định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

An Thị Thúy Nga

ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ
ĐỊNH THỨC DIEUDONNE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

An Thị Thúy Nga

ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ
ĐỊNH THỨC DIEUDONNE
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS BÙI XUÂN HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Bùi Xuân Hải - người thầy đã tận tình giúp
đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô của Trường, Phòng Sau đại học, Khoa
Toán học, bộ môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt
khóa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.
Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và
bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn.
TP. HCM, ngày 27 tháng 9 năm 2013

An Thị Thúy Nga

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU........................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN ...................................... 5
1.1. Một số khái niệm cơ bản .............................................................................................5
1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán ................................................................6
1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán ................................................6
1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán ........................................8
1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch ........................................12
1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán .....................................13
1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa...............................................................................13
1.6.2. Phương pháp khai triển .........................................................................................14

1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác ...............................................15
1.6.4. Phương pháp quy nạp ............................................................................................15
1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán ...................................................16

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE ............................................................ 22
2.1. Một số khái niệm cơ bản ...........................................................................................22
2.2. Định nghĩa định thức Dieudonne .............................................................................26
2.3. Một số tính chất của định thức Dieudonne..............................................................26
2.4. Sự tồn tại của định thức Dieudonne .........................................................................29
2.5. Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne ............32
2.6. Một số phương pháp tính định thức Dieudonne .....................................................36
2.6.1. Phương pháp 1 .......................................................................................................36
2.6.2. Phương pháp 2 .......................................................................................................36
2.7. So sánh định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne .........................37
2.7.1. Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức ....................................................37
2.7.2. Một số tính chất khác nhau giữa hai định thức .....................................................38

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41

2


BẢNG KÍ HIỆU
a, b =

{a, a + 1, a + 2,..., b} , trong đó

a, b ∈  và a < b

R* - Nhóm nhân của vành R
AT - Ma trận chuyển vị của ma trận A

Mn ( R ) - Vành ma trận vuông cấp n trên vành R

GLn ( R ) - Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R
En ( R ) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R

[ a, b] = a−1b−1ab - Giao hoán tử của các phần tử

[ H , K ] - Nhóm con của

a và b trong nhóm G

G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng [ a, b ] với

a ∈ H , b ∈ K ( H , K là các tập con khác rỗng của G

3


MỞ ĐẦU
Đại số tuyến tính nói chung và Lý thuyết định thức nói riêng được xây dựng trên
trường. Trường là cấu trúc trọn vẹn nhất nên việc xây dựng định thức trên đó có
nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Tuy nhiên nếu thay đổi trường bằng một cấu
trúc đại số khác, mà cụ thể là vành giao hoán có đơn vị và vành chia thì kết quả đã
biết còn đúng, hay được thay đổi như thế nào.
Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao
hoán của phép nhân giữa các phần tử. Còn đối với định thức Dieudonne nghiên cứu
trên vành chia. Sự khác biệt của vành giao hoán và vành chia dẫn đến sự khác biệt

của hai định thức trên.
Trên đây là một số lý do chúng tôi chọn đề tài “Định thức trên vành giao hoán
và định thức Dieudonne” để nghiên cứu và tìm hiểu.
Luận văn sẽ tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức trên vành giao hoán và định
thức Dieudonne, sau đó so sánh những điểm giống và khác nhau giữa hai định thức
này.
Bố cục luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1 - Định thức trên vành giao hoán
Chương 2 - Định thức Dieudonne
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn
này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và
các bạn. Xin chân thành cảm ơn.

4


CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
1.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Xét X = {1, 2,.., n} với n là số nguyên dương. Đặt Sn là tập hợp các
song ánh từ X vào X . Ta định nghĩa
1) Mỗi phần tử s ∈ Sn được gọi là một phép hoán vị bậc n hay một phép thế bậc
n và được biểu diễn bởi ma trận loại 2 × n
 1
2
...
n 
s=
,
 s (1) s ( 2 ) ... s ( n ) 




trong đó ở dòng thứ nhất, các phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó (thường
là 1, 2,…, n), dòng thứ hai gồm ảnh của dòng thứ nhất qua song ánh s .
2) Với mỗi số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn được gọi là k - chu trình có
chiều dài k nếu tồn tại các phần tử phân biệt i1 , i2 ,..., ik ∈ X sao cho
=
s ( i1 ) i2=
s ( ik −1 ) ik=
; s ( i2 ) i3 ;...;=
; s ( ik ) i1 và s ( j ) = j

với mọi j ∉ {ik , i2 ,..., ik } . Khi đó ta viết s = ( i1 i2 ...i k ) .
Hai chu trình s = ( i1 i2 ... ik ) và t = ( j1 j2 ... jl ) được gọi là rời nhau nếu
∅.
{i , i ,..., i } ∩ { j , j ,..., j } =
1

2

k

1

2

l

Mỗi 2 - chu trình được gọi là một chuyển vị. Như vậy, mỗi chuyển vị có dạng
s = ( i j ) với 1 ≤ i ≠ j ≤ n.

