dạy học bất phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Ngôn

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Ngôn

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS.NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnTS.Nguyễn Ái Quốc, thầy đã
nhiệt tình hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô: PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS.Lê
Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như
Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy và cung cấp cho tôi những
tri thức khoa học về Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến:
-

Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt
nhất cho chúng tôi.

-

Tập thể học sinh, sinh viên trường Đại học Tiền Giang đã giúp tôi hoàn
thành thực nghiệm.

-

Các bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 23 đã chia
sẻ những khó khăn và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu khoa học.

-

Gia đình và những người thân đã quan tâm và giúp đỡ cho tôi trong suốt thời
gian học tập.

Lê Văn Ngôn


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của
TS.Nguyễn Ái Quốc, tôi không sao chép lại luận văn của người khác. Nếu lời cam
đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật.

Người viết cam đoan
Lê Văn Ngôn


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT ....................................................................................... 7
1.Bất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT ........................... 7
1.1. Phân tích chương trình .................................................................................. 7
1.2.Phân tích sách giáo khoa. ............................................................................... 9
1.2.1.Bất phương trình mũ cơ bản. ................................................................... 9
1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản ............................................................... 13
1.2.3.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ. ......................................... 15
1.2.4.Bất phương trình logarit cơ bản ............................................................. 42

1.2.5.Bất phương trình logarit đơn giản. ......................................................... 45
1.2.6.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT logarit. ................................... 46
2.Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài tập BPT mũ và logarit... 69
2.1. Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được. ............................. 69
2.1.1. Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit: ........................ 69
2.1.2. Học sinh không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit. .......................... 71
2.1.3. Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các
sai lầm trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số
khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit ..................................................... 71
2.2. Sai lầm do quan niệm .................................................................................. 74
2.3. Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động ........................................................... 76
Kết luận chương 1 .................................................................................................. 78


Chương 2. THỰC NGHIỆM .................................................................................. 83
2.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................... 83
2.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) ...................................................................... 84
2.3.Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm. ...................... 97
KẾT LUẬN ............................................................................................................104
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................107
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT
BPT
E1

G1

Bất phương trình

Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn
(Chủ biên), Nxb Giáo dục
Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần
Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

KNV
M1

Kiểu nhiệm vụ
Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần
Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

PT

Phương trình

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SV
SGV

Sinh viên
Sách giáo viên

TCTH

Tổ chức toán học

THPT

Trung học phổ thông

TXĐ

Tập xác định

VP

Vế phải

VT

Vế trái


0

DANH MỤC CÁC BẢNG
Tên bảng

Trang

Bảng 1.1

Thống kê các TCTH gắn liền với BPT mũ

33

Bảng 1.2

Thống kê bài tập ứng với mỗi KNV về BPT mũ

37

Bảng 1.3

Thống kê các TCTH liên quan đến PT mũ

38

Bảng 1.4

Thống kê các TCTH liên quan đến BPT logarit

61

Bảng 1.5

Thống kê bài tập ứng với mỗi KNV về BPT logarit

64

Bảng 1.6

Thống kê các TCTH liên quan đến PT logarit

68

Bảng 2.1

Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1

95

Bảng 2.2

Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 2

96

Bảng 2.3

Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 3

97

Bảng 2.4

Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 4

99


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thực tế giảng dạy ở lớp 12 cho thấy, khi học khái niệm bất phương trình mũ và
logarit, học sinh thường gặp nhiều khó khăn và phạm phải một số sai lầm khi giải
các bài tập liên quan đến khái niệm này. Những sai lầm này thường xuyên xảy ra và
lặp đi lặp lại nhiều lần ở một số học sinh. Chẳng hạn, sau đây là hai ví dụ về sai lầm
mà chúng tôi ghi nhận được:
1
Sai lầm 1:  
2

5 x −7

1
> 
2

x +1

⇔ 5x − 7 > x + 1 ⇔ x > 2 .

