biến đổi laplace và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đặng Minh Thế

BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đặng Minh Thế

BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN CAM
Thành phố Hồ Chí Minh 2012

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................0
Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN .........3
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví dụ ................................................................................ 3
1.2 Điều kiện tồn tại cho biến đổi Laplace.................................................................................... 5
1.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace .............................................................................. 8
1.4 Định lý tích chập ................................................................................................................... 12
1.5 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace.......................................................................... 14
1.6 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ .................................................................................... 17
1.7 Định lý giá trị đầu, định lý giá trị cuối ................................................................................... 32

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE .......................34
2.1 Nghiệm của phương trình vi phân thường ............................................................................. 34
2.2 Phương trình đạo hàm riêng ................................................................................................... 56
2.3 Nghiệm của phương trình tích phân ....................................................................................... 73
2.4 Nghiệm của bài toán giá trị biên.............................................................................................. 77
2.5 Nghiệm của phương trình sai phân và vi sai phân ................................................................. 82
2.6 Hàm chuyển và hàm đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính .......................................... 90

PHỤ LỤC. MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 95
A. Các hàm đặc biệt ..................................................................................................................... 95
A.1 Hàm Gamma ..................................................................................................................... 95
A.2 Hàm Dirac Delta................................................................................................................ 98
B. Một số định lý quan trọng ....................................................................................................... 99

KẾT LUẬN ............................................................................................................105
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................106

1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân quan trọng. Ứng dụng lớn
nhất của nó là để giải các phương trình vi phân và các bài toán liên quan (bài toán
giá trị biên và bài toán điều kiện đầu). Nguồn gốc của ứng dụng này là ở chỗ biến
đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân trên hàm sang các phép tính
đại số trên ảnh của hàm qua biến đổi Laplace. Các phép biến đổi cho phép chuyển
như vậy gọi chung là phép tính toán tử (operational calculus).
Biến đổi Laplace được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng
người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827). Laplace nghiên cứu vấn đề này đầu
tiên vào năm 1782. Tuy nhiên tính hữu dụng của phương pháp này không được
công nhận. Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi Laplace rất hiệu quả như hiện nay
được phát triển khoảng một trăm năm sau bởi kỹ sư điện người Anh là Oliver
Heaviside (1850-1925). Vì vậy biến đổi Laplace cũng còn được gọi là phép tính
Heaviside (Heaviside calculus).
Việc tìm hiểu lý thuyết về Laplace và một số ứng dụng của nó là một trong
những đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học. Vì thế được sự giúp đỡ và hướng dẫn
của thầy Ts. Nguyễn Cam, tôi quyết định chọn đề tài “ Biến đổi Laplace và một số
ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2. Mục tiêu của đề tài
Trình bày lý thuyết cơ bản về biến đổi Laplace như định nghĩa, tính chất, biến
đổi Laplace ngược và một số phương pháp tìm biến đổi Laplace thông dụng.
Ứng dụng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân thường, phương
trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình sai phân và vi sai phân,…và các bài toán
liên quan thường xuất hiện trong vật lí và khoa học kĩ thuật.

2

3. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các bài báo khoa học, các sách vở có liên quan đến đề tài luận văn,
tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả về đề tài theo hiểu biết của mình, theo hệ
thống khoa học với các chứng minh chi tiết.
Sử dụng các kết quả của Hàm biến phức, Biến đổi tích phân,…

4. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba phần
CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề cơ bản của biến đổi Laplace
như là định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace và một số
phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh đã cho.
CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các ứng dụng của biến đổi Laplace
vào việc giải các phương trình
• Phương trình vi phân thường,
• Phương trình đạo hàm riêng,
• Phương trình tích phân,
• Phương trình sai phân và phương trình vi sai phân.
Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày ứng dụng của biến đổi Laplace vào việc
nghiệm của bài toán giá trị biên, tìm hàm chuyển và đáp ứng xung của một hệ thống
tuyến tính.
PHỤ LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN


3

Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ
TÍNH CHẤT CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví dụ
Biến đổi Laplace của hàm số f ( t ) với 0 ≤ t < ∞ là một hàm phức được định
nghĩa bởi tích phân suy rộng
L

(s)
( t )} f=
{ f=

∞

∫e

− st

f ( t ) dt

(1.1.1)

0

Phép biến đổi Laplace của hàm f ( t ) tồn tại nếu tích phân (1.1.1) hội tụ với
giá trị của s thuộc miền nào đó. Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace
của hàm số f ( t ) không tồn tại. Ta gọi hàm f ( t ) trong định nghĩa trên là hàm gốc
và hàm biến đổi f ( s ) là hàm ảnh.
Sử dụng định nghĩa (1.1.1) ta có biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản sau
đây.

