dãy số trong dạy học toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Minh Hải

DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở
PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Minh Hải

DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở
PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Chí Thành, thầy
đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS.
Vũ Như Thư Hương, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS.
Nguyễn Thị Nga và quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt
tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức cũng như niềm say mê đối với chuyên
ngành didactic toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám Hiệu và các học sinh trường THPT Vĩnh Lộc, trường THPT Chuyên Lê Quý
Đôn đã giúp đỡ tôi trong vấn đề thực nghiệm của luận văn.
Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, sự động viên của bạn bè, của các anh chị em
trong lớp Didactic Toán khóa 22, sự giúp đỡ của Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường
THCS Huỳnh Văn Nghệ trong quá trình giảng dạy là động lực để tôi tiếp tục phấn đấu và
hoàn thành luận văn. Tôi xin gửi đến họ lòng biết ơn sâu sắc và những tình cảm thân thương
nhất.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia
đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
LÊ MINH HẢI

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................ 3

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ........................................................................................ 3
3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn ...................................................... 4

CHƯƠNG 1: DÃY SỐ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI HỌC ................... 5
1.1. Dãy số trong giáo trình [a] .......................................................................................... 5
1.2. Dãy số trong giáo trình [b] .......................................................................................... 9

CHƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở PHỔ THÔNG17
2.1. Dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở ................................... 18
2.2. Dãy số trong SGK Toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 ................................. 22
2.3. Dãy số trong SGK Toán lớp 11 hiện hành............................................................... 38
2.3.1. Dãy số trong bộ sách Cơ bản................................................................................. 38
2.3.2. Dãy số trong bộ sách Nâng Cao ............................................................................ 61

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM. ................................................... 66
3.1. Thực nghiệm 1 ............................................................................................................ 66
3.1.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................... 66
3.1.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm......................................... 66
3.1.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm ................................... 68
3.2. Thực nghiệm 2 ............................................................................................................ 71
3.2.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................... 71
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm.......................................... 71
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm ................................... 75
3.3. Kết luận ....................................................................................................................... 77

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 80
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 82

2

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở lớp 6, chúng tôi thấy rằng, sách giáo khoa (SGK)
toán lớp 6 có đưa vào bài tập:
“Cho dãy số sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Trong dãy số trên, mỗi số (kể từ số thứ 3) bằng tổng của hai số liền trước. Hãy viết
tiếp bốn số nữa của dãy số.” [1, tr.17]
Đây là thời điểm đầu tiên mà thuật ngữ “dãy số” được đưa vào trong sách giáo khoa.
Mặc dù SGK Toán bậc tiểu học (TH) và bậc trung học cơ sở (THCS) chưa định nghĩa khái
niệm dãy số mà chỉ định nghĩa dãy số tự nhiên nhưng từ “dãy số” được sử dụng khá nhiều
lần. Vậy khi đó dãy số mang nghĩa gì? Điều đó ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của
HS khi học về khái niệm dãy số ở lớp 11. Trong chương trình SGK Đại số và giải tích lớp
11, khái niệm dãy số được định nghĩa ra sao? Nó được giới thiệu cho HS như thế nào?
Ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát như sau:
Q’1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số và các khái
niệm liên quan được đề cập như thế nào?
Q’2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng
buộc nào, vai trò? Sự tiến triển của chúng qua các cấp học?
Q3’: Cách trình bày của SGK ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của HS khi học về dãy
số?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu ở trên thì theo chúng tôi, điều
quan trọng là phải tìm kiếm công cụ lý thuyết phù hợp làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả
lời đó. Và chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán. Cụ thể,
chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế,
mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, phân tích sinh thái,
…); lí thuyết tình huống (đồ án didactic, phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm, …);

…
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu
hỏi nghiên cứu như sau:
3


Q1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số
và các khái niệm liên quan được trình bày như thế nào?
Q2 : Trong thể chế dạy học Toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đối
tượng dãy số được xây dựng và tiến triển ra sao?
Q3 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số ảnh hưởng như thế nào đến mối quan
hệ cá nhân của HS?

3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn
Để đạt được mục đích đã đề ra cũng như tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên,
chúng tôi xác định tiến hành nghiên cứu như sau:
 Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức bác học thông qua một số giáo trình Toán ở
bậc đại học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho
một dãy số và các khái niệm liên quan đến nó trong các giáo trình Toán ở đại học. Những
kết quả trên được trình bày trong chương 1: “Dãy số trong giáo trình Toán ở đại học”.
 Trong chương 2: “Dãy số trong sách giáo khoa toán ở phổ thông”, chúng tôi tiến
hành phân tích sơ lược sách giáo khoa toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở (cụ thể, chúng
tôi chọn phân tích các sách giáo khoa lớp 2, lớp 4 và lớp 6) để có cái nhìn tổng quan, làm rõ
đối tượng dãy số xuất hiện như thế nào, mang nghĩa gì? có những ràng buộc nào? có những
tổ chức toán học nào liên quan được xây dựng? Vai trò của chúng? Sau đó, chúng tôi phân
tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số và Giải tích 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để làm
rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng dãy số và các tổ chức toán học liên quan đến khái
niệm này. Tiếp đó, chúng tôi phân tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số
và Giải tích 11 hiện hành để làm rõ cách trình bày của khái niệm dãy số, các cách cho một
dãy số, các khái niệm liên quan và các tổ chức toán học liên quan đến nó. Qua đó chúng tôi

chỉ rõ mối tương quan giữa dãy số và hàm số. Tổng hợp các kết quả thu được, chúng tôi đưa
ra giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của giả
thuyết đó.
 Việc kiểm chứng được tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi tìm
yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3 và được trình bày trong chương 3: “Nghiên cứu thực
nghiệm”.

