phép tính vi phân trên không gian banach

MỤC LỤC
Phần I:

PHÉP TÍNH VI PHÂN – TÍCH PHÂN
TRÊN KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU ............................7

Chương 1: Sự khả vi của hàm có giá trò vectơ......................................................9
1.1. Giới hạn và liên tục ......................................................................................9
1.1.1. Không gian n .....................................................................................9
1.1.2. Giới hạn và sự liên tục của hàm có giá trò vectơ ................................12
1.2. Sự khả vi của hàm có giá trò vectơ .............................................................14
1.2.1. Ánh xạ tuyến tính................................................................................ 14
1.2.2. Sự khả vi .............................................................................................16
1.2.3. Ánh xạ đạo hàm .................................................................................. 20
1.3. Đạo hàm theo hướng................................................................................... 24
Chương 2: Đạo hàm bậc cao – Công thức taylor ............................................... 29
2.1. Đạo hàm bậc hai.........................................................................................29
2.1.1. Hàm song tuyến tính ........................................................................... 29
2.1.2. Đạo hàm bậc hai của hàm có giá trò vectơ ......................................... 32
2.1.3. Thí dụ .................................................................................................. 35
2.2. Đạo hàm bậc cao ........................................................................................38
2.2.1. Dạng k–tuyến tính............................................................................... 38
2.2.2. Hàm k–tuyến tính ............................................................................... 40
2.2.3. Đạo hàm bậc cao của hàm số thực theo n biến số thực ......................43
2.2.4. Đạo hàm bậc cao của hàm có giá trò vectơ......................................... 48
2.3. Công thức Taylor ........................................................................................51
2.3.1. Công thức Taylor cho hàm số thực theo nhiều biến số thực ............... 51
2.3.2. Công thức Taylor cho hàm có giá trò vectơ......................................... 54
Chương 3: Các đònh lý quan trọng....................................................................... 59
3.1. Hàm ngược .................................................................................................. 59

3.2. Hàm ẩn ....................................................................................................... 62
3.3. Đạo hàm riêng của hàm ngược – hàm ẩn .................................................. 65
3.3.1. Đạo hàm riêng của hàm ngược ...........................................................65
3.3.2. Đạo hàm riêng của hàm ẩn ................................................................. 66
3


3.4. Đònh lý Sard ................................................................................................69
Chương 4: Cực trò đòa phương.............................................................................. 75
4.1. Cực trò đòa phương của hàm số ................................................................... 75
4.2. Cực trò có điều kiện ....................................................................................81
4.3. Cực đại – Cực tiểu ......................................................................................87
Chương 5: Tích phân bội ......................................................................................91
5.1. Đònh nghóa tích phân ................................................................................... 91
5.1.1. Đònh nghóa ...........................................................................................91
5.1.2. Tích phân.............................................................................................92
5.2. Sự khả tích .................................................................................................. 93
5.2.1. Tập độ đo 0 .........................................................................................93
5.2.2. Hàm khả tích .......................................................................................94
5.3. Tập Jordan đo được ................................................................................... 100
5.4. Công thức tích phân lặp ............................................................................ 102
5.5. Công thức đổi biến.................................................................................... 105
5.5.1. Phủ mở ..............................................................................................105
5.5.2. Phân hoạch đơn vò ............................................................................. 109
5.5.3. Công thức đổi biến ............................................................................ 111
Chương 6: Dạng vi phân ..................................................................................... 121
6.1. Đại số ngoài ..............................................................................................121
6.1.1. Hàm đa tuyến tính phản đối xứng ...................................................... 121
6.1.2. Tích ngoài ........................................................................................... 124
6.2. Dạng vi phân............................................................................................. 125

6.2.1. Đònh nghóa........................................................................................... 125
6.2.2. Vi phân ngoài của dạng vi phân ......................................................... 127
6.2.3. Dạng đóng – Dạng khớp .................................................................... 130
6.2.4. Ảnh ngược của dạng vi phân ..............................................................135
Chương 7: Tích phân của dạng vi phân............................................................. 141
7.1. Hình hộp kỳ dò .......................................................................................... 141
7.1.1. Đònh nghóa........................................................................................... 141
7.1.2. Hình hộp kỳ dò thông dụng ................................................................. 141
7.1.2.1. Đường cong trong n ................................................................141
4


7.1.2.2. Mặt cong trong  3 .................................................................... 142
7.1.2.3. Hình hộp kỳ dò (n  1) chiều trong n ..................................... 146
7.2. Tích phân trên hình hộp kỳ dò................................................................... 153
7.2.1. Đònh nghóa ......................................................................................... 153
7.2.2. Đổi biến trong tích phân của dạng vi phân ....................................... 155
7.2.3. Thí dụ và Ghi chú.............................................................................. 157
7.3. Công thức Stokes trên xích kỳ dò..............................................................162
7.3.1. Biên của hình hộp kỳ dò .................................................................... 162
7.3.2. Công thức Stokes .............................................................................. 167
7.4. Các đònh lý cổ điển ................................................................................... 170
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 175
Phần II:

PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH............ 177

Chương 1: Không gian Banach .......................................................................... 179
1.1. Bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski ................................. 179
1.2. Không gian Banach................................................................................... 183

1.3. Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục ..................................................... 191
1.4. Tập compắc trong không gian Banach ..................................................... 197
1.5. Tập compắc trong C (K , m ) .................................................................... 197
Chương 2: Đạo hàm – Công thức Taylor.......................................................... 201
2.1. Sự khả vi ................................................................................................... 201
2.2. Đònh lý giá trò trung bình........................................................................... 209
2.3. Đạo hàm riêng .......................................................................................... 214
2.4. Đạo hàm bậc cao – Công thức Taylor ...................................................... 233
2.4.1. Đạo hàm bậc cao............................................................................... 233
2.4.2. Ánh xạ đa tuyến tính......................................................................... 234
2.4.3. Công thức Taylor............................................................................... 243
Chương 3: Ánh xạ ngược – Ánh xạ ẩn – Cực trò đòa phương .......................... 253
3.1. Ánh xạ ngược – Ánh xạ ẩn ....................................................................... 253
3.2. Cực trò đòa phương..................................................................................... 258

5


Chương 4: Cực trò có điều kiện.......................................................................... 265
4.1. Cực trò có biên cố đònh.............................................................................. 265
4.1.1. Đa tạp tuyến tính............................................................................... 265
4.1.2. Bài toán biến phân ............................................................................ 268
4.2. Cực trò với một biên di động ..................................................................... 283
4.2.1. Trường hợp một biến......................................................................... 283
4.2.2. Trường hợp hàm nhiều biến ..............................................................284
4.2.3. Thí dụ ................................................................................................286
4.3. Cực trò có điều kiện với ràng buộc ........................................................... 290
4.3.1. Bài toán cực trò có điều kiện với ràng buộc là một số hữu hạn
phương trình hoặc phương trình vi phân ........................................... 290
4.3.2. Bài toán cực trò có điều kiện tổng quát ............................................. 299

Chương 5: Đònh lý Minimax & Ứng dụng trong nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm của bài toán biên ........................................ 303
5.1. Đònh lý đường đèo (Mountain Pass) ......................................................... 303
5.1.1. Điều kiện Palais – Smale.................................................................. 303
5.1.2. Đònh lý đường đèo ............................................................................. 304
5.1.3. Bổ đề biến đổi số lượng .................................................................... 310
5.1.4. Đònh lý đường đèo ............................................................................. 311
5.1.5. Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính...................................................... 313
5.1.6. Kỳ dò phi tuyến .................................................................................. 315
5.2. Nguyên lý Minimax tổng quát .................................................................. 321
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 333

6



Chương 1
SỰ KHẢ VI CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ

1.1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC.
1.1.1. Không gian n .





Với n là số tự nhiên, đặt n  x  x1, x 2,..., x n  : x i   , i  1, n . Mỗi
phần tử x  n là một bộ gồm n số thực, x  x1, x 2,..., x n  , x i là thành phần thứ
i của x .

n là không gian vectơ trên  với phép cộng và phép nhân với số thực đònh

bởi: với x  x1, x 2,..., x n  , y  y1, y2,..., yn   n và a   ,
x  y  x1  y1, x 2  y2,..., x n  yn   n ,
ax  ax1, ax 2,..., ax n   n .

Chuẩn: Chuẩn trên n , ký hiệu  , là hàm số  : n     [0, ) ,
thỏa mãn: với mọi x , y  n và a   ,
i)

x  0, x  0  x  0

ii)

ax  a . x .

iii)

x  y  x  y . (Bất đẳng thức tam giác)

n

.





Nếu  là chuẩn trên n thì cặp n ,  là không gian đònh chuẩn.
Chuẩn Euclide trên n đònh bởi:

Với x  x1, x 2,..., x n   n

n
1 2

thì x   x i2  .
2

i 1 

Hai chuẩn  và  trên n được gọi là tương đương, ký hiệu    nếu
2

2

tồn tại hai số dương a,b  0 sao cho:
a x  x b x
2

với mọi x  n .
9




Sự hội tụ: Cho không gian đònh chuẩn n , 



 và (x )

k

k

là dãy trong n ,



x k  x1k , x 2k ,..., x nk với k    1,2, 3,... .

Ta đònh nghóa: (x k ) hội tụ về x  n bởi:
lim x k  x theo   lim x k  x  0 .
k 

k 

Dãy (x k )k là dãy cơ bản 

lim x k  x l  0 .

k ,l 



Nếu mọi dãy cơ bản trong n , 

 đều hội tụ ta nói  ,   là không gian
n

Banach.

