Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phần mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong cơ học lượng tử, việc giải các bài toán đều qui về việc giải
phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc trong
điều kiện lý tưởng thì ta hoàn toàn có thể giải nó một cách chính xác .
Tuy nhiên trong thực tế, việc giải phương trình này gặp nhiều khó khăn
và phức tạp. Phần lớn các bài toán không được giải một cách chính xác. Do
vậy, trong nhiều trường hợp người ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để
phương trình Schodinger giải được một cách chính xác hơn. Vì vậy, tôi quyết
định chọn đề tài: Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong
cơ học lượng tử .
Với đề tài này tôi chỉ tìm hiểu phương pháp gần đúng lí thuyết nhiễu
loạn và phương pháp sóng riêng phần - một trường hợp đặc biệt của lí thuyết
nhiễu loạn. Ngoài, ra tôi còn tìm hiểu thêm về chuẩn hóa hàm sóng có phổ
liên tục.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp gần đúng: lí thuyết nhiễu loạn và phương pháp
sóng riêng phần để giải các bài toán trong cơ học lượng tử.
- Sử dụng hàm Đenta trong việc chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên
tục.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

1


Khóa luận tốt nghiệp đại học

3. Đối tượng nghiên cứu
Với phạm vi đề tài này, tôi chỉ nghiên cứu phương pháp gần đúng lí
thuyết nhiễu loạn, phương pháp sóng riêng phần và hàm Đenta trong việc
chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp toán trong Vật lý lý thuyết.
- Sử dụng phương pháp giải tích toán học.



Vũ Thị Hà K29B - Lý

2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phần nội dung
chương1: lí thuyết nhiễu loạn
1. Cơ sở lí thuyết
1.1. Đặt vấn đề
Trạng thái của hệ lượng tử được mô tả bởi nghiệm của phương trình
Schodinger:

H E

(1.1)


ở đây, H là toán tử Hamintơn và E là năng lượng của hệ. Đối với một

số trường hợp đơn giản ( trường Coulomb, trường điện từ đều ) tương ứng
với các hệ đã lí tưởng hóa, phương trình (1.1) có thể cho nghiệm chính xác.
Khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm
chính xác. Bởi vậy cần phải đưa vào phương pháp gần đúng để giải phương

trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử H (1.1).
Một trong các phương pháp gần đúng đó là dựa vào các nghiệm chính
xác của hệ đã lý tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để được nghiệm gần
đúng cho hệ thực, trong một số điều kiện mà hệ thực có thể coi như không
khác với hệ lý tưởng quá nhiều.
Phương pháp hiệu chỉnh như thế, dưới điều kiện được đặt ra được gọi là
lí thuyết nhiễu loạn.
Ta sẽ đặt điều kiện hạn chế cho bài toán. Trước hết, ta xét xem các bài
toán có phổ gián đoạn:

H l = E l ( l = 1,2,3)

(1.2)


Giả sử toán tử H có thể tách ra làm hai phần :


H = H 0 +V

(1.3)

Vũ Thị Hà K29B - Lý

3

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trong đó H 0 là toán tử Hamintơn của bài toán đã lí tưởng hóa còn số

hạng thứ hai gọi là toán tử nhiễu loạn.

Gọi V là nhỏ, để biểu diễn nó ta đặt :


V W

(1.4)

Với là một thông số nhỏ không thứ nguyên.
Thêm nữa, giả sử biết các nghiệm El0 và l (l =1, 2, 3) của phương

trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử H 0 :

( l =1, 2, 3)
(1.5)
H 0 l = El0 l
Các l đã được trực chuẩn:
*
l' l

dq =

ll '

( l , l ' =1,2,3)

(1.6)

Với các điều kiện hạn chế đó việc giải phương trình (1.1) sẽ qui về việc
giải phương trình sau để tìm El và l :


( H 0 + W ) l = El l

(1.7)

Nói cách khác đi, chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho El0 và l (l =1,2,3) để
sau khi hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh El và l sẽ nghiệm đúng (1.1), (1.2)
hay (1.7).
1.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến
1.2.1. Ta xét các trường hợp các trạng thái của hệ lí tưởng không có
suy biến, nghĩa là với mỗi giá trị El0 chỉ có một hàm riêng l , ngoài ra ta xét
xem mức El0 thay đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. Giả sử sau khi hiệu
chỉnh cho El0 và l ta được năng lượng El và hàm sóng l nghiệm đúng (1.7).