4


CHƯƠNG 1: DÃY SỐ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN Ở ĐẠI
HỌC
Mục tiêu của chương:
Chương này có mục tiêu phân tích làm rõ khái niệm dãy số và các khái niệm gắn liền
với nó trong giáo trình Toán ở đại học. Cụ thể, qua việc phân tích các giáo trình toán, chúng
tôi cố gắng làm rõ cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho một dãy số và các khái
niệm liên quan đến nó. Những kết quả thu được làm cơ sở tham chiếu cho việc phân tích ở
chương 2.
Chúng tôi chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu:
- Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán học cao
cấp tập hai, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. Kí hiệu là giáo trình [a].
- MarieMonier (2009), Giải tích 1 (Người dịch: Lý Hoàng Tú), Nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam. Kí hiệu là giáo trình [b].

1.1. Dãy số trong giáo trình [a]
Trước hết, chúng tôi tóm tắt cấu trúc các chương trong giáo trình [a]:
Chương 1: Số thực
Chương 2: Hàm số một biến số thực
Chương 3: Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số
Chương 4: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số

Chương 5: Các định lí về giá trị trung bình
Chương 6: Nguyên hàm và tích phân bất định
Chương 7: Tích phân xác định
Chương 8: Chuỗi
Trong giáo trình [a], khái niệm dãy số được trình bày trong chương I: Số thực, trước
chương hàm số một biến số thực, với trình tự như sau:
1.1 Tập hợp
1.2 Tập các số thực
1.3 Dãy số thực
Như vậy khái niệm dãy số được trình bày sau các khái niệm tập hợp, ánh xạ, trường
số thực. Và nó được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ:
5


Định nghĩa 1. Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số) là một ánh xạ từ * vào
:

* ∋ n  xn ∈ 

Người ta thường dùng kí hiệu { xn } , n = 1,2,..., để chỉ một dãy số.
[13, tr.18]
Sau khi định nghĩa khái niệm dãy số, [a] giới thiệu 5 ví dụ về dãy số, cụ thể:
Thí dụ:
(a) {xn}; xn =

1
1
1
1
; x1 = 1; x2 = , x3 = ; …, xn = , …

n
2
3
n

(b){xn}; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; …, xn = 1, …
(c) {xn}; xn = (-1)n; x1 = -1; x2 = 1, …, xn = (-1)n, …
(d){xn}; xn = n2; x1 = 1, x2 = 4, …, xn = n2, ...
n

n

9
 1
 1
(e) {xn}; xn = 1 +  ; x1 = 2; x2 = , …, xn = 1 +  , …
4
 n
 n

[13, tr.18]
Các dãy số {xn} trong ví dụ trên đều được xác định bởi công thức xn = f(n). Dựa vào
các số hạng đầu tiên của dãy số, [a] đưa ra một số nhận xét mở đầu về các dãy số trong các
ví dụ trên, chẳng hạn như tính đơn điệu, tính hội tụ,…
Tiếp đó, [a] có đề cập đến các kiến thức liên quan đến dãy số như định nghĩa sự hội
tụ của dãy, các tính chất của dãy số hội tụ, dãy đơn điệu, tính bị chặn và một số định lí khác
liên quan đến sự hội tụ của dãy số,…
Trong giáo trình này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến một chú ý về dãy số thực được
[a] trình bày ở trang 31, trang 32 như sau:
Chú ý cuối cùng về dãy số thực:

Trong các ví dụ trước, dãy {xn} được xác định bởi công thức

xn = f ( n )
Đó là cách xác định hiện (hay tường minh) một dãy số. Theo cách xác định ấy, ta
có thể tính ngay xn khi biết n.
Bây giờ xét dãy số {xn} được xác định như sau:

6


 xo = 2

x 2 n −1 − 2

, ∀n ∈ 
xn −1 −
n
 x=
2 x n −1


Trong trường hợp này ta không biết được xn, nếu không biết được
xn-1,…Nếu muốn tính x3, ta phải xuất phát từ x0 tính x1, từ x1 tính x2, rồi từ x2 tính
x3. Người ta gọi đây là cách xác định ẩn hay xác định theo quy nạp một dãy số.

=
xn xn−1 −

Hãy xét chi tiết hơn dãy đó. Vì

nên

x2 − 2
xn − xn−1 =
− n−1
2 xn−1

hoặc

xn =

xn2−1 − 2
, với x0 = 2
2 xn−1

xn2−1 + 2
2 xn−1

Suy ra dãy {xn} giảm dần và xn > 0, ∀ n, do đó {xn} hội tụ và hội tụ đến nghiệm
dương của phương trình bậc hai x2 – 2 = 0, tức là hội tụ đến

2 (lưu ý rằng

2

=1,414213526 và x3 = 1,41421).
[13, tr.31-32]
Qua đó, chúng ta có thể thấy được [a] đã đề cập đến hai cách xác định một dãy số, đó
là cách xác định hiện (hay tường minh) một dãy số và cách xác định ẩn (hay xác định theo
quy nạp) một dãy số. Hay nói cách khác, hai cách cho một dãy số là dãy số cho bằng công

thức của số hạng tổng quát và dãy số cho bằng phương pháp truy hồi. Trong đó, dãy số cho
bằng phương pháp truy hồi chỉ được nhắc đến trong chú ý này ở cuối chương, và [a] trình
bày muốn tính số hạng thứ n của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi thì phải tính tất cả
các số hạng đứng trước nó. Ngoài ra [a] không đề cập đến những cách xác định dãy số khác
và cũng không đề cập đến việc chuyển một dãy số cho ở dạng công thức truy hồi sang công
thức của số hạng tổng quát và ngược lại. Và ở cuối chú ý này, [a] có trình bày thêm:
Chúng ta không bàn chi tiết về ưu, nhược điểm của các cách xác định dãy, cũng
không bàn về sự hội tụ của dãy ẩn; chúng ta chỉ lưu ý rằng tuy về hình thức cách
cho dãy dưới dạng quy nạp không tiện tính toán, nhưng nó rất thực tế; vì những
dãy ẩn nảy sinh từ việc tìm dãy hội tụ về một số nào đó (thường là không biết
trước); chẳng hạn dãy ẩn nảy sinh từ thủ tục phân đôi (xem 3.7 chương 3) và thủ
tục Newton (xem 5.2.7 chương 5)).
[13, tr. 32]
7