Ví dụ 1.1.1
Nếu f ( t ) = 1 với t > 0 thì
=
L {1}

∞

e dt
∫=
0

− st

T

lim ∫ e − st dt

T →∞

0

 1
 T
1 1

lim  − e − st 
lim  − e − sT 
=
=

T →∞
T
→∞
 s
t=0
s s


1
Do đó nếu Re s > 0 thì giới hạn trên tồn tại và L {1} = .
s

Ví dụ 1.1.2
Nếu f ( t ) = e at , trong đó a là hằng số thực thì ta có

(1.1.2 )


4

L {=
e }
at

f=
(s)

∞

∫e

− ( s − a )t

dt

0

=

1 − ( s − a )t ∞
1
,
=
e
t =0
a−s
s−a

Re s > a.

(1.1.3)

Ví dụ 1.1.3
Nếu f ( t ) = t n , trong đó n là một số nguyên dương thì ta có
f ( s ) L=
=
{t n }

n!
.

s n +1

(1.1.4 )

Thật vậy, ta có
∞

1∞ n
I n = ∫ e t dt = − ∫ t d ( e − st )
s0
0
− st n

∞
1
n∞
=
− ( t n e − st )
+ ∫ t n −1e − st dt
t =0
s
s0

n ∞ n −1 − st
n
t e dt
I n −1.
= =
∫
s0

s

Do đó
L

{t } = I
n

n

=

n
n!
 n! 
I n −1 = ⋅ ⋅ ⋅ =  n  I 0 = n +1 ,
s
s
s 

1
với I 0 = .
s

Ví dụ 1.1.4
Nếu f ( t ) = sin at , trong đó a là số thực thì ta có

L {sin at} =

a

,
s2 + a2

Thật vậy, ta đặt
I L=
=
{sin at}

∞

∫e
0

Ta có

− st

sin atdt

(1.1.5)


5

∞

1
s∞
I=
− e − st cos at

− ∫ e − st cos atdt
a
a0
t =0
∞

1 s  1 − st
s ∞ − st
=
−  e sin at
+ ∫ e sin atdt 
a a  a
a0

t =0

1 s 2 ∞ − st
1 s2
=
− 2 ∫ e sin atdt =
− I
a a 0
a a2
Do đó

1 s2
I=
− I
a a2


s2 
1
⇔ 1 + 2  I =
a
 a 

Suy ra

L {sin at}= I=

a
.
s + a2
2

1.2 Điều kiện tồn tại cho biến đổi Laplace
Hàm f được gọi là một hàm gốc nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau
i) f bị triệt tiêu khi t < 0 ,
ii) f liên tục từng khúc (piecewise continous) trên [ 0,∞ ) ,
iii) f không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → ∞ nghĩa là tồn tại số M > 0 và
α > 0 sao cho

f ( t ) ≤ Meα t , ∀t ≥ 0.
Số α 0 = inf α , với tất cả α thỏa mãn (iii) được gọi là chỉ số tăng của hàm f . Chú
ý rằng số α 0 có thể không thỏa (iii).
Hàm số f được gọi là liên tục từng khúc trên [ 0,∞ ) nếu hàm f liên tục tại
mọi điểm thuộc [ 0,∞ ) ngoại trừ một số hữu hạn các điểm gián đoạn, đồng thời tại
các điểm t mà f không liên tục thì f ( t + ) và f ( t − ) tồn tại.

6

Định lý 1.2.1
Nếu f ( t ) là hàm gốc với chỉ số tăng α 0 thì biến đổi Laplace của f ( t ) tồn tại với
mọi s thỏa Re s > α 0 .

Chứng minh
Do f là hàm gốc với chỉ số tăng α 0 nên tồn tại số M > 0 sao cho
f ( t ) ≤ Me(α

0 +ε

)t

, ∀t ≥ 0 .

Ta có
∞

∞

−( x −α
− st
∫ e f ( t ) dt ≤ M ∫ e
0

0 −ε

)t

dt

0

∞

Me −( x −α −ε )t
M
,
= =
x − α0 − ε
− ( x − α 0 − ε ) t =0
0

Chọn ε > 0 sao cho Re s =x > α 0 + ε .
Do đó biến đổi Laplace tồn tại và tích phân (1.1.1) là hội tụ tuyệt đối khi Re s > α 0 .

