Luận văn thạc sĩ đề tài cấu trúc của đại số LIE nữa đơn đối xứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN HIỀN SƠN

CẤU TRÚC CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA
ĐƠN ĐỐI XỨNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Huế, Năm 2014

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Trần Hiền Sơn

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm, chu
đáo của Thầy giáo, PGS.TS. Trần Đạo Dõng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đối với Thầy đã giành nhiều thời gian trao đổi khoa học và những
góp ý quý báu trong quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Huế, quý Thầy Cô giáo ở Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế, Thầy Cô giáo đã tham gia giảng
dạy Cao học Khóa 21. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn những người thân, cùng
bạn bè, các anh chị học viên cao học Toán K21 Trường Đại học Sư phạm Huế
đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Trần Hiền Sơn

iii


MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Giới thiệu về đại số Lie nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Đại số Lie nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Đại số con Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5. Hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Cấu trúc của đại số Lie nửa đơn đối xứng . . . . . . . . . .

22

2.1. Đại số Lie nửa đơn đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Cấu trúc của một số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể . . . . . . . . . . .

34

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

1


LỜI MỞ ĐẦU
Việc mô tả cấu trúc của đại số Lie nửa đơn là một trong những nội dung cơ

bản của lý thuyết Lie và không gian đối xứng. Đóng vai trò quan trọng trong
việc khảo sát tính nửa đơn là tiêu chuẩn Cartan được xây dựng từ dạng Killing
của đại số Lie và đại số con Cartan, tức là lớp các đại số Lie con lũy linh trùng
với chuẩn tắc hóa của nó. Trong số các đại số Lie nửa đơn, lớp đại số Lie nửa
đơn đối xứng tức là các đại số Lie sao cho tồn tại một tự đồng cấu đối hợp đang
được nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát, có mối liên hệ mật thiết với các
không gian đối xứng nửa đơn.
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, chúng tôi mong muốn được tìm hiểu và
làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie nửa đơn đối xứng, từ đó ứng
dụng để mô tả cấu trúc của một số đại số Lie cụ thể: sl(n, R), so(p, q), su(p, q).
Được sự gợi ý của PGS.TS Trần Đạo Dõng, chúng tôi đã chọn đề tài "Cấu
trúc của đại số Lie nửa đơn đối xứng" làm đề tài nghiên cứu của luận
văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
hai chương:
Trong chương I chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của đại số Lie
liên quan đến đề tài. Nội dung chủ yếu của chương này là khảo sát các khái
niệm, tính chất về đại số con Cartan, hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ
ra. Các tính chất của tập căn nghiệm cũng được làm rõ để góp phần khảo sát
các tính chất, khái niệm ở chương sau.
Trong chương II chúng tôi trình bày về đại số Lie nửa đơn đối xứng, sự
phân tích đối xứng của đại số Lie thông qua tự đồng cấu đối hợp, không gian
con Cartan, sự tồn tại không gian con Cartan của đại số Lie nửa đơn đối xứng,
phân tích Iwasawa, một số tính chất, định lí liên quan và áp dụng khảo sát một
số đại số Lie cụ thể đó là sl(n, R), so(p, q), su(p, q) để làm rõ lý thuyết đã trình
bày.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng việc trình bày luận văn khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của
thầy cô và các đồng nghiệp dành cho luận văn.
2

CHƯƠNG 1
Giới thiệu về đại số Lie nửa đơn
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số Lie
nửa đơn, đại số con Cartan và hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ ra. Các
khái niệm và kết quả chủ yếu tham khảo từ những tài liệu [4], [6] và [9].

1.1. Đại số Lie
Định nghĩa 1.1. Cho g là một không gian véc tơ trên trường k. Khi đó g được
gọi là đại số Lie trên k nếu tồn tại phép toán
[, ] :

g×g

−→

g

(X, Y ) −→ [X, Y ]
sao cho
a) [, ] tuyến tính từng biến;
b) [X, X] = 0, ∀X ∈ g;
c) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.
Số chiều của không gian véc tơ g được gọi là chiều của đại số Lie g, kí hiệu
dimk g, [, ] gọi là tích Lie.
k = R : g được gọi là đại số Lie thực.
k = C : g được gọi là đại số Lie phức.
Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g.

Nhận xét 1.1.

1) Mỗi không gian véctơ V trên trường k là một đại số Lie

giao hoán với tích Lie: [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V.
2) Cho g là một đại số Lie, a là một không gian véc tơ con của g. Đặt
Ng (a) = {X ∈ g|[X, Y ] ∈ a, ∀Y ∈ a}
3


là đại số Lie con, gọi là chuẩn tắc hóa của a trong g. Và
Zg (a) = {X ∈ g|[X, Y ] = 0, ∀Y ∈ a}
là đại số Lie con của g, gọi là Tâm hóa của a trong g.
Dựa vào tính chất song tuyến tính của tích Lie ta suy ra được Ng (a), Zg (a)
là các không gian vectơ con của g. Rõ ràng Zg (a) ⊂ Ng (a). Đặc biệt a = g
ta kí hiệu Zg = Zg (g) gọi là tâm của g.
3) Cho g là một đại số trên k (không nhất thiết kết hợp). Khi đó g là một
đại số Lie với tích Lie được xác định:
[, ] :

g×g

−→ g

(X, Y ) −→ [X, Y ] = XY − Y X.
4) Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường k.
EndV = {ϕ : V −→ V tự đồng cấu tuyến tính} là một đại số trên k. Khi
đó, gl(V ) := Endk V là một đại số Lie với tích Lie:
[X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X, ∀X, Y ∈ gl(V ).
5) gl(n, k) := Mat(n, k) = {A = (aij )n |aij ∈ k} là một đại số Lie với tích Lie:

[A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ gl(n, k).
Định nghĩa 1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường k.
1) h ⊆ g được gọi là đại số Lie con nếu h là không gian véc tơ con bảo toàn
tích Lie.
2) h ⊆ g được gọi là iđêan của g nếu h là không gian véc tơ con và ∀X ∈
g, H ∈ h ta có [X, H] ∈ h.
Nhận xét 1.2.

