Nghiên cứu chuyển pha sắt từ trong mô hình hubbard hai chiều liên kết mạnh bằng phương pháp nghịch đảo

Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa: Vật lý
*************************

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Dung

Nghiên cứu chuyển pha sắt từ Trong mô
hình hubbard hai chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành:

Vật lý lý thuyết

Hà Nội - 2007

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

1

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa: Vật lý
*************************

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Dung

Nghiên cứu chuyển pha sắt từ Trong mô
hình hubbard hai chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành

: vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học
Nguyễn văn thụ

Hà Nội - 2007

Mục lục:
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

2

Lớp:

K29 D lý

Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Lời cảm ơn…………………………………………………….………………..2
Lời cam đoan………………………………………………..…………………..3
Mở đầu:
1. Lý do chọn đề tài………………………………………………..…………….4
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………….………………6
3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………........………………6
4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………6
Chương 1: Lý thuyết chung về chuyển pha
1.

Pha và sự chuyển pha
1.

Pha………………………………………………………………7

2.Sự chuyển pha……………………………………………………………7
2. Các loại chuyển pha……………………………………..……………………9
1.

Chuyển pha loại 1………………………………………………………9

2.

Chuyển pha loại 2……………………………….……..…………...…10
3. Pha sắt từ trong vật rắn…………………………………...……………….11

Chương II: Chuyển pha trong mô hình HUBbard hai chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo
Đ 1. Phương pháp nghịch đảo………………………………..……………….15

1.

Phương pháp nghịch đảo………………………………………..……….15

2.

Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo………………….…….16

3.

Công thức nghịch đảo…………………………………………………18
2 Chuyển pha trong mô hình Hubbảd hai chiều lien kết mạnh bằng phương pháp
nghịch đảo
3 Kết quả tính số…………………………………………………………..……29
Kết luận……………………………………………………………………34
TàI liệu tham khảo………………………………………………..……………35

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

3

Lớp:

K29 D lý

Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình cuả thầy Nguyễn
Văn Thụ, đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý
Trường đại học sư phạm Hà Nội II đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp của mình.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây là lần đầu tiên làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học, bởi vậy có thể có những sai sót vì vậy em rất mong
được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên trong khoa để khóa luận của
em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Nguyễn Thị Dung

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

4

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. các kết quả
nghiên cứu, các số liệu trình bày trong khóa luận là trung thực và không trùng
với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Nguyễn Thị Dung

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

5

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha xuất hiện từ những
năm 50 của thế kỷ trước. Từ đó tới nay các hiện tượng chuyển pha luôn là vấn
đề có tính thời sự của vật lý cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm, nú bao trựm
toàn bộ cỏc lĩnh vực của vật lý từ hạt nhân hạt cơ bản cho đến vật lý thiờn văn.
Trên thế giới lĩnh vực nghiên cứu chuyển pha đó thu được những kết quả
to lớn sau các công trỡnh của Wilson. Hiện nay một số phương pháp chủ đạo đó

được phát triển để giải bài toán chuyển pha như phương pháp tái chuẩn hóa,
phương pháp trường trung bỡnh và phương pháp nghịch đảo. Tuy nhiên mỗi
phương pháp đều có những hạn chế nhất định khi tiếp cận bài toán cụ thể và chỉ
áp dụng cho chuyển pha loại 2. Trong những năm gần đây lý thuyết cỏc chuyển
pha lượng tử đó trở thành một lĩnh vực phỏt triển rất mạnh.
Nghiờn cứu chuyển pha Chiral trong lý thuyết trường và hạt cơ bản là một
trong những vấn đề chưa có lời giải cuối cùng, các công trỡnh về nghiờn cứu
chuyển pha Confining – Deconfining đó cố gắng tỡm lời giải cho việc hỡnh
thành vũ trụ. Chuyển pha

lỏng – khớ trong hạt nhõn đó được nghiên cứu từ

nhiều mô hỡnh khỏc nhau và gần đây vẫn cũn thu hỳt được sự quan tâm của
nhiều tác giả. Tuy nhiên trong những công trỡnh này vẫn chỉ nghiờn cứu cỏc
chuyển pha nhiệt chưa đề cập đến chuyển pha lượng tử của các đối tượng.
Những nghiên cứu chuyển pha trong vật lý các chất đông đặc tỏ ra hết sức
phong phú, ở đây người ta áp dụng khá hiệu quả cả ba phương pháp nêu trên khi
nghiên cứu chuyển pha nhiệt. Đáng quan tâm hơn cả là một số nghiên cứu về
mối tương quan giữa chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong thời gian
gần đây.
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

