Vị nhóm sắp thứ tự giao hoán và giản ước được với biểu diễn hữu hạn luận văn thạc sỹ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ MẠNH

VỊ NHĨM SẮP THỨ TỰ GIAO HỐN
VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2011


2

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC………………………………………………………………….... 1

LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………......2
CHƯƠNG I . NỬA NHĨM GIAO HỐN……………………………….......4
1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước được …………………………………....4
1.2 Nửa nhóm giao hốn sắp thứ tự được ………………………………....10
1.3. Tương đẳng trên các nữa nhóm giao hốn …………………………....15
CHƯƠNG II. VỊ NHĨM SẮP THỨ TỰ GIAO HỐN
VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN…………………..... 22
2.1.Giả thứ tự giản ước được trên các vị nhóm con
của vị nhóm giao hốn………………………………………………………22
2.2. Vị nhóm sắp thứ tự giao hốn và giản ước được

với biểu diễn hữu hạn…………………………………………………….....32
KẾT LUẬN………………………………………………………………......39
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...40


3

LỜI NĨI ĐẦU

Các nhóm sắp thứ tự được đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu
những năm đầu của thế kỷ XX. Năm 1913, F. Lévi đã chứng minh được rằng
một nhóm Aben phi xoắn có thể sắp thứ tự được. Năm 1963, Fuchs đã giải
đáp được câu hỏi: Các nhóm khơng Aben thoả mãn điều kiện nào thì sắp thứ
tự tồn phần được? Tuy nhiên, các nửa nhóm sắp thứ tự được chỉ mới được
quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây.
Năm 1995, N. Keayopulu và M. Tsingelis đã bắt đầu khảo sát các nửa
nhóm sắp thứ tự được (xem [5], [6]). Sau đó, năm 2000, họ đã xét một số lớp
nửa nhóm có thể nhúng được vào các nhóm sắp thứ tự được (xem [7]).
Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “On finitely presented,
cancellative and commutative ordered monoids” của Y. Cao đăng trên tạp chí
Semigroup Forum số 82, năm 2011 để tìm hiểu các vị nhóm sắp thứ tự giao
hốn và giản ước được với biểu diễn hữu hạn.
Luận văn được chia thành hai chương:
CHƯƠNG I . NỬA NHĨM GIAO HỐN
Hệ thống các vấn đề liên quan đến nửa nhóm giao hốn giản ước được,
nửa nhóm giao hốn sắp thứ tự được và tương đẳng trên các nửa nhóm giao
hốn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.
CHƯƠNG II. VỊ NHĨM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƯỚC
ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN
Trình bày một cách chi tiết các kết quả sau:

4

1. Mỗi vị nhóm sắp thứ tự giao hốn và giản ước được với biểu diễn hữu hạn
được xác định bởi một giả thứ tự giản ước được và hữu hạn sinh trên vị nhóm

 n ,

với số nguyên n nào đó.

n
2. Mỗi giả thứ tự giản ước được trên  , được xác định một vị nhóm con





n
của nhóm  , .





n
3. Mỗi giả thứ tự trên  , là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nhóm con tương





n
ứng là một vị nhóm aphin trong  , (nghĩa là một vị nhóm con hữu hạn





n
sinh của  , ).





Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán, Người đã định hướng nghiên
cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, động viên khích lệ Tác
giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo chuyên ngành
Đại số & Lý thuyết số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên,
giúp đỡ trong quá trình học tập, quá trình viết và chỉnh sửa Luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy
giáo, cơ giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 11 năm 2011

Tác giả

5

CHƯƠNG I
NỬA NHĨM GIAO HỐN

1.1. Nửa nhóm giao hốn giản ước được
1.1.1. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hốn nếu phép
tốn trên S có tính chất giao hốn. Khi đó các phép tốn trên S thường được
ký hiệu theo lối cộng.
Nếu S là vị nhóm thì đơn vị của S thường được gọi là phần tử không và ký
hiệu bởi 0 .
Giả sử  S,+  là một nửa nhóm khơng có đơn vị, khi đó S nhúng được
vị nhóm S0 = S   t trong đó t là một ký hiệu khơng thuộc S thoả mãn điều
kiện x + t = t + x = x với mọi x  S0 . Khi đó t trở thành phần tử đơn vị của S
.
Giả sử S là nhóm và A, B là các tập con khác rỗng của S . Ký hiệu
A + B =  a + b a  A,b  B .
Tập con khác rỗng T của nửa nhóm S là nửa nhóm con của S , nếu bản
thân T là nửa nhóm với phép tốn của S cảm sinh trên T , nghĩa là a,b  T
kéo theo a + b  T .
Giả sử  Sα α  I là một họ các nửa nhóm con của nửa nhóm S sao cho

 Sα

αI

khác rỗng.Thế thì T := Sα là một nửa nhóm con của S và là nửa
αI

nhóm con nhỏ nhất của S chứa trong các Sα ,α  I .