1) Mỗi iđêan là một đại số Lie con. Điều ngược lại nói chung

không đúng.
2) Kí hiệu [a, b] là không gian véc tơ con bé nhất chứa a, b với a, b ⊂ g. Cho
h là một không gian véc tơ con của g. Khi đó:
4


a) h là một đại số Lie con ⇔ [h, h] ⊆ h.
b) h là một iđêan ⇔ [h, g] ⊆ h.
Định nghĩa 1.3. Cho g là một đại số Lie, h là một iđêan của g. Khi đó không
gian vectơ thương g/h = {X + h|X ∈ g} là đại số Lie với phép toán [X + h, Y +
h] = [X, Y ] + h là đại số Lie thương của g theo h.
Định nghĩa 1.4. Cho g, h là các đại số Lie trên trường k.
1) Ánh xạ ϕ : g → h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu ϕ là ánh xạ tuyến
tính bảo toàn tích Lie sao cho:
ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g.
2) Đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn
(toàn, song) ánh.
3) Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với h nếu tồn tại ϕ : g → h là đẳng cấu
đại số Lie, ta viết g ∼
= h.

Gọi Kerϕ = {X ∈ g|ϕ(X) = 0} là nhân của ϕ,
và Imϕ = {ϕ(X)|X ∈ g} là ảnh của ϕ.
Ví dụ 1.1.

1) Cho g là một đại số Lie trên trường k.

ad : g −→ gl(g) = Endk (g)
X −→

g −→ g

adX :

Y −→ (adX)(Y ) = [X, Y ].
Khi đó ad là một đồng cấu đại số Lie, được gọi là biểu diễn liên hợp
của g.
2) Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường k. Khi đó gl(V ) ∼
= gl(n, k).

1.2. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh
Định nghĩa 1.5. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k. Khi đó
g được gọi là giải được nếu trong chuỗi các hoán tử:
g0 = g, g1 = [g0 , g0 ], . . . , gl+1 = [gl , gl ], . . .
tồn tại l ∈ N sao cho gl = {0}.
5


Định nghĩa 1.6.

1) Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k và V

là không gian véc tơ trên trường K, k ⊂ K ⊂ C. EndK V được xét như là
k−không gian véc tơ và kí hiệu là (EndK V )k . Khi đó ánh xạ:
σ : g −→ (EndK V )k
được gọi là một biểu diễn của g trong V nếu σ là một đồng cấu đại số
Lie. Để đơn giản ta thường viết σ : g → EndK V .
Không gian véc tơ con U ⊆ V được gọi là không gian con ổn định nếu
σ(g)U ⊆ U .
2) Cho π : g −→ EndK V là biểu diễn liên hợp của g trong V và U ⊆ V là
không gian con bất biến, tức là π(g)U ⊆ U . Khi đó:
π|U : g −→ EndK U
X −→ π|U (X) : U −→ U
Y −→ π|U (X)(Y ) = π(X)(Y )
là một biểu diễn của g trong U và được gọi là biểu diễn con của g.
3) Cho π là một biểu diễn của g trong không gian vectơ hữu hạn chiều V và
U ⊆ V là không gian con bất biến. Khi đó:
π ∗ : g −→ EndK V /U
X −→

π ∗ (X) :

V /U

−→ V /U

v + U −→ π ∗ (X)(v + U ) = π(X)v + U
là một biểu diễn của g trong V /U và được gọi là biểu diễn thương của
g.
Định nghĩa 1.7. Cho

là biểu diễn của g trong V , h là đại số Lie con của g

và λ ∈ h∗ , với h∗ là không gian đối ngẫu của h.
Ta kí hiệu Vλ = {v ∈ V | (x)v = λ(x)v, ∀x ∈ h}, thì tập Vλ là không gian
vectơ con của V ổn định qua |h . Nếu Vλ = 0 thì λ([h, h]) = 0.
Ta kí hiệu V λ = {v ∈ V |( (x) − λ(x))n = 0, ∀x ∈ h và với n đủ lớn},
thì tập V λ là không gian vectơ con của V và V λ ⊃ Vλ . Với mọi x ∈ h, V λ
chứa trong nilspace của (x) − λ(x), trong đó nilspace của (x) − λ(x) là
Ker( (x) − λ(x))n .
n 0

6


Ứng dụng các khái niệm và tính chất về biểu diễn của đại số Lie ta thu được
một đặc trưng cơ bản của đại số Lie giải được hữu hạn chiều thể hiện trong định
lí Lie dưới đây.
Định lý 1.2.1 (Định lý Lie, [6], Theorem 1.25). Cho g là một đại số Lie hữu hạn
chiều giải được trên trường k, V là K−không gian véc tơ khác 0, k ⊂ K ⊂ C.
Xét σ : g → EndK V là một biểu diễn của g. Khi đó:
(a) Nếu K đóng đại số thì tồn tại v ∈ V, v = 0 sao cho v là một véc tơ riêng
của σ(X), ∀X ∈ g.
(b) Trường hợp tổng quát đối với K, tồn tại v ∈ V \{0} là véc tơ riêng của
σ(X), ∀X ∈ g khi và chỉ khi các giá trị riêng của σ(X) thuộc vào K.
Hệ quả 1.2.2 ([6], Corollary 1.29). Cho g, V, k, K, σ như giả thiết của Định lý
1.2.1. Khi đó, tồn tại dãy các không gian véc tơ con:
V = V0 ⊇ V1 ⊇ · · · ⊇ Vm = {0}
sao cho Vi ổn định qua tác động của σ(g) và dim(Vi /Vi+1 ) = 1, i = 0, . . . , m − 1.
Suy ra trong g tồn tại một cơ sở sao cho ma trận của σ(g) có dạng tam giác
trên.

Định lý 1.2.3 ([4],Theorem 1.3.12). Cho g giải được, V là không gian vectơ con
hữu hạn chiều và

là biểu diễn của g trong V . Nếu với mọi x ∈ g, (x) là tam

giác hóa được thì

là tam giác hóa được.

Định nghĩa 1.8. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K. Khi đó
g được gọi là lũy linh nếu chuỗi tâm dưới
g0 = g, g1 = [g0 , g], . . . , gl+1 = [gl , g], . . .
tồn tại l ∈ N sao cho gl = {0}.
Nhận xét 1.3.

1) Mỗi gl , l ∈ N đều là Ideal của g.

2) Nếu g Abel thì g lũy linh.
3) Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g là giải được, nhưng chiều ngược lại nói
chung không đúng.
7


Các kết quả tiếp theo cho chúng ta một số tính chất và đặc trưng của đại số
Lie lũy linh.
Định lý 1.2.4 ([4],Theorem 1.3.15). Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều và
ad : g −→ End(g) là biểu diễn liên hợp của g. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
(i) g là lũy linh.
(ii) Với mọi x ∈ g, adx là lũy linh.