Định lý 1.1.2. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chu trình rời
nhau. Cách phân tích duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình.
Bổ đề 1.1.3. Mọi chu trình được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích
không duy nhất.
Định lý 1.1.4. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách
phân tích không duy nhất nhưng tính chẵn lẻ của số các chuyển vị là duy nhất.
Chú ý 1.1.5. Xét phép hoán vị s . Gọi k là số chuyển vị trong phân tích s thành tích
các chuyển vị. Đặt
5


sgn ( s ) =

( −1)

k

.

Theo Định lý 1.1.4, sgn ( s ) không phụ thuộc vào cách phân tích s .
- Nếu sgn ( s ) = 1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số chẵn các
chuyển vị. Ta nói s là một hoán vị chẵn.
- Nếu sgn ( s ) = −1 thì s được phân tích dưới dạng tích của một số lẻ các chuyển
vị. Ta nói s là một hoán vị lẻ.
- Với các phép hoán vị s và t, ta có

( )

sgn s −1 = sgn ( s ) và sgn=

( st ) sgn ( s ) ⋅ sgn ( t ) .

- Với s là một k - chu trình, ta có sgn ( s ) =

( −1)

k −1

.

Ví dụ 1.1.6. Xét hoán vị s = (1 3 6 )( 2 8 5 10 9 ) . Ta có
s = (1 3)(1 6 )( 2 9 )( 2 10 )( 2 5 )( 2 8 ) .

Vậy s được phân tích dưới dạng tích của 6 chuyển vị nên sgn ( s ) = 1, do đó s là hoán
chẵn.
1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán
Xét R là vành giao hoán, có đơn vị.
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Cho A  aij  là ma trận
vuông cấp n trên R . Định thức của ma trận A trên R , được kí hiệu là detA hay A và
xác định bởi
detA   sgn s a1s1a2s2 ...ansn .
s Sn

1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán
Tính chất 1.3.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R và AT là ma trận chuyển vị
của ma trận A . Khi đó
detAT  detA .

Chứng minh. Giả sử A  aij  và AT  bij  thì bij  a ji , i, j  1, n . Khi đó ta có
6

detAT   sgn s b1s1b2s2 ...bnsn
s Sn

  sgn s as11as22 ...asnn
s Sn





s 1 Sn

sgn s 1 a1s11a2s12 ...ans1n

  sgn t a1t1a2 t2 ...antn
t Sn

 detA

Tính chất 1.3.2. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu.
Chứng minh. Đặt A  aij  , giả sử trong ma trận A đổi dòng i và dòng j 1  i, j  n

 

ta được ma trận mới A  aij .
Khi đó
detA   sgn s a1s1 ...aisi ....a js j ....ansn
s Sn

=

 sgn s a

s Sn

1s 1

...a jsi ....ais j ....ansn .

Với mỗi s  Sn , đặt t  Sn sao cho
t i  s  j 

t  j   s i

t k   s k  , k  i, j.


Khi đó, sgn t   sgn s  và
a1s1 ...a jsi ...ais j ...ansn  a1t1 ...aiti ...a jt j ...antn .

Do đó
detA    sgn t a1t1 ...aiti ...a jt j ...antn
t Sn

 -  sgn t a1t1 ...aiti ...a jt j ...antn
t Sn

 - detA.

Tính chất 1.3.3. Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA  0.
Tính chất 1.3.4. Cho ma trận vuông A  aij  cấp n trên R. Nếu nhân vào dòng thứ i
của ma trận A với k  R thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A
nhân với k .
7


Chứng minh. Giả sử trong ma trận A tất cả các hệ số của dòng i được nhân lên k

 

lần, còn các dòng khác giữ nguyên ta nhận được ma trận mới A  aij . Khi đó
detA   sgn s a1s1 ...aisi ....ansn
s Sn



 sgn s a

1s 1

s Sn





... kaisi ....ansn

 k  sgn s a1s1 ...aisi ....ansn
s Sn

 kdetA.