Lấy hệ hàm riêng l (l =1,2,3) của H 0 làm cơ sở và khai triển :

l = cnn

(2.1)

n

Vũ Thị Hà K29B - Lý

4


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Như vậy, việc tìm l đưa về việc tìm các cn (n =1,2,3) tức là các hàm
sóng trong E 0 - biểu diễn.
Thay (2.1) vào (1.7), nhân với m* vào bên trái hai vế, rồi lấy tích phân
theo các biến số không gian:
( El Em0 )cm cnWmn

(2.2)

n

ở đây:

Wmn m* W n dq

(2.3)

là phần tử (m, n) của ma trận (W) của toán tử nhiễu loạn W trong E0 - biểu
diễn.
a) Khi = 0, tương ứng với trường hợp không nhiễu: H H 0 , n l0 l .
Từ (2.2) ta có:
( El Em0 )cm 0

(m = 1, 2, 3, ). (2.4)

Nghiệm của (2.4) là: El En0 và cm cm0 ml

(2.5)

cm cm0 ml được suy ra từ (2.4) trong hai trường hợp, nếu m l cm 0 ,

nếu m = l; l l cn n .
n

b)Với nhỏ, các giá trị El xê dịch khỏi El0 , các cm sẽ lệch khỏi giá trị
cm0 . Ta hy vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy ta khai triển cm và El

(m, l =1,2,3) theo chuỗi lũy thừa của :
cm cm0 c1m 2cm2 ...

(2.6)

El El0 El1 2 El2 ...

Trong đó, các hệ số tỷ lệ với k là hiệu chỉnh bậc k tương ứng của cm và

Vũ Thị Hà K29B - Lý

5


Khóa luận tốt nghiệp đại học
El .Thay (2.6) vào (2.2):

( El0 Em0 El1 2 El2 ...)(cm0 c1m cm2 ...) Wmn (cn0 c1n cn2 ...)
n

(m, l =1, 2, 3,)

(2.7)

So sánh các hệ số của lũy thừa ở hai vế (2.7). Trước hết với hệ số của

0 :
( El0 Em0 )cm0 0

(m = 1, 2, 3,)

(2.8)

Từ phương trình (2.8) ta suy ra cm0 0 ( m n ) còn cl0 1 ( m l ). Như
vậy cm0 ml . Thay cm0 ml , cn0 nl vào (2.7) ta có:
( El0 Em0 El1 2 El2 ...)( ml c1m ...) Wmn ( nl c1n ...)
n

(m, n =1, 2, 3,)

(2.9)

Giả sử m l :
El1 Wll

(2.10)

El2 El1cl1 Wln c1n
n

Từ (2.10) ta suy ra hiệu chỉnh bậc 1 của năng lượng:

El1 Wll Vll

(2.11)

Giả sử m l :
( El0 Em0 )c1m Wml
( El0 Em0 )(cm2 El1c1m ) Wmn c1n

(2.12)

n

Trong gần đúng cấp 1, năng lượng của hệ được biểu diễn bằng công
thức:
El El0 El1 El0 Vll

(2.13)

Từ (2.11) ta suy ra:

Vũ Thị Hà K29B - Lý

6

Khóa luận tốt nghiệp đại học
c1m

Wml
0
l

0
m

E E



Vml
E Em0

(2.14)

0
l

Trong phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng:

l cmm (cl0 cl1 )l (cm0 c1m )m
m

ml

Vml

0 m
m l E Em

= l cl1l

0
l

(2.15)

trong đó c1m được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của l có xét điều kiện
(2.6 ) và bỏ qua các đại lượng tỷ lệ với 2 :
2

2

1
1
1
l dq 1 cl 1 cl cl 1

(2.16)