Chú ý
a) Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
∞

∫e

− st

f ( t ) dt < ∞

0

b) Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trên miền xác định Ω

trong mặt phẳng phức nếu bất kì ε > 0 , tồn tại một số τ 0 sao cho với mọi

τ ≥ τ 0 thì
∞

∫τ e

− st

f ( t ) dt < ε

với mọi s trong Ω .

Định lý 1.2.2
Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng α 0 . Khi đó biến đổi Laplace


7

∞

∫e

− st

(1.1.6 )

f ( t ) dt

0

hội tụ đều trên miền {s Re s > α } , α > α 0 .

Chứng minh
Ta sử dụng tiêu chuẩn weierstrass [Định lý B.3 – Trang 103] để chứng minh
định lý trên. Thật vậy,
Do f là hàm gốc có chỉ số tăng α 0 nên tồn tại số M > 0 sao cho
f ( t ) ≤ Me(α

0 +ε

)t

, t≥0

Khi đó
e − st f ( t ) ≤ Me − ( x −α

0 −ε

)t

≤ Me − (α −α

0 −ε

)t

,

trong đó Re s= x ≥ α và ta chọn ε đủ nhỏ để α > α 0 + ε .
∞

Do ∫ e − (α −α

0 −ε

)t

dt hội tụ với α > α 0 + ε nên theo tiêu chuẩn weierstrass ta có tích

0

phân (1.1.6 ) hội tụ đều trên miền {s Re s ≥ α } , α > α 0 .

Định lý 1.2.3
Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng α 0 . Khi đó f ( s ) là hàm giải tích trong miền

Re s > α 0 .

Chứng minh
Ta có
∂ − st
f ( t ) ) dt
∫0 ∂s ( e =

∞

∞

∫ f ( t ) e ( −t ) dt ,
− st

0

Do f là hàm gốc có chỉ số tăng α 0 nên ta có

( −t ) e− st f ( t ) ≤ tMe−( x−α −ε )t ≤ Me−(α −α −δ )t ,
0

1

0

trong đó Re s= x ≥ α1 và δ > 0 có thể chọn đủ nhỏ để α1 > α 0 + δ .


8

∞

Do tích phân

∫e

− (α1 −α 0 −δ )t

dt hội tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass thì ta có tích

0

∞

phân

∂

∫ ∂s ( e

− st

f ( t ) ) dt hội tụ đều trên miền {s Re s ≥ α1} , với mọi α1 , α1 > α 0 .

0

∞

Như vậy ta có tích phân ∫ e

− st

f ( t ) dt hội tụ và tích phân

0

∞

∂

∫ ∂s ( e

− st

f ( t ) ) dt hội tụ

0

đều trên miền {s Re s ≥ α1} , với mọi α1 , α1 > α 0 nên theo [Định lý B.4 – Trang
103] ta có hàm ảnh có đạo hàm là
∂ − st
( e f ( t ) ) dt ,
∂
s
0

∞

f ′( s) = ∫

tại mọi điểm s thuộc các miền trên. Do đó f ( s ) giải tích trong miền Re s > α 0 .

1.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace
Định lý 1.3.1 (Tính chất tuyến tính)
Cho các hàm gốc f k với các chỉ số tăng là α k , biến đổi Laplace là f k ,

k = 1, 2,..., n . Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm f k
n

f ( t ) = ∑ ck f k ( t ) , với ck là hằng số
k =1

là hàm f được xác định bởi
n

f ( s ) = ∑ ck f k ( s ) ,
k =1

(1.3.1)

với miền xác định Re s > max α k .

Chứng minh. Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân.

Ví dụ 1.3.1
Từ kết quả của ví dụ 1.1.2 và tính chất tuyến tính ta có biến đổi Laplace của các
hàm sau
a) Ta có


9

1
L=
{sin α t} L  ( eiα t − e−iα t ) 
 2i

1 1
1 
=
−

2i  s − iα s + iα 
=

α
s2 + α 2

Re s > Im α

,

b) Tương tự ta có
s
1

,
t} L  ( eiα t + e − iα t )=
L {cos α=

2
2
2
 s +α
s
1

c) L {cosh α=
t} L  ( eα t + e −α t )=
,

2

2
2
 s −α

Re s > Im α

Re s > Re α

α
1

d) L {sinh α=
,
t} L  ( eα t − e −α t )=

2
2
2
 s −α

Re s > Re α .