Rõ ràng trong chú ý trên, [a] khẳng định là không bàn về sự hội tụ của dãy ẩn, tuy
nhiên trong phần bài tập ở cuối chương, chúng tôi thấy rằng trong tất cả 9 bài tập dành cho
phần dãy số thực (từ bài 16 đến bài 24), có đến sáu bài là xét sự hội tụ của dãy ẩn. Cụ thể:
xn : xn −1 +
19. Xét dãy =

1
với x0 = 1.
xn −1

1. Chứng minh rằng {xn} không có giới hạn hữu hạn.
2. Chứng minh rằng lim xn = +∞ .
n →+∞

20. Xét dãy xn :=

an
an −1 + 2bn −1 ;
2an −1 + 3bn −1 , bn :=
với an :=
bn

với a0 > 0 , b0 > 0.
1. Chứng minh rằng an > 0, bn > 0.
2. Tính xn+1 theo xn.
3. Tính xn+1 - xn và chứng tỏ rằng dãy {xn} đơn điệu, suy ra {xn} có giới hạn độc
lập với a0, b0.
21. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy
=
xn :

2
+ 1 với x0 = 1.
xn −1

22. Cho hai số a và b thỏa 0 < a < b, xét 2 dãy
=
xn :

xn −1 yn=
−1 , yn :

1
( xn−1 + yn−1 )

2

với x0 = a và y0 = b.
Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và có chung giới hạn.
23. Xét sự hội tụ của dãy x=
n :

1 + xn −1 , với x0 =

3.

24. Đặt x0 = 1, xn(3 + xn-1) + 1 = 0 với n ≥ 1 .
[13, tr 39-40]
KẾT LUẬN: Qua việc phân tích [a], chúng tôi rút ra một số nhận xét sau đây:
-

Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ từ * vào  .

-

[a] đề cập đến hai cách xác định một dãy số, đó là cách xác định hiện (hay tường

minh) một dãy số và cách xác định ẩn (hay xác định theo quy nạp) một dãy số. Ở đây, các
tác giả sử dụng cụm từ “cách xác định hiện (hay tường minh)” chứ không dùng “công thức
của số hạng tổng quát”.

8


-

Ngoài ra, [a] không đề cập đến những cách xác định dãy số khác và cũng không đề

cập đến việc chuyển một dãy số cho ở dạng công thức truy hồi sang công thức của số hạng
tổng quát và ngược lại.
-

Trong phần lý thuyết, [a] đề cập nhiều đến dãy số cho bằng công thức của số hạng

tổng quát còn dãy số cho bằng phương pháp truy hồi chỉ được nhắc đến ít ở chú ý cuối
chương. [a] khẳng định tuy về hình thức cho dãy dưới dạng quy nạp không tiện tính toán
nhưng nó lại rất thực tế, [a] còn khẳng định không bàn đến sự hội tụ của dãy cho bằng
phương pháp truy hồi, tuy nhiên trong phần bài tập, [a] đề cập nhiều đến sự hội tụ của dãy
cho ở dạng này.

1.2. Dãy số trong giáo trình [b]
Đầu tiên, chúng tôi tóm tắt cấu trúc các chương trong [b]:
Chương 1: Số thực
Chương 2: Số phức
Chương 3: Dãy số
Chương 4: Hàm một biến lấy giá trị thực hoặc phức
Chương 5: Đạo hàm
Chương 6: Tích phân
Trong giáo trình này, các tác giả dành một chương để viết về dãy số, đó là chương 3:
Dãy số, nó được trình bày trước chương Hàm một biến lấy giá trị thực hoặc phức, với trình
tự như sau:
a. Hội tụ, phân kì
i. Định nghĩa
ii. Tính chất về thứ tự của dãy thực hội tụ
iii. Các tính chất đại số của dãy số hội tụ

iv. Các ví dụ sơ cấp về dãy
b. Tính đơn điệu
i. Dãy thực đơn điệu
ii. Dãy kề nhau
c. Dãy con
d. Một số loại dãy thông thường
i. Một số loại dãy thông thường
9


ii. Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi
iii. Dãy truy hồi loại un+1 = f(un)
Định nghĩa dãy số trình bày trong [b] ở trang 49 như sau:
Một dãy (số) là một ánh xạ từ  vào K (K =  hoặc  ); thay cho ký hiệu u:
 → K , ta thường ký hiệu (un ) n∈ hay (un ) n ≥ 0 hay (un ) .
n u ( n )

Một dãy thực (tương ứng: phức) là một dãy (số) sao cho:
∀ n ∈  , un ∈  (tương ứng:  ).