Mệnh đề 1.1:
Cho  và  là hai chuẩn tương đương trong n . Khi đó:
2

a)
b)
c)
d)

lim x k  x theo 

k 

2

 lim x k  x theo  .
k 

lim x k  x  x1, x 2,..., x n  theo 

k 

2

 lim x ik  x i , i  1, n .
k 

 ,   là không gian Banach.
 ,   là không gian Banach.

n

2

n

Chứng minh:
Mệnh đề được chứng minh dựa vào đònh nghóa của chuẩn tương đương và bất
đẳng thức: với x  x1, x 2,..., x n   n thì
x i  x  x1  x 2  ...  x n với mọi i  1, n .
2

Mệnh đề 1.2:
Giả sử chuẩn  trên n thỏa mãn:
xi  x  x

2

với mọi i  1, n và x  x1, x 2,..., x n   n .

Khi đó:  và  tương đương.
2

10


Chứng minh:
Do x  x

2

và x i  x , i  1, n suy ra:
x  x n x
2

với mọi x  n .

Vậy  và  tương đương.
2

Tập mở – Liên thông:
Trong n với chuẩn Euclide  , cho x  n và r  0 , quả cầu mở tâm x



2



bán kính r là B(x , r )  x   n : x  x   r .
2

Tập D  n là tập mở nếu với mọi x  D , tồn tại r  0 sao cho
B(x , r )  D .
Tập D  n được gọi là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở O1,O2
thỏa mãn:
D  O1  O2 , D  O1   , D  O2   và D  O1  O2   .

Mệnh đề 1.3:
Cho D là tập mở liên thông trên n . Khi đó với mọi x , y  D tồn tại một số

hữu hạn quả cầu mở B1, B2,..., Bk chứa trong D sao cho:
x  B1 , y  Bk , Bi  Bi 1   với mọi i  1,2,..., k  1 .

(*)

Từ đó suy ra: tồn tại đường gấp khúc   D nối x và y .
Chứng minh:
Trên D đặt quan hệ  như sau:
x  y khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1, B2,..., Bk thỏa

mãn (*).
Khi đó  là quan hệ tương đương trên D .
Với x  D , đặt x  y  D : x  y  là lớp tương đương của x . Khi đó:
 x  x với mọi x  D .
 Với x , y  D thì x  y hoặc x  y   .

11


 D

 x.

x D

Với x  D , ta chứng minh x là tập mở.
Với y  x thì x  y nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1, B2,..., Bk
chứa trong D , thỏa mãn (*). Khi đó với z  Bk thì y  z nên x  z hay z  x .
Suy ra: Bk  x . Vậy x là tập mở.
Cố đònh x  D , ta chứng minh x  D và như vậy mệnh đề được chứng minh.

Giả sử D \ x   . Đặt O1  x và O2 



y.

y D \x

Khi đó O1,O2 là tập mở khác rỗng và thỏa mãn:
D  O1  O2 và O1  O2   .

Vậy D không liên thông. Mâu thuẫn. Như vậy x  D .
Với x , y  D , tồn tại các quả cầu mở B1, B2,..., Bk chứa trong D thỏa mãn
(*).
Lấy x  x1 , x 2  B1  B2 , …, x i  Bi  Bi 1 , … và x k  y .
Đường gấp khúc  gồm các đỉnh liên tiếp x1, x 2,..., x k chứa trong D , nối x
và y .

1.1.2. Giới hạn và sự liên tục của hàm có giá trò vectơ.
Trên n và  p với chuẩn Euclide  đònh bởi:
2

n
1 2

x  x1, x 2,..., x n   n , x   x i2  ,
2

i 1 



y  y1, y2,..., y p



 p
1 2

  p , y   y 2j  .
2

 j 1 

Đònh nghóa:
Cho



D  n ,

ánh

xạ



f : D  p .

f (x )  f (x1), f (x 2 ),..., fp (x )   p .

12

Với

mọi

x D,

f (x )   p ,


a)

Ánh xạ f được gọi là hàm theo biến x  x1, x 2,..., x n   D  n có giá trò
vectơ trong  p .
Các hàm f1, f2,..., fp : D   được gọi là hàm thành phần của f . Các hàm

f1, f2,..., fp là các hàm số thực theo n biến số thực x1, x 2,..., x n xác đònh trên D .





