gamma hàm p adic và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________

Trần Tuấn Anh

GAMMA HÀM p-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự
hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn. Với lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới:
Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư phạm TP. Hồ
Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực
hiện bảo vệ luận văn.
PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo,
và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Luận văn được
hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị
những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động

viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn.


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..........................................................................2
1.1.Chuẩn và chuẩn phi Acsimet. ................................................................................2
1.2. Xây dựng trường số p – adic  P ..........................................................................6
1.3. Xây dựng trường  P .............................................................................................9
Chương 2. KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC. GAMMA HÀM p-ADIC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG ................................................................................................12
2.1. Khái niệm dãy nội suy p-adic. ............................................................................12
2.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic. ......................12
2.1.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic. ............................................................17
2.2. Xây dựng gamma hàm p-adic (với p ≠ 2 ). .........................................................19
2.3. Xây dựng gamma hàm p-adic (với p = 2 ). .........................................................24
2.4. Một số ứng dụng liên quan..................................................................................30
2.4.1. Hằng số Euler p-adic. ...................................................................................30
2.4.2. Các giá trị của hàm Γ p tại

1
, −1, −2,... .........................................................32
2

2.4.3. Công thức nhân Gauss – Legendre p-adic. ...................................................35
KẾT LUẬN ..................................................................................................................38

TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................39


1

LỜI MỞ ĐẦU
Các gamma hàm đóng một vai trò quan trọng trong giải tích phức, trong lý
thuyết số hiện đại, đặc biệt là trong công việc nghiên cứu các L- hàm số học. Một cách
tự nhiên ta nghĩ đến việc xây dựng các tương tự p-adic của các gamma hàm trong
trường hợp phi Acsimet. Các tương tự phi Acsimet của gamma hàm được xây dựng
bởi Dwork, Diamond, Boyarsky trong thập niên 80 của thế kỷ trước và đã có nhiều
ứng dụng.
Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “Gamma hàm p-adic và các ứng dụng”
làm đề tài luận văn thạc sĩ để tìm tòi, nghiên cứu, tập hợp các kết quả của gamma hàm
p-adic và các ứng dụng của chúng.
Nội dung chính của luận văn là đưa ra một cách xây dựng gamma hàm p-adic
và một số ứng dụng liên quan thể hiện trong 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích padic.
Chương 2. Khái niệm dãy nội suy p-adic – Gamma hàm p-adic và một số ứng
dụng: Trình bày khái niệm dãy nội suy p-adic, từ đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách
xây dựng gamma hàm p-adic trong hai trường hợp p ≠ 2 và p = 2 và một số ứng dụng
liên quan.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Mỵ Vinh
Quang. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình về sự hướng
dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Lời cảm ơn tiếp theo tôi
xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi yên tâm hoàn
thành luận văn. Và cuối cùng xin cảm ơn các thầy trong bộ môn Đại số, khoa ToánTin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và phòng sau đại học đã tạo điều
kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này.
Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và những ai

quan tâm đến vấn đề này.
TP. HCM, ngày 28 tháng 8 năm 2014


2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuẩn và chuẩn phi Acsimet
1.1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho F là một trường. Ánh xạ  : F →  được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa
các điều kiện sau:
i ) x ≥ 0, ∀x ∈ F . x = 0 ⇔ x = 0
ii ) xy= x y , ∀x, y ∈ F
iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F

Ví dụ. 1) F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F
2) F =  , môđun của một số phức là chuẩn trên F
3) F là một trường. Xét ánh xạ:
 :F →
1 , x ≠ 0
x x =
0 , x = 0

Dễ thấy  là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.
1.1.1.2. Các tính chất
Cho  là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1. ∀x ∈ F ta có:
i ) 1 =−1 =1 ∈ 
ii ) x = − x , ∀x ∈ F
n

iii ) x n= x , ∀n ∈ 
iv) =
x −1

1
,x ≠ 0
x

1.1.1.3. Nhận xét
Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm
thường.
1.1.2. Chuẩn tương đương


3

Cho  là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm d : F × F →  như sau:
d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F .

Do  là một chuẩn trên F nên ta dẽ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và
do đó ( F , d ) là một không gian mêtríc.
Tôpô cảm sinh bởi d: B ( a, r ) = { x ∈ F | x − a < r}
1.1.2.1. Định nghĩa
Cho  1 ,  2 là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương
nếu tôpô cảm sinh bởi  1 ,  2 là như nhau
Chú ý rằng: {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn  , nghĩa là:
m, n →+∞

xm − xn → 0 . Hay ∀ε > 0, ∃no ∈  : ∀n, m > no , xm − xn < ε

1.1.2.2. Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương)
Cho F là một trường;  1 ,  2 là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau là tương
đương:
1) ∀x ∈ F , x 1 < 1 ⇔ x 2 < 1
2) ∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 ⇔ x 2 ≤ 1
c