Với mỗi n ∈  , un được gọi là số hạng thứ n của dãy.
Mỗi ánh xạ từ { n ∈ , n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy
(số); phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các un “từ một thứ tự
nào đó trở đi”.
[9, tr.49]
Dãy số được [b] định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ giống như trong [a], tuy nhiên,
[a] định nghĩa dãy số trên tập * còn [b] định nghĩa dãy số với tập nguồn là tập các số tự
nhiên  hoặc tập { n ∈ , n ≥ n0 } với n0 cố định và tập đích K là tập các số thực (K =  )
hoặc tập các số phức (K =  ). Ngoài ra, [b] còn đưa vào khái niệm un là số hạng thứ n của
dãy số. Như vậy, trong [b] u1 không phải là số hạng đầu tiên của dãy số trong khi đó, trong

[a] u1 lại là số hạng đầu tiên của dãy số. Và trong luận văn “Một nghiên cứu về cấp số nhân
trong dạy học toán ở trung học phổ thông” của Diệp Văn An Lạc có trình bày:
“Chúng tôi nhận thấy những kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất ánh xạ của dãy
số. Chỉ số n trong mỗi số hạng un cho ta biết thứ tự của số hạng này trong dãy, chẳng hạn: u0
là số hạng thứ 0 của dãy, u1 là số hạng thứ 1 của dãy,… Trong trường hợp:
Mỗi ánh xạ từ { n ∈ , n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy
(số) (Tr. 49)
thì thứ tự của số hạng trong dãy được hiểu như thế nào? Phải chăng ở trường hợp này, un0
vẫn được gọi là số hạng thứ n0? (Chẳng hạn nếu n0 = 5 thì u5 được gọi là số hạng thứ 5 của
dãy).” [8, tr.7]
Theo chúng tôi, định nghĩa số hạng thứ n của dãy số được đưa vào ngay sau định
nghĩa dãy số, sau đó [b] mới trình bày: “Mỗi ánh xạ từ { n ∈ , n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K
cố định cũng gọi là một dãy (số); phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các
10


un “từ một thứ tự nào đó trở đi.” [8, tr.49]. Như vậy thì [b] chỉ định nghĩa số hạng thứ n đối
với trường hợp dãy số có tập nguồn là  , còn với dãy số có tập nguồn là { n ∈ , n ≥ n0 }
thì [b] không đề cập đến khái niệm này, chúng tôi cho rằng dãy số có tập nguồn {

n ∈ , n ≥ n0 } chẳng qua là dãy số trên tập  sau khi bỏ đi n0 – 1 số hạng đầu tiên. Tuy
nhiên, với cách trình bày như trong [b] thì có thể gây nhầm lẫn cho người đọc.
Sau khi đề cập đến các vấn đề liên quan đến sự hội tụ của dãy, [b] đã đưa ra năm ví
dụ sơ cấp về dãy.
1) Dãy cộng
Một dãy (un ) n∈ trong K được gọi là dãy cộng (hoặc: cấp số cộng) khi và chỉ khi
tồn tại r ∈ K sao cho:
∀n ∈ , u n +1 = un + r .

Phần tử r (được xác định duy nhất) được gọi là công sai của dãy cộng ( un )n .

Khi đó ta có: ∀n ∈ , u n = uo + rn .
[9, tr.60]
Dãy cộng (hay cấp số cộng) được [b] giới thiệu dưới hai dạng là phương pháp truy
hồi và công thức của số hạng tổng quát. Tương tự dãy nhân (cấp số nhân) cũng như vậy.
Tiếp đó, [b] giới thiệu thêm ba dãy số được cho dưới dạng công thức của số hạng tổng quát
và khảo sát tính hội tụ của ba dãy số đó.
Mặc dù giáo trình không giới thiệu các cách cho một dãy số một cách tường minh,
nhưng thông qua các khái niệm và ví dụ, chúng nhận thấy có hai cách cho một dãy số được
[b] đề cập đến, đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát và dãy số cho bằng
phương pháp truy hồi. Những cách cho dãy số khác cũng không được đưa vào trong giáo
trình này. Khác với [a], dãy số cho bằng phương pháp truy hồi được [b] đề cập đến khá
nhiều, khá cụ thể. Đặc biệt, trong phần 3.4: Một số loại dãy thông thường, [b] có đề cập
nhiều đến dãy số cho bằng phương pháp truy hồi như dãy afin truy hồi cấp một với hệ số
không đổi, dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi, dãy truy hồi loại un+1 = f(un).
Trong đó, tác giả có trình bày một cách rõ ràng cách chuyển dãy số cho bằng công thức truy
hồi sang dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
Cụ thể, đối với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi, [b] định nghĩa như sau:
“Đó là các dãy (un ) n∈ trong K sao cho tồn tại (a, b) ∈ K 2 thỏa mãn:
11

∀n ∈ , u n +=
aun + b ”
1


[9, tr.74]. Sau đó, [b] có trình bày cách chuyển dãy số này về dạng cho bằng công thức của
số hạng tồng quát. Cụ thể:
Nếu a = 1, thì đó là dãy cộng (xem 3.1.4 1). Giả sử a ≠ 1. Cho λ ∈ K (sẽ chọn
sau) và dãy (vn ) n∈ xác định bởi:
∀n ∈ , v n = un + λ .