Định lý 1.3.2 (Tính chất đồng dạng)
Cho L

{ f ( t )} = f ( s ) ,

f là hàm gốc có chỉ số tăng α 0 và c > 0 là hằng số. Khi đó
1 s
f  ,

c c

L { f ( ct )}
=

Re s > cα

(1.3.2 )

Chứng minh
∞

L { f ( ct )}
=

e − st f ( ct ) dt
∫=
0

1 ∞ − su c
1 s
e=
f ( u ) du
f  .
∫
c0
c c

Định lý 1.3.3 (Tính chất dịch chuyển ảnh)
Nếu L

{ f ( t )} = f ( s ) ,
L

f có chỉ số tăng là α 0 thì

{e f ( t )} =
at

f (s − a),

Re s > α 0 + Re a

Chứng minh
Theo định nghĩa ta có
t )}
L {e f (=
at

∞

∫e
0

Ví dụ 1.3.2

−( s − a )t

f (t =
) dt

f ( s − a ).

(1.3.3)


10
Các kết quả dưới đây nhận được dễ dàng từ công thức (1.3.3)
L {t n e at }
=

n!

( s − a)

=
L {e at sin bt}
=
L {e at cos bt}

b

(s − a)

2

+ b2

s−a

( s − a)

2

(1.3.4 )

Re s > Re a

,

n +1

+ b2

Re s > Im b + Re a

,

(1.3.6 )

Re s > Im b + Re a.

,

(1.3.5)

Định lý 1.3.4
Nếu L

L

{ f ( t )} = f ( s ) thì
a )}
{ f (t − a ) H (t − =

e − as f =
( s ) e− as L

{ f ( t )} ,

a>0

(1.3.7 )

hay

L

− a )}
{ f ( t ) H ( t=

{ f ( t + a )} ,

e − as L

(1.3.8)

trong đó H ( t − a ) là hàm bước nhảy đơn vị Heaviside được định nghĩa bởi
t>a
t

1,
H (t − a ) =

0,

Chứng minh
Theo định nghĩa ta có
L

∞

{ f ( t − a ) H ( t − a )} = ∫ e

− st

f ( t − a ) H ( t − a ) dt

0

=

∞

∫e

− st

f ( t − a ) dt ,

a

a τ, =
dt dτ
Đặt t −=
Khi đó
L

) H ( t − a )}
{ f ( t − a=

e

− sa

∞

e f (τ ) dτ
∫=
0

− sτ

e − as f ( s ) .


11

Chứng minh tương tự ta được

− a )}
{ f ( t ) H ( t=

L

{ f ( t + a )}.

e − as L

Đặc biệt, nếu f ( t ) = 1 thì

{ H ( t − a )}=

L

1
exp ( − sa )
s

(1.3.9 )

Định lý 1.3.5 (Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn)
Cho L

{ f ( t )} = f ( s ) và
L

f là một hàm tuần hoàn với chu kì T thì ta có

1 − exp ( − sT ) 

{ f ( t )} =

−1

T

∫e

− st

f ( t ) dt

(1.3.10 )

0

Chứng minh
Theo định nghĩa ta có
∞

L { f ( t )}
=

T

e f ( t ) dt ∫ e
∫=
− st

0

− st

0

∞

f ( t ) dt + ∫ e − st f ( t ) dt .
T

Đặt t= τ + T trong tích phân thứ hai ta được
T

f (s)
=

∫e

− st

0

∞

f ( t ) dt + exp ( − sT ) ∫ e − sτ f (τ + T ) dτ
0

Do f (τ + T ) =
f (τ ) và thay biến τ bởi t trong tích phân thứ hai ta được
f (s)

=
=

T

∞

0

0

− st
− st
∫ e f ( t ) dt + exp ( − sT ) ∫ e f ( t ) dt

T

∫e

− st

f ( t ) dt + exp ( − sT ) f ( s ) .

0

Suy ra
L

T

{ f ( t )} =1 − exp ( − sT )  ∫ e
−1

− st

f ( t ) dt.