3) ∃c ∈ *+ : ∀x ∈ F , x 2 =x 1

4) {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn  1 ⇔ {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn  2
5)  1 tương đương với  2 (  1   2 )
1.1.2.3. Hệ quả
Cho  1 ,  2 là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương A, B sao cho
 1 ≤ A  2 và  2 ≤ B  1

Thì khi đó  1 =  2 .
1.1.3. Chuẩn phi Acsimet
1.1.3.1. Định nghĩa


4

Cho  là một chuẩn trên trường F. Chuẩn  được gọi là chuẩn phi Acsimet trên
F nếu nó thỏa điều kiện:
iii′) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ F

Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Acsimet.
Ví dụ. Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet.
1.1.3.2. Định nghĩa

i) Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi m ∈ Z , ta định nghĩa ord p ( m ) là
m
số tự nhiên k lớn nhất để m p k (nếu m  p thì ord p ( m ) = 0 ). Nếu r ∈ * , r =
thì ta
n

định nghĩa ord
=
p ( r ) ord p ( m ) − ord p ( n ) .
ii) Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi x ∈  \ {0} , ta luôn có
1 
m  m, n ∈  ; ( m, n ) =
x = pα


n =
=
m
p
n
p
,
1
;
,
1
(
)
(
)




α gọi là p – số mũ của x, ký hiệu ord p ( x ) = α . Quy ước: ord p ( 0 ) = ∞, ∞ ± a = ∞ .
1.1.3.3. Mệnh đề
Cho p là một số nguyên tố, ∀x, y ∈  ta có
=
i ) ord
p ( xy ) ord p ( x ) + ord p ( y )
ii ) ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )}

1.1.3.4. Mệnh đề
Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1
Ánh xạ

ρ

và p là một số nguyên tố.

: → 

 x = r ord p ( x ) ;

x r
 0 r = 0

là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước ρ ∞ = 0 .
Chú ý. 1) 0 < ρ1, ρ 2 < 1 ⇒

ρ1



ρ2

2) Với mỗi số nguyên tố p, ta có chuẩn


5

Q→R
− ord ( x )

p
 p
, x≠0
x xp =
0 , x = 0

Chuẩn

ρ

được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p. Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi

Acsimet.
3) Cho n0 là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x ∈  , ta luôn có
x = ao + a1no +  + as nos (*)

trong đó, 0 ≤ ai < no ( hay 0 ≤ ai ≤ no − 1) , as ≠ 0 . Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn

n0 - phân của x. Ta dễ dàng chứng minh được nos ≤ x < nos +1 và do đó,
s ≤ log no x < s + 1 nên s = log no x  .

1.1.3.5. Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet)
Cho F là một trường,
i)

là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương

là chuẩn phi Acsimet

ii) 2 ≤ 1
iii) n ≤ 1,
iv) N bị chặn. Nghĩa là, ∃c > 0 : n ≤ c, ∀n ∈ N
1.1.3.6. Hệ quả
Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet.
1.1.3.7. Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet
Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet

. Ta có các khẳng định sau:

i) ∀x, y ∈ F , x ≠ y ⇒ x + y =
max{ x , y } . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân
trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn
ii) Các tập

.


6

B ( a, r ) = { x ∈ F : x − a < r }
B ( a, r ) = { x ∈ F : x − a ≤ r }
S ( a, r ) = { x ∈ F : x − a = r }

là các tập vừa đóng vừa mở.
iii) Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó. Nghĩa là,
∀b ∈ B ( a, r ) ⇒ B ( a, r ) =B ( b, r )

iv) Dãy {xn } ⊂ F là dãy Cauchy ⇔ lim xn +1 − xn =
0
n →∞

v) Nếu {xn } là dãy Cauchy. Khi đó:
•

xn → 0 thì xn → 0

•

xn → 0 thì { xn } là dãy dừng. Nghĩa là,
∃N : ∀n ≥ N , x=
xn+=
xn+=

n
1
2

vi) Ký hiệu A =∈

{x F : x ≤ 1} , M =∈
{x F : x < 1} . Khi đó:
• A là vành con chứa đơn vị của F
• M là iđêan tối đại của A. Do đó, A M là một trường, gọi là trường
thặng dư của F đối với chuẩn

.

1.1.3.8. Định lý Ostrosky. Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với
giá trị tuyệt đối thông thường hoặc

p

(p là một số nguyên tố).

1.2. Xây dựng trường số p – adic  p
Ký hiệu S = { {xn } ⊂  | {xn } là dãy Cauchy theo . p }. Trên S xét quan hệ tương
đương ~ cho như sau:
{xn } ~ { yn } ⇔ lim ( xn − yn ) =
0 ⇔ lim xn − yn
n→∞

n→∞

p

=
0.

