các khái niệm cơ bản của giải tích đa trị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Sĩ Trung

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH
ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Sĩ Trung

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH
ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


MỤC LỤC

MỤC LỤC .................................................................................................................... 1
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ...................................................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 5
1.1. Cơ sở của không gian topo – Topo yếu ......................................................................5
1.1.1. Cơ sở của không gian topo ......................................................................................5
1.1.2. Topo yếu ..................................................................................................................5
1.2. Các topo đặc biệt cảm sinh từ một topo cho trước ...................................................5
1.3. Nón lồi – Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến ..............................................................7
1.3.1. Nón lồi .....................................................................................................................7
1.3.2. Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến............................................................................7
1.4. Hàm lồi – Định lí tách tập lồi ......................................................................................7
1.5. Tính liên tục của ánh xạ đơn trị .................................................................................7
1.6. Phân hoạch đơn vị........................................................................................................8
1.6.1. Giá của một hàm số .................................................................................................8
1.6.2. Phân hoạch đơn vị ...................................................................................................8
1.7. Ánh xạ đa trị – Một số ánh xạ đa trị đặc biệt ...........................................................9
1.7.1. Ánh xạ hợp ..............................................................................................................9
1.7.2. Ánh xạ đa trị có giá trị đóng – Miền vững ..............................................................9
1.7.3. Ánh xạ đa trị có giá trị lồi .....................................................................................10
1.7.4. Ánh xạ đa trị đóng .................................................................................................10
1.7.5. Ánh xạ đa trị lồi .....................................................................................................10
1.7.6. Quá trình lồi ..........................................................................................................10
1.7.7. Ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương .......................................................................13
1.7.8. Hàm tựa của ánh xạ đa trị – Ánh xạ đa trị hemi liên tục.......................................13
1.7.9. Tính liên tục của ánh xạ đa trị ...............................................................................13

CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ
..................................................................................................................................... 17
2.1. Các tính chất về tính liên tục, liên thông, compact .................................................17

2.2. Các tính chất về tính đóng – mở, lồi.........................................................................23
2.2.1. Định lí ánh xạ mở ..................................................................................................23
2.2.2. Định lí đồ thị đóng ................................................................................................24
2.2.3. Nguyên lí bị chặn đều............................................................................................26
1


2.2.4. Định lí về sự tồn tại điểm cân bằng .......................................................................28
2.2.5. Định lí điểm bất động Ky Fan – Định lí điểm bất động Kakutani ........................29

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 37

2


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
(X )

Tập các tập con của X

, 

Tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số vô tỉ



Tập hợp số thực suy rộng

TK ( x )

Nón tiếp tuyến tại x

NK ( x)

Nón pháp tuyến tại x

supp f

Giá của hàm f

F : X Y

Ánh xạ đa trị F

rgeF

Miền ảnh của F

domF

Miền hữu hiệu của F

gphF

Đồ thị của F

X*

Không gian liên hợp của X

F

Chuẩn của ánh xạ đa trị F

B ( 0 X ,1)

Hình cầu đơn vị đóng trong X

CF ( p, x )

Hàm tựa của ánh xạ đa trị F

d ( a, M )

Khoản cách từ điểm a đến tập M

3


MỞ ĐẦU
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới mặc dù từ những năm 30 của
thế kỷ XX, các nhà toán học đã nhận ra tầm quan trọng của chúng. Sự ra đời của tạp chí
quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát triển của
hướng nghiên cứu này.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lí thuyết phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiên, tối ưu đa mục tiêu và toán kinh tế. Hiện
nay hầu như các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của các bài toán tối ưu phụ thuộc tham
số đều được viết bằng ngôn ngữ giải tích đa trị.
Trong luận văn này, chúng ta sẽ xem xét một số khái niệm và tính chất của ánh xạ đa

trị dưới góc độ, công cụ quen thuộc của ánh xạ đơn trị. Từ đó có thể tìm ra những kết quả,
chứng minh tương tự như việc chứng minh các tính chất của ánh xạ đơn trị. Luận văn được
trình bày gồm hai chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số kiến thức về ánh xạ đơn trị. Đồng thời giới thiệu
các khái niệm và tính chất cơ bản về ánh xạ đa trị
Chương II: Mối quan hệ giữa ánh xạ đa trị và ánh xạ đơn trị
Chương này giới thiệu một cách nhìn khác về ánh xạ đa trị. Bằng các công cụ
của ánh xạ đơn trị, chúng ta sẽ xem xét các tính chất, các chứng minh tính chất của ánh xạ
đa trị. Ngược lại khi ta xem ánh xạ đơn trị là một ánh xạ đa trị đặc biệt thì ta sẽ thu được
những kết quả đã biết của ánh xạ đơn trị.

4


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Cơ sở của không gian topo – Topo yếu
1.1.1. Cơ sở của không gian topo
Định nghĩa 1.1. Cho không gian topo ( X ,τ ) . Một họ B các tập con của X gọi là
cơ sở của topo τ nếu mọi tập mở V chứa x đều có một tập mở G thoả mãn G ∈ B và

x ∈G ⊂ V .
Định lí 1.1. Cho X ≠ ∅ . Nếu họ B các tập con của X thoả mãn:
i.

G= X

G∈ B

ii. ∀G1 , G2 ∈ B, ∀x ∈ G1  G2 , ∃G ∈ B : x ∈ G ⊂ G1  G2

thì tồn tại một topo trên X nhận B làm cơ sở.
1.1.2. Topo yếu
Định nghĩa 1.2. Cho không gian Banach X . Ta gọi topo yếu trên X là topo yếu
nhất xác định trên X để mọi hàm f ∈ X * là liên tục.

