hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng trong một hệ trụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Diên Thông

HIỆN TƯỢNG TRUYỀN NĂNG LƯỢNG
CỘNG HƯỞNG TRONG MỘT HỆ TRỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Diên Thông

HIỆN TƯỢNG TRUYỀN NĂNG LƯỢNG
CỘNG HƯỞNG TRONG MỘT HỆ TRỤ

Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử
Mã số: 60 44 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS HỒ TRUNG DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung
thực, được các tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

1


LỜI CÁM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn TS Hồ Trung
Dũng. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn thể các Thầy cô giáo trong khoa
Vật lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập tại khoa.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn các Thầy cô ở Viện Vật lý Thành phố Hồ Chí Minh đã
giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Vật lý nguyên tử khóa 22 đã nhiệt tình giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và người thân đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành
tốt quá trình học tập.

TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 09 năm 2013
Học viên
Phạm Diên Thông

2

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................................4
2. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................................5
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................................5
4. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................................................5

CHƯƠNG 1: TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG MÔI
TRƯỜNG CÓ PHÂN TÁN VÀ HẤP THỤ .............................................................. 7
1.1. Lượng tử hóa trường điện từ trong môi trường có phân tán và hấp thụ. ..............7
1.2. Tốc độ truyền năng lượng ...........................................................................................9

CHƯƠNG 2: HÀM GREEN CHO KHỐI TRỤ ĐIỆN MÔI VÔ HẠN ............... 13
2.1. Hàm Green cho khối trụ vô hạn ...............................................................................13
2.2. Các hệ số phản xạ.......................................................................................................15

CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ TRỤ HAI LỚP17
3.1. Công thức tường minh cho tốc độ truyền năng lượng ...........................................17
3.1.1. Hai phân tử cùng đặt trên đường thẳng song song với trục Oz bên ngoài khối trụ.18
3.1.2. Các phân tử đặt vòng quanh khối trụ nằm trong mặt phẳng Oxy. ......................... 20
3.1.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz................................... 21
3.2. Các cực của hàm Green.............................................................................................22
3.3. Phương pháp lấy tích phân .......................................................................................24

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ........................................................... 27
4.1. Các phân tử nằm trong mặt phẳng Oxy ..................................................................27
4.2. Các phân tử nằm trên đường thẳng song song với trục Oz. ..................................30

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 35
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 37

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề truyền năng lượng giữa hai nguyên tử hoặc phân tử là một vấn đề rất được quan
tâm đối với vật lý học cũng như các ngành khoa học hiện đại. Sự truyền năng lượng cộng
hưởng (resonance energy transfer-RET) giữa hai nguyên tử hoặc phân tử là một trong các
cơ chế chính mà thông qua đó ta có thể kích thích hệ nguyên tử hoặc phân tử. Nó đóng một
vai trò quan trọng trong sinh học (quang hợp), quang tử nano (LEDs, nano laser), máy tính
lượng tử [13]. Do đó việc nghiên cứu cơ chế và các yếu tố ảnh hưởng đến RET đã được rất
nhiều nhà khoa học quan tâm.
Bắt đầu từ năm 1946 với công trình đầu tiên của Purcell [14], người ta đã biết tốc độ
phân rã trạng thái và dịch chuyển mức năng lượng của một hệ phân tử có thể thay đổi khi ta
đặt nó trong một môi trường phù hợp. Giống như tốc độ rã tự phát và dịch chuyển mức năng
lượng, hiệu ứng truyền năng lượng giữa hai phân tử cũng chịu ảnh hưởng của môi trường
xung quanh [5]. Trước đây, hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng được mô tả qua hai
lý thuyết khác nhau, lý thuyết truyền bức xạ ở khoảng cách ngắn khi R / λ << 1 , xây dựng
bởi Förster [7] và lý thuyết truyền bức xạ ở khoảng cách dài khi R / λ >> 1 [1], ở đây R là
khoảng cách giữa hai phân tử hoặc nguyên tử và λ là bước sóng của phân tử cho. Quá trình
truyền năng lượng ở khoảng cách ngắn là vấn đề được quan tâm đặc biệt, bởi vì ở khoảng
cách lớn hơn bước sóng, các quá trình khác có thể cạnh tranh thành công với RET trong
việc giành lấy kích thích của phân tử cho (bức xạ tự phát, những va chạm của phân tử trong
môi trường…).
Thực tế là RET có thể được thay đổi bằng cách đặt các cặp phân tử trong môi trường

điện môi phù hợp từ đó tăng cường sự truyền năng lượng cộng hưởng qua khoảng cách dài.
Về bản chất RET là quá trình lượng tử. Trong [5], một sơ đồ lượng tử cho RET trong sự
hiện diện của môi trường có tán xạ và hấp thụ được xây dựng dựa trên sơ đồ lượng tử hóa
trong công trình [4] và lý thuyết nhiễu loạn. Rất nhiều tính toán lý thuyết cũng như kiểm
chứng thực nghiệm đã được thực hiện cho các hệ cụ thể như mặt phẳng điện môi [5], quả
cầu điện môi [3, 6, 9], sợi nano [11], khối trụ [13],… Các công trình gần đây hơn khảo sát
ảnh hưởng của các cấu trúc nano kim loại [15], các phần tử hữu cơ metalloporplyzin [8], các
chuỗi DNA đúp [2], graphene [10 ] lên RET.

