Nghiên cứu chuyển pha sắt từ trong mô hình hubbard một chiều liên kết mạch bằng phương pháp nghịch đảo

Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

mục lục:
Phần i: mở đầu

3

i. lý do chọn đề tài

4

ii. mục đích nghiên cứu

5

iii. đối tượng nghiên cứu

5

iv.Nhiệm vụ nghiên cứu

5

v. phương pháp nghiên cứu

5

Phần ii: nội dung

5

Chương i: lý thuyết chung về sự chuyển pha
Đ1: pha và sự chuyển pha

6

1. pha vật chất

6

2. Sự chuyển pha

6

Đ2.các loại chuyển pha

8

Đ3. trạng thái sắt từ trong vật rắn

9

6

Chương ii: chuyển pha trong mô hình hubber một chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo

12

Đ1. phương pháp nghịch đảo

12

1.1 Phương pháp nghịch đảo

12

1.2 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo
1.3 Công thức nghịch đảo

12

14

Đ2. chuyển pha trong mô hình hubbard 1 chiều liên kết mạnh bằng phương
pháp nghịch đảo

16

Đ3. kết quả tính số

22

Phần iii: kết luận

25

Tài liệu tham khảo..........................................................................................26

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

1


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy giáo
Nguyễn Văn Thụ, đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong
khoa Vật lý Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đã tạo điều kiện tốt nhất để em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây là bước đầu tiên làm quen với
công tác nghiên cứu khoa học. Bởi vậy có thể có những sai xót, vì vậy em rất
mong được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa để
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, Tháng 5 Năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

2


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu, các số liệu trình bày trong khoá luận là trung thực và không
trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, Tháng 5 Năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

3


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu hiện tượng chuyển pha luôn là một vấn đề thời sự của vật lý
cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Nó bao trùm toàn bộ các lĩnh vực của vật
lý hiện đại, từ vật lý hạt nhân, hạt cơ bản cho đến vật lý thiên văn. Trong khoa
học kỹ thuật các vật liệu từ có vai trò vô cùng quan trọng, vì thế mà các
nghiên cứa về chuyển pha nó cũng thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các
nhà nghiên cứu.
Trong số các vật liệu từ thì chất sắt từ được quan tâm nhiều nhất do các
ứng dụng quan trọng của nó. Các vật liệu sắt từ (ví dụ như Fe, Ni , Co...), nếu

được đặt trong từ trường B0 sẽ bị từ hóa rất mạnh. Nguyên nhân là do trong
khối sắt từ khi đó suất hiện một từ trường phụ B' cùng hướng và rất mạnh so

với B0 . Vì vậy từ trường tổng hợp trong khối sắt từ có giá trị bằng:
B = Bo + B' = Bo

Nếu khối sắt từ bị nung nóng đến nhiệt độ T Tc, thì chuyển động
nhiệt của các nguyên tử sẽ tăng nhanh phá vỡ cấu trúc của miền từ hóa tự
nhiên và xảy ra sự chuyển pha sắt từ. Tc được gọi là nhiết độ Curie. Khi ta biết
được nhiệt độ Curie của vật liệu sắt từ thì ta có thể chọn khoảng nhiệt độ làm
việc thích hợp đối với các linh kiện điện và điện tử có sử dụng lõi sắt từ . Mặt
khác sự biến đổi đột biến của độ từ thẩm của sắt từ ở nhiệt độ Curie cũng
được ứng dụng để chế tạo các bộ cảm biến, các rơle nhiệt - điện từ dùng điều
khiển tự động nhiệt độ trong các lò hơi, nồi cơm điện, ....
Nghiên cứu sự chuyển pha có nhiều phương pháp, tuy nhiên phương
pháp nào cũng có những hạn chế nhất định. Hiện nay phép biến đổi Legendre
được xem là một công cụ hữu hiệu để giải bài toán này. Tuy nhiên, chúng ta
đã biết quy tắc giản đồ của biến đổi Legendre chỉ dùng cho một số dạng toán

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

4


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

tử đặc biệt. Với trường hợp mà các trường bổ trợ được đưa vào bởi biến đổi
Hubbard Stratonovich, các quy tắc có thể áp dụng được, nhưng chúng có thể
gặp những trường hợp mà ở đó các công thức của biến đổi legendre không tồn
tại. khi đó phương pháp nghịch đảo là một trong số các phương pháp nhằm
giải quyết khó khăn này.
Vì những lí do trên mà tôi chọn đề tài : Nghiên cứu chuyển pha sắt từ
trong mô hình hubbard một chiều, liên kết mạnh chiều bằng phương pháp
nghịch đảo
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha sắt từ trong mô hình hubbard 1 chiều bằng
phương pháp nghịch đảo, từ đó tìm được nhiệt độ chuyển pha chính là nhiệt độ
curie Tc.
3. Đối tượng nghiên cứu
Chất sắt từ trong mô hình hubbard.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha của sắt từ , để xách định nhiệt độ Currie của
chất sắt từ trong mô hình Hubbard 1 chiều liên kết mạnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu có liên quan