1.2. Các topo đặc biệt cảm sinh từ một topo cho trước
Cho không gian topo ( X ,τ ) và  ( X ) là họ tất cả các tập con của X . Với mỗi tập
mở G ⊂ X , ta đặt:

0 ( X ) :  ( X ) \ {∅}
+ =
+

[, G ] :=
{ A ∈ 0 ( X ) : A ⊂ G=
} và  : {[, G ] : G ∈τ }

+

I G=:

và  : {I
{ A ∈  ( X ) : A G ≠ ∅} =
0

G

: G ∈τ }

Mệnh đề 1.1. Các họ  ,  lần lượt là cơ sở của một topo trên 0 ( X ) mà ta sẽ kí

hiệu là τ X ,τ X . Khi đó, ta kí hiệu τ X là topo trên 0 ( X ) sinh bởi  và  .
Chứng minh: Ta sẽ sử dụng Định lí 1.1 để chứng minh các họ  ,  lần lượt là cơ sở của
một topo trên 0 ( X ) .
i. Chứng minh  là cơ sở của một topo trên 0 ( X ) .

5


G = X

Do

 [, G ] =  ( X ) .

nên

[ ,G ]∈

G∈τ

0

Lấy

[, G1 ] , [, G2 ] ∈ 

tuỳ ý, với mọi

A ∈ [ , G1 ]  [ , G2 ] ta có:

A ∈ , G1  G2  vì A ⊂ G1 và A ⊂ G2

+

+ , G1  G2  ⊂ [ , G1 ]  [ , G2 ]
ii. Chứng minh  là cơ sở của một topo trên 0 ( X ) .
Do

G = X

nên

G∈τ

I

G

I G ∈

= 0 ( X ) . Lấy I G1 , I G2 ∈  tuỳ ý, với mọi A ∈ I G1  I G2 ta

có:
+

A ∈ IG

1

+ IG

1

 G2

 G2

(

) (

vì A G1  G2 = A G1

)  ( A G )
2

⊂ I G1  I G2

Nhận xét. Với G1 , G2 ,..., Gn ∈τ X khác rỗng tuỳ ý, ta đặt:
n


B ( G1 ,..., Gn=
)  A ∈ 0 ( X ) : A ⊂  Gk và A Gk ≠ ∅ 
k =1



Khi đó, họ tất cả các tập có dạng B ( G1 ,..., Gn ) là một cơ sở của τ X mà ta kí hiệu là


Để hiểu rõ hơn về các định nghĩa trên, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.1. Cho không gian  với topo τ thông thường.
1. Với một khoảng mở G tuỳ ý, họ  ( G ) tất cả các tập con của nó là một tập
mở trong τ  . Hơn nữa, một tập mở tuỳ ý trong τ  luôn được biểu diễn dưới dạng hợp của
các tập mở có dạng nói trên.
2. Với một khoảng mở ( a, b ) tuỳ ý, họ tất cả các tập có dạng A { x} là một tập
mở trong τ  trong đó x ∈ ( a, b ) và A ⊂  bất kì. Hơn nữa, một tập mở tuỳ ý trong τ  luôn
được biểu diễn dưới dạng hợp của các tập mở có dạng nói trên.

6


1.3. Nón lồi – Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến
1.3.1. Nón lồi
Định nghĩa 1.3. Trong một không gian định chuẩn, tập K được gọi là nón lồi nếu:
i. 0 ∈ K
ii. ∀x, y ∈ K ; ∀λ , µ > 0 : λ x + µ y ∈ K
1.3.2. Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến
Định nghĩa 1.4. Cho K là một tập lồi trong không gian tuyến tính topo X . Nón tiếp
tuyến TK ( x ) của K tại x ∈ K là tập hợp được cho bởi công thức:
TK ( x ) = {t ( y − x ) : y ∈ K , t ≥ 0}

Định nghĩa 1.5. Cho K là một tập lồi trong không gian tuyến tính topo X . Nón
pháp tuyến N K ( x ) của K tại x ∈ K là tập hợp được cho bởi công thức:
N K ( x ) = (TK ( x ) )

*

=

{f ∈X

*

: f ( v ) ≤ 0, ∀v ∈ TK ( x )}

1.4. Hàm lồi – Định lí tách tập lồi
Định nghĩa 1.6. Cho X là không gian tuyến tính và f : X →  . Khi đó f được gọi
là hàm lồi nếu với mọi λ ∈ [ 0,1] và với mọi x, y ∈ X ta đều có:
f λ x + (1 − λ ) y  ≤ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y )

Nếu − f là hàm lồi thì ta nói f là hàm lõm
Định lí 1.2. Cho X là không gian Banach và A, B là hai tập lồi đóng có giao bằng
rỗng. Khi đó, nếu A là tập compact thì tồn tại p ∈ X *  {0} sao cho:
sup p ( x ) < inf p ( y )
y∈B

x∈ A

1.5. Tính liên tục của ánh xạ đơn trị
Định nghĩa 1.7. Cho không gian topo ( X ,τ X ) . Hàm f : X →  được gọi là nửa liên
tục trên tại x0 nếu với mọi α > f ( x0 ) , tồn tại U ∈τ X chứa x0 sao cho:

f ( x ) < α , ∀x ∈U

7


Định nghĩa 1.8. Cho không gian topo ( X ,τ X ) . Hàm f : X →  được gọi là nửa liên

tục dưới tại x0 nếu với mọi α < f ( x0 ) , tồn tại U ∈τ X chứa x0 sao cho:

f ( x ) > α , ∀x ∈U
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ f đi từ không gian topo

(Y ,τ Y )

( X ,τ X )

đến không gian topo

được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi V ∈τ Y chứa f ( x0 ) , tồn tại U ∈τ X

chứa x0 sao cho f (U ) ⊂ V .