Có thể coi cl1 là thực, vì vậy cl1 0 .
Thành thử trong phép gần đúng cấp 1:
Vml

0 m
m l E Em

l l

(2.17)

0
l

Từ (2.10) và (2.14) với cl1 0 , ta suy năng lượng trong phép gần đúng
cấp 2:
2

V
El E Vll 0 ln 0
n l El En

ở đây Vln* Vln , vì toán tử V -Her mite.
0
l

(2.18)

1.2.2. Phương pháp trên chỉ đúng trong trường hợp nếu chuỗi gần đúng
hội tụ. Điều kiện cần cho điều đó là mỗi số hạng sau phải nhỏ hơn số hạng
trước. Như vậy:
Vln

El0 En0 với bất kỳ n l

(2.19)

(2.19) chính là điều kiện có thể áp dụng được lí thuyết nhiễu loạn. Giả thiết

V nhỏ nghĩa là (2.19) được thực hiện.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

7


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Việc chứng minh cho chuỗi nhiễu loạn hội tụ là rất phức tạp. Trong một
số trường hợp, người ta thấy gần đúng cấp 1 của lí thuyết đã cho những kết
quả tốt, ngay cả khi chuỗi phân kỳ.
Từ (2.19) ta thấy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức
l không được suy biến. Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái m l có

năng lượng En0 thỏa mãn (2.19) bị suy biến thì tính đúng đắn của (2.16) và
(2.18) không bị phá hủy.
Ngoài ra, các công thức có thể mở rộng sang cả trường hợp khi một
phần các trạng thái m l thuộc về phổ liên tục. Trong trường hợp này cần phải
thay tổng bằng tích phân:
Vml
V
0 l 0 d
0 m
El E
m l E Em

l l

0
l

0
l

El E Vll
m l

Vlm

2

El0 Em0



Vl

(2.20)

2

El0 E0

d

(2.21)

Ta qui ước là chỉ số các trạng thái có phổ liên tục và là tập giá trị của
các đại lượng đủ để xác định trạng thái nếu trạng thái của phổ liên tục suy
biến.
1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến
Giả sử mức El0 suy biến bội s. Khi đó để làm hàm gần đúng cấp không,
ta có thể lấy tổ hợp tuyến tính:
s

l akl

(3.1)

k

k 1

Trong đó lk được xác định bởi phương trình:

H 0lk El0lk (l = 1, 2, 3,k = 1, 2, 3s)

Vũ Thị Hà K29B - Lý

8


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Thay (3.1) vào phương trình (1.7), nhân vào hai vế kết quả nhận được
với lk (k=1, 2, 3,s). Sau đó tích phân theo các biến không gian, ta thu được
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
s

(H

mk

El mk )ak 0

(3.2)

k 1

Hệ phương trình này có nghiệm khác không với điều kiện định thức lập
bởi các hệ số của các ẩn ak bằng không:
H11 E1
H 21
...

H12

... ...

H1 s

H 22 E2 ... ... H 2 s
.
...
... ...
...

H s1

H s2

0

(3.3)

... ... H ss Es

Khai triển định thức (3.3) ta thu được phương trình bậc s đối với giá trị
chưa biết El . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỉ nó có s nghiệm.
Nếu s nghiệm thực của (3.3) khác nhau thì mức El0 suy biến bội s của bài toán
không nhiễu sẽ tách ra làm s mức khác nhau và ứng với mỗi mức này sẽ có
một hàm:

l am l
k

k

(3.4)

m

m

Các hệ số amk được xác định từ (3.2) khi thay Elk vào El (k =1,2,3,s).

Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn V khử hoàn toàn suy biến. Các hàm
sóng tương ứng với các nghiệm bội của (3.3) xác định bởi phương trình một

cách không đơn trị. Chúng ta có thể trực giao chúng bằng phương pháp GramSmit. Dựa vào hàm (3.4) trực giao, ta có thể chéo hóa ma trận ( H mk ) của toán

tử H . Nghĩa là:


(3.5)
H mk Vmk l*m H 0 V lk dq 0





Điều này cho phép chúng ta bỏ đi các số hạng có mẫu số nhỏ trong các
phép gần đúng tiếp theo dựa vào công thức (2.16) và (2.18).

