ảnh hưởng của chuyển động hạt nhân lên cường độ phát xạ sóng điều hòa bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
***

Trần Lan Phương

ẢNH HƯỞNG CỦA CHUYỂN ĐỘNG HẠT NHÂN
LÊN CƯỜNG ĐỘ PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC
CAO

Ngành: VẬT LÝ
Mã số: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Ngọc Ty

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

1


LỜI CẢM ƠN
Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin gởi lời cám ơn tới Ban Giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, Ban Chủ Nhiệm cùng các thầy cô giáo trong
khoa Vật lý đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và trau dồi kiến thức. Đặc biệt,
nhận được sự hướng dẫn tận tình và động viên của thầy TS. Nguyễn Ngọc Ty cùng tổ
Vật lý lý thuyết đã khơi dậy trong tôi niềm đam mê nghiên cứu khoa học và tạo điều kiện
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Sau hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, những người đã
động viên, khích lệ và giúp đỡ tôi rất nhiều, cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể

hoàn thành tốt bài luận văn.
Do còn hạn chế về tư liệu, khả năng và kiến thức cũng như lần đầu tiên làm
nghiên cứu khoa học, vận dụng kiến thức đã học vào thực tế nên luận văn không tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của quý
thầy cô, bạn bè để bài nghiên cứu của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm
ơn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 04 năm 2013.
Trần Lan Phương.

1


MỤC LỤC
Danh mục hình vẽ, đồ thị, bảng biểu ............................................................................... 3
Danh mục các từ viết tắt .................................................................................................. 5
Lời mở đầu ....................................................................................................................... 6
Chương 1 Cơ sở lý thuyết ............................................................................................. 13
1.1 Laser cường độ cao xung cực ngắn......................................................................... 13
1.2 Sự tương tác giữa trường laser với nguyên tử ........................................................ 15
1.3 Mô hình ba bước giải thích quá trình HHG ............................................................ 16
1.4 Phương pháp giải Schrödinger phụ thuộc thời gian tính HHG............................... 19
Chương 2 Quá trình phát xạ HHG của

H+2 ................................................................ 24

+

2.2 HHG của H 2 khi chưa xét tới dao động hạt nhân ................................................ 26
+

2.3 HHG của H 2 khi xét tới dao động hạt nhân ......................................................... 28
Chương 3 Kết quả ......................................................................................................... 31
+

3.1 Đường cong thế năng của H 2 ............................................................................... 31
+

3.2 Phổ năng lượng của H 2 ứng với các mức dao động hạt nhân .............................. 33
+

3.3 HHG của H 2 ứng với hạt nhân đứng yên và dao động ........................................ 35
+

3.4 HHG của H 2 ứng với các mức dao động hạt nhân ............................................... 40
Kết luận

47

Hướng phát triển ............................................................................................................ 48
Danh mục công trình tác giả .......................................................................................... 49
Tài liệu tham khảo.......................................................................................................... 50
Phụ lục

2

52


Danh mục hình vẽ, đồ thị, bảng biểu
Hình 1.1 Đồ thị cường độ điện trường của laser làm việc theo chế độ xung.

........................................................................................................................................ 14
Hình 1.2 Các cơ chế ion hóa của nguyên tử khi đặt trong trường laser. Đường liền nét
là thế năng tổng cộng của thế năng Coulomb và thế năng hiệu dụng phụ thuộc thời gian
cuả xung laser. (a) ion hóa đa photon, (b) ion hóa xuyên hầm, (c) ion hóa vượt rào. ... 16
Hình 1.3

Cơ chế phát xạ HHG theo mô hình ba bước Lewenstein............................ 18

Hình 1.4

Phổ HHG điển hình. .................................................................................... 19

Hình 2.1 Mô hình ion phân tử H +2 một chiều. ............................................................. 24

Hình 3.1 Đường cong thế năng của ion phân tử H 2+ . (- - - -): Kết quả gần đúng thực tế
tính toán bằng chương trình GAUSSIAN (------): Kết quả tính toán từ chương trình
FORTRAN bằng phương pháp thời gian ảo. ................................................................. 32
Hình 3.2 Phổ năng lượng của H +2 ứng với các mức dao động v. ................................ 34
Hình 3.3 Các mức năng lượng v của ion phân tử H 2+ .................................................. 34
Hình 3.4 Phổ HHG của H +2 khi hạt nhân đứng yên (đường đứt nét) và khi hạt nhân dao
động (đường liền nét) trong trường laser có cường độ I = 3.1014 W/cm2, xung 13 fs, bước
sóng 800 nm. .................................................................................................................. 36
Hình 3.5 Phổ HHG của H +2 khi hạt nhân đứng yên (đường đứt nét) và khi hạt nhân dao
động ở bậc v = 0 (đường liền nét) trong trường laser có cường độ I = 3.1014 W/cm2, xung

13 fs . Hình (a), (b), (c) ứng với các bước sóng laser lần lượt là 600 nm, 800 nm,
1000 nm. ........................................................................................................................ 37
Hình 3.6 Phổ HHG của H +2 khi hạt nhân đứng yên (đường đứt nét) và khi hạt nhân dao
động (đường liền nét) trong trường laser có cường độ I = 3.1014 W/cm2, bước sóng 800
nm. Hình (a), (b), (c) ứng với các xung laser lần lượt là 16 fs, 13 fs, 10 fs. ................. 38

3


Hình 3.7 Phổ HHG của H +2 khi hạt nhân đứng yên (đường đứt nét) và khi hạt nhân dao
động (đường liền nét) trong trường laser có bước sóng 800 nm, xung 13 fs. Hình (a), (b),
(c) ứng với cường độ laser lần lượt là 2.1014 W/cm2, 3.1014 W/cm2, 4.1014 W/cm2 . ..... 39
Hình 3.8 Phổ HHG phát ra ứng với các bậc dao động v của hạt nhân H 2+ trong trường
laser có cường độ I = 2.1014 W/cm2, bước sóng 800nm, xung 13 fs. ............................ 40
Hình 3.9 Phổ HHG phát ra ứng với các bậc dao động v của hạt nhân H +2 trong trường
laser có cường độ I = 2.1014 W/cm2, xung 13 fs. Hình (a), (b), (c) ứng với bước sóng laser
lần lượt là 600 nm, 800 nm, 1000 nm. ........................................................................... 42
Hình 3.10 Phổ HHG phát ra ứng với các bậc dao động v của hạt nhân H +2 trong trường
laser có cường độ I = 2.1014 W/cm2, bước sóng 800nm. Hình (a), (b), (c) ứng với các
xung laser lần lượt là 16 fs, 13 fs, 10 fs. ........................................................................ 43
Hình 3.11 Phổ HHG phát ra ứng với các bậc dao động v của hạt nhân H +2 trong trường
laser có bước sóng 800 nm, xung 13 fs. Hình (a), (b), (c) ứng với cường độ laser lần lượt
là 2.1014 W/cm2, 3.1014 W/cm2, 4.1014 W/cm2. .............................................................. 44
Hình 3.12 Phổ HHG phát ra ứng với các bậc dao động v của hạt nhân H +2 trong trường
laser có cường độ I = 6.1014 W/cm2, bước sóng 800 nm, xung 13 fs. ........................... 44
Hình 3.13 Phổ HHG H +2 ứng với bậc dao động v = 0 và v = 4 trong trường laser có bước
sóng 800 nm, xung 13 fs. Hình (a), (b), (c) ứng với cường độ laser lần lượt là 2.1014
W/cm2, 4.1014 W/cm2, 6.1014 W/cm2. ............................................................................. 45