Định lý 1.2.5 ([4],Theorem 1.3.19). Cho g lũy linh, V là không gian vectơ hữu
hạn chiều.
: g −→ gl(V ) = EndK (V )
x −→

V −→ V

(x) :

y −→

(x)(y) = [x, y].

Giả sử với mỗi x ∈ g, (x) là tam giác hóa được. Khi đó ta có:
(i) V = ⊕ V λ .
λ∈g∗

(ii) Mỗi V λ ổn định qua .
(iii) Với mọi λ ∈ g∗ , ( (x) − λ(x))|V λ có dạng tam giác ngặt (ma trận tam giác
với các phần tử trên đường chéo bằng 0).

1.3. Đại số Lie nửa đơn
Định nghĩa 1.9. Cho g là đại số Lie trên trường k, hữu hạn chiều. Khi đó g
được gọi là nửa đơn (semi-simple) nếu g không có iđêan giải được thực sự khác
0 nào, tức là rad(g) = 0.
Định nghĩa 1.10. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k. Với
mỗi X, Y ∈ g, đặt K(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY ) xác định một dạng song tuyến
tính trên g.
K:

g×g

−→ k

(X, Y ) −→ K(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY )
8


được gọi là dạng Killing của g. Dạng Killing K của đại số Lie hữu hạn chiều
g được gọi là không suy biến nếu:
radK = {X ∈ g|K(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g} = {0}.
1) K là ánh xạ song tuyến tính.

Nhận xét 1.4.

2) Dạng Killing K bất biến qua mọi tự đẳng cấu của g, nghĩa là
K(ϕ(X), ϕ(Y )) = K(X, Y ), ∀ϕ ∈ Aut g, ∀X, Y ∈ g,
trong đó Aut g là tập tất cả các tự đẳng cấu của g.
3) Với mọi X, Y, Z ∈ g, ta có
K([X, Y ], Z) = −K(Y, [X, Z]) = K(X, [Y, Z]).
Sau đây là tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn, tính giải được.
Định lý 1.3.1 ([6], Theorem 1.45). Đại số Lie g là nửa đơn khi và chỉ khi dạng
Killing của g không suy biến.
Định lý 1.3.2 ([6], Theorem 1.46). Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên k.
Khi đó g giải được khi và chỉ khi với mọi X ∈ g, ∀Y ∈ [g, g], ta có K(X, Y ) = 0
hay K(g, [g, g]) = 0.
Định nghĩa 1.11. Đại số Lie g được gọi là khả quy (reductive) nếu với mỗi
iđêan a của g tồn tại iđêan b của g sao cho g = a ⊕ b.
Nhận xét 1.5. Mỗi đại số Lie nửa đơn thì khả quy, nhưng điều ngược lại nói
chung không đúng.

Hệ quả 1.3.3 ([6], Corollary 1.56). Mỗi đại số Lie g khả quy đều có dạng phân
tích g = [g, g] ⊕ Z(g), trong đó [g, g] là nửa đơn và tâm hóa Zg của g là giao
hoán.
Hệ quả 1.3.4. Mỗi đại số Lie khả quy có tâm bằng không là nửa đơn.
Các kết quả dưới đây cho chúng ta mối liên hệ giữa các đại số Lie nửa đơn
và biểu diễn nửa đơn.
9


Mệnh đề 1.3.5 ([4], Proposition 1.5.9). Cho g là nửa đơn, khi đó:
(i) g = [g, g].
(ii) Mỗi phép lấy đạo hàm của g là phép lấy đạo hàm trong.
Định lý 1.3.6 ([4], Theorem 1.6.3). Cho g là nửa đơn, V là không gian vectơ
hữu hạn chiều và

là biểu diễn của g trong V thì

là nửa đơn.

Hệ quả 1.3.7 ([4], Corollary 1.6.4). Cho g là nửa đơn, a là đại số Lie giao hoán
là biểu diễn hữu hạn chiều của g × a. Các điều kiện sau là tương đương:

và
(i)

là nửa đơn.

(ii) Với mọi a ∈ a, (a) là nửa đơn.
Định nghĩa 1.12. Cho h là đại số Lie con của g. Khi đó h được gọi là khả quy
trong g nếu biểu diễn x −→ adg x của h là nửa đơn. Từ định nghĩa ta có biểu

diễn con x −→ adh x của h là nửa đơn, suy ra h là đại số Lie khả quy.
Các kết quả dưới đây cho ta một số tính chất của đại số Lie khả quy trong
đại số Lie g.
Mệnh đề 1.3.8 ([4], Proposition 1.7.6). Cho g là nửa đơn, K là dạng Killing
tương ứng của g và m là đại số Lie con của g thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) K|m×m là không suy biến.
(ii) Nếu x ∈ m thì các thành phần nửa đơn và lũy linh của x đối với g cũng
thuộc về m.
Khi đó m là khả quy trong g.
Mệnh đề 1.3.9 ([4], Proposition 1.7.7). Cho g nửa đơn, a là đại số Lie con của
g, khả quy trong g, m là tâm hóa của a trong g, K là dạng Killing tương ứng
của g. Khi đó:
(i) Sự thu hẹp của K lên m là không suy biến.
(ii) Nếu x ∈ m thì các thành phần nửa đơn và lũy linh của x đối với g cũng
thuộc về m.
10


(iii) Đại số Lie con m là khả quy trong g.
(iv) g = m ⊕ [a, g] và [a, g] là không gian con bù trực giao của m.

1.4. Đại số con Cartan
Định nghĩa 1.13. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k. Một
đại số con h của g được gọi là Đại số con Cartan nếu h lũy linh và trùng với
chuẩn tắc hóa của nó, tức là:
Ng (h) = {X ∈ g|[X, Y ] ∈ h, ∀Y ∈ h} = h.
Mệnh đề 1.4.1 ([4], Proposition 1.9.2). Cho h là một đại số Lie con của g, k
là trường mở rộng của k. Gọi g ⊗ k và h ⊗ k lần lượt là tích Tenso của g và
h với trường mở rộng k . Khi đó h là đại số con Cartan của g nếu và chỉ nếu
h ⊗ k là đại số con Cartan của g ⊗ k .