1.6. Phân hoạch đơn vị
1.6.1. Giá của một hàm số
Định nghĩa 1.10. Cho f : X →  là hàm số xác định trên không gian topo X . Giá
của f là tập hợp được xác định bởi công thức:
suppf =
{ x ∈ X : f ( x ) ≠ 0}

1.6.2. Phân hoạch đơn vị
Định lí 1.3. Cho K là không gian metric compact và {Vα }α ∈ A là một phủ mở của K .

1, 2,..., n ) thoả mãn:
Khi đó tồn tại hữu hạn các hàm liên tục fi : K →  ( i =
i.

0 ≤ fi ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ K , ∀i ∈ {1, 2,..., n}

n

ii.

∑ f ( x ) = 1, ∀x ∈ K
i =1

iii.

i

Với mỗi i ∈ {1, 2,...n} , tồn tại α ∈ A sao cho suppfi ⊂ Vα

Chứng minh chi tiết của định lí trên có thể xem trong [1, trang 28] .

Định nghĩa 1.11. Họ các hàm liên tục

{ fi }i =1,..., n

có các tính chất ( i ) , ( ii ) , ( iii ) trong

định lí trên được gọi là một phân hoạch đơn vị của K tương thích với phủ mở {Vα }α ∈ A
Định lí 1.4(Bất đẳng thức Ky Fan). Cho K là tập lồi, compact trong không gian
Banach X và f : K × K →  là hàm số thoả mãn các điều kiện:
i.

∀y ∈ K , f ( , y ) là hàm số nửa liên tục dưới

8

ii.

∀x ∈ K , f ( x, ) là hàm lõm

iii.

∀x ∈ K , f ( x, x ) ≤ 0

Khi đó, tồn tại x0 ∈ K sao cho f ( x0 , y ) ≤ 0, ∀y ∈ K
Chứng minh chi tiết của định lí trên có thể xem trong [1, trang 31] .

1.7. Ánh xạ đa trị – Một số ánh xạ đa trị đặc biệt
Cho X , Y là hai tập hợp bất kì. Một ánh xạ F đi từ X vào tập hợp  (Y ) gồm toàn
bộ các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị, kí hiệu F : X  Y . Như vậy với mỗi

x ∈ X , F ( x ) là một tập hợp con của Y . Không loại trừ khả năng là với một số phần tử

x ∈ X nào đó ta có F ( x ) là tập rỗng.

{ x ∈ X : F ( x ) ≠ ∅}

+ Miền hữu hiệu của F là domF=:
+ Đồ thị của F là gph=
F:

{( x, y ) ∈ X × Y : y ∈ F ( x )}

+ Miền ảnh của F là rgeF :=

{ y ∈ Y : ∃x ∈ X

sao cho y ∈ F ( x )}

+ Với tập U ⊂ X bất kì, ta kí hiệu F (U ) :=  F ( x )
x∈U

1.7.1. Ánh xạ hợp
Định nghĩa 1.13. Cho F : X  Y và G : Y  Z là hai ánh xạ đa trị. Ánh xạ đa trị

G  F được cho bởi công thức ( G  F )( x ) =

 G ( y)

y∈F ( x )

với mọi x ∈ X được gọi là ánh xạ

hợp của F và G

1.7.2. Ánh xạ đa trị có giá trị đóng – Miền vững
Định nghĩa 1.14. Cho hai không gian topo

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

và ánh xạ đa trị

F : X  Y . Nếu F ( x ) là tập đóng với mọi x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian Banach và F : X  X là ánh xạ đa trị có
giá trị đóng. Tập lồi K ⊂ domF được gọi là một miền vững của F nếu với mọi x ∈ X , ta

có F ( x )  TK ( x ) ≠ ∅

9


1.7.3. Ánh xạ đa trị có giá trị lồi
Định nghĩa 1.16. Cho X là không gian topo và Y là không gian tuyến tính topo.
Ánh xạ đa trị F : X  Y được gọi là ánh xạ có giá trị lồi nếu F ( x ) là tập lồi với mọi

x∈ X

1.7.4. Ánh xạ đa trị đóng
Định nghĩa 1.17. Cho hai không gian topo

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

và ánh xạ đa trị

F : X  Y . Nếu gphF là tập đóng trong không gian topo tích X × Y thì ta nói F là ánh xạ
đa trị đóng

1.7.5. Ánh xạ đa trị lồi
Định nghĩa 1.18. Cho hai không gian tuyến tính topo X , Y và ánh xạ đa trị

F : X  Y . Nếu gphF là tập lồi trong không gian tích X × Y thì ta nói F là ánh xạ đa trị
lồi
Định lí 1.5 (Định lí Robinson-Ursescu). Cho hai không gian Banach X , Y và

F : X  Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng. Giả sử y0 ∈ F ( x0 ) và y0 ∈ int ( rgeF ) . Khi đó tồn tại
 > 0 và γ > 0 sao cho với mỗi y ∈ B ( y0 , γ ) , tồn tại x ∈ F −1 ( y ) thoả mãn:

x − x0 ≤  y − y0
Xem thêm chứng minh của định lí này tại [1, trang 38] .