Ký hiệu  p là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên,

S=
|=
p
~

{{x } | {x } ∈ S} . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho 
n

n

sau :
* Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈  p , x + y= {xn + yn }

p

như


7

* Phép nhân: ∀=
x {xn }, =
y { yn } ∈  p , x.=
y {xn . yn }
Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên  p là một trường
với:
* Phần tử không:=
xn 0}
0 {=
* Phần tử đơn vị:=

xn 1}
1 {=
* Phần tử đối: x = {xn } ⇒ − x = {− xn }
* Phần tử nghịch đảo: Ta có nhận xét rằng bất kì một lớp khác không
0≠ x=
{xn } của  p đều có một đại diện là một dãy Cauchy mà mọi phần tử đều khác

thì x {xn } , xn ≠ 0 ∀n . Khi đó
không. Vậy nếu x ∈  p , x ≠ 0 =

1 1
=   là phần tử
x  xn 

nghịch đảo của x trong  p

(

)

Khi đó  p , +,. là một trường, trường này gọi là trường số p–adic  p . Trường

 có thể xem như là trường con của  p nhờ đồng cấu nhúng :
i: → p
x → {x}

Chuẩn trên  p
Với mỗi=
x {xn } ∈  p , ta định nghĩa x p = lim xn p .
n→∞

Chú ý. Nếu xn → 0 thì xn

p

→ 0 ; do đó x p = 0 .

Ta dễ dàng chứng minh được . p định nghĩa như trên là một chuẩn trên  p .

(

)

(

)

(

)

Hơn nữa, mọi dãy Côsi trong  p , . p đều hội tụ trong  p , . p ,tức  p , . p là một
mở rộng của ( , . ) .
Nhận xét. Với mọi=
x {xn } ∈  p , ta luôn có lim xn = x .
x →∞

1.2.1. Quan hệ đồng dư trong  p

8

Với a, b ∈  p ta định nghĩa a ≡ b ( mod p n ) ⇔ ( a − b ) p n
Nhận xét. Với a, b ∈  p , a ≡ b ( mod p n ) ⇔ a − b p ≤ p − n . Nếu a, b ∈  thì định
nghĩa đồng dư trong  p sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số
nguyên 
1.2.2. Bổ đề. Cho x ∈  p , x p ≤ 1 . Khi đó:
∀n ∈ }, ∃r ∈  : x − r

p

( {

})

≤ p − n r ∈ 0,1,..., p n − 1

1.2.3. Định lý (mô tả  p )
Cho x ∈  p , x p ≤ 1 . Khi đó, x có một đại diện là {an }n=

1,+∞

thỏa hai điều kiện

i) 0 ≤ an < p n ( n =
1, 2,...)

(

)

ii) an ≡ an+1 mod p n , n =
1, 2,...
1.2.4. Vành số nguyên p–adic  p

{

}

x ∈  p : x p ≤ 1 cùng với phép
Cho p là số nguyên tố cố định. Tập hợp  p =

cộng và nhân trong  p lập thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên
p–adic.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành  p là:

{

}

1


1
*p =
 x ∈  p : ∈  p  =x ∈  p : x p =
x



Các phần tử của *p còn được gọi là các đơn vị p–adic
Tính chất
i)

 p là vành chính và tập các iđêan của  p lập thành một dây chuyền. Cụ

thể:
 p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ 0 .

ii)  p là compact ; từ đó  p là compact địa phương.
iii)  p đầy đủ.


9

1.2.5. Khai triển p – adic của x trong  p
* Với mọi x ∈  p thì
+∞

x = ∑ bi p i = b0 + b1 p +  + bi p i + 
i =0

gọi là khai triển p-adic của x trong  p ; trong đó 0 ≤ bi ≤ p − 1
* Nếu x ∈  p bất kì,
=
x p p m ( m ∈  ) thì
=
x

+∞

i
b− m p − m + b− m+1 p − m+1 +  + b− m+ n p − m+ n + 
∑ b=
ip

i =− m

gọi là khai triển p-adic của x trong  p ; trong đó 0 ≤ bi ≤ p − 1 ; b− m ≠ 0
1.2.6. Bổ đề Helsel
Cho đa thức f ( x) =c0 + c1x +  cn x n ∈  p [ x], cn ≠ 0 . Nếu tồn tại phần tử
a0 ∈  p thỏa điều kiện

 f (a0 ) ≡ 0 ( mod p )

 f ′(a0 ) ≡/ 0 ( mod p )

Thì tồn tại duy nhất x0 ∈  p để
 f ( x0 ) = 0
.

 x0 ≡ a0 ( mod p )

1.3. Xây dựng trường  p
1.3.1. Chuẩn trên không gian véctơ
Cho F là một trường với chuẩn

; V là một không gian véctơ trên trường F. Ánh

xạ

:V → 

được gọi là một chuẩn trên không gian véctơ V nếu thỏa các điều kiện:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ V ; x = 0 ⇔ x = 0
ii) ∀a ∈ F , ∀x ∈ V , ax =a x


10

iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ V
1.3.1.1. Định lý. Cho ( F ,