Sai lầm 2: log0.5 (2 x + 1) > log0.5 x ⇔ 2 x + 1 > x ⇔ x > −1 .
Chúng tôi tự hỏi những sai lầm này có nguồn gốc từ đâu? Có phải do ảnh hưởng
của những kiến thức liên quan đến khái niệm phương trình mũ và logarit mà trong
đó khi lũy thừa hay logarit hai vế có cùng cơ số dương khác 1 thì hai số mũ ở lũy
thừa bằng nhau, hay từ một nguyên nhân nào khác?
Xuất phát từ hiện tượng trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau:
Q'1:Trong hệ thống dạy học,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào? Với
cách trình bày như vậy có gây ra khó khăn và sai lầm cho HS khi giải bài tập BPT
mũ và logarit?
Q'2:Dạy học BPT mũ và logarit thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học
phương trình mũ và logarit? Giữa chúng có mối liên hệ gì?Những dạng toán nào
gắn liền với hai đối tượng này?
Q'3:HS thường mắc phải những sai lầm gì khi học về BPT mũ và logarit? Đâu là
nguyên nhân dẫn đến những sai lầm này?

Trong đề tài “Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán
ở bậc trung học phổ thông” củatác giả Nguyễn Viết Hiếu – luận văn thạc sĩ 2013
đã nghiên cứu được:


2

+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa
nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Trong định nghĩa
ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC, logarit
tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng.
Từ đó nhân, chia, khai căn trên các phần tử CSN được thực hiện qua cộng,
trừ, chia hai, chia ba các phần tử CSC.
+ Theo tiến trình lịch sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước
và được sử dụng để định nghĩa khái niệm lũy thừa với số mũ thực.

+ Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit: giá trị của hàm số logarit tại một
điểm và định nghĩa trực tiếp. Từ các cách tiếp cận, khái niệm logarit tồn tại
bốn nghĩa sau:
• Nghĩa một, logarit cơ số

a

của b là giá trị của hàm số y = log a x tại điểm x

bằng b.
• Nghĩa hai, logarit cơ số

a

của b với 0 < a ≠ 1, b > 0 là số thực

α

thỏa

aa = b .

• Nghĩa ba, logarit cơ số

a

của b là nghiệm của PT a x = b .

• Nghĩa bốn, log a b là tỉ số giữa hai tích phân

b

1
∫1 x dx và

a

1

∫ x dx

(hay

1

b
a
log a b là tỉ số giữa hai diện tích có dấu ∫ 1 dx và ∫ 1 dx ).
1

x

+ Logarit được ứng dụng để: giải các PT mũ

1

x

a f ( x) = b , a f ( x) = b g( x) ;

tính độ

pH dung dịch; đo độ chấn động các trận động đất; đo độ lớn âm thanh; tính
số các chữ số của một số nguyên dương, tính giới hạn vô định dạng

1∞ , 00 , ∞ 0 ; tính đạo hàm của các hàm số có dạng

y = f ( x) g ( x ) ,

y = f 1α1 ( x ) . f 2α2 ( x ) ... f nαn ( x ) và chuyển các hàm lũy thừa, mũ về các hàm tuyến
tính và bán tuyến tính. Từ các ứng dụng trên, logarit thể hiện ba vai trò công
cụ sau:
• Công cụ đơn giản các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy
thừa về các biểu thức đơn giản hơn.


3

• Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước.
• Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hay quá hẹp về phạm
vi có thể kiểm soát được.
Qua phân tích ở trên chúng tôi thấy một nghiên cứu đầy đủ về việc dạy học BPT mũ
và logarit ở cấp THPT là thật sự cần thiết.Vì lí đó nên chúng tôi chọn “Dạy học bất
phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông ” làm tên đề tài nghiên cứu
của mình.

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể là thuyết
nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và
sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn tại nơi

học sinh.
Liên quan đến sai lầm của HS, didactic toán thừa nhận quan điểm: không phải mọi
sai lầm đều là ngẫu nhiên, tùy tiện mà có những sai lầm có thể dự đoán trước
được.Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích, nhưng
không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng quát
hơn.Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi: ở đây, kiến thức được xây
dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương.Việc xây dựng một
kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ.Kiến thức cũ ấy có thể dẫn
đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp tình huống
nào đó.Thừa nhận luận điểm này, didactic toán đưa ra ba mô hình để giải thích
những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể đó là: sai lầm có tính hệ thống và có
thể dự đoán trước được; sai lầm do quan niệm; sai lầm do tồn tại qui tắc hành động,
hợp đồng dạy học.Vấn đề là các qui tắc hành động, quan niệm, hợp đồng dạy học
liên quan đến đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế
dạy học đối với đối tượng tri thức O.
 Thuyết nhân học
Quan hệ thể chế là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong diactic
toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) - mối quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức
O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O.Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như


4

thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì,...trong I.
Mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O) là tập hợp các
tác động qua lại mà X có với O.Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao tác O
ra sao.
Trong thể chế I mà cá nhân X tồn tại và hoạt động, R(X,O) hình thành hay thay đổi
dưới các ràng buộc của R(I,O).Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ phô bày
công khai những gì làm với O mà cá nhân đánh giá là phù hợp với thể chế.