Bảng 3.1 Tỉ lệ giá trị cường độ HHG H 2+ giữa hai mức năng lượng v = 0 và v = 4 trong
trường laser có cường độ khác nhau.……………………………………………45

4


Danh mục các từ viết tắt

BO: Born – Oppenheimer.
HHG: High order Harmonic Generation.
LASER: Light Amplification Stimulated Emission of Radiation.
TDSE: Time Dependent Schrödinger Equation.

5


Lời mở đầu
Suốt hàng thế kỉ, cuộc chạy đua tìm hiểu các vấn đề về thế giới vi mô lẫn vĩ mô vẫn
tiếp diễn không ngừng. Trong bối cảnh đó, cùng với sự tiến bộ của khoa học-công nghệ
thì hàng loạt các bài toán lượng tử đặt ra đòi hỏi lời giải đáp từ các ngành khoa học và
đặc biệt đối với Vật lý hạt - một ngành khoa học chủ yếu nghiên cứu về các hạt sơ cấp
chứa trong vật chất, bức xạ, cùng với những mối tương tác giữa chúng.
Năm 1960, công nghệ laser ra đời và liên tục phát triển tạo một bước đệm lớn cho
ngành vật lý hạt nói riêng cũng như ngành vật lý nói chung. Đến nay, thành quả của cuộc
chạy đua rút ngắn xung (12 atto giây, năm 2010) và tăng cường độ laser (2.1022 W/cm 2 ,
năm 2008) đã giúp chúng ta theo dõi được những chuyển động cực nhanh ở độ phân giải
thời gian của các hạt hạ nguyên tử, khắc phục các nhược điểm mà phương pháp trước đây
sử dụng như: quang phổ hồng ngoại, quang phổ tia cực tím, quang phổ Raman, nhiễu xạ
điện tử, nhiễu xạ tia X,…
Sự tương tác giữa laser xung cực ngắn cường độ cao với nguyên tử, phân tử đã thu
hút sự chú ý của nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới [6], [7], [21]. Tương tác này đưa
đến một hiệu ứng phi tuyến rất đặc biệt đó là sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao (High
order Harmonic Generation - HHG). Năm 1987, McPherson và cộng sự phát hiện ra sự
phát xạ HHG khi cho khí neon tương tác với trường laser cường độ cao xung cực ngắn.
Bức tranh vật lý của cơ chế phát xạ này được vẽ lên từ mô hình ba bước của Lewenstein
(1994): điện tử bị ion hóa xuyên hầm ra miền liên tục, được gia tốc trong điện trường
laser, sau đó quay trở lại tái kết hợp với ion mẹ khi trường laser đổi chiều và phát ra sóng

điều hòa thứ cấp tần số cao. Vì HHG phát ra khi điện tử quay về kết hợp với ion mẹ nên
mang thông tin cấu trúc nguyên tử, phân tử và hình dạng đặc biệt của phổ HHG thu được
cho phép chúng ta trích xuất những thông tin đó. Điều này rất có ý nghĩa thực tiễn, giúp
chúng ta can thiệp vào các quá trình trung gian và điều chỉnh hành vi của phân tử trong
các phản ứng hóa học. Phát hiện trên đã khơi màu cho hàng loạt các công trình nghiên
cứu được công bố, có thể kể đến như là ứng dụng chụp ảnh cắt lớp phân tử N 2 [4], trích
xuất thông tin về khoảng cách liên hạt nhân của phân tử [3]. Tuy nhiên, trong đó các tác
giả chỉ mô tả gần đúng quá trình ion hóa phân tử bằng cách cố định vị trí hạt nhân, nghĩa
6


là hàm sóng phát ra để trích xuất dữ liệu HHG chỉ gồm hàm sóng điện tử. Nhưng thực tế
cho thấy hạt nhân luôn dao động nên chúng ta không thể bỏ qua đóng góp của chúng vào
quá trình phát xạ HHG. Vì thế, cần có những cơ sở tính toán mở rộng cho việc xét tới dao
động hạt nhân vào quá trình phát xạ HHG, từ đó có thể mở ra khả năng sử dụng nguồn
HHG để theo dõi chuyển động cực nhanh này.
Năm 2005, Lein đã đề xuất về mặt lý thuyết rằng HHG có khả năng cung cấp thông
tin về dao động hạt nhân [16] và ông đã kết hợp với Baker để thực hiện thí nghiệm đo
phổ HHG, nhận thấy phát xạ này nhạy với chuyển động hạt nhân ở độ chính xác cao
(2006) [17]. Kết quả đó cho thấy cơ chế phát xạ HHG có một triển vọng lớn trong việc
thăm dò các chuyển động cực nhanh của hạt nhân trong phân tử hai nguyên tử ở cấp độ
femto giây và thậm chí atto giây. Đây chính là hướng đi chúng tôi muốn nghiên cứu tiếp
và quyết định chọn đề tài luận văn: “Ảnh hưởng của chuyển động hạt nhân lên cường độ
phát xạ sóng điều hòa bậc cao” với mong muốn xa hơn là có thể chỉ ra khả năng theo dõi
chuyển động của hạt nhân bằng cách quan sát cường độ HHG của nó khi cho tương tác
với laser mạnh cực ngắn.
Trong luận văn này, chúng tôi chọn khảo sát mô hình hóa ion phân tử H +2 chuyển
động một chiều. Việc trích xuất thông tin từ phổ HHG ứng với cấu hình tĩnh của hạt nhân
H +2 đã được nghiên cứu rất phổ biến trong cộng đồng khoa học [15], [18]. Tuy nhiên chỉ

trong thời gian gần đây, một số công trình mới lần lượt công bố kết quả thu được về tín
hiệu HHG khi xét tới các trạng thái dao động của hạt nhân H 2+ như [13], [14]. Gần đây
nhất là công trình của Ya-Hui Guo và cộng sự (2010) [14], trong đó, các tác giả cho rằng
tín hiệu HHG nhạy với trạng thái dao động của ion phân tử H +2 bằng cách so sánh phổ
HHG phát ra ứng với các bậc dao động hạt nhân (kí hiệu: v) v = 0,1, 2,3 khi cho tương
tác với trường laser mạnh cực ngắn. Tuy nhiên, kết quả này chỉ dừng lại ở việc so sánh
giá trị cường độ HHG ở bốn bậc dao động đầu tiên và chưa nói rõ mức độ thay đổi như
thế nào. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi sẽ so sánh cường độ HHG của H +2 với
năm bậc dao động thấp nhất và phân tích sự thay đổi của HHG như thế nào đối với các
mức dao động.

