
(   )1  0 ,

(   ) 2  0

(1.38)

1.5. Khai triển Mode tọa đô spinor trên lá thế
Cũng như dây boson, đối với siêu dây mở ta đặt điều kiện biên, đối với
siêu dây đóng ta đặt điều kiện biên tuần hoàn.

- 16 -


1.5.1. Siêu dây mở
Vì dấu tương đối giữa các thành phần 1 và  2 chỉ là vấn đề quy ước, cho nên
sẽ không mất tính tổng quát nếu ta đặt điều kiện biên tại   0 là:
1 ( ,0)   2 ( ,0)

(1.39)

Khi đã buộc điều kiện (1.39) thì dấu tương đối giữa 1 và  2 tại    lại trở
nên có ý nghĩa. Lúc này ta phân biệt hai trường hợp:
- Điều kiện Neveu-Schwarz( miền NS)
1 ( ,  )   2 ( ,  )

(1.40)

- Điều kiện biên Ramond( miền R)

1 ( ,  )   2 ( ,  )

(1.41)

Nghiệm của phương trình (1.38) thỏa mãn các điều kiện biên(1.39) - (1.40) có
biểu thức khai triển tổng quát như sau:
1.5.1.1. Miền NS
1 ( , ) 

1
2



br ein(  ) ;

1
rZ 
2

 2 ( , ) 

1
2

 2 ( , ) 

1
d n ein(  )


2 nZ 0



br eir (  )

(1.42)

1
rZ 
2

1.5.1.2. Miền R

1 ( , ) 

1
d n ein(  ) ;

2 nZ 0

bn , d n được gọi là siêu dao động tử. Do  A là Majorana nên:

bn   br ,

dn   dr

1.5.2. Siêu dây đóng
Với siêu dây đóng thì điều kiện biên có thể là tuần hoàn

- 17 -

(1.43)


 A ( ,   )   A ( , )

Hoặc phản tuần hoàn:
 A ( ,   )   A ( , )

Do đó ta phân biệt bốn miền như sau:
1.5.2.1. Miền NS-NS
1 ( ,   )  1 ( , ) ;

 2 ( ,   )   2 ( , )

(1.44)

 2 ( ,   )   2 ( , )

(1.45)

 2 ( ,   )   2 ( , )

(1.46)

 2 ( ,   )   2 ( , )

(1.47)

1.5.2.2. Miền NS-R
1 ( ,   )  1 ( , ) ;

1.5.2.3. Miền R-NS
1 ( ,   )  1 ( , ) ;

1.5.2.4. Miền R-R
1 ( ,   )  1 ( , ) ;

Nghiệm các phương trình (1.38) thỏa mãn các điều kiện biên(1.44)-(1.47)
có biểu thức khai triển tổng quát như sau:
a. Miền NS-NS
1 ( , ) 

1
2



br e2ir (  ) ;



br e2ir (  ) ;

1
nZ 
2

 2 ( , ) 

1
2




b r e2ir (  )

(1.48)

1
nZ 
2

b. Miền NS - R
1 ( , ) 

1
2

nZ 

 2 ( , ) 

1
2

c. Miền R-NS

- 18 -


1
d r e2ir (  )

2 nZ 0

(1.49)


1 ( , ) 

1
d n e2in(  ) ;

2 nZ 0

 2 ( , ) 

1
d n e2in(  ) ;

2 nZ 0

 2 ( , ) 


b r e2ir (  )

(1.50)


1
d n e2in(  )

2 nZ 0

(1.51)

1
2


nZ 

1
2

d. Miền R-R

1 ( , ) 

Điều kiện Marojana của  A buộc:




bn   br , b r  b  r , dn   dn , d r  d  r

1.6. Khối lƣợng, toán tử chiếu GSO
Các vi tử Ln , Gs tác dụng trong không gian Fock các trạng thái kích thích dạng



( n1n2 ...n p , s1...s p )

1 2

 p 1 2

q

  n  n ... n bs bs ...bs 0 , n  0, s  0
1
2
p 1
2
q

(1.52)

Tại miền NS và tương tự tại miền R:



( n1n2 ...n p , k1...k p )

1 2

 p 1 2

q

  n  n ... n dk dk ...dk 0 , n  0, k  0
1
2
p 1
2
q

(1.53)