4


Đặc biệt vấn đề truyền năng lượng cộng hưởng giữa hai phân tử đặt trong một hệ trụ rất
được quan tâm. Như đã biết hệ trụ là một mô hình rất gần với thực tế mà điển hình là sợi
dây nano và nó thường xuyên được sử dụng trong các tinh thể hai chiều. Sử dụng sơ đồ của
[5], trong [13] các tác giả đã khảo sát RET trong hệ trụ. Nếu phân tử cho và phân tử nhận
được đặt gần một hình trụ, tốc độ truyền năng lượng có thể được tăng cường hay bị ức chế
so với giá trị trong chân không. Trường hợp hằng số điện môi thực đã được khảo sát và cho
thấy tốc độ truyền năng lượng có thể tăng cao từ một vài lần cho tới khoảng 10 lần. Mặt
khác, với mô hình Drude – Lorentz sự tăng lên đó có thể lên đến 106 lần [13].
Hệ trụ có hai dạng cộng hưởng: các cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) truyền dọc
theo trục z (trục của hình trụ) và các cộng hưởng whispering gallery truyền dọc theo rìa
khối trụ. Trong công trình [13] các tác giả giả định phân tử cho và phân tử nhận nằm trong
cùng một mặt phẳng Oxy. Trong luận văn này chúng tôi sẽ xem xét ảnh hưởng của cộng
hưởng sóng dẫn bằng cách đặt phân tử cho và phân tử nhận trên một đường thẳng song song
với trục z . Khối trụ là một hệ hình học hai lớp. Bài toán cũng có thể mở rộng cho hệ ống
nanocarbon có cấu hình ba lớp.

2. Mục tiêu nghiên cứu
-

Xem xét ảnh hưởng của cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) lên hiệu ứng truyền
năng lượng trong một khối trụ.

-

Sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng (tăng hoặc giảm) vào các yếu tố như
khoảng cách giữa các phân tử, hàm điện môi, bán kính của hình trụ…

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu:
Hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng trong hệ trụ và những tính chất của nó.
•

Phạm vi nghiên cứu:
Mô hình cho phép hằng số điện môi phụ thuộc tần số (tán sắc và hấp phụ). Tương
tác vật chất – trường điện từ là tuyến tính.

4. Phương pháp nghiên cứu
-

Thu thập các bài báo, sách có liên quan đến đề tài luận văn.

-

Viết chương trình (Fortran) tính số chi tiết hàm Green cho hình trụ.

-

Trên cơ sở chương trình trên viết chương trình tính toán hiệu ứng truyền năng lượng

5


dựa trên các công thức rút ra từ lý thuyết nhiễu loạn bậc hai [5].
-

Phân tích ý nghĩa vật lý của kết quả số.

-

Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi quy ước các ký hiệu toán học được in đậm
là vectơ còn các ký hiệu vừa in đậm vừa in nghiêng là ma trận.

6


CHƯƠNG 1: TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG
MÔI TRƯỜNG CÓ PHÂN TÁN VÀ HẤP THỤ
1.1. Lượng tử hóa trường điện từ trong môi trường có phân tán và hấp thụ.
Về bản chất quá trình truyền năng lượng giữa các phân tử là một quá trình cơ học lượng
tử. Do đó, yêu cầu nhất thiết là chúng ta phải lượng tử hóa trường điện từ. Trong miền tần

ˆ và toán tử từ trường Bˆ được thể hiện qua hệ phương trình
số, các toán tử điện trường E
Maxwell lượng tử [13].

ω
∇ × Eˆ (r, ω ) =
i Bˆ (r, ω ) ,
c

1
ω
∇ × Bˆ (r, ω ) =
−i ε (r, ω ) + ˆj(r, ω ) ,
c
c

(1.1)

(1.2)

0,
∇ ⋅ Bˆ (r, ω ) =

(1.3)

ˆ (r, ω )] =
∇ ⋅ [ε (r, ω )E
ρˆ (r, ω ) .

(1.4)

Trong hệ phương trình trên thì ε (r, ω ) là hàm điện môi của môi trường, còn ρˆ (r, ω ) và

ˆj(r, ω ) là toán tử mật độ điện tích và toán tử dòng điện tích. Từ hệ phương trình trên ta có
thể rút ra được phương trình Helmholtz cho toán tử điện trường. Để tìm phương trình cho

ˆ , ta loại Bˆ bằng cách viết lại phương trình (1.1) dưới dạng như sau
toán tử E
c

Bˆ (r, ω ) =
−i ∇ × Eˆ (r, ω ) .

ω

(1.5)

Thế (1.5) vào (1.2) ta thu được phương trình Helmholtz cho toán tử điện trường

ω
ˆ (r, ω ) − ω ε (r, ω )E
ˆ (r, ω ) =
∇ ×∇ ×E
i 2 ˆj(r, ω ) .
2
c
c
2

(1.6)

Phương trình vi phân này được giải bằng phương pháp hàm Green, khi đó ta thu được

ˆ (r, ω ) có dạng
biểu thức của toán tử điện trường E

ω
Eˆ (r, ω ) = i 2 ∫ d 3 sG (r, s, ω )ˆj(s, ω ) ,
c
7

(1.7)


trong đó hàm Green G (r, s, ω ) là nghiệm của phương trình
∇ × ∇ × G (r, s, ω ) −

ω2
c2

ε (r, ω )G (r, s, ω=
) I δ (r − s)

(1.8)

và thỏa điều kiện biên tại vô cực. Trong phương trình (1.8) I là toán tử đơn vị, δ (r − s) là
hàm delta Dirac. Các toán tử điện trường và từ trường được định nghĩa như sau
∞

ˆ (r, ω ) + H.c. ,
dωE

(1.9)

∞

dωBˆ (r, ω ) + H.c. ,

(1.10)

ˆ (r )
E
=

1
2π

∫0

Bˆ (r )
=

1
2π

∫0

với H.c. chỉ phần liên hợp.