7


Mục tiêu đặt ra cho đề tài luận văn: khảo sát sự ảnh hưởng của chuyển động hạt
nhân lên cường độ HHG khi tương tác với laser cường độ cao xung cực ngắn, cụ thể là so
sánh cường độ HHG phát ra khi cho hạt nhân H +2 đứng yên và khi dao động ở năm trạng
thái dao động khác nhau.
Phương pháp được sử dụng nghiên cứu trong luận văn bao gồm: phương pháp giải
số phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (the Time Dependent Schrödinger
Equation - TDSE), mô phỏng phổ HHG, so sánh và phân tích kết quả.
Nhiệm vụ đặt ra để thực hiện mục tiêu đó là:
- Tìm hiểu về laser cường độ cao xung cực ngắn, cơ chế phát xạ HHG và dạng phổ
HHG đặc trưng.
- Tìm hiểu ngôn ngữ lập trình FORTRAN và phần mềm ORIGIN 8.1.
- Sử dụng source code FORTRAN giải số phương trình Schrödinger dừng bằng
phương pháp thời gian ảo để mô phỏng đường cong thế năng của ion phân tử H +2 trong
gần đúng Born - Oppenheimer (BO).
- Biểu diễn phổ năng lượng của H +2 ứng với các mức dao động hạt nhân v.
- Tìm hiểu phương pháp tách toán tử để xác định hàm sóng của hệ ion phân tử H +2 tại

thời điểm bất kì sau khi đặt trong trường laser.
- Tính toán cường độ HHG của H +2 khi tương tác với trường laser và so sánh hai
trường hợp: xét hai hạt nhân cố định ở vị trí cân bằng với lúc dao động ở trạng thái cơ
bản (v = 0) ; khi hạt nhân dao động tại năm bậc dao động thấp nhất v = 0,1, 2,3, 4 .
- Kiểm tra kết quả thu được bằng cách thay đổi thông số của trường laser.
Sau khi thực hiện các nhiệm vụ nêu trên, chúng tôi nhận thấy rằng sự phát xạ HHG
của ion phân tử H +2 luôn có tính chất phổ quát đó là cường độ HHG phát ra khi hạt nhân
đứng yên ở trạng thái cân bằng luôn lớn hơn khi nó dao động ở mức cơ bản. Đồng thời,

8


khi hạt nhân dao động càng mạnh, nghĩa là ở các bậc dao động càng cao thì cường độ
HHG phát ra tăng lên nhưng có xu hướng tăng chậm dần.
Kết luận trên không những đã giải quyết được mục tiêu chính đặt ra trong luận văn
mà còn góp phần phục vụ cho một lĩnh vực lớn hơn đang rất được quan tâm, đó là tìm ra
khả năng để theo dõi chuyển động của hạt nhân bằng cách sử dụng cơ chế phát xạ HHG
từ laser xung cực ngắn.
Bố cục của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung của đề tài và phần
kết luận. Trong đó, phần nội dung sơ lược được thể hiện như sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Mở đầu quá trình tìm hiểu đề tài, chúng tôi lần lượt trình bày về các khái niệm và lý
thuyết cơ bản. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu về laser cường độ cao xung cực ngắn và các
hiệu ứng phi tuyến xảy ra khi cho một hệ nguyên tử, phân tử đặt trong trường laser này.
Sau đó, chúng tôi giới thiệu về cơ chế phát xạ HHG – là một trong những hiệu ứng phi
tuyến vừa đề cập - và phổ phát xạ đặc trưng của nó. Lý thuyết về quá trình phát xạ HHG
được hình dung bằng mô hình ba bước của Lewenstein: điện tử bị ion hóa xuyên hầm ra
miền liên tục, được gia tốc bởi trường điện của laser, trở về tái kết hợp với ion mẹ khi
trường laser đổi chiều và phát ra những photon năng lượng cao và có tần số gấp nhiều lần
tần số ban đầu. Đây là một vấn đề hấp dẫn thu hút nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Cuối

cùng, chúng tôi sẽ giới thiệu về phương pháp giải TDSE được áp dụng trong luận văn với
mục đích tìm được trạng thái của hệ phân tử tại thời điểm khảo sát. Muốn thế, việc giải
phương trình Schrödinger dừng để tìm trạng thái ban đầu là cần thiết và được thực hiện
bằng phương pháp thời gian ảo. Từ đó sử dụng phương pháp tách toán tử để tìm hàm
sóng của cả hệ phụ thuộc thời gian và giá trị HHG được tính toán từ các hàm sóng đó.
Chương 2: Quá trình phát xạ HHG của H 2+
Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày về quá trình phát xạ HHG của một
mô hình đơn giản là ion phân tử H 2+ chuyển động một chiều trong trường laser thay đổi
theo thời gian.