Hệ quả 1.3.5. Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội k  R của một dòng khác
thì detA  0 .
Tính chất 1.3.6. Cho ma trận vuông A  aij  cấp n trên R và giả sử dòng thứ
i i  1, n của A có tính chất aij  bij  cij với bij , cij  R . Khi đó, ta có
a11
...

a12
...

detA  bi1  ci1
...

bi 2  ci 2
...

an1

an 2

...

a11
...

a12
...

... a1n
... ...

a11
...

a12
...

... a1n
... ...

... bin  cin  bi1
...
...
...

bi 2
...

... bin  ci1
... ...
...

ci 2
...

... cin

a1n
...

...

...

an1 an 2 ... ann


ann

detB

... ...
an1 an 2 ... ann

detC

Chứng minh.
detA   sgn s a1s1 ...aisi ...ansn
s Sn



 sgn s a

s Sn

1s 1





... bisi  cisi ...ansn

  sgn s a1s1 ...bisi ...ansn   sgn s a1s1 ...cisi ...ansn
s Sn

s Sn

 detB  detC

Tính chất 1.3.7. Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội k  R
của một dòng khác thì định thức của nó không đổi.
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.3.3 và tính chất 1.3.4
1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán
Định nghĩa 1.4.1. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R. Với mỗi i, j ta gọi
i j

Aij  1

8

detA i; j 

là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A i; j  là ma trận vuông cấp n 1 có được từ
A bằng cách xóa dòng i, cột j.

Định nghĩa 1.4.2. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R. Với mỗi bộ k số

i1 , i2 ,..., ik  và  j1 , j2 ,..., jk  , thỏa 1  i1  i2  ...  ik  n và 1  j1  j2  ...  jk  n, ta gọi
M

ai1 j1

ai1 j2

... ai1 jk

ai2 j1

ai2 j2

... ai2 jk

...

...

aik j1

aik j2

...

...

... aik jk

là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,.., jk .
i1 ...ik  j1 ... jk

Ta gọi M   1

detA i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk  là phần bù đại số của M , trong

đó A i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk  là ma trận có từ A bằng cách xóa các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột
j1 , j2 ,.., jk .

Bổ đề 1.4.3. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R. Nếu tồn tại i, j sao cho
aik  0 với mọi k  j thì
detA  aij Aij ,

trong đó Aij là phần bù đại số của aij .
Chứng minh. Do aik  0 với mọi k  j nên
detA 

 sgn s a

a

1s 1 2 s 2

s Sn ;
s i j

...ansn .

Với mỗi s thỏa s i  j , đặt t  asb , trong đó
a  n... j  1 j  và b  i i  1 ...n .
n j

Khi đó, sgn a   1

ni

và sgn b   1

nên

sgn t   sgn a  sgn s  sgn b 
2 n -i - j

 -1

i j

 1

i j

 1

Và đồng thời
9

sgn s 
sgn s 

sgn s .


t n  asb n  as i  a  j   n

nên có có thể xem như t  Sn1 và phép tương ứng s  t là một tương ứng 11 giữa

s  Sn s i  j và

Sn1 . Hơn nữa, với mỗi k  1, n 1 , ta có

Nếu k  i thì t k   asb k   a s k  nên
khi σ ( k ) < j;

σ ( k )
τ (k) = 
σ ( k ) − 1

khi σ ( k ) > j.

Nếu k  i thì t k   asb k   a s k 1 nên
khi σ ( k + 1) < j;
σ ( k + 1)
τ (k) = 
σ ( k + 1) − 1 khi σ ( k + 1) > j.

=
B A=
Do đó nếu đặt
( i; j) ( bkl ) thì
a1σ(1) a 2σ( 2) ...a nσ( n ) = a ijb1τ(1) ...b n −1τ( n −1) .

Suy ra
detA 

 sgn s a



a

1s 1 2 s 2

s Sn ;
s i j

 1

i j

t Sn1

i j

 1

i j

 1

aij

...ansn

sgn t aij b1t1 ...bn1tn1

 sgn t b

t Sn1

1t1

...bn1tn1

aij detB

 aij Aij

Định lý 1.4.4. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R . Với mỗi i, j gọi Aij là
phần bù đại số của aij . Ta có
i) Công thức khai triển detA theo dòng thứ i :
n

detA   aik A ik .
k=1

ii) Công thức khai triển detA theo cột thứ j :
n

detA   akj A kj .
k=1

Chứng minh. i) Với mỗi k ∈1, n đặt
10


 a11

 ...
Bk =  0

 ...
 a
 n1

... a1( k −1)

a1k

a1( k +1)

...
...