Vũ Thị Hà K29B - Lý

9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

1.4. Kết luận
Việc sử dụng lí thuyết nhiễu loạn trong các bài toán trong cơ học lượng
tử là rất hữu ích. Tuy nhiên không phải hệ vật lý nào cũng có thể áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn.
Một hệ vật lý có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là hệ có:

H H0 W

Trong đó phương trình H 0 n En0 n phải giải được một cách chính xác


và W ( toán tử coi là nhiễu loạn) phải rất nhỏ so với toán tử năng lượng H 0 .
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán trong cơ học lượng tử vận dụng lý
thuyết nhiễu loạn:
2. Bài tập vận dụng
2.1. Bài tập 1
Hạt không có spin nằm trong trường đối xứng cầu (bài toán không
nhiễu ) có các mức năng lượng bằng Enl0 . Dùng lí thuyết nhiễu loạn tìm năng
lượng và hàm sóng của nó trong phép gần đúng bậc nhất khi có từ trường
hướng dọc trục oz (từ trường yếu).
Giải
Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamintơn:

ie
H H0 V H0
A (bỏ qua số hạng tỷ lệ với A2 )



ie
Coi số hạng V
A là toán tử nhiễu loạn.

Vì từ trường là yếu nên V nhỏ Ta áp dụng lí thuyết nhiễu loạn để

xác định năng lượng và hàm sóng của hạt.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

10


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Gần đúng bậc nhất:
+Năng lượng của hạt:
Enl Enl0 Enl1

trong đó Enl0 là năng lượng của hạt trong trường đối xứng cầu.
+Hàm sóng của hạt:
0
1
nlm nlm
nlm

Với:
1
r

m
0
nlm
Rnl (r ) Pl (cos )eim

Hiệu chỉnh bậc nhất của năng lượng:

0
0*
0* ie
0
Enl1 nlm
V nlm
dV nlm
A nlm
dV





Vì B (0,0, B) rotA nên có thể chọn:
1
1
Ax By ; Ay Bx ; Az 0
2
2

Khi đó:

1 i B
iA BLz
2
2

Do đó:
0*
Enl1 nlm

e i B 0
dV
2 nlm

0
im
= nlm

ieB 0
eBm 0* 0
nlm dV =
nlm nlm dV
2
2

Theo điều kiện chuẩn hóa:



0*
nlm

0
nlm
dV 1

Vũ Thị Hà K29B - Lý

11


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Nên:
Enl1

eBm
2

Vậy năng lượng trong gần đúng bậc nhất là:
Enl Enl0 Enl1 Enl0

eBm
2

Hiệu chỉnh về hàm sóng:
0
0*
0* ieB
, 0
Vmm, nlm
V nlm
, dV =
nlm 2 im nlm, dV

=
=

eBm,
0*
0
nlm
nlm
, dV

2

eBm,
, 0
2 mm

(do m m, )

Vậy hàm sóng trong gần đúng bậc nhất:
0
nlm nlm

2.2. Bài tập 2
Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động
tử điều hòa phi tuyến một chiều có thế năng:
1
U ( x) m 2 x 2 x3 x 4
2

trong đó và là những hằng số.
Giải
Toán tử Hamin tơn của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều:

1
H T U T m 2 x 2 x3 x 4
2

= H 0 x3 x 4

Vũ Thị Hà K29B - Lý

12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

1
Trong đó H 0 T m 2 x 2 là toán tử Hamin tơn của dao động tử điều
2
'
hòa tuyến tính và tổng U ( x) x3 x 4 coi là toán tử nhiễu loạn.

Do số hạng phi điều hòa là rất nhỏ Ta có thể áp dụng lí thuyết nhiễu
loạn để tìm các hiệu chỉnh.
Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng của dao động tử ở trạng thái cơ bản
là:
E01 0* ( x 3 x 4 ) 0 dx

Với:
m 2

x
m

0 4
e 2


Do 0* x 3 0 dx có hàm dưới dấu tích phân là lẻ nên:
*
0

3

x dx 0
0

Suy ra:

1
0

* 4
0

E x 0 dx =



x4

m m x2
e
dx


áp dụng tích phân Poisson:




4

xe



m 2
x


dx I 4 (



=

m
3!!