0

Định lý 1.3.6 (Biến đổi Laplace của đạo hàm)
Cho L

L

{ f ( t )} = f ( s ) . Giả sử
{ f ′ ( t )} =

sL

f ′ tồn tại và là hàm gốc thì

{ f ( t )} − f ( 0 ) =

s f ( s ) − f ( 0) ,

Re s > α 0

(1.3.11)

12

Chứng minh
Theo định nghĩa ta có
L

∞

{ f ′ ( t )} = ∫ e− st f ′ ( t ) dt ,
0

Giả sử f là hàm gốc có chỉ số tăng là α 0 . Khi đó
lim f ( t ) e − st ≤ lim e − xt f ( t ) ≤ M lim e −( x −α
t →∞

t →∞

0 −ε

)t

t →∞

Re s = x > ε + α 0

= 0,

Tích phân từng phần của tích phân trên ta được

=

L { f ′ ( t )}  e

− st

∞

∞

f ( t )  t =0 + s ∫ e − st f ( t ) dt
0

= s f ( s ) − f ( 0) ,
Tương tự ta có
L
=
{ f ′′ ( t )} sL

{ f ′ ( t )} − f ′ ( 0 )

= s ( sf ( s ) − f ( 0 ) ) − f ′ ( 0 )
= s 2 f ( s ) − sf ( 0 ) − f ′ ( 0 ) .

Tổng quát
Cho L

{ f ( t )} = f ( s ) . Giả sử f ( t ) , f ′ ( t ) ,..., f ( ) ( t ) , f ( ) ( t )
n −1

n

là các hàm gốc thì ta

có
L

)
( t )}
{ f (=
n

s n f ( s ) − s n −1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋅⋅⋅ − f n −1 ( 0 ) .

1.4 Định lý tích chập
Định lý 1.4.1 (Định lý tích chập)
Cho f và g là các hàm gốc có chỉ số tăng lần lượt là α 0 , β 0 . Khi đó

L {=
f ( t ) ∗ g ( t )} L

)} L { g ( t )}
{ f ( t=

f (s) g (s)

(1.4.1)

trong đó f ( t ) ∗ g ( t ) được gọi là tích chập của f ( t ) và g ( t ) và được định
nghĩa bởi tích phân
f (t ) ∗ g (t ) =

t

∫ f ( t − τ ) g (τ ) dτ
0

(1.4.2 )


13
Ta ghi tắt là f ( t ) ∗ g ( t ) =
( f ∗ g )( t ) .

Chứng minh
Với t > 0, ε > 0

t)
( f ∗ g )(=

t

∫
0

t

f (τ ) g ( t − τ ) dτ ≤ ∫ f (τ ) g ( t − τ ) dτ
0

t

≤ M ∫ e (α

0 +ε

)τ ( β0 +ε )( t −τ )

e

0

0

0

0

0

(α 0 + ε ) t


 M 1e
≤
(β

 M 2e

t

dτ =

Me( β +ε )t ∫ e(α − β )τ dτ

0 +ε

α 0 ≥ β0

,

)t

β0 > α 0 ,

,

(1.4.3)

bất đẳng thức sau cùng có được bằng cách tính trực tiếp tích phân. Vậy f ∗ g là
hàm gốc có chỉ số tăng γ 0 ≤ max {α 0 , β 0 } .
Ta có
 ∞ − sτ
 ∞ − su

L { f ( t )}.L { g ( t )} =  ∫ e f (τ ) dτ  ∫ e g ( u ) du 
0
 0

 ∞ − s(τ +u )

= ∫∫e
f (τ ) g ( u ) du  dτ .

00

∞

Đặt t= τ + u , du = dt với τ cố định
Khi đó ta có
 ∞ − st

L { f=
( t )}. L { g ( t )} ∫  ∫ e f (τ ) g ( t − τ ) dt  dτ
0τ

∞

(1.4.4 )

Do g=
( t ) 0, t < 0 thì g ( t − τ )= 0, t < τ và ta viết lại (1.4.4 ) như sau
L

∞ ∞

( t )}.L { g ( t )} ∫ ∫ e
{ f=

− st

f (τ ) g ( t − τ ) dt dτ .

0 0

Do biến đổi Laplace của f và g hội tụ đều nên ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân
[Định lý B.2 – Trang 102].