Ta có:
∀n ∈ , v n +1 = un +1 + λ = aun + b + λ = a (vn − λ ) + b + λ = avn + [(1 − a )λ + b]

Khi chọn λ =

b
, ta thấy (vn ) n∈ là một dãy nhân với công bội a.
a −1

Vậy: ∀n ∈ , v n =a n v0



Ta có ∀n ∈ , u n = a n  u0 +

b 
b
.
−
a −1  a −1

[9, tr.75]
Như vậy, khi một dãy số cho bằng phương pháp truy hồi dạng dãy afin truy hồi cấp
một với hệ số không đổi, ta có thể chuyển dãy số đó về dạng cho bằng công thức của số
hạng tổng quát. Qua đó, chúng ta cũng thấy rằng, dãy afin truy hồi cấp một cũng có mối liên
hệ với cấp số nhân, như trong luận văn “Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy học toán
ở trung học phổ thông” của Diệp Văn An Lạc có viết: “Vậy là xuất phát từ dãy (un ) n∈ trong
aun + b (với a ≠ 1) ta có thể xây dựng được một cấp số nhân. Cụ thể dãy
đó ∀n ∈ N , un +=

1
(vn ) n∈ xác định bởi
∀n ∈ , v n = un +

b
a −1

là một cấp số nhân với công bội a . Hơn nữa, dựa vào cấp số nhân (vn ) n∈ này, ta sẽ xác định
được công thức số hạng tổng quát của dãy (un ) n∈ đã cho. Như vậy, khi “dãy afin truy hồi
cấp một với hệ số không đổi” không phải là dãy cộng thì bằng cách thông qua cấp số nhân
ta sẽ dễ dàng tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy này”.
Đối với dãy truy hồi tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi, [b] trình bày định nghĩa
như sau: “Cho (a, b) ∈ K 2 ; ký hiệu Ea,b là tập hợp các dãy ( un )n∈N trong K sao cho:
∀n ∈ , un=
aun +1 + bun gọi là các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi”. Tiếp
+2

đó, [b] định nghĩa khái niệm phương trình đặc trưng của các dãy tuyến tính truy hồi cấp hai:
12


+2
ar n +1 + br n nghĩa là
Cho r ∈ K , dãy (r n ) n∈ thuộc Ea,b khi và chỉ khi ∀n ∈ , r n=

0 . Phương trình r 2 − ar − b =
0 được gọi là phương trình đặc trưng
r 2 − ar − b =
aun +1 + bun ). Kí
(của các dãy tuyến tính truy hồi cấp hai thỏa mãn: ∀n ∈ , un=

+2
2
hiệu biệt thức của phương trình này là ∆= a + 4b .

[9, tr.76]
Sau đó, [b] trình bày công thức của số hạng tổng quát ứng với các trường hợp của
biệt thức ∆ .
Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt trong K kí hiệu là r1
và r2 (xảy ra khi K =  và ∆ ≠ 0) hay (K =  và ∆ >0)). Khi đó tồn tại

λ1r1n + λ2 r2 n . Trong λ1 , λ 2 được tính dựa vào u0, u1, u2.
( λ1 , λ 2 ) sao cho: ∀n ∈ , u=
n
Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có một và chỉ một nghiệm trong K kí hiệu là
2
r0 (trường hợp ∆ =0). Khi đó tồn tại ( λ1 , λ 2 ) ∈  sao cho:

∀n ∈ , u=
λ1r0 n + λ2 nr0 n −1 .
n

Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng không có nghiệm trong K (nghĩa là
K =  và ∆ < 0). (Phần này chúng tôi không trình bày ở đây, nó sẽ được hiểu rõ hơn trong
ví dụ mà [b] đưa vào).
Và cũng trong phần này, [b] đưa vào ba ví dụ tìm công thức tổng quát của dãy truy
hồi tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi ứng với ba trường hợp của biệt thức ∆ nói ở trên,
cụ thể:
VÍ DỤ:
1) Dãy Fibonaci
Ta tính phần tử tổng quát của dãy (φn ) n∈ xác định bởi:

=
0,
=
φ1 1
φ0

φn +1 + φn .
2
∀n ∈ , φn +=

1+
0 có hai nghiệm thực
Phương trình đặc trưng r 2 − r − 1 =

2

do đó tồn tại (λ1 , λ2 ) ∈  2 sao cho:
n

 1+ 5 
 1− 5 
∀
=
n ∈ , φn λ1 
 + λ2 

 2 
 2 

n

13

5

và

1− 5
,
2


1

λ1 =
0
λ1 + λ2 =

φ = 0
5


Ta có:  0
⇔  1+ 5
⇔
1
5
−
+ λ2
=

1 λ = − 1
φ1 = 1
λ1
2
2
2


5


Vậy, giá trị của φn là:
=
∀n ∈ , φn

n
n
1   1 + 5   1 − 5  

 −
 .
5   2   2  



u0 1,=
u1 i
=
+2
∀n ∈ , un=

2) Tính un, biết rằng 

4un +1 − 4un

0 có một nghiệm duy nhất
Phương trình đặc trưng r 2 − 4r + 4 =

ro = 2 (gọi là nghiệm kép); do đó tồn tại (λ1 , λ2 ) ∈  2 sao cho:
∀n ∈ , u=
λ1 2n + λ2 n2n −1 .
n
u=
λ1 1=
λ1 1
0 =0
⇔
⇔
i 2
2λ1 + λ2 =i
λ2 =−
u1 = i

Ta có: 

∀n ∈ , un = 2n + n ( i − 2 ) 2n −1 .

Từ đó:

u0 1,=

u1 1
=
∀n ∈ , un + 2 =−2un +1 − 4un

3) Tính un, biết rằng 

0 không có nghiệm thực nhưng có hai
Phương trình đặc trưng r 2 + 2r + 4 =

nghiệm phức liên hợp 2j và 2j2. Vì 2 j = 2 và
Arg(2j) =

2π
[ 2π ] , nên tồn tại ( A, B) ∈  2 sao cho:
3

2nπ
2nπ 

=
∀n ∈ , un 2n  Acos
+ B sin
. .
3
3 

A =1
u0 = 0 
⇔ 
Ta có: 

2π
2π
u1 = 1
2  Acos 3 + B sin 3
 

Từ đó:

