định lý minimax và một số ứng dụng trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------

Nguyễn Thị Tuyết Mai

ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------

Nguyễn Thị Tuyết Mai

ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê
Hoàn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy vì thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo, giúp
đỡ tận tình trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin -Trường Đại học Sư
phạm TPHCM, những người đã cung cấp kiến thức cần thiết trong quá trình
học tập.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong phòng Sau đại học - Đại học Sư phạm
TP HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa
học này.
Cuối cùng, Luận văn sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự ủng hộ,
động viên rất lớn của gia đình và bạn bè. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình
và các bạn Trần Văn Ly, Nguyễn Ngọc Tú,…đã luôn quan tâm, góp ý, giúp
đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012.
Học viên
Nguyễn Thị Tuyết Mai


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa .................................................. Error! Bookmark not defined.
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... 3
MỤC LỤC ......................................................................................................... 4

CÁC KÝ HIỆU ................................................................................................. 5
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 6
CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA. ................................................................ 8
0.1 TÔPÔ YẾU ............................................................................................. 8
0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ ............................................................................ 9
0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER ............................................................... 9
0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE .............................................................. 9
0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM ......................................................... 11
0.6 KHÔNG GIAN HÀM ........................................................................... 13
CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX. ........................................................... 20
1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO ..................................................................... 20
1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT............................................ 24
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG. ........................................................... 31
2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH .................................. 32
2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN ........................................................................ 35
2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH .................................. 41
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 49


CÁC KÝ HIỆU
Ω : miền của  N ,
Lp ( Ω=
) Lp ( Ω, µ=)

{ f : Ω →  đo được, ∫

f d µ < ∞ , 1 ≤ p < ∞}
p

Ω

u p :=

(∫

D ( Ω ) :=

u ( x ) dx
p

Ω

)

1/ p

,

{u ∈ C ( Ω ) : supp u là tập compắc của Ω} .
∞

H 1 (  N ) , D1,2 (  N ) , H 01 (  N ) , D01,2 (  N ) : không gian Sobolev.
2* :=
∞,
N=
1,2,

:= 2 N / ( N − 2 ) ,

N ≥ 3.

o

A : tập mở của A .

A : tập đóng của A .
B ( x, r ) : quả cầu mở với tâm x và bán kính r .
B [ x, r ] : quả cầu đóng với tâm x và bán kính r .
Ta định nghĩa: → là hội tụ mạnh; ⇀ là hội tụ yếu.

Cho hàm ϕ : X →  và S là tập con của X ta có:

ϕ d :=
{u ∈ X : ϕ ( u ) ≤ d },

Sδ :=
{u ∈ X : dist ( u, S ) ≤ δ },
dist ( u , S )= inf { u − v , v ∈ S }.


MỞ ĐẦU
Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân
loại. Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam mê của rất nhiều
thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những
bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của
cuộc sống. Toán học sử dụng những học thuyết toán, kỹ thuật tính toán, thuật
toán, với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin để giải quyết mọi vấn đề từ kinh
tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến những vấn đề thuộc về khoa học xã hội và
nhân văn.

Phương trình vi phân phi tuyến cũng góp phần tạo nên những bí ẩn và ứng
dụng đó. Vậy tại sao chúng ta không thử tìm hiểu để thấy được vẻ đẹp của
nó?
Có thể có người nghĩ giải bài toán tuyến tính thì dễ hơn bài toán phi tuyến.
Nhưng dễ hay khó không là vấn đề nếu ta nắm được chìa khóa của bài toán.
Nhiều bài toán phi tuyến trong vật lý và khoa học xã hội đều có thể quy về
tìm những điểm tới hạn của những hàm số (những hàm số thực trên những
không gian khác nhau). Có nhiều điểm mà tại đó một người đi bộ đi xuyên
qua những dãy núi sẽ nhìn về chiều ngang, không thể trèo lên mà cũng không
tụt xuống. Những điểm tới hạn đầu tiên được học là điểm cực đại và điểm cực
tiểu và nhiều hoạt động trong giải tích được dành để tìm những điểm này.
Một bài toán khó hơn là tìm những điểm mà chúng không phải là điểm cực
đại hay cực tiểu. Cho nên từ khi định lý minimax ra đời, nó đã là một công cụ
quan trọng cho những bài toán như vậy và những ứng dụng của nó bao trùm
nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý học, hình học vi phân, kỹ thuật xây dựng, lý
thuyết điều khiển, sinh vật học và kinh tế học.