9


Có sự khác biệt về tính chất vật lý trong cơ chế phát xạ HHG ở hai trường hợp: hạt
nhân cố định và hạt nhân dao động. Để nhận biết sự khác biệt đó, chúng tôi sẽ trình bày
các bước tính toán lý thuyết cụ thể với mục đích xác định giá trị cường độ HHG và tiến
hành so sánh.
Đầu chương, chúng tôi giới thiệu phép gần đúng BO tách biệt chuyển động điện tử
và chuyển động hạt nhân, được áp dụng khi xét đến chuyển động của tất cả các hạt trong
hệ. Sau đó, tiếp cận với trường hợp đơn giản đó là xấp xỉ cố định hạt nhân, hệ lúc này chỉ
có điện tử chuyển động. Áp dụng phương pháp giải TDSE đã trình bày ở chương một để
lần lượt tìm hàm sóng ban đầu của điện tử trước khi tương tác với laser bằng phương
pháp thời gian ảo và hàm sóng lúc sau bằng phương pháp tách toán tử trong trường thế
tạo bởi thế Coulomb và thế tương tác với trường laser. Theo mô hình ba bước của
Lewenstein, điện tử trong quá trình đó sẽ bị ion hóa xuyên hầm, được gia tốc trong
trường laser và tái kết hợp với hạt nhân đứng yên để phát xạ HHG. Phổ HHG dễ dàng
được tính từ gia tốc lưỡng cực – là một đại lượng có mối liên hệ trực tiếp với hàm sóng
cả hệ tại thời điểm khảo sát. Các tính toán nêu trên đều được giải số bằng source code
FORTRAN (tất cả các chương trình giải số bằng ngôn ngữ FORTRAN chúng tôi sử dụng
trong luận văn đều được lập trình bởi nhóm nghiên cứu khoa Vật lý trường ĐHSP

TPHCM).
Thực tế, hạt nhân luôn luôn dao động nên ở trường hợp tiếp theo, chúng tôi tập
trung tính toán cho hệ dao động có cả đóng góp của điện tử và hạt nhân. Phép gần đúng
BO được áp dụng nhằm tách chuyển động điện tử và dao động hạt nhân với nhau. Tương
tự như trường hợp trên, chúng tôi lần lượt đi tìm hàm sóng ban đầu (bằng tích của hàm
sóng điện tử và hàm sóng hạt nhân trong gần đúng BO) và hàm sóng lúc sau của cả hệ
sau khi tương tác với laser bằng cách giải phương trình TDSE và tính toán dữ liệu HHG
từ hàm sóng đó.
Tóm lại, có sự khác biệt về bản chất vật lý trong hai trường hợp chúng tôi vừa trình
bày đó là khi chưa xét tới dao động hạt nhân, hàm sóng ban đầu chỉ là hàm sóng của điện
tử và sau khi tương tác với trường laser thì điện tử xuyên hầm và trở lại kết hợp với hạt
nhân đứng yên. Còn khi đã xét hạt nhân dao động thì hàm sóng ban đầu bao gồm cả hàm

10


sóng điện tử và hạt nhân, HHG phát ra là do sự kết hợp của điện tử với hạt nhân dao động
trong trường laser.
Chương 3: Kết quả
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả bao gồm: (i) mô phỏng dạng
đường cong thế năng của phân tử nhờ sử dụng gần đúng BO cho hệ ion phân tử H +2 dao
động, (ii) phổ năng lượng của H 2+ ứng với các mức dao động, (iii) phổ HHG ứng với
trạng thái hạt nhân cân bằng cố định và dao động, (iv) phổ HHG ở năm mức năng lượng
dao động thấp nhất của hạt nhân. Từ kết quả thu được, chúng tôi tiến hành phân tích và
rút ra một số kết luận chung cho vấn đề liên quan đến ảnh hưởng của dao động hạt nhân
lên HHG của ion phân tử H +2 .
Dựa vào quá trình tính toán hàm sóng điện tử và hàm sóng hạt nhân thực hiện ở
chương hai, chúng tôi thu được kết quả là đường cong thế năng phân tử biểu diễn sự phụ
thuộc của năng lượng điện tử vào từng vị trí của hạt nhân xác định, là dữ liệu quan trọng
để tìm hàm sóng hạt nhân. Bên cạnh đó, phổ năng lượng của H +2 ứng với các mức dao

động hạt nhân cũng được chúng tôi mô phỏng. Việc thu được đường cong thế năng và
các mức năng lượng phân tử có ý nghĩa rất quan trọng, nó giúp chúng ta hình dung được
bức tranh vật lý sinh động của các hạt, cụ thể là năng lượng của chúng khi ở các trạng
thái khác nhau và quá trình thay đổi năng lượng khi trạng thái thay đổi. Mặc khác, nhờ
kết quả này, chúng tôi giải thích được dạng phổ HHG sau khi so sánh cho các mức dao
động của hạt nhân trong các kết quả sau.
Hướng về mục tiêu chính của luận văn là khảo sát sự ảnh hưởng của chuyển động
hạt nhân lên cường độ phát xạ HHG khi tương tác với laser cường độ cao xung cực ngắn,
chúng tôi tiếp tục trình bày các kết quả là phổ HHG H 2+ thu được bằng cách áp dụng các
phương pháp giải số chính xác được xây dựng bằng ngôn ngữ FORTRAN, tính toán dữ
liệu HHG và so sánh dạng phổ của nó trong các trường hợp dao động khác nhau của hạt
nhân.
Chúng tôi sẽ trình bày kết quả bằng cách tiến hành như sau:

11


• So sánh cường độ HHG của H 2+ khi hạt nhân đứng yên và dao động.
• So sánh cường độ HHG của H 2+ giữa các mức dao động của hạt nhân.
Khi so sánh cho hai trường hợp hạt nhân đứng yên và dao động, chúng tôi chọn cấu
hình hạt nhân cố định ở vị trí cân bằng (giá trị cụ thể được xác định từ kết quả đường
cong thế năng) và hạt nhân dao động ở trạng thái có mức năng lượng thấp nhất (v = 0).
Lần lượt cho hai hệ tương tác với cùng một trường laser có thông số xác định (cường độ

I = 3.1014 W/cm 2 , bước sóng λ =800 nm và xung laser vào khoảng 13 fs ) và thu được
phổ HHG của chúng. Sau khi so sánh, chúng tôi nhận thấy rằng cường độ phát ra trong
trường hợp hạt nhân đứng yên ở vị trí cân bằng lớn hơn khi dao động ở bậc v = 0.
Tiếp tục so sánh cho trường hợp HHG phát ra ở các mức năng lượng dao động của
hạt nhân. Chúng tôi chọn năm mức dao động thấp nhất để khảo sát v = 0,1,2,3,4 và chọn
thông số laser có cường độ I = 2.1014 W/cm 2 , bước sóng λ =800 nm và xung laser vào

khoảng 13 fs . Khi hạt nhân dao động ở trạng thái có mức năng lượng là v = 0 , cho hệ
tương tác với trường laser và thu được phổ HHG tương ứng. Thực hiện tương tự cho các
mức năng lượng còn lại, chúng tôi thu được phổ HHG của năm bậc dao động và so sánh
giá trị cường độ của chúng. Từ kết quả, chúng tôi rút ra hai kết luận quan trọng: khi chiếu
laser vào hệ ion phân tử H +2 ở bậc dao động càng cao thì cường độ HHG tương ứng phát
ra càng tăng và có xu hướng tăng chậm dần. Ngoài các kết quả trên, chúng tôi cũng thu
được một kết quả thú vị đó là phổ HHG giữa các bậc dao động chênh lệch không đáng kể
khi tăng cường độ laser rất cao.
Chúng tôi tiến hành kiểm tra các kết quả thu được để khẳng định lại kết luận vừa
nêu bằng cách thay đổi thông số laser chiếu vào và nhận thấy hiện tượng vật lý trên
không thay đổi. Như vậy, có thể kết luận rằng những quy luật vừa nêu có tính chất phổ
quát cho hệ ion phân tử H +2 và không phụ thuộc vào trường laser.