6

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Chuyển pha trong các vật liệu từ và đặc biệt là vật liệu sắt từ có ý nghĩa
thực tế rất lớn. Các vật liệu sắt từ đặt vào từ trường B sẽ bị từ trường hóa rất
0


mạnh. Nguyên nhân là do bên trong khối sắt từ khi đó xuất hiện một từ trường
phụ trường B ’ cùng hướng và rất lớn so với B . Vỡ vậy từ trường tổng hợp trong
0
  

khối sắt từ có giá trị bằng: B  B0  B  B0 , với  = 104ữ 105




Do đặc tính này các vật liệu sắt từ được dùng rộng dói trong kỹ thuật điện
để làm lừi từ . Tuy nhiờn khi khối sắt từ bị nung núng T ≥ T c khi đó xảy ra hiện
tượng chuyển pha sắt từ, lúc đó

  1 và B  B0

khi đó Tc được gọi là nhiệt độ

Curie và nó có ý nghĩa thực tế rất lớn. Biết được Tc ta có thể chọn khoảng nhiệt
độ làm việc thích hợp đối với các linh kiện điện và điện tử có sử dụng lừi sắt từ.
Mặt khỏc sự biến đổi đột ngột của độ từ thẩm

 của sắt từ ở nhiệt độ Tc được

ứng dụng để chế tạo các bộ cảm biến các Role nhiệt – điện từ
Như trên đó núi để nghiên cứu chuyển pha có nhiều phương pháp và hiện
nay phép biến đổi Legendre được xem là một công cụ hữu hiệu để giải bài toán
này. Nhưng chúng ta có thể gặp những trường hợp mà ở đó các công thức của
biến đổi Legendre không tồn tại, khi đó phương pháp nghịch đảo là một trong số
các phương pháp giải quyết khó khăn này.
Vỡ lý do trờn mà chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu chuyển pha sắt từ
trong mô hỡnh Hubbard hai chiều bằng phương pháp nghịch đảo”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiờn cứu chuyển pha chất rắn trong mụ hỡnh Hubbard 2 chiều bằng
phương pháp nghịch đảo từ đó tỡm được nhiệt độ chuyển pha và đó chính là
nhiệt độ Curie.
3. Đối tượng nghiên cứu
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

7

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Chất sắt từ trong mụ hỡnh Hubbard
4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu có liên quan
- Giải bài toỏn tỡm m, Tc trong mụ hỡnh Hubbard hai chiều bằng phương
pháp nghịch đảo
-Tớnh số bằng phần mềm Mathematica

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

8

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Chương I: Lý thuyết chung về chuyển pha
Đ1. Pha và sự chuyển pha
1.

Pha
Trạng thái(cân bằng) của một vật đồng chất được xác định bằng hai đại
lượng nhiệt động cho trước nào đó, chẳng hạn như thể tích V và năng lượng E.
Tuy nhiên, ta không có một cơ sở nào để khẳng định rằng khi cho trước một cặp
bất kỳ những giá trị của V&E thỡ chớnh trạng thỏi đồng chất của vật sẽ tương
ứng với một trạng thái cân bằng nhiệt. Mà có thể trong trạng thái cân bằng nhiệt
với E&V đó cho một vật khụng đồng chất mà tách ra thành hai phần đồng chất
tiếp giáp nhau và ở những trạng thái khác nhau.

Những trạng thái của vật chất có thể đồng thời tồn tại nằm cân bằng với
nhau và tiếp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất.
2. Sự chuyển pha
Trước hết ta viết điều kiện để hai pha cân bằng với nhau
T1 = T2
P1 = P2

T1 = T2
hay

P1 = P2 ,

à 1 = à2

(1.1)

à1(P,T) = à2(P,T)

trong đó Ti, Pi , ài (i = 1,2) lần lượt là nhiệt độ, áp suất, thể hóa học của
pha thứ i.