Kết quả dưới đây cho chúng ta một dấu hiệu để xác định các đại số con
Cartan của đại số Lie.
Định lý 1.4.2 ([4], Theorem 1.9.3). Cho h là đại số Lie con lũy linh của g. Xét
phép biểu diễn:
ad : h −→ gl(g)
x −→ adx : g −→ g
y −→ adx(y) = [x, y].
Với mỗi λ ∈ h∗ , ta có gλ là một không gian vectơ con của g (1.7). Giả sử
rằng với mỗi x ∈ h, adx là tam giác hóa được. Khi đó:
(i) g = ⊕ gλ .
λ∈h∗

(ii) gλ , gµ ⊂ gλ+µ , đặc biệt g0 , gµ ⊂ gµ .
(iii) g0 là đại số Lie con của g chứa h.
(iv) h là đại số con Cartan của g nếu và chỉ nếu g0 = h.
(v) Nếu g0 là lũy linh thì g0 là đại số con Cartan của g.
11


Hệ quả 1.4.3 ([4], Corollary 1.9.4). Cho h là đại số con Cartan của g. Khi đó
h là đại số Lie con lũy linh cực đại của g.
Chứng minh. Ta giả sử k là trường đóng đại số. Vì h là đại số con Cartan
của g nên h là lũy linh. Giả sử h là đại số Lie con lũy linh của g và h ⊂ h . Theo
định lí 1.4.2, ta có h ⊂ g0 = h. Do đó h = h. Vậy h là đại số Lie con lũy linh
cực đại của g.
Mệnh đề 1.4.4 ([4], Proposition 1.9.5). Với giả thiết của định lí 1.4.2, cho K
là dạng Killing tương ứng của g. Khi đó ta có:
(i) K(gλ , gµ ) = 0 nếu λ = −µ.
(ii) K(h, gλ ) = 0 nếu λ = 0.
Chứng minh. (i) Với x ∈ gλ và y ∈ gµ ta có:

(adx.ady)(gν ) = adx[y, gν ] = [x, [y, gν ]] ⊆ [x, gµ+ν ] ⊆ gλ+µ+ν (theo định lí 1.4.2 ii)).

Suy ra adx.ady chuyển gν thành gλ+µ+ν . Do đó từ định lí 1.4.2 i) ta có:
T r(adx.ady) = 0, ∀x ∈ gλ , y ∈ gµ .
Thật vậy, với mọi r ∈ N ta có (adx.ady)r (gν ) ⊆ gr(λ+µ)+ν . Tuy nhiên các
gr(λ+µ)+ν phân biệt và hữu hạn nên ∃r ∈ N sao cho (adx.ady)r = 0. Nếu λ+µ = 0
thì ∃r ∈ N để (adx.ady)r = 0 hay adx.ady là lũy linh. Do đó T r(adx.ady) =
0, ∀x ∈ gλ , y ∈ gµ . Vậy K(gλ , gµ ) = 0 nếu λ = −µ.
(ii) Với x ∈ gλ và H ∈ h ta có:
(adH.adx)(gν ) = adH[x, gν ] = [H, [x, gν ]] ⊆ [H, gλ+ν ] ⊆ g0+λ+ν = gλ+ν .
Tương tự trên nếu λ = 0 thì ∃r ∈ N sao cho (adH.adx)r = 0 hay adH.adx là
lũy linh. Do đó T r(adH.adx) = 0, ∀H ∈ h, x ∈ gλ . Vậy K(h, gλ ) = 0 nếu λ = 0.

Định nghĩa 1.14. Cho x ∈ g, ta kí hiệu nilspace của adx bởi g0 (x), tức
Ker(adx)n . Kí hiệu g∗ (x) =

là g0 (x) =
n 0
0

Im(adx)n . Khi đó ta có g =
n 0

∗

g (x) ⊕ g (x). Sự phân tích này được gọi là sự phân tích Fitting của g đối với
x. Khi đó ta có:
[g0 (x), g0 (x)] ⊂ g0 (x).
[g0 (x), g∗ (x)] ⊂ g∗ (x).
12

Mệnh đề 1.4.5 ([4], Proposition 1.9.7). Với giả thiết của định lí 1.4.2, ta giả
sử g là nửa đơn thì g0 là khả quy trong g.
Chứng minh. Từ mệnh đề 1.4.4 i), ta có sự thu hẹp của dạng Killing tương
ứng của g lên g0 là không suy biến. Thật vậy, xét X ∈ g0 sao cho K(X, g0 ) = 0.
Ta chứng minh X = 0. Ta có K(g0 , gα ) = 0, ∀α = 0 (do mệnh đề 1.4.4 i)). Suy
ra K(X, gα ) = 0, ∀α = 0. Mà g = ⊕gα , suy ra K(X, g) = 0. Mặt khác g là nửa
đơn nên dạng Killing không suy biến. Suy ra X = 0.
Giả sử x, x ∈ g, s, s là các thành phần nửa đơn, n, n là các thành phần
lũy linh. Nếu x ∈ g0 (x) thì ta có [x, x ] = 0. Suy ra [s, x ] = 0 (vì x nửa đơn
nên x = s (tức là n = 0), hay [s, s + n ] = 0. Do đó [s, s ] + [s + n ] = 0. Mà
[s, n ] = 0. Do đó [s, s ] = 0. Suy ra [x, s ] = 0. Hay s ∈ g0 (x).
Ta đã chứng minh được rằng nếu x ∈ g0 thì s ∈ g0 và do đó n ∈ g0 . Từ đó
áp dụng mệnh đề 1.3.8, ta có g0 là khả quy trong g.
Định nghĩa 1.15. Với mọi x ∈ g, ta xét đa thức đặc trưng của adg x:
det(T − adg x) = T n + an−1 (x)T n−1 + an−2 (x)T n−2 + ...,
trong đó T là bất định, các ai là các hàm đa thức trên g.
Khi đó nếu x ∈ g thì dim g0 (x) là số nhỏ nhất p sao cho ap (x) = 0. Giả sử l
là số nhỏ nhất sao cho al không đồng nhất với 0 thì l được gọi là hạng của g.
Một phần tử x của g được gọi là sinh(generic) nếu a1 (x) = 0.
Định lí sau chứng minh sự tồn tại của đại số con Cartan.
Định lý 1.4.6 ([4], Theorem 1.9.9). Cho x là phần tử sinh của g và k là nilspace
của adx thì k là đại số con Cartan duy nhất của g chứa x.
Chứng minh. Nếu y ∈ k thì g0 (x) và g∗ (x) ổn định qua adg y (theo 1.14),
tức là adg y(g0 (x)) ⊂ g0 (x), và adg y(g∗ (x)) ⊂ g∗ (x).
Ta xét các tập sau: S = y ∈ k | adg y|g∗ (x) là song ánh