Câu hỏi mấu chốt là làm thế nào để nghiên cứu R(I,O) và R(X,O)? Khái niệm
praxéologie là chìa khóa giúp trả lời câu hỏi này.Mỗi praxéologie là một bộ tứ
T / τ / θ / Θ  , trong đó T là kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ kỹ thuật τ , θ là yếu tố

công nghệ giải thích cho kỹ thuật, Θ là yếu tố lí thuyết giải thích cho công nghệ θ
.Khi T là một kiểu nhiệm vụ của toán học thì praxéologie đóđược gọi là
praxéologie toán học hay tổ chức toán học - OM.Các tổ chức toán học liên quan
đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp
những nhiệm vụ mà cá nhân phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định.Đồng
thời, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép hình dung
được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong
lúc thực hiện những nhiệm vụ trong thể chế.
 Qui tắc hành động
Qui tắc hành động được sử dụng để giải thích sai lầm của HS.Một cách cụ thể hơn,
qui tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những
kiến thức mà HS đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác
định.
Nếu như hợp đồng dạy học có nguồn gốc là quan hệ thể chế với đối tượng tri
thức mà ta đang bàn đến thì các qui tắc hành động được hình thành từ những kiến
thức địa phương đã từng có ích.Như vậy, các qui tắc đó có phạm vi hợp thức của
nó.Câu trả lời sai có thể đến từ việc áp dụng một qui tắc hành động ở ngoài phạm vi
hợp thức.(Những yếu tố cơ bản của Didactic toán (2009),tr 81)
Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố


5

nêu trên vào trong luận văn này.Trước hết cần xác định luận văn xem xét đối tượng
tri thức O - BPT mũ và logarit, I là thể chế dạy học toán lớp 12, cá nhân X thâm
nhập vào trong I ở vị trí HS.

Câu hỏi về sai lầm của HS đòi hỏi phải nghiên cứu R(X,O).Nhưng quan hệ của
cá nhân X đối với một đối tượng tri thức lại chịu ảnh hưởng nhiều của quan hệ mà
thể chế duy trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu R(X,O) là điều cần thiết.
Điều đó được thực hiện thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan
đến O. Việc xác định các mối liên hệ giữa các kỹ thuật giải, sự ưu tiên hay vắng mặt
của các kỹ thuật giúp xác định được đặc trưng của thể chế với việc dạy học O : thể
chế qui định dạy những gì liên quan đến đối tượng và dạy như thế nào,...Từ đó ta có
thể tìm thấy nguồn gốc của một số sai lầm của HS.
Do đó,chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể
là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích
chương trình và sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm
có thể tồn tại nơi học sinh. Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại
câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1:Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào?
Với cách trình bày như vậy có gây ra những khó khăn, sai lầm cho HS khi học về
BPT mũ và logarit?
Q2:Mối quan hệ thể chế giữa hai đối tượng PT với BPT mũ và logarit được xây
dựng như thế nào ở cấp trung học phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học
gắn liền với hai đối tượng này?Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài
tập về BPT mũ và logarit ở cấp THPT?
Q3:Những quan niệm,những qui tắc hành động nào dẫn đến các sai lầm mà HS gặp
phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến BPT mũ và logarit?

3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn
này.Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:
 Phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên toán lớp 12 ban cơ bản
và các tổ chức toán học liên quan đến PT, BPT mũ và logarit ở cấp THPT để tìm

6

cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2.
 Phân tích sách giáo viên toán 12 và tổng hợp các bài báo chuyên môn để dự
đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải
thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học. Sau đó tiến hành
một thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết đưa ra. Thực hiện những
phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3.

4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm các phần:
-

Phần mở đầu.

-

Chương 1: Mối quan hệ thể chế đối với bất phương trình mũ và logarit.

-

Chương 2: Thực nghiệm.

-

Phần kết luận.