1.7.6. Quá trình lồi
Định nghĩa 1.18. Cho X , Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ F : X  Y được
gọi là một quá trình lồi nếu gphF là nón lồi trong không gian tích X × Y . Hơn nữa, nếu

gphF là nón lồi đóng trong X × Y thì F được gọi là một quá trình lồi đóng.
Mệnh đề 1.2. Cho hai không gian Banach X , Y và F : X  Y là một quá trình lồi
đóng. Khi đó, ánh xạ đa trị F −1 : Y  X được cho bởi công thức
F −1 ( y ) =

{ x ∈ X : y ∈ F ( x )} , ∀y ∈ Y
10


cũng là một quá trình lồi đóng.
Chứng minh:
Để chứng minh F −1 là một quá trình lồi đóng, ta cần chứng minh gphF −1 là nón lồi
đóng trong không gian Y × X . Thật vậy, với λ , µ ≥ 0 và ( y1 , x1 ) , ( y2 , x2 ) ∈ gphF −1 tuỳ ý, ta
có:
 x1 ∈ F −1 ( y1 )
 y ∈ F ( x1 )
( x , y ) ∈ gphF
⇒ 1
⇒ 1 1

−1
 x2 ∈ F ( y2 )  y2 ∈ F ( x2 ) ( x2 , y2 ) ∈ gphF

⇒ λ y1 + µ y2 ∈ F ( λ x1 + µ x2 ) ⇒ λ x1 + µ x2 ∈ F −1 ( λ y1 + µ y2 )
Do đó, F −1 là một quá trình lồi. Hơn nữa với mọi dãy
gphF −1 hội tụ về

( y, x ) ,

lập luận tương tự như trên ta có dãy

{( y , x )}
n

n

n∈

{( x , y )}
n

n

n∈

chứa trong
chứa trong

gphF và hội tụ về ( x, y ) . Vì F là quá trình lồi đóng nên ( x, y ) ∈ gphF hay ( y, x ) ∈ gphF −1
Định nghĩa 1.19. Cho F : X  Y là một quá trình lồi đóng. Chuẩn của F là một số
thực suy rộng được cho bởi công thức:

F =

d ( 0Y , F ( x ) )

sup

x∈domF \{0}

x

M ) : inf a − x là khoảng cách từ a đến M .
trong đó d ( a,=
x∈M

Ví dụ sau đây cho thấy một trường hợp vô hạn của F .
Ví dụ 1.2. Cho [ 0, +∞ ) là không gian định chuẩn với chuẩn Euclid, C ([ 0, +∞ ) ,  ) là
không gian các hàm số liên tục trên [ 0, +∞ ) với chuẩn

f = sup
t >0

f (t )
t

Khi đó, ánh xạ đa trị F : [ 0, +∞ )  C ([ 0, +∞ ) ,  ) xác định bởi công thức:

=
F ( x)

f (t )
{=

α

α t 2 : α ≥ x} , ∀x ∈ [ 0, +∞ )

là một quá trình lồi đóng với F là vô hạn.
Ta sẽ chứng minh F là quá trình lồi đóng:

(

)(

)

+ Lấy λ , µ ≥ 0 và x1 , fα1 , x2 , fα 2 ∈ gphF tuỳ ý. Khi đó ta có:
11


λ fα ( t ) + µ fα ( t ) =
( λα1 + µα 2 ) t 2
1

2

(λ f

=

α1

+ µ fα 2

(

)

) (t )
(

)

với λα1 + µα 2 ≥ λ x1 + µ x2 . Từ đó suy ra λ x1 , fα1 + µ x2 , fα 2 ∈ gphF . Vậy gphF là hình
nón lồi trong không gian tích. Do đó, F là một quá trình lồi.
+ Lấy dãy

{( x , f )}
αn

n

n∈

hội tụ về ( x, y ) , ta cần chứng minh ( x, y ) ∈ gphF hay

tồn tại α ≥ x sao cho y = fα . Thật vậy, do

{f }
αn

n∈

là dãy các đơn thức bậc hai, hội tụ về

y theo chuẩn sup nên y cũng là một đơn thức bậc hai. Do đó, tồn tại α ∈  sao cho

y ( t ) = α t 2 . Hơn nữa, do:

α n −=
α

fα n (1) − y (1)

≤ fα n − y
nên lim α n = α . Mặt khác, do lim xn = x và α n ≥ xn , ∀n ∈  nên ta có α ≥ x . Vậy
n →+∞

n →+∞

y ∈ F ( x ) . Do đó, gphF là tập đóng trong không gian tích. Khi đó với mỗi x > 0  và với
mỗi fα ∈ F ( x ) ta có:

fα = sup

f (t )
t

t ≠0

= sup
t >0

αt2
t

= sup (α t )
t >0

= +∞
Vì vậy với mọi x > 0 , d ( 0, F ( x ) ) = inf

fα ∈F ( x )

F = sup

d ( 0, F ( x ) )
x

x≠0

= sup
x >0

+∞
x

= +∞

12

fα = +∞ . Từ đó suy ra:

1.7.7. Ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương
Định nghĩa 1.20. Cho X , Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị

F : X  Y . Ta nói F là Lipschitz địa phương tại x ∈ int ( domF ) nếu tồn tại  > 0 và δ > 0
sao cho:
F ( x2 ) ⊂ F ( x1 ) +  x2 − x1 B ( 0Y ,1)

với mọi x1 , x2 ∈ B ( x, δ )

1.7.8. Hàm tựa của ánh xạ đa trị – Ánh xạ đa trị hemi liên tục
Định nghĩa 1.21. Cho X là không gian metric và Y là không gian định chuẩn. Hàm
tựa của ánh xạ đa trị F : X  Y là hàm số đi từ Y * × X vào  được cho bởi công thức:
=
CF ( p, x ) sup { p ( y ) : y ∈ F ( x )}

trong đó Y * là không gian đối ngẫu của Y ,  =

[ −∞, +∞ ]