- Giải bài toán tìm m, Tc trong mô hình Hubbard 1 chiều bằng phương
pháp nghịch đảo.
- Tính số bằng phần mềm Mathematica.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

5


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Chương i. lý thuyết chung về sự chuyển pha
Đ1. pha và sự chuyển pha

1. Pha vật chất
Tập hợp những phần tử của một hệ vật chất có cấu trúc phân tử như
nhau và có những tính chất hoàn toàn giống nhau được gọi là pha của vật chất.
Ví dụ một bình kín đựng nước, ở trên nước là hỗn hợp của không khí với hơi
nước. Đó là một hệ hai pha: pha lỏng tức là nước và pha khí ( hoặc hơi ) gồm
có không khí và hơi nước trộn lẫn đều với nhau.
Các pha vật chất không phải chỉ là những trạng thái vật lý khác nhau (
rắn, lỏng, khí hoặc hơi) mà còn có thể là những biến thể tinh thể khác nhau
của một chất rắn nào đó. Ví dụ như kim cương và than chì là những pha rắn
khác nhau của cacbon.
Cần chú ý rằng ở đây khi nói đến các pha rắn thì phải hiểu đó là một
pha vật chất khác hẳn với pha lỏng, nghĩa là phải hiểu đó là trạng thái rắn kết

tinh. Vật rắn vô định hình khi nung nóng chuyển sang trạng thái lỏng một
cách liên tục, nghĩa là khi nhiệt độ tăng thì mềm dần và không có bước nhảy
vọt ( tức biến chuyển đột ngột ) sang trạng thái rắn . Vì vậy vật rắn vô định
hình không được coi là pha rắn của vật chất. Chẳng hạn thủy tinh ở trạng thái
rắn và trạng thái lỏng thì không được coi là những pha khác nhau.
2. Sự chuyển pha
Khi làm thay đổi nhiệt độ hoặc áp suất của một pha vật chất thì có thể
gây ra sự biến đổi pha. Ví dụ khi nung nóng nước đá ở áp suất 1 atm tới một
nhiệt độ xác định (tức 00C) thì nước đá đột ngột biến sang nước với những tính
chất hoàn toàn khác với nước đá.
Cũng như quan niệm về pha, sự biến đổi về pha không phải là sự biến
đổi từ vật chất này sang trạng thái vật chất khác ( rắn <> lỏng , lỏng <>
hơi, hơi <>rắn ), mà có thể là sự biến đổi pha của cùng một trạng thái. Ví

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

6


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

dụ: từ kim cương biến đổi thành than chì và ngược lại. Sự biến đổi pha luôn
xảy ra ở một nhệt độ xác định ứng với một áp suất xác định, chẳng hạn nước
đá nóng chảy thành nước ở 00C ứng với áp suất là áp suất khí quyển ( 760
mmHg ). Trong quá trình này nước đá và nước đồng thời tồn tại và tiếp xúc
với nhau. Nhiệt độ của hai pha được giữ không đổi ( 00 C ) cho đến khi toàn bộ

đá biến thành nước mặc dù khi đó ta vẫn tiếp tục truyền nhiệt lượng cho nước.
Nếu không có tác dụng của ngoại vật ( kể cả sự truyền nhiệt của ngoại vật ) thì
2 pha sẽ đồng thời tồn tại mãi mãI ở cùng một

p

nhiệt độ. Ta nói có sự cân bằng nhiệt giữa hai
I

pha. Nếu nhiệt độ lớn hơn hay nhỏ hơn nhiệt độ
S

biến đổi pha ( ứng với áp suất đã cho ) thì chỉ có
thể tồn tại một trong hai pha. Ví dụ ở áp suất 760

O

II

T
Hình 1.1. Đồ thị pha

mmHg, và ở nhiệt độ thấp hơn 00 C thì chỉ có thể có nước đá và ở nhiệt độ cao
hơn 00 C thì chỉ có thể có nước.
Bất kỳ một sự biến đổi pha nào cũng có thể biểu thị bằng đồ thị pha.
Chẳng hạn đồ thị trên hình 1.1 biểu diễn sự biến đổi từ pha I sang pha II.
Đường cong S nối liền tất cả các điểm trên đồ thị ứng với những giá trị của áp
suất và nhiệt độ xảy ra biến đổi pha được gọi là đường cong biến đổi pha. Nói
cách khác đường cong S xác định điều kiện áp suất và nhiệt độ để làm cho pha
I và pha II cùng tồn tại một cách cân bằng ở cạnh nhau