6

Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S . Khi đó giao của
tất cả các nửa nhóm con của S chứa B được gọi là nửa nhóm con nhỏ nhất
của S sinh bởi B và được ký hiệu là B . Rõ ràng B chứa tất cả các phần
n

tử dạng

 bi = b1 + b2 +  + bn trong đó bi  B, i = 1,2,...,n .
i=1

Tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là một iđêan của S nếu
I  s + I, s  S , trong đó s + I :=  s + a a  I .

Giao của một họ tuỳ ý các iđêan của nửa nhóm S là một iđêan của S , nếu
giao này khác rỗng.
Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S . Thế thì
B   B + S là iđêan của S và là iđêan nhỏ nhất của S chứa B . Nếu S là một
vị nhóm thì B   B + S  nên B + S là iđêan của S sinh bởi B .
Giả sử I là một iđêan của S sao cho I S , thế thì I được gọi là iđêan
nguyên tố của S nếu x + y  I kéo theo x  I hoặc y  I,  x, y  S  . Như vậy
một iđêan thực sự I của nửa nhóm S là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu phần
bù S \ I của I trong S là một nửa nhóm con của S .
Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S và  là tập hợp tất cả các số





+
nguyên dương. Khi đó tập con I là một iđêan của s  S  n   sao cho ns  I là

một iđêan của S và được gọi là căn của iđêan S , ký hiệu bởi rad  I  hay
1.1.2. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm.
(1) S là một nhóm nếu và chỉ nếu S là iđêan duy nhất của S .

I.


7

(2) Nếu I là một iđêan của S và T là nửa nhóm con của S sao cho I  T = f
, thế thì tồn tại một iđêan nguyên tố của S sao cho P  I và P  I = f .
(3) Nếu I là một iđêan của S , thế thì căn rad  I  là giao của tất cả các
iđêan nguyên tố chứa I của S .
Chứng minh. (1) Giả sử S là một nhóm và I là iđêan của S . Khi đó I f
nên tồn tại a  I . Vì S là một nhóm nên tồn tại b  S sao cho a + b = 0 , trong
đó 0 là đơn vị của S . Vì I là iđêan của S và a  I nên 0 = a + b  I . Khi đó
với mọi x  S có x = 0 + x  I nên S  I . Hiển nhiên I  S nên S = I .
Giả sử a,b  S . Khi đó a + S là iđêan của S và theo giả thiết ( S là iđêan
duy nhất của S ) có a + S = S vì b  S nên b  a + S . Suy ra tồn tại c  S sao
cho a + c = b , do đó phương trình a + x = b có nghiệm trong S . Vì S giao hốn
nên phương trình y + a = b cũng có nghiệm trong S . Vậy S là một nhóm .
(2) Theo bổ đề Zorn, ta chỉ cần chứng minh rằng I là iđêan nguyên tố
nếu I là tối đại trong các iđêan không giao với T . Thật vậy giả sử a,b  I . Khi

đó I   a   a + S  và I   b   b + S đều là các iđêan của S chứa I nên
có giao với T . Suy ra tồn tại s1,s 2  S sao cho a + s1  T và b + s 2  T . Từ đó

a + s1 + b + s 2 = a + b +  s1 + s 2   T với s1 + s 2  S . Vì I  T = f nên a + b  T . Vậy I
là iđêan nguyên tố. (3) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa căn rad  I  và kết quả
(2) ở trên. 
1.1.3. Định nghĩa. Giả sử  S,+  là một vị nhóm giao hốn có đơn vị là 0.
Khi đó phần tử s  S được gọi là khả nghịch nếu tồn tại x  S sao cho
s + x = 0 . Tập hợp G tất cả các phần tử khả nghịch của S tạo thành một

nhóm con của S và là nhóm con lớn nhất của S chứa 0.