A =1

⇔
1

1 B =
=
3



2n
2nπ
∀n ∈ , un = sin
.
3
3

[9, tr.78-79]
Đối với dãy truy hồi loại un+1 = f(un), [b] không đề cập đến vấn đề chuyển dãy số
sang dạng cho bằng công thức của số hạng tổng quát mà ở đây, [b] chỉ trình bày việc khảo
sát dãy số, ví dụ như xét tính tăng giảm, sự hội tụ,… Và đặc biệt, ở phần này, [b] có biễu

14


diễn dãy truy hồi loại un+1 = f(un) bằng đồ thị. Các bước vẽ không được [b] đưa vào rõ ràng,
tuy nhiên nó được thể hiện ngầm ẩn qua hình vẽ, cụ thể: Bước 1: Vẽ đồ thị (C) của hàm số y
= f(x) và đường thẳng (d) y = x. Bước 2: Xác định vị trí u0 trên trục hoành. Vì u1 = f(u0) nên
u1 là tung độ của điểm thuộc (C) có hoành độ bằng u0, sau đó xác định điểm thuộc (d) có
tung độ bằng u1, khi đó hoành độ điểm này là u1, và như vậy, ta biểu diễn được điểm u1trên
trục hoành. Làm tương tự, ta biễu diễn được các số hạng tiếp theo của dãy số trên trục
hoành. Dựa vào đồ thị này, ta có thể dễ dàng quan sát được tính tăng, giảm; sự hội tụ của
dãy số.

[9, tr. 79]

[9, tr. 80]

15


[9, tr. 80]
Kết luận: Qua việc phân tích [b], chúng tôi rút ra một số nhận xét sau đây:
-

Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ. Tuy nhiên có sự khác biệt giữa

hai giáo trình [a] và [b], trong [a], dãy số được định nghĩa trên tập  *, còn trong [b], dãy số
được định nghĩa trên tập  hoặc { n ∈ , n ≥ n0 }. Vì vậy cách gọi số thứ tự các số hạng
trong dãy số ở hai giáo trình là khác nhau.
-

Giáo trình [b] đề cập đến hai cách cho một dãy số là dãy số cho bằng công thức của

số hạng tổng quát và dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, nhưng được trình bày ngầm ẩn
qua các khái niệm, ví dụ chứ không trình bày một cách tường minh như trong [a].
-

Cũng như [a], [b] không đề cập đến những cách xác định dãy số khác.

-

[a] đề cập nhiều đến dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát còn dãy số cho

bằng phương pháp truy hồi chỉ được nhắc đến ít ở chú ý cuối chương và không khảo sát đến
tính hội tụ của nó, trong khi đó [b] đưa vào rất nhiều dãy số cho bằng phương pháp truy hồi,
và đặc biệt việc chuyển một dãy số cho ở dạng công thức truy hồi sang công thức của số
hạng tổng quát được trình bày khá rõ ràng, chi tiết. [b] trình bày nhiều ví dụ về khảo sát sự
biến thiên, sự hội tụ của dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, và đặc biệt [b] có biễu diễn
dãy số truy hồi loại
un+1 = f(un) bằng đồ thị.

16


CHƯƠNG 2: DÃY SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở
PHỔ THÔNG
Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối
tượng dãy số. Thể chế mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp
nhất năm 2000 và thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan
tâm đến thể chế dạy học toán ở bậc tiểu học và THCS, với mục đích là để có cái nhìn tổng
quan hơn về đối tượng dãy số. Qua đó, chúng tôi tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi

Q2, Q3.
Những kết quả đã đạt được trong chương 1 sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu cho
việc phân tích trong chương này.
Để thực hiện việc nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào các tài liệu sau:
- Bộ sách giáo khoa Toán bậc tiểu học và THCS.
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), NgôThúc
Lanh (Chủ biên phần hai), 2001).
- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô
Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001).
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),
2007).
- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên),
2009).
- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),
2006).
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2011).
- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Vũ Tuấn (Chủ biên), 2006).
- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),
2006).
Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu sau:

M1

Đại số và Giải tích 11

E1

Bài tập Đại số và Giải tích 11

M2

Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản
17


E2

Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

G2

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản

M3

Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

E3

Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

G3

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao

2.1. Dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở
Như đã trình bày trong phần ghi nhận ban đầu, thuật ngữ “dãy số” đã được sử dụng
trước khi đưa vào khái niệm dãy số ở chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 11. Việc
nghiên cứu dãy số trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở cho phép chúng tôi trả
lời các câu hỏi sau:

-

Dãy số xuất hiện như thế nào trong SGK Toán ở bậc tiểu học và trung học cơ sở? Nó

mang nghĩa gì? Đối tượng dãy số được đề cập đến như thế nào?
-

Việc đưa vào thuật ngữ “dãy số” trước khi định nghĩa khái niệm dãy số ở chương

trình và SGK lớp 11 ảnh hưởng như thế nào đến quan niệm của học sinh khi học khái niệm
dãy số ở lớp 11?
Qua việc phân tích một số SGK Toán ở bậc tiểu học và THCS, chúng tôi rút ra được
một số ghi nhận sau:
SGK Toán 2 có đưa ra nhiều bài tập dạng điền số vào chỗ trống, cụ thể:
Bài 4: Điền số?
a) 3, 6, 9, …, …
b) 10, 12, 14, …, …
Bài 5: Điền số?
a) 5, 10, 15, 20, …, …
b) 5, 8, 11, 14, …, …
Chúng tôi thấy rằng các số trong mỗi bài tập được viết theo một quy luật nào đó, và
dựa vào một vài số đã cho, HS tự rút ra quy luật và điền đúng số vào dấu ba chấm. Dạng bài
tập này vẫn còn xuất hiện khá nhiều ở SGK Toán 3 và Toán 4. Và đặc biệt, SGK Toán 4 có
đưa vào khái niệm dãy số tự nhiên:

18


Các số: 0; 1; 2; 3; … ; 9; 10; … ; 100; …; 1000; … là các số tự nhiên.