...
a ik

...
0

...
a nk

...

...
0

...
...
... a n ( k −1)

a n ( k +1)

... a1n 

... ... 
... 0  .

... ... 
... a nn 

Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có
n

detA   det  Bk .

k=1

Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có det  Bk   aik Aik nên
n

detA   aik Aik .
k=1

ii) Với mỗi k ∈1, n đặt
... 0
 a11

.... 0
 ...
 a ( k −1)1 ... 0

Bk =  a k1
... a kj
a
 ( k +1)1 ... 0
 ...
... 0

... 0
 a n1

... a1n 

...
... 

... a ( k −1)n 

... a kn  .
... a ( k +1)n 
...
... 

... a nn 

Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có
n

detA   det  Bk .
k=1

Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có det  Bk   akj Akj nên
n

detA   akj Akj .
k=1

Hệ quả 1.4.5. Cho A  aij  là ma trận tam giác trên (dưới) trong R. Khi đó detA
bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của A .
Định lý 1.4.6. (Định lý Laplace ). Cho A = ( a ij ) là ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó,
với k dòng cho trước, định thức của A bằng tổng tất cả các tích của định thức con
cấp k lấy ra từ k dòng đó với phần bù đại số của nó, nghĩa là
i) với mỗi 1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ n , ta có
11

n



detA 

M . M ,

1 j1 ... jk n

ii) với mỗi 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n , ta có
n

detA 



M . M ,

1i1 ...ik n

trong đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1 , i 2 ,..., i k và các cột
j1 , j2 ,..., jk và M′ là phần bù đại số của M.

Định lý 1.4.7. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp trên R . Khi đó
det ( AB
=
) detA ⋅ detB.

1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch

Định nghĩa 1.5.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R. Ma trận A được gọi là khả
nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n trên R sao cho AB
= BA
= In .
Định lý 1.5.2. Cho A  aij  là ma trận vuông cấp n trên R và đặt B  bij    Aij  , trong
T

đó Aij là phần phụ đại số của phần tử aij . Khi đó ta có
i) AB  BA  detA.I n .
ii) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch.
Chứng minh.
i) Đặt AB = ( cij ) , ta có
c=
ij

n

∑a
k =1

b= ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + ain bnj

ik kj

= ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ... + ain A jn
=

ai1 ( −1)

j +1

detA ( j;1) + ai 2 ( −1)

j+2

detA ( j; 2 ) + ... + ain ( −1)

j+n

detA ( j; n ) .

Nếu i = j thì c=
ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain A=
detA.
ij
in
Nếu i ≠ j thì ta thay dòng thứ j trong A bằng dòng thứ i ta nhận được ma trận A′

12


 a11

 ...
 ai1

=
hay A  ...
 a j1


 ...
a
 n1

a12
...
ai 2
...
aj2
...
an 2

... a1n 

... ... 
... ain 

=
... ...  ⇒ A′
... a jn 

... ... 
... ann 

 a11

 ...
 ai1

 ...

 ai1

 ...

 an1

a12
...
ai 2
...
ai 2
...
an 2

... a1n 

... ... 
... ain 

... ...  .
... ain 

... ... 
... ann 

Trong A′ nếu ta xóa dòng j cột k thì ta nhận được ma trận bằng ma trận thu được từ
A bằng cách xóa dòng j cột k , nghĩa là A′ ( j; k ) = A ( j; k ) . Khi đó ta có

cij=

ai1 ( −1)

j +1

det A′ ( j;1) + ai 2 ( −1)

j+2

det A′ ( j; 2 ) + ... + ain ( −1)

j+n

det A′ ( j; n )

= det A′
= 0.

