một định lí mới về ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian banach

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ XUÂN HẬU

MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA
CỦA HỌ TIẾN HĨA TUẦN HỒN TRÊN
KHƠNG GIAN BANACH

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS LÊ HỒN HĨA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010


LỜI CẢM ƠN
Để có thể hồn thành được luận văn này. Người đầu tiên mà tơi tỏ lịng biết ơn sâu sắc đó là
PGS. TS Lê Hồn Hóa, người thầy đã tận tâm hướng dẫn chỉ bảo từng bước cho tơi trong suốt q
trình học tập.
Xin trân trọng cảm ơn TS……………….và TS………………đã đọc góp ý cho luận văn của tơi.
Xin trân tọng cảm ơn q thầy cơ thuộc khoa Tốn – Tin học trường Đại Học Sư Phạm
TPHCM, cùng quý thầy cơ giảng dạy cho lớp cao học khóa 18 chun nghành Giải Tích đã nhiệt
tình giảng dạy và giúp đỡ cho tơi trong suốt khóa học.

Tơi cũng xin cảm ơn q thầy cơ phịng KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã
tạo điều kiện và giúp đỡ cho tơi hồn thành chương trình học.
Xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh Đạo Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Phú n, Ban Giám Hiệu, cùng
tồn thể giáo viên cơng nhân viên của trường THPT Trần Bình Trọng – Phú Hòa – Phú Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi, và giúp đỡ tơi hồn thành khóa học.
Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè đồng nghiệp đã động viên và nhiệt
tình giúp đỡ tơi trong suốt thời gian qua.
Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng
Lê Xuân Hậu

năm 2010


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan chỉ sư dụng nội dung một số bài báo, và tài liệu liên quan để hồn thành tốt
luận văn của mình và khơng sao chép bất kì luận văn nào khác đã có trước đây.

Học viên

Lê Xuân Hậu


MỞ ĐẦU
1. Lý do và mục đích chọn đề tài:
Lý thuyết ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hồn trong lĩnh vực phương trình đạo hàm
riêng đã ra đời từ rất sớm và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học. Cùng
với nhiều nhà toán học khác, hai nhà toán học Constantin và Jitianu đặt vấn đề tìm nghiệm yếu

v(t )  A(t )v(t )  f (t )


dựa trên lý thuyết phổ
v f (., 0) của phương trình Cauchy khơng thuần nhất: 
v(0)  0

của nửa nhóm tiến hóa. Đến năm 2003 hai tác giả này đã đưa ra những kết quả quan trọng cùng
với nhiều ứng dụng mới đã đem đến cho lĩnh vực này thêm sự đa dạng và đặc sắc.
Với sự tâm đắc, và với mục đích tìm hiểu nhiều hơn nữa về phương pháp trên cùng với các
ứng dụng của nó để học tập, và bước đầu làm quen công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề
tài trên cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu lý thuyết về ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hồn trên khơng gian Banch
và các ứng dụng của nó.
Trong luận văn tôi xin đề cập đến một trong những kết của hai tác giả nói trên, đó là:
“MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HỒN TRÊN
KHƠNG GIAN BANACH”.

Cụ thể Chúng ta xem xét một nghiệm yếu của bài tốn Cauchy khơng thuần nhất
ìv ¢(t ) = A(t )v(t ) + f (t )
ï
ï
ï
í
ïv(0) = 0
ï
ï
ỵ
trên khơng gian Banach phức X , với A (.) là tốn tử tuần hồn chu kì 1.
Ta chứng minh rằng nếu v f (., 0) thuộc tập AP0 (R+, X ) với mỗi f thuộc AP0 (R+, X ) thì với mỗi