Định nghĩa 1.22. Cho X là không gian metric và Y là không gian định chuẩn. Ánh
xạ đa trị F : X  Y được gọi là hemi liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mỗi p ∈ Y * , hàm
số C p ( p, ) là nửa liên tục trên tại x . Ta nói F là hemi liên tục trên ở trong X nếu nó là
hemi liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF

1.7.9. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.23. Cho hai không gian topo

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

và ánh xạ đa trị

F : X  Y . F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ domF nếu với mọi V ∈τ Y thoả mãn
F ( x0 )  V ≠ ∅ luôn tồn tại U ∈τ X chứa x0 sao cho:
F ( x )  V ≠ ∅, ∀x ∈U  domF

Định nghĩa 1.24. Cho hai không gian topo

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

và ánh xạ đa trị

F : X  Y . F được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ domF nếu với mọi V ∈τ Y thoả mãn
F ( x0 ) ⊂ V luôn tồn tại U ∈τ X chứa x0 sao cho:

F ( x ) ⊂ V , ∀x ∈U

13


Định nghĩa 1.25. Cho hai không gian topo

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

và ánh xạ đa trị

F : X  Y . F được gọi là liên tục tại x0 ∈ domF nếu F là nửa liên tục trên tại x0 và nửa
liên tục dưới tại x0 .

Để hiểu rõ hơn về các định nghĩa trên, ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 1.3. Ánh xạ đa trị F :    được cho bởi công thức:
,x<0
{0}

0
F ( x) =
[ −1,1] , x =
{1}
,x>0


là nửa liên tục trên ở trong  nhưng không nửa liên tục dưới tại x = 0
Ví dụ 1.4. Ánh xạ đa trị F :    được cho bởi công thức:

[ 0,1]
, x∈
F ( x) = 
[ −1, 0] , x ∉ 
là ánh xạ đa trị không nửa liên tục trên, không nửa liên tục dưới ở bất kì điểm x ∈  nào.
Ví dụ 1.5. Cho ánh xạ đa trị F :    được cho bởi công thức:

[ x, x + 1) , x < 0

F ( x) =
,x=
0
[ −1,1]
[ x, +∞ ) , x > 0

Với topo thông thường trên  , ánh xạ đa trị F được cho như trên là nửa liên tục

dưới tại mỗi x ∈  \ {0} và nửa liên tục trên tại mỗi x ∈ ( 0, +∞ ) . Thật vậy:

14


Hình 1.1. Biểu diễn của F trên mặt phẳng toạ độ
i. Tính nửa liên tục dưới của F
+ Lấy x0 < 0  và tập V mở tuỳ ý thoả mãn V  F ( x0 ) ≠ ∅ . Khi đó, tồn tại
khoảng mở ( a, b ) chứa trong V  [ x0 , x0 + 1) . Với ε > 0 thoả mãn:

ε < min {a − x0 , x0 + 1 − b, − x0 }
Do

x0 + ε < a, b < x0 − ε + 1

và

F ( x0 − ε ) ⊂ F ( x ) ⊂ F ( x0 + ε )

nên

F ( x )  ( a, b ) ≠ ∅ với mọi x ∈ ( x0 − ε , x0 + ε )

+ Lấy x0 > 0  và tập V mở tuỳ ý thoả mãn V  F ( x0 ) ≠ ∅ . Khi đó, tồn tại
khoảng mở ( a, b ) chứa trong V  [ x, +∞ ) . Với ε > 0 thoả mãn

ε < min {a − x0 , x0 }
Do

 x0 − ε < x0 + ε < a


 F ( x0 + ε ) ⊂ F ( x ) ⊂ F ( x0 − ε )
nên F ( x )  ( a, b ) ≠ ∅ với mọi x ∈ ( x0 − ε , x0 + ε )
Do đó, F nửa liên tục dưới tại x0 ∈  \ {0} tuỳ ý. Tuy nhiên tại x = 0 , F

không

nửa liên tục dưới vì ( −1, 0 )  F ( 0 ) ≠ ∅ nhưng với mọi x > 0 , ( −1, 0 )  F ( x ) =
∅.
ii. Tính nửa liên tục trên của F
Với x 0 > 0  tuỳ ý và với tập mở bất kì V thoả mãn [ x, +∞ ) ⊂ V , tồn tại a < x   thoả

 x +a

, +∞  , ta có F ( x ) ⊂ ( a, +∞ ) . Do đó
mãn [ x, +∞ ) ⊂ ( a, +∞ ) ⊂ V . Khi đó với mỗi x ∈  0
 2

F nửa liên tục trên tại x0 ∈ ( 0, +∞ ) tuỳ ý. Tuy nhiên:
+ Với x 0 < 0  bất kì, F

V=

( −∞, x0 + 1) , ta có F ( x0 ) ⊂ V
+ Với x 0 = 0 , F

không nửa liên tục trên tại x 0 vì với tập mở

nhưng F ( x )  V với mọi x > x0

không nửa liên tục trên tại x 0 vì với V =

F ( 0 ) ⊂ V nhưng F ( x )  V với mọi x > x0

15

( −2, 2 ) ,

ta có


16


CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁNH XẠ
ĐƠN TRỊ
2.1. Các tính chất về tính liên tục, liên thông, compact
Mệnh đề 2.1. Cho hai không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) , ánh xạ đa trị F : X  Y và

x0 ∈ domF . Khi đó, F là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị
F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là liên tục tại x0 .
Chứng minh:
Ánh xạ đa trị F : X  Y nửa liên tục dưới tại x0