Vậy ta có
cij

det A

0

khi i = j
=
∀i, j 1, n .
khi i ≠ j

Suy ra AB = ( detA ) .I n . Tương tự, ta cũng chứng minh được BA = ( detA ) .I n . Vậy

AB
= BA
=

( detA ) .I n .

ii) Giả sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho
AB
= BA
= In ,

=
.detB detB
=
.detA 1 . Do đó detA khả nghịch.
suy ra detA
= BA
= ( detA ) .I n với B = ( Aij )
Ngược lại, nếu detA khả nghịch mà theo i) ta có AB

T

thì suy ra
−1
( detA )−1 .B  =
A=
detA ) .B  A I n .
(

 



Vậy ma trận A khả nghịch.
1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán
1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa

Để tính định thức của ma trận vuông A = (aij ) cấp n ta dùng định nghĩa
detA   sgn s a1s1a2s2 ...ansn .
s Sn

13


Tuy nhiên, phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với định thức cấp 2, cấp 3 còn dùng
để tính định thức cấp n, ( n ≥ 4 ) thì không đơn giản.
Ví dụ 1.6.1. Tính định thức của ma trận
a

a 

a) A   11 12 
a21 a22 
Ta có S2 = { Id; (1 2 )} nên
detA  sgn s1  a1s11a2s12  sgn s 2  a1s2 1a2s2 2
 a11a22  a12 a21 .

 a11

b) B  a21


a31

a12
a22
a32

a13 

a23 

a33 

Ta có S3 = {s1 , s 2 , s3 , s 4 , s5 , s6 } , trong đó
s1  Id , s 2  1 2 3 , s3  1 3 2 , s 4  1 3 , s5  2 3 , s 6  1 2

Do đó
detB   sgn si  a1s 1a2s 2a3s 3
i

si S3

i

i

= a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a32 a21  a13 a22 a31  a11a23 a32  a12 a21a33

1.6.2. Phương pháp khai triển

Để tính định thức của ma trận vuông A cấp n , ta dùng công thức khai triển

theo dòng thứ i hay cột thứ j , thường chọn dòng hay cột có nhiều phần tử 0.
Ví dụ 1.6.2. Tính định thức
1
2
D
=
3
1

0
0
2
0

2
3
1
0

3
0 2 3
0
4+ 4
= 1. ( −1) 0 3 0 (Khai triển định thức theo dòng thứ 4)
4
2 1 4
0

0 2 1
1

3+ 3 2
= 0 3 =
0 2. ( −1)
(Khai triển định thức theo cột thứ 1)
3 0
2 1 4

=
2 ( 2.0 − 1.3) =
−6 .

14


1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất
của định thức biến đổi định thức về dạng tam giác. Khi đó, định thức cuối cùng bằng
tích các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ví dụ 1.6.3. Tính định thức
1 2 3
−1 0 0
D = −1 −2 0
... ... ...
−1 −2 −3

...
...
...
...

...

n
0
0 .
...
0

Cộng dòng 1 vào các dòng 2, 3,…, n ta được
1
0
=
D 0
...

2
2
0
...

3
3
3
...

0

0

0

... n
... n
=
.2.3...n n! .
... n 1=
... ...
... n

1.6.4. Phương pháp quy nạp

Áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng
hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có
cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và
tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2,…, để suy ra định thức cần tính.
Ví dụ 1.6.4. Tính định thức sau
5

3

0

2
Dn = 0
...
0

5
2
...

0

3
5
...
0

0 ...
0 ...
3 ...
... ...
0 ...

0

0

0
0
...
2

0
0
...
5

Khai triển theo hàng 1 ta được:
Dn = 5Dn −1 − 6 Dn − 2 = 2 Dn −1 + 3Dn −1 − 2.3Dn − 2 .

Khi đó ta có
Dn − 2 Dn −1 =
3Dn −1 − 2.3.Dn − 2 =
3 ( Dn −1 − 2 Dn − 2 ) =
... =
3n − 2 ( D2 − 2 D1 ) .

15


2 Dn −1 − 2.3.Dn − 2 =
2 ( Dn −1 − 3Dn − 2 ) =
... =
2n − 2 ( D2 − 3D1 ) .
Hoặc Dn − 3Dn−1 =
5 3
2 5

Mà=
D2 = 19 và D1 = 5 . Do đó có
 Dn − 2 Dn −1 = 3n − 2 (19 − 2.5 ) = 3n − 2.9 = 3n

n−2
n−2
n
 Dn − 3Dn −1 = 2 (19 − 3.5 ) = 2 .4 = 2
3n +1
3Dn − 6 Dn −1 =
Suy ra 
2n +1

2 Dn − 6 Dn −1 =

3n +1 − 2n +1.
=
Do đó D
n

1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán
Định nghĩa 1.7.1. Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là
một hệ có dạng
b1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn =
a x + a x + ... + a x =
b2
 21 1 22 2
2n n