x thuộc X nghiệm của bài tốn Cauchy

ìu ¢(t ) = A(t )u(t )
ï
ï
ï
í
ïu(0) = x
ï
ï
ỵ


là ổn định đều theo lũy thừa và ngược lại.
Chi tiết về khơng gian AP0 (R+, X ) được trình bày trong mục 2.1 của chương II dưới đây. Phương
pháp nghiên cứu dựa trên lý thuyết phổ của nửa nhóm tiến hóa. Nội dung của luận văn trình bày
lại kết quả của bài báo:
“A new theorem on exponential stability of
periodic evolution families on Banach spaces”

của hai tác giả Constantin Buse & Oprea Jitianu nhưng được trình bày chi tiết
hơn.
Nội dung của luận văn được chia làm ba chương
Chương I: Các kiến thức cơ bản
Trong chương này nhắc lại định nghĩa và tính chất của nửa nhóm, nửa nhóm liên tục đều, nửa
nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tiến hóa, họ tiến hóa, cũng như các khái niệm và tính chất liên
quan làm cơ sở cho các kiến thức của chương II.
Chương II: Lời giới thiệu và các kết quả
Trong chương này giới thiệu các kí hiệu sử dụng trong luận văn và các kết quả của luận văn.
Chương III: Ứng dụng

Giới thiệu một số ứng dụng quan trọng của các kết quả trong chương II.
Vì kiến thức bản thân cịn nhiều hạn chế nên chắc chắn có những thiếu xót trong quá trình
trình bày luận văn. Rất mong nhận được sự phê bình và đóng góp ý kiến của Q Thầy cô cùng
bạn bè quan tâm.


CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nửa nhóm liên tục đều của các tốn tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.1.1

Cho X là không gian Banach. Họ một tham số T (t ), 0 £ t < ¥ , các tốn tử tuyến tính bị
chặn từ X vào X được gọi là một nửa nhóm các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X nếu
i) T (0) = I ,(I là ánh xạ đồng nhất trên X )
ii) T (t + s ) = T (t ).T (s ) với mọi t, s ³ 0 .
Một nửa nhóm các tốn tử tuyến tính bị chặn T (t ) được gọi là liên tục đều nếu
lim T (t ) - I = 0 .

(1.1)

t 0

Từ định nghĩa ta có:
Nếu T (t ), 0 £ t < ¥ là một nửa nhóm liên tục đều các tốn tử tuyến tính bị chặn thì
lim T (t ) - T (s ) = 0 .

(1.2)

t s

Định nghĩa 1.1.2

Cho {T (t )}

t ³0

là nửa nhóm các tốn tử tuyến tính bị chặn, xác định trên X . Với h > 0, ta định

nghĩa toán tử Ah x xác định như sau

Ah x =

T (h )x - x
, x Ỵ X.
h

(1.3)

Kí hiệu D(A) là tập tất cả các x Ỵ X sao cho giới hạn lim Ah x tồn tại.
h 0

Ta xác định toán tử A trên D(A) như sau:
Ax = lim Ah x , x Ỵ D(A) .
h 0

(1.4)

Ta gọi toán tử A xác định như trên là tốn tử sinh của nửa nhóm T (t ), và D(A) là tập xác định
của A .
Định lí 1.1.3. Một tốn tử tuyến tính A là tốn tử sinh của một nửa nhóm liên tục đều nếu và chỉ

nếu A là một tốn tử tuyến tính bị chặn.
Chứng minh:


Cho A là một tốn tử tuyến tính bị chặn trên X , và đặt
(tA)n
.
n!
n =0
¥

T (t ) = e tA = å

(1.5)

Vế phải (1.5) hội tụ theo chuẩn với mọi t ³ 0, và xác định với mỗi t là một tốn tử tuyến tính bị
chặn T (t ) .
Rõ ràng T (0) = I , và với cách tính trực tiếp trên chuỗi lũy thừa, ta có:

T (t + s ) = T (t ).T (s )
Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên, ta có:

T (t ) - I £ t A e

t A

T (t ) - I
- A £ A T (t ) - I .
t

và

Suy ra T (t ) là nửa nhóm liên tục đều các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X , và A là toán tử sinh
của T (t ) .
Mặt khác, cho T (t ) là một nửa nhóm liên tục đều các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X .

r

Cố định r > 0 đủ nhỏ sao cho I - r

-1

ò T (s )ds

< 1.