) 2

2 ( m )5


3

4 ( m )5


Do đó:
En1

m 3 2 3
2
(
) (
)
m 4 m
4 m

Vũ Thị Hà K29B - Lý

13


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Nếu tính đến hiệu chỉnh bậc 2 cho năng lượng của số hạng nhiễu loạn
( x3 ) sẽ được:
2

V0 n

n 0 E0 En
n 0

E02

*
3
0 ( x ) n dx

2

E0 En

Trong đó:
m
n 4


1
n

2 n!

e



2

2

H n ( )

Với:

x

m


x
dx
d

m
m

Và:
1
En (n )
2

Ta biết, đa thức Hermite H n ( ) thỏa mãn phương trình:
H n" ( ) 2 H n' ( ) 2nH n ( ) 0

Với:
n

H n ( ) ( 1) e

2

d n 2
(e )
d n

Chú ý rằng:

dH n
(n 1)(n 2)


2n (2 )n1
(2 )n3 ... 2nH n1
d
1!


d 2Hn
dH
2n n 1 2n.2( n 1) H n 2
2
d
d

Ta có:
(1) 2n.2( n 1) H n2 2 .2nH n1 2nH n 0

1

Hay: H n1 (n 1) H n2 H n
2

Vũ Thị Hà K29B - Lý

14

(1)


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Thay: n n 1 và n n 2 ta có:
1
2

H n nH n1 H n1
(2)

1
H n1 (n 1) H n H n2
2

Từ (2) ta thấy:
1
2

2 H n ( H n ) (nH n1 H n1 )
1
1
= ( n ) H n1 H n 2 n(n 1) H n2

2
4

Tương tự:
3n 2
3
1
H n n(n 1)(n 2) H n3 ( )
H n1 ( ) (n 1) H n1 ( ) H n3 ( )
2
4
8
Vì n 0 và n N nên:
3

*
0



dx 0* n3dx 0

n 1

Vì theo điều kiện trực giao chuẩn hóa các hàm sóng:




0*

m

0
n

dx Am An


2
e
H m ( ) H n ( )d
m

0 khi : m n
= mn
1 khi : m n

Do đó:
E02
n 0

*
3
0 x n

E0 En

Vũ Thị Hà K29B - Lý

2

=

15


Khóa luận tốt nghiệp đại học
2 (

6 4
) A0
m

2


n 0

n(n 1)(n 2)
m
2 .n!

2



9
8

2

2
A0 H 0* ( )e H 0 ( ) dx
m

E0 E3

2

E0 En

n

*

3 2 1 H 0 ( )e H n1 ( )d
( ) . n
2 .n! m
E0 En
n 0 2



3
2(
)
m



2

*

H 0 ( )e H n3 ( )d



2


2



2

2
*
2
A0 H 0 ( )e H 0 ( )d
m


E0 E1

3


3 1 1 9

6
1
9
1
2
2
= 3 3


= 3 3
m 4 8
m 8 (1 7) 8 (1 3)
2
2


2

2 11
11 2 2


m3 4 8
8 m3 4

Vậy hiệu chỉnh vào năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều
hòa (gần đúng cấp hai) là:
11 2
3 2 11 2 2 3 2
E E E




6 m 2
4 m 2 2 8 m3 4 4 m 2 2
1
0

2
0

2.3. Bài tập 3
Hạt có khối lượng ở trong giếng thế vuông góc một chiều bề rộng d có
thành cao vô hạn, chịu một nhiễu loạn nhỏ U ' ( x) U 0 cos

2 x
(d và U 0 là
d

các hằng số). Xác định hiệu chỉnh về năng lượng của các trạng thái dừng.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

16

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Giải
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của hạt trong giếng thế khi
không có nhiễu loạn:

H 0 En0

(1)

với:


H 0 T U ( x)