...........................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn =
bm

(1.1)

trong đó
=
i 1,=
m, j 1, n :
• aij , bi ∈ R, với
• x1 , x2 ,..., xn :
•

các hệ số;

các ẩn số nhận giá trị trong R;

Mỗi bộ số ( x1 , x2 ,..., xn ) = ( a1 , a2 ,..., an ) thỏa tất cả các phương trình trong (1.1) được

gọi là một nghiệm của hệ (1.1). Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ tương thích.
Định nghĩa 1.7.2. Ma trận

A
=

 a11

 a21
aij
=
 ...
m× n

 am1

( )

a12
a22
...
am 2

... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 

được gọi là ma trận hệ số của hệ (1.1).
 b1 
 
b
Ma trận B =  2  được gọi là ma trận các hệ số tự do của hệ
  
 
 bm 

16

(1.1)


Ma trận

(

 a11

a
A B ==  21
...


a
 m1

a12
a22

)

...
am 2

... a1n
... a2 n
... ...
... amn

b1 

b2 
... 

bm 

được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1.1).
Khi đó, hệ (1.1) được viết dưới dạng ma trận
AX = B,

(1.2)

 x1 
 
x
trong đó X =  2  là ma trận cột các ẩn số.
  
 
 xn 

Định nghĩa 1.7.3. Hệ (1.1) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu
b=
b2= ...= bm= 0.
1

Hệ (1.1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu tồn tại j ∈1, m sao cho
b j ≠ 0.

Nhận xét 1.7.4. Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có
nghiệm vì nó nhận ( 0, 0,..., 0 ) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường.
Định nghĩa 1.7.5. Cho Q là tập hợp các phần tử thuộc R và a là một phần tử của R .
Khi đó, a gọi là linh hóa tử của Q nếu tích của a với mọi phần tử của Q bằng 0.
Nhận xét 1.7.6. Nếu Q chỉ chứa đúng một phần tử 0 thì mỗi phần tử của R là một
linh hóa tử của Q. Nếu R là vành không có ước của 0 thì tập hợp Q các phần tử của
R có một linh hóa tử khác 0 khi và chỉ khi Q chứa đúng một phần tử 0.

Định nghĩa 1.7.7. Cho ma trận A = ( aij ) trong vành Mn ( R ) . Ma trận A có hạng bằng
0, kí hiệu là rank ( A ) = 0 nếu tập hợp tất cả các phần tử aij của A có linh hóa tử khác

0.

Ma trận A có hạng r > 0, kí hiệu rank ( A ) = r nếu r là số nguyên dương lớn nhất

sao cho tập hợp tất cả các định thức con cấp r của A không có linh hóa tử khác 0.
Định lý 1.7.8. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
17


n

x
∑a=
j =1

ij

j

, i 1, m
0=

(1.3)

Hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn
n.

Chứng minh. Đặt A = ( aij ) . Giả sử hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường ( c1 , c2 ,..., cn )
với ck ≠ 0, ta chứng minh rank ( A ) < n. Với m < n thì điều khẳng định hiển nhiên đúng, do
đó ta có thể giả sử m ≥ n. Gọi D là định thức cấp n gồm n dòng đầu tiên của ma trận A.
Từ giả thiết trên ta có
n

c

∑ a=
j =1

ij j

0=
, i 1, m

(1.4)

Nhân 2 vế của các phương trình thứ i, i = 1, n trong hệ (1.4) tương ứng với phần bù đại số
Aik của aik trong D ta có

 a11c1 A1k + a12 c2 A1k + ... + a1n cn A1k =
0

0
 a21c1 A2 k + a22 c2 A2 k + ... + a2 n cn A2 k =

........................................................
 a c A + a c A + ... + a c A =
0
n 2 2 nk
nn n nk
 n1 1 nk

(1.5)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trong hệ (1.5) ta được
c1 ( a11 A1k + a21 A2 k + ... + an1 Ank ) + c2 ( a12 A1k + a22 A2 k + ... + an 2 Ank ) + ... +

0
ck ( a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank ) + .... + cn ( a1n A1k + a2 n A2 k + ... + ann Ank ) =

Trong D lần lượt thay cột thứ k bởi cột thứ i, i = 1, n ta có
a11 A1k + a21 A2 k + ... + an1 Ank =
0;
a12 A2 k + a22 A2 k + ... + an 2 Ank =
0;


a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank =
D;


a1n A1k + a2 n A2 k + ... + ann Ank =
0

18

(1.6)