ˆ (r ) và B
ˆ (r ) sẽ thỏa
Với dạng của các biểu thức định nghĩa như trên thì các toán tử E
mãn các hệ thức giao hoán

ˆ (r ), Eˆ (r′)] [ =
=
Bˆi (r ), Bˆ k (r′)] 0 ,
[E
i
k

(1.11)

∂

[ Eˆ i (r ), Bˆ k (r′)] =
−i ikl
δ (r − r′) ,
c
∂xl

(1.12)

trong đó ikl là tensor Levi – Civita.
Khi không có dòng ngoài, ˆj là dòng nhiễu cần thiết để mô tả hấp thụ của vật chất. Toán
tử mật độ dòng nhiễu ˆj(r, ω ) được thể hiện qua toán tử vectơ trường cơ sở fˆ (r, ω ) như sau

ˆj(r, ω ) = ω 2 ε ′′(r, ω )fˆ (r, ω ) ,

(1.13)

với ε '' là phần ảo của hằng số điện môi: ε=
(r, ω ) ε '(r, ω ) + iε ''(r, ω ) .
Toán tử trường fˆ (r, ω ) trong phương trình (1.13) thỏa mãn các hệ thức giao hoán
bosonic

=
[ fˆi (r, ω ), fˆk (r′, ω ′)] [ =
fˆi + (r, ω ), fˆk+ (r′, ω ′)] 0 ,

8

(1.14)


[ fˆi (r, ω ), fˆk+ (r′, ω ′)] = δ ik δ (ω − ω ′)δ (r − r′) .

(1.15)

ˆ (r, ω ) thông qua toán tử trường
Bây giờ ta có thể biểu diễn toán tử điện trường E
fˆ (r, ω ) bằng cách thế phương trình (1.13) vào phương trình (1.7)
ˆ (r, ω ) = i ω d 3 sG (r, s, ω ) 2 ε ′′(s, ω )fˆ (s, ω ) .
E
∫
c2
2

(1.16)

Tiếp tục thế phương trình (1.16) vào phương trình (1.9) ta được
ˆ (r )
E

i



∞

π ∫0

dω

ω2
c

2

∫d

3

s ε ′′(s, ω )G (r, s, ω )fˆ (s, ω ) + H.c. .

(1.17)

Như vậy chúng ta đã có được biểu thức của toán tử điện trường. Đây là cơ sở để ta thiết
lập Hamilton của hệ phân tử trong trường điện từ, từ đó tính toán tốc độ truyền năng lượng
giữa hai phân tử.

1.2. Tốc độ truyền năng lượng
Để tính toán tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng giữa hai phân tử trước hết ta cần xây
dựng Hamilton của hệ hai phân tử đó. Xét hai phân tử A và B với các vectơ tọa độ tương
ứng là rA và rB . Ở cùng một thời điểm, ta xem mỗi phân tử giống như một hệ hai mức với
trạng thái cơ bản | a〉 (| b〉 ) và trạng thái kích thích là | a′〉 (| b′〉 ) cho phân tử A( B ) . Các
phân tử này dao động bức xạ với các tần số khác nhau giữa trạng thái cơ bản và trạng thái
kích thích. Tần số và phần tử ma trận lưỡng cực tương ứng là ωa′a (ωb′b ) và µa′a ( µb′b ) .
Chúng ta sẽ sử dụng các Hamilton đa cực để mô tả tương tác của hệ với trường điện từ.
Trong mô tả này thì tương tác Coulomb giữa hai phân tử được bỏ qua. Thay vào đó chúng

tương tác với nhau thông qua trường bức xạ. Toán tử Hamilton tổng quát của hệ có thể viết
như sau

Hˆ = Hˆ mol + Hˆ rad + Hˆ int .

(1.18)

Trong phương trình (1.18) thì Hˆ rad là Hamilton đặc trưng cho mật độ năng lượng của
trường điện từ trong sự hiện diện của vật chất
∞
Hˆ rad = ∫ d 3r ∫ dω ωfˆ + (r, ω )fˆ (r, ω ) .
0

(1.19)

Số hạng thứ nhất trong phương trình (1.18) mô tả năng lượng của hệ phân tử và có dạng
9


Hˆ mol = ωa′aσ A+σ A + ωb ' bσ B+σ B ,

(1.20)

ở đây σ A+ và σ A là các toán tử Pauli đảo trạng thái của phân tử A và tương tự cho phân tử

B . Số hạng cuối cùng trong (1.18) là Hamilton mô tả tương tác giữa hai phân tử với trường
điện từ

ˆ (r ) − µˆ .E
ˆ

Hˆ int =
− µˆ A .E
A
B (rB ) ,

(1.21)

=
µˆ A µa′aσ A+ + µa*′aσ A và tương ứng cho
ở đây các toán tử lưỡng cực của phân tử A có dạng
ˆ (r ) được cho bởi phương trình (1.17).
phân tử B . Toán tử điện trường E
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét quá trình truyền năng lượng giữa hai phân tử A và B . Giả
sử ban đầu hệ ở trạng thái | i〉 tương ứng với phân tử A ở trạng thái kích thích, phân tử B ở
trạng thái cơ bản và trường điện từ trong trạng thái chân không. Ta biểu diễn trạng thái của
hệ dưới dạng

=
| i〉 | a′, b〉⊗ | 0〉 .