12


Chương 1 Cơ sở lý thuyết
Khởi đầu cho quá trình tìm hiểu đề tài “Ảnh hưởng của chuyển động hạt nhân lên
cường độ phát xạ sóng điều hòa bậc cao”, chúng tôi sẽ giới thiệu laser cường độ cao xung
cực ngắn và các hiệu ứng phi tuyến xảy ra khi cho tương tác với nguyên tử, phân tử.
Trong đó, sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao là nội dung cần quan tâm. Mặt khác, phương
pháp giải TDSE cũng sẽ được trình bày, nó là phương pháp then chốt giúp khảo sát quá
trình chuyển động của một hệ lượng tử.

1.1

Laser cường độ cao xung cực ngắn
LASER (Light Amplification Stimulated Emission of Radiation) là sự khuếch đại

ánh sáng bằng bức xạ cưỡng bức. Có thể hiểu một cách đơn giản như sau: một nguồn

năng lượng kích thích các nguyên tử trong môi trường hoạt động (chất khí, chất rắn, chất
lỏng) để phát ra một bước sóng ánh sáng đặc biệt, ánh sáng sinh ra được khuếch đại nhờ
một hệ thống phản hồi quang học giúp chùm sáng phản xạ qua lại trong môi trường hoạt
tính để làm tăng độ đồng pha cho đến khi ánh sáng phát ra là một chùm tia laser.
Năm 1960, Theodore Maiman đã chế tạo một dụng cụ bằng thỏi ruby tổng hợp,
được công nhận là laser đầu tiên, tại phòng nghiên cứu Hughes. Laser ruby phát ra các
xung ánh sáng đỏ kết hợp có cường độ mạnh, bước sóng khoảng 694 nm, chùm sáng hẹp
có mức độ tập trung cao, độ dài mỗi xung là vài trăm micro giây (10-6 s). Ngày nay, laser
là công cụ không thể thiếu để điều tra các quá trình vật lý trong nhiều lĩnh vực khác nhau
từ vật lý nguyên tử và plasma tới vật lý hạt nhân và năng lượng cao.
Ánh sáng laser có vectơ cường độ điện trường (hay còn gọi là vectơ phân cực điện)
biến thiên phụ thuộc thời gian theo hàm lượng giác

E (t ) = Eo f (t )sin ωot .

13

(1.1)


Hình 1.1 Đồ thị cường độ điện trường của laser làm việc theo chế độ xung.
Laser có thể hoạt động ở hai chế độ: chế độ phát xung và chế độ phát liên tục. Ở
đây, chúng tôi chỉ quan tâm đến chế độ phát xung của laser vì nó cho phép tập trung
cường độ laser cực mạnh. Khoảng thời gian giữa hai lần “đóng” - “ngắt” của chùm
photon phát ra được gọi là độ dài xung laser. ωo trong công thức (1.1) là tần số laser.
Trong lĩnh vực nghiên cứu về cấu trúc nguyên tử, phân tử bằng công nghệ laser thì
việc rút ngắn xung là vô cùng quan trọng vì xung càng ngắn thì càng giúp ta ghi nhận
thông tin cấu trúc động của nguyên tử, phân tử một cách chính xác. Đồng thời, việc rút
ngắn xung cũng kéo theo cường độ laser tăng lên, là điều kiện để xảy ra một số hiệu ứng
phi tuyến như mong đợi, đem lại hiệu quả cao hơn cho việc sử dụng xung laser. Chính vì

thế, quá trình phát triển của laser là một sự tiến bộ liên tục được thực hiện theo hai hướng
cụ thể: rút ngắn xung và tăng cường độ laser.
Như đã biết, sự dao động của các nguyên tử trong phân tử diễn ra ở cấp độ thời gian
là femtô giây (10-15 s), vì vậy để có thể đáp ứng nhu cầu nghiên cứu ở cấp độ vi mô thì
xung laser cần phải được rút ngắn để đạt đến độ phân giải thời gian của các hạt hạ
nguyên tử. Trong lịch sử, kể từ khi kỹ thuật laser phát triển cho đến nay thì cuộc chạy đua
rút ngắn xung đã làm giảm độ dài xung laser một cách đáng kể. Laser đầu tiên được chế
tạo có độ dài xung vài trăm micro giây (1960) [5] và gần đây nhất thì xung đã giảm
xuống còn 12 atto giây (10-18 s) (2010) [20]. Đó là một bước tiến vượt bậc cùng với sự nỗ
lực nghiên cứu không ngừng của các nhà khoa học trên khắp thế giới.
Vật lý ở thang đo thời gian atto giây cho phép nghiên cứu về chuyển động của điện
tử bên trong nguyên tử và trong các quá trình phản ứng phân tử. Việc tạo ra xung cực
ngắn có mối liên hệ lớn với tăng cường độ đỉnh của laser. Việc tạo ra những mức cường
độ laser cao hơn như vậy rất có ý nghĩa bởi khi cường độ tăng thì sự tương tác giữa
nguyên tử, phân tử với trường laser mạnh làm thay đổi chuyển động của các điện tử để
đạt tới một vận tốc tương đối trong một chu kì laser. Chính sự chuyển động phi tuyến của
các điện tử trong trường laser mạnh như vậy là nguồn gốc của vô số hiệu ứng mới.
Sau khi phát minh ra laser, cường độ laser thế hệ đầu tiên đạt mức 1010 W/cm2
(Maiman, 1960) và gần đây nhất, tại trường Đại học của Michigan (Mỹ), nhóm G.
14


Mourou đã thực hiện thí nghiệm đối với tia laser có cường độ cao 2.1022 W/cm2
(Yanovsky et al., 2008) [6]. Trong tương lai, nếu muốn tiến xa hơn khoa học atto giây
hiện tại để đến mức zepto giây (10-21 s) thì chúng ta sẽ cần phải tăng cường độ laser.
Trong bối cảnh đó, các nhà khoa học đã dự kiến xây dựng một số mô hình cải tiến mà
theo tính toán trên lý thuyết thì có thể tăng cường độ laser lên đến 1026 W/cm2 [6].