14

L

∞ ∞

( t )}. L { g ( t )} ∫ ∫ e
{f=

− st

f (τ ) g ( t − τ ) dτ dt

0 0

 t − st

= ∫  ∫ e f (τ ) g ( t − τ ) dτ  dt
00

∞
t


= ∫ e − st  ∫ f (τ ) g ( t − τ ) dτ  dt

0
0

= L {( f ∗ g )( t )}.
∞

1.5 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace
Định lý 1.5.1 (Đạo hàm của biến đổi Laplace)
Nếu L

{ f ( t )} = f ( s ) ,

f là hàm gốc có chỉ số tăng là α 0 thì

n
n ∂
L {t n f ( t )} =
−
1
( ) n f ( s ) , Re s > α 0
∂s

(1.5.1)

trong đó n = 0,1, 2,3,....

Chứng minh
Theo định lý 1.2.2 biến đổi Laplace của hàm f hội tụ đều và các điều kiện còn
lại trong định lý trên thỏa mãn [Định lý B.4 – Trang 103]. Khi đó, đạo hàm theo s
bên trong dấu tích phân của (1.1.1) được cho phép

∂
∂ ∞ − st
=
f (s) =
e f ( t ) dt
∂s
∂s ∫0

∞

∫
0

∂ − st
e f ( t ) dt
∂s

∞

=
− ∫ t f ( t ) e − st dt =
− L {t f ( t )}

(1.5.2 )

0

Tương tự, ta có

Tổng quát

∂2
f (s) =
∂s 2

( −1)

∂3
f (s) =
∂s 3

( −1)

2

L {t 2 f ( t )} ,

(1.5.3)

3

L {t 3 f ( t )} .

(1.5.4 )


15

∂n
f (s) =

∂s n

( −1)

n

L {t n f ( t )} .

(1.5.5)

Định lý 1.5.2 (Tích phân của biến đổi Laplace)
Cho L

{ f ( t )} = f ( s ) . Nếu f ( t )

t là hàm gốc với chỉ số tăng là α 0 thì
 f (t )  ∞
L 
 = ∫ f ( u ) du.
t

 s

(1.5.6 )
Chứng minh
Đặt
∞

G ( s ) = ∫ e − st
0

f (t )
dt
t

Theo định lý 1.5.1 ta có
∞

∞

− ∫ e − st f ( t ) dt =
− f ( s ).
G′ ( s ) =
∫ e ( −t ) f ( t ) dt =
− st

0

0

Ta có
∞

∫
s

∞

(1.5.7 )

− ∫ G′ ( u ) du =
f ( s ) ds =
G ( s ) − G ( ∞ ).
s

Mặt khác
∞

G ( s ) ≤ ∫ e − xt
0

∞
f (t )
dt ≤ M ∫ e( − x +α
t
0
∞

0 +ε

)t

dt

e( − x +α +ε )t
M
= M
=
,
− x + α 0 + ε t =0

x − α0 − ε
0

Chọn ε > 0 sao cho Re s =x > α 0 + ε .
Cho s → ∞ ta được G ( ∞ ) =0 . Thay vào (1.5.7 ) ta có
 f (t )  ∞
L 
 = ∫ f ( u ) du.
 t  s

Định lý đã được chứng minh.


16

Ví dụ 1.5.1
 sin at 
−1  a 
Tính L 
 = tan   ,
 t 
s

Ta có
∞
ds
ds
1∞
 sin at 
L=


 a=
2
∫
∫
2
2
a s 1+ (s a)
 t 
s s +a

π
s
a
tan −1   .
=
− tan −1   =
2
a
s

Định lý 1.5.3 (Biến đổi Laplace của tích phân)
Nếu L

{ f ( t )} = f ( s )

và f là hàm liên tục thì

t
 f (s)

L  ∫ f (τ ) dτ  =
s
0


(1.5.8)

Chứng minh
Đặt
g (t ) =

t

∫ f (τ ) dτ
0

sao cho g ( 0 ) = 0 , g ′ ( t ) = f ( t ) và g liên tục.
Gọi α 0 là chỉ số tăng của hàm f , thì với mọi 0 < ε < 1 . Khi đó
t

t

0

0

g ( t ) ≤ ∫ f (τ ) dτ ≤ M ∫ e(α
=

M

e (α
α0 + ε

0 +ε

)τ

t

τ =0

0 +ε

)τ

dτ

< M 1e(α

0 +ε

)t

.

Vậy g là hàm gốc. Do đó
=
f (s) L

( t )} L

{ f=

t

′
=
=
g
t
sg
s
s
L
( )
{ ( )}
 ∫ f (τ ) dτ  .
0


Chia cả hai vế cho s , ta được (1.5.8 ) . Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ 1.5.2
Hãy sử dụng kết quả (1.5.8 ) để tìm


17

t

(a) L  ∫ τ n e − aτ dτ  ,

0

t

trong đó Si ( at ) = ∫
0

sin aτ

τ

1
a 
(b) L {Si ( at )} = tan −1   ,
s
s

dτ .