8

n

Một tổng hữu hạn

 si

các phần tử thuộc S là khả nghịch nếu và chỉ

i=1

nếu mỗi phần tử si khả nghịch. Như vậy S \ G là một iđêan nguyên tố của S
nếu G S .
Nếu H là một nhóm con tuỳ ý của S chứa 0, thế thì cũng như trong
trường hợp các nhóm H cảm sinh một phân hoạch S thành các lớp ghép rời
nhau s + H . Thực tế, nếu quan hệ ρ trên S được xác định bởi aρb nếu

a = b + h, h  H nào đó, thế thì ρ là một quan hệ tương đương trên S và s + H

là một ρ - lớp tương đương chứa s  S .
1.1.4. Định nghĩa . Giả sử S là một nửa nhóm. Phần tử s  S được gọi là giản
ước được nếu s + a = s + b kéo theo a = b  a,b  S  .
Giả sử C là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được của S và C  .
n

Thế thì C là nửa nhóm con của S . Khi đó một tổng hữu hạn

 si

các phần tử

i=1

thuộc C nếu và chỉ nếu mỗi si  C và từ đó S \ C là một iđêan nguyên tố của S
nếu S C . Trong trường hợp S = C ta nói S là một nửa nhóm giản ước được.
Một kết quả quan trọng trong Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu rằng
nhóm giản ước được hữu hạn là một nhóm. Hiển nhiên, một nửa nhóm con
của một nhóm là giản ước được. Định lý 1.1.5 sau đây khẳng định kết quả
ngược lại.
1.1.5. Định lý. Giả sử  S ,  là một nửa nhóm giao hốn và C là nửa nhóm
con của S sao cho mỗi phần tử thuộc C giản ước được trong S , thế thì tồn
tại một phép nhúng f từ S vào một vị nhóm giao hốn T sao cho các điều
kiện sau đây thỏa mãn:


9

(1)Với mỗi c  C, f  c  có một khả nghịch trong T (mà ta sẽ ký hiệu là  f  c  ).
(2) T  f  s   f  c  s  S ,c  C  . Hơn nửa vị nhóm T được xác định bởi
các tính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm.
Nếu S là nửa nhóm giản ước được và S C thì T là một nhóm.
Chứng minh. Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách
xây dựng vành các số nguyên  từ tập hợp tất cả các số nguyên khơng âm.
Giả sử A = S× C và  là quan hệ trên

 s1,c1   s 2 ,c2 

A xác định bởi

nếu s1 + c2 = s 2 + c1 . Vì C giản ước được nên  là quan hệ

tương đương trên A . Ký hiệu  s,c là lớp tương đương chứa  s,c  và T là
tập tất cả các lớp tương đương

 s,c 

với s  S,c  C . Thế thì T cùng với

phép toán cho bởi

 s1,c1  +  s 2 ,c2  =  s1 + s 2 ,c1 + c2 
là một vị nhóm đối với đơn vị là  c,c  với mọi c  C . Hơn nữa ánh xạ
f : S  T xác định bởi f  s  =  s + c,c  là một phép nhúng từ S vào T . Nếu
c  C , thế thì f  c  =  2c,c  có nghịch đảo  c,2c trong T , và một phần tử

 s,c

tuỳ ý thuộc T được viết dưới dạng  s + c,c  +  c,2c  = f  s  - f  c  . Rõ ràng

T được xác định (Bởi các tính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm,

nghĩa là nếu g :S  T ' Là một phép nhúng từ S vào một vị nhóm giao hốn T
sao cho hai điều kiện (1) và (2) được thoả mãn thì tồn tại một đẳng cấu nửa
nhóm j: T  T’ sao cho jof = g , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
f

S
g

T


T’


10

Hơn nữa, nếu S = C thì một phần tử tuỳ ý [r,c] của T có nghịch đảo [c,r]
trong T nên T là một nhóm. Điều này kết thúc phép chứng minh. 
1.1.6. Định nghĩa . Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng minh
Định lý 1.1.5 được gọi là vị nhóm thương của S theo C.
Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất f  s  với s, và như vậy mỗi
phần tử của T được viết dưới dạng s - c để thay thế cho f  s  - f  c  . Nếu S
giản ước được, thế thì nhóm T trong Định lý 1.1.5 được gọi là nhóm
thươngcủa S và nếu khơng kể đến sự sai khác đẳng cấu thì T chính là nhóm
Aben nhỏ nhất mà S có thể được nhúng vào.
1.1.7. Chú ý. Từ Định nghĩa 1.1.6 và Định lý 1.1.5, ta có thể phân lớp các nửa

nhóm giao hốn giản ước được theo thuật ngữ nhóm thương của chúng .
Ta nhắc lại rằng một nhóm Aben G được gọi là phi xoắn nếu 0 là phần
tử duy nhất của G có cấp hữu hạn. G được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần
tử của G đều có cấp hữu hạn. Thế thì từ Định lý 1.1.5 suy ra.
Giả sử S là nửa nhóm giao hốn giản ước được và G là nhóm thương
của nó. Thế thì G là nhóm phi xoắn nếu và chỉ nếu S thoả mãn điều kiện:
(*) Đối với mọi nguyên dương n và x, y  S tuỳ ý, đẳng thức nx ny
kéo theo x y . Từ đó ta đi đến định nghĩa
1.1.8. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm phi xoắn nếu điều
kiện (*) được thoả mãn.
Chú ý rằng Định nghĩa 1.1.8 được dùng trong trường hợp S giản ước
được hay không giản ước được.