⇔ ∀V ∈τ Y thoả mãn V  F ( x0 ) ≠ ∅, ∃U ∈τ X chứa x0 sao cho:
F ( x )  V ≠ ∅, ∀x ∈U  domF

⇔ ∀IV ∈τ Y chứa F ( x0 ) , ∃U ∈τ X chứa x0 sao cho:
F ( x ) ∈ IV , ∀x ∈U  domF

⇔ ∀IV ∈τ Y chứa F ( x0 ) , ∃U ∈τ X chứa x0 sao cho F (U ) ⊂ IV
⇔ Ánh xạ đơn trị F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) là liên tục tại x0

Mệnh đề 2.2. Cho hai không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) , ánh xạ đa trị F : X  Y .
Khi đó, F

là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X

khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị

F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là liên tục tại x0 .
Chứng minh:
Ánh xạ đa trị F : X  Y nửa liên tục trên tại x0

⇔ ∀V ∈τ Y thoả mãn F ( x0 ) ⊂ V , ∃U ∈τ X chứa x0 sao cho:

F ( x ) ⊂ V , ∀x ∈U
⇔ ∀IV ∈τ Y chứa F ( x0 ) , ∃U ∈τ X chứa x0 sao cho:
F ( x ) ∈ [ , V ] , ∀x ∈U

⇔ ∀IV ∈τ Y chứa F ( x0 ) , ∃U ∈τ X chứa x0 sao cho F (U ) ⊂ [ , V ]
17


⇔ Ánh xạ đơn trị F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) là liên tục tại x0
Mệnh đề 2.3. Cho hai không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) , ánh xạ đa trị F : X  Y .
Khi đó, F là liên tục tại x0 khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến
mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là liên tục tại x0 .
Chứng minh: Mệnh đề này được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.25 , Mệnh đề 2.1 và
Mệnh đề 2.2

Hệ quả 2.1. Cho ánh xạ đơn trị f : ( X ,τ X ) → (Y ,τ Y ) . Khi đó, f liên tục tại x0 khi
và chỉ khi ánh xạ đa trị F : X  Y biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) = { f ( x )} là liên tục tại x0 .
Mệnh đề 2.4. Cho các không gian topo

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

và các ánh xạ đa trị

F : X  Y , G : Y  Z . Khi đó:
a. Nếu F , G lần lượt là các ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X , Y thì ánh xạ
hợp G  F cũng là nửa liên tục trên ở trên X
b. F , G lần lượt là các ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X , Y thì ánh xạ hợp

G  F cũng là nửa liên tục dưới ở trên X
Chứng minh:
a. Vì τ Z có cơ sở là

{[,W ] : W ∈τ }
Z

nên ta chỉ cần lấy tập [ ,W ] mở tuỳ ý trong

(  ( Z ) ,τ ) . Theo Mệnh đề 2.2, ta cần chứng minh G  F ([,W ]) là mở trong ( X ,τ ) .
−1

Z


0

X

Thật vậy, do G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên Y nên theo Mệnh đề 2.2, tập

V := G

−1

([,W ])

là mở trong (Y ,τ Y ) . Mặt khác, do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở

trên X nên theo Mệnh đề 2.2, tập U := F
Ta cần chứng minh U = G  F

−1

([,V ]) là mở trong ( X ,τ ) .
X

([,W ]) . Vì F ( x ) ⊂ V , ∀x ∈U

=
G  F ( x)
=

−1

=
( G  F )( x )

 G ( y)

y∈F ( x )

18

 G ( y)

y∈F ( x )

và


nên G  F ( x ) ∈ [ , W ] , ∀x ∈U . Do đó, U ⊂ G  F
lấy x ∈ G  F

−1

−1

([,W ]) . Để có bao hàm thức ngược lại,

([,W ]) tuỳ ý. Vì G  F ( x ) ∈ [,W ] nên G ( y ) ⊂ W , ∀y ∈ F ( x ) . Từ đó suy ra

y ∈V , ∀y ∈ F ( x ) . Vậy F ( x ) ⊂ V hay x ∈U
b. Vì τ Z có cơ sở là

{ IW : W ∈ τ Z }

nên ta chỉ cần lấy tập IW mở tuỳ ý trong

(  ( Z ) ,τ ) . Theo Mệnh đề 2.1, ta cần chứng minh

GF

Y


0

−1

( IW )

là mở trong

( X ,τ X ) .

Thật vậy, do G là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên Y nên theo Mệnh đề 2.1, tập
V := G

−1

( IW )

là mở trong (Y ,τ Y ) . Mặt khác, do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên

X nên theo Mệnh đề 2.1, tập U := F

−1

( IV ) là mở trong ( X ,τ X ) .

Ta còn phải chứng minh U = G  F

−1

( IW ) .