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

9

Lớp:

K29 D lý

Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Nếu đặt áp suất và nhiệt độ trên các trục tọa độ thỡ những điểm ở đó có sự
cân bằng pha sẽ nằm trên một đường cong nào đó (đường cong cân bằng pha)
khi đó những điểm nằm hai bên đường cong sẽ là những trạng thái đồng chất
của vật. Khi trạng thái của vật biến đổi dọc theo một đường cắt đường cong cân
bằng pha ta sẽ gặp sự phân lớp các pha và sau đó vật sẽ chuyển sang một pha
khác. Đó goị là sự chuyển pha. Trên hình 1 là đồ thị minh họa đường cong cân
bằng pha và sự chuyển giữa hai pha 1, 2

P

I
II

0

T

Hình
1. Đồ
thị
pha

Đ 2. các loại chuyển pha
111p
ha:1:

1111
Nghiờn cứu chuyển pha
có từ khi có nhiệt động lực học nhưng lý thuyết
đầu tiên là của Gibbs. Năm 1111
1933 Erhenfist định nghĩa chuyển pha: Chuyển pha
1111
là bậc n nếu các thế nhiệt động
là liên tục ở nhiệt độ chuyển pha Tc và đạo hàm
hạng n của nó theo nhiệt độ:DD
liên tục tại điểm này cũn đạo hàm n +1 gián đoạn.
DDD
Thực tế chỉ có chuyển pha bậc
1 và bậc 2.
D1
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

10

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Năm 1937 Landao đưa ra phân loại khác. Chuyển pha thường gắn với sự
thay đổi tính chất đối xứng của hệ biến đổi. Như vậy chuyển pha gắn với tính
chất đối xứng và Landao đưa ra tham số trật tự.Tham số trật tự phải đặc trưng

cho hệ vật lý, khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng
khác thỡ tham số trật tự cú giỏ trị khỏc.
1.Chuyển pha loại 1
Sự chuyển pha từ pha này sang pha khỏc cú kốm theo sự giải phúng hay
hấp thụ một lượng nhiệt nào đó gọi là chuyển pha loại 1. Lượng nhiệt đó gọi là
ẩn nhiệt chuyển pha hay nhiệt chuyển pha.
Theo các điều kiện cân bằng thỡ chuyển pha loại 1 sảy ra ở nhiệt độ và áp
xuất không đổi. Do đó ta tính được nhiệt chuyển pha q ứng với 1 phần tử là:
q  2  1 hoặc q = T( S2 - S1) ,

(1.2)

trong đó : q là nhiệt chuyển pha .

1 , 2

là cỏc hàm nhiệt của 2 pha tớnh cho một phõn tử.

S1,S2: là entrụpi của 2 pha ứng với 1 phõn tử.
q > 0 : chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ 2 nhiệt bị hấp thụ.
q < 0 : chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ 2 nhiệt được giải phóng.
2. Chuyển pha loại 2.
Đây là sự chuyển pha có liên quan đến sự thay đổi đối xứng, sự chuyển
một dạng biến thể kết tinh này sang dạng khác thực hiện một cách liên tục mà
không có sự thay đổi nhảy bậc của các trạng thái vật gọi là sự chuyển pha loại 2
Cùng với những trường hợp mà trong đó sự thay đổi đối xứng của vật thực hiện
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