Do đó, từ đẳng thức (1.6) suy ra ck D = 0. Chứng minh tương tự, ta suy ra tích ck với mọi
định thức cấp n của A bằng 0, suy ra ck là linh hóa tử của tập hợp các định thức cấp n
của A . Mà ck ≠ 0 do dó rank ( A ) < n.
Ngược lại, giả sử có rank ( A )= r < n. Nếu r = m thì ta có thể thay thế hệ (1.3)
tương đương với hệ phương trình gồm các phương trình của hệ (1.3) cùng với
phương trình khác có tất cả các hệ số bằng 0. Vì vậy để không mất tính tổng quát, ta
xét với r < m. Nếu r = 0 thì tồn tại k ∈ R, k ≠ 0 sao cho kaij = 0, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Vậy tồn

1, n thỏa mãn hệ (1.3), do đó hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường.
tại x j =k ≠ 0, j =

Xét r > 0, vì rank ( A ) = r nên theo định nghĩa về hạng ma trận thì tồn tại định thức con
Dr cấp r của A không là ước của 0. Giả sử đặt

=
Dr

ai j

1 1

ai j

... ai j

ai j

ai j

... ai j

...

...

ai j

ai j

2 1

r 1

1 2

2 2

r 2

1 r

2 r

...

...

, i1 , i2 ,..., ir ∈ {1, 2,.., m} ; j1 , j2 ,..., jr ∈ {1, 2,.., n} .

... ai j

r r

Gọi a ∈ R \ {0} sao cho a ⋅ Dr +1 =
0 với Dr +1 là định thức con cấp r + 1 bất kì của A. Khi
đó, ta có a ⋅ Dr ≠ 0 .

Đặt C

 ai j
 11
 ...

 air j1

 a( r +1) j1

ai j

... ai j

...

... ...
... ai j

ai ( r +1)



... 
 , r + 1 ∉ {i1 , i2 ,.., ir } ∪ { j1 , j2 ,.., jr } .
ai ( r +1) 
r

a( r +1)( r +1) 


1 r

1 2

ai j

r 2

1

r r

... a( r +1) j

a( r +1) j

r

2

Gọi d j với j ∈ { j1 , j2 ,.., jr , ( r + 1)} lần lượt là phần bù đại số của các phần tử dòng cuối
cùng trong ma trận
C. Gọi e
=

( e , e ,..., e )
1

2

n

T

∈ R n , trong đó

{

}

 a ⋅ d , j ∈ j , j ,..., j , ( r + 1)
j
1
2
r

ej = 
, j ∈ {1, 2,.., n} \ j1 , j2 ,..., jr , ( r + 1)
 0

Vì er +1 ==
adr +1 a ( −1)

2r + 2

{

}

Dr =

aDr ≠ 0 nên e ≠ 0. Ta cần chứng minh e là nghiệm của hệ

(1.3). Thật vậy, e là nghiệm của hệ (1.3) khi và chỉ khi
19


∑

{

}

j∈ j1 , j2 ,.., jr ,( r +1)

(

)

aij a ⋅ d j = 0, ∀i = 1, m.

Xét hai trường hợp:
•

Nếu i ∈ {i1 , i2 ,..., ir } thì




=
⋅

=
a
a
d
a
a
d
0.
∑
∑
j
ij
 j∈{ j , j ,.., j ,( r +1)} ij j 
j∈{ j1 , j2 ,.., jr ,( r +1)}
 1 2 r


(

•

)

Nếu i ∈ {1, 2,.., m} \ {i1 , i2 ,..., ir } thì
ai j

ai j

1 1

1 2

... ai j

1 r

ai ( r +1)
1

...
... ... ...
...
0.
=
∑ aij a ⋅ d j a ai j =
ai j ... ai j ai ( r +1)
j∈{ j1 , j2 ,.., jr ,( r +1)}
r 1
r 2
r r
r
aij
aij
... aij
ai( r +1)

(

)

1

2

r

Do đó e là nghiệm của hệ (1.3). Vậy hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường.
Định lý 1.7.9. Ma trận A = ( aij ) là ước của không trong vành Mn ( R ) khi và chỉ khi
detA là ước của không trong R.