Thật vậy với mọi x ∈U , do

F ( x )  V ≠ ∅ nên có y ∈ F ( x ) sao cho y ∈ F ( x )  V hay G ( y )  W ≠ ∅ . Vì vậy
−1

( G  F )( x ) W ≠ ∅ . Từ đó suy ra U ⊂ G  F ( IW ) . Để có bao hàm thức ngược lại, ta lấy
x ∈G  F

−1

( IW )

tuỳ ý. Vì

( G  F )( x ) W ≠ ∅

nên tồn tại

y ∈ F ( x ) sao cho

G ( y )  W ≠ ∅ . Do đó y ∈V . Vậy y ∈ F ( x )  V hay x ∈U

Mệnh đề 2.5. Cho các không gian topo ( X ,τ X ) , (Y ,τ Y ) và ánh xạ đa trị F : X  Y .
Giả sử với mọi x ∈ X , F ( x ) là tập liên thông (có thể rỗng). Khi đó:
a. Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X và A là tập liên thông trong

( X ,τ X ) thì F ( A)

là tập liên thông trong (Y ,τ Y )

b. Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X và A là tập liên thông trong

( X ,τ X ) thì F ( A)

là tập liên thông trong (Y ,τ Y )

Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, có nghĩa là giả sử F ( A ) không là tập liên thông
trong (Y ,τ Y ) . Khi đó, tồn tại các tập V1 , V2 mở trong (Y ,τ Y ) thoả mãn:
i.

F ( A ) ⊂ V1  V2

ii. V1  V2 = ∅
19


iii. V1 ≠ ∅ và V2 ≠ ∅
a. Do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X nên theo Mệnh đề 2.2, ánh xạ

F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là ánh xạ đơn trị liên tục
trên X . Do F liên tục nên các tập sau là tập mở trong ( X ,τ X ) :

U1 =
F −1 ([ , V1 ]) =
{ x ∈ X : F ( x ) ⊂ V1 }

U2 =
F −1 ([ , V2 ]) =
{ x ∈ X : F ( x ) ⊂ V2 }
Hơn nữa, vì ( i.) nên F ( x ) ⊂ V1  V2 với mọi x ∈ A . Do đó với x ∈ A tuỳ ý, ta luôn
có F ( x )  V1 ≠ ∅ hay F ( x )  V2 ≠ ∅ . Tuy nhiên, không thể xảy ra đồng thời cả hai điều
trên vì nếu tồn tại x0 ∈ A sao cho F ( x )  V1 ≠ ∅ và F ( x )  V2 ≠ ∅ thì suy ra F ( x0 )
không là tập liên thông trong (Y ,τ Y ) , mâu thuẫn với giả thiết F ( x ) là tập liên thông với
mọi x ∈ X . Vì vậy với mọi x ∈ X , ta có hoặc F ( x )  V1 ≠ ∅ hoặc F ( x )  V2 ≠ ∅ . Khi
đó:
+

A ⊂ U1  U 2

+ U1  U 2 = ∅
+ U1 ≠ ∅ và U 2 ≠ ∅
Điều này cho thấy A không là tập liên thông, mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, F ( A )
là tập liên thông trong (Y ,τ Y ) .
b. Do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X nên theo Mệnh đề 2.1, ánh xạ

F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là ánh xạ đơn trị liên tục
trên X . Do F liên tục nên các tập sau là tập mở trong ( X ,τ X ) :

U=

F
1
U=
F
2

−1

( I =) {x ∈ X : F ( x )  V }
V1

−1

1

( I =) {x ∈ X : F ( x )  V }
2

V2

Hơn nữa, vì ( i.) nên F ( x ) ⊂ V1  V2 với mọi x ∈ A . Do đó với x ∈ A tuỳ ý, ta luôn
có F ( x )  V1 ≠ ∅ hay F ( x )  V2 ≠ ∅ . Từ đó suy ra A ⊂ U1  U 2 . Khi đó:
+

A ⊂ U1  U 2

20


+ U1  U 2 = ∅

+ U1 ≠ ∅ và U 2 ≠ ∅
Điều này cho thấy A không là tập liên thông, mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, F ( A )
là tập liên thông trong (Y ,τ Y ) .
Hệ quả 2.2. Cho f là ánh xạ đơn trị liên tục đi từ ( X ,τ X ) vào (Y ,τ Y ) . Khi đó, nếu
A là tập liên thông trong ( X ,τ X ) thì f ( A ) là tập liên thông trong (Y ,τ Y )

Chứng minh: Đặt F : X  Y là ánh xạ đa trị được xác định bởi công thức:
=
F ( x)

{ f ( x )} , ∀x ∈ X

Khi đó, do f liên tục trên X nên theo Hệ quả 2.1, F là ánh xạ đa trị liên tục trên
X . Hơn nữa với mọi x ∈ X , tập

{ f ( x )} là tập liên thông trong (Y ,τ Y ) . Vậy

F thoả mãn

các giả thiết được nêu trong phát biểu ( a ) hay ( b ) của mệnh đề trên. Do đó, F ( A ) là tập
liên thông trong (Y ,τ Y ) . Điều này cho thấy f ( A ) cũng là tập liên thông trong (Y ,τ Y ) vì

F ( A) = f ( A)
Mệnh đề 2.6. Cho

( X ,τ X ) , (Y ,τ Y )

là hai không gian topo và ánh xạ đa trị

F : X  Y . Giả sử với mọi x ∈ X , F ( x ) là tập compact. Khi đó:

a. Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X và A là tập compact trong

( X ,τ X ) thì F ( A)

là tập compact trong (Y ,τ Y )

b. Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở dưới X và A là tập compact trong

( X ,τ X ) thì F ( A)

là tập compact trong (Y ,τ Y )

Chứng minh:
a. Do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X nên theo Mệnh đề 2.1, ánh xạ

F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là ánh xạ đơn trị liên tục
trên X . Lấy họ (Vi )i∈I là một phủ mở tuỳ ý của F ( A ) , ta cần chứng minh tồn tại tập hữu
hạn J ⊂ I sao cho F ( A ) ⊂  Vi . Thật vậy:
i∈J