,

R = y ∈ k | adk y là không lũy linh .
Lúc đó R và S là mở trong k, x ∈ S. Thật vậy, ta có Ker(adg x) ⊂ g0 (x), mà
Ker(adg x) ⊂ g∗ (x) và g0 (x) ∩ g∗ (x) = 0. Suy ra Ker(adg x)|g∗ (x) = 0, do đó
adg x|g∗ (x) là đơn ánh. Hay adg x|g∗ (x) là song ánh. Vậy x ∈ S.
13


Nếu R = ∅ thì tồn tại y ∈ R ∩ S và dim g0 (y) < dim k. Thật vậy, ta chứng
minh g0 (y)

g0 (x), hay g0 (y) =

Ker(ady)n

g0 (x) =

n 0

Ker(adx)n .
n 0

0

n

Xét z ∈ g (y), suy ra ∃n ≥ 0 sao cho (ady) z = 0, với z = z1 + z2 . Khi đó ta có
(ady)n (z1 + z2 ) = 0, suy ra (ady)n (z1 ) + (ady)n (z2 ) = 0, hay (ady)n (z1 ) = 0 và
(ady)n (z2 ) = 0. Suy ra z2 = 0. Do đó z = z1 ∈ g0 (x) hay g0 (y) ⊆ g0 (x).
Ta chứng minh g0 (y)

g0 (x). Ta có y ∈ R suy ra adk y không lũy linh. Khi

đó ∃z ∈ k = g0 (x) sao cho (ady)n z = 0, ∀n. Suy ra z ∈
/ g0 (y). Vậy g0 (y)

g0 (x),

hay dim g0 (y) < dim k : mâu thuẫn với giả thiết x là phần tử sinh. Do đó với
mọi y ∈ k, adk y là lũy linh. Suy ra k là lũy linh. Áp dụng định lí 1.4.2 v), với
h = kx ta có k là đại số con Cartan.
Nếu k1 là đại số con Cartan chứa x thì k1 ⊂ k. Do đó từ hệ quả 1.4.3 ta có
k1 = k. Vậy k là đại số con Cartan duy nhất của g chứa x.
Định nghĩa 1.16. Một đại số con Cartan h của g được gọi là chẻ ra (splitting)
nếu với mọi x ∈ h, adg x là tam giác hóa được.
Nếu h là đại số con Cartan chẻ ra của g thì các phần tử λ khác không của h
sao cho gλ = 0 gọi là căn nghiệm (roots) của g đối với h.
Nhận xét 1.6. Đinh lí 1.4.6 khẳng định mỗi đại số Lie hữu hạn chiều đều có
một đại số con Cartan. Hơn nữa các đại số con Cartan là duy nhất sai khác một
đẳng cấu và khi đó tất cả các đại số con Cartan đều có cùng số chiều, gọi là
hạng của đại số Lie g. Định lí tiếp theo sau đây thể hiện điều đó.
Định lý 1.4.7 ([4], Theorem 1.9.11). Cho k đóng đại số, h và k là đại số con
Cartan của g. Lúc đó tồn tại α ∈ Aute (g) sao cho α(h) = k.

1.5. Hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ
ra
Định nghĩa 1.17. Một cặp (g, h) trong đó g là đại số Lie nửa đơn và h là đại
số con Cartan chẻ ra của g được gọi là đại số Lie nửa đơn chẻ ra. Tập hợp
các căn nghiệm của g đối với h được kí hiệu bởi R(g, h).
Định lý 1.5.1 ([4], Theorem 1.10.2). Cho (g, h) là đại số Lie nửa đơn chẻ ra,
R = R(g, h) và K là dạng Killing tương ứng của g. Khi đó:

14


(i) g = h ⊕ ( ⊕ gα ) và dim gα = 1 với mọi α ∈ R.
α∈R

(ii) Đại số Lie h là giao hoán. Nếu h ∈ h và x ∈ gα thì [h, x] = α(h)x.
Nếu α, β ∈ R thì [gα , gβ ] ⊂ gα+β . Nếu α ∈ R thì −α ∈ R và hα = [gα , g−α ]
là không gian vectơ con một chiều của h. Hơn nữa, không gian con này
chứa một và chỉ một phần tử Hα sao cho α(Hα ) = 2.
(iii) Nếu α, β ∈ h∗ và α + β = 0 thì gα và gβ trực giao đối với K. Ngoài ra,
sự thu hẹp của K lên gα × g−α (và trong trường hợp đặc biệt lên h × h) là
không suy biến. Nếu x, y ∈ h thì K(x, y) =

α(x)α(y).
α∈R

(iv) R sinh ra h∗ .
(v) Nếu α ∈ R thì không gian vectơ con sα = hα + gα + g−α là đại số Lie
con của g. Nếu Xα ∈ gα − {0} thì tồn tại một và chỉ một X−α ∈ g−α sao
cho [Xα , X−α ] = Hα . Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : sl(2, k) −→ g sao cho
ϕ(e) = Xα , ϕ(f ) = X−α và ϕ(h) = Hα thì ϕ là phép đẳng cấu của đại số
Lie sl(2, k) lên đại số Lie sα .
Chứng minh.

Từ định lí 1.4.2 ta có g = h ⊕ ( ⊕ gα ). Nếu α, β ∈ R thì
α∈R

ta cũng có [gα , gβ ] ⊂ gα+β .
Sự thu hẹp của K lên gα × g−α (và trong trường hợp đặc biệt lên h × h)

là không suy biến:
Vì g là nửa đơn nên dạng Killing K không suy biến trên g × g. Khi đó
K(X, g) = 0, ∀X ∈ gα . Suy ra K(X, gβ ) = 0, ∀X ∈ gα , ∀β = −α. Hay K(X, g−α ) =
0. Vì vậy K|gα ×g−α là không suy biến.
Nếu α ∈ R thì −α ∈ R :
Giả sử α ∈ R thì theo định nghĩa gα = 0. Ta chứng minh g−α = 0. Thật vậy,
nếu g−α = 0 thì K(gα , g−α ) = 0 (trái với K|gα ×g−α là không suy biến). Do đó
g−α = 0 hay −α ∈ R.
Nếu h ∈ h và x ∈ gα thì [h, x] = α(h)x:
Giả sử h ∈ h và d, n lần lượt là các thành phần nửa đơn và lũy linh của adg h.
Từ định lí 1.2.5 ta có dx = α(h)x với x ∈ gα . Với mọi giá trị của z, z ∈ g ta có
d([z, z ]) = [dz, z ] + [z, dz ]. Thật vậy, với z ∈ gα và z ∈ gα thì [z, z ] ∈ gα+α .