)

là compact địa phương, K là không gian hữu hạn chiều

trên trường F. Khi đó, mọi chuẩn không gian véctơ trên K đều tương đương.
1.3.1.2. Hệ quả. Cho ( F ,

)

là một trường với chuẩn compact địa phương, K là mở

rộng hữu hạn của F. Khi đó, có nhiều nhất một chuẩn trường trên K là mở rộng của
trên F.
1.3.2. Chuẩn trên  p
a) F được gọi là bao đóng đại số của F nếu :
i) F là mở rộng đại số của F
ii) Đồng thời mọi đa thức của F [ x ] đều phân rã được trong F [ x ]
b) Gọi  p là bao đóng đại số của  p , tức,  p là tập các phần tử đại số trên

 p . Trong  p ta đã có chuẩn

p

Nhận xét. Có tối đa một chuẩn

là chuẩn compac địa phương.
trên  p là mở rộng của chuẩn

là chuẩn trên  p là mở rộng của chuẩn

Nhận xét. Giả sử

p

trên  p .
p

trên  p . Nếu

α, α′ ∈  p và α, α′ liên hợp với nhau trên  p thì α = α′ .

Chuẩn của phần tử trong  p
Với α ∈  p ⇒ α đại số trên  p . Ký hiệu đa thức tối tiểu của α trên  p là

(

)

min a,  p = x n + an−1 x n−1 +  a1 x + ao=

( x − a1 ) ( x − a n )

; ai ∈  p

Trong đó, αi là các liên hợp của α trên  p (nghiệm của đa thức min ( α,  p ) )
: p → 
aa

=n a0

Kí hiệu

=

1.3.3. Trường  p

p

p

n a
do đó ta có a p =
0

p


11

=  
 → 
→ =  đầy đủ, đóng đại số.
p
  
 
→=

→  p đóng đại số, không đầy đủ.
p

 
 . Ta chứng minh được  là
a) Trường  p không đầy đủ. Đặt =
=

p
p
p

đóng đại số.  p gọi là tương tự p–adic của trường số phức 
b) Nhắc lại bao đủ của  p
Ký hiệu S = { {xn } ⊂  p | {xn } là dãy Cauchy theo . p }. Trên S xét quan hệ tương
đương ~ cho như sau:
{xn } ~ { yn } ⇔ lim ( xn − yn ) =
0 ⇔ lim xn − yn
n→∞

n→∞

p

=
0.

Ký hiệu  p là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên,
S=
{=
p
~

{{x } | {x } ∈ S} . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho  p
n

n

như

sau :
* Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈ { p , x + y= {xn + yn }
* Phép nhân: ∀=
x {xn }, =
y { yn } ∈ { p , x.=
y {xn . yn }
Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên  p là một trường
Chuẩn trên  p
Với mỗi =
lim xn p .
α {xn } ∈ { p ; xn ∈  p ta định nghĩa α p =
n→∞

Một số tính chất của trường  p
a)  p đầy đủ (mọi dãy cauchy theo

p

đều hội tụ trong  p ).

b)  p đóng đại số (mọi đa thức f ( x ) ∈  p [ x ] đều phân rã được trong  p [ x ] ).
c)  p không compac địa phương.
d)  p là không gian vectơ vô hạn chiều trên  p .

[ :  ] =

2,  p :  p  = ∞


12

Chương 2. KHÁI NIỆM DÃY NỘI SUY p-ADIC. GAMMA HÀM p-ADIC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
2.1. Khái niệm dãy nội suy p-adic
2.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic
Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:
2.1.1.1. Mệnh đề
Tập hợp các số tự nhiên  trù mật trong  p .
Chứng minh
Với mọi x ∈  p , giả sử x có biểu diễn p-adic dạng
x = a0 + a1 p + ... + an p n + ... với ai ∈ {0,1,..., p − 1}

Khi đó, với mỗi số tự nhiên n, ta xét xn = a0 + a1 p + ... + an p n . Rõ ràng xn ∈  và
x − x=
an +1 p n +1 + ... < p − n nên lim xn = x . Mệnh đề được chứng minh.
n p
p

n →∞



Từ mệnh đề 2.1.1.1 ta có nhận xét:
2.1.1.2. Nhận xét
Nếu a1 , a2 ,... là dãy các phần tử của  p thì tồn tại nhiều nhất một hàm
f :  p →  p liên tục sao cho f ( n ) = an , với mọi n ∈  .

Chứng minh
Nhận xét này được suy ra từ mệnh đề 2.1.1.1 và một kết quả trong tôpô:
Cho X, Y là các không gian metric. f , g : X → Y là hai hàm liên tục. Giả sử
A ⊂ X trù mật trong X. Khi đó nếu f| A = g| A thì f = g . 