Mục đích của luận văn là trình bày các bổ đề, định lý quan trọng và một số
ứng dụng của định lý minimax trong sự nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài
toán biên ( tham khảo trong [8] ).
Luận văn gồm 3 chương
Chương 0 gồm các khái niệm cơ bản như tôpô yếu, điều kiện PalaisSmale, đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet, không gian hàm, định lý nhúng
Sobolev, định lý nhúng Rellich, bất đẳng thức Poincaré.
Chương 1 gồm định lý đường đèo cho không gian Hilbert, nguyên lý
minimax tổng quát, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm
yên ngựa và định lý liên kết.
Chương 2 gồm ứng dụng định lý đường đèo và định lý liên kết để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của 3 bài toán.

CHƯƠNG 0 : CÁC ĐỊNH NGHĨA.
0.1 TÔPÔ YẾU
Giả sử X là không gian tuyến tính, X ′ là không gian liên hợp đại số của X ,
F là không gian con tuyến tính của X .

Tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ F được kí hiệu là σ ( X , F ) . Đó là tôpô yếu
nhất trên X sao cho các phiếm hàm f ∈ F liên tục.
Giả sử X là không gian định chuẩn, X * là không gian liên hợp của X . Tôpô

σ ( X , X * ) gọi là tôpô yếu trên X .
Họ các tập hợp có dạng
n

{

}

U ( x0 ; f1 ,..., f n , ε ) =
 x ∈ X : f k ( x ) − f k ( x0 ) < ε ,
k =1

(trong đó x0 ∈ X ,

{ f1,..., f n } là một họ hữu hạn những phần tử của

X * , ε là

một số dương) là một cơ sở của tôpô yếu trên X .
Tôpô yếu trên không gian định chuẩn yếu hơn tôpô xác định bởi chuẩn (được

gọi là tôpô mạnh).
Các khái niệm: tập hợp đóng yếu, compắc yếu,…được hiểu là tập hợp đóng,
compắc,…đối với tôpô yếu. Các khái niệm: tập hợp đóng mạnh, compắc
mạnh,…được hiểu là tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô mạnh.
Dãy phần tử { xn } của X gọi là hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ X nếu { xn } hội
tụ đến x0 đối với tôpô yếu σ ( X , X * ) . Khi đó, ta viết xn ⇀ x0 .

Dãy phần tử { xn } của X gọi là hội tụ mạnh đến x0 ∈ X nếu { xn } hội tụ đến

x0 đối với tôpô mạnh. Khi đó, ta viết xn ⟶ x0 hoặc lim xn − x0 =
0.
n→∞

Định lý 0.1


Giả sử { xn } là dãy phần tử của không gian định chuẩn X , x0 ∈ X . Khi đó:
1) xn ⇀ x0 ⇔ lim f ( xn ) = f ( x0 ) với mọi f ∈ X * .
n→∞

2) xn ⇀ x0 ⇒ { xn

} bị chặn và

x0 ≤ lim xn .

Định lý 0.2

Cho các không gian Banach X , Y và ánh xạ tuyến tính A : X → Y . Khi đó:

A liên tục ⇔ A liên tục đối với σ ( X , X * ) , σ (Y , Y * ) .
0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ
Cho ( X , d X ) , (Y , dY ) là hai không gian mêtric. Ánh xạ A : X → Y được gọi
là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số thực k ≥ 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ X
thì dY ( Ax1 , Ax2 ) < k .d X ( x1 , x2 ) .

(*)

- Số k ( A ) bé nhất thỏa (*) được gọi là hệ số Lipschitz của A .
- Nếu k ( A ) < 1 ta nói A là ánh xạ co hệ số k = k ( A ) hay A là k -co.
Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ Lipschitz địa phương nếu với mỗi x
trong X tồn tại một lân cận U của x sao cho A bị thu hẹp đến U là ánh xạ
Lipschitz.
0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER
Cho f ∈ Lp , g ∈ Lq ,

1 1
+ =
1 thì fg ∈ L1 , ta có
p q

∫

Ω

fg d µ ≤ f

p

.g

0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE

q

với 1 ≤ p < ∞ .


Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình
Au = 0

(1)

trong đó A : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian Banach.
Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số ϕ : X →  sao cho A = ϕ ′ (đạo hàm
Gateaux của ϕ ), nghĩa là

ϕ ( u + tv ) − ϕ ( u )
.
t →0
t

Au , v = lim

Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X ′ của X và phương
trình (1) tương đương với ϕ ′ ( u ) = 0 , nghĩa là

ϕ ′ ( u ) , v = 0 , ∀v ∈ X .

(2)

Một điểm tới hạn của ϕ là một nghiệm u của (2) và giá trị của ϕ tại u là
một giá trị tới hạn của ϕ . Làm thế nào để tìm những giá trị tới hạn?
Khi ϕ bị chặn dưới, cận dưới đúng
c := inf ϕ
X

là một ứng cử tự nhiên. Nguyên lý biến phân Ekeland [4] dẫn đến sự tồn tại
của một dãy ( un ) sao cho

ϕ ( un ) → c , ϕ ′ ( un ) → 0 .
Một dãy như vậy được gọi là một dãy Palais-Smale tại mức c. Phiếm hàm ϕ
được gọi là thỏa điều kiện ( PS )c nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức c chứa
một dãy con hội tụ. Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện ( PS )c tại mức
c := inf ϕ thì c là một giá trị tới hạn của ϕ .
X

Theo Ambrosetti và Rabinowitz, ta xét trường hợp khi ϕ có cực tiểu địa
phương tại 0 nhưng không là cực tiểu toàn cục. Khi đó tồn tại r > 0 và e ∈ X
sao cho e > r và


inf ϕ ( u ) > ϕ ( 0 ) ≥ ϕ ( e ) .
u =r

Điểm ( 0,ϕ ( 0 ) ) tách biệt ( e,ϕ ( e ) ) bởi một “vòng núi”. Nếu ta xét tập hợp Γ
các đường nối 0 và e thì
c := inf max ϕ ( γ ( t ) )
γ ∈Γ t∈[ 0,1]

cũng là một ứng cử tự nhiên. Lần nữa nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến
sự tồn tại của một dãy ( un ) sao cho

ϕ ( un ) → c , ϕ ′ ( un ) → 0 ,
Nhưng c tổng quát không là một giá trị tới hạn của ϕ .
0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM
Định nghĩa 0.1
Cho U là một tập con mở trong không gian Banach X . Phiếm hàm

ϕ : X →  có đạo hàm Gateaux f ∈ X ′ tại u ∈U nếu với mọi h ∈ X ,
1
lim ϕ ( u + th ) − ϕ ( u ) − f , th  =0 .
t →0 t

Ký hiệu: f , th = f ( th )
Đạo hàm Gateaux của ϕ tại u ghi là ϕ ′ ( u ) .
Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet f ∈ X ′ tại u ∈U nếu

lim
h →0

1
ϕ ( u + h ) − ϕ ( u ) − f , h  =0 .
h 

Phiếm hàm ϕ thuộc C1 (U ,  ) nếu đạo hàm Fréchet của ϕ tồn tại và liên tục
trên U .
Nếu X là không gian Hilbert và phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux tại

u ∈U , gradient của ϕ tại u được định bởi

ϕ′(u ) , h
( ∇ϕ ( u ) , h ) :=
Ghi chú 0.1
a) Đạo hàm Gateaux được cho bởi
1

ϕ ′ ( u=
ϕ ( u + th ) − ϕ ( u ) 
) , h : lim
t →0 t 
b) Đạo hàm Frechet là đạo hàm Gateaux.
c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux liên tục thì ϕ ∈ C1 (U ,  ) .
Định nghĩa 0.2
Cho ϕ ∈ C1 (U ,  ) . Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai L ∈  ( X , X ′ )
tại u ∈U nếu với mọi h, v ∈ X ,
1
lim ϕ ′ ( u + th ) − ϕ ′ ( u ) − Lth, v =
0.
t →0 t

Đạo hàm Gateaux bậc hai tại u ghi là ϕ ′′ ( u ) .
Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet bậc hai L ∈  ( X , X ′ ) tại u ∈U nếu

lim
h →0

1
0.

ϕ ′ ( u + h ) − ϕ ′ ( u ) − Lh  =
h 

Phiếm hàm ϕ thuộc C 2 (U ,  ) nếu đạo hàm Fréchet bậc hai của ϕ tồn tại và
liên tục trên U .
Ghi chú 0.2
a) Đạo hàm Gateaux bậc hai được cho bởi
1
t →0 t

ϕ ′′ ( u =
) h, v : lim ϕ ′ ( u + th ) − ϕ ′ ( u ) , v
b) Đạo hàm Fréchet bậc hai cũng là đạo hàm Gateaux bậc hai.
c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai liên tục thì

ϕ ∈ C 2 (U ,  ) .