Ta ký hiệu: f  f1, f2,..., fp .
Cho D  n , điểm x  n là điểm giới hạn của D nếu với mọi r  0 ,
B(x , r )  D \ x    .
Ta có đặc trưng: x là điểm giới hạn của D  Tồn tại dãy (x k )k  D sao
cho: x k  x với mọi k và lim x k  x theo  .
2

k 

b)





Cho f : D  n   p , f  f1, f2,..., fp và x 0  n là điểm giới hạn của
D . Đònh nghóa:

lim f (x )  y 0  Với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho với mọi x  D ,

x x 0

0  x  x 0   thì f (x )  y 0   .
2

c)



2



Cho f : D   p , f  f1, f2,..., fp và x 0  D . Ta nói:
f liên tục tại x 0  Với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho khi x  D ,

x  x 0   thì f (x )  f (x 0 )   .
2

2

Mệnh đề 1.4:





Cho f : D   p , f  f1, f2,..., fp .
a)

Cho x 0  n là điểm giới hạn của D . Khi đó:





lim f (x )  y0  y10, y20,..., y p0  lim f j (x )  yi0 với mọi j  1,2,..., p .

x x 0

b)

x x 0

Cho x 0  D . Khi đó:
f liên tục tại x 0  f j liên tục tại x 0 với mọi j  1,2,..., p .

c)

Nếu x 0  D thì:
f liên tục tại x 0  lim x k  x 0 thì lim f (x k )  f (x 0 ) .
k 

k 

13


Chứng minh:
Mệnh đề được chứng minh dựa vào bất đẳng thức:

y j  y  y1  y2  ...  y p , j  1,2,..., p .
2

BÀI TẬP
1. Cho f   f1, f2, f3  đònh bởi: Với y  0 ,
f1(x , y ) 

x 1  cos xy 
y2

13

1  xy 
sin xy
; f2(x , y ) 

; f3(x , y ) 
y
y

1

.

Tính lim f (x , y ) , lim f (x , y ) với x 0  0 .
x ,y 0

x x 0
y 0

2. Cho f   f1, f2, f3  đònh bởi:



2

f1(x , y )  x  y

2

x 2 2y 2



 x 3  y 3 
2


 ; f (x , y )  x sin y .
; f2(x , y )  cos 
3
 x 2  y 2 
x 4  y2

Có thể đònh giá trò f (0, 0) để f liên tục tại (0, 0) ?

1.2. SỰ KHẢ VI CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ.
1.2.1. Ánh xạ tuyến tính.
Trên n và  p có hai cơ sở chính tắc:
0,1, 0,..., 0)  n , i  1,2,..., n .
e1,e2,...,en  với ei  (0,...,

i

0,1, 0,..., 0)   p , j  1,2,..., p .
u1, u2,..., up  với u j  (0,...,

j

Ánh xạ tuyến tính A : n   p có ma trận biểu diễn là:
a

 11 a12 ... a1n 
a

 21 a22 ... a2n 
 ... ... ... ... 



a

 p1 a p 2 ... a pn 
14


Viết gọn là [aij ] , i  1, n , j  1, p . Ta đồng nhất ánh xạ tuyến tính A với ma
trận biểu diễn của A , A  [aij ], i  1, n , j  1, p , i chỉ hàng, j chỉ cột.





Đặt L n ,  p là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ n vào  p . Khi



đó L n ,  p

 là không gian vectơ trên  , số chiều dim L  ,    np . Ta
n

p

đồng nhất (về đại số) L  n ,  p   np .









Với A  L n ,  p thì A liên tục. Đặt: A  max A(x ) : x  1 và gọi
2

2

A là chuẩn của A .





Khi đó  là chuẩn trên L n ,  p thỏa mãn:
(N1)

A  0, A  0  A  0

(N2)

aA  a . A , với mọi A  L n ,  p và a   .

(N3)

AB  A  B

L  n ,  p 

(ma trận không)




với mọi A, B  L   ,   .
n

Hơn nữa ta có: Ax  A . x
2

2

p

với mọi x  n .

Đánh giá A :

  n
1 2
n




Trước tiên ta có: max   ai x i : x  1   ai2  .
2


 

i 1 
 i 1



Với x  n , x  1 , ta có:
2

n

n
n

Ax   a1j x j ,  a2 j x j ,....,  a pj x j    p .

 j 1

j 1
j 1

Suy ra:

2
2
2







n
n
n
2






Ax    a1j x j    a2 j x j   ....   a pj x j 
2



 j 1

 j 1

 j 1

n

n

n

j 1

j 1

j 1

2
  a12j   a22j  ....   a pj
.

15


Lấy cực đại khi x  1 hai vế sau đó căn hai hai vế, dẫn đến:
2

A 



 aij2

Mặt khác ta có: Ax 
2

12



, tổng theo i  1, p , j  1, n .

n

 aij x j

với mọi i  1,2,..., p .

j 1

n
1 2

Lấy max theo x  1 , ta được: A    aiji  với mọi i  1,2,..., p .
2

 j 1 

Kết hợp, ta nhận được đánh giá:
n
1 2

1 2


2
2
  aij   A   aij  với mọi i  1,2,..., p .
 j 1 
 i, j



Từ bất đẳng thức (1) suy ra: aij

(1)


1 2

 A   aij  với mọi i, j .

 ij



1 2

Do Mệnh đề 1.1, nếu đặt A   aij2  (là chuẩn Euclide trên np ) ta
2

 i, j


aij  A  A .

có:

2

Vậy  tương đương với 



2





trong L n ,  p .