Qua nhận xét trên, ta thấy rằng nếu cho trước a1 , a2 ,... là dãy các phần tử của  p
thì có nhiều nhất một hàm f :  p →  p liên tục sao cho f ( n ) = an , với mọi n ∈  .
Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có luôn tồn tại một hàm f có tính chất như vậy
không? Ta có định nghĩa sau:
2.1.1.3. Định nghĩa


13

Dãy a1 , a2 ,... các phần tử của  p gọi là nội suy p-adic nếu tồn tại một hàm

f :  p →  p liên tục sao cho f ( n ) = an , với mọi n ∈  .

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.1.1.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hơn
thông qua định lý sau :
2.1.1.4. Định lý
Dãy a1 , a2 ,... các phần tử của  p là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi ánh xạ
g : →p
n  an

liên tục đều.
Chứng minh
 Điều kiện cần
Giả sử dãy a1 , a2 ,... là dãy nội suy p-adic, tức là tồn tại hàm f :  p →  p liên tục
sao cho f ( n ) = an , với mọi n ∈  .
Do  p là tập compact nên f liên tục đều trên  p .
Suy ra f liên tục đều trên  .
Do đó g = f| : n  an liên tục đều.
 Điều kiện đủ
Giả sử hàm g liên tục đều. Ta tìm cách xây dựng hàm f :  p →  p liên tục mà
f| = g .

Với mỗi X ∈  p =
 , tồn tại { xn } ⊂ } : xn → X .
Vì g liên tục đều trên  nên
∀ε > 0, ∃δ = δ ( ε ) , ∀x, y ∈  : x − y p < δ ⇒ g ( x ) − g ( y ) p < ε (*)

Vì xn → X nên tồn tại N= N ( δ ) : xn − X p < δ, ∀n ≥ N
Do đó với n, m ≥ N :
xm − xn=
p

( xm − X ) + ( X − xn ) p ≤ max ( xm − X

Nên theo (*), ta có g ( xm ) − g ( xn ) p < ε .

p

, xn − X

p

)<δ


14

Như vậy, ta đã chứng minh { g ( xn )} là dãy Cauchy trong  p mà  p đầy đủ nên
tồn tại L = lim g ( xn ) .
n →∞

Giả sử có { xn′ } ⊂ }, xn′ → X , suy ra { xn − xn′ } → 0 . Do g liên tục đều nên

{ g ( x ) − g ( x′ )} → 0 . Do đó L = lim g ( x′ ) .
n

n

n

n →∞

Bây giờ, ta định nghĩa f :  p →  p cho bởi f ( X ) = lim g ( xn ) , ta đã chứng minh
n →∞

f được định nghĩa tốt và ta thấy rằng f| = g . Ta chỉ cần chứng minh f liên tục đều
trên  p .
Lấy X , Y ∈  p thỏa X − Y p < δ ( δ được xác định trong (*))
Do  trù mật trong  p nên tồn tại { xn } , { yn } ⊂ } sao cho xn → X , yn → Y .
Suy ra tồn tại N=
N1 ( δ ) : xn − X p < δ, yn − Y p < δ với mọi n ≥ N1 .
1
Khi đó
xn − yn=
p

( xn − X ) + ( X − Y ) + (Y − yn ) p ≤ max ( xn − X

p

, X − Y p , yn − Y

p

)<δ

Nên theo (*), ta có g ( xn ) − g ( yn ) p < ε với mọi n ≥ N1 .
Theo cách xây dựng =
f ta có f ( X ) lim
=
g ( xn ) , f (Y ) lim g ( yn ) .

n →∞

n →∞

Do đó, tồn tại N 2 sao cho với mọi n ≥ N 2 thì:
f ( X ) − g ( xn ) p < ε, f (Y ) − g ( yn ) p < ε

Khi đó với n ≥ max ( N1 , N 2 ) ta có:
f ( X ) − f (Y ) p =

( f ( X ) − g ( x ) ) + ( g ( x ) − g ( y ) ) + ( g ( y ) − f (Y ) )
n

n

n

n

(

p

)

≤ max f ( X ) − g ( xn ) p , g ( xn ) − g ( yn ) p , g ( yn ) − f (Y ) p < ε

Do đó f liên tục đều trên  p . 
Nhờ định lý 2.1.1.4 ta xây dựng được một định nghĩa khác tương đương về dãy
nội suy p-adic như sau:

Dãy a1 , a2 ,... các phần tử của  p là dãy nội suy p-adic nếu


15

∀ε > 0, ∃N ∈  sao cho ∀m, n ∈  : n − m p < p − N thì an − am

p

< ε (1)

Thật ra, có thể làm mạnh hơn định nghĩa trên như sau:
∀ε > 0, ∃N ∈  sao cho ∀n ∈  thì an + p N − an

< ε (2)
p

Thật vậy, giả sử có (2). Khi đó, với mọi m, n ∈ , n > m, n − m p < p − N , tức là
n= m + b p N với b ∈  , ta có:
an − am p= am + bp N − am =
p