0

r

Suy ra r

-1

r

ò T (s )ds là khả nghịch và vì vậy ị T (s )ds l kh nghch.
0

0

Mt khỏc
r
r
r
ử
ữ
1
1ổ
ỗ
ữ
(T (h ) - I ) ũ T (s )ds= h ỗũ T (s + h )ds - ũ T (s)ds ữ
ỗ
ữ
ỗ0
h
ữ
ỗ
ố
ứ
0
0
r +h
h
ử
1ổ
ỗ
ữ
ỗ ũ T (s )ds -ũ T (s )ds ữ.
= ỗ

ữ
ữ
ỗ r
hỗ
ữ
ố
ứ
0

Vỡ vy
h
ổ 1 r +h
ử h
ữ
1
1
ỗ
ữ
(T (h ) - I ) = çh ị T (s)ds- h ị T (s)ds÷(ị T (s)ds)-1
ç
÷
ç r
h
ữ 0
ỗ
ố
ứ
0

(1.6)

Trong (1.6), cho h  0 ta có

1
(T (h ) - I ) hội tụ theo chuẩn. Do đó tốn tử tuyến tính bị chặn
h

r

(T (r) - I )(ị T (s)ds)

-1

là toán tử sinh của T (t ) .

0

Toán tử sinh của nửa nhóm T (t ) là duy nhất. Định lí sau sẽ chứng minh cho khẳng định trên.
Định lí 1.1.4. Cho T (t ) và S (t ) là nửa nhóm liên tục đều các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X .

T (t ) - I
S (t ) - I
thì T (t ) = S (t ), với mọi t ³ 0 . (1.7)
= lim
t 0
t 0
t
t

Nếu A = lim
Chứng minh:

Cho T > 0, chúng ta chứng minh rằng S(t ) = T (t ), với 0 £ t £ T .
Cố định T > 0, vì hàm t  T (t ) , và t  S (t ) liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho:
T (t ) S (t ) £ C , với 0 £ t, s £ T .

Cho e > 0, do (1.7) nên tồn tại số d > 0 sao cho:

1
e
T (h ) - S (h ) <
, với 0 £ h £ d .
h
TC
Cho 0 £ t £ T , và chọn n ³ 1 sao cho

t
n

Từ tính chất của nửa nhóm và từ (1.8), ta có:

t
t
T (t ) - S (t ) = T (n ) - S (n )
n
n
ỉ
ỉ

t ư kt
t ư (k + 1)t
ữ
ữ
Ê ồ T ỗ(n - k ) ữ S ( ) - T ỗ(n - k - 1) ữ S (
)
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
nữ n
nữ
n
ố
ứ
ố
ứ
k =0
n -1

n -1
ổ
ử
tữ
t
t
kt
ữ

Ê ồ T ỗ(n - k - 1) ÷ T ( ) - S ( ) S ( )
ỗ
ỗ
nữ
n
n
n
ố
ứ
k =0

Ê Cn

e t
Ê e.
TC n

Vy S(t ) = T (t ), với mọi 0 £ t £ T .
Do hai định lí trên ta có kết quả sau:
Cho T (t ) là nửa nhóm liên tục đều các tốn tử tuyến tính bị chặn, ta có:

(1.8)


a) Tồn tại hằng số w ³ 0, sao cho T (t ) £ e wt .
b) Tồn tại toán tử bị chặn duy nhất A, sao cho T (t ) = e At .
c) Toán tử A trong phần b) là toán tử sinh của T (t ) .
d) t  T (t ) khả vi theo chuẩn, và

dT (t )

= AT (t ) = T