Trong đó:
0 0 x a
U ( x)
x 0; x a

Giải phương trình (1) ta thu được hàm riêng và trị riêng của hạt trong
giếng thế khi không có nhiễu loạn:
2
n x 0 n 2 2 2
n
sin
; En
d
d

2m0 d 2

Toán tử Hamin tơn khi có nhiễu loạn:
2 x
H H 0 U ' ( x) H 0 U 0 cos
d

Trong đó coi U ' ( x ) là toán tử nhiễu loạn.
Hiệu chỉnh bậc nhất về năng lượng:
En1 n*U ' ( x) n dV
d

=


0

2
n x
2 x 2
n x
sin
U 0 cos
sin
dx
d
d
d
d
d

d

d

2U 0
n x
2 x
U
2n x
2 x
=
sin 2
cos
dx = 0 (1 cos
)cos
dx

d 0
d
d
d 0
d
d
d

d

U
2 x
U

2n x
2 x
dx 0 cos
cos
dx
= 0 cos
d 0
d
d 0
d
d

Vũ Thị Hà K29B - Lý

17


Khóa luận tốt nghiệp đại học
d

d

U d
2 x
U
2 x
2 x

sin
0 cos

( n 1) cos
(n 1) dx
= 0
d 2
d 0 d 0
d
d


=

U0
(0 0) 0
2

=0
Nếu tính đến hiệu chỉnh bậc hai của năng lượng:
2

Vnm

0
0
m n En Em
m n

En2

*
'

n ( x)U ( x) m ( x)dx

En0 Em0

d

=



2U
n x
2 x
n x
0 d 0 sin d cos d sin d dx

m n

2

2

En0 Em0

Mặt khác:
sin

n x
2 x
n x 1

(n m) x
(n m) x
2 x
cos
sin
cos
cos
cos
=

d
d
d
2
d
d
d

1 (n m 2) x
(n m 2) x
(n m 2)
(n m 2) x
cos
cos
cos
cos

4
d
d

d
d

Do vậy:
En2
d



2U n m 2 x n m 2 x n m 2 x n m 2 x
cos
cos
cos
dx
0 4d0 cos
d
d
d
d

En0 Em0

mn

Vì m, n N * nên m n 2 0 .
Do đó:
d

En2
m n

U
0 2d0

(n m 2) x
(n m 2) x
(n m 2) x
(n m 2) x

cos
cos
cos
cos
dx
d
d
d
d
En0 Em0

Vũ Thị Hà K29B - Lý

18

2

2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

*) Trường hợp 1: n 2 n 1 thì n m 2 0 và n m 2 0 khi
m 1 nhưng vì m n n m 2 0 .

Khi đó:
d

En2 E12

U 02
dx
4d 2 0
E10 E30

2

U 02
1 m0U 02 d 2
2 24 2 2 =
(1 3 )
16 2 2
2m0 d 2

Năng lượng của hạt tính đến gần đúng bậc hai ở trạng thái cơ bản là:
1 m0U 0 2 d 2
E1 E E E

2m0 d 2 16 2 2
0
1

1
1

2
1

22

*) Trường hợp 2: Khi n 2 thì n m 2 0 và n m 2 0 ( m 0 ).
Khi đó:
U 02
1 m0U 0 2 d 2
2 2 2 m0U 02 d 2
2
2
4
=

En E 2 2

(2 4 2 ) 2 2
m0 d 2 24 2 2
24 2 2
2m0 d 2

*) Trường hợp 3: Khi n 2 thì n m 2 0 .
Do đó:
U 02
U 02
U 02

U 02
2
4
4
En 0



En En0 2 En0 En02 4( En0 En0 2 ) 4( En0 En02 )

=

U 02m0 d 2
U 02m0 d 2

4 n 2 (n 2) 2 2 2 4 n 2 (n 2) 2 2 2

=

U 02 m0 d 2
1
1
(

)
4 2 2 n 2 n 2 4n 4 n 2 n 2 4n 4

=

U 02 m0 d 2

1
1
U 02 m0 d 2 1
1
(

)