∑(a
b

m + jp N

j =1

− am +( j −1) p N

)
p


≤ max  am + jp N − am +( j −1) p N
j 


<ε
p

Nên ta có (1). Vậy (2) ⇒ (1) . Còn (1) ⇒ (2) là hiển nhiên.
Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương dựa trên định lý sau:
2.1.1.5. Định lý
Dãy a1 , a2 ,... các phần tử của  p là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi
lim sup an + p j − an
j →∞

n

=
0.
p

Chứng minh
 Điều kiện cần:
Lấy ε > 0 .
Do dãy a1 , a2 ,... các phần tử của  p là dãy nội suy p-adic nên theo định nghĩa (2)
ở trên, tồn tại j0 ∈  sao cho với mọi n ∈  thì an + p − an < ε .

j0

p

Khi đó, với mọi j ≥ j0 ,
an + p j − a=
n
p

(a

n+ p j

) (

{

≤ max ai + p j0 − ai
i

)

p

} < ε,

∀n

Suy ra: sup an + p − an < ε . Vậy lim sup an + p − an =
0.

j

n

 Điều kiện đủ:
Lấy ε > 0 .

(

− an + p j − p j0 + an + p j − p j0 − an + p j − 2 p j0 + ... + an + p j0 − an

p

j →∞

j

n

p

)

p


16

Do lim sup an + p − an =
0 nên tồn tại j0 ∈  sao cho với mọi j ≥ j0 thì

j

j →∞

p

n

sup an + p j − an

<ε.
p

n

Do đó: an + p − an < ε với mọi n ∈  .
j

p

Vậy theo định nghĩa (2), a1 , a2 ,... là dãy nội suy p-adic. 
Ta tổng kết lại một số định nghĩa tương đương của dãy nội suy p-adic như sau:
(i) Tồn tại một hàm f :  p →  p liên tục sao cho f ( n ) = an , với mọi n ∈  .
(ii) Ánh xạ g :  →  liên tục đều.
p

n  an

(iii) ∀ε > 0, ∃N ∈  sao cho ∀m, n ∈  : n − m p < p − N thì an − am p < ε
(iv) ∀ε > 0, ∃N ∈  sao cho ∀n ∈  thì an + p − an < ε

N

p

(v) lim sup an + p − an =
0
j →∞

j

n

p

Ta kết thúc mục này bằng một tính chất của dãy nội suy p-adic:
2.1.1.6. Định lý
Nếu a1 , a2 ,... là dãy nội suy p-adic và lim an tồn tại thì dãy a1 , a2 ,... là dãy hằng.
n →∞

Chứng minh
Giả sử lim an = a . Ta cần chứng minh an= a, ∀n .
n →∞

Dùng phương pháp chứng minh phản chứng ta giả sử có số tự nhiên n0 sao cho
an0 ≠ a .

Đặt Aj sup an + p j − an .
=
n

p

Do a1 , a2 ,... là dãy nội suy p-adic, nên theo định lý 2.1.1.5 thì lim Aj = 0 .
j →∞


17

a − an0

Do đó với j đủ lớn ta có Aj <
Riêng với n0 thì an + p − an
j

p

n →∞

0

p

.

2

Cho j → ∞ , do lim an = a ta có: a − an
Suy ra: a − an

2

p

a − an0

p

a − an0

j

2

<

0

0

. Suy ra an + p − an <

p

0

p

≤

a − an0

p

2

=
0 hay a = an0 (trái với giả thiết phản chứng).

Vậy ta có điều phải chứng minh. 
2.1.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic
Ví dụ 1. Dãy an = n k với k ∈  là dãy nội suy p-adic.
Chứng minh
Ta có: ( n + p j ) − =
nk
pj
k

p

(n + p )
j

p

≤ pj

p

k −1

(

+ n+ pj

)

k −2

n + ... + n k −1
p

=p − j → 0

Nên theo định lý 2.1.1.5, dãy an = n k là dãy nội suy p-adic. 
 n 

Ví dụ 2. Dãy an =  k  với k ∈  là dãy nội suy p-adic.
p 
Chứng minh
n + pj 

 n 

j −k
Với j đủ lớn thì p j  p k nên  =
  k + p .
k
p
p


  

n + pj   n 
Do đó  k  −  k  =p j − k
 p  p p

p

=
p k − j → 0 khi j → ∞ .
 n 

Nên theo định lý 2.1.1.5, dãy an =  k  là dãy nội suy p-adic. 
p 
Ví dụ 3. Dãy an =

n
( −1) là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi

Chứng minh
Dãy an là dãy nội suy p-adic

p =2.

p

, ∀n .


