bài toán dạng cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ
MINH

Đồn Thị Ri A

BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
PHI TUYẾN HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ
MINH

Đồn Thị Ri A

BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
PHI TUYẾN HAI CHIỀU
Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới
Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa toán tin và các giảng viên
trường Đại học Sư phạm – Đại học Tiền Giang đã nhiệt tình truyền đạt những kiến
thức quý báo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt q trình học tập và
hồn thành Luận văn Thạc sĩ.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn – Người
trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu và hồn thành Luận
văn Thạc sĩ.
Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến
khích tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm
2012
Tác giả

Đoàn Thị Ri A


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..............................................................................................................................................1
CÁC KÍ HIỆU ...............................................................................................................................................5
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................................................7
CHƯƠNG 1: BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN ..............9
1.1 Giới thiệu bài toán: .........................................................................................................................9
1.2 Tính giải được của bài tốn (1.1), (1.2): ....................................................................................... 12
1.3 Các hệ quả về tính giải được của bài tốn (1.1), (1.2): ................................................................ 15

CHƯƠNG 2: BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI
CHIỀU ..................................................................................................................................................... 18
2.1 Giới thiệu bài toán: ...................................................................................................................... 18
2.2 Các định lí về tính giải được của bài tốn (2.1), (2.2): ................................................................ 22
2.3 Tính giải được của bài tốn biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến
đối số lệch hai chiều:.......................................................................................................................... 52
2.4 Các ví dụ và phản ví dụ: ................................................................................................................ 58
KẾT LUẬN................................................................................................................................................ 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................................................. 70


=

( −∞, +∞ ) , =+ [0, +∞ ) ,

CÁC KÍ HIỆU
I = [ a, b ]

 n : là không gian vectơ n cột x = ( xi )i =1 với các thành phần xi ∈ 
n

1, 2,..., n )
(i =

n

và chuẩn x = ∑ xi ;
i =1

Nếu x = ( xi )i =1 thì sgn ( x ) = ( sgn xi )i =1

n

n

 n×n : là khơng gian ma trận cấp n × n X = ( xik )i ,k =1 với các thành phần
n

xik ∈ 

1, 2,..., n ) và chuẩn:
( i, k =

X =

n

∑x

i , k =1

ik

.

C ([ a, b ] ;  ) : Không gian Banach của những hàm liên tục u : ,
→ R được
[ a b] 

{

}

trang bị với=
chuẩn u C max u ( t ) : t ∈ [ a, b ] .

C ([ a, b ] ;  ) : tập những hàm liên tục tuyệt đối u : ,
→R.
[ a b] 
C loc ([ a, b ] ;  ) : tập những hàm u : ,
→ R sao cho u ∈ C ([ a, β ] ;  ) với mỗi
[ a b] 

β ∈ ( a, b ) .
C ([ a, b ] ;  n ) : là không gian của những vectơ hàm liên tục x : [ a, b ] 
→  n với

{

}

chuẩn: x C max x ( t ) : t ∈ [ a, b ] .
=

L ([ a, b ] ;  ) : Khơng gian Banach những hàm khả tích Lebesgue h : ,
→
[ a b] 
a

được trang bị chuẩn h

L

= ∫ h ( s ) ds .
b

L ([ a, b ] ;  + )=

{h ∈ L ([ a, b];  ) : h ( t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a, b]} .


L ([ a, b ] ;  n ) : là khơng gian của vectơ hàm khả tích x : [ a, b ] 
→  n với chuẩn:
b

x

L

= ∫ x ( t ) dt .
a

→ L ([ a, b ] :  ) .
ab : tập những toán tử tuyến tính bị chặn l : C ([ a, b ] :  ) 

ab : là tập những toán tử l ∈ ab bị chặn mạnh, tức là tồn tại η ∈ L ([ a, b ] ;  + ) sao
cho: ∀u ∈ C ([ a, b ] ;  ) ,
l ( u )( t ) ≤ η ( t ) . u

C

, ∀t ∈ [ a, b ]

K ([ a, b ] × A; B ) : với A ⊆  m  ( m ∈  ) và B ⊆  , là tập những hàm
f : [ a, b ] × A 
→ B thoả mãn điều kiện Caratheodory, tức là:

i)

f (., x ) : ,
→ B là hàm đo được ∀x ∈ A .
[ a b] 

ii)

f ( t ,.) : A 
→ B là hàm liên tục với mỗi t ∈ [ a, b ] .

iii)

Với mỗi r > 0 , tồn tại một hàm qr ∈ L ([ a, b ] ;  + ) sao cho:
f ( t , x ) ≤ qr ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ] , ∀x ∈ A, x ≤ r .