(

)
2 2
2 2
4 4( n 1) 4( n 1)
16 n 1 n 1

Vũ Thị Hà K29B - Lý

19


Khóa luận tốt nghiệp đại học
=

n U 02 m0 d 2
n 2 1 8 2 2

Năng lượng của hạt trong giếng thế ở trạng thái dừng n tính đến gần
đúng bậc hai là ( n 2 ):
n 2 2 2

n m0U 02 d 2
En E E

2m0 d 2 n 2 1 8 2 2
0
n

2
n

Như vậy, việc sử dụng phương pháp gần đúng sử dụng lí thuyết
nhiễu loạn đã giúp ta tìm được các bổ chính của năng lượng và hàm sóng. Để
từ đó có thể tìm nghiệm của phương trình Schodinger chính xác hơn.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

20


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chương 2: Phương pháp sóng riêng phần

Đây cũng là một phương pháp gần đúng được sử dụng để giải các
bài toán trong cơ học lượng tử cụ thể là các bài toán tán xạ. Phương pháp sóng
riêng phần là một trường hợp đặc biệt của lí thuyết nhiễu loạn. Ta sẽ cùng đi
nghiên cứu việc sử dụng phương pháp này trong bài toán cơ học lượng tử.

1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Phương pháp sóng riêng phần

Phương pháp sóng riêng phần là phương pháp cho phép ta biểu
diễn sóng tới dưới dạng chồng chất của các sóng riêng phần mà mỗi sóng đó
thuộc về một giá trị của bình phương momen xung.
Chúng ta xét bài toán tán xạ của hạt có khối lượng m1 lên hạt có

khối lượng m2 mà thế tương tác V r của chúng phụ thuộc vào khoảng cách

r r1 r2 . Chúng ta đã biết bài toán như vậy có thể rút về bài toán chuyển
động của hạt có khối lượng rút gọn m

m1m2

trong trường thế V r . Điều
m1 m2

này có nghĩa là chúng ta đưa bài toán hai vật tương tác với nhau về bài toán

tán xạ của một hạt với khối lượng rút gọn m trong trường thế V r của một
tâm lực bất động và đưa hệ tọa độ về hệ tọa độ gắn với tâm quán tính. Một
chuyển động như thế bình phương mô men xung phải là tích phân chuyển
động. Nói cách khác, các trạng thái tương ứng với các giá trị khác nhau của
các bình phương momen xung phải tham gia sự tán xạ độc lập với nhau.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

21


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ta chọn hướng của véc tơ ka trùng với hướng của trục OZ. Như

vậy bài toán của chúng ta ngoài tính chất đối xứng tâm còn có tính chất đối
xứng trục (OZ).
Hàm sóng chính xác khi các hạt tương tác nhau sẽ tìm được bằng
cách giải phương trình Schordinger:
2 2

L2
r


V
r

E



0
2
2
2mr r r 2mr


(1)

Và ở những khoảng r lớn phải có dạng tiệm cận:

e

ik a r

eikr
tx e A
r
ikz


2mE
ka k
(2)



Ngoài ra bài toán còn có tính chất đối xứng trục. Bởi vậy nghiệm
của (1) không phụ thuộc vào và dạng tổng quát của nó có thể viết dưới dạng
tổ hợp tuyến tính của các tích f kl r Pl cos . ở đây Pl cos là đa thức
Legendre bậc l của cos (chú ý Pl cos Yl , ), còn các hàm f kl r
thỏa mãn phương trình:
2 2

L2

r

V r E f kl 0

2

2
2mr r r 2mr


(3)

Với r , bỏ qua các vô cùng bé và chú ý V r (các tâm tán
xạ chỉ tác dụng trong một không gian có kích thước hữu hạn nào đó) trở
thành:


2 2 f kl 2f kl


2m r 2
rr

Nếu đặt f kl


Ef kl 0


(4)

Rkl
và đòi hỏi Rkl 0 khi r 0 (4) sẽ tương
r

đương với phương trình cho hàm Rkl :

Rkl'' k 2 Rkl 0

Vũ Thị Hà K29B - Lý

(5)

22


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Nghiệm của (5) với 2 hằng số tích phân chúng ta sẽ lựa chọn trước
sao cho:
1
l

Rkl sin kr l
k
2



(6)

Thành thử nghiệm tiệm cận của (3) khi r là:
Rkl

1
l

sin kr l
kr
2


(7)

Phù hợp với những điều kiện đã nêu trên, nghiệm tiệm cận tổng quát
của phương trình (1) phải có dạng:


2l 1Al Pl cos
l 0

1
l


sin kr l
kr
2


l
l




1 i kr 2 l i kr 2 l

2l 1 Al Pl cos
e
e

2kr
l 0



(8)

Các hệ số Al phải được lựa chọn sao cho hàm này có dạng giống (2).
Để thực hiện điều này chúng ta khai triển sóng phẳng theo các sóng cầu. Dạng
tiệm cận của sóng này sẽ là:
l
l


i i kr 2 i kr 2
e i 2l 1 Pl cos
e
e

2
kr
l 0

ikz

l

(9)

Hiệu eikz tx phải là sóng phân kỳ, nghĩa là phải loại tất cả
những số hạng dạng eikr ra khỏi hiệu trên. Muốn vậy trong (8) ta đặt
Al i l eil và như vậy:


tx eikz 2l 1 Pl cos
l 0

trong đó ta đặt: l e 2il (11) và hệ số của

i
1 l eikr
2kr

eikr
là:
r

1
A
2l 1 Pl cos l 1
2ik l 0

Vũ Thị Hà K29B - Lý

23

(10)

(12)


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Công thức này biểu thị biên độ tán xạ qua l (pha l ).
Tiết diện hiệu dụng:

A

2

2



1
2
4k

2

2l 1

l

1 Pl cos

(13)

l 0

Tích phân theo tất cả các góc của tiết diện vi phân ta thu
được tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần:

T d

1
2l 1 2l ' 1 l* 1 l ' 1 Pl cos Pl ' cos d
2
4k l ,l '

4

P cos P cos d 2l 1

Vì

l



Và

l'

*
l

ll '

1 l ' 1 e 2i l 1 e 2i l ' 1







1 e 2 il e 2il 1 4sin 2 l

Cho nên:
4
T 2
k



2l 1 sin

2

l

(14)

l 0

Đối với tán xạ ứng với l cho trước, tức là ứng với một giá trị của
L2 l l 1 :

l

4
k2



2l 1 sin

2

l

(15)

l 0

là tiết diện tán xạ hiệu dụng riêng phần.
Giá trị cực đại khả dĩ của tiết diện này là:

l max

4
2l 1
k2

ứng với trường hợp:

l

(16)


2

Sau đây ta cùng xét một thí dụ tán xạ sử dụng phương pháp sóng
riêng phần.

Vũ Thị Hà K29B - Lý

24


Khóa luận tốt nghiệp đại học

1.2. Tán xạ cộng hưởng
Khi một hệ phức tạp tương tác với các tán xạ, người ta đã quan sát
thấy có hiện tượng làm tiết diện tán xạ tăng lên đáng kể. Đó là hiện tượng xảy
ra khi năng lượng E của các tán xạ gần với mức năng lượng của hệ phức
tạp, thí dụ sự tương tác của các neutron với các hạt nhân O8. Người ta gọi đây
là hiện tượng tán xạ cộng hưởng.
Đối với một sóng riêng phần ứng với một giá trị l xác định nào
đó:

l

4
(2l 1)sin 2 l
2
k

(17)

không thể vượt qua giá trị:
4
(2l 1)
k2

( l )max

ứng với l

(18)


2

Giả sử xảy ra tán xạ cộng hưởng, tức là E gần mức . Ta xét sự
biến thiên của l theo E bằng phương pháp hình thức sau:
Khi l


2

thì l đạt giá trị cực đại, cot g l 0 .

Khai triển cot g l thành chuỗi lũy thừa của E , có:
cot g l

2
( E )


Vì:
sin 2 l

1
cot g 2 l 1



1
2
4 ( E )2 ( )2
2

Thay (19) vào (17) ta thu được:

Vũ Thị Hà K29B - Lý

25

(19)