(1.22)

Trong trạng thái này hệ có năng lượng ωa′a . Sau khi có sự truyền năng lượng từ phân
tử A cho phân tử B hệ chuyển về trạng thái cuối | f 〉 tương ứng với phân tử A ở trạng thái
cơ bản còn phân tử B ở trạng thái kích thích. Lúc này hệ có năng lượng là ωb′b

|=
f 〉 | a, b′〉⊗ | 0〉 .

(1.23)

Tốc độ truyền năng lượng của hai phân tử được cho bởi phương trình

2π
w fi = 2 | 〈 f | Tˆ | i〉 |2 δ (ωa′a − ωb′b ) ,


(1.24)

trong đó Tˆ là toán tử truyền có dạng

=
Tˆ Hˆ int + Hˆ int

1
Hˆ int .
Ei − Hˆ 0 + iη

(1.25)

Trong phương trình (1.25) số hạng đầu tiên của Tˆ không đóng góp cho tốc độ truyền
năng lượng giữa hai phân tử. Ở số hạng thứ hai trong (1.25) η là một hằng số dương vô
cùng nhỏ. Do đó yếu tố ma trận của tương tác là

〈 f | Tˆ | i=
〉

1
Hˆ int | α 〉〈α | Hˆ int | i〉 ,
ˆ

i − H 0 + iη

∑ 〈 f | Hˆ int E
|α 〉

(1.26)

với | α 〉 là một tập hợp đầy đủ các trạng thái chuyển tiếp. Các trạng thái trung gian này có
hai loại là

10


〉 | a, b〉 ⊗ fˆi + (s, ω ) | 0〉 ,
| α I=

(1.27)

ˆ+
| α=
II 〉 | a′, b′〉 ⊗ f i (s, ω ) | 0〉 .

(1.28)

Theo kết quả phụ lục [13], ta thu được yếu tố ma trận 〈 f | Tˆ | i〉 như sau

ω
〈 f | Tˆ | i〉 = − a2′a µb′bG (rB , rA , ωa′a ) µa*′a .
c
2

(1.29)

Như vậy ta có biểu thức của tốc độ truyền năng lượng giữa trạng thái đầu và trạng thái
cuối như sau
2

2π ωa2′a
µb′bG (rB , rA , ωa′a ) µa*′a δ (ωa′a − ωb′b ) .
=
w fi
2
2
 c

(1.30)

Chúng ta đã kí hiệu a và b là trạng thái cơ bản, a ' và b ' là trạng thái kích thích. Sử
dụng gần đúng Born-Oppenheimer, khi đó yếu tố ma trận chuyển có dạng

µa′a = d Ava′a ,

(1.31)

ở đây d A là yếu tố ma trận của toán tử dipole, trong khi va′a là tích phân che phủ giữa hai
trạng thái a và a ' , tương tự cho phân tử B . Như vậy tổng tốc độ truyền năng lượng thu
được từ phương trình (1.30) cho tất cả các trạng thái đầu và trạng thái cuối là

w

2π
2

2

 ωa2′a 
∑ ∑ pa′ pb  c 2  | vb′bva′a |2 | d BG (rB , rA , ω )d A |2 δ (ωa′a − ωb′b ) .
a ,a′ b ,b′



(1.32)

Ở đây pa′ là ký hiệu của mật độ xác suất trung bình của mức a ' trong trạng thái kích
thích của phân tử A và pb là ký hiệu của mật độ xác suất trung bình của mức b trong trạng
thái cơ bản của phân tử B . Phương trình (1.32) có thể viết lại như sau

w = ∫ dω w (ω )σ Aem (ω )σ Babs (ω ) ,

(1.33)

với

2π
w (ω ) = 2


2

 ω2 

2
 2  | d BG (rB , rA , ω )d A |
c 

(1.34)

và

=
σ Aem
=
σ Babs

∑ pa′ | va′a |2 δ (ωa′a − ω ) ,

(1.35)

∑ pb | vb′b |2 δ (ωb′b − ω ) .

(1.36)

a , a′

b ,b′

11


Ở đây σ Aem và σ Babs có thể xem như là phổ phát xạ của phân tử A và phổ hấp thụ của
phân tử B trong trạng thái cân bằng. Nếu hàm Green là một hàm biến đổi chậm theo tần số

so với phổ phát xạ và phổ hấp thụ, ta có thể thay w (ω )  w (ω A ) và viết lại biểu thức (1.33)
như sau

w = w (ω A ) ∫ dωσ Aem (ω )σ Babs (ω ) .

(1.37)

Biểu thức này cho thấy sự chồng chập phổ phát xạ và phổ hấp thụ của phân tử cho và
phân tử nhận xuất hiện trong lý thuyết của Förster.
Bây giờ, ta sẽ chuẩn hóa tốc độ truyền năng lượng giữa hai phân tử khi đặt gần một vật
thể vĩ mô bằng cách chia cho giá trị tốc độ truyền trong không gian tự do

w
| d BG (rB , rA , ω )d A |2
=
Γ
=
,
w 0 | d BG0 (rB , rA , ω )d A |2

(1.38)

trong đó G0 (rB , rA , ω ) là hàm Green trong không gian tự do. Đây là công thức tổng quát, có
giá trị cho tất cả các cấu hình hình học của vật thể vĩ mô và cho phép xem xét đầy đủ tán sắc
và hấp thụ của môi trường. Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày hàm Green cho
khối trụ.