0.6 KHÔNG GIAN HÀM
Định nghĩa 0.3
Không gian H 1 (  N ) :=

{u ∈ L (  ) : ∇u ∈ L (  )} .
N

2

N

2

Với tích vô hướng

( u, v )1 =: ∫ [∇u.∇v + uv ]
N

và chuẩn tương ứng
1

2

2
2
u 1 =  ∫ ∇u + u 
 N




là một không gian Hilbert.
Cho Ω là tập mở trong  N . Không gian H 01 ( Ω ) là bao đóng của D ( Ω ) trong

H 1 (  N ).
và 2* : 2 N / ( N − 2 ) .
Cho N ≥ 3=
Không gian D1,2 (  N ) :=

{u ∈ L (  ) : ∇u ∈ L (  )}.
2*

N

N

2

Với tích vô hướng

( u, v )2 := ∫ ∇u.∇v
N

và chuẩn tương ứng


2
u=
∇
u


2
 ∫N



1
2

là một không gian Hilbert. Không gian D01,2 ( Ω ) là bao đóng của D ( Ω ) trong

D1,2 (  N ) .
Ta có kết quả sau


Định lý 0.3 (Định lý nhúng Sobolev)
Các phép nhúng sau đây liên tục:

H 1 (  N ) ⊂ Lp (  N ) , 2 ≤ p < ∞, N =1, 2 ,
H 1 (  N ) ⊂ Lp (  N ) , 2 ≤ p ≤ 2* , N ≥ 3 ,
D1,2 (  N ) ⊂ L2 (  N ) , N ≥ 3 .
*

Đặc biệt, bất đẳng thức Sobolev thỏa mãn
=
S:

inf
1,2

( )

u∈D 
u 2* =1

∇u 2 > 0 .
2

N

Định lý 0.4 (Định lý nhúng Rellich)

Nếu Ω bị chặn, phép nhúng sau compắc
H 01 ( Ω ) ⊂ Lp ( Ω ) , 1 ≤ p < 2* .

Hệ quả 0.1 (Bất đẳng thức Poincaré)
Nếu Ω bị chặn thì bất đẳng thức sau thỏa mãn

=
λ1 ( Ω
):

inf1 ∇u 2 > 0 .
2

u∈H 0 ( Ω )
u 2 =1

Bổ đề

(

Giả sử Ω bị chặn, 1 ≤ p, r < ∞, f ∈ C ( Ω ×  ) và f ( x, u ) ≤ c 1 + u
Khi đó, với mọi u ∈ Lp ( Ω ) thì f (., u ) ∈ Lr ( Ω ) và toán tử
A : Lp ( Ω ) → Lr ( Ω ) : u  f ( x, u ) liên tục.

Chứng minh bổ đề
1) Giả sử u ∈ Lp ( Ω ) .

(

Do f ( x, u ) ≤ c r 1 + u

r

) ∈ L ( Ω ) nên suy ra

p/r r

1

f (., u ) ∈ Lr ( Ω ) .

p/r

).


2) Giả sử un → u trong LP ( Ω ) . Xét dãy con ( vn ) của ( un ) . Khi đó, giả sử
vn ( x ) → u ( x ) hầu khắp nơi trên Ω . Tồn tại dãy con (ωn ) của ( vn ) sao cho:

ω j +1 − ω j p ≤

1
, ∀j ≥ 1 .
2j

∞

Xác định g ( x ) :=
ω1 ( x ) + ∑ ω j +1 ( x ) − ω j ( x ) .
j =1

Khi đó, g hầu khắp nơi trên Ω , ωn ( x ) ≤ g ( x ) và như vậy u ( x ) ≤ g ( x ) .