Sự tương tác giữa trường laser với nguyên tử

1.2

Quang học khảo sát các nguồn sáng thông thường có cường độ điện trường tương
đối yếu (khoảng 103 V/cm ) so với cường độ điện trường bên trong nguyên tử (từ

107 V/cm đến 109 V/cm ) được gọi là quang học tuyến tính. Còn đối với các nguồn sáng
có khả năng phát ra các nguồn bức xạ có điện trường mạnh (từ 105 V/cm tới 108 V/cm )
như ánh sáng laser thì khi tương tác với môi trường sẽ làm xuất hiện một số các hiệu ứng
phi tuyến. Từ đó hình thành ngành quang học có tên là quang học phi tuyến.
Tùy theo cường độ và tần số của trường laser đặt vào làm xuất hiện các hiệu ứng phi
tuyến như là: ion hóa đa photon, ion hóa xuyên hầm, ion hóa vượt rào.
Cơ chế ion hóa đa photon chiếm ưu thế khi thế ion hóa của điện tử lớn hơn nhiều so
với cường độ của trường laser. Tần số chùm ánh sáng laser cao và có cường độ trong
khoảng 1013 - 1014 W/cm 2 , vùng này gọi là vùng nhiễu loạn của quang học phi tuyến.
Trong cơ chế này, các phân tử hấp thụ nhiều photon trong suốt thời gian tồn tại ở trạng
thái trung gian (Hình 1.2a). Lúc này, điện tử dao động cùng pha với điện trường và dần
dần hấp thụ động năng trong mỗi chu kì dao động. Cơ chế này có thể xảy ra đối với tất cả
các điện tử xung quanh hạt nhân. Nếu năng lượng của nhiều photon mà điện tử hấp thụ
tương đương với thế ion hóa của nó thì lúc này khả năng ion hóa được tăng cường cho
đến khi có đủ năng lượng để thoát ra khỏi nguyên tử và nhảy lên mức năng lượng cao
hơn. Đây là quá trình ion hóa đa photon. Còn quá trình mà các nguyên tử hấp thụ nhiều
photon hơn mức cần thiết thì được gọi là ion hóa trên ngưỡng (above-threshold ionization
- ATI).
Cơ chế ion hóa xuyên hầm xảy ra khi trường laser có tần số thấp và cường độ vào
khoảng 1014 - 1015 W/cm 2 , đây là vùng trường mạnh của quang học phi tuyến. Lúc này,
15


trường laser đủ mạnh làm biến dạng rào thế Coulomb và chỉ cho phép những điện tử liên
kết yếu nhất với hạt nhân xuyên hầm ra ngoài, đến biên ngoài của rào trong một phần chu

kì quang học của laser để tạo thành một dòng xuyên hầm ra vùng liên tục (Hình 1.2b). Tỷ
lệ ion hóa được quyết định bởi chiều rộng của rào thế và sự tăng cường độ laser.
Cơ chế ion hóa vượt rào xảy ra khi trường thế Coulomb bị hạn chế và suy yếu bởi
trường laser rất mạnh (cường độ >1015 W/cm2), khi đó điện tử vượt ra khỏi rào thế dễ
dàng mà không cần xuyên hầm (Hình 1.2c). Điện tử sau đó sẽ dao động trong trường
phân cực thẳng của laser với biên độ dao động và động năng lớn. Sự phân cực phi tuyến
gây ra bởi sự ion hóa vượt rào chỉ xuất hiện khi điện tử vẫn còn liên kết với ion mẹ của
nó. Một khi điện tử đã được giải phóng tự do thì chuyển động của nó tuân theo các
phương trình chuyển động của cơ học Newton.

Hình 1.2 Các cơ chế ion hóa của nguyên tử khi đặt trong trường laser. Đường liền
nét là thế năng tổng cộng của thế năng Coulomb và thế năng hiệu dụng phụ thuộc thời
gian cuả xung laser. (a) ion hóa đa photon, (b) ion hóa xuyên hầm, (c) ion hóa vượt rào.
Trong nội dung của luận văn, chúng tôi chỉ đề cập đến sự phát xạ HHG xảy ra trong
cơ chế xuyên hầm khi cho nguyên tử, phân tử đặt trong trường laser mạnh.

1.3

Mô hình ba bước giải thích quá trình HHG
Năm 1961, lần đầu tiên phát hiện ra sóng điều hòa bởi nhóm của Franken P.A. ở Đại

học Michigan (Mỹ). Đến năm 1987, McPherson và cộng sự ở Đại học Illinois (Mỹ) đã

16


phát hiện ra sóng điều hòa bậc cao, đến bậc 17 khi cho laser xung cực ngắn (cỡ femto
giây) có cường độ đỉnh cao (cỡ 1014 W/cm 2 ) tương tác với khí neon.
Sóng điều hòa bậc cao (high-order harmonics) là những photon phát ra khi các
nguyên tử hay phân tử tương tác với laser cường độ cao. Những photon này có tần số ω

bằng bội lẻ lần tần số laser chiếu vào ω0 và lớn gấp trăm lần nên được gọi là sóng điều
hòa bậc cao: ω =(2n + 1)ω0 =N ω0 ( n ∈  ) .
Sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao (High-order Harmonic Generation – HHG) là một
hiệu ứng phi tuyến đặc biệt xảy ra khi cho tia laser cường độ cao xung cực ngắn, phân
cực thẳng tương tác với nguyên tử, phân tử trong vùng XUV (extreme ultraviolet) và
vùng tia X mềm. Cơ chế phát xạ này đang được các nhà vật lý quan tâm và nghiên cứu
bởi vì nó là một phương pháp đầy hứa hẹn để chế tạo các nguồn bức xạ có bước sóng
ngắn trong phòng thí nghiệm. Những nghiên cứu trên lý thuyết đã dự đoán cơ chế phát xạ
HHG có khả năng phát ra các xung cấp atto giây được lái bởi các xung laser chỉ chứa vài
chu kì. Mặt khác, từ việc phân tích phổ HHG thu được, ta có thể thu nhận một số thông
tin cấu trúc động của nguyên tử, phân tử hay tái tạo lại cấu trúc của nó một cách dễ dàng.
Nhằm giải thích các đặc tính và tính toán HHG, một trong những mô hình được công
nhận và sử dụng rộng rãi là mô hình ba bước Lewenstein (Corkum, 1994) được mô tả cụ
thể như sau (Hình 1.3):
Bước 1 – Điện tử bị ion hóa xuyên hầm từ trạng thái cơ bản ra miền năng lượng
liên tục.
Bước 2 – Điện tử được gia tốc trong nửa chu kì đầu bởi trường laser mạnh.
Bước 3 – Do tính tuần hoàn, khi trường laser đổi chiều, trong nửa chu kì sau điện tử
bị kéo ngược trở lại tái kết hợp với ion mẹ và phát ra HHG thứ cấp.