12

CHƯƠNG 2: HÀM GREEN CHO KHỐI TRỤ ĐIỆN MÔI VÔ HẠN
2.1. Hàm Green cho khối trụ vô hạn
Từ những tính toán ở phần trước, để tính toán tốc độ truyền năng lượng giữa hai phân tử
ta cần biết hàm Green. Hàm Green cho hệ trụ trải dài tới vô hạn và có N lớp đã được tính
trong [12]. Ở đây ta sẽ trình bày tóm tắt kết quả của [12], đồng thời viết hàm Green ở dạng
tường minh để chuẩn bị cho các bước tính toán số tiếp theo. Giả sử phân tử cho được đặt ở
lớp s ( s = 1, 2,...N ) và phân tử nhận được đặt ở lớp f ( f = 1, 2,...N ) ,

Hình 2.1. Cấu trúc hình học của khối trụ nhiều lớp.
hàm Green cho hình trụ gồm nhiều lớp phải thỏa mãn những điều kiện biên sau đây

rˆ × G fs =
rˆ × G ( f +1) s ,
1

µf

fs
rˆ × ∇ × G=

1

µ f +1

rˆ × G ( f +1) s ,

(2.1)

(2.2)

trụ ( j 1, 2,...N − 1) .
trong đó r = a j là bán kính của những lớp của khối=
Để tìm được dạng của hàm Green G fs chúng ta sử dụng phương pháp tổ hợp các sóng.
Hàm Green sẽ được tách thành hai phần gồm hàm Green không biên (hệ vật chất đồng nhất
chiều không gian) G0e và hàm Green tán xạ Gesfs .

=
G fs (r, r′) G0e (r, r′)δ sf + Gesfs (r, r′) .
13

(2.3)


Hàm Green không biên G0e có dạng
 δ (r − r' ) i
rr
G0e (r, r' ) =
−
+
8π
ks2

+∞

∞

(2 − δ n0 )

−∞

n =0

η s2

∫ dh ∑

M (1)
(h)M' e (− h) + N (1)
(h)N' e (− h)
e
 eo nηs
o nη s
o nη s
o nη s
×
(1)
(1)
M e nη (h)M' e nη (− h) + N e nη (h)N' e nη (− h)
o s
o s
o s
 o s

(2.4)

r > r'
r < r' .

Thành phần mô tả tán xạ do sự có mặt của hệ trụ có dạng

Gesfs (r, r' ) =

i
8π

+∞

∫

−∞

∞

(2 − δ n0 )

n =0

η s2

dh ∑


(1)
1
(1)
N
fs
N
fs



(1 − δ f )M e nη (h) (1 − δ s )C1H M′e nη (− h) + (1 − δ s )C'1H M′e nη (−h) 
o
s
o
s


o f

+ (1 − δ fN )N (1)
e

(h) (1 − δ s1 )C1Vfs N′e (−h) + (1 − δ sN )C'1Vfs N′e(1) (− h) 
o nη s
o nη s



+ (1 − δ fN )N (1)
o

(h) (1 − δ s1 )C2fsH M′e (− h) + (1 − δ sN )C'2fsH M′e(1) (− h) 
o nη s
o nη s



+ (1 − δ fN )M (1)
o

(h) (1 − δ s1 )C2fsV N′e (− h) + (1 − δ sN )C'2fsV N′e(1) (− h) 


o nη s
o nη s

+ (1 − δ 1f )M e

(h) (1 − δ s1 )C3fsH M′e (− h) + (1 − δ sN )C'3fHs M′e(1) (− h) 
o nη s
o nη s



+ (1 − δ 1f )N e

(h) (1 − δ s1 )C3fsV N′e (− h) + (1 − δ sN )C'3fsV N′e(1) (− h) 


o nη s
o nη s

+ (1 − δ 1f )N o

(h) (1 − δ s1 )C4fsH M′e (− h) + (1 − δ sN )C'4fsH M′e(1) (− h) 
o nη s
o nη s



+ (1 − δ 1f )M o

(h) (1 − δ s1 )C4fsV N′e (− h) + (1 − δ sN )C'4fsV N′e(1) (−h)  ,
o nη s
o nη s



o nη f

e nη f

e nη f

o nη f

o nη f

e nη f

e nη f

}

(2.5)

trong đó s và f là thứ tự của các lớp chứa phân tử cho và phân tử nhận. Chỉ số trên N
trong δ sN là số lớp của khối trụ. Các hệ số C1fsH , C1Vfs ... được xác định từ các điều kiện biên
(2.1) và (2.2) và được cho trong [12] dưới dạng nghiệm của các phương trình hồi quy.

Trong biểu thức của hàm Green ở công thức (2.5) M e

o nη f

sóng trụ, chúng có dạng như sau

14

và N e

o nη f

là các hàm cơ sở của


M (1)
e

o nη f

ihz 
ˆ
(h)= ∇ ×  H n(1) (η f r )scos
in ( nφ )e z


( 2.6)

 nH n(1) (η f r ) sin


∂H n(1) (η f r ) cos
ˆ  eihz ,
ˆ
φ
r
= 
(
n
)
−
(
n
)
φ
φ
sin
cos
r
∂r



( h)
=
N (1)
e
o nη f

1
h 2 + n 2f

cos
(nφ )eihz zˆ 
∇ ×  H n(1) (η f r )sin

 ∂H n(1) (η f r ) cos

  ihn H (1) (η r )sin (nφ )φ + η 2 H (1) (η r )cos (nφ )z  eihz .
(
)
n
φ
r

sin
n
f cos
f n
f sin
r
∂r

h 2 + n 2f 

(2.7)

1

Trong các công thức (2.6) và (2.7) H n(1) (η f r ) là hàm Hankel loại 1. Trị riêng η f và hằng
số truyền k f ở lớp f có dạng

2
h=
k 2f − η 2f ,

k 2f = ω 2 µ f ε f ,

(2.8)

trong đó µ f và ε f là độ từ thẩm và hằng số điện môi ở lớp thứ f .