=
[ x ]+

x +x
=
, [ x ]−
2

x −x
2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết bài tốn biên cho phương trình vi phân hàm được nghiên cứu bởi
nhiều tác giả trong những năm đầu thế kỷ XX. Song phát triển theo hướng này là
các tác giả Ivan Kiguradze và Bedrich Puza trong những năm từ 1997 đến 2003, các
ông đã thiết lập các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài tốn biên tổng qt
cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, sau đó phát triển cho bài tốn phi
tuyến. Song các kết quả cụ thể cho các bài toán biên như: Bài toán biên nhiều điểm,
Bài toán biên dạng tuần hồn,… cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến, cũng
như cho phương trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến vẫn chưa đạt được nhiều kết
quả, cần phải tiếp tục mở rộng và xem xét. Cụ thể là: “ Bài tốn dạng Cauchy cho
hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều” còn chưa được xem xét.
Mục đích chính của luận văn là thiết lập các điều kiện đủ cho việc tồn tại và
duy nhất nghiệm của bài toán sau:
Xét trên đoạn [ a, b ] , bài tốn biên cho hệ phương trình vi phân hai chiều phi
tuyến:

x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ;

x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t )

Với điều kiện biên dạng Cauchy:

x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ;

(

)

x2 ( a ) = ϕ2 ( x1 , x2 )

(

)

(

)

→ L [ a, b ];  là toán tử liên tục.
Với F1 , F2 : C [ a, b ];  × C [ a, b ];  
→  là phiếm hàm liên tục.
ϕ1 ,ϕ2 : C ([ a, b ];  ) × C ([ a, b ];  ) 
Nghiệm của bài toán trên là cặp ( x1 , x2 ) là hàm liên tục tuyệt đối trên [ a, b ]
thỏa mãn x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) hầu khắp nơi trên [ a, b ] và
thoả điều kiện biên x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; x2 ( a ) = ϕ 2 ( x1 , x2 ) .


Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của hệ
phương trình vi phân hàm phi tuyến.
Trong chương 2, dựa trên các kết quả của chương 1, chúng ta xây dựng các
điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của “Bài toán dạng Cauchy cho hệ
phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều”.
Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm nghiên cứu về bài
tốn dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều. Những kết
quả chính có thể được ứng dụng cho trường hợp hệ được xét đến là hệ phương trình

vi phân với đối số chậm và đối số lệch.


CHƯƠNG 1: BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN
1.1 Giới thiệu bài toán:
Giả sử n là số tự nhiên, I = [ a, b ] là một đoạn của trục số thực và giả sử

→  n là toán tử liên tục, với mỗi
f : C ( I ;  n ) 
→ L ( I ;  n ) và h : C ( I ;  n ) 

ρ ∈ [ 0, +∞ ] , các điều kiện sau thỏa mãn:

{
sup { h ( x ) : x ∈ C ( I ;  ) ,

sup f ( x )(.) : x ∈ C ( I ;  n ) , x
n

x

C

C

}

≤ ρ ∈ L ( I;)

}

≤ ρ < +∞

Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:

dx ( t )
= f ( x )( t )
dt

(1.1)

h( x) = 0

(1.2)

Với điều kiện biên:

Nghiệm của phương trình (1.1), chúng ta hiểu là một vectơ hàm liên tục tuyệt
đối x : I 
→  n hầu khắp nơi trên I thỏa phương trình này, và nghiệm của bài toán
(1.1), (1.2) chúng ta hiểu là một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa (1.2).
Mục đích chính của phần này là xây dựng các điều kiện đủ cho sự tồn tại
nghiệm của bài toán trên.
Các kết quả chính của chương này được trích từ các kết quả của hai nhà toán
học
I. Kiguradze and B. Puza, trong tài liệu [15]. Ngoài ra, một số kết quả lấy từ tài liệu
[16] và [20].
Để làm thành kết quả chính của chương 1, ta cần những định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1:

Giả sử


p : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n ) 
→ L ( I ; n );

l : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n ) 
→ n

là hai tốn tử liên tục. Khi đó, cặp ( p, l ) được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều
kiện sau:
(i)

(

Với mỗi x ∈ C I ;  n

(

)

(

)