Chứng minh. Giả sử ma trận A = ( aij ) là ước của không trong vành Mn ( R ) , khi đó tồn
tại ma trận X = ( xij ) khác ma trận không trong vành Mn ( R ) sao cho AX = 0 với xkl ≠ 0,
suy ra hệ phương trình thuần nhất
n

x
∑a =
j =1

ij

jl

0=
, i 1, n

có nghiệm không tầm thường. Do đó rank ( A ) < n, suy ra tồn tại a ∈ R, a ≠ 0 sao cho
a ⋅ detA =
0.

Vậy detA là ước của không trong R.
Ngược lại, giả sử detA là ước của không trong R. Khi đó tồn tại z ∈ R, z ≠ 0 sao cho
z ⋅ detA =
0.

Vậy, rank ( A ) < n, nên theo Định lý 1.7.8 thì hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm
không tầm thường
n

x
∑ a=
j =1

ij

j

0=
, i 1, n.

20


Khi đó tồn tại z j ∈ R, z j ≠ 0 sao cho

n

z
∑ a=
j =1

ij j

0=
, i 1, n. Do đó suy ra tồn tại ma trận

 z1 0 ...

z 0 ...
X = 2
 ... ... ...

 zn 0 0

0

0
... 

0 

khác ma trận 0 thỏa mãn AX = 0. Vậy ma trận A là ước của không trong vành Mn ( R ) .

21


CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE
2.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một vành có đơn vị. Vành K gọi là vành chia nếu mọi
phần tử khác 0 của K đều khả nghịch.

Định nghĩa 2.1.2. Xét vành chia K , K * là nhóm nhân của K , Mn  K  là vành ma trận
vuông cấp n trên K , GLn  K  là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên K .
Kí hiệu: V : K n là không gian véc tơ các dòng độ dài n trên K .
I n là ma trận đơn vị (với 1 là phần tử đơn vị trong K )

1

I n  ...

 0

0 

... .

1 

...
...
...

eij là ma trận có 1 ở vị trí i, j  , những vị trí còn lại đều bằng 0

j
0

eij  

0


1
...

0 

 i.

0 

0 khi j  k
eil khi j  k

Ta luôn có eij .ekl  
I
d m    n1
 0

0 
 là ma trận chỉ khác ma trận đơn vị ở chỗ, tại vị trí n, n của nó
m 

không phải là 1, mà là m .
Định nghĩa 2.1.3. Với a  K và i  j gọi ma trận tij a   I n  aeij là một phép co sơ cấp
j
1

tij a  ...

0

...



...
...

a
...

Hơn nữa, tij a  b   tij a  tij b  . Thật vậy, ta có

22

0 

 i.

1 


tij a  tij b    I n  aeij  I n  b eij 
 I n  a  b  eij  ab eij eij
 I n  a  b  eij do i  j suy ra eij eij  0



 tij a  b .
1

Khi đó, ta có I n  tij 0  tij a  a   tij a  tij a  , suy ra tij a   tij a  . Do đó,

tij  GLn  K  .

Định nghĩa 2.1.4. En  K   tij a  : a  K là nhóm con của GLn  K  sinh bởi mọi phép
co sơ cấp.
Định nghĩa 2.1.5. Xét ma trận A  aij   Mn  K  . Việc nhân ma trận A về bên trái với
một phép co sơ cấp tij a  tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với
A:

(E) Thay dòng thứ i của ma trận A bởi dòng thứ i cộng với a “lần” dòng thứ j
( a được nhân từ bên trái)
1

...

tij a    0

...

0

...

0

...

...
...

0
a

...
...

...

0

...

...

0

...

 a11

 ...

tij a  A  ai1  aa j1

 ...

 an1

 a11

0 


 ...
...


0  , A   ai1


 ...
...


1 
an1

...

a1 j

...

...
...
...

...
aij

...
...
...

...

...

...
...
...
...

a1 j
...
aij  aa jj
...
anj

...

...
...
...
...

...
anj

...

a1n 

... 

ain 

... 

ann 




ain  aa jn 


...

ann 
a1n
...

Tương tự, việc nhân ma trận A về bên phải với một phép co sơ cấp tij a  tương
đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với A :
(E’) Thay cột thứ j của ma trận A bởi cột thứ j cộng với a “lần” cột thứ i ( a
được nhân từ bên phải).
Định nghĩa 2.1.6. Xét vành chia K và gọi A1 , A2 ,..., An là các ma trận cùng cấp trên
K . Với li  K khi đó

23