2.2. Các hệ số phản xạ
Để tính toán số, ta cần biết dạng tường minh của các hệ số phản xạ C trong (2.5). Chúng
là nghiệm của các phương trình hồi quy, với các phân cực TE và TM được kí hiệu bởi H và

V,
H ,V
H ,V
 F ( H ,V ) C ( H ,V ) + δ s A  ,
F((f +1) )f C(( f +1))s + δ sf +=
1 A1
f 2
ff


 fs


(2.9)

ở đây các ma trận cho hệ số C là






 1 d N
f


 1 d N
f

H
,
V
C fs   
 1 d1
f


 1 d1

f

1 d1s C1fsH ,V 
1 d1s C2fsH ,V 
1 d1s C3fsH ,V 
1 d1s C4fsH ,V 

các ma trận hằng
15

1 d Nf 1 dsN C'1fsH ,V  

N
N
fs
1 d f 1 ds C'2H ,V  
;
1
N
fs
1 d f 1 ds C'3H ,V  


1
N
fs
1 d f 1 ds C'4H ,V  

(2.10)


1
0
A1 = 
0

0

0
0 
,
0

0

0
0
A2 = 
0

0

0
0 
;
1

0

(2.11)

và các ma trận F cho bởi

)

(

H
F jm

 ∂  H n(1) η j am 

 

∂am

0

=
 ζ jτ j H n(1) η j am
±
am


(1)
 τ j ρ j H n η j am

(

(

V
F jm



)

(

)

(
(

)
)

∂  J n η j am 
∂am

am

ρ j H n(1) (η j am )

)

τ j ∂  H n(1) (η j am ) 
∂am

0
±

)

 ζ H (1) η a
∂  H n(1) η j am 

j n
j m
±

∂am
am

(1)
0
 ρ j H n η j am
=
τ j ∂  H n(1) η j am 
ζ jτ j H n(1) η j am


am
∂am


τ j ρ j H n(1) η j am
0


(

(

ζ jτ j J n (η j am )
am

τ j ρ j J n (η j am )

0

(

)

(

ζ j H n(1) (η j am )

)

(

ζ j J n (η j am )

(
(

(2.12)

)

∂  J n η j am  


∂am
am


ρ j J n η j am
0

,
τ j ∂  J n η j am 
ζ jτ j J n η j am 


am
∂am


τ j ρ j J n η j am 
0
±

)

ζ j J n (η j am ) 



am

ρ j J n (η j am ) 
,
τ j ∂  J n (η j am )  

∂am



0


)
)

(

(

)

)

(2.13)

và m 1, 2,...N − 1 là chỉ số của các lớp và bán kính của khối trụ tương ứng
với j = 1, 2,...N=
với lớp đó và

εj
τj =
,
µj

ihn
,
ζj =

kj

ρj

(η j )
=
kj

2

.

(2.14)

Trong (2.12) và (2.13) dấu phía trên dành cho hàm chẵn và dấu phía dưới dành cho hàm
lẻ. Các phương trình (2.5) cho hàm Green và (2.9) cho các hệ số phản xạ là các phương
trình tổng quát cho hệ trụ có số lớp bất kỳ. Trong phần phụ lục và trong chương sau chúng
tôi trình bày chi tiết trường hợp hệ trụ hai và ba lớp.

16


CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ TRỤ
HAI LỚP
3.1. Công thức tường minh cho tốc độ truyền năng lượng
Chúng ta xét trường hợp phân tử cho và phân tử nhận được đặt cùng ở lớp thứ nhất

f = s= 1 , là lớp bên ngoài khối trụ. Từ (2.5) hàm Green tán xạ trong trường hợp này có
dạng
11

Ges
(r, r′)

i
=
8π

+∞

∞

(2 − δ n0 )

n =0

η12

∫−∞ dh ∑


(1)
(h)M′(1) (− h) + C1′V11N (1) (h)N′(1) (− h)
× C1′11
HM e
e nη
e nη
e nη
o nη1
o 1
o 1

o 1


(1)
M (1) (h)N′(1) (− h)  .
(h)M′(1) (− h) + C2′11
+ C2′11
HNo
V
e nη
o nη
e nη
e nη1
o 1
e 1
o 1


(3.1)

Đối với hàm Green trong chân không, ta có thể viết trong hệ tọa độ trụ hoặc trong hệ tọa
độ Đề các. Hàm Green trong chân không trong hệ tọa độ trụ có dạng
 δ (r − r ') i
rr
−
+
G0e (r, r' ) =
8π
ks2

+∞

∞

(2 − δ n0 )

−∞

n =0

η s2

∫ dh ∑

M (1)
(h)M' e (− h) + N (1)
(h)N' e (− h)
e
e
n
η
 o s
o nη s
o nη s
o nη s
×
(1)
(1)
M e nη (h)M' e nη (− h) + N e nη (h)N' e nη (− h)
o s

o s
o s
 o s

r > r'
r < r' .

(3.2)

Và trong hệ tọa độ Đề các có dạng
, r' )
G0e (r=

k ikR  
R ⊗ R  1
i  
R⊗R  1 
,
e −  I − 3
 3 3 − 2 2  +  I −

2
4π
R  k R k R  
R 2  kR 
 

(3.3)

với R= r − r' .