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

7


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Đ2.các loại chuyển pha

Nghiên cứu chuyển pha có từ khi có nhiệt động lực học, lý thuyết đầu
tiên của Gibbs. Năm 1993 Erhenfist định nghĩa chuyển pha:
Chuyển pha là bậc n nếu các thế nhiệt động là liên tục ở nhiệt độ
chuyển pha Tc, và đạo hàm hạng n theo nhiệt độ liên tục tại điểm này, còn đạo
hàm bậc n + 1 gián đoạn. Thực tế chỉ có chuyển pha bậc 1 và bậc 2.
Năm 1937 Landau đưa ra sự phân loại khác nhau: Chuyển pha thường
gắn với sự thay đổi tính chất đối xứng của hệ vật lý. Khi hệ chuyển từ pha này
sang pha khác thì tính chất đối xứng của hệ thay đổi, tức là chuyển pha gắn
với tính đối xứng . Landau đưa ra tham số trật tự: tham số trật tự phải đặc
trưng cho hệ vật lý, khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối
xứng khác thì tham số trật tự có giá trị khác.
Theo ông có hai loại chuyển pha là
loại 1

chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2.
- Chuyển pha loại 1 là chuyển pha

mà tham số trật tự có một bước nhảy gián
đoạn khi chuyển qua điểm chuyển pha Tc.
- Chuyển pha loại 2 là chuyển pha

loại 2

Tc
mà tham số trật tự có một bước nhảy liên O
Hình 1.2. Đồ thị chuyển pha
tục khi chuyển qua điểm Tc

T

Hình 1.2 biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự của một hệ theo
nhiệt độ T. Tại nhiệt độ chuyển pha Tc thì liên tục với chuyển pha loại 2,
gián đoạn với chuyển pha loại 1.
Ngoài ra, người ta còn có thể phân biệt chuyển pha loại 1 và chuyển pha
loại 2 như sau:
Chuyển pha loại 1 đó là sự biến đổi pha có kèm theo sự nhận hoặc

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

8


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

truyền nhiệt. Đó là sự biến đổi vật chất như nóng chảy, hoá hơi, v.v.. hoặc sự
chuyển từ biến thể tinh thể này sang biến thể tinh thể khác. Chẳng hạn từ sắt
( - Fe ) sang sắt ( - Fe).
Chuyển pha loại 2 là loại biến đổi pha không kèm theo sự nhận hoặc
truyền nhiệt. Biến đổi pha loại 2 chỉ xảy ra đối với chất rắn trừ trường hợp
ngoại lệ duy nhất là sự biến đổi pha của Heli lỏng.

Đ3. trạng thái sắt từ trong vật rắn

Từ trước khi chúng ta cho rằng tương tác giữa các mô men từ của các
ion khác nhau là rất nhỏ có thể bỏ qua. Bây giờ ta nghiên cứa một loại vật rắn
mà tương tác này không thể bỏ qua được. Đầu tiên, ta xét trường hợp mà tất cả
các ion trong mạng tinh thể đều có mô men từ giống nhau. Trong từ trường
B mô men từ của tất cả các ion có cùng một giá trị trung bình < > song song

và cùng chiều với B (Hình 1.3)
Ta xét một nút S nào đó, vì dưới tác
dụng của từ trường B Tất cả các ion ở nút
khác S đều có một mô men từ trung bình < >

Hình 1.3

hướng theo từ trường B , cho nên các ion này lại gây ra ở điểm S một từ trường
bổ sung tỉ lệ với < > gọi là từ trường Weiss,
Bw = . N. < > .

(1.1)

Từ trường Bw cộng thêm vào từ trường ngoài B và cũng tác dụng lên

mô men từ ở nút S. Mặt khác mô men từ tại nút S cũng tham ra vào việc tạo
thêm các mô men từ tại các nút khác. Do đó từ trường tổng cộng tác dụng lên
mô men từ của ion tại một nút nào đó bằng:

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

9


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Bt = B + Bw = B + N < > .

(1. 2)

Thế năng của mô men từ tại một nút sẽ là :

với :

u = - Bt = - [ B + N < >],

(1.3)

1
20 [ B + N < >].
3.K B .T

(1. 4)

< > =

Giải phương trình này để tính ( ) ta được:
ur
uuur
Nm20 B
N < m> =
.
3K B T ư l mo2
=

Đặt

(1.5)

N .. 02
,
3.K B

( 1. 6)

Khi đó biểu thức (1.5) có dạng :
m = N. < > =

N . 02 .
3.K B .(T )

.B ,

( 1.7)

mà m =. B . Nên ta có biểu thức với độ cảm từ
=

N . 02 .
3.K B .(T )

( 1.8 )

.

Đây chính là định luật Curie- Weiss về sự phụ thuộc của vào nhiệt độ
ở những giá trị T > . Định luật này được chứng minh bằng lý thuyết cổ điển
và chỉ đúng ỏ nhiệt độ cao T > . Khi T công thức này không còn đúng
nữa.
Để tính độ từ hoá ở nhiệt độ thấp ta phải áp dụng lí thuyết lượng tử.
Ta có :
( B . N .

s

(n. .e

< > =

K B .T

. n)

n s

s

(n e

.