11

Trong trường hợp nửa nhóm, người ta tránh dùng thuật ngữ nửa nhóm
xoắn mà dùng thuật ngữ nửa nhóm tuần hồn: S là một nửa nhóm tuần
hồn nếu mọi phần tử của S đều có cấp hữu hạn.
Từ Định lý 1.1.5. trực tiếp suy ra Hệ quả:
1.1.9. Hệ quả. Nếu S là một nửa nhóm giao hốn tuần hồn và giản ước
được thì nhóm thương của S là nhóm Aben xoắn.

1.2. Nửa nhóm giao hốn sắp thứ tự được.
Trong tiết này chúng ta xác định lớp các nửa nhóm giao hốn thừa nhận
một quan hệ thứ tự tồn phần tương thích với phép tốn nửa nhóm.
1.2.1. Định nghĩa. (i) Một quan hệ hai ngơi ρ trên nửa nhóm (S,+) được gọi
là tương thích với phép tốn nửa nhóm nếu aρb kéo theo  a + x  ρ  b + x  đối
với a, b, x  S .
(ii) Một quan hệ hai ngôi ρ trên một tập hợp S tuỳ ý được gọi là một thứ

tự bộ phận nếu nó phản xạ, bắc cầu, phản xứng và thứ tự bộ phận ρ được gọi
là thứ tự toàn phần trên S nếu đối với các phần tử phân biệt a ,b  x , hoặc
aρb hoặc bρa .

Một quan hệ thứ tự bộ phận được ký hiệu bởi ≤ và ký hiệu a > b hoặc
b < a được sử dụng để chỉ b a và b a .

(iii) Nửa nhóm S gọi là sắp thứ tự bộ phận được (tương ứng, sắp thứ tự
toàn phần được) dưới quan hệ ≤ nếu ≤ là một thứ tự bộ phận ( tương ứng,
thứ tự toàn phần ) trên S và ≤ tương thích với phép tốn nửa nhóm trên S .
1.2.2. Chú ý. Nếu S thừa nhận một thứ tự tồn phần tương thích với phép
tốn nửa nhóm thì S phi xoắn và giản ước được. Thật vậy, lấy hai phần tử
phân biệt a,b  S , giả sử a < b . Thế thì a + x < b + x đối với mỗi x  S nên S


12

giản ước được. Hơn nữa, 2a < a + b < 2b và theo quy nạp, na < nb đối với
mỗi n  + nên S phi xoắn.
Chúng ta chứng minh khẳng định ngược lại, mỗi nửa nhóm giản ước
được phi xoắn có thể sắp thứ tự tồn phần được. Kết quả tiếp theo chứng tỏ
rằng để chứng minh điều đó, chỉ cần xét trường hợp nhóm phi xoắn.
1.2.3. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm giản ước được phi xoắn với nhóm
thương G. Thế thì S thừa nhận một thứ tự tồn phần tương thích với phép
tốn của nó nếu và chỉ nếu G có tính chất đó.
Chứng minh. Nếu G được sắp thứ tự tồn phần dưới thứ tự ≤, thế thì quan hệ
≤ cảm sinh một thứ tự tồn phần trên S tương thích với phép tốn nửa nhóm.
Đảo lại, nếu S được sắp thứ tự tồn phầm dưới quan hệ ≤, thế thì chúng ta
định nghĩa một quan hệ ρ trên G như sau. Mỗi phần tử thuộc G biểu diễn
dưới dạng s - t đối với s, t  S . Đối với g1 = s1 - t1 và g 2 s 2  t 2 ,, Định nghĩa

g1ρg 2 nếu s1 + t 2 s 2 + t1 . Thế thì ρ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên G
tương thích với phép tốn nhóm trên G và là mở rộng quan hệ ≤ trên S ,
chúng ta chỉ cần kiểm tra rằng ρ xác định và cái thu hẹp của nó trên S trùng
với ≤. Thật vậy, nếu g1 = s1 – t1 = s'1 – t'1 và g 2 = s 2 - t 2 = s '2 - t '2 với
s1 + t 2 s 2 + t1 , thế thì:

s1 + t 2 +  s'2 + t'1  s 2 + t1 +  s'2 + t'1 
s'1 + t1 + s 2 + t'2 s 2 + t1 + s'2 + t'1
s'1 + t'2  s'2 + t'1
Điều đó chứng tỏ rằng ρ hồn toàn được xác định. Phép nhúng S vào G là
s  (s + c) – c với c  S.
Đối với s, t  S, ta có s ρ t nếu và chỉ nếu:  s + c  + c  t + c  + t , từ đó s ≤ t. 
Định lý 1.2.3 đặt ra cho chúng ta bài tốn chứng minh rằng một nhóm
Aben phi xoắn có thể được sắp thứ tự tồn phần. Một phần của khẳng định