Đối với một phân tử bất kỳ, mômen lưỡng cực của phân tử có thể định hướng theo các
phương khác nhau. Trong trường hợp của bài toán đang xét ta giả định phân tử cho và phân
tử nhận cùng có mômen lưỡng cực định hướng theo phương Oz .
Khi cho các phân tử định hướng theo trục z thì chỉ các số hạng của M e

o nη f

chứa zˆ mới đóng góp vào tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng. Do M e

o nη f

thành phần zˆ (xem (2.6)), chỉ có số hạng thứ hai trong (3.1) có đóng góp
17

và N e

o nη f

không chứa


i
11
Ges
′) 
r
r
=
(
,


 zz 8π

+∞

∫−∞

∞

dh ∑

n =0

(2 − δ n0 ) 11 (1)
C1′V N
N′(1) (− h) .
2

η1

e nη
o 1

e nη
o 1

(3.4)

3.1.1. Hai phân tử cùng đặt trên đường thẳng song song với trục Oz bên ngoài
khối trụ.

Để cho đơn giản ta chọn RA = RB , z A = 0 , φ=
0 . Vậy tọa độ của hai phân tử lúc
φ=
A
B
này lần lượt là rA = ( RA , 0, 0) và rB = ( RA , 0, z B ) như trong hình 3.1 Thành phần zz của hàm
Green tán xạ lúc này có dạng

i
11
Ges

 (rA , rB )  zz = 8π

∞

(2 − δ n0 )
1
∫−∞ dh ∑ η 2 C1′V k 2
n =0
1
1
+∞

× ∑ η12 H n(1)

e ,o 
i
=
8π

=

i
4π

+∞

( ε µ −h R )
2

1 1

∞

∫−∞ dh ∑

n =0

+∞

∫0

cos
  2 (1)
A sin ( nφ )  η1 H n

(2 − δ n0 )C1′V

∞

d h ∑ (2 − δ n0 )C1′V
n =0



( ε µ −h R )
2

1 1

cos
 −ihz B
B sin ( nφ )  e



2
η12  (1)
 e−ihz B
H
R
η
A
n
1

k12 

(

)

2
η12  (1)

H
R
η
1 A  cos(hz B ) .
n
k12 

(

)

(3.5)
z
R
dB

zB
dA
RA

r

Hình 3.1. Các phân tử đặt cạnh khối trụ trên đường thẳng song song với trục Oz.

18

Bây giờ ta cần xác định hệ số C1V′ trong công thức ( 3.5). Sử dụng công thức (10) trong
phụ lục ta thu được hệ số C1V′ có dạng là

C1′V = −

A
,
D

(3.6)

trong đó A và D lần lượt có dạng như sau

ε ε 2  ihn η12 ihn η22 
A H n(1) (η1R ) J n (η1R ) J n2 (η2 R ) 1
−


µ1 µ2  k2 k1 k1 k2 

2

 ∂J (η R )
ε η 2 ∂J (η R)
ε η2 
+ R 2  n 2 J n (η1R ) 2 1 − n 1 J n (η2 R ) 1 2 
µ2 k1
µ1 k2 

∂R
 ∂R

(3.7)

 ∂J (η R )
ε η 2 ∂H n(1) (η1R)
ε η2 
J n (η2 R ) 2 2  ,
×  n 2 H n(1) (η1R ) 1 1 −
µ1 k1
µ 2 k2 
∂R
 ∂R

2
 H n(1) (η1R ) 



D

J n2 (η2 R )

ε1 ε 2  ihn η12 ihn η22 
−


µ1 µ2  k2 k1 k1 k2 

2

 ∂J (η R ) 2
2 2
2

ε
ε
η


1
2
1
+ R 2   n 2   H n(1) (η1R ) 
 
∂
µ
µ
R
k

1
2  1 
 
 ε  2  ε  2  η 2 η 2
∂H n(1) (η1R ) ∂J n (η2 R ) (1)
−
H n (η1R ) J n (η2 R )  1  +  2   1 2
∂R

∂R
µ2   k1 k2
 µ
 1  

2
2
2 ε
 ∂H n(1) (η1R ) 
 η12  
ε
(1)
1
2
+
  .
  J n (η2 R ) 
∂
µ
µ
R
1
2  k1  




(3.8)

Ta sẽ tính toán cho trường hợp khối trụ nằm trong chân không với ε=

µ=
1 và ở lớp
1
1
thứ hai là khối trụ có hằng số điện môi ε 2 và có µ2 = 1 .
Trong quá trình tính toán số, ta sẽ chuyển các đại lượng về dạng không thứ nguyên như
sau

ω
⇒ h= Ah
c

h
c
=
h = h
kA
ωA

R = R / λA . Vì
ở đây η =

η1
kA

ωA
c

=

2π

λA

⇒=
ηi

⇒ λA = 2π

c

ωA

ω A2
c2

ε i µi =
−h

do đó ηi R
=

.