15


Khi đó:
d([z, z ]) = (α + α )(h)[z, z ]
= [α(h)z, z ] + [z, α (h)z ]
= [dz, z ] + [z, dz ].
Từ mệnh đề 1.3.5 tồn tại u ∈ g sao cho d = adg u. Với mọi h ∈ h, ta có
0 = 0(h)h = d(h ) = adg u(h ) = [u, h ]. Suy ra u thuộc về chuẩn tắc hóa của
h. Ta có adg h = d + n = adg u + n, suy ra n = adg h − adg u = adg (h − u) và
h − u ∈ h (vì h lũy linh cực đại trong g). Từ n là lũy linh ta có adg (h − u)x =
α(h − u)x, ∀x ∈ gα , ∀α. Do ánh xạ lũy linh thì chỉ có giá trị riêng bằng 0 nên
α(h − u) = 0 với mọi α ∈ R. Từ chứng minh trên ta suy ra h − u = 0 hay h = u.
Vì vậy với x ∈ gα , ta có [h, x] = [u, x] = dx = α(h)(x).
Đặc biệt, nếu x ∈ g0 = h ta có [h, x] = 0, ∀x ∈ h, h ∈ h. Suy ra h là giao
hoán.
hα = [gα , g−α ] là không gian vectơ con một chiều của h, chứa một và chỉ

một phần tử Hα sao cho α(Hα ) = 2:
Ta thấy K|h×h là không suy biến. Thật vậy, vì K là không suy biến trên
g × g nên K(X, g) = 0, ∀X ∈ g. Suy ra K(H, g) = 0, ∀H ∈ h = g0 ⊂ g. Do đó
K(H, g) = 0, ∀H ∈ h. Vậy K không suy biến trên h × h. Lúc đó với mọi λ ∈ h∗
tồn tại một và chỉ một hλ ∈ h sao cho λ(h) = K(hλ , h) với mọi h ∈ h. Thật vậy,
xét tương ứng
f: h

−→

h∗

hλ −→ f (hλ ) = λ : h −→ k
h −→ λ(h) = K(hλ , h).
với Ker(f ) = {hλ ∈ h|f (hλ )(h) = λ(h) = K(hλ , h) = 0, ∀h ∈ h} = {0} (do K
không suy biến trên h). Mặt khác, với mọi λ ∈ h∗ , ∀h ∈ h ta có λ(h) ∈ k. Hơn
nữa, K là không suy biến trên h × h nên tồn tại hλ sao cho K(hλ , h) = λ(h). Từ
đó f (hλ )(h) = K(hλ , h) = λ(h), ∀h ∈ h, hay f (hλ ) = λ. Vậy f là song ánh và ta
có đpcm.
Nếu x ∈ gα và y ∈ g−α thì với mọi h ∈ h ta có K(h, [x, y]) = K([h, x], y) =
K(α(h)x, y) = K(α(h)x, y) = α(h)K(x, y) = K(hα , h)K(x, y) = K(h, K(x, y)hα ).
Suy ra K(h, [x, y] − K(x, y)hα ) = 0, ∀h ∈ h. Do K là không suy biến trên h × h

16


nên ta có [x, y] − K(x, y)hα = 0. Hay
[x, y] = K(x, y)hα .

(1.5.1)

Ta có dạng Killing K cảm sinh lên gα , g−α là không suy biến nên với mọi
α ∈ R, hα = [gα , g−α ] = khα . Suy ra hα = [gα , g−α ] là không gian con một chiều
của h. Giả sử α ∈ R, chọn x ∈ gα , y ∈ g−α sao cho K(x, y) = 1 để [x, y] = hα .
Nếu α(hα ) = 0 ta có [hα , x] = α(hα )x = 0.x = 0 và [hα , y] = α(hα )y = 0.y = 0.
Hay [hα , x] = [hα , y]. Vì vậy g = khα + kx + ky là đại số Lie con lũy linh của g.
Ta áp dụng định lí 1.2.3 cho biểu diễn
ad : g

−→ gl(g)

z −→ adg z.
Nếu z ∈ [g , g ] thì có thể thấy các giá trị riêng của adg z trong trường đóng
đại số mở rộng của trường k đều là giá trị không. Do hα ∈ [g , g ] nên β(hα ) = 0
với mọi β ∈ R: đây là điều không thể. Do đó α(hα ) = 0. Vì vậy tồn tại một và
chỉ một Hα ∈ hα sao cho α(Hα ) = 2.
Nếu α, β ∈ h∗ và α + β = 0 thì gα và gβ trực giao đối với K:
Ta chứng minh K(gα , gβ ) = 0. Thật vậy, nếu α + β = 0, γ ∈ h∗ thì áp dụng
mệnh đề 1.4.2ii) hai lần ta có [gα , [gβ , gγ ]] ⊆ gα+β+γ . Lấy X ∈ gα , Y ∈ gβ ta có
(adX.adY )(gγ ) = [X, [Y, gγ ] ⊆ [X, gβ+γ ] ⊆ gα+β+γ , tức là adX.adY chuyển gγ
thành gα+β+γ . Tương tự:
(adX.adY )2 (gγ ) ⊆ g2(α+β)+γ ,
(adX.adY )r (gγ ) ⊆ gr(α+β)+γ , ∀r ∈ N∗ .
Do phân tích 1.5.1 i) là hữu hạn nên khi α + β = 0 thì các gr(α+β)+γ , r ∈ N
là phân biệt. Suy ra tồn tại r để (adX.adY )r = 0 hay adX.adY là lũy linh. Do
đó Tr(adX.adY ) = 0, ∀X ∈ gα , Y ∈ gβ hay K(gα , gβ ) = 0.
R sinh ra h∗ :
Giả sử R không sinh ra h∗ . Khi đó, R sinh ra một không gian con thực sự
của h. Suy ra tồn tại 0 = x ∈ h sao cho α(x) = 0, ∀α ∈ R (vì mọi không gian
con của h∗ có đối chiều 1 thì tồn tại H ∈ h, H = 0 sao cho không gian con đó

là tập các phiếm hàm tuyến tính f triệt tiêu tại H : f (H) = 0). Mặt khác ta
có adx là lũy linh và h là giao hoán nên adx.adx , ∀x ∈ h cũng lũy linh. Suy ra
17