  

Ta đồng nhất L n ,  p ,   np , 

2

.

1.2.2. Sự khả vi.
Đònh nghóa:





Cho D là tập mở trong n và f : D   p , f  f1, f2,..., fp .
Ta nói: f khả vi tại x  D nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A : n   p sao
cho với mọi h  n mà x  h  D thì:
f (x  h )  f (x )  A(h )  h (h ) .

2

16

(*)


với  xác đònh gần 0

n

có giá trò trong  p thỏa mãn:

lim (h )  0

h 0 n


p

.

Mệnh đề 1.5:





Cho D mở trong n , f : D   p , f  f1, f2,..., fp .





a) Nếu f  f1, f2,..., fp khả vi tại x  D thì f liên tục tại x .
b) Ánh xạ tuyến tính A , nếu có sẽ duy nhất. Đặt A  f (x ) và gọi là đạo
hàm của f tại x .
c) Đặc biệt, nếu f : n   p là ánh xạ tuyến tính thì f khả vi tại mọi
x  n và f (x )  f .

Chứng minh:
a)

Suy từ A tuyến tính nên A liên tục,

    0

lim A(h )  A 0

h 0 n


b)

n

p

và

lim (h )  0

h 0 n


p

.

Giả sử tồn tại A1, A2 : n   p cùng thỏa mãn (*).

Với mọi u  n , do D là tập mở x  D nên tồn tại   0 sao cho
x  tu  D với mọi 0  t   . Thay h  tu , ta có:
f (x  tu )  f (x )  A1(tu )  tu 1(tu )  A2(tu )  tu 2(tu )
2

với lim 1(tu )  lim 2(tu )  0
t 0

t 0

p

2

.

Do A1, A2 tuyến tính và t  0 , ta có:
A1(u )  u 1(tu )  A2(u )  u 2(tu ) .
2

2

Cho t  0 , ta được:
A1(u )  A2(u ) với mọi u  n .

Vậy A1  A2 .
c)

Với h  n , do f tuyến tính, ta có:
f (x  h )  f (x )  f (h )  f (h )  h (h ) với (h )  0
2

p

.

Theo đònh nghóa, f khả vi tại x và f (x )  f .

17


Đònh lý 1.1: (Đònh lý đạo hàm của hàm hợp)
Cho U là tập mở trong n , V là tập mở trong  p và f : U  V ,
g : V  k .

Giả sử: f khả vi tại x , g khả vi tại f (x ) .
Khi đó: g  f khả vi tại x và (g  f ) (x )  g   f (x )  f (x ) .
Chứng minh:
Đặt k (h )  f (x  h )  f (x ) . Do g khả vi tại f (x ) , ta có:

g  f (x  h )  g  f (x )  g   f (x )k (h )  k (h ) 2  k (h )

với

lim (k )  0

k 0 p


k

.

Do f khả vi tại x nên:
k (h )  f (x  h )  f (x )  f (x )(h )  h 2 (h )

với

lim (h )  0

h 0 n


p

.

Như vậy, do tính tuyến tính của g   f (x ) , ta có:
g  f (x  h )  g  f (x )  g   f (x )  f (x )(h )

 h g   f (x ) (h )  k (h )  k (h ) .
2
2





k (h ) 2


Ta cần chứng minh: lim g   f (x )(h ) 
 k (h )  0 k .

h2
h 0 n 


 

Điều này được suy từ: k (h ) 2  f (x ) . h 2  h 2 . (h ) 2 .
lim (h )  0

h 0 n


p

và

lim  k (h )  0

h 0 p


k

.

Vậy g  f khả vi tại x và g  f  (x )  g   f (x )  f (x ) .

Đònh lý 1.2:





Cho D là tập mở trong n , f : D   p , f  f1, f2,..., fp . Khi đó:
f khả vi tại x  D nếu và chỉ nếu f1, f2,..., fp khả vi tại x .

Hơn nữa, đạo hàm f (x ) có ma trận biểu diễn cho bởi:
18


 f
 1 (x ) f1 (x )
 x
x 2
 1
 f

 2 (x ) f2 (x )
x 2
f (x )   x1
 ...
...

 f
fp
 p
(
x
)
(x )


x

x
 1
2


(x )
x n
  f (x ) 
 1 
f2
...
(x )  f2(x )
x n

   ...  .