(

Do f ( x, ωn ) − f ( x, u ) ≤ f ( x, ωn ) + f ( x, u )
r

(

≤  c 1 + ωn


p/r

) (

+ c 1+ u

p/r

)

r

)

r

(

 ≤ 2r c r 1 + g


) ∈ L ( Ω ).

p/r r

1

Từ định lý hội tụ bị chặn Lebesgue suy ra: Aωn → Au trong Lr ( Ω ) .
Vậy Aun → Au trong Lr ( Ω ) .
Bổ đề được chứng minh.
Mệnh đề
Cho Ω là tập mở trong  N và 2 < p < ∞ .
Phiếm hàm

ψ ( u ) := ∫ u , χ ( u ) := ∫ u + thuộc lớp C 2 ( Lp ( Ω ) ,  ) và
p

p

Ω

Ω

ψ ′(u ), h = p∫ u
Ω

p −2

uh , χ ′ ( u ) , h = p ∫ ( u + ) h .
p −1

Ω

Chứng minh
Xác định f ( u ) := p u

p −2

u . Giả sử un → u trong Lp . Theo bổ đề trên suy ra

f ( un ) → f ( u ) trong Lq ( Ω ) với
=
q : p / ( p − 1) .

* Tồn tại đạo hàm Gateaux
Ta chỉ xét hàm ψ , hàm χ được chứng minh tương tự.


Cho u , h ∈ Lp . Với x ∈ Ω và 0 < t < 1 . Do định lý giá trị trung bình trong
tích phân cho hàm số =
g1 ( s ) : p u ( x ) + s.h ( x )

p −1

. h ( x ) liên tục trên [ 0,t ] , tồn

tại λ ∈ ( 0,1) sao cho
t

∫ g ( s )ds = t.g ( λ )
1

1

0

⇒ u ( x ) + t.h ( x ) − u ( x ) = tp u ( x ) + λ.h ( x )
p

p

u ( x ) + t.h ( x ) − u ( x )
p

⇒

⇒

h( x)

p −1

h( x)

p

=
p u ( x ) + λ.h ( x )

t

u ( x ) + t.h ( x ) − u ( x )
p

p −1

p
p −1

=
p u ( x ) + λ.h ( x ) h ( x )

t

≤ p  u ( x ) + h ( x ) 

Bất đẳng thức Holder suy ra
 u ( x ) + h ( x ) 

p −1

h ( x ) ∈ L1 ( Ω )

Từ định lý Lebesgue suy ra

ψ ′(u ), h = p∫ u

p −2

Ω

uh .

* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux
Ta có: ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) , h = ψ ′ ( un ) , h − ψ ′ ( u ) , h
= p ∫ un

p −2

Ω

Do đó ta có:

=

∫

=

∫

Ω

(pu

Ω

un h − p ∫ u

p −2

Ω

p −2
n

un − p u

 f ( un ) − f ( u ) h

p −2

uh

)

uh

p −1

h( x)


ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) , h ≤

∫

Ω

 f ( un ) − f ( u ) h ≤ ∫  f ( un ) − f ( u )  h
Ω

Áp dụng bất đẳng thức Holder với =
p, q p / ( p − 1) ta được:

ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) , h ≤ f ( un ) − f ( u ) q . h p
Và như vậy:

ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) ≤ f ( un ) − f ( u ) q → 0, n → ∞ .
* Tồn tại đạo hàm Gateaux bậc hai
Cho u , h, v ∈ Lp ( Ω ) . Với x ∈ Ω và 0 < t < 1 .
Ta có:
1
t →0 t

ϕ ′′ ( u=
) h, v lim ϕ ′ ( u + th ) − ϕ ′ ( u ) , v
Xét ϕ ′ ( u + th ) − ϕ ′ ( u ) , v =

ϕ ′ ( u + th ) , v − ϕ ′ ( u ) , v
= p ∫ u + th
Ω

p −2

( u + th ) v − p ∫Ω u

p −2

uv

 p u + th p −2 ( u + th ) − p u p −2 u v
Ω


=

∫

=

∫

Ω

 f ( u + th ) − f ( u ) v

Do định lý giá trị trung bình trong tích phân cho hàm số

g 2 ( s ) :=
p ( p − 1) u ( x ) + s.h ( x )

p −2

. v ( x ) liên tục trên [ 0,t ] , tồn tại λ ∈ ( 0,1)

sao cho
t

∫ g ( s )ds = t.g ( λ ).
2

Do đó

2

0

 f ( u ( x ) + th ( x ) ) − f ( u ( x ) )  v ( x )
p −2
=
p ( p − 1) u ( x ) + λ h ( x )
v( x)
t


≤ p ( p − 1)  u ( x ) + h ( x ) 

p −2

h( x) v( x)

Bất đẳng thức Holder suy ra

 u ( x ) + h ( x ) 

p −2

h ( x ) v ( x ) ∈ L1 ( Ω ) .