(

→ L I ; n
cố định, toán tử p ( x,.) : C I ;  n 

)

)

→  n là tuyến tính.
và l ( x,.) : C I ;  n 
(ii)

(

)

Với mỗi x, y ∈ C I ;  n và ∀t ∈ I bất đẳng thức:

(

p ( x, y )( t ) ≤ α t , x

C

)

(

l ( x, y ) ≤ α 0 x

y C,

được thực hiện, với

C

)

y

C

α 0 :  + 
→  + là hàm không giảm và

→  + là hàm khả tích theo biến số thứ nhất và khơng giảm
α : I ×  + 
theo biến số thứ hai.
(iii)

(

)

(

)

Tồn tại β > 0 sao cho với mỗi x ∈ C I ;  n , q ∈ C I ;  n , c0 ∈  n , và

y ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán biên:
dy ( t )
=
p ( x, y )( t ) + q ( t ) ,

dt

l ( x, y ) =
c0

(1.3)

thì y ( t ) thỏa đánh giá:

y

C

≤ β ( c0 + q

L

)

(1.4)

Định nghĩa 1.2 (xem tài liệu [20]):

(

) (

)

(

→ L I ; n
Giả sử p : C I ;  n × C I ;  n 

(

)

(

→ L I ; n
tùy ý, với p0 : C I ;  n 
tính. Ta nói rằng cặp

( p0 , l0 )

)

)

(

) (

)

→ n
và l : C I ;  n × C I ;  n 

(

)

→  n là toán tử tuyến
và l0 : C I ;  n 

thuộc tập

ε pn ,l

nếu tồn tại một dãy


xk ∈ C ( I ;  n )

1, 2,...) sao cho
(k =

(

)

(

) (

với mỗi y ∈ C I ;  n

những điều kiện sau

được thực hiện:
t

t

0

0

lim ∫ p ( xk , y ) ( s ) ds = ∫ p0 ( y )( s ) ds đều trên I,
k →∞

lim l ( xk , y ) = l0 ( y ) .
k →∞

Định nghĩa 1.3:

(

) (

)

(

)

)

→ L I ;  n và l : C I ;  n × C I ;  n 

→  n là
Giả sử p : C I ;  n × C I ;  n 
hai toán tử liên tục. Ta nói rằng cặp ( p, l ) thuộc lớp Opial

00n

nếu thỏa các điều

kiện sau:
(i)

(

)

(

)

(

→ L I ; n
Với mỗi x ∈ C I ;  n cố định, toán tử p ( x,.) : C I ;  n 

(

)

)

→  n là tuyến tính.
và l ( x,.) : C I ;  n 
(ii’)

(

)

Với mỗi x, y ∈ C I ;  n , ∀t ∈ I , bất đẳng thức:
p ( x, y )( t ) ≤ α ( t ) y C ,

l ( x, y ) ≤ α 0 y

C

→  + là hàm khả tích và α 0 ∈  + .
được thực hiện, với α : I 
(iii’)

Với mỗi ( p0 , l0 ) ∈ ε p ,l bài toán:
n

dy ( t )
= p=
l0 ( y ) 0
0 ( y )( t ) ,
dt
chỉ có nghiệm tầm thường.
Do Bổ đề 2.2 từ [20], nếu ( p, l ) ∈ 00 thì cặp ( p, l ) là nhất quán.
n

(1.5)


Định nghĩa 1.4:

(

)

(

)

→ L I ;  n được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn
Tốn tử tuyến tính p0 : C I ;  n 

(

)

→  + sao cho: với mọi y ∈ C I ;  n , bất đẳng thức
tại một hàm khả tích α : I 
p0 ( y )( t ) ≤ α ( t ) y

C

được thực hiện hầu khắp nơi trên I.

1.2 Tính giải được của bài tốn (1.1), (1.2):

Định lí 1.5:
Giả sử tồn tại số dương ρ và một cặp nhất quán ( p, l ) của toán tử liên tục

p : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n ) 
→ L ( I ;  n ) và l : C ( I ;  n ) × C ( I ;  n ) 
→  n sao cho
với λ ∈ [ 0,1] bất kỳ, và x ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán:

dx ( t )
= p ( x, x )( t ) + λ  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t ) 
dt

λ l ( x, x ) − h ( x ) 
l ( x, x ) =

(1.6)
(1.7)

thì x thỏa đánh giá:
x

C

≤ρ

(1.8)

Khi đó bài tốn (1.1), (1.2) là giải được.
Chứng minh:
Đặt:

1

s

σ ( s ) = 2 −
ρ

0

,0 ≤ s ≤ ρ
, ρ < s < 2ρ
, s ≥ 2ρ

(1.9)


(

q ( x )( t ) = σ x

(

c0 ( x=
) σ x

C

C

)  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t ) ,

(1.10)

) l ( x, x ) − h ( x )

Từ (1.9) suy ra: 0 ≤ σ ( s ) ≤ 1 .
Do ( p, l ) là cặp nhất quán nên theo (ii) của Định nghĩa 1.1 ta có:

(

q (=
x )( t )
σ x

C

)  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t ) ≤ f ( x )( t ) + p ( x, x )( t )

{

C

≤ 2 ρ + p ( x, x )( t )

{

C

≤ 2 ρ + 2 ρα ( t , 2 ρ ) , với mỗi

≤ sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x
≤ sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x

}

}

x ∈ C ( I ;  n ) , ∀t ∈ I

(

=
σ x
c0 ( x )

C

) l ( x, x ) − h ( x )

≤ l ( x, x ) + h ( x )

{

≤ 2 ρα 0 ( 2 ρ ) + sup h ( x ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x

C

}

(

)

≤ 2 ρ , với mỗi x ∈ C I ;  n ,

∀t ∈ I
Ta đặt:

{

γ (t ) =
2 ρα ( t , 2 ρ ) + sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x

{

2 ρα 0 ( 2 ρ ) + sup h ( x ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x
γ0 =

(

C

C

≤ 2ρ

}

≤ 2ρ ,

}

)

Khi đó: γ ∈ L ( I ;  ) , γ 0 < +∞ và với mỗi x ∈ C I ;  n và ∀t ∈ I , các bất đẳng
thức sau thỏa mãn:
q ( x )( t ) ≤ γ ( t ) ,

c0 ( t ) ≤ γ 0

(1.11)


(

)

Với x tùy ý thuộc C I ;  n cố định, xét bài tốn biên cho hệ phương trình tuyến
tính:

dy ( t )
= p ( x, y )( t ) + q ( x )( t ) ,
dt
l ( x, y ) = c0 ( x )

(1.12)

Do ( p, l ) là cặp nhất quán nên theo điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1, tồn tại β > 0

(

)

(

)

sao cho với mỗi x ∈ C I ;  n , q ( x ) ∈ C I ;  n , c0 ( x ) ∈  n , và y ( t ) là một
nghiệm tùy ý của bài tốn trên thì y ( t ) thỏa đánh giá:

y

C

≤ β ( c0 + q

L

)

Khi đó, bài tốn thuần nhất:

dy ( t )
= p=
( x, y )( t ) , l ( x, y ) 0
dt

(1.13)

chỉ có nghiệm tầm thường.

Từ các điều kiện (i), (ii) của Định nghĩa 1.1 và bài tốn (1.13) chỉ có nghiệm tầm
thường nên các giả thiết của Định lí 1 trong [16] thỏa mãn. Do đó theo Định lí 1
trong [16] suy ra bài tốn (1.12) có nghiệm duy nhất.
Mặt khác, do điều kiện (i), (ii) từ Định nghĩa 1.1 và bất đẳng thức (1.11), nghiệm

y của bài toán (1.12) thỏa đánh giá:
y

(

C

β γ0 + γ
với ρ 0 =

≤ ρ0 ,

L

),

y′ ( t ) ≤ γ * ( t ) ,

∀t ∈ I

γ * (t ) =
α ( t , ρ0 ) ρ0 + γ ( t ) .

(1.14)

(

)

(

)

(

)

→ C I ;  n , với mỗi x ∈ C I ;  n thì u ( x ) = y
Ta xây dựng toán tử u : C I ;  n 
, với y của bài toán (1.12).
Theo Hệ quả 1.6 của [16], toán tử u là liên tục.
Mặt khác, từ (1.14) ta có:

u ( x)

C

≤ ρ0 ,

t

u ( x )( t ) − u ( x )( s ) ≤ ∫ γ * (ξ ) d ξ , với s, t ∈ I .
s

{

(

)

x ∈ C I ; n : x
Vậy toán tử u là ánh xạ liên tục từ quả cầu Cρ0 =

C

}

≤ ρ 0 vào tập

Compact của chính nó. Do đó, theo Định lí Schauder, tồn tại x ∈ Cρ0 sao cho:

u ( x )( t ) = x ( t ) , với t ∈ I . Vậy x là nghiệm của bài toán (1.12).
Từ đẳng thức (1.10) và bài toán (1.12), rõ ràng x là một nghiệm của bài toán (1.6),
(1.7), với λ = σ

(x )
C

Theo giả thiết của Định lí suy ra: x

(

C

≤ρ

)

=
xC 1
Khi
đó λ σ=
Do đó x cũng là một nghiệm của bài toán (1.1), (1.2). Hay bài toán (1.1), (1.2) là
giải được.