18

⇔ ( −1)

n+ p j

− ( −1)

n

→ 0 khi j → ∞
p

⇔ ( −1) − 1 → 0 ⇔ p =
2. 
pj

p

Ví dụ 4. Cho một hàm liên tục f :  p →  p .
Ta định nghĩa
=
F (n) :

n −1

∑ f ( j ) ( n ∈  ) . Khi đó F ( n )

là dãy nội suy p-adic.

j =0

Chứng minh
Với n ∈ {0;1; 2;...} và j ∈  ta có:

(

(

)

)

F n + p j − F ( n ) = f ( n ) + f ( n + 1) + ... + f n + p j − 1

Các số n, n + 1,..., n + p j − 1 tạo thành một tập đầy đủ các lớp đại diện trong 

p j

Cho 1 ≤ s ≤ j và chia {n, n + 1,..., n + p j − 1} cho p s .
Mỗi lớp đại diện trong 
trong 

ps

ps

có p j − s phần tử. Lấy V là một lớp đại diện bất kì

và v ∈ V .

Khi đó:

x ) ∑ ( f ( x ) − f ( v )) + p
∑ f (=

x∈ V

j −s

f (v)

x∈ V

Với mọi x ∈ V thì x ≡ v ( mod p s ) , nên x − v p ≤ p − s .

{

}

Do đó: f ( x ) − f ( v ) p ≤ sup f ( u ) − f ( t ) p : u − t p ≤ p − s =
: ρs
Dẫn tới:

(

∑ f ( x)

x∈ V

≤ max ρs , p s − j f

∞

)

p

Lấy tổng trên tất cả các lớp V như vậy ta được:

(

)

(

F n + p j − F ( n ) ≤ max ρs , p s − j f
p

 j

∞

)

Bằng cách cho j → ∞ và chọn s =   thì do tính liên tục đều của f nên
2
lim ρs =0 .

s→∞

.


19

Và do đó F ( n + p j ) − F ( n ) → 0 khi j → ∞ .
p

Nên theo định lý 2.1.1.5, dãy F ( n ) là dãy nội suy p-adic. 
Qua ví dụ 4, ta nhận được kết quả:
∀x ∈  p =
F (n)
, F ( x ) : lim=
n→ x

x −1

∑ f ( j)
j =0

2.2. Xây dựng gamma hàm p-adic (với p ≠ 2 )
Gamma hàm Γ trong giải tích phức là một hàm chỉnh hình trên  với các cực
điểm đơn tại 0, −1, −2,... thỏa mãn:

( z ∈ { \ {0, −1, −2,...})

Γ (1) =
1 , Γ ( z + 1) = z Γ ( z )

Do đó Γ ( n + 1) =

n ! với mọi n ∈  .
Một cách tự nhiên trong trường hợp giải tích p-adic, câu hỏi đặt ra là liệu có tồn
tại hàm liên tục Γ p :  p →  p thỏa Γ p ( n ) =
n ! hay không? Nói cách khác, dãy an = n !
có phải là dãy nội suy p-adic hay không?
Để trả lời cho câu hỏi đó, ta có mệnh đề sau:
2.2.1. Mệnh đề
Dãy an = n ! không là dãy nội suy p-adic.
Chứng minh
1
2

Chọn ε = , với mọi N ∈  ta lấy n =
1 + p N +1 , m =
1.
Ta có: n − m p = p N +1 p = p − N −1 < p − N và an − am p =

(1 + p )!
N +1

(1 + p )!− 1
N +1

p

= 1 > ε (do

chia hết cho p nên (1 + p N +1 )!− 1 không chia hết cho p).

Do đó dãy an = n ! không là dãy nội suy p-adic. 

Định lý sau đây là cơ sở để xây dựng gamma hàm p-adic.
2.2.2. Định lý
Với số nguyên tố p > 2 , dãy an =
( −1) ∏′ j là dãy nội suy p-adic.
n

1≤ j < n


20

(dấu phẩy trong ∏′ j có thể hiểu là ta chỉ lấy tích những số j ∈ [1, n ) không chia
1≤ j < n

hết cho p).
Chứng minh
Đầu tiên, ta chứng minh bổ đề (định lý Wilson tổng quát):
Cho số nguyên tố p > 2, n ∈ , s ∈  thì :
p s −1

∏ ' ( n + j ) ≡ −1 ( mod p )
s

(4)

j =0

Chứng minh bổ đề.
Trước hết ta thấy các số n, n + 1,..., n + p s − 1 tạo thành một tập đầy đủ các phần tử
đại diện trong 

ps

.

Gọi G là nhóm nhân các phần tử khả nghịch của 

.

ps

Theo định nghĩa ta có:
g ∈ G ⇔ ∃h ∈ G : g .h = 1 ⇔ ∃h ∈  : gh − 1  p s ⇔ g  p

Khi đó, với mỗi n ∈  các thừa số xuất hiện trong tích

p s −1

∏ ' ( n + j ) tạo thành một
j =0

tập đầy đủ các phần tử đại diện của G.
Như vậy, nếu ta gọi ϕ :  → 

ps

là phép chiếu thì:

 p −1


j ∏ '(n + j )  =
g
 j =0
 ∏
g
∈
G


s

−1

2

Bây giờ, nếu g ≠ g , tức g ≠ 1 , thì các thừa số g và g

−1

trong tích

∏g
g∈G

tiêu với nhau. Cho nên ta có :

∏g =∏g.
g∈G

2

Nếu g = 1 trong 

ps

thì g = 1 hoặc g = −1 .