17


Hình 1.3

Cơ chế phát xạ HHG theo mô hình ba bước Lewenstein.

Mô hình ba bước Lewenstein được xây dựng dựa trên hai giả thuyết gần đúng được
Keldysh đưa ra 1965:
- Trong vùng phổ liên tục (năng lượng dương), tác dụng của trường Coulomb được

bỏ qua, hạt có thể được coi như một hạt tự do trong điện trường.
- Phần đóng góp của tất cả các trạng thái liên kết khác ngoài trạng thái cơ bản vào
quá trình phát xạ HHG là không đáng kể.
Vì HHG phát ra khi điện tử quay về kết kợp với ion mẹ nên mang thông tin cấu trúc
nguyên tử, phân tử. Những thông tin đó được thu nhận thông qua phổ HHG có hình dạng
đặc biệt, được nhiều nhà khoa học quan tâm sử dụng [3], [4], [7], [13], [14].
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm tới giá trị cường độ HHG phát ra của
ion phân tử H +2 . Bằng cách điều chỉnh thông số phù hợp của trường laser ngoài như là độ
dài xung, cường độ hay là bước sóng của ánh sáng laser chiếu vào, chúng tôi đã thu được
các giá trị cường độ HHG khác nhau. Kết quả sẽ được trình bày cụ thể trong chương ba.
Cường độ HHG (thang logarit) có đặc điểm: giảm mạnh ở những tần số đầu, sau đó
sẽ đạt giá trị gần như không đổi trong miền phẳng (plateau) và miền này sẽ kết thúc ở
một điểm dừng (cut-off) (Hình 1.4).

18


Hình 1.4

Phổ HHG điển hình.

Vị trí điểm cut-off trên phổ HHG đóng vai trò quan trọng trên quan điểm ứng dụng
HHG vì tại đó ứng với giới hạn tần số cao nhất ở vùng năng lượng cao plateau mà photon
có thể phát xạ khi quay trở về tái kết hợp. Năm 1992, nhóm Krause đã tiến hành giải số
chính xác TDSE cho mô hình gần đúng một điện tử và tìm ra vị trí cut-off của phổ HHG
tuân theo một quy luật phổ quát như sau: N maxω=
I p + 3,17U p . Với I p là thế ion hóa
0
(năng lượng lớn nhất cung cấp để một điện tử bức ra khỏi hạt nhân mẹ; đối với nguyên tử

Eo2
là động năng trung bình điện tử nhận được trong một
hidro: I p = 13,6 eV) và U p =
4ωo
chu kì dao động.
“Plateau region” có hàm ý là miền phẳng. Trục tung trên hình 1.4 biểu diễn cường
độ HHG theo thang logarit, nếu để theo thang thường ta sẽ thấy cường độ HHG thay đổi
rất lớn theo các bậc tần số của nó. Thậm chí với thang logarit thì miền phẳng cũng thay
đổi theo bậc HHG, chính hình dáng những lồi lõm trên miền này mang lại thông tin cấu
trúc của nguyên tử, phân tử mà ta muốn khảo sát.
Ngoài việc sử dụng mô hình ba bước Lewenstein, chúng ta còn có một hướng tiếp
cận khác để tính toán cường độ HHG đó là giải số phương trình Schrödinger phụ thuộc
thời gian cho hệ nguyên tử, phân tử.

1.4

Phương pháp giải Schrödinger phụ thuộc thời gian tính HHG
Phương trình Schrödinger mô tả sự biến đổi trạng thái của một hệ lượng tử theo thời

gian được đưa ra bởi Erwin Schrödinger vào năm 1926 có dạng

19


i

∂Ψ (r , t )
= Hˆ Ψ (r , t ) .
∂t

(1.2)

Để đơn giản, trong luận văn này, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

(me = e =  = 1) . Phương trình Schrödinger của phân tử một điện tử chuyển động trong
trường thế Coulomb và thế laser phụ thuộc thời gian được mô tả như sau:


∂Ψ (r , t )  pˆ 2
=
i
 + V (r , t )  Ψ (r , t )
∂t
 2


(1.3)

trong đó pˆ là toán tử động lượng, V ( r , t ) bao gồm thế Coulomb VC (r ) và thế tương tác
với trường laser

VL (r , t ) = r .E (t )

(1.4)

với E (t ) là vectơ cường độ điện trường của laser được xác định bởi (1.1).
Nghiệm của phương trình (1.3) có dạng:

 t  pˆ 2
 

Ψ (r , t ) = exp  −i ∫ 
+ V (r , t )  dt  Ψ (r , t0 )
 
 to  2

(1.5)

trong đó Ψ (r , t0 ) là hàm sóng ban đầu của phân tử chuyển động trong trường thế
Coulomb khi chưa có laser tác dụng, được xác định bằng cách giải phương trình
Schrödinger dừng

 pˆ 2

E Ψ ( r , t0 )
 + VC (r )  Ψ (r , t0 ) =
2



(1.6)

bằng phương pháp thời gian ảo. Đây là một phương pháp được sử dụng để giải chính xác
bằng số phương trình Schrödinger dừng. Nhóm chúng tôi đã kiểm tra, khẳng định tính
hiệu quả của phương pháp này trong nhiều dạng thế khác nhau của hệ lượng tử với tốc độ
hội tụ nhanh và công bố kết quả trong công trình [2].
Tiếp theo, để thu được hàm sóng Ψ ( r , t ) mô tả trạng thái của phân tử tại thời điểm
bất kì từ biểu thức (1.5), chúng ta sử dụng phương pháp tách toán tử (split-operator
20

method). Đây là một phương pháp được sử dụng rộng rãi từ những năm 80 của thế kỉ
XX, được công bố bởi Feit, Fleck và Steiger (1982) [9] để giải quyết các bài toán giải
TDSE cho chuyển động của nguyên tử, phân tử trong trường thế năng phụ thuộc thời
gian V ( r , t ) [10]. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày ý tưởng chính của phương pháp.
Nếu ta chọn t0 rất gần t nghĩa là dt rất nhỏ thì lúc này phương trình (1.5) trở
thành
  pˆ 2
 