( B . N .
K B .T

( 1. 9)

n)

n s

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

10


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Ta tính giá trị trung bình của z với trường hợp s = 1/2
< z > =



1
B N z ,
N . .th
2
2k B T


( 1. 10 )

Kí hiệu m(B) là hình chiếu của m lên trục oz ứng với giá trị B của từ trường.
m(B) =
Khi



1
N . .th
m ( B ) B ,
2
2k B T




B = 0 : m(0) =

( 1.11 )



1
N . .th
m( 0) .
2
2k B T


(1.12 )

Ngoài nghiệm m(0) = 0 thì phương trình (1.12) còn có nghiệm m(0) khác 0
khi T nhỏ hơn một giá trị Tc nào đó.
Khi T > 0 thì với mọi m(0) ạ 0 ta luôn có:


m(0) = 1,
2.k b T


Lim th
.Vậy khi

T= 0 thì m(0) =

(1.13 )

1
N . .
2

(1.14)

Như vậy trong một đơn vị thể tích có N ion, mỗi ion có mô men từ

1
. .
2

Công thức (1.14) chứng tỏ rằng tại T = 0 mô men của tất cả các ion đều song
song và cùng chiều cho nên chúng cộng lại với

m

nhau được. Chất rắn có tính chất như vậy gọi
là chất sắt từ. Khi T tăng thì m(T) giảm dần, đến

m(o)

một nhiệt độ Tc nào đó thì m(0) chỉ còn nghiệm
m(0) = 0. Sự phụ thuộc của m vào T được mô tả
như đồ thị hình 1.4. Nhiệt độ Tc mà tại đó m(
Tc) =0 được gọi là nhiệt độ Curie.

o

Hình 1.4

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

Tc

T

11


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Chương ii. chuyển pha trong mô hình hubbard
một chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo
Đ1. phương pháp nghịch đảo

1.1 Phương pháp nghịch đảo
Chúng ta xét trường hợp mà tính đối xứng của Hamintonian không còn
tồn tại với trạng thái ở một số vùng của nhiệt độ, áp suất, mật độ hoặc một vài
thông số khác. Trong bài toán hệ nhiều hạt mối quan tâm chính là nghiên cứu
sự chuyển giữa các pha đối xứng khác nhau. Vai trò của năng lượng tự do
hoặc thế hiệu dụng ở nhiệt độ 0 được xác định qua phép biến đổi Legendre
được xem là công cụ cơ bản để nghiên cứu về các đặc trưng phá vỡ đối xứng.

1.2 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo
Xét một hệ Spin và khảo sát sự chuyển pha sắt từ, để xem xét vai trò
của biến đổi Legendre- Hamintonian của hệ khi không có từ trường ngoài là:
Hss = - g SiSj ,

(2.1)

i, j

với Si là toán tử Spin của điểm i, g là hằng số dương.
Chúng ta sẽ định nghĩa năng lượng tự do Gibbs G[H,g] là:
G[H, g] = ư bư 1 ln {Tr exp ộởư b(Hss + H SH )ựỷ},

(2.2)

với T 1 là nhiệt độ của hệ ( hằng số Boltzman KB được chọn bằng 1) và
HSH = H Si được đưa vào thể hiện sự tác động lẫn nhau của Hamintonian với
i

từ trường ngoài, nó được gán bằng không ở cuối phép tính, số hạng này phá vỡ
tính đối xứng quay gọi là số hạng nguồn.
Sự từ hoá ngẫu nhiên được đặc trưng bởi phần còn lại, phần không bị
triệt tiêu của từ trường khi H = 0. Theo cách này H được xem như là một
nguồn bất kỳ. Từ (2.2) ta thấy độ từ hoá được xác định bởi công thức:

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

12

Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

m=

Khoá luận tốt nghiệp

GH , g
.
H

(2.3)

Năng lượng tự do Helmholtz được định nghĩa như là phép bién đổi
legendre của G[H,g]
F[m,g] = GH m, g , g mH m, g ,

(2.4)

với H[m,g] thu được bằng cách nghịch đảo( 2.3), từ đó ta tìm được năng lượng
tự do Helmholtz. Năng lượng này có thể tìm được bằng các lời giải không tầm
thường của hệ nghịch đảo:
H=-

F m, g
,
m

(2.5)

với H = 0 việc triệt tiêu H không có ý nghĩa gì nhưng nó là điều kiện tự hợp để
xác định m, ở đây ta thấy rất khác với công thức (2.3). Giả sử ta có một phép
tính nhiễu loạn của F[m,g] theo luỹ thừa của g, xem m như là một đơn vị trong
g . Khi cho H = 0 ta có thể thấy m không bị triệt tiêu, nếu tồn tại tất cả các bậc
hữu hạn trong biểu thức F[m,g].Điểm cơ bản ở đây là có sự biến đổi từ [H,g]
sang [m,g] bằng phép biến đổi ngược (2.3).
Bằng quá trình này các số hạng vô hạn của biểu thức chuỗi của G[H,g]
đã được bao gồm trong mỗi số dạng của biểu thức hệ số của F[m,g]. Thông
thường lời giải không tầm thường bậc thấp nhất đối với (2.5) với H = 0 phù
hợp với kết quả của phương pháp trường trung bình.
Vậy phương pháp nghịch đảo là sự tổng quát hoá của phép biến đổi
legendre và có các bước cơ bản sau:
- Bổ sung số hạng nguồn để phá vỡ tính đối xứng của hàm
Hamintonian và tính theo lý thuyết nhiễu loạn ở một số thông số.
- Thông số trật tự coi như là một hàm số của trường ngoài phá vỡ tính
đối xứng . Nghịch đảo hàm số này ta thu được hệ thức biểu diễn trường phá vỡ
đối xứng như một hàm của thông số trật tự.
- Cuối cùng tìm lời giải cho phương trình hệ thức bằng không