...
...  

  fp (x )
fp

...
(x )
x n

...

f1

Chứng minh:
() Giả sử f





khả vi tại x . Đặt pi :  p   đònh bởi: Với y   p ,

y  y1, y2,..., y p , pi y1, y2,..., y p   yi , pi là phép chiếu thành phần thứ i , thì pi

tuyến tính. Suy ra: fi  pi  f khả vi tại x và:
 f


fi
fi

i



pi  f  (x )  pi  f (x )  fi (x )   x (x ) x (x ) ... x (x ) .
 1

2
n
() Ngược lại, giả sử f1, f2,..., fp khả vi tại x , với h  n mà x  h  D , ta có:



 
 f1(x  h )  f1(x )   f1(x )(h )  h 2 1(h ) 


 

f (x  h )  f (x )  
...
...



 
 f (x  h )  f (x )  f (x )(h )  h  (h )

p

 p
  p
2 p

với

lim i (h )  0 với mọi i  1,2,..., p và

k 0 p


 f

fi
fi
fi(x )   i (x )
(x ) ...
(x ) .
x 2
x n
 x1

 f

fi
fi
 i


 f (x )   x (x ) x (x ) ... x (x )

1   1
2
n




Đặt A   ...    ...
...
...
...  và (h ) 

 f (x )  f
fp
fp

 p   p

(x )
(x ) ...
(x )
 x1

x 2
x n



Ta có: f (x  h )  f (x )  A(h )  h 2 (h ) với

lim (h )  0

h 0 p


  (h ) 
 1 
 ...  .


 (h )
 p 

 k 

.

Vậy f khả vi tại x và f (x )  A .

19


1.2.3. Ánh xạ đạo hàm.
Đònh lý 1.3:
Cho D là tập mở trong n , f : D   p , f   f1, f2, f3  .
Khi đó: Ánh xạ đạo hàm f  liên tục trên D nếu và chỉ nếu các đạo hàm
f
riêng của các hàm thành phần i , i  1, p , j  1, n liên tục trên D .

x j
Chứng minh:





Với x  D , do f (x )  L n ,  p ,





f (x )  f1(x ), f2(x ),..., fp(x )





trong đó các hàm thành phần fi(x )  L n ,  p , i  1, p .
Từ bất đẳng thức (1) suy ra:
p

fi(x )  fi(y )  f (x )  f (y )   fi(x )  fi(y ) với i  1, p .
i 1

Vậy f  liên tục trên D nếu và chỉ nếu f1, f2,..., fp liên tục trên D .

Mệnh đề 1.6:
Cho D là tập mở trong n , f : D   p , f   f1, f2, f3  . Giả sử f khả vi trên

Khi
đó
với
mọi
x D
D.
[x 0, x ]  (1  t )x 0  tx : t  [0,1]  D thì:

sao

cho

f (x )  f (x 0 )  p . x  x 0 . sup

f (y ) .

2

2 y [x ,x ]
0

đoạn

thẳng

Chứng minh:
Áp dụng đònh lý giá trò trung bình cho mỗi hàm thành phần f1, f2,..., fp , tồn tại
i  (0,1) , i  1, p sao cho:
fi (x )  fi (x 0 )  fix 0  i (x  x 0 )(x  x 0 ) .

Suy ra:

20

fi (x )  fi (x 0 )  x  x 0 . sup



f (y )
2 y [x ,x ] i
0


f (y ) .

 x  x 0 . sup

2 y [x ,x ]
0

f (x )  f (x 0 )  p . x  x 0 . sup

Dẫn đến:

2

2 y [x ,x ]
0

f (y ) .

Đònh lý Banach-Steinhaus: (không chứng minh)
Cho X ,Y là không gian Banach và Ti 

i I

là họ các ánh xạ tuyến tính liên

tục từ X vào Y . Khi đó:
- Hoặc tồn tại N  0 sao cho: Ti  N , với mọi i  I .
- Hoặc tồn tại tập G trù mật trong X sao cho với mọi x  G thì:



sup Ti (x )

Y



: i  I   .

Đònh lý 1.4:
Cho D là tập mở liên thông trong n .
a)

Giả sử f : D   p khả vi trên D và f (x )  0

L  n ,  p 

với mọi x  D .

Khi đó: f là hàm hằng.
b)

Với mọi k   , cho fk : D   p khả vi trên D . Giả sử dãy ánh xạ đạo





hàm  fk  hội tụ đều về ánh xạ g : D  L n ,  p trên mỗi tập con
k

đóng bò chặn trong D và tồn tại x 0  D sao cho dãy phần tử  fk (x 0 )

k

hội tụ trong  p .
Khi đó tồn tại hàm f : D   p khả vi trên D sao cho  fk  hội tụ từng điểm
k

về f trên D và g(x )  f (x ) với mọi x  D .
Chứng minh:
a)

Cố đònh x 0  D . Với mọi x  D , do D là tập mở liên thông nên tồn tại

đường gấp khúc   D , có đỉnh liên tiếp x 0, x1,..., x k  x .
Áp dụng mệnh đề 1.6 trên đoạn [x 0, x1 ] :

f (x1)  f (x 0 )  p . x1  x 0 . sup
2

2 y [x ,x ]
0 1

f (y ) .