19

2

ωA

ωA
c

2

 h 
ωA
ε i µi − 
=
ηi và

c
 ωA / c 

2π c
=
ηi
R 2πηi R ,
c
ωA


Như vậy sau khi đưa về dạng không thứ nguyên ta thu được hàm Green tán xạ có dạng
là

kA
11
Ges

(

,
)
r
r
=
A
B

 zz 4π

+∞

∫0

∞

dh ∑ i (2 − δ n0 )C1′Vη12 [ H n(1) (2πη1RA )]2 cos(2π hz B ) . (3.9)
n =0

Để tính tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng theo công thức (1.34) ta cần biết đóng
góp của hàm Green trong chân không. Từ công thức (3.3) ta có

=
[G0e (rA , rB )]zz 2

k A ik AR  1
i 
e
 3 3 − 2 2 ,
4π

k AR 
 k AR

(3.10)

với R = z B .
3.1.2. Các phân tử đặt vòng quanh khối trụ nằm trong mặt phẳng Oxy.
Khi ta đặt hai phân tử A và B đặt trong mặt phẳng Oxy, để bài toán đơn giản ta chọn
z A = z B = 0 , φ A = 0 . Vậy tọa độ của hai phân tử lúc này lần lượt là rA = ( RA , 0, 0) và

rB = ( RB , φB , 0) như trong hình 3.2

B
y

RB

φB

R
O

A

x

RRA

Hình 3.2. Các phân tử nằm trên mặt phẳng Oxy.
Hàm Green tán xạ lúc này có dạng

20


i
11
Ges

 (rA , rB )  zz = 8π

∞

(2 − δ n0 )
1
∫−∞ dh ∑ η 2 C1′V k 2
n =0
1
1
+∞

× ∑ η12 H n(1)

e ,o 
+∞

i
8π

∫−∞

i
=
4π

+∞

=

∫0

( ε µ −h R )
2

1 1

cos
  2 (1)
A sin ( nφ A )  η1 H n

∞

dh ∑ (2 − δ n0 )C1′V
n =0
∞

dh ∑

n =0

(2 − δ n0 )C1′V



( ε µ −h R )
2

1 1

cos

B sin ( nφB ) 



η12  (1)
H η1 RA   H n(1) η1 RB  cos(nφB )
2  n


k1

(

)

(

)

η12  (1)

H η1 RA   H n(1) η1 RB  cos(nφB ) .
2  n


k1

(

)

(

)

(3.11)
Hàm Green chân không suy từ (3.3) có dạng

[G0e (r=
A , rB ) ] zz
với R =

k A ik AR  1
i
1 
+ 2 2 − 3 3,
e

4π
k AR
k AR 

 k AR

(3.12)

RA2 + RB2 − 2 RA RB cosφB .

3.1.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz.
Khi ta đặt hai phân tử A và B trên đường thẳng vuông góc với trục Oz. Khi đó để bài
toán đơn giản ta chọn z A = z B = 0 , φ A = φB = 0 như hình 3.3. Vậy tọa độ của hai phân tử lúc
này lần lượt là rA = ( RA , 0, 0) và rB = ( RB , 0, 0) , RA ≠ RB .

z

R

dB

dA

r

RA
RB

21


Hình 3.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz.
Hàm Green tán xạ lúc này có dạng
+∞

11
Ges
 = i
r
r
(
,
)
A
B

 zz 8π

∫−∞

(

× ∑ η12 H n(1)

e ,o 
i
=
8π
=

i
4π

(2 − δ n0 )

1
C1′V 2
2
η1
k1
n =0
∞

dh ∑

∞

+∞

∫−∞ dh ∑

ε1µ1 − h 2 RA
(2 − δ n0 )C1′V

)

cos
  2 (1)
sin ( nφ A )  η1 H n

η12 

k12
n =0
∞

+∞
η2
dh (2 − δ n0 )C1′V 12
0
k1
n =0

∫

∑



(

ε1µ1 − h 2 RB

(

)

(

)

(

)

(

)

)

cos

sin ( nφB ) 



H n(1) η1 RA   H n(1) η1 RB 



 H n(1) η1 RA   H n(1) η1 RB  .



(3.13)

Hàm Green trong chân không có dạng

[G0e (r=
A , rB ) ] zz

1 
k A ik AR  1
i
e

+ 2 2 − 3 3,

4π
k AR
k AR 
 k AR

(3.14)

R RB − RA .
với =

3.2. Các cực của hàm Green
Trong việc tính toán giải tích những vị trí xảy ra cộng hưởng cộng hưởng được thể hiện
qua giá trị của hàm f (h ) , với hàm f (h ) là phần dưới dấu tích phân của hàm Green (3.9)
∞

f (h) = Re ∑ i (2 − δ n0 ) C'1Vη12 [ H n(1) (η1RA )]2 cos(2π hz B ) ,

(3.15)

n =0

trong đó chúng tôi lựa chọn lấy phần thực đó vẽ hình.
Hàm Green cho khối trụ có các cực nằm trên nửa trên của mặt phẳng phức của h [8].
Các cực này tương ứng với các cộng hưởng whispering gallery modes (WGM)
Re(h ) ≤ ε1 và các guided modes khi

khi

ε1 < Re(h ) ≤ ε 2 . Các cực này gây khó khăn rất

lớn cho tính toán số. Để minh họa cho sự tồn tại của chúng, trên hình 3.4 và hình 3.5 chúng
tôi vẽ f (h) như là hàm của h cho trường hợp các phân tử đặt trên đường thẳng song song
trục Oz.

22


Hình 3.4. Vị trí các cộng hưởng ứng với bán kính khối trụ R = 1.0λ A , khoảng cách của các
phân tử với trục Oz là RA = 1.05λ A , hằng số điện môi ε =2.0.

Hình 3.5. Vị trí các cộng hưởng ứng với bán kính khối trụ R = 4.0λ A , khoảng cách của các
phân tử với trục Oz là RA = 4.2λ A , hằng số điện môi ε =2.0.
Ta thấy các vạch cộng hưởng rất sắc và đều nằm ở vùng h < ε 2 =

2.0 = 1.44 . Trong

hình 3.4 với kích thước khối trụ R =1.0λ A ta chỉ quan sát thấy một vạch cộng hưởng WGM.

23