1. a)

Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên: 0; 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; …
b) Có thể biểu diễn dãy số tự nhiên trên tia số:
0 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số 0 ứng với điểm gốc của tia số. Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia
số.
[7, tr.19]
Khái niệm dãy số tự nhiên được định nghĩa dựa trên khái niệm số tự nhiên: “các số tự
nhiên sắp xếp theo một thứ tự từ bé đến lớn tạo thành một dãy số tự nhiên”, và ở đây SGK
còn giới thiệu cách biểu diễn dãy số tự nhiên trên tia số, dựa vào sự biễu diễn đó, HS có thể
nhận ra được số 0 là số tự nhiên bé nhất, không có số tự nhiên lớn nhất và dãy số tự nhiên
có thể kéo dài mãi. Qua đó có thể hình thành ở học sinh sự vô hạn của dãy số tự nhiên.
Ngoài ra, SGK Toán 4 còn nhấn mạnh: “Trong dãy số tự nhiên, hai số liên tiếp thì hơn kém
nhau 1 đơn vị”? Có phải chăng sau khi khái niệm dãy số tự nhiên được đưa vào thì khái
niệm “dãy số” cũng bắt đầu xuất hiện?
Sau khi trình bày khái niệm dãy số tự nhiên, SGK Toán 4 có đưa vào một số bài tập
sau:
Bài 4: Viết số thích hợp vào các chỗ trống:
a)

909; 910; 911; …; …; …; …; …

b)

0; 2; 4; 6; …; …; …; …; …; …; …

c)

1; 3; 5; 7; …; …; …; …; …; …; …

[7, tr.19]
Dạng bài tập này như đã nói ở trên, nó đã từng xuất hiện trong SGK Toán 2, Toán 3,
khi chưa học khái niệm dãy số tự nhiên và sau khi đã học về dãy số tự nhiên, các dạng bài
tập này vẫn còn xuất hiện khá nhiều. Như vậy, muốn làm được những bài tập dạng này, HS
phải phát hiện được quy luật của các số dựa vào những số đã cho.
Trong các SGK Toán ở tiểu học, thuật ngữ “dãy số” vẫn chưa được đưa vào; tuy
nhiên, trong một số tài liệu bồi dưỡng HSG dành cho HS tiểu học thì chúng tôi nhận thấy
rằng thuật ngữ “dãy số” được sử dụng một cách phổ biến mặc dù trong các tài liệu này
không trình bày thế nào là dãy số? Vậy ở đây khái niệm dãy số mang nghĩa gì? Phải chăng
19


khái niệm “dãy số” được hình thành từ khái niệm dãy số tự nhiên, dãy số là kết quả thu
được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc (quy luật) dễ đoán nào đó? Qua nghiên cứu
một số tài liệu bồi dưỡng HSG chúng tôi thấy rằng, có khá nhiều dạng bài tập về dãy số
được đưa vào giảng dạy cho HS, ví dụ điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy
số; xác định số a có thuộc dãy số đã cho không; tìm số các số hạng dãy số; tính tổng của các
số hạng của dãy số, … Chúng tôi xét cụ thể bài tập sau trong sáng kiến kinh nghiệm về
chuyên đề dãy số ở tiểu học của Nguyễn Văn Tam:
4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau:
a) 3, 9, 27, ......., 729, ....
Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tìm được quy luật của mỗi
dãy số đó.
a. Ta nhận xét: 3x3 = 9
9x3 = 27

Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền
trước.
Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (Đúng).
Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243.
Như vậy, mặc dù trong các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học không trình
bày một cách tường minh thế nào là dãy số, tuy nhiên, thông qua các bài tập chúng ta có thể
thấy rằng khái niệm dãy số ở tiểu học mang nghĩa là kết quả thu được khi viết liên tiếp các
số theo một quy luật dễ đoán nào đó.
Trong SGK Toán 6 có đưa vào bài toán sau:
Cho dãy số sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Trong dãy số trên, mỗi số (kể từ số thứ ba) bằng tổng của hai số liền trước. Hãy
viết tiếp bốn số nữa của dãy.
[1, tr. 17]
Đây là thời điểm đầu tiên mà thuật ngữ “dãy số” xuất hiện trong sách giáo khoa. Dãy
số trong bài toán là dãy số vô hạn và các số trong dãy số được viết theo quy luật là “mỗi số
(kể từ số thứ ba) bằng tổng của hai số liền trước”. Đặc biệt, khái niệm số hạng thứ n của dãy
số cũng xuất hiện một cách ngầm ẩn qua bài toán trên.
20


Tiếp đó, trong mục có thể em chưa biết có đưa vào bài toán tính tổng:

“

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 ”. Các số trong tổng này tạo thành một cấp số cộng, SGK Toán 6 gọi

đây là các số tự nhiên cách đều mà không gọi là dãy số cách đều như một số tài liệu bồi
dưỡng HSG. Trong mục này, SGK Toán 6 còn giới thiệu công thức tính tổng các các số tự
nhiên cách đều là lấy số đầu cộng số cuối, nhân với số số hạng rồi chia cho 2. Đây cũng

chính là công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. Các bài toán dạng này
còn xuất hiện khá nhiều trong SGK và sách bài tập Toán 6. Ví dụ:
45. Tính nhanh:
A = 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33.
5.2. Tính 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100 .
6.3 Tính nhanh:
99 − 97 + 95 − 93 + 91 − 89 + ... + 7 − 5 + 3 − 1.