7

Chương 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích chương
trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện hành.Trước khi tiến hành phân tích, chúng
tôi đưa ra một số qui ước sau đây:
M1: Sách giáo khoa Giải Tích 12 ban cơ bản.
E1: Sách bài tập Giải Tích 12 ban cơ bản.
G1: Sách giáo viên Giải Tích 12 ban cơ bản.

1. Bất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT.
1.1. Phân tích chương trình.
Bất phương trình mũ và logarit được đưa vào giảng dạy ở lớp 12, chương trình
chuẩn và nâng cao.Ở đây chúng tôi phân tích sách giải tích 12 ban cơ bản.
Chương trình của môn giải tích 12 (chương trình cơ bản) gồm 4 chương:
Chương I.Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Chương II.Hàm số lũy thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit.
Chương III.Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng.
Chương IV.Số phức.
Bất phương trình mũ và logarit được trình bày trong chương II.Hàm số lũy
thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit.(22 tiết).
Nội dung của chương II bao gồm các bài:
§1.Lũy thừa
§2.Hàm số lũy thừa
§3.Lôgarit
§4.Hàm số mũ.Hàm số lôgarit
§5.Phương trình mũ và phương trình lôgarit
§6.Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit
Theo sách G1 thì mục tiêu, nội dung, yêu cầu của chương II như sau:

8

 Mục tiêu
Giới thiệu lũy thừa với số mũ nguyên, căn bậc n, lũy thừa với số mũ hữu tỉ, vô tỉ
và các tính chất của lũy thừa.
Trình bày khái niệm logarit và các qui tắc tính logarit.
Khảo sát hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.
Giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản.
[G1, tr.69]
Như vậy, G1 có đưa ra mục tiêu “Giải các phương trình, bất phương trình mũ và
logarit đơn giản.” liên quan đến thể chế mà chúng tôi nghiên cứu đó là: “Dạy học
bất phương trình mũ và logarit”.
 Nội dung
Chương trình không cho phép trình bày tổng quát về hàm số ngược nên hàm số
lôgarit được định nghĩa độc lập với hàm số mũ, dựa vào khái niệm logarit.Phép
toán lấy logarit được xem như là phép toán ngược của phép nâng lên lũy thừa.
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày sau khi học sinh
đã biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bằng đạo hàm, nên
các hàm số này đều được nghiên cứu theo trình tự : nêu định nghĩa, công thức
tính đạo hàm, sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Theo yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các phương
trình,bất phương trình mũ và logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không
có tham số.
Để học sinh có thể hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất
phương trình mũ cơ bản, sách giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải
bài tập.
[G1, tr.69]
Như vậy, nội dung của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu
là theo yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các PT, BPT mũ và
logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không có tham số.Để học sinh có thể

hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ cơ bản, sách
giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải bài tập.


9

 Yêu cầu
"Nắm được khái niệm, các tính chất, biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.
Biết cách giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit cơ bản.
Biết cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản."
[G1, tr.69]
Như vậy, yêu cầu của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu
đó là:biết cách giải các PT, BPT mũ và logarit dạng cơ bản và đơn giản.
Do có sự tương tự giữa cách trình bày về PT mũ và logarit với BPT mũ và logarit
nên chúng tôi tự hỏi rằng: BPT mũ và logarit trong chương trình lớp 12 được tiếp
cận như thế nào? Các phương pháp để giải BPT mũ và logarit dạng cơ bản và dạng
đơn giản có điểm nào tương tự với các phương pháp giải PT mũ và logarit dạng cơ
bảnvà dạng đơn giản? Để làm sáng tỏ điều này, chúng tôi tiến hành phân tích bộ
SGK Toán 12 ban cơ bản hiện hành. Phần phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào
hai đối tượng BPT mũ và BPT logarit. Tuy nhiên, trong quá trình phân tích chúng
tôi sẽ tham chiếu so sánh đến phần PT tương ứng với nó.

1.2. Phân tích sách giáo khoa
Phần lý thuyết
1.2.1. Bất phương trình mũ cơ bản.
Khi SGK không đưa ra khái niệm BPT mũ mà chỉ nêu các dạng của BPT mũ cơ bản
vậy liệu nó có ảnh hưởng gì đến các sai lầm của HS hay không?
“SGK không nêu khái niệm bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.Ta
hiểu đó là các bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa hoặc trong biểu

thức lấy logarit.”
[G1, tr.97]
Các dạng BPT mũ cơ bản:
“Bất phương trình mũ cơ bản có dạng

ax > b

với a > 0, a ≠ 1 ”
[M1, tr.85]

(hoặc

a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b )


10

Tiếp theo, M1đưa ra công thức nghiệm cho BPT mũ cơ bản dạng
Ta xét bất phương trình có dạng

a x > b như

sau:

ax > b .

x
Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là R vì a > 0 ≥ b, ∀x ∈R.

Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với

ax > a

log a b

.

Với a > 1 ,nghiệm của bất phương trình là x > loga b .
Với 0 < a < 1 ,nghiệm của bất phương trình là x < loga b .
[M1, tr.85]
Tiếp theo, M1đưa ra ví dụ để minh họa cho công thức nghiệm được trình bày ở trên
với BPT mũ cơ bản dạng

ax > b .

Ví dụ 1
a) 3x > 81 ⇔ x > log3 81 ⇔ x > 4
x

1
b)   > 32 ⇔ x < log 1 32 ⇔ x < −5
2
2

[M1, tr.85]
Ta thấy M1 không đưa ra công thức nghiệm cũng như ví dụ cho các BPT mũ cơ bản
dạng

a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b .

Để giúp HS có một hình ảnh trực quan hơn về tập nghiệm của BPT mũ cơ bản dạng
ax > b

thì M1 đã minh họa bằng đồ thị như sau:

Minh họa bằng đồ thị
x
Vẽ đồ thị hàm số y = a và đường thẳng

y = b trên

cùng một hệ trục tọa độ.

Trường hợp a > 1 ta nhận thấy:
Nếu b ≤ 0 thì

ax > b

với mọi x.

Nếu b > 0 thì

ax > b

với x > loga b (H.1.1)

Trường hợp 0 < a < 1 ,ta có:
Nếu b ≤ 0 thì

ax > b

với mọi x.

Nếu b > 0 thì

ax > b

với x < loga b (H.1.2)
y


11

=
y a x (a > 1)

y=b

b
1

b
1

=
y a x (0 < a < 1)

loga b

loga b

Hình 1.2

Hình 1.1
Kết luận.Tập nghiệm của bất phương trình
ax > b

ax > b

được cho trong bảng sau:

Tập nghiệm
a >1

b≤0
b>0

y=b

R

( log

a

b; +∞ )

0 < a <1

R

( −∞; log b )
a

[M1, tr.86]
Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích như sau:
Cũng như đối với các phương trình ở bài 5, khi giải các bất phương trình mũ
và bất phương trình logarit cơ bản, SGK chú trọng đến việc minh họa bằng
đồ thị. Lí do là phương pháp đồ thị giúp học sinh hình dung một cách trực
quan tập hợp nghiệm của bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm đó trên
trục số. Ngoài ra, qua đồ thị, học sinh nắm vững được các trường hợp bất
phương trình luôn nghiệm đúng hoặc vô nghiệm mà không cần ghi nhớ một
cách máy móc các kết quả trong bảng.
[G1, tr.97,98]
Như vậy, với PT, BPT mũ và logarit cơ bảnthì M1 đều có minh họahình ảnh trực
quan bằng đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT.Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ
có một dạng BPT mũ cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa miền
nghiệm bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị


12

đối với các BPT mũ cơ bản với dấu “<, ≤ , ≥” mà thay vào đó là hoạt động 1.
“Hoạt động 1.Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình

a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b

”
[M1, tr.86]
Đáp án của hoạt động 1:

Từ đồ thị ở hai hình 41 và 42 của SGK,ta có bảng tóm tắt tập nghiệm của BPT
ax ≥ b

như sau:
ax ≥ b

Tập nghiệm
a >1

0 < a <1

b≤0

R

R

b>0

 log a b; +∞ )

( −∞; log

a

b

Từ đồ thị ta có hai bảng sau đây:
ax < b

Tập nghiệm
a >1

0 < a <1

b≤0

∅

∅

b>0

( −∞; log b )

ax ≤ b

b≤0
b>0

a

( log

a

b; +∞ )

Tập nghiệm
a >1

0 < a <1

∅

∅

( −∞; log

a

b

 log a b; +∞ )

Ta nhận thấy cấu trúc trình bày BPT mũ cơ bản dạng
cấu trúc trình bày đối với PT mũ cơ bản dạng

a x > b hoàn

ax = b ,

toàn tương tự như

nó được xác định qua dấu

hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT mũ cơ bản thành
dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥”) thì ta có dạng của BPT mũ cơ bản và M1 không nêu
khái niệm BPT mũ mà chỉ trình bày các dạng của BPT mũ cơ bản.