13

trên có thể chứng minh được, đó là: thứ tự bộ phận tuỳ ý trên một nhóm Aben
phi xoắn G có thể mở rộng thành thứ tự tồn phần. Một số thuật ngữ bổ sung
làm giảm nhẹ phép chứng minh.
1.2.4. Định nghĩa. Giả thiết rằng ≤ là một thứ tự bộ phận trên G . Khi đó
P  x  G x 0 được gọi là nón dương của ≤, và P thoả mãn hai điều kiện
sau:
(i) P  P P ; nghĩa là P là một nhóm con của G ;
(ii) P    P   0 ;
Hơn nữa, nếu ≤ là một thứ tự toàn phần trên G , thế thì P thoả mãn thêm điều
kiện
(iii) P   -P  G .
Một tập con L của G thoả mãn (i) và (ii) được gọi là một tập con dương

của G . Như vậy một tập con cảm sinh một thứ tự bộ phận ρ trên G tương
thích với phép tốn nhóm. Quan hệ ρ được xác định bởi gρh nếu g – h  L
và ρ là một quan hệ thứ tự toàn phần nếu và chỉ nếu L thoả mãn (iii). Các
tương ứng như vậy giữa thứ tự bộ phận trên G và các tập con dương của G là
nghịch đảo lẫn nhau, và các cái thu hẹp tương ứng của chúng trở thành thứ tự
toàn phần trên G và tập hợp các tập con dương của G thoả mãn (iii) cùng
nghịch đảo lẫn nhau. Tập hợp các tập con dương của G được sắp thứ tự bộ
phận dưới quan hệ , và bao hàm thức L1  L 2 tương ứng với điều kiện nói
rằng 2-thứ tự bộ phận trên G được cảm sinh bởi L2- là một mở rộng của thứ
tự bộ phận 1 được cảm sinh bởi L1. Định lý 2.1.4 phát biểu đặc trưng này.
1.2.5. Định lý. Nếu P0 là tập con dương của một nhóm Aben phi xoắn G, thế
thì P0 có thể nhúng được vào P, một tập con dương của G thoả mãn điều kiện
(iii).


14

Chứng minh. Nếu {P2} là một họ được sắp thứ tự tuyến tính của các tập con
dương của G , thế thì P cũng là một tập con dương. Từ đó tập hợp các tập
con dương của G được sắp thứ tự quy nạp theo quan hệ  và P0 được chứa
trong một tập con dương tối đại P. Để hoàn thành chứng minh, chúng ta
chứng tỏ rằng P thoả mãn điều kiện (iii) – nghĩa là, G  P    P  . Muốn vậy,
hãy lấy g  G và xét 3 trường hợp sau đây: (1) n 0g  P với n 0  nào đó; (2)
n 0g   -P  với n 0  nào đó; (3) đối với tất cả n 0  hoặc ng hoặc  ng
*
0
+
không thuộc P . Trong trường hợp 1, giả sử P = P+ < g > = {p + kg p  P, k  Z }

thế

thì

P*

thoả

mãn

điều

kiện

 

*
*
Lấy x  P  -P

(i).

giả

sử

x = p1 + k1g = -  p 2 + k 2g  . Thế thì n 0 x = n 0 p1 + k1  n 0g  = -  n 0p 2 + k 2n 0g  ,
và vì n 0 p  P nên n 0 x  P   -P  =  0 . Do đó x = 0 vì G phi xoắn. Như vậy
*
P* thoả mãn (ii), và tính chất tối đại của P kéo theo g  P = P . Từ trường hợp

1 suy ra – g  P trong trường hợp 2.
Trong

trường

hợp

3,

chúng

x = p1 + k1g = -  p 2 + k 2g   P*  -P*

 

ta

lại

giả

sử P* = P + < g > 0 nếu

trong trường hợp này, thế thì

p1 + p 2 =  k1 + k 2   -g   P .Theo giả thiết, k1 + k 2 = 0 nên k1 = k 2 = 0 , và từ
*
*
đó x = p1 = -p 2 = 0 . Suy ra P  -P =  0 , nên g  P (mà nó kéo theo rằng

 

trường hợp 3 không xảy ra).