1.3 Các hệ quả về tính giải được của bài toán (1.1), (1.2):
Hệ quả 1.6:
Giả sử tồn tại một số ρ > 0 và một cặp toán tử ( p, l ) ∈ 00 sao cho với mỗi
n

λ ∈ [ 0,1] , và y ( t ) là một nghiệm tùy ý của bài toán (1.6), (1.7) thỏa đánh giá (1.8)
thì bài tốn (1.1), (1.2) là giải được.
Chứng minh:


Do Bổ đề 2.2 từ [20], nếu ( p, l ) ∈ 00 thì cặp ( p, l ) là nhất qn.
n

Do đó các giả thiết của Định lí 1.5 được thỏa mãn.
Vậy bài toán (1.1), (1.2) là giải được.



Hệ quả 1.7:

(

)

(

)

→ L I ; n ,
Giả sử tồn tại một tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh p0 : C I ;  n 

(

)

→  n sao cho bài tốn:
một tốn tử tuyến tính bị chặn l0 : C I ;  n 
dy ( t )
= p=
l0 ( y ) 0
0 ( y )( t ) ,
dt

(1.5)

chỉ có nghiệm tầm thường và tồn tại số ρ > 0 sao cho với mỗi λ ∈ [ 0,1] , với mọi
nghiệm x ( t ) của bài toán:

dx ( t )
= p0 ( x )( t ) + λ  f ( x )( t ) − p0 ( x )( t ) 
dt
l0 ( x ) =
λ l0 ( x ) − h ( x ) 

(1.15)

thỏa đánh giá:
x

C

≤ρ

Khi đó bài tốn (1.1), (1.2) là giải được.
Chứng minh:
Đặt:

p ( x, y )( t ) ≡ p0 ( y )( t )

l ( x, y ) ≡ l0 ( y ) .

(1.8)


Do giả thiết p0 là tốn tử tuyến tính bị chặn và l0 là tốn tử tuyến tính bị chặn nên
theo Định nghĩa 1.4 thì p ( x, y )( t ) và l ( x, y )( t ) thỏa điều kiện (i), (ii’) của Định
nghĩa 1.3.

Mặt khác, ( p0 , l0 ) ∈ ε p ,l (do p ( x, y ) và l ( x, y ) không phụ thuộc vào x ) và ( p0 , l0 )
n

thỏa điều kiện bài tốn (1.5) chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra ( p0 , l0 ) thỏa điều
kiện (iii’) của Định nghĩa 1.3.
Do đó ( p, l ) ∈ 00 . Từ đó theo Hệ quả 1.6 thì bài tốn (1.1), (1.2) là giải được.
n




CHƯƠNG 2: BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU
2.1 Giới thiệu bài toán:
Trong chương 2 ta áp dụng các kết quả của chương 1 để nghiên cứu sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bài tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai
chiều. Trên đoạn [ a, b ] , xét bài toán:

x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ;

x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t )

(2.1)

x2 ( a ) = ϕ 2 ( x1 , x2 )

(2.2)

Với điều kiện biên dạng Cauchy:

x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ;

Với F1 , F2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  ) 
→ L ([ a, b ] ;  ) là toán tử liên tục,

ϕ1 ,ϕ 2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  ) 
→  là phiếm hàm liên tục.
Nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) là cặp ( x1 , x2 ) là hàm liên tục tuyệt đối trên

[ a, b] thỏa mãn (2.1) hầu khắp nơi trên [ a, b] và thoả điều kiện biên (2.2).
Các kết quả chính của chương này được trình trích dẫn từ các kết quả của nhà
tốn học Cộng Hịa Séc Jiri Sremr, trong tài liệu [25]. Ngồi ra chúng ta cơng nhận
một số kết quả trích từ các tài liệu [15], [26] khơng chứng minh.
Định nghĩa 2.1:
Tốn tử l ∈ ab được gọi là khơng giảm nếu nó là một ánh xạ từ tập C ([ a, b ] ;  + )
vào L ([ a, b ] ;  + ) . Tập các tốn tử tuyến tính khơng giảm kí hiệu là ab . Ta nói rằng
tốn tử l ∈ ab là khơng tăng nếu −l ∈ ab .
Ví dụ : Giả sử l ∈ ab được định nghĩa như sau:


l ( z )( t ) = h ( t ) z (τ ( t ) ) với mỗi t ∈ [ a, b ] và ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  )