(a) Ta có
L {t n e − at } =

n!

( s + a)

n +1

.

Theo (1.5.8 ) ta có
t

n!
L  ∫ τ n e − aτ dτ  =
.
n +1
0
 s (s + a)

(b) Theo công thức (1.5.8 ) và ví dụ 1.5.1, ta có
 t sin aτ  1
a
L ∫
dτ  = tan −1   .
s
0 τ
 s

1.6 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ
Cho hàm số g ( t ) xác định trên trục thực R . Ta nói g được biểu diễn bởi tích
phân Fourier nếu với mọi t ta có
1
1
 g ( t + 0 ) + g ( t − 0 )  =
2
2π

∞

∫

eiτ t

−∞

∞

∫ g ( x) e

− iτ x

dxdτ

(1.6.1)

−∞

Phương trình (1.6.1) được gọi là công thức Fourier.

Định lý 1.6.1
Cho f là hàm gốc liên tục từng khúc trên [ 0,∞ ) với chỉ số tăng α 0 . Khi đó
=
f (t )

1 c +i∞ st
e f ( s ) ds,
2π i c −∫i∞

Công thức (1.6.2 ) được gọi là công thức Mellin.

Chứng minh

c > α0 .

(1.6.2 )


18

Giả sử f ( t ) là hàm gốc và có một giá trị c sao cho f ( t ) e − ct là một hàm khả
tích tuyệt đối trên [ 0,∞ ) . Đặt g ( t ) = f ( t ) e − ct . Giả sử rằng các điểm gián đoạn của
g ( t ) thỏa mãn phương trình (1.6.1) và để đơn giản cách ghi ta viết

g (=
t)

1
 g ( t + 0 ) + g ( t − 0 ) 
2

Khi đó công thức (1.6.1) trở thành
1
g (t ) =
2π

∞

∞

∫ e ∫ g ( x) e
iτ t

−∞

− iτ x

dxdτ

(1.6.3)

−∞

Do f ( t ) triệt tiêu khi t < 0 nên g ( t ) cũng bị triệt tiêu khi t < 0 . Khi đó phương
trình (1.6.3) trở thành
1
g (t ) =
2π

∞

∞

∫ e ∫ g ( x) e
iτ t

−∞

− iτ x

dxdτ

0

Do đó
e

− ct

∞

1
f (t ) =
2π

∞

∫ e ∫ g ( x) e
iτ t

−∞

− iτ x

dxdτ

0

Tương đương,
1

f (t ) =
2π

∞

∫e

( c + iτ )t

−∞

∞

∫ f ( x) e

− ( c + iτ ) x

dxdτ

(1.6.4 )

0

Do f ( t ) e − ct khả tích tuyệt đối nên trên đường thẳng s= c + iτ ( −∞ < τ < ∞ ) thì
biến đổi f ( s ) hội tụ với mọi τ và do đó nó sẽ hội tụ trong nửa mặt phẳng

Re s= x ≥ c . Ngoài ra, f ( s ) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Re s= x > c .
Khi x = c , ta có
∞

− ( c + iτ )t
f ( c + iτ ) =
dt
∫ f (t ) e
0

Từ (1.6.4 ) ta suy ra
=
f (t )

1
2π

∞

∫e

−∞

( c + iτ )t

f ( c + iτ ) dτ


19

Đặt s= c + iτ ta có
f (t )
=

1 c +i∞ st
e f ( s ) ds,
2π i c −∫i∞

c > α0 .

Định lý đã được chứng minh.
Tuy nhiên trong tính toán, để tìm biến đổi Laplace ngược của một hàm f ( s )
cho trước chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây

(i) Dùng khai triển phân thức
Nếu
f (s) =

p (s)
,
q (s)

(1.6.5)

trong đó p ( s ) và q ( s ) là các đa thức, bậc của p ( s ) thì nhỏ hơn bậc của
q ( s ).