Từ định lý Lebesgue suy ra

ψ ′′ ( u ) h=
,v
p ( p − 1) ∫ u

p −2

Ω

hv .

* Tính liên tục của đạo hàm Gateaux bậc hai

u ) : p ( p − 1) u
Xác định g (=

p −2

.

Giả sử un → u trong Lp . Từ bổ đề trên ta có: g ( un ) → g ( u ) trong Lr với
=
r : p / ( p − 2) .

Ta có: (ψ ′′ ( un ) − ψ ′′ ( u ) ) h, v = ψ ′′ ( un ) h, v − ψ ′′ ( u ) h, v
= p ( p − 1) ∫ un
Ω

p −2

hv − p ( p − 1) ∫ u
Ω

=

∫

Ω

( p ( p − 1) u

=

∫

Ω

 g ( un ) − g ( u ) hv

p −2
n

p −2

− p ( p − 1) u

p −2

)hv

Do đó ta có

(ψ ′′ ( u ) −ψ ′′ ( u ) ) h, v

=

n

∫

Ω

 g ( un ) − g ( u ) hv ≤ ∫  g ( un ) − g ( u )  hv
Ω

Áp dụng bất đẳng thức Holder với =
p, r p / ( p − 2 ) ta được:

(ψ ′′ ( u ) −ψ ′′ ( u ) ) h, v
n

≤ g ( un ) − g ( u ) r h p v p ,

Và như vậy

ψ ′′ ( un ) − ψ ′′ ( u ) ≤ g ( un ) − g ( u ) r → 0, n → ∞.
Mệnh đề được chứng minh.

hv


Hệ quả 0.2
a) Cho 2 < p < ∞ nếu N = 1,2 và 2 < p ≤ 2* nếu N ≥ 3 . Phiếm hàm ψ và

χ thuộc lớp C 2 ( H 01 ( Ω ) ,  ) .
b) Cho N ≥ 3 và p = 2* . Phiếm hàm ψ và χ thuộc lớp C 2 ( D01,2 ( Ω ) ,  ) .
Chứng minh
Kết quả suy trực tiếp từ định lý Sobolev.


CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX.
1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO
1.1.1 Bổ đề biến đổi số lượng
Ta sẽ chứng minh trường hợp đơn giản của bổ đề biến đổi số lượng. Trường
hợp tổng quát sẽ chứng minh sau.

(

)

ϕ d ϕ −1 ( −∞, d ] .
Ta định nghĩa:=
Bổ đề 1.1
Cho X là không gian Hilbert, ϕ ∈ C 2 ( X ,  ) , c ∈ , ε > 0 . Giả sử

( ∀u ∈ϕ ([c − 2ε , c + 2ε ]) ) : ϕ ′ ( u ) ≥ 2ε .
−1

Khi đó, tồn tại η ∈ C ( X , X ) sao cho
(i)

η ( u )= u, ∀u ∉ ϕ −1 ([ c − 2ε , c + 2ε ]) ,

(ii)

η (ϕ c+ε ) ⊂ ϕ c−ε .

Chứng minh
Ta định nghĩa:

A := ϕ −1 ([ c − 2ε , c + 2ε ]) ,
B=: ϕ −1 ([ c − ε , c + ε ]) ,
=
ψ ( u ) : dist ( u , X \ A ) ( dist ( u , X \ A ) + dist ( u, B ) ) .
−1

Như vậy ψ liên tục Lipschitz địa phương, ψ = 1 trên B và ψ = 0 trên X \ A .
Ta định nghĩa trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương

f ( u ) :=
−ψ ( u ) ∇ϕ ( u )

−2

∇ϕ ( u ) , u ∈ A ,

:= 0 ,

Ta có : f ( u ) =ψ ( u ) ∇ϕ ( u )

u∈ X \ A,
−1

≤ ∇ϕ ( u )

−1

≤ ( 2ε )

−1

trên X .