21


Suy ra: f (x1)  f (x 0 ) .
Tương tự, suy ra: f (x 0 )  f (x1)  ...  f (x k )  f (x ) .
Vậy f là hàm hằng.
Do x 0  D và D là tập mở nên tồn tại r  0 sao cho quả cầu đóng

b)

B (x 0, r )  D . Đặt K  B (x 0, r ) thì K là tập đóng, bò chặn chứa trong D .

Với mọi k, l   và x  K , do mệnh đề 1.6, ta có:


fk l (x )  fk l (x 0 )  fk (x )  fk (x 0 )  p . x  x 0 . sup



f (y )  fk (y )
2 y [x ,x ] k l
0

2

.

Suy ra:

fk l (x )  fk (x )  fk l (x 0 )  fk (x 0 )  p . sup
2

2

y [x 0 ,x ]

fkl (y )  fk(y ) .

Do đònh lý Banach-Steinhaus, tồn tại hằng số M  0 sao cho:
fk(x )  M , g(x )  M , x  K và k   .

Do

 fk (x 0 )k

 

hội tụ trong  p ,

( fk, g  CB K , L n ,  p

 fkk

hội tụ đều về g

 không gian các hàm bò chặn) nên f 

k k

trên K ,

là dãy cơ bản.

Suy ra với   0 cho trước, tồn tại k0   sao cho với k  k0 và l   thì:
fk l (x 0 )  fk (x 0 )   3 và
2

sup
y [x 0 ,x ]

fkl (y )  fk(y )   3 .

Như vậy, với k  k0 và l   thì:
fk l (x )  fk (x )   với mọi x  K .
2

Vậy  fk  là dãy cơ bản trong C (K ) (không gian các hàm liên tục từ K vào
k

p

 ). Đặt f  lim fk trong C (K ) .

k 

Ta chứng minh f khả vi trong quả cầu mở B(x 0, r ) và f (x )  g(x ) với mọi
x  B(x 0, r ) .

Với x  B(x 0, r ) , h  n mà x  h  B(x 0, r ) , ta có:
f (x  h )  f (x )  g(x )(h )  f (x  h )  f (x )   fk (x  h )  fk (x )
2

2

 fk (x  h )  fk (x )  fk(x )(h )  fk(x )(h )  g (x )(h ) .
2

22

2

(2)


Với   0 cho trước, do  fk  hội tụ đều về g trên K nên tồn tại k0   sao
k

cho với k  k0 và l   thì:
sup fkl (y )  fk(y )   3 p và fk(y )  g(y )   3 với mọi y  K .

y K

Suy ra:

fk l (x  h )  fk l (x )   fk (x  h )  fk (x )  p . h . sup fkl (y )  fk(y )
2 y K

2

 

  3 h .
2

Mặt khác do:
fk (x  h )  fk (x )  fk(x )(h )  h . k (h )
2

với

lim k (h )  0

h 0 n


p

2

2

nên tồn tại   0 sao cho khi h  n , h   thì
2

k (h )   3 .
2

Từ (2) suy ra: Với h  n , h   thì:
2

f (x  h )  f (x )  g(x )(h )   h .
2

2

Điều này chứng tỏ f khả vi tại x và f (x )  g(x ) với mọi x  B(x 0, r ) .
Với mọi x  D , do D là tập mở liên thông nên tồn tại một số hữu hạn quả
cầu mở B0, B1,..., Bm chứa trong D sao cho:
x 0  B0 , Bi  Bi 1   , i  1, m  1 , x  Bm .
 D.
Ta có thể giả sử các quả cầu đóng tương ứng B0 , B1,..., Bm

 fk k

Lấy x1  B0  B1 , x 2  B1  B2 , ..., x m  Bm 1  Bm . Theo chứng minh trên
hội tụ đều về f trên B0 , f khả vi trên B0 và f (x )  g(x ) với mọi x  B0 .

Lập lại chứng minh trên cho Bi với x i thay cho x 0 . Tiếp tục một số hữu hạn lần,

 , f  khả vi trên Bm và f (y )  g(y ) với mọi
ta có  fk  hội tụ về f trên Bm
k

y  Bm . Do tính duy nhất của giới hạn nên hàm f trùng nhau trên phần giao

Bi  Bi 1   .

Vậy đònh lý được chứng minh.

23


1.3. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG.
Đònh nghóa:





Cho D mở trong n , f : D   p , f  f1, f2,..., fp . Tại x  D , u  n ,
u0

n

f (x  tu )  f (x )
, t  .
t
t 0

, xét lim

f (x  tu )  f (x )
, đặt:
t
t 0

f (x  tu )  f (x )
Du f (x )  lim
t
t 0

Nếu tồn tại lim

và gọi Du f (x ) là đạo hàm của f tại x theo hướng u .
Giả sử Du f (x ) tồn tại theo mọi hướng u  n thì Du f (x ) : n   p .
Du f (x ) là hàm theo biến u  n có giá trò trong  p .