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

13


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

H=-

***

Khoá luận tốt nghiệp

F m, g
= 0.
m

(2.6)

1.3 Công thức nghịch đảo
à của hệ
Xét trường hợp tĩnh, chúng ta khảo sát toán tử Hamintonian H

chứa một vài thông số g, để thuận tiện ta giả thiết rằng nó có thể tách ra làm 2
phần: Phần tự do và phần tương tác:
à= H
à + gH
à,
H
0
1

(2.7)

với g là hằng số liên kết.
Để nghiên cứu các đặc trưng của pha phá vỡ đối xứng thì các thông số
trật tự phải được xác định. Nhiệt độ bằng không là không quan trọng với hệ.
Nếu giá trị trung bình của một vài toán tử kí hiệu là $f được chọn làm tham số
trật tự, nó bị triệt tiêu với mọi bậc của chuỗi nhiễu loạn theo g, chúng ta bổ
à vào H

à. Vì vậy tính đối xứng của H
à bị phá vỡ.
sung thêm số hạng nguồn H
j

Với j là một tham số liên kết ứng với từ trường ngoài yêu cầu số hạng nguồn
phải cho ra những giá trị khác 0 trong chuỗi nhiễu loạn của F = $f và triệt
tiêu khi j = 0. Vì thế không nhất thiết phải có dạng:
à= H
à + j $f ,
H
j

(2.8)

và trở lại lí thuyết ban đầu, số hạng nguồn phải thoả mãn triệt tiêu ở cuối phép
tính.
Bây giờ tham số trật tự có thể được tính theo lý thuyết nhiễu loạn và
biểu diễn theo chuỗi sau:


f J g n f n J .

(2.9)

n 0

Biều thức này được gọi là chuỗi cơ sở.
Bằng phép nghịch đảo chuỗi cơ sở ta thu được chuỗi nghịch đảo:

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

14


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp



J = h g n h .

(2.10)

n0

trong đó J được xác định bởi hệ thức:
J J , g .

(2.11)

Trong khi chỉ một số hữu hạn các hàm hệ số f l J của chuỗi nghịch
đảo, ví dụ như l n có thể thực sự tìm được thì ta có thể thu được hl của
chuỗi nghịch đảo cho l n.
Hơn nữa, thế (2.10) vào (2.9) và khai triển vế phải theo chuỗi luỹ thừa
của g, sau đó đồng nhất chúng thì ta được:

f h g n f n g l hl
n 0
n0


{

}

' ộ
ự+ f1 [h 0 ] +
= f0 ộởh 0 [F ]ự
ỳ
ỷ+ g f 0 ờởh 0 [F ]h1 [F ]ỷ

(2.12)

1


g 2 f 0, h0 h2 f 0,, h0 h12 f 1, h0 h1 f 2 h0 ....
2



Nếu chúng ta khảo sát như là hàm đơn vị thứ tự thì hl có thể được
biểu diễn dưới dạng những số hạng của hàm số fn.
h0 = f 01 ,

ộf [J ]ự
h1 [F ]= ư ờờ 1, ỳ
,
ỳ
f
J
[
]
ởờ 0 ỳ
ỷJ= h 0 [f ]

ộ1 ,,
ự
ờ f0 [J ]h 21 [F ]+ f1, [J ]h1 [F ]+ f2, [J ]ỳ
ỳ
h 2 [F ]= ư ờờ2
.
ỳ
,
f
J
[
]
ờ
ỳ
0
ờở
ỳ
ỷJ= h 0[f ]

(2.13)
(2.14)

(2.15)

và cứ như vậy ở đây f 01 là hàm nghịch đảo của f 0 . Hệ phương trình này được
biểu diễn từ (2.13) đến (2.15), đó là tất cả những yêu cầu đặt ra trong phương
pháp nghịch đảo.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

15


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Đến đây người ta chỉ có thể tìm được một giá trị hữu hạn của g cho J =
0 trong biểu thức (2.9) chỉ thu được lời giải tầm thường = 0. Nhưng khi
nghịch đảo (2.9) tương ứng với J và cho J = 0 thì thu được lời giải không tầm
thường 0 với phép tính hữu hạn.

Đ2. chuyển pha trong mô hình hubbard một chiều liên kết
mạnh bằng phương pháp nghịch đảo

Trong trường hợp liên kết mạnh, Hamintonian của mô hình Hubbard

trong từ trường đồng nhất có dạng:
H = ư t ồ a tis a is +
(i,j)s

ồ
i

ộu niư ni + H (n iư ư n i ) ư m(n iư + n i )ự ,
ở
ỷ

(2.16)

Trong đó a it , a i lần lượt là toán tử sinh và huỷ electron có spin ở nút
mạng thứ i và thứ j, ni là toán tử số hạt có Spin ở nút mạng thứ i. Các hằng
số t đặc trưng cho chuyển động nhảy của electron (hopping) còn u là số hạng
đặc trưng cho tương tác Coulomb.
Trong trường hợp liên kết mạnh thì u có giá trị lớn, khi đó mô hình
Hubbard không thể giải thích một cách đúng đắn bằng cách sử dụng khai triển
mở rộng của liên kết yếu. Trừ khi trong tính toán ta phải khai triển vô hạn các
số hạng của biểu thức. Trong phần này phương pháp nghịch đảo được áp dụng
cho bài toán 1/u thay vì u được coi như là tham số biểu thức của mỗi chuỗi
nghịch đảo.
Trong bài toán này ta không thể tính toán chính xác với chuỗi cơ sở
(2.9). Để tính toán chính xác bài toán trong trường liên kết mạnh chúng ta
dùng cách sau đây: mỗi số hạng f n J được mở rộng trong số mũ của tham số
thay đổi t và trong các số hạng trên là lấy với t2.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

16


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Từ chuỗi (2.9) :
1 ộ 2ự
F = f0 ộờởJ,t 2 ự
ỳ+ u f1 ởờJ,t ỷ
ỳ+ ....
ỷ
1
= f0 [J,0 ]+ f , 0 [J,0 ]t 2 + (f1 [J,0 ]+ f , 0 [J,0 ]t 2 ) + ..
u

(2.17)

Sự nghịch đảo đã được áp dụng ở trên đối với 1/u và trong điều kiện lý
tưởng được mở rộng trở lại với t2. Vì thế mà chúng ta thu được chuỗi:





1
g0 , t 2 g1 , t 2 ...

J=
u
1
u

1
u

= ( g 0 ,0 g1 ,0) t 2 g 0, ,0 g1, ,0 ...




(2.18)

ở đây t2 được coi như một tham số nghịch đảo.
Để thuận tiện ta viết (2.16) dưới dạng:
H = H1 + H0

(2.19)

H 1 = t a i aạ

trong đó:
H0 =

u

ni ni

(2.20)



H ( ni ni ) ( ni ni ) .

(2.21)

i

Để thuận tiện ta giả sử hệ có N0 nút mạng và trong trường hợp 1 chiều
thì mỗi nút có hai nút gần nhất.
Xét ở bậc 0 của t, chúng ta phân tích hàm số thu được:
2 = e G tr.e H ( x 2 e u 2 x cosh H 1) N ,
0

trong đó:

0



(2.22)

1
, x = e .
k BT

Vì vậy mật độ của electron khi H = 0 được tính bởi:
n

N
1 G
2 x 2 e u 2 x
,

2 u
N 0 N 0 x e 2 x 1

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

(2.23)

17


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

ở đây 0 n 2. Giải phương trình (2.23) ta tìm được nghiệm của x:
x=

1 n (1 n) 2 e u (2 n)n
e u (n 2)

.

(2.24)

Nếu chúng ta khảo sát trường hợp u đ thì x tìm được :
ỡù
n
ùù
, với n < 1
ùù 2(1 ư n)
ùù bu
ù
X = ớ e 2 , với n = 1
ùù
ùù 2(n-1)
ùù 2 - n e, với n >1
ùù
ùợ

(2.25)

Khi đó độ từ hoá với không đổi được viết là:
m=
m=

M
1 ảG
=ư
N0
N0 ả H
2

x e

u

(2.26)

2 x sinh H
2 x cosh H 1

(2.27)

Khi H đ 0 thì m đ 0,và tự cảm khi không đổi là:
c =

ảm
x
= 2 b 2 ư bu
đ 1 n 1 .
ảH
x e + 2x + 1 u đ Ơ

(2.28)

Những kết quả này là đặc điểm cơ bản của chất thuận từ.
Với bậc tiếp theo.Chúng ta tiến hành nhiễu loạn biểu thức với e H

0 H1

xét

hm số trên tới bậc 2 của H1 thì nó được viết là:
2 e G tre H


2 e

H 0 ni

ni




,

d d e

ni ni 0

H 0 ni

,
,
e 0 ni 0 n i

n 'iả H1 n iả

2

. (2.29)

0

Về mặt hình thức hàm sóng ni , ni' mà có x ni' H 1 ni

không trở về

không khi đó phương trình (2.6) trở thành:
2 e N 0 w e N 0 w1

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

18


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2





x 2 e u1 2 x cosh H 1 1

N0

***

Khoá luận tốt nghiệp

2 N t 2 x x 3 e u1 cosh H 1 2u11 x 2 1 e u1
exp 0 1
(2.30)
( x 2 e u1 2 x cosh H 1 1) 2



ở đây chúng ta đưa vào những đại lượng có thứ nguyên :


G
, 1 , u1 u , t1 u , H 1 H , 1 , x e 1
N0

(2.31)

Khi đó mật độ năng lượng tự do được viết là :
w1 = ư bw= ư log ờờởx 2 eư u1 + 2x cosh H1 + 1ỳỳỷư
x 5 eư 2u1 + 2x 2 ư 2x 4 eư u1 ư x)+ u1ư 1 (1 ư eư u1 )(4x 4 eư u i ư 4x 2 ) (2.32)
2(
ư 2t 1

3
(x2 eư u1 + 2x + 1)
1 10 H 1 2t1211 H 1 .



(2.33)

Do đó mật độ electron khi H = 0 là:
n


N
1 ,
N0
1

2x 2 eư u + 2x
+
ị n= 2 ư u
x e + 2x + 1

(ư x e

5 ư 2u

+ 2t12

+ 2x 4 eư u ư 2x 2 + x)+ u1ư 1 (1 ư eư u )(ư 4x 4 eư u + 4x 2 )

(2.34)

(x 2 eư u + 2x + 1)3

Gọi n là độ lệch bán lấp đầy.
Khi n < 1 chúng ta có biểu thức sau:
n = nư 1 =

x e
5

+ 2t12

2u

1 ư x 2 eư u1
+
x 2 eư u1 + 2x + 1









2 x 4 e u 2 x 2 x u11 1 e u1 4 x 4 e u 4 x 2
.
( x 2 e u 2 x 1) 3

(2.35)

Khi n > 1 biểu thức trên vẫn đúng nếu thay x bằng x được định nghĩa
như sau:
x'

e u1
,
x

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

(2.36)

19


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

khi đó n 1 có dạng giống nhau cho cả x và x. Chúng ta có thể viết lại chúng
sử dụng hàm số đơn trị , T như sau:
X = x(n,T ) khi n < 1
X = x(n,T ) khi n > 1

(2.37)

Như đã biết tính chất đối xứng với n < 1 và n > 1 là kết quả của đối
xứng lỗ hổng nhỏ của hàm Hamintonian Hubbard.
ở điểm này chúng ta lấy giới hạn khi u . Giả sử rằng trong giới hạn
này bậc của x trong bậc thứ 2 của t bằng với bậc của nó ở bậc 0.
Vì vậy với bậc của được cho từ (2.25) đến (2.37) thì :

x(n,T ) 1 ( n > 0)

(2.38)

Bây giờ ta dựa vào đó xét với bậc 1/u và bỏ qua e u trong (2.35) ,Chúng
1

ta thu được phương trình đối với là:
2

2

ư 1
1
2 2x(n,T ) ư x(n,T )ư 4u1 x(n,T )
n=
+ 2t 1
2x(n, T )+ 1
(2x(n,T )+ 1)3

(2.39)

Chúng ta viết lại 1 bằng cách sử dụng và thu được:

1

logx e
2

x x e cosh H 2u x 1 e
2 x cosh H 1 2t
x e 2 x cosh H 1
x x' e cosh H 2u x' 1 e
2 x' cosh H 1 2t
x' e 2 x' cosh H 1
3

u1

2
1

1

u1

1
1

1

2

u1

2

2

u1

1



log x' 2 e u1

,

1

u1

3

2
1

1
1

1

2

u1

2

2

u1

1

1 log2 cosh H 1 1 n 1 log 2 e u 2t12
1

cosh H 1 2u11 2
.
2 cosh H 1 12

(2.40)

Độ từ hoá được viết lại là:





1 2
1
2 sinh H 1
M

2 1 2 cosh H 1 8u1 sinh H 1
. (2.41)
m


2t1
N0
H 1 2 cosh H 1 1
2 cosh H 1 13

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

20


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Nếu chúng ta cho H = 0 thì trong công thức (2.41) độ từ hoá m = 0.
Thực ra nó bằng 0 đối với tất cả các bậc của các nhiễu loạn. Mà đối với sắt từ
sự từ hoá không trở về không khi H = 0. Do đó ta phải dùng phương pháp
nghịch đảo.
Trong công thức nghịch đảo đã trình bày ở Đ1, chúng ta thay J, bởi J =
- H1 , = m và sử dụng kết quả của công thức nghịch đảo cho bậc thứ nhất h0
và h1 của phương trình (2.9). Tham số mở rộng trong trường hợp này là 2t12
đóng vai trò của g trong công thức trên.
Mật độ năng lượng tự do Helmholtz được cho với bậc của 2t12 như

trên.
1 1 H 1 m
10 H 10 m 2t1211 H 10 m H 10 m .m

(2.42)

1 H 10 m H 10 m .m

ở đây H10(m) là hàm được định nghĩa bằng biểu thức thấp nhất của
chuỗi nghịch đảo:
m = - 10(1) H10(m)
từ (2.41) ta thu được m

2 sinh H 10 (m)
,
2 cosh H 10 (m) 1

(2.43)

ở đây chỉ số trên (1) có nghĩa là chúng ta đạo hàm bậc 1. Trường hợp
này người ta có thể tính được H10(m) bằng cách giải phương trình (2.43)
m m 2 4 2 (m 2 1)
.
H 10 (m) log
2 (m 1)



Đặt

m m 2 4 2 (m 2 1)
,
2 (m 1)



H 10 (m) log

(2.44)

Bởi vì = 0 khi m = 0. Từ đó 1 được víêt như là hàm số của :
1 1 ( ) 101 . ,

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

(2.45)

21


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

với
1 ( ) 10 ( ) 2t1211 ( ) .