112. Hãy tính tổng: 8 + 12 + 16 + 20 + ... + 100. …

[12]

Ngoài ra, SGK Toán lớp 6 có đưa thêm bài tập:
a) Trong phép chia cho 2, số dư có thể bằng 0, 1. Trong mỗi phép chia cho 3, 4,
5, số dư có thể bằng bao nhiêu?
b) Dạng tổng quát của số chia hết cho 2 là 2k. Dạng tổng quát của số chia cho 2
dư 1 là 2k +1 (k thuộc N). Hãy viết dạng tổng quát của số chia hết cho 3, số chia
cho 3 dư 1, số chia cho 3 dư 2?”
[12]
Bài tập trên cho thấy các số tự nhiên chia hết cho 2 là 0, 2, 4, 6, 8, … có dạng tổng
quát là 2k, k ∈  . Tương tự đối với các số chia hết cho 3. Như vậy, qua bài tập này hình
thành ở HS kĩ năng tìm dạng tổng quát của các số có chung tính chất, đây cũng chính là
công thức số hạng tổng quát của dãy số.
Như vậy, trong SGK Toán ở bậc tiểu học và THCS, thông qua các bài tập, HS đã
được tiếp xúc với đối tượng dãy số. Các dãy số (hữu hạn và vô hạn) mà HS đã được làm
quen đều là những dãy số gồm các số được viết theo một quy tắc (quy luật) dễ đoán nào đó.
Điều này dẫn chúng tôi đến kết luận sau:
Trước khi khái niệm dãy số được giảng dạy chính thức ở lớp 11, khái niệm dãy số đã
tồn tại ở học sinh với nghĩa là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy luật dễ
đoán nào đó.

21


2.2. Dãy số trong SGK Toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000
Trong M1, bài “Dãy số” nằm trong chương III: “Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số
nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.
Bài 2: Dãy số.
Bài 3: Cấp số cộng.
Bài 4: Cấp số nhân.
Trong hai giáo trình đại học [a] và [b], khái niệm dãy số được đưa vào trước khái
niệm hàm số, vì vậy mà khái niệm dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm ánh xạ, vậy
trong M1, khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? có những cách cho dãy số nào
được M1 đề cập đến?
Khái niệm dãy số được M1 định nghĩa như sau:
1. Định nghĩa. Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên
M = {1; 2;3;...; m} . Một hàm số u xác định trên tập hợp M được gọi là một dãy số

hữu hạn. Tập giá trị của dãy số hữu hạn này là u(1), u(2),..., u(m). Người ta
thường kí hiệu các giá trị đó là u(1) = u1, u(2) = u2, …, u(m) = um và viết dãy số
đã cho dưới dạng sau: u1, u2 ,..., um.
u1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
u2 được gọi là số hạng thứ hai
…
um được gọi là số hạng thứ m (hay số hạng cuối).
Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn
3, 6, 9, 12, 15.
Dãy số này có 5 phần tử là u1 = 3, u2 = 6,u3 = 9, u4 = 12, u5 = 15.
Một hàm số u xác định trên tập hợp * các số tự nhiên khác không được gọi
là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).

Tập giá trị của dãy số u gồm vô số phần tử
u(1) = u1, u(2) = u2, …, u(n) = un ,…
Người ta thường viết dãy số u dưới dạng u1, u2 ,..., un ,...
Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số u.
u1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
22


u2 được gọi là số hạng thứ hai…
un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số u.
Người ta còn kí hiệu một cách ngắn gọn dãy số u là (un) hay nếu không thể
nhầm lẫn thì ta còn kí hiệu dãy số u là un.
Ví dụ.
1

a) Cho dãy số   . Dạng khai triển của nó là
n
1 1
1
1, , ,..., ,...
2 3
n

Số hạng tổng quát của nó là un =

1
.
n

b) Cho dãy số với un = 5. Dạng khai triển của dãy số này là

5, 5, 5, 5,…,5, …
[3, tr. 88- 89]
Như vậy, trong M1, khái niệm dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm hàm số.
Đặc biệt, M1 có định nghĩa dãy số hữu hạn, dãy số hữu hạn là một hàm số xác định trên tập
hợp M gồm hữu hạn số tự nhiên khác không đầu tiên; sau đó M1 mới đưa vào định nghĩa
dãy số vô hạn, dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số) là một hàm số xác định trên tập hợp *
các số tự nhiên khác không và un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy
số u. Thay cho cách gọi u(k) là giá trị của hàm số u tại k, M1 đã kí hiệu u(k) = uk và gọi uk là
số hạng thứ k của dãy số. Ngoài việc được viết dưới dạng khai triển u1, u2,..., un,..., dãy số u
còn được kí hiệu là (un ) hay un (nếu không thể nhầm lẫn).
Chúng tôi nhận thấy khái niệm dãy số hữu hạn được M1 đưa vào trong khi đó ở cấp
độ đại học thì nó không được đề cập đến trong hai giáo trình [a] và [b]. Mặc dù M1 đưa vào
khái niệm dãy số hữu hạn nhưng nó chỉ được nhắc đến một lần trong phần định nghĩa rồi
hoàn toàn không xuất hiện ở những phần sau nữa. Có lẻ vì vậy mà dãy số vô hạn còn được
gọi tắt là dãy số và khi xét một dãy số mà không nói gì thêm thì chúng ta ngầm hiểu dãy số
đó là dãy số vô hạn. Trong khi đó, ở chương trình và SGK Toán bậc tiểu học và THCS,
chúng tôi nhận thấy dãy số hữu hạn được đề cập đến khá nhiều.
Dãy số được định nghĩa dựa trên khái niệm hàm số, dãy số là một hàm số u xác định
trên tập hợp * , có nhiều cách cho hàm số như bảng, công thức, đồ thị, biểu đồ Ven, … Vậy

23