Với h ∈ L ([ a, b ] :  ) và τ : ,
→ [ a, b ] là hàm đo được.
[ a b] 
Thì l ∈ ab khi và chỉ khi h ( t ) ≥ 0 với mỗi t ∈ [ a, b ] .
Định nghĩa 2.2:
Ta nói rằng l ∈ ab là một toán tử a – Volterra nếu với mỗi b0 ∈ [ a, b ] và

z ∈ C ([ a, b ] ;  ) thoả mãn:

z ( t ) = 0 với t ∈ [ a, b0 ]
thì ta có:

l ( z )( t ) = 0 với mỗi t ∈ [ a, b0 ]
Ví dụ :
Tốn tử l ∈ ab được định nghĩa như sau:
l ( z )( t ) = h ( t ) z (τ ( t ) ) với mỗi t ∈ [ a, b ] và ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  )

với h ∈ L ([ a, b ] :  ) và τ : ,
→ [ a, b ] là hàm đo được.
[ a b] 
là một toán tử a – Volterra khi và chỉ khi h ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ 0 với mỗi t ∈ [ a, b ] .
Định nghĩa 2.3:

→ L ([ a, b0 ] ;  ) định
Giả sử l ∈ ab và b0 ∈ [ a, b ] . Toán tử l ab0 : C ([ a, b0 ] ;  ) 
nghĩa như sau:


l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) với mỗi t ∈ [ a, b0 ] , ∀z ∈ C ([ a, b0 ] ;  ) , với

t ∈ [ a b0 ]
 z ( t ) , ,
z ( t ) = 
t ∈ [b0 b ]
 z ( b0 ) , ,
gọi là sự thu hẹp của tốn tử 𝑙 vào khơng gian C ([ a, b0 ] ;  ) .

(

)

Nếu b0 < b1 ≤ b và z ∈ C ([ a, b1 ] ;  ) thì ta viết l ab0 ( z ) thay cho l ab0 z [a ,b ] .
0
Chú ý 2.4:
Nếu 𝑙 là một toán tử a – Volterra thì với mỗi b0 ∈ [ a, b ] , z ∈ C ([ a, b ] ;  ) thỏa:
l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) ,với mỗi t ∈ [ a, b0 ] .

Định nghĩa 2.5: (xem [26], định nghĩa 3.2)
2
Một cặp ( p, g ) ∈ ab × ab được gọi là thuộc tập S
ab ( a ) nếu với mỗi

u , v∈
 
C ([ a, b ] ;  ) thoả:

u′ ( t ) ≥ p ( v )( t ) , hầu khắp nơi trên [ a, b ]

v′ ( t ) ≥ g ( u )( t ) , hầu khắp nơi trên [ a, b ]
và

u ( a ) ≥ 0, 0
v(a) ≥

Thì

u ( t ) ≥ 0 với t ∈ [ a, b ] .
2

Nếu ( l1 , l2 ) ∈ S
ab ( a ) thì ta nói rằng định lí yếu của bất đẳng thức vi phân thoả cho

l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ;
hệ x1′ ( t ) =

x2′ ( t ) =
l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) ,


với l1 , l2 : C ([ a, b ] ;  ) 
→ L ([ a, b ] ;  ) là tốn tử tuyến tính bị chặn,
q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) , c1 , c2 ∈  .

Chú ý 2.6:
Xét bài tốn tuyến tính:

x1′ ( t ) =
l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ,

x2′ ( t ) =
l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t )

(2.3)

x1 ( a ) = c1 ,

x2 ( a ) = c2

(2.4)