Thật vậy, do g = 1 nên ( g − 1)( g + 1) p s
2

2

g =1

triệt


21

Dẫn tới ( g − 1)( g + 1) p
Suy ra:

)
)

(
(

 g − 1 p ⇒ g + 1  p ⇒ g + 1, p s =1 ⇒ g − 1 p s ⇒ g =1

 g + 1 p ⇒ g − 1  p ⇒ g − 1, p s =⇒

−1
1 g + 1 p s ⇒ g =


Do đó, ta có:

∏ g =1.(−1) =−1
g∈G

Từ đó suy ra:

p s −1

∏ ' ( n + j ) ≡ −1 ( mod p )



s

j =0

Bây giờ, ta quay trở lại chứng minh định lý:
Ta có:
an + p s − an =
( −1)

 p −1

− ( −1) ∏′ j  ∏′ ( n + j ) + 1
j − ( −1) ∏′ j =

1≤ j < n
1≤ j < n
 j =0

s

n+ ps

∏′

n

1≤ j < n + p s

n

Áp dụng bổ đề trên ta được an + p − an ≡ 0 ( mod p s ) .
s

Suy ra: an + p − an ≤ p − s .
s

p

Do đó: với mọi n, an + p − an → 0 khi s → ∞ .
s

p

Vậy lim sup an + p − an =

0 . Điều này chứng tỏ an là dãy nội suy p-adic. 
s →∞

s

n

p

Dựa vào định lý 2.2.2 và nhận xét 2.1.1.2 ta có hệ quả sau:
2.2.3. Hệ quả
Tồn tại duy nhất một hàm f :  p →  p liên tục thỏa f ( n ) =
( −1) ∏′ j .
n

1≤ j < n

2.2.4. Định nghĩa
Hàm f :  p →  p liên tục thỏa f ( n ) =
( −1) ∏′ j với n ∈  gọi là gamma hàm
n

1≤ j < n

p-adic, kí hiệu là Γ p . Tức là Γ p ( n ) :=
( −1) ∏′ j .
n

1≤ j < n

Định lý sau đây cho ta một số tính chất của gamma hàm p-adic:
2.2.5. Định lý


22

Với số nguyên tố p > 2 , hàm Γ p có các tính chất sau:
(i) ∀x ∈  p : Γ p ( x + =
1) hp ( x ) Γ p ( x )
−
1
 x, khi x p =
−1, khi x p < 1

trong đó hp ( x ) := 

(ii) ∀x, y ∈  p : Γ p ( x ) − Γ p ( y ) p ≤ x − y p
(iii) Γ p ( 0 ) =
1, Γ p (1) =−1, Γ p ( 2 ) =
1
∀x ∈  p : Γ p ( x ) =
1
p

Chứng minh
i) Với n ∈  :
n −1
n

′ j =( −n ) Γ p ( n ) khi ( n, p ) =1

−
−
∏
1
n
(
)
(
)
n

j =1
n +1
Γ p ( n + 1) =( −1) ∏′ j =
n −1
j =1
( −1)n ( −1) ∏′ j =( −1) Γ p ( n ) khi n  p

j =1

Vậy Γ p ( n + =
1) hp ( n ) Γ p ( n ) .
Với mọi x ∈  p , do  trù mật trong  p nên tồn tại dãy { xn } ⊂ }, xn → x .
Khi đó Γ p ( x + 1)= lim Γ p ( xn + 1)= lim hp ( xn ) Γ p ( xn )
n →∞

n →∞

Vì Γ p là hàm liên tục trên  p nên lim Γ p ( xn ) =
Γ p ( x ) . Vì vậy, ta cần chứng

n →∞

minh lim hp ( xn ) = hp ( x ) .
n →∞

 Nếu x p < 1 thì do xn → x nên xn p < 1 với n đủ lớn.
Do đó hp ( xn ) = −1 . Suy ra lim hp ( xn ) =−1 =hp ( x ) .
n →∞

 Nếu x p = 1 thì do xn → x nên xn p = 1 với n đủ lớn.
Do đó hp ( xn ) = − xn . Suy ra lim hp ( xn ) =lim ( − xn ) =− x =hp ( x ) .
n →∞

n →∞

Tóm lại, lim hp ( xn ) = hp ( x ) trong mọi trường hợp.
n →∞

Như vậy, Γ p ( x + =
1) hp ( x ) Γ p ( x ) , ∀x ∈  p .
ii) Trước tiên ta chứng minh Γ p ( n ) − Γ p ( m ) p ≤ n − m p , ∀n, m ∈ 