Phương pháp này có thể được sử dụng để biểu diễn f ( s ) thành tổng các số
hạng mà các số hạng này có thể tìm được biến đổi Laplace ngược dựa vào bảng
biến đổi Laplace. Để minh họa cho phương pháp này ta xét các ví dụ sau đây

Ví dụ 1.6.1
Tìm
L

−1



1



,
s
s
a
−
(
)





trong đó a là hằng số.
Ta có



1
1
1 


−1 
−1  1 
L=
− 

 L  

 a  s − a s 
 s ( s − a) 

1  −1  1 
−1  1  
L
L
=
−


 
a 
s − a
 s 
=

1 at
( e − 1) .
a


20

Ví dụ 1.6.2
Tìm
−1

L



1


 2
2
2
2 
 ( s + a )( s + b ) 



Ta có

L

−1



1
1  −1 1

1 


L  2
=
− 2
 2

2
2 
2
2 
2
2
2
b
a
s
a
s
b
−
+
+
s
a
s
b
+
+



(
)(
)





1  sin at sin bt 
= 2
−

.
b − a2  a
b 

Ví dụ 1.6.3
Tìm
L

−1

s+7


 2
.
 s + 2s + 5 

Ta có
L

−1

 s+7 



=L
2
+
+
s
1
4
(
)





−1

 s +1+ 6 




2
2 
 ( s + 1) + 2 





s +1


+ 3L


2
2
+
+
s
1
2
(
)




−t
−t
= e cos 2t + 3e sin 2t.

= L

−1

−1

Ví dụ 1.6.4
Tìm biến đổi Laplace ngược sau

L
Ta có

−1



2 s 2 + 5s + 7



.
2
−
+
+
s
2
s
4

s
13
(
)
(
)







2




2
2

 ( s + 1) + 2 



21

L

−1



2 s 2 + 5s + 7


=L


2
−
+
+
s
2
s
4
s
13
(
)
(
)





−1

 1

s+2
1


+
+


2
2
2
( s + 2 ) + 32 

 s − 2 ( s + 2) + 3



s+2



2
2 

 ( s + 2) + 3 




1
3


+ L −1 
2
2 
3
 ( s + 2) + 3 


1
=
e 2 t + e −2 t cos 3t + e −2 t sin 3t.
3

= L

−1

 1 

+ L
s − 2

−1

(ii) Dùng tích chập
Chúng ta sẽ áp dụng tích chập để tìm hàm ngược của biến đổi Laplace.

Ví dụ 1.6.5
L

−1

t
e at − 1)


(
1


at
aτ
1 e =

 =∗
∫0 e dτ = a .
s
s
a
−
(
)





Ví dụ 1.6.6
L

−1



1
sin at
t
=
∗
 2 2

2
a
 s ( s + a ) 
1 t
=
( t − τ ) sin aτ dτ
a ∫0
t t
1 t
sin aτ dτ − ∫ τ sin aτ dτ
=
a ∫0
a 0
=

Ví dụ 1.6.7

1 1

t − sin at  .
2 
a  a



22

L

−1



1
1


at

 = ∗ e , ( a > 0)
πt

 s ( s − a) 

1 t 1 a( t −τ )
=

∫ e dτ

π

 1 
  =1
 s

(

2

=

−1

τ

2e at at − x
=
x
∫ e dx,
πa 0

=

trong đó L

0

e at
erf
a

(

at

)

)
(1.6.6 )

at .

π t [Ví dụ A.1.11 – Trang 98] và hàm erf ( t ) được định

nghĩa bởi tích phân sau
erf ( t ) =

2

π

t

∫e

− x2

dx

(1.6.7 )

0

(iii) Dùng chu tuyến
Ta đã biết hàm ngược của biến đổi Laplace được định nghĩa bởi công thức tích
phân phức
L

−1

s )}
{ f (=

f=
(t )

1 c +i∞ st
e f ( s ) ds,
2π i c −∫i∞

(1.6.8)

trong đó c là hằng số và f ( s ) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng phức bên
phải có Re s > α 0 .
Để tính tích phân (1.6.8 ) ta dựa vào tính chất của các điểm kì dị của f ( s ) .
Thông thường f ( s ) là hàm đơn trị với hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các cực
điểm. Nếu hàm đã cho f ( s ) là hàm đa trị thì nó có điểm rẽ nhánh. Đường lấy tích

phân là đường thẳng L (hình 1.6a) trong mặt phẳng phức s có phương trình là
s= c + iR, −∞ < R < ∞, Re s = c được chọn sao cho tất cả các điểm kì dị của hàm

dưới dấu tích phân đều nằm bên trái đường thẳng L. Đường này L gọi là đường