Trường hợp Du f (x ) phụ thuộc tuyến tính theo u , nghóa là tồn tại ánh xạ
tuyến tính (x ) : n   p sao cho:
Du f (x )  (x )(u ) với mọi u  n .

Khi đó, ta nói f khả vi Gateaux tại x và (x ) là đạo hàm Gateaux của f tại

x.

Đònh lý 1.5:





Cho D là tập mở trong n , f : D   p , f  f1, f2,..., fp .
a)

Nếu f khả vi tại x  D thì f cũng khả vi Gateaux tại x và
f (x )  (x ) .

b)

Giả sử f khả vi Gateaux tại mọi x  D và ánh xạ biến x thành đạo





hàm Gateaux của f tại x là (x ) liên tục từ D vào L n ,  p . Khi đó:
f  khả vi liên tục trên D (nghóa là ánh xạ đạo hàm f  liên tục trên D ).

Chứng minh:
a)

Do f khả vi tại x  D nên với h  n mà x  h  D thì:
f (x  h )  f (x )  f (x )(h )  h (h ) với
2

24

lim (h )  0

h 0 n


p

.

Với u  n , u  0

, do D mở nên tồn tại   0 sao cho x  tu  D , khi

n

t   . Thay h  tu , ta có:

f (x  tu )  f (x )  f (x )(tu )  tu (tu )
2

 tf (x )(u )  t . u (tu ) .
2

Chia hai vế cho t và cho t  0 , ta có:


f (x  tu )  f (x )
t
Du f (x )  lim
 lim  f (x )(u )  u 2 (tu ) .
t
t
t 0
t 0 

Do lim (tu )  0
t 0

nên: Du f (x )  f (x )(u ) .

p

Theo đònh nghóa, f khả vi Gateaux tại x và (x )  f (x ) .
b)

Cố đònh x  D . Do f khả vi Gateaux tại x nên với mọi i  1, n ,

ei  (0,...,
0,1, 0,..., 0)  n , ta có:

i

(x )(ei )  lim

f (x  tei )  f (x )
t

t 0

 f (x ) 
 1 


 f1(x  tei )  f1(x )   x i 

 

 f (x  te )  f (x )   f2(x ) 

1
f
 
i
2
 lim  2
  x i  
(x ) .

.....
t 0 t 
  ...  x i

 

 fp (x  tei )  fp (x ) 


  fp (x ) 


 x i 

Do  liên tục theo x nên

f1
x i

,

f2
x i

, ...,

fp
x i

liên tục theo x . Cho i thay đổi

từ 1 đến n , ta có:
f1
x1

f j
x1

,

f j
x 2

,

f1
x 2

, .... ,

, .... ,

f j
x n

f1
x n

liên tục trên D .

liên tục trên D với mọi j  1, p .

Vậy f khả vi liên tục trên D và f (x )  (x ) tại mọi x  D .
Đònh lý được chứng minh.
25


BÀI TẬP
1. Cho f : 2  2 , f   f1, f2  đònh bởi:

x  x sin y
, x 2  y2  0
13

f1(x , y )  
x 2  y2


0
, x y 0



y 2 sin x

, x 2  y2  0
sin y 
23
2
2
f2(x , y )  
x

y


0
, x y 0

a) Xét sự khả vi của f tại (0, 0) . Tính f (0, 0) nếu có.









b) Xét tính liên tục của đạo hàm f  tại mọi (x , y )  2 , đặc biệt tại (0, 0) .
2. Cho f : 2  2 , f   f1, f2  đònh bởi:



x sin y

sin y 
, x 2  y2  0

a

2
2
f1(x , y )  

x

y



0
, x y 0




1
2
2
x  y 2 sin
a , x y  0
2

2
x y
f2(x , y )  

0
, x y 0











a) Tùy theo giá trò của a  0 xét sự khả vi của f tại (0, 0) . Tính f (0, 0) .
b) Tùy theo giá trò của a  0 xét tính liên tục của ánh xạ đạo hàm f  tại
mọi (x , y )  2 , đặc biệt tại (0, 0) .
3. Cho:
 xy 2

f (x , y )   x 2  y 4

 0


 xy 3


, (x , y )  (0, 0)
, g(x , y )   x 2  y 6

, x y 0
 0


a) Chứng minh f , g không liên tục tại (0, 0) .

26

, (x , y )  (0, 0)
,

x y 0


b) Vụựi u (a,b) 2 , a 2 b 2 0 , tớnh ủaùo haứm theo hửụựng Du f (0, 0) ,
Du g(0, 0) .

c) Haứm f , g coự khaỷ vi Gateaux taùi (0, 0) ?

27