Các trạng thái (1.68) và (1.69) thỏa mãn các phương trình như sau:
-Siêu dây mở NS:

1

 L0     0
2


Ln   0 , n  1

;

Gs   0 s 

1
2

(1.54)

-Siêu dây mở:

Gk   0 ,

k 0

Ln   0 ,

n 1

- 19 -

(1.55)


Chú ý từ phương trình G0   0 cũng suy ra phương trình L0   0 do

G02  L0
Các phương trình trên đây cho phép xác định phổ khối lượng của các trạng thái

 .
Ta có:
  
  sb sb , s
 s 1
1 2  


L0   p     n  n   2
2

n 1
  nd n d  ,n
n 1

Miền NS
(1.56)
Miền R

Trong đó a  2 trong trường hợp dây mở và a  8 trong trường hợp dây đóng.
Thay (1.56) vào các phương trình có L0 ở (1.54) - (1.55) ta có:

 1  

p   a      n  ,n   sbsb , s  
 2 n 1

n 1
2

(1.57)

cho siêu dây NS

 1  

và p   a      n  ,n   nd n d  ,n  
 2 n 1


n 1
2

(1.58)

cho siêu dây R
Dùng hệ thức giao hoán và phản giao hoán dễ dàng chứng tỏ rằng:
- Trạng thái kích thích siêu dây mở NS (1.54) có:
q
 p

p  m  1  2   ni   si 


i 1 
 i 1
2

2

(1.59)

- Trạng thái kích thích siêu dây mở R (1.55) có:

- 20 -


q
 p


p  m  2   ni   mi 


i 1 
 i 1
2

2

(1.60)

Các kết quả (1.59) – (1.60) chứng tỏ rằng các siêu dây có miền R không chứa
Tachyon, trong khi đó các siêu dây mở NS có chứa Tachyon ( trạng thái không
kích thích) với m2  1 .
* Gliozzi, Scherk và Oliver đã đề xuất một cơ chế khử Tachyon như sau:
Đưa vào toán tử chẵn lẻ G định nghĩa bởi:



G  (1)

s

1
2

bs b , s

(1.61)

được gọi là toán tử chiếu GSO. Dùng hệ thức phản dễ dàng chứng minh rằng:


 f s
1
2



v
bs b , s .brv1brv2 ...br p
1 2
p



0   f  ri  bs b , s .brv1brv2 ...br p 0 , n  0 (1.62)
v

1

i 1

2

p



Và từ đây suy ra

 bs b ,s
s

là toán tử dao động tử b. Do đó ta có:

1
2

Gbrv1brv2 ...br p 0   1 brv1brv2 ...br p 0
v

1

2

p

v

p

1

2

p

(1.63)

Như vậy với siêu dây NS ta phân biệt hai trạng thái: trạng thái với số chẵn dao
động tử b, có G  1 và trạng thái với số lẻ dao động tử b, có G  1. Nếu đặt
điều kiện G  1 lên các trạng thái vật lý thì sẽ loại trừ được Tachyon.

- 21 -


Chƣơng 2
PHIẾM HÀM TRƢỜNG DÂY
2.1. Phiếm hàm trƣờng dây boson mở
Sự lượng tử hóa dây trình bày ở các chương I mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ
X  , Y  ,… thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định. Có thể

xem đó như lượng tử hóa lần thứ nhất – lượng tử hóa dây đơn lẻ. Đến đây vẫn
chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây và do đó các quá trình
chuyển hóa giữa các dây. Để mô tả các quá trình chuyển hóa giữa các dây, cần
phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử.
Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, ta
chuyển hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm trường dây:

    X   ,  ,    ,  ,...


Đây không phải phiếm hàm thông thường với các giá trị số thông thường mà là
phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không – thời gian x  . Phiếm hàm
trường dây Boson mở   X   ,  có thể khai triển tổng quát như sau:


  X   ,   




 i r  n1n2 ...nr . 1  2  ... r 

12 ...r n1
n2
nr


r 0

r!

0 , n1,..., n2  0

(2.1)

Các hệ số khai triển  n1n2 ......nr được xem là các trường thành phần của trường
1 2 r
dây và chính là các trường định sứ thông thường trong lý thuyết trường lượng tử.