Ψ (r , t0 ) ≈ exp  −i 
+ VC (r )  ∆t  Ψ (r , t0 ) ,
  2
 

(1.7)

trong đó ∆t = t − t0 . Ta dễ dàng tách vế phải của phương trình trên thành tích của ba toán
tử bằng cách sử dụng công thức Zassenhaus [11]. Để đơn giản, chúng ta chọn thời điểm
ban đầu t = 0 , từ đó phương trình (1.7) được viết lại như sau

 i∆t

 i∆t ˆ 2 
 i∆t

p  exp  − V (r , t )  Ψ (r ,0) + O(∆t 3 )
Ψ (r , t ) ≈ exp  − V (r , t )  exp  −
 2

 2


 2

 i∆t

 i∆t ˆ 2 
 i∆t

Ψ (r , t ) ≈ exp  − V (r , t )  exp  −
p  exp  − V (r , t )  Ψ (r ,0)
 2

 2

 2


(1.8)

(1.9)

Trong biểu thức (1.8), sự sai lệch nhỏ gây ra bởi vô cùng bé O(∆t 3 ) có thể được bỏ
qua nếu chọn ∆t đủ bé. Cách tách như trên cho phép chúng ta dễ dàng tác dụng lần lượt
các toán tử thế năng và toán tử xung lượng lên hàm sóng nhờ các phép biến đổi Fourier
xuôi và ngược.
Để thu được giá trị của Ψ (r , t ) , ta cần thực hiện năm bước cụ thể như sau:

 i∆t

V (r , t )  lên hàm sóng Ψ (r ,0) bằng cách thực
Bước 1: Tác dụng toán tử exp  −

 2

hiện phép nhân hai hàm sóng trong không gian tọa độ.

 i∆t

Φ (r ,0) = exp  − V (r , t )  Ψ (r ,0) .
 2


21

(1.10)


Bước 2: Thực hiện phép biến đổi Fourier xuôi để chuyển hàm sóng Φ (r , 0) về
không gian xung lượng.

 ( p,0) =FFT [Φ (r ,0)] = +∞ Φ (r ,0)e −ipr dr .
Φ
∫

(1.11)

−∞

 i∆t ˆ 2 
 ( p,0) bằng cách thực
p  lên hàm sóng Φ
Bước 3: Tác dụng toán tử exp  −

2


hiện phép nhân hai hàm sóng trong không gian xung lượng.

 ( p, t ) = exp  − i∆t pˆ 2  Φ

Φ
 2
 ( p,0) .

(1.12)

 ( p, t ) về
Bước 4: Thực hiện phép biến đổi Fourier ngược để chuyển hàm sóng Φ

không gian tọa độ.
 ( p, t )]=
Φ (r , t )= FFT −1[Φ

1

( 2π )

+∞

 ( p, t ) e
Φ
3 ∫−∞

ipr

dp .

(1.13)

 i∆t

V (r , t )  lên hàm sóng Φ ( r , t ) bằng
Bước 5: Tiếp tục tác dụng toán tử exp  −
 2

cách thực hiện phép nhân hai hàm sóng trong không gian tọa độ.
 i∆t

Ψ (r , t ) ≈ exp  −
V (r , t )  Φ(r , t ) .
 2


(1.14)

Sau năm bước thực hiện, thu được hàm sóng trong không gian tọa độ tại thời điểm

t = ∆t và quá trình này được lặp đi lặp lại N lần để xác định hàm sóng tại thời điểm
t= N ∆t cần xét cho chuyển động của nguyên tử, phân tử.
Khi đã tìm thấy trạng thái Ψ (r , t ) của hệ nguyên tử, phân tử, ta có thể tính toán phổ
HHG như trong công trình [1], [7] từ các vectơ gia tốc lưỡng cực a (t ) = d(t ) . Theo đó,
các tác giả cũng đã chỉ ra rằng mặc dù việc tính toán cường độ HHG từ mô-men lưỡng
cực d (t ) = r , thực chất là trị trung bình của toán tử tọa độ theo thời gian, đã được sử

dụng rất phổ biến nhưng hướng tính toán trực tiếp từ a (t ) các phân tử vẫn đáng tin cậy
nhất, cho giá trị chính xác hơn [8].
22


Từ định lý Ehrenfest, gia tốc lưỡng cực được biểu diễn như sau

d2

a=
(t ) d=
(t )
r
dt 2

(1.15)

=− Ψ (r , t ) ∇V (r , t ) Ψ (r , t )
=− Ψ (r , t ) ∇VC (r ) + E (t ) Ψ (r , t )

(1.16)

.

(1.17)

Thực hiện phép biến đổi Fourier để chuyển gia tốc lưỡng cực từ không gian thời
gian a (t ) sang không gian tần số A(ω )

A(ω ) = ∫ a (t )e − iωt dt

(1.18)

.

Cường độ HHG sau đó sẽ được tính toán bằng

=
S (ω )

A
=
(ω )
2

2

− iωt
∫ a (t )e dt .

23

(1.19)


Chương 2 Quá trình phát xạ HHG của H+2

Dựa trên cơ sở nền tảng lý thuyết đã trình bày ở chương một, chúng tôi sẽ áp dụng
vào một trường hợp cụ thể trong chương hai: xét cho phân tử một điện tử đơn giản là ion
phân tử H +2 chuyển động một chiều trong điện trường thay đổi theo thời gian của laser

cường độ cao xung cực ngắn.
Để khảo sát ảnh hưởng của chuyển động hạt nhân lên cường độ phát xạ HHG của H +2
, chúng tôi xét hai trường hợp: hạt nhân đứng yên và hạt nhân dao động. Đầu tiên, chúng
tôi trình bày các bước để xác định trạng thái ban đầu của hệ ion phân tử H +2 khi chưa
tương tác với trường laser. Điều này rất có ý nghĩa, bởi vì nó được xem như điều kiện
đầu của bài toán. Sau đó, chúng tôi cho hệ tương tác với trường laser ngoài thay đổi theo
thời gian để hệ phát xạ HHG. Việc mô tả hàm sóng ở thời điểm bất kì sau tương tác sẽ
giúp ta tính toán được cường độ HHG phát ra của hệ ion phân tử H +2 .
Như đã giới hạn ở trên, sự tiếp cận đơn giản nhất với các hệ lượng tử chính là xem
xét mô hình hóa một chiều của ion phân tử H +2 .

Hình 2.1 Mô hình ion phân tử H 2+ một chiều.

Chọn hệ tọa độ khối tâm với gốc O tại trung điểm của khoảng cách liên hạt nhân R .
x là tọa độ điện tử trên trục nối hai tâm hạt nhân và M là khối lượng hạt nhân nguyên tử

hidro 1836 au .

24