K(x, h) = 0. Mà K|h×h là không suy biến nên x = 0. Mâu thuẫn với x = 0. Vậy
R sinh ra h∗ .
Nếu Xα ∈ gα − {0} thì tồn tại một và chỉ một X−α ∈ g−α sao cho
[Xα , X−α ] = Hα :
Cho α ∈ R và Xα là phần tử khác không của gα thì tồn tại X−α ∈ g−α
sao cho K(Xα , X−α ) = 0 (vì dạng Killing K|gα ×g−α là không suy biến). Lúc đó
[Xα , X−α ] là phần tử khác không của hα . Với cách chọn phù hợp của X−α ta có
[Xα , X−α ] = Hα .
Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : sl(2, k) −→ g sao cho ϕ(e) = Xα , ϕ(f ) = X−α
và ϕ(h) = Hα thì ϕ là phép đẳng cấu của đại số Lie sl(2, k) vào đại số Lie sα :
Từ [Hα , Xα ] = α(Hα )Xα = 2Xα và [Hα , X−α ] = −α(Hα )X−α = −2X−α thì
ánh xạ tuyến tính:
ϕ : sl(2, k) −→ g
e

−→ ϕ(e) = Xα

f

−→ ϕ(f ) = X−α

h

−→ ϕ(h) = Hα .

là phép đẳng cấu từ sl(2, k) vào kXα + kX−α + hα (ánh xạ ϕ biến cơ sở của
sl(2, k) thành sơ sở của sα nên ϕ là đẳng cấu tuyến tính và bảo toàn tích Lie,
hay ϕ là đẳng cấu).
dim gα = 1 với mọi α ∈ R :
Cho α ∈ R và ta giả sử rằng dim gα > 1. Cho y là phần tử khác không của
g−α , lúc đó tồn tại một phần tử khác không Xα của gα sao cho K(Xα , y) = 0.
Theo trên ta có Xα ∈ gα − {0} thì tồn tại một và chỉ một X−α ∈ g−α sao cho
[Xα , X−α ] = Hα .
Xét ánh xạ tuyến tính ϕ : sl(2, k) −→ g được xác định như ở trên và cho
là phép biểu diễn của sl(2, k) vào gl(g) được xác định như sau:
: sl(2, k) −→ gl(g)
z

−→ adg ϕ(z).

Từ công thức 1.5.1 ta có (e)y = adg ϕ(e)y = adg Xα y = [xα , y] = K(Xα , y)hα =
0.hα = 0. Mặt khác ta có y là tổ hợp tuyến tính của vectơ đặc trưng của
(h) = adg Hα với giá trị riêng nguyên lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có [Hα , y] =
−α(Hα )y = −2y: mâu thuẫn. Do đó dim gα = 1.
18


Nếu x, y ∈ h thì K(x, y) =

α(x)α(y):
α∈R

Theo trên ta có dim gα = 1 với α ∈ R nên suy ra tác động của adh lên g là
chéo hóa được. Do đó nếu gọi {xi } là một cơ sở của h thì ta có {xi } ∪ {eα } là
một cơ sở của g (với α là căn nghiệm cố định, tồn tại eα ∈ g, eα = 0 sao cho

(adx)eα = [x, eα ] = α(x)eα , ∀x ∈ h), và với cơ sở này, adx có dạng chéo. Khi đó
adx.ady cũng có dạng chéo và các giá trị riêng của nó là 0 và {α(x), α(y)}. Do
đó K(x, y) = Tr(adx.ady) =

α(x)α(y).
α∈R

Mệnh đề 1.5.2 ([4], Proposition 1.10.6). Giả sử g là nửa đơn, khi đó:
(i) Cho x là phần tử sinh của g thì x là nửa đơn và đại số con Cartan duy
nhất chứa x là tâm hóa gx của x trong g.
(ii) Cho h là đại số con Cartan của g thì h là đại số Lie con giao hoán cực đại
của g sao cho tất cả các phần tử của nó là nửa đơn trong g. Hơn nữa, đại
số Lie h là khả quy trong g.
(iii) Cho ε là tập của các đại số Lie con giao hoán của g và các phần tử của
nó là nửa đơn thì đại số con Cartan là phần tử cực đại của ε.
(iv) Cho x là phần tử nửa đơn của g thì x thuộc về đại số con Cartan của g
và x là phần tử sinh khi và chỉ khi dim gx bằng hạng của g.
Chứng minh. (i) Ta có x là phần tử sinh của g nên g0 (x) = ∪ Ker(adx)n
n≥0

0

là đại số con Cartan của g. Do g (x) là đại số con Cartan của g chứa x nên suy
ra x là nửa đơn (vì theo định lí 1.4.6 ta có h = g0 (x), và mỗi phần tử của h là
nửa đơn). Ta chứng minh gx = h. Thật vậy, tâm hóa gx của x trong g là:
gx = {y ∈ g|[x, y] = 0}
= {y ∈ g|y ∈ Keradx}
= {y ∈ Keradx}
⊂ g0 (x) = ∪ Ker(adx)n
n≥0

= h.
Với x ∈ h, ta chứng minh h ⊂ gx . Thật vậy do h là giao hoán nên ∀y ∈ h ta
có [x, y] = 0, suy ra x ∈ gx hay h ⊂ gx . Vậy gx = h.
19


(ii) Theo định lí 1.5.1 ta có h là đại số Lie con giao hoán của g. Ta chứng minh
h là đại số Lie con giao hoán cực đại của g. Thật vậy ta có Zg (h) ⊂ Ng (h) = h
(vì h là đại số con Cartan). Mặt khác h là giao hoán nên ta có h ⊂ Zg (h). Do đó
Zg (h) = h (*). Giả sử h không là giao hoán cực đại của g, khi đó tồn tại x ∈
/h
mà giao hoán với h. Suy ra x ∈ Zg (h): mâu thuẫn (*). Vậy h là đại số Lie con
giao hoán cực đại của g.
Ta chứng minh các phần tử của h là nửa đơn trong g. Thật vậy, giả sử x ∈ h
và x = xs + xn là sự phân tích Jordan-Chevalley. Ta sẽ chứng minh xn = 0.
Theo trên ta có Zg (h) = h nên x ∈ h suy ra x ∈ Zg (h). Do đó các phần tử xs và
xn cũng thuộc Zg (h) = h. Cho y ∈ h, ta có Kh (xn , y) = Tr(ady.adxn ). Nhưng
do adxn là lũy linh và adxn là giao hoán với ady nên ady.adxn là lũy linh. Suy
ra Kh (xn , y) = 0 với mọi y ∈ h. Mặt khác, sự thu hẹp của dạng Killing K lên h
là không suy biến nên xn = 0. Hay x = xs nửa đơn. Vậy các phần tử của h là
nửa đơn trong g.
Ta chứng minh h là khả quy trong g. Thật vậy theo định lí 1.4.6 ta có
g0 (x) = h. Mặt khác, theo mệnh đề 1.4.5 ta có g0 (x) là khả quy trong g. Do đó
h là khả quy trong g.
(iii) Từ (ii) ta có mỗi đại số con Cartan của g là phần tử cực đại của ε.
Ngược lại ta chứng minh mỗi phần tử cực đại của ε là đại số con Cartan của g.
Giả sử h ∈ ε và c, n lần lượt là tâm hóa và chuẩn tắc hóa của h trong g, ta
có:
c = Zg (h) = {x ∈ g|[x, y] = 0, ∀y ∈ h},