2
Nếu ( l1 , l2 ) ∈ S
ab ( a ) thì bài tốn thuần nhất:

=
x1′ ( t ) l1=
( x2 )( t ) , x2′ ( t ) l2 ( x1 )( t )
=
x1 ( a ) 0,=
x2 ( a ) 0
chỉ có nghiệm tầm thường.
Do đó, theo tính chất Fredholm của bài tốn tuyến tính (xem [23], [16], [14], [8]),
bài tốn (2.3), (2.4) có duy nhất một nghiệm với mỗi q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) , c1 , c2 ∈ 
.
2
Bao hàm thức ( l1 , l2 ) ∈ S
ab ( a ) bảo đảm thêm rằng nghiệm duy nhất ( x1 , x2 ) của bài

toán này thoả mãn x1 ( t ) ≥ 0 với t ∈ [ a, b ] , qk ( t ) ≥ 0 với mỗi t ∈ [ a, b ] , ck ≥ 0

( k = 1, 2 )
Định nghĩa 2.7:
Ta nói rằng một bộ ba

( p, g , l ) ∈ ab × ab × ab

thuộc tập ab nếu tồn tại

1 , 0,

2 ∈ [ +∞ ] sao cho với c1* , c2* ∈  + tùy ý và q1* , ,
q2* ∈ L ([ a b ] ;  + ) , mỗi cặp hàm
x1 , ,
x2 ∈ C ([ a b ] ;  ) thỏa những điều kiện:


xi ( a ) ≤ ci* , với i = 1, 2

(2.5)

 x1′ ( t ) − p ( x2 )( t )  sgn  x1 ( t ) ≤ q1* ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.6)

 x2′ ( t ) − g ( x1 )( t )  sgn   
x2 ( t ) ≤ l ( x1 ) ( t ) + q2* ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.7)

Và

Khi đó x1 , x2 thỏa đánh giá:

x1

C

+ x2

C

(

≤ 1 c1* + q1*

L

) +  (c + q ) .
*
2

2

*
2 L

(2.8)

Xuyên suốt phần này những giả thiết sau được sử dụng:

( H1 )

F1 , F2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  ) 
→ L ([ a, b ] ;  ) là toán tử liên tục sao

cho:

{

}

sup Fi ( u1 , u2 )(.) : ,
u1 u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) ,  
u1 C + u2 C ≤ r ∈ L ([ a, b ] ;  + ) .

được thoả mãn với mỗi r > 0 và i = 1, 2 .

( H2 )

ϕ1 ,ϕ 2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  ) 
→  là hàm liên tục sao cho:

{

sup ϕi ( u1 , u2 ) : ,
u1 u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) , 
u1

C

+ u2

C

}

≤ r < +∞

được thoả mãn với mỗi r > 0 và i = 1, 2 .
2.2 Các định lí về tính giải được của bài tốn (2.1), (2.2):

Định lí 2.8:
Giả sử k ∈ {1, 2} , giả thiết

( H1 )

và

( H2 )

được thoả mãn và giả sử tồn tại

p, , 
g 0 g1 ∈ ab sao cho, với u1 , u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) bất kỳ, các bất đẳng thức:

ϕi ( u1 , u2 ) sgn ui ( a ) ≤ ηi ( u1 C + u2

C

) , với 𝑖 = 1, 2

(2.9)


 Fk ( u1 , u2 )( t ) − p ( u3− k ) ( t )  .sgn  uk ( t ) ≤

(

≤ ωk t , u1

C

+ u2

C

),

với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.10)

Và

 F3− k ( u1 , u2 )( t ) − g 0 ( uk ) ( t ) + g1 ( uk ) ( t )  .sgn  u3− k ( t ) ≤

(

≤ ω3−k t , u1

C

+ u2

C

)

với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.11)

 ;
K ([ a, b ] ×  +  + ) và η1 ,η 2 :  + →  + thoả:
được thực hiện, với ω1 , ω2 ∈
b

1
lim ηi ( r ) + ∫ ωi ( s, r ) ds  =
0 , với i = 1, 2
r →+∞ r
a



Hơn nữa, nếu      PG0 < 1,     
PG1 < 4 1 − PG0 ,
b

=
Với P

p (1)( s ) ds,     Gi
∫=
a

(2.12)

(2.13)

b

∫ g (1)( s ) ds
i

, với i = 1, 2 .