21


+ Với mỗi x ∈ A , (Vi )i∈I là một phủ mở của tập compact F ( x ) nên tồn tại tập hữu
hạn J x ⊂ I sao cho F ( x ) ⊂

 V . Đặt W =  V
i

x

i

thì Wx là tập mở trong (Y ,τ Y ) . Do đó,

i∈J x

i∈J x

( )

tập U x := F −1 IWx là tập mở trong ( X ,τ X ) .
+ Khi đó với mọi x ∈ A , do F ( x ) ⊂ Wx nên x ∈U x . Vì vậy (U x ) x∈ A là một phủ mở
n

của tập compact A nên tồn tại x1 , x2 ,..., xn ∈ A sao cho A ⊂ U xk
k =1

n

+ Đặt J :=  J xk . Với mỗi x ∈ A , tồn tại k ∈1, n sao cho x ∈U xk

hay

k =1

F ( x ) ⊂ Wxk ⊂  Vi . Hơn nữa, vì J xk là hữu hạn với mọi k ∈1, n nên J là tập hữu hạn chứa
i∈J

trong I . Điều này cho chứng tỏ F ( A ) là tập compact trong (Y ,τ Y ) .

b. Do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X nên theo Mệnh đề 2.2, ánh xạ

F : ( X ,τ X ) → ( 0 (Y ) ,τ Y ) biến mỗi x ∈ X thành F ( x ) ∈ 0 (Y ) là ánh xạ đơn trị liên tục
trên X . Lấy họ (Vi )i∈I là một phủ mở tuỳ ý của F ( A ) , ta cần chứng minh tồn tại tập hữu
hạn J ⊂ I sao cho F ( A ) ⊂  Vi . Thật vậy:
i∈J

+ Với mỗi x ∈ A , (Vi )i∈I là một phủ mở của tập compact F ( x ) nên tồn tại tập hữu
hạn J x ⊂ I sao cho F ( x ) ⊂

 V . Đặt W =  V
i

x

i

tập U x := F

−1

thì Wx là tập mở trong (Y ,τ Y ) . Do đó,

i∈J x

i∈J x

([,W ]) là tập mở trong ( X ,τ ) .
X

x

+ Khi đó với mọi x ∈ A , do F ( x ) ⊂ Wx nên x ∈U x . Vì vậy (U x ) x∈ A là một phủ mở
n

của tập compact A nên tồn tại x1 , x2 ,..., xn ∈ A sao cho A ⊂ U xk
k =1

n

+ Đặt J :=  J xk . Với mỗi x ∈ A , tồn tại k ∈1, n sao cho x ∈U xk

hay

k =1

F ( x ) ⊂ Wxk ⊂  Vi . Hơn nữa, vì J xk là hữu hạn với mọi k ∈1, n nên J là tập hữu hạn chứa
i∈J

trong I . Điều này cho chứng tỏ F ( A ) là tập compact trong (Y ,τ Y ) .

22


Hệ quả 2.3. Cho f là ánh xạ đơn trị liên tục đi từ ( X ,τ X ) vào (Y ,τ Y ) . Khi đó, nếu
A là tập compact trong ( X ,τ X ) thì f ( A ) là tập compact trong (Y ,τ Y )

Chứng minh:
Đặt F : X  Y là ánh xạ đa trị được xác định bởi công thức:
=

F ( x)

{ f ( x )} , ∀x ∈ X

Khi đó, do f liên tục trên X nên theo Hệ quả 2.1, F là ánh xạ đa trị liên tục trên
X . Hơn nữa với mọi x ∈ X , tập

{ f ( x )} là tập compact trong (Y ,τ Y ) . Vậy

F thoả mãn

các giả thiết được nêu trong phát biểu ( a ) hay ( b ) của mệnh đề trên. Do đó, F ( A ) là tập
compact trong (Y ,τ Y ) . Điều này cho thấy f ( A ) cũng là tập compact trong (Y ,τ Y ) vì

F ( A) = f ( A)

2.2. Các tính chất về tính đóng – mở, lồi
2.2.1. Định lí ánh xạ mở
Định lí 2.1(Định lí ánh xạ mở). Cho hai không gian Banach X , Y và F : X  Y là
ánh xạ đa trị lồi, đóng. Nếu rgeF = Y thì F là ánh xạ mở, nghĩa là với mọi tập mở

U ⊂ X , F (U ) là tập mở trong Y .
Chứng minh:
Giả sử F thoả mãn các giả thiết của định lí và U là một tập mở tuỳ ý trong X . Lấy

y0 ∈ F (U ) tuỳ ý, khi đó tồn tại x0 ∈U để y0 ∈ F ( x0 ) . Do rgeF = Y nên y0 ∈ int ( rgeF ) .
Theo Định lí 1.5, tồn tại  > 0 và γ > 0 sao cho với mỗi y ∈ B ( y0 , γ ) , tồn tại x ∈ F −1 ( y )
thoả mãn:

‖x − x0‖≤  y − y0

Hơn nữa, vì U là tập mở nên tồn tại r ∈ ( 0, γ ) để B ( x0 , r ) ⊂ U . Khi đó với mỗi
y ∈ B ( y0 , r ) , tồn tại x ∈ F −1 ( y ) thoả mãn:

x − x0 ≤  y − y0 ≤ r
Suy ra x ∈ B ( x0 , r ) ⊂ U . Mà y ∈ F ( x ) nên ta có y ∈ F (U ) . Do bao hàm thức này
đúng với mọi y ∈ B ( y0 , r ) nên B ( y0 , r ) ⊂ F (U ) . Vậy F (U ) là tập mở trong Y .
23