n = Ng (h) = {x ∈ g|[x, y] ∈ h, ∀y ∈ h}.
Ta có h ⊂ c ⊂ n (vì h là giao hoán) và [h, n] ⊂ h. Vì ε là tập của các đại số
con giao hoán của g và các phần tử của h là nửa đơn nên adh là nửa đơn. Hay
h là khả quy trong g. Mặt khác h là giao hoán nên rad(h) = h.
Mặt khác [h, h] ⊂ [h, n] ⊂ h, suy ra [h, n] ∩ h = [h, n]. Mà h là khả quy nên
căn lũy linh bằng 0. Suy ra [h, n] = 0 hay n ⊂ c. Vậy n = c.
Từ mệnh đề 1.3.9 ta có c là khả quy trong g. Do đó c = h × c , trong đó c
là đại số Lie khả quy trong g. Nếu c = 0 thì tồn tại trong c đại số con giao
hoán h mà h khả quy trong g, khác không và h × h ∈ ε. Do đó nếu h là cực
đại trong ε thì c = 0. Vì vậy h = n và h là đại số con Cartan của g.
20


(iv) Vì x là phần tử nửa đơn của g nên từ (iii) ta có x thuộc về đại số con
Cartan của g. Mặt khác ta có nilspace của adx là gx , do đó nếu x là phần tử
sinh khi và chỉ khi dimgx = rankg.
Kết quả dưới đây cho chúng ta một số tính chất của đại số Lie nửa đơn chẻ
ra.
Mệnh đề 1.5.3 ([4], Proposition 1.10.7). Giả sử (g, h) là đại số Lie nửa đơn
chẻ ra, R = R(g, h) và α, β ∈ R. Khi đó ta có:
(i) Nếu α, β ∈ R thì β(Hα ) ∈ Z và ta kí hiệu aβα = β(Hα ).
(ii) Tập tất cả t ∈ Z sao cho β + tα ∈ R ∪ {0} là đoạn [−t , t ], trong đó
t ,t

0, và ta có aβα = t − t .

(iii) β − aβα α ∈ R.
(iv) Nếu β − α ∈
/ R ∪ 0 thì aβα

0, t = 0, t = −aβα .

(v) Nếu β + α ∈ R thì [gα , gβ ] = gα+β .
(vi) Căn nghiệm tỉ lệ với α chỉ có thể là α và −α .
Định nghĩa 1.18. Số nguyên aβα = β(Hα ) trong mệnh đề 1.5.3 i) được gọi
là số nguyên Cartan của (g, h). Với mọi α ∈ R, ta có aαα = 2. Mặt khác
aβα = hβ , Hα = 2

hβ ,hα
hα ,hα

=2

β,α
α,α

=2

Hβ ,Hα
Hβ ,Hβ

.

Nhận xét 1.7. Với mọi α ∈ R, ta kí hiệu sα là tự đồng cấu của không gian
vectơ h∗ định nghĩa bởi:
sα (λ) = λ − λ(Hα )α = λ − 2

λ, α
α.
α, α

Không gian vectơ h∗ là tổng trực tiếp của kα và trực giao với không gian
con của Hα . Sự thu hẹp của sα lên không gian con trực giao là ánh xạ đồng
nhất và sα (α) = −α thì sα gọi là phép phản xạ đối với α. Ta có s2α = 1 và
sα bảo toàn dạng ·, · trong h∗ . Nếu β ∈ R thì từ mệnh đề 1.5.3 (iii) ta có
sα (β) = β − aβα α ∈ R. Do đó sα (R) = R, nghĩa là với mọi căn ngiệm α, phép
phản xạ đối với α chuyển R thành chính nó.

21


CHƯƠNG 2
Cấu trúc của đại số Lie nửa đơn đối xứng
Trong chương này chúng tôi khảo sát cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn
đối xứng và thể hiện cho một số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể. Các khái
niệm và kết quả chủ yếu tham khảo từ những tài liệu [1], [2],[4],[7] và [8].

2.1. Đại số Lie nửa đơn đối xứng
Định nghĩa 2.1. Cho g là đại số Lie và θ là tự đồng cấu của g sao cho θ2 = 1
(phép đồng nhất của g). Khi đó ta gọi cặp (g, θ) là đại số Lie đối xứng, θ
được gọi là phép đối hợp của g.
Kí hiệu k = {x ∈ g|θx = x} và p = {x ∈ g|θx = −x}. Khi đó ta có:
[k, k] ⊂ k,

[k, p] ⊂ p,

[p, p] ⊂ k.

Nói riêng, k là đại số Lie con của g.
Cho K là dạng Killing của g, ta có K bất biến qua mỗi tự đẳng cấu của g.

Từ đó nếu x ∈ k và y ∈ p ta có K(x, y) = 0. Suy ra k và p trực giao đối với K.
Hơn nữa, giả sử g là nửa đơn thì dạng Killing K là không suy biến. Suy ra
k và p là trực giao với nhau. Khi đó ta có g = k ⊕ p gọi là sự phân tích đối xứng
của g xác định bởi θ.
Ta thấy sự thu hẹp của K lên k và p là không suy biến. Thật vậy, xét
x ∈ k sao cho K(x, k) = 0, ta chứng minh x = 0. Ta có K(x, p) = 0 suy ra
K(x, k) + K(x, p) = 0 hay K(x, k + p) = 0. Do đó K(x, g) = 0. Mà g là nửa đơn
nên dạng Killing K là không suy biến trên g. Suy ra x = 0. Tương tự ta cũng
chứng minh được K thu hẹp lên p là không suy biến.
Định nghĩa 2.2. Một đại số Lie con của đại số Lie g được gọi là đối xứng
hóa (symmetrizing) nếu đó là tập hợp tất cả các điểm cố định của tự đồng
cấu θ của g sao cho θ2 = 1.
Mệnh đề 2.1.1 ([4], Proposition 1.13.3). Cho g là nửa đơn, k là đại số Lie con
đối xứng hóa của g. Khi đó k là khả quy trong g và trùng với chuẩn tắc hóa của
nó trong g.
22