1.2.6. Chú ý. Giả sử (S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là phần tử 0.
Nếu {S }I là một họ các vị nhóm con của S chứa 0 thoả mãn điều kiện: Mỗi
n

phần tử của S biểu diễn được dưới dạng

 sα với
i=1

i

sα  Sα , đối với mỗi i
i

i


15

n

n

i=1

i=1

(trong đó i  I, i = 1, 2, 3,…, n), và nếu mỗi đẳng thức  sαi =  t αi kéo
theo sα = Sα , (với mỗi i = 1, 2, 3,…, n), thế thì s được giọi là tổng trực tiếp
i

i

w
yếu của họ {S}I , ký hiệu S =  Sα . Từ định nghĩa suy ra rằng nếu
αI

S =  w Sα thì S =  Sα và Sα   Sβ =  0 đối với mỗi  I, nhưng 2
αI

αI

β¹α

điều kiện trên khơng đảm bảo S là tổng trực tiếp yếu của họ {S }I. Trong
trường hợp I hữu hạn, I = {1, 2, … , n} thì ta viết
n

S = S1 … Sn hay S =  Si
i=1

1.2.7. Định nghĩa và ký hiệu. Giả sử  α 

I

là một họ các nhóm, mỗi một

c
trong chúng đẳng cấu với , và G =  G α là tổng trực tiếp đầy đủ của họ
αI

 α  I, thế thì P = {{ n }

n  0 đối với mỗi } là một tập con dương của

G. Thứ tự bộ phận được cảm sinh, xác định bởi {a}  {b} nếu a  b đối
vơí mỗi , được gọi là thứ tự cơ bản trên G . Người ta nói rằng thứ tự trên G
trở thành một thứ tự toàn phần được gọi là thứ tự từ điển trên G , được xác
định bởi thứ tự tập I, bằng cách đặt {a }>{b } nếu a α0 > b α0 đối với phần
w
tử đầu tiên 0 của I mà đối với nó a  b.. Tổng trực tiếp yếu G 0 =  Zα
αI

của họ {Z} là một nhóm con của G và thứ tự trên G0 cảm sinh bởi các thứ tự
cơ bản và thứ tự từ diển trên G0.
Thứ tự toàn phần khác trên G 0 thường được sử dụng là thứ tự từ điển
ngược, mà nón dương của nó chứa 0 và các phần tử khác của G 0 với toạ độ
khác 0 cuối cùng của nó là dương. Chúng ta chú ý rằng giả thiết mỗi Z  đẳng
cấu với  chỉ đúng một vai trò nhỏ bé trong các định nghĩa trên; các định


16

nghĩa đầy đủ ý nghĩa (hợp logic) đối với họ tuỳ ý {Z}của các nửa nhóm được

sắp thứ tự tồn phần. Trong trường hợp mỗi Z đẳng cấu với  , ta thu được
kết quả sau đây:
1.2.8. Hệ quả. Nếu {g }I là một tập con tự do của nhóm Aben phi xoắn G,
thế thì tồn tại một thứ tự toàn phần ≤ trên G sao cho O ≤ g đối với mỗi I.
Chứng minh. Nhóm con G  (G α ) của G được sinh bởi {g}I đẳng cấu
αI

với

 w Zα , trong đó

αI

bản trên
minh.

 (G α )

αI

Zα - Z đối với mỗi . Bằng cách mở rộng thứ tự cơ

thành thứ tự toàn phần ta nhận được kết luận cần chứng



Chúng ta phát biểu các kết quả sau đây liên quan đến tính sắp thứ tự
được của nửa nhóm giao hốn.
1.2.9. Hệ quả. Nửa nhóm giao hốn phi xoắn S thừa nhận một thứ tự tồn
phần tương thích với phép tốn nửa nhóm của nó nếu và chỉ nếu S phi xoắn

và giản ước được.
1.2.10. Hệ quả. Giả thiết rằng P0 là một tập con dương của nhóm Aben phi
xoắn G và x, y  G sao cho nx  P0 với mỗi n +. Thế thì P0 có thể mở
rộng được thành một tập con dương P của G sao cho P thoả mãn (iii) và
- xP .

1.3. Tương đẳng trên các nửa nhóm giao hốn
Nếu S là một nửa nhóm thì các đồng cấu được xác định trên S và các
ảnh đồng cấu của S đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc
của S. Một phương pháp thuận tiện và tương đương với việc xét các đồng cấu
trên S là thông qua khái niệm tương đẳng trên S, được định nghĩa như sau:
1.3.1. Định nghĩa. Một tương đẳng trên S là một quan hệ tương đương trên
S mà nó tương thích với phép tốn nửa nhóm.