13

Để rèn luyện kĩ năng cho HS thì G1 đã đưa ra yêu cầu:
“Sau hoạt động 1 nên yêu cầu học sinh giải cụ thể một vài bất phương trình
mũ cơ bản để rèn luyện kĩ năng.Chẳng hạn,có thể yêu cầu học sinh chỉ ra tập
hợp nghiệm của các bất phương trình sau:
a) 2

x −1

x

1
≤
2

1
b)   > −3
2

c) ( 0,4 ) < −1 ”
x

[G1, tr.98]
Đáp số:
a) ( −∞; 0 

b) R

c) ∅

1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản.
Đối với BPT mũ đơn giản thì M1 đưa vào hai ví dụ và hoạt động 2 để minh họa về
dạng và phương pháp giải đối với BPT mũ đơn giản.
Dưới đây là một số ví dụ về BPT mũ đơn giản.
Ví dụ 2.Giải bất phương trình

3x

2

−x

<9

Giải.Bất phương trình đã cho có thể viết dưới dạng
Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên

3x

2

−x

< 32

x2 − x < 2 .

Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc.Giải bất phương trình này ta

được −1 < x < 2 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng ( −1;2 ) .
Ví dụ 3.Giải bất phương trình

4 x − 2.52 x < 10 x .

Giải.Chia hai vế của bất phương trình cho
x

10 x ,ta

được

x

2
5
  − 2  < 1.
5
2
x

5
=
Đặt t   (t > 0) ,ta có bất phương trình
2

2
t2 − t − 2
t − < 1 hay

< 0.
t
t
Giải bất phương trình này với điều kiện t > 0 ,ta được 0 < t < 2 .Do đó


14

x

2
0<  <2
5
Vì cơ số

2
nhỏ hơn 1 nên x > log 2 2
5
5



Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  log 2 2; +∞ 
 5

[M1, tr.87]
Như vậy, M1đã đưa vào 2 ví dụ ở trên với mục đích là rèn luyện kĩ năng cho HS về
phương pháp giải BPT mũ đơn giản.
Chúng tôi nhận thấy rằng với cách trình bày của M1 là cho 2 ví dụ để minh họa
không đưa ra được các phương pháp giải BPT mũ cụ thể như: đưa về cùng cơ số,

đặt ẩn phụ,…và liệu đó có phải là nguyên nhân gây khó khăn cho việc dạycủa GV,
việc học của HS nhưkhi các em giải các bài tậpBPT mũ tương tự thì các em không
biết biến đổi như thế nào và phải bắt đầu từ đâu nên HS thường gặp các sai lầm và
cho kết quả sai.
Tiếp theo, M1 đưa vào hoạt động 2 với mục đích củng cố và rèn luyện cho HS sau
khi các em làm 2 ví dụ ở trên.
Hoạt động 2.Giải bất phương trình

2 x + 2− x − 3 < 0

[M1, tr.87]
Đáp án của hoạt động 2:

1
t 2 − 3t + 1
x
<0
Đặt=t 2 (t > 0) ,ta có bất phương trình t + − 3 < 0 hay
t
t
Với điều kiện t > 0 ,ta có
Từ đó suy ra

t 2 − 3t + 1 < 0

3− 5
3+ 5
2
2

3− 5
3+ 5
< 2x <
2
2

Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên log2

(

hay

)

3− 5
3+ 5
< x < log2
2
2

(

)

Hay log2 3 − 5 − 1 < x < log2 3 + 5 − 1


15

Vậy chúng tôi nhận thấy rằng đối với BPT mũ đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ
cùng với lời giải cho 2 ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ
thể để giải BPT mũ đơn giản.Vậy liệu rằng với cách trình bày như vậy có ảnh
hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không?Do đó, liệu
có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việcdạyvà học nội dung này đạt được
kết quả tốt hơn và các em HS có thể tự tin hơn khi giải các bài tập dạng này hay
không?

1.2.3. Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ
Trong phần này chúng tôi sẽ phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng BPT mũ
cơ bản và BPT mũ đơn giản. Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích các TCTH liên
quan đến PT mũ cơ bản và PT mũ đơn giản để làm cơ sở so sánh giữa hai đối tượng
BPT mũ với PT mũ tương ứng.
a) - Kiểu nhiệm vụ T1bptmu :Giải bất phương trình mũ cơ bản có dạng
ax > b

(hoặc

a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b )

với a > 0, a ≠ 1 .