11

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

bằng cách di chuyển các nguyên tử. Sự thay đổi xứng khi có chuyển pha loại hai
cũn liờn quan tới sự thay đổi trật tự của tinh thể. Và ta đi đến kết luận như sau :
Nếu khi nhiệt độ tăng mà tham số  dần đến 0 một cách liên tục không nhẩy
bậc ta sẽ có chuyển pha loại 2.
Từ những khỏi niệm về chuyển pha loại 2 ở trờn ta thấy rằng:
- Với ý nghĩa là trạng thỏi của vật thay đổi một cách liên tục sự chuyển
pha loại 2 là quá trỡnh chuyển liờn tục. Đối xứng tại điểm chuyển pha sẽ thay
đổi nhẩy bậc và tại từng điểm có thể chỉ rừ vật thuộc pha nào nhưng tại điểm
chuyển pha loại 2 thỡ trạng thỏi của 2 pha trựng nhau.
- Do trạng thái của 2 pha tại điểm chuyển pha loại 2 trùng nhau nên đối
xứng của vật tại chính điểm chuyển pha trong mọi trường hợp phải chứa các yếu
tố đối xứng của cả hai pha.
- Từ điều kiện không có nhảy bậc trạng thái tại điểm pha loại 2 dẫn đến
kết quả: Các hàm trạng thái nhiệt động của vật ( S, E, V …) vẫn giữa liên tục khi
đi qua điểm chuyển pha nên chuyển pha loại 2 không kèm theo việc tỏa nhiệt
hay hấp thụ nhiệt. Nhưng đạo hàm của các đại lượng nhiệt động đó

(c, ỏ,

õ…) sẽ thay đổi nhảy bậc tại điểm chuyển pha loại 2.

Đ 3. Pha sắt từ trong vật rắn
Vật liệu từ mà được sử dụng rất rộng rói trong đời sống đó là vật liệu sắt
từ, nó có mô men từ vĩnh cửu ngay cả khi không có từ trường ngoài và có một từ
độ rất lớn. Một vật liệu khác được coi là vật liệu không từ tính đó là chất thuận
từ. Cả chất thuận từ và chất sắt từ đều là hai pha của vật rắn mà nó có sự chuyển
pha lẫn nhau. Trước khi nghiên cứu sự chuyển pha của sắt từ ta đi nghiên cứu
pha sắt từ trong vật rắn.
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

12

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2



Do sự tồn tại của mụ men từ nguyờn tử (phõn tử) p m và mụ men từ phụ


 p m , khi nguyên tử đặt trong từ trường ngoài nó tạo nên tính chất từ của các
vật liệu từ.


Khi bị từ hóa chất thuận từ và sắt từ sẽ sinh ra một từ trường phụ B

hướng cùng chiều với từ trường ngoài B . Với chất thuận từ | B ’| << | B | , với






chất sắt từ | B ’| >> | B |.




Xét mạng tinh thể mà mỗi nút có một ion mang một véc tơ mô men từ có


độ lớn xác định  0 . N là số ion trong một đơn vị thể tích. Với chất thuận từ ta
có thể bỏ qua tương tác của các mô men từ này
Theo lý thuyết lượng tử ta tính được:

m



1
N  2  B,
3K B T


Với

(1.3)


1
N  .
3K BT


m : là độ từ hóa.



(1.4)



 02   2

 : là độ tự cảm.

Cũn đối với chất sắt từ ta không thể bỏ qua tương tác của các mô men từ



này. Và nó gây thêm một từ trường bổ sung tỉ lệ với <  > gọi là từ trường
Weiss


B w  N    .

(1.5)

Khi đó từ trường tổng cộng tác dụng lên mô men từ của ion tại 1 nút nào
đó là :





Bt  B  Bw  B  N   

(1.6)

Bằng lý thuyết cổ điển ta tính được:

m 

Sinh viên: Nguyễn thị Dung



N 2
B,
3 K B (T   )

13

Lớp:

K29 D lý

(1.7)


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2


N 2
 
,
3K B(T   )

 

(1.8)



 N 2

.

3K B

(1.9)

Đây là định luật Curie – Weiss. Tuy vậy nó chỉ đúng ở nhiệt độ cao T   .Khi
T ≥  thỡ cụng thức này khụng cũn đúng nữa.