17

Cụ thể hơn, một quan hệ hai ngôi  trên nửa nhóm (giao hốn) S được
gọi là một quan hệ tương đẳng nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i)  là một tương đương trên S
(ii)  ổn định, nghĩa là nếu  a, b  ρ thì  a + b, b + c   ρ với mọi c S.
Định lý sau đây phát biểu về mối quan hệ cơ bản giữa các đồng cấu và
tương đẳng. Phép chứng minh Định lý 2.2.2 theo đúng lối chuẩn tắc.
1.3.2. Định lý. Giả sử  S ,  là một nửa nhóm giao hốn .
(1) Nếu  là một tương đẳng trên S, thế thì đối với sS, ký hiệu - lớp tương
đương chứa s là  s  và S ρ :  s  s  S  . Khi đó S ρ là một nửa nhóm giao
hốn dưới phép tốn  a    b   a  b  , và ánh xạ f: S  S ρ xác định bởi
f  s   s  là một đồng cấu từ S lên S ρ ; hơn nữa f  s1   f  s2  nếu và chỉ
nếu  s1 , s2   ρ .
(2) Đảo lại, nếu h: ST là một đồng cấu từ S lên T, Định nghĩa quan hệ 

trên S bởi ab nếu h(a)= h(b). Thế thì  là một tương đẳng trên S và các nửa
nhóm S ρ và T đẳng cấu với nhau dưới ánh xạ  s   h(s), trong đó  s  là

 - lớp tương đương chứa s.
1.3.3. Định nghĩa. Nửa nhóm S ρ xác định trong Định lý 2.3.2 được gọi là
nửa nhóm thương của S theo tương đẳng .
Định lý 2.3.2 chứng tỏ rằng, với sự sai khác đẳng cấu, các nửa nhóm
thương đó biểu diễn tất cả các ảnh đồng cấu của S.
1.3.4. Chú ý. Nếu 1 và 2 là các tương đẳng, thế thì 1 ≤ 2 nếu a1b kéo theo
a2b đối với a, bS. Xét 1 và 2 như các tập con của S, quan hệ 1 ≤ 2 đúng
nếu và chỉ nếu 1 được chứa trong 2. Như vậy ≤ là một thứ tự bộ phận trên


18

tập các tương đẳng trên S. Một dạng tương đương khác của quan hệ

1 ≤

2 là khẳng định rằng ánh xạ tự nhiên [s] 1  [s]2 của S ρ lên S ρ hồn tồn
1
2
được xác định (và khi đó nó là một đồng cấu). Tương đẳng lớn nhất trên S là
S  S (tương đẳng phổ dụng, mà dưới quan hệ ấy, hai phần tử tuỳ ý của S
luôn ln có quan hệ với nhau) và tương đẳng bé nhất trên S là tương đẳng
đồng nhất hay tương đẳng bằng nhau I = {(s, s) s  S }. Giao của một họ tuỳ ý
các tương đẳng trên S là một tương đẳng tuỳ ý trên S; Từ đó họ tuỳ ý {}I
các tương đẳng trên S có cả cận trên bé nhất (được ký hiệu bởi lub() và một
cận dưới lớn nhất (được ký hiệu bởi glb()). Quan hệ =glh() được mô tả
dễ dàng: ab nếu và chỉ nếu ab, I. Để mô tả lub(), chúng ta chú ý

rằng tập con tuỳ ý  của S.
S sinh ra một tương đẳng trên S, đó là giao của tất cả các tương đương
đẳng trên S chứa . Chúng ta chuyển sang mơ tả tương đẳng này; vì lub() là
tương đẳng được sinh bởi  I nên lub() được mô tả như sau. Tương
đẳng  được sinh ra bởi  được xây dựng theo 3 bước.
1. Đặt ρ0   -1  i , trong đó -1 = {( b,a)(a,b)  } và i là tương đẳng
đồng nhất trên S. Thế thì 0 chứa  và đồng thời phản xạ và đối xứng . Rõ
ràng 0 chứa  sinh ra một tương đẳng trên S.
2. Đặt ρ1 = ρ0  { a + c,b + c   a,b   ρ0 , c  S} . Thế thì 1 phản xạ, đối
xứng và tương thích và phép tốn trên S. Nếu S là một vị nhóm, thế thì

ρ1 = { a + c, b + c   a, b   ρ 0 , c  S} phản xạ, đối xứng và tương thích
với

phép

tốn

trên

S.

Nếu

S

là

một

vị

nhóm,

thế

thì

ρ1 = { a + c, b + c   a,b   ρ 0 , c  S} , vì 0 được chứa trong tập hợp này. Cũng
rõ ràng 0 và 1 sinh ra cùng một tương đẳng trên S.