Với mỗi u ∈ X , bài toán Cauchy
d
 σ ( t , u ) = f (σ ( t , u ) )
 dt
σ ( 0, u ) = u


có duy nhất nghiệm σ (.,u ) xác định trên  . Hơn nữa, σ liên tục trên  × X .
Ánh xạ η xác định trên X bởi η ( u ) := σ ( 2ε , u ) thỏa (i) vì
d
d



ϕ (σ ( t , u ) ) =  ∇ ϕ (σ ( t , u ) ) , σ ( t , u ) 
dt
dt



=

(3)

( ∇ ϕ (σ ( t , u ) ) , f (σ ( t , u ) ) )

(

=
∇ϕ (σ ( t , u ) ) , −ψ (σ ( t , u ) ) ∇ϕ (σ ( t , u ) )

−2

∇ ϕ (σ ( t , u ) )

)

=
−ψ (σ ( t , u ) ) ∇ϕ (σ ( t , u ) )

−2

( ∇ ϕ (σ ( t , u ) ) , ∇ ϕ (σ ( t , u ) ) )

=
−ψ (σ ( t , u ) ) ∇ϕ (σ ( t , u ) )

−2

. ∇ ϕ (σ ( t , u ) )

2

= −ψ (σ ( t , u ) )

ϕ (σ (.,u ) ) không giảm. Lấy u ∈ ϕ c +ε . Nếu tồn tại t ∈ [ 0, 2ε ] sao cho

ϕ (σ ( t , u ) ) < c − ε thì ϕ (σ ( 2ε ,u ) ) < c − ε và (ii) được thỏa mãn. Nếu

σ ( t , u ) ∈ ϕ −1 ([ c − ε , c + ε ]) , ∀t ∈ [ 0,2ε ] ,
Từ (3) ta được

ϕ (σ ( 2ε =
,u )) ϕ (u ) +

2ε

∫ dt ϕ (σ ( t , u ) )dt
d

0

2ε

= ϕ ( u ) − ∫ ψ (σ ( t , u ) )dt
0

≤ c + ε − 2ε = c − ε

Bổ đề được chứng minh.


1.1.2 Định lý đường đèo
Định lý đường đèo là định lý đơn giản nhất và thường dùng nhất trong định lý
minimax.
Định lý 1.1
Cho X là không gian Hilbert, ϕ ∈ C 2 ( X ,  ) , e ∈ X và r > 0 sao cho e > r
và

b=: inf ϕ ( u ) > ϕ ( 0 ) ≥ ϕ ( e ) .
u =r

(4)

Khi đó, với mỗi ε > 0 , tồn tại u ∈ X sao cho
a) c − 2ε ≤ ϕ ( u ) ≤ c + 2ε ,
b) ϕ ′ ( u ) < 2ε ,
trong đó c := inf max ϕ ( γ ( t ) ) và Γ =:
γ ∈Γ t∈[ 0,1]

{γ ∈ C ([0,1], X ) : γ ( 0 )=

}

0, γ (1)= e .

Chứng minh
Từ giả thiết (4) suy ra
b ≤ max ϕ ( γ ( t ) ) .
t∈[ 0,1]

Và như vậy
b ≤ c ≤ max ϕ ( te ) .
t∈[ 0,1]

Giả sử với ε > 0 , kết luận của định lý không thỏa mãn là ϕ ′ ( u ) ≥ 2ε . Ta có
thể giả sử:
c − 2ε > ϕ ( 0 ) ≥ ϕ ( e ) (5)

Từ định nghĩa của c , tồn tại γ ∈ Γ sao cho
max ϕ ( γ ( t ) ) ≤ c + ε .(6)
t∈[ 0,1]

Xét β := η  γ , trong đó η cho bởi bổ đề 1.1.
Dùng (i) trong bổ đề 1.1 và (5), ta có:


β=
0 ) ) η=
( 0 ) η (γ (=
( 0) 0 .
Và tương tự β=
( e ) e , như vậy β ∈ Γ .
(1) η (γ =

(1) ) η=
Dùng (ii) trong bổ đề 1.1 và (6), ta có:
c ≤ max ϕ ( β ( t ) ) ≤ c − ε .
t∈[ 0,1]

Mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.
Để chứng minh c là giá trị tới hạn của ϕ , ta cần điều kiện compắc sau
Định nghĩa 1.1 (Brezis-Coron-Nirenberg, 1980)
Cho X là không gian Banach, ϕ ∈ C1 ( X ,  ) và c ∈  . Hàm số ϕ thỏa mãn
điều kiện ( PS )c nếu với mọi dãy ( un ) ⊂ X sao cho

ϕ ( u n ) → c, ϕ ′ ( u n ) → 0

(7)

có một dãy con hội tụ.
Định lý 1.2 (Ambrosetti-Rabinowitz, 1973)
Với các giả thiết trong Định lý 1.1, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( PS )c thì c là
giá trị tới hạn của ϕ .
Chứng minh
Từ Định lý 1.1 suy ra tồn tại dãy ( un ) ⊂ X sao cho