- 22 -


Chú ý rằng do các dao động tử  nr  , n  0 giao hoán với nhau nên các hệ số
r

 

khai triển này có thể xem là đối xứng theo các cặp chỉ số n .
Ta hãy viết biểu thức (2.1) cho một số trường thành phần ứng với các mode kích
thích thấp nhất.

1


  X      x   iA  x  1  iv  x  2  ...  1  x  1 2  ... 0 (2.2)

 
2

Trong đó kí hiệu 1  A , 2  v ,  12

Phiếm hàm Φ cũng thỏa mãn các phương trình thương tự như các trạng thái dây,
cụ thể là:

 L0  1   0 ;

Ln  0 ;

n0

(2.3)

Chú ý tới hệ thức giao hoán (1.27) ta có:
Ln 

1
 L1, Ln 1  ,

2n

n2

(2.4)

Cho nên dãy vô số các phương trình (2.3) trên thực tế quy về 2 phương trình:

L1  0 , L2  0

(2.5)

Xét các phương trình (2.5), ta có:

L1  




1 








p





  1  k  ,1 k 
 k  ,1k
2 k _ 
k 1



1


   A  x .1 1       x .1 11  iv  x  1  ,2 2  ... 0
2







   A  x   i    x  . 1  2iv  x  1  ... 0

Ở đây ta đã sử dụng hệ thức (1.20) đưa các dao động tử 1 , n  0 sang phải để
có 1 0  0 . Vậy phương trình L1  0 cho:

- 23 -

  A  x   0 ;     x   2v

(2.6)

Cũng tiến hành tương tự, ta sẽ thấy phương trình L2  0 cho:

1
  v     x 
4

(2.7)

và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích thích
cao hơn.
Đáng chú ý là trường A  x  là trường vector không khối lượng, thỏa mãn điều
kiện tương tự như Gauge Lorentz,   A  x   0 , và do đó có thể đoán nhận là
trường Gauge. Như vậy, phương trình (2.3) tương ứng với phương trình
Maxwell trong lý thuyết trường lượng tử, phương trình (2.4) tương ứng với điều
kiện Gauge Lorentz và do đó được gọi là điều kiện gauge của trường dây.
2.2. Phiếm hàm trƣờng dây boson đóng
Phiếm hàm trường dây boson đóng có biểu thức khai triển tổng quát như sau:
X   



 i r  s



r , s 0

 

n n ...n , m m ...m
 1 2 ...r ,1 2... s  x  n1  n2  ... nr   n1  n2 ... ms
1 2 r 1 2 r
1
2
r
1 2
s

(2.8)

Các trường thành phần  1 2 ...r ,1 2... s  x  có thể xem la đối xứng theo các
1 2 r 1 2 r
n n ...n , m m ...m

n
cặp chỉ số   và các cặp chỉ số


m
   . Phiếm hàm  thỏa mãn phương trình:
 

 L0  a0    0 ,  L 0  a0    0
 n  0 n  0
Ln  0 , L

(2.9)
(2.10)

Từ (2.8) ta có:

- 24 -


 L0  L0    0

(2.11)


Và từ (2.10) ta có:



k 1





 k  , k





   k   ,k   0

(2.12)

Phương trình (2.11) dẫn tới hệ quả là trong biểu thức khai triển (2.8) chỉ xuất
hiện các trường thành phần với các chỉ số n, m thỏa mãn điều kiện:

n1  n2  ...  nr  m1  m2  ...  mr

(2.13)

Viết tường minh (2.8) cho các trường thành phần với các mode kích thích thấp
nhất ta có:






  X   ,      x   t  x  . 1 1  ... 0



(2.14)

Trong đó ta kí hiệu 1,1
 ,  t
Xét sang phương trình (2.10) ta có:

L1  


1

1  







p


  1    k  ,1 k  

 k  ,1 k
2 k 
k 1
2



 1

    t  x  .1 1 1  ... 0
 2


1

   ...
    t  x  .
0
1
2


Từ đó suy ra :

  t  x   0

(2.15)

Và hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích thích cao
 n  0 cho:
hơn. Cũng hoàn toàn tương tự, phương trình L

  t  x   0

(2.16)

và hệ thức giữa các trường thành phần cao hơn.

- 25 -