(2.14)

a

Thì bài tốn (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chú ý:
Hai bất đẳng thức trong (2.13) dấu “=” không thể xảy ra (xem phản Ví dụ 2.29 và
phản Ví dụ 2.30).
Để chứng minh định lí trên ta cần các bổ đề bổ trợ sau:
Bổ đề 2.9: (xem [15], Hệ quả 3)
Giả sử tồn tại những toán tử p, g ∈ ab và một số  > 0 sao cho bài toán thuần nhất:

x1′ ( t ) = p ( x2 )( t ) ;

x2′ ( t ) = g ( x1 )( t )

(2.15)


x1 ( a ) = 0;

x2 ( a ) = 0 

(2.16)

chỉ có nghiệm tầm thường và với mỗi σ ∈ [ 0,1] , x1 , ,
x2 ∈ C ([ a b ] ;  ) là nghiệm tùy
ý của hệ phương trình vi phân hàm:
=
x1′ ( t ) p ( x2 )( t ) + σ  F1 ( x1 ,  
x2 )( t ) − p ( x2 )( t )  , với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.17)

=
x2′ ( t ) g ( x1 )( t ) + σ  F2 ( x1 , x2 )( t ) − g ( x1 )( t )  , với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.18)

thỏa điều kiện biên:

=
x1 ( a ) σϕ
=
x2 ( a ) σϕ2 ( x1 , x2 )
1 ( x1 , x2 ) ;  

(2.19)

thì x1 , x2 thỏa đánh giá:
x1

C

+ x2

C

≤

(2.20)

Khi đó bài tốn (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh: Kết quả trên được suy trực tiếp từ Hệ quả 1.7, Chương 1, cụ thể
trong trường hợp hai chiều.



Bổ đề 2.10:
Giả sử các giả thiết ( H1 ) và ( H 2 ) được thỏa mãn và tồn tại một bộ ba

( p, g , l ) ∈ ab sao cho với u1 , u2 ∈ C ([ a, b];  ) bất kỳ, các bất đẳng thức sau được
thực hiện:

ϕi ( u1 , u2 ) sgn  ui ( a ) ≤ ηi ( u1 C + u2

(

C

) , với i = 1, 2

 F1 ( u1 , u2 )( t ) − p ( u2 )( t )  sgn u1 ( t ) ≤ ω1 t , u1

C

+ u2

C

(2.9)

) , với mỗi t ∈ [ a, b]

(2.21)

Và

(

 F2 ( u1 , u2 )( t ) − g ( u1 )( t )  sgn  ,
u2 ( t ) ≤ l ( u1 ) ( t ) + ω2 t u1
t ∈ [ a, b ]

với ω1 , ω2 ∈ K ([ a, b ] ×  + ;  + ) và η1 , : 
η2  + →  + thỏa:

C

+ u2

C

) , với mỗi

(2.22)


b

1
lim ηi ( r ) + ∫ ωi ( s, r ) ds  =
0 , với i = 1, 2
r →+∞ r
a



(2.12)

Thì bài tốn (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh:
Do ( p, g , l ) ∈ ab và l ∈ ab nên bài toán thuần nhất (2.15), (2.16) chỉ có nghiệm
tầm thường.
Giả sử 1 , 2 là những số trong Định nghĩa 2.1,
b

1
Do lim ηi ( r ) + ∫ ωi ( s, r ) ds  =
0 , với i = 1, 2 tồn tại  > 0 sao cho:
r →+∞ r
a



ηi ( r ) 1 b
r

+

1

ω ( s, r ) ds <
2
r∫
i

a

, với r >  , i = 1, 2

(2.23)

i

Với mỗi σ ∈ [ 0,1] , giả sử x1 , ,
x2 ∈ C ([ a b ] ;  ) là nghiệm của bài toán sau:
t ∈ [ a b]
=
x1′ ( t ) p ( x2 )( t ) + σ  F1 ( x1 , x2 )( t ) − p ( x2 )( t )  , với  ,

(2.17)

t ∈ [ a b]
=

x2′ ( t ) g ( x1 )( t ) + σ  F1 ( x1 , x2 )( t ) − g ( x1 )( t )  , với  ,

(2.18)

=
x1 ( a ) σϕ
=
σϕ2 ( x1 , x2 )
1 ( x1 , x2 ) ,  x2 ( a )

(2.19)

Khi đó, từ (2.9) ta có:

(

x=
xi ( a ) sgn x=
σϕi ( x1 , sgn
x2 )
xi ( a ) ≤ ηi x1
i (a)
i (a)

C

+ x2

C

) , với i = 1, 2

Từ (2.21) ta có:

(

 x1′ ( t ) − p ( x2 )( t )  sgn   
x1 ( t ) =
x2 )( t ) − p ( x2 )( t )  sgn  
x1 ( t ) ≤ ω1 t , x1
σ  F1 ( x1 , 
với mỗi  ,
t ∈ [ a b]

C

+ x2

C

),