19





3.Giả sử ρ =  a,b  a 0 ,a1 ,...,a t S sao cho a = a 0 ,b =a t ,  a i ,a i+1  ρ,i = 0,1,...,t -1 .
Thế thì  là tương đẳng trên S được sinh ra bởi .
ρ
Trong trường hợp δ = α
I α là hợp của một họ các tương đẳng trên S,
thế thì  =0 = 1 và chỉ cần áp dụng bước thứ 3 đối với  để nhận được
lub().
1.3.5. Định nghĩa.

i) Một tương đẳng  trên S được gọi là hữu hạn sinh nếu

tồn tại một tập con hữu hạn  của S × S sao cho  là tương đẳng sinh bởi .

(ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm Noether nếu mỗi tương đẳng trên
S là hữu hạn sinh.
Như thường lệ, mỗi tương đẳng trên S hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu S thoả
mãn điều kiện a.c. c trên các tương đẳng, nghĩa là nếu và chỉ nếu mỗi tập tăng
ngặt 1 < 2 < ….. các tương đẳng trên S hữu hạn.
1.3.6. Định lý . Giả thiết rằng T là một nửa nhóm con của nửa nhóm S. Định
nghĩa một quan hệ  trên S bởi aρb , nếu a  t  b  t với t  T nào đó.
Thế thì  là một tương đẳng trên S và  t  giản ước được trong S δ đối với mỗi
t  T . Nếu δ là một tương đẳng trên S sao cho ảnh đồng cấu của T trong S δ

bao gồm các phần tử giản ước được của S δ , thế thì δ  ρ .
Chứng minh. Rõ ràng  phản xạ và đối xứng. Nếu ab và bc thì tồn tại
t1, t 2  T sao cho a + t1 = b + t1 và b + t1 = c + t 2 . Vì T là nửa nhóm con của S
và t1, t 2  T nên t1 + t 2  T . Khi đó a +  t1 + t 2  = c +  t1 + t 2  nên a ρc . Vậy 
bắc cầu. Hơn nữa, a + t1 = b + t1 kéo theo a + s + t1 = b + s + t1 đối với mỗi s  S
nên  là một tương đẳng trên S. Nếu  a    t   b    t  đối với a,b  S và
t1  T nào đó, thế thì a + t + t1 = b + t + t1 với t1  T nào đó. Từ đó a ρ b và


20

do đó  a   b  . Như vậy,  t  giản ước được đối với mỗi t  T . Khẳng định
rằng    đối với  như đã được mô tả là rõ ràng. 
1.3.7. Định nghĩa. Trong trường hợp T = S, tương đẳng  được xác định trên
S như trong Định lý 1.3.6 gọi là tương đẳng giản ước được trên S. Đối với
nửa nhóm con T của S sao cho mỗi phần tử của T giản ước trong S, vị nhóm
thương của S theo T đã được Định nghĩa trong 2.1. Đối với một nửa nhóm
con T tổng quát, vị nhóm của S theo T được định nghĩa là vị nhóm thương
của S ρ , theo nhóm con { t  t  T } , trong đó  là tương đẳng được xác định
trong Định lý 1.3.6.

Kết quả tiếp theo cơ bản đã được trình bày trong 1.1. Chúng ta phát biểu
lại nó ở đây theo ngơn ngữ tương đẳng.
1.3.8. Định lý. Giả thiết rằng S là một vị nhóm và H là một nhóm con của S
chứa 0. Đối với a,b  S, định nghĩa a  b nghĩa là a  h b đối với h  H
nào đó. Thế thì  là một tương đẳng trên S ,  a  a  H , và nếu H là nhóm
tất cả các phần tử khả nghịch của S, thế thì [0] là phần tử nghịch đảo duy
nhất của S/.
1.3.9. Chú ý . Chú ý rằng nếu S là một nhóm, thế thì các tương đẳng duy nhất
trên S xuất hiện như trong Định lý 1.3.8, nghĩa là tương đẳng tương ứng một
nhóm con của S. Để thấy điều đó, giả sử * là một tương đẳng trên nhóm S
*
và H = {s  S  s,o   ρ } . Thế thì H là một nhóm con của S, đối với

aρ* 0, bρ* 0 kéo theo  a + b  ρ*b và do đó

 a - a  ρ*  0 - a 

 a + b  ρ* 0 ;

cũng như vậy

*
nên 0ρ  -a  . Như vậy H là nhóm con của S và aρ*b nếu và chỉ

*
nếu  a - b  ρ 0 nếu và chỉ nếu  a  b   H nếu và chỉ nếu a  b  H .