Khi tớnh bằng lý thuyết lượng tử ta tính được

m B  

 

1

N th 
m B   B ,
2
 2 K BT


Z  SZ

(1.10)
với

1

 SZ   
2




m(B)là hỡnh chiếu của m lờn trục oz ứng với giá trị B của từ trường. Khi
B = 0 thỡ phương trỡnh (1.10) thành:

m0  



1

N th 
m0  ,
2
 2 K BT


(1.11)

Ngoài nghiệm m(0) = 0 thỡ phương trỡnh (1.11) cũn cú nghiệm m(0) ≠ 0
khi T nhỏ hơn một giá trị Tc nào đó.
Khi T  0 thỡ mọi giỏ trị m(0) ≠ 0 ta luụn cú:
 

lim th 
m0    1.
T 0
 2 K BT


(1.12)

Vậy khi T = 0 thỡ :

m0  

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

1
N
2
14

Lớp:

(1.13)

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Như vậy trong một đơn vị thể tích có N ion mỗi ion có mô men từ

1
 . Cụng thức (1.13) chứng tỏ rằng tại T = 0 mô men từ của tất cả các ion
2
đều song song và cùng chiều cho nên chúng được cộng lại với nhau. Chất rắn có
tính chất như vậy gọi là chất rắn từ. Khi T tăng thỡ nghiệm của (1.11) giảm dần
và tới một nhiệt độ Tc nào đó thỡ chỉ cũn nghiệm m(0) = 0.
Sự phụ thuộc của m vào T được mô tả trên hỡnh vẽ dưới đây (hỡnh 2)
m (T)
m(0)

0
hỡnh 2

Tc

T

Nhiệt độ Tc mà tại đó m(Tc) = 0 được gọi là nhiệt độ Curie. Ta có thể
chứng minh được Tc   với  được xác định bởi công thức (1.9)

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

15

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Chương II: Chuyển pha trong mô hình HUBbard hai chiều liên kết mạnh
bằng phương pháp nghịch đảo
Đ 1. Phương pháp nghịch đảo
1. Phương pháp nghịch đảo
Chỳng ta xột những trường hợp mà tính đối xứng của Hamitonian không
cũn tồn tại ở một số vựng của nhiệt độ, áp suất, mật độ hoặc vài thông số khác

như cường độ liên kết chứa trong Hamitonian.
Nghiên cứu sự chuyển giữa các pha đối xứng khác nhau là một trong
những quan tâm chính của bài toán hệ nhiều hạt. Trong đó vai trũ của năng
lượng tự do hoặc thế năng hiệu dụng ở nhiệt độ không được xác định qua phép
biến đổi Legrendre được xem là công cụ cơ bản để nghiên cứu về các đặc trưng
của phá vỡ đối xứng.
Tuy nhiờn chỳng ta biết rằng các quy tắc giản đồ của phép biến đổi
Legrendre chỉ dùng cho một số dạng toán tử đặc biệt. Tính không cục bộ của
bốn toán tử trường, với trường hợp ở đó trường bổ trợ được đưa vào bởi biến đổi
Hubberd – Stratonovich. Nhưng chúng ta có thể gặp phải những trường hợp mà
ở đó các công thức của biến đổi Legrendre không tồn tại phương pháp nghịch
đảo là một trong số các phương pháp nhằm giải quyết những khó khăn đó.
Phương pháp nghịch đảo được đưa ra gần đây bởi một số tác giả vào một số hệ
điển hỡnh về giải pháp phá vỡ tính đối xứng.
2.Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo
Xét một hệ spin và khảo xát sự chuyển pha sắt từ để xem xét vai trũ của
biến đổi Legrendre. Chọn tham số trật tự là m.
Hamitonian của hệ không có từ trường ngoài là:
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

16

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

H ss   g  si s j .

(2.1)

i, j

Ở đây Si là toán tử spin của điểm i và g là một hằng số dương.
Chúng ta sẽ định nghĩa năng lượng tự do Gibbs G[H,g] là :
GH , g    1 lnTr exp  H SS  H SH 

(2.2)

với T   1 là nhiệt độ của hệ (Hằng số Boltzman KB được chọn bằng 1).
H SH  H  S i , được

đưa vào thể hiện sự tác động lẫn nhau của

i

Hamitonian với từ trường ngoài H, nó được gắn bằng 0 ở cuối phép tính. Số
hạng này phá vỡ tính đối xứng quay và nó được gọi là số hạng nguồn.
Sự từ hóa ngẫu nhiên được đặc trưng bởi phần cũn lại,phần khụng bị triệt
tiờu của từ trường khi H = 0. Theo cách này H được xem như là một nguồn bất
kỡ. Từ (2.2) ta thấy độ từ hóa được xác định bởi công thức :

m

GH , g 
.

H

(2.3)

Tuy nhiờn nếu chỳng ta tớnh GH , g  bằng chuỗi nhiễu loạn của g thỡ
(2.3) sẽ chọn m triệt tiờu với tất cả cỏc bậc nhiễu loạn. Do đó người ta đưa vào
năng lượng tự do Helmholtz được định nghĩa như là phép biến đổi Legrendre
của GH , g 
F m, g   GH m, g , g   mH m, g .

(2.4)

Với H m, g  thu được bằng cách nghịch đảo (2.3)
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

17

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Từ đó ta tỡm được năng lượng tự do Helmholtz. Năng lượng này có thể
tỡm được bằng các lời giải không tầm thường của hệ nghịch đảo.
H 

F m, g 
.
m

(2.5)

Với H = 0 việc triệt tiờu H khụng cú ý nghĩa gỡ nhưng nó là điều kiện tự
hợp để xác định m. Ở đây ta thấy rất khác với công thức (2.3)
Giả sử ta cú một phộp tớnh nhiễu loạn của F m, g theo lũy thừa của g xem
m như là một đơn vị trong g. Khi cho H = 0 có thể tỡm thấy m khụng bị triệt
tiờu, nếu tồn tại tất cả cỏc bậc hữu hạn trong biểu thức của F m, g . Điểm cơ bản
ở đây là có sự biến đổi từ (H,g) sang (m,g) bằng phép biến đổi ngược (2.3).
Bằng quá trỡnh này cỏc số lượng vô hạn của biểu thức chuỗi của GH , g  đó
được bao gồm trong mỗi số hạng của biểu thức hệ số của F m, g . Thông thường
lời giải không tầm thường bậc thấp nhất đối với (2.5)với H = 0 phù hợp với kết
quả của phương pháp trường trung bỡnh .
Vậy phương pháp nghịch đảo là sự tổng quát hóa của phép biến đổi
Legrendre theo nghĩa chỉ tính đến những bước cơ bản sau:
-Bổ sung số hạng nguồn để phá vỡ tính đối xứng của hàm Hamitonian và
tính theo thuyết nhiễu loạn ở một số thông số.
-Thụng số trật tự coi như một hàm số của trường ngoài phá vỡ tính đối
xứng. Nghịch đảo hàm số này ta thu được hệ thức biểu diễn trường phá vỡ đối
xứng như một hàm của thông số trật tự .
- Cuối cựng tỡm lời giải cho phương trỡnh hệ thức bằng 0.



Sinh viên: Nguyễn thị Dung

F m, g 

 0.
m

18

Lớp:

(2.6)

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

3.Công thức nghịch đảo


Xét trường hợp tĩnh, chúng ta khảo sát toán tử Hamitonian H của hệ chứa


một vài thụng số g. Giả thiết H được tách ra thành hai phần: phần tự do và
phần tương tác
Hˆ  Hˆ 0  gHˆ 1 ,

(2.7)

trong đó g là hằng số liên kết.
Để nghiên cứu đặc trưng của pha phá vỡ đối xứng thỡ cỏc thụng số trật tự



phải được xác định. Nếu giá trị trung bỡnh của một vài toỏn tử kớ hiệu là 
được chọn làm tham số trật tự nó bị triệt tiêu bởi bậc của nhiễu loạn theo g. Để




phá vỡ tính đối xứng của H ta bổ sung thờm số hạng nguồn H j , với j là tham số
liên kết từ trường ngoài. Số hạng nguồn phải cho ra những giỏ trị khỏc 0 trong


chuỗi nhiễu loạn của     và triệt tiờu khi j = 0. Bõy giờ tham số trật tự  có
thể được tính theo lý thuyết nhiễu loạn và biểu diễn theo chuỗi sau.





f J    g n f n J .

(2.8)

n 0

Biểu thức này gọi là chuỗi cơ sở. Dựa vào (2.8) và coi  như là một đại
lượng độc lập của g bằng phép nghịch đảo hàm số   f J  ta thu được chuỗi
nghịch đảo


J  h    g n hn   .

(2.9)

n 0

Thế (2.9)vào (2.8) và khai triển vế phải theo chuỗi lũy thừa của g sau đó
đồng nhất thức ta được :

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

19

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

  f h 




  g n f n  g l hl  
n 0
 l 0







 f 0 h0    g f 0' h0  h1    f1 h0    ....

(2.10)

Nếu chỳng ta khảo sỏt  như là một đơn vị thứ tự thỡ hl   có thể được
biểu diễn dưới dạng những số hạng của hàm fn
h0    f 01   ,

(2.11)

 f J  
h1     1'
,

 f 0 J  J  h0  

(2.12)

1

''
2
'
 2 f 0 J h1    f 1 J h1    f 2 J 

(2.13)
h2     

f 0' J 





 J  h0  

Và cứ như vậy, ở đây f0-1 là hàm nghịch đảo của f0 . Hệ phương trỡnh biểu
diễn từ (2.10) đến (2.13) đó là tất cả những yêu cầu đặt ra trong phương pháp
nghịch đảo.
Đến đây người ta chỉ có thể tỡm được một giá trị hữu hạn của g cho J =
0 trong biểu thức (2.8) chỉ thu được lời giải tầm thường  = 0. Nhưng khi
nghịch đảo (2.8) tương ứng với J ta cho J = 0 thỡ ta thu được lời giải không tầm
thường  ≠ 0 với một số phép tính hữu hạn. Đây là điểm cơ bản nhất của
phương pháp này.

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

20

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Đ 2. Chuyển pha trong mô hình hubbard hai chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo.
Trong trường hợp liên kết mạnh, Hamitonian của mô hỡnh Hubbard trong
từ trường đồng nhất có dạng:

H= t

 a  a    

i , j 


i

j

uni  ni   H  ni   ni      ni   ni  

 , (2.14)

i


Trong đó ai , a j lần lượt là toán tử sinh và hủy electron có spin



ở nút

mạng thứ i. Các hằng số t là đặc trưng cho chuyển động nhảy của electron
(hopping) cũn u là số hạng đặc trưng cho tương tác Coulomb. Trong trường liên
kết mạnh thỡ u cú giỏ trị lớn khi đó mô hỡnh Hubbard khụng thể giải thớch một
cỏch đúng đắn bằng cách sử dụng triển khai mở rộng của liên kết yếu. Trừ khi
trong tính toán ta phải khai triển vô hạn các số của biểu thức. Trong phần này
phương pháp nghịch đảo được áp dụng cho bài toán

1
thay vỡ u được coi như
u

một tham số biểu thức của chuỗi nghịch đảo.
Trong bài toỏn này chỳng ta khụng thể tớnh toỏn chớnh xỏc đối với chuỗi
cơ sở (2.8). Để tính toán chính xác bài toán trong trường hợp liên kết mạnh
chúng ta dùng cách sau:
Mỗi số hạng f n J  được mở rộng trong số mũ của tham số thay đổi t và
trong các số hạng trên là lấy với t2.
Từ chuỗi (2.8) ta cú
  f 0 J , t 2 





1
f1 J , t 2  ...
,
u

.

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

21

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp
 f 0 J ,0  f 0' J ,0t 2 



trường đại học sư phạm 2



1
f1 J ,0  f1' J ,0t 2  .....
u

(2.15)

Sự nghịch đảo đó được áp dụng ở trên đố với

1

và trong điều kiện lý
u

tưởng được mở rộng trở lại với t2. Vỡ thế chỳng ta thu được chuỗi:

 

J  g 0  .t 2 





1
g1  , t 2  ...
u

1
1




  g 0  ,0  g1  ,0  t 2  g 0'  ,0  g1'  ,0  ..
u
u





(2.16)

ở đây t2 được coi như một tham số nghịch đảo.
Để thuận tiện ta viết (2.14) dưới dạng :
H = H1 + H0 ,

(2.17)

trong đó :
H1 =  t

a



i

i , j 

a j

H0 =   uni ni  H ni   ni     ni   ni  



i

Để thuận tiện ta giả sử hệ có N0 nút mạng và trong trường hợp 2 chiều thỡ
mỗi nỳt cú 4 nỳt gần nhất.

Xét ở bậc 0 của t chúng ta phân tích hàm số thu được:





4  eG  tre H0  x 2 .eu  2 x cosh H  1

trong đó:

 

N0

,

1
;
k BT

x  e u .

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

22

Lớp:

K29 D lý

(2.18)


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

G: Năng lượng tự do Gibbs
Vỡ vậy mật độ của electron được tính bởi :
N
1 G
2 x 2 e  u  2 x
n

 2  u
,
N0
N 0 
x e
 2x  1

(2.19)

ở đây 0 ≤ n ≤ 2 .
Giải bài toàn này ta tỡm được giá trị x

1  n 2  e  u 2  n n
x
.
(2.20)

e  u n  2 
Nếu chúng ta khảo sát trường hợp u   thỡ x tỡm được có giá trị
1 n 

n
2n  1

với n < 1

u

X=

e

2

với n = 1

2n  1 u
e
2n
Khi đó độ từ hóa đối với

với n > 1 .



không đổi được viết là:

m

M
1 G

M0
N 0 H

(2.22)

m

2 x sinh H
x 2 e  u  2 x cosh H  1

(2.23)

Khi H  0 thỡ m  0 và độ tự cảm khi

x

(2.21)



không đổi là:

m
H

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

23

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp
 2. .

trường đại học sư phạm 2

x
  1  n  1  .
x 2 .e u  2 x  1 u 

(2.24)

Những kết quả này là đặc điểm cơ bản của chất thuận từ, với bậc tiếp theo
chúng ta tiến hành nhiễu loạn biểu thức đối với e

  ( H 0 H 1 )

Xột hàm số trờn tới bậc hai của H1 thỡ nú được viết là:
4  e  G  Tr .e   .H

4



e
ni 

 



 H 0 ni 





T

   dT  dT ' e
   
ni

ni'

0

 H 0  ni 



.e

    . n'  H n 
i
1
i

2

( T T ' )( H 0 ni  H 0 ni' 

0

(2.25)
Về mặt hỡnh thức hàm súng ni , ni '  mà cú ni'  H 1 ni  không trở về 0 khi
đó phương trỡnh (2.25) trở thành:

4  e   . N 0

 e  N01



 x .e
2

u1

 2 x cosh H 1

4.N .t x  x .e cosh H  2u x 1  e ,

 1 . exp
x .e  2x cosh H  1
N0

2

3

 u1

0

1 2
1
2

1

2

u1

 u1

1

(2.26)
trong đó :



G
; 1   ; u1   u; t1   t ; H 1   H ; 1   ; x  e 1 (2.27)
N0

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

24

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

 được viết là:

Khi đó mật độ năng lượng tự do
1  



2 u1

  log x e



 2 x cos H 1  1  4t

2
1

x  x .e cosh H
.
 u1

3



2 u1

x e

1



 2u11 x 2 1  e u1

 2 x cosh H 1  1



2

,

   10 H 1   4t12 .11 H 1 

(2.28)

(2.29)

Do đó mật độ electron khi H =O là:
1
N

N0
1

n








5 2u1
 2 x 2  2 x 4 e u1  x   u11 1  e u1  4 x 4 e u1  4 x 2
2 x 2 e u1  2 x
2  x e
 n  2 u
 4t1

.
3
2 u1
x e 1  2x  1
x e  2x  1



(2.30)
Gọi

 là

độ lệch đối với bán lấp đầy. Khi n < 1chúng ta có biểu thức sau:
1  x 2e  u1

  n 1 

2

x .e
 4t

2
1

x .e
.
5

2 u1

u1

 2x 1









 2 x 2  2 x 4 e  u1  x  u11 1  e  u1 (4 x 4 e  u1  4 x 2

x e
2

u1



 2x  1

3

.

(2.31)

Khi n > 1 biểu thức trên vẫn đúng nếu thay x bằng x’ được định nghĩa như
sau:
e u1
x 
x

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

.

25

Lớp:

(2.32)

K29 D lý