(2.46)

Từ (2.45) ta thấy rằng tham số bậc 0 bị triệt tiêu khi H = 0 là có thể tìm
được bằng cách giải phương trình H = 0. Mặt khác
H

từ (2.44) ta thấy rằng


m

1 1
,

.
m m

0, nên chúng ta chỉ cần giải phương trình

1
=


0.
Từ (2.45) ta có:
1
102 ( ) 2t12 111 ( ) ,


(2.47)

với 1 được xách định từ (2.40), ta thu được:
q=

2x(n,T )(2x(n, T )+ cos hj
2

(2x(n,T )cosh j + 1)

)

.j ư

ộ1 ư 2x(n,T )cosh j ư 8uư 1x(n,T )2 ựx(n,T )sinh j
1
ờ
ỳ
ỷ
ư 2t 12 ở
3
(2x(n,T )cosh j (n,T )+ 1)

(2.48)

Đây chính là chuỗi nghịch đảo.
Giải phương trình (2.48) ta thu được nghiệm , T và tìm được sự
từ hoá m khi H = 0.
m=

2x(n,T )sinh j (n,T )
2x(n, T )cosh j (n,T )+ 1

.

(2.49)

Đ3. kết quả tính số

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

22


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Để thuận tiện trong các tính toán về sau, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự
nhiên, trong đó các hằng số Planck rút gọn và vận tốc ánh sáng trong chân
không được cho bằng 1 ( c 1 ). Ngoài ra, hằng số Boltzoman kB và
manhêton Bo cũng được chọn bằng đơn vị (kB = 1, B = 1).
Các hằng số của mô hình Hubbard được chọn ở các giá trị:
t 1
0,7
u 1.

Để tìm độ từ hoá ta sử dụng công thức:
m

2 sinh
,
2 cosh 1

(2.50)

từ công thức này ta thấy để xác định được m ta cần xác định được ( n ,T) và
, T .

Tìm ( n ,T) từ phương trình :


1
2 2 4u 1 2
,
2t12
2 1
2 13

với :
1
t
T
1
u1 u
T
t1

Từ đây ta tìm được hàm đơn trị : x = x(n,T )
x = x(n, T ) với n < 1,

Do

x = x ( n ,T) với n > 1.
Mặt khác x e , x'
1

e u1
x

nên x và x đều dương và là số thực x(n,T )

cũng phải dương và là số thực.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

23


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Để tìm j (n,T ) ta sử dụng phương trình :
g 1 g 2 ,

với g1 còn
g 2 2t12

1 2 cosh 8u

2 sinh
.
22 cosh 2 cosh 1
1
1

Giải phương trình g 1 g 2 ta tìm được j = j (n,T ). Thay và
tìm được vào phương trình (2.49) ta tìm được độ từ hoá m.
Hình 3.1 là đồ thị biểu diễn các hàm g(), trong đó A- g 1 , còn B, C
và D là hàm g2() tương ứng với nhiệt độ lần lượt là 0,6, 0,72 và 0,8.

H
L

6

g j

4

A
B

2

C

0

D

-2
0

1

2

3

j

4

5

6

Hình 3.1. Đồ thị g1() và g2().

Dựa vào đồ thị này ta thấy rằng giá trị của thu được bằng cách giải phương
trình g 1 g 2 không trở về không khi nhiệt độ của hệ thấp hơn nhiệt độ
tới hạn Tc. Khi nhiệt độ T < Tc thì g 2 cắt g 1 tại điểm = 0.
Dựa vào đồ thị ta thấy Tc thuộc khoảng nhiệt độ 0,72 < Tc < 0,8.. Khi
thay các giá trị khác nhau của và tương ứng và từ đó ta tìm được tập hợp
các giá trị của m tương ứng. Biểu diễn sự phụ thuộc của m vào T ta thu được

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

24


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

đồ thị hình 3.2. Trong đó A là kết quả cho trường hợp 3 chiều ( theo các tác
giả [4]), B là kết quả cho trường hợp 1 chiều.
Đồ thị này cho ta biết độ biến thiên của độ từ hoá m theo nhiệt độ T.
Khi T tăng thì độ từ hoá giảm và tới một giá trị T = Tc thì độ từ hoá bằng 0,
khi đó có sự chuyển pha sắt từ.
0.30

t=1
U=1
= 0,7
A) z = 2
B) z = 6

0.25

m

0.20

B

0.15

0.10

A

0.05

0.00
0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

T

Hình 3.2. Độ từ hoá m theo nhiệt độ T.

Dựa vào đồ thị hình (3.2) ta biết được nhiệt độ Tc : 0,72 < Tc < 0,8. Khi số
chiều của không gian tăng lên 3 chiều tức là mỗi nút mạng sẽ có 6 nút gần
nhất, còn các thông số khác vẫn giữ nguyên thì ta thấy rằng ở cùng một nhiệt
độ T độ từ hoá m trong không gian 3 chiều lớn hơn độ từ hoá trong không
gian 1 chiều, và nhiệt độ chuyển pha sắt từ của nó cũng cao hơn. Cụ thể trong

không gian 3 chiều thì nhiệt độ Curie của nó nằm trong khoảng 1,3 < Tc <
1,4. Điều này là hoàn toàn phù hợp với thực tế.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

25