Ví dụ 1
a) 3x > 81 ⇔ x > log3 81 ⇔ x > 4
x

1
b)   > 32 ⇔ x < log 1 32 ⇔ x < −5
2
2

[M1, tr.85]
Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích
cho kĩ thuật đó như sau:
-

Kỹ thuật t 1bptmu : Giải bất phương trình mũ có dạng

ax > b

( a > 0, a ≠ 1 )

• Kỹ thuật τ 1.bpτmu
CCL og - Công cụ logarit:
+ Lấy logarit cơ số

a

x
hai vế của BPT a x > b được BPT log a a > log a b .

+ Nếu cơ số a > 1 thì

x > log a b .

+ Nếu cơ số 0 < a < 1 thì

x < log a b .

• Kỹ thuật τ 1.bpτmu

MuL og - Đưa về cùng cơ số mũ logarit:
+ Biến đổi b thành a log

a

b

đưa BPT đã cho về a x > a log b .
a


16

log b
x
+ Nếu cơ số a > 1 thì a > a a ⇔ x > log a b .
log b
x
+ Nếu cơ số 0 < a < 1 thì a > a a ⇔ x < log a b .

• Kỹ thuật τ 1.MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:
bpτmu

+ Tìm số hữu tỉ n thỏa b = a n , biến đổi BPT đã cho thành a x > a n .
+ Nếu cơ số a > 1 thì x > n .
+ Nếu cơ số 0 < a < 1 thì
-

x

.

Công nghệ θ1bptmu :

x
+ Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Với a >, a ≠ 1, a > 0, ∀x ∈ R .
x
+ Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm sốmũ y = a (a > 0, a ≠ 1) . Khi a > 1 hàm số

luôn đồng biến.Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.

=
y loga x (a > 0, a ≠ 1) . Khi a > 1
+ Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit
hàm số luôn đồng biến.Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.
+ Sử dụng tính chất của logarit: với a, b > 0, a ≠ 1 .Ta có a
Kỹ thuật giải các BPT mũ dạng
BPT mũ dạng

a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b

loga b

=b.

với a > 0, a ≠ 1 tương tự như

ax > b .

Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV liên quan giải PT mũ cơ bản với mong muốn

thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT mũ cơ bản như sau:
-

Kiểu nhiệm vụ T1ptmu:Giải phương trình mũ cơ bản có dạng

ax = b

với

a > 0, a ≠ 1 .

Ví dụ 1.Giải phương trình

22 x −1 + 4 x +1 =
5

Giải.Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được:

1 x
10
x
.4 + 4.4
5 hay=
4x
=
2
9
Vậy x = log4

10

9

[M1,tr.80]
Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích


17

cho kĩ thuật đó như sau:
-

Kỹ thuật t 1ptmu :Giải PT mũ cơ bản có dạng

ax = b

với a > 0, a ≠ 1 .

• Kĩ thuật τ 1.pτmu
CC log - Công cụ logarit :
+ Điều kiện cho PT (nếu có).
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a x = b .
+ Lấy logarit cơ số

a

hai vế của PT a x = b được PT

x = log a b .

:

• Công nghệ θ1.ptmu
CCLog
+ Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit.
+ Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương.
• Kĩ thuật τ 1.pτmu
MuLog - Đưa về cùng cơ số mũ logarit:
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a x = b .
+ Biến đổi b thành a log

a

b

đưa PT đã cho về a x = a log b .
a

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa PT a x = a log a b về

x = log a b

.

• Công nghệ θ1.ptmu
:
MuLog
+ Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit.
“Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn

aa = b

được gọi là logarit cơ số a

a
b )”
của b và kí hiệu là loga b ( a= loga b ⇔ a=

[M1,tr.62]
x
+ Tính đơn điệu của hàm số mũ y = a .
pτmu
• Kĩ thuật τ 1.MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:

+ Điều kiện xác định PT (nếu có).
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a x = b .
+ Tìm số hữu tỉ n thỏa b = a n , PT đã cho thành a x = a n và x = n .
• Công nghệ θ1.ptmu
MuHuuTi
+ Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép biến đổi tương đương PT.
x
+ Tính đơn điệu của hàm số mũ y = a .