ϕ ( u n ) → c, ϕ ′ ( u n ) → 0
Từ điều kiện ( PS )c , ( un ) có một dãy con hội tụ về u ∈ X .
Khi đó, ϕ ( u ) = c và ϕ ′ ( u ) = 0 .
Vậy c là giá trị tới hạn của ϕ .
Thí dụ (Brezis-Nirenberg, 1991)
Với các giả thiết trong Định lý 1.1 tổng quát, c không là giá trị tới hạn của ϕ .
Ta định nghĩa ϕ ∈ C ∞ (  2 ,  ) bởi

ϕ ( x, y ) := x 2 + (1 − x ) y 2
3

Khi đó, ϕ thỏa mãn các giả thiết trong Định lý 1.1. Nhưng chỉ có 0 là giá trị
tới hạn của ϕ .
1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT
Phần này ta chỉ chứng minh nguyên lý Minimax tổng quát.
1.2.1 Bổ đề biến đổi số lượng
Định nghĩa 1.2
Cho M

là không gian Mêtric, X

là không gian định chuẩn và

h : M → X ′ \ {0} là ánh xạ liên tục. Một trường vectơ giả gradient

(pseudogradient) của h trên M là một trường vectơ liên tục Lipschitz địa
phương g : M → X sao cho với mọi u ∈ M ,

g (u ) ≤ 2 h (u ) , h (u ) , g (u ) ≥ h (u ) .
2

Bổ đề 1.2
Với các giả thiết của định nghĩa trên, tồn tại một trường vectơ giả gradient
của h trên M .
Chứng minh
Với mỗi v ∈ M , tồn tại x ∈ X sao cho x = 1 và h ( v ) , x >

Xác định y :=

2
h(v) .
3

3
h ( v ) x do đó
2
=
y

h(v), y = h(v),

3
3
h (=
v) . x
h ( v ) < 2 h ( v ) và
2
2

3
3
3
2
h(v) x = h(v) h(v), x > h(v) . h(v) = h(v)
2
2
2

3

Vì h liên tục nên tồn tại lân cận mở N v của v sao cho

y ≤ 2 h (u ) , h (u ) , y ≥ h (u ) ,
2

(8)

2


với mọi u ∈ N v . Họ
𝒩:
=

{ N v : v ∈ X } là một phủ mở của

M . Vì M là không

gian Mêtric, do đó paracompắc, tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương ℳ

=:

{M i : i ∈ I } của

M mịn hơn 𝒩. Với mỗi i ∈ I , tồn tại v ∈ M sao cho

M i ⊂ N v . Do đó tồn tại y = yi sao cho (8) thỏa mãn với mọi u ∈ M i . Định
nghĩa trên M ,

ρi ( u ) := dist ( u, X \ M i )
g ( u ) := ∑
i∈I

ρi ( u )
yi
ρ
u
(
)
∑ j
j∈I

Khi đó, kiểm tra được g là trường vectơ giả gradient của h trên M .
Vì g ( u )
=

∑
i∈I

ρi ( u )
yi
=
u
ρ
(
)
∑ j
j∈I

h (u ), g (u )
=

∑
i∈I

ρi ( u )
yi ≤ yi ≤ 2 h ( u ) và
u
ρ
(
)
∑ j
j∈I

ρ (u )
h=
yi
(u ), ∑ i
i∈I ∑ ρ j ( u )

∑
i∈I

j∈I

ρi ( u )
h ( u ) , yi ≥ h ( u )
∑ ρ j (u )

2

j∈I

Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.3
Cho X là không gian Banach, ϕ ∈ C1 ( X ,  ) , S ⊂ X , c ∈ , ε , δ > 0 sao
cho

( ∀u ∈ϕ ([c − 2ε , c + 2ε ]) ∩ S ) : ϕ ′ ( u ) ≥ 8δε .
−1

2δ

Khi đó, tồn tại η ∈ C ([ 0,1] × X , X ) sao cho
(i) η ( t , u ) = u nếu t = 0 hoặc nếu u ∉ ϕ −1 ([ c − 2ε , c + 2ε ]) ∩ S2δ ,
(ii) η (1,ϕ c +ε ∩ S ) ⊂ ϕ c −ε ,
(iii) η ( t ,.) là đồng phôi của X , ∀t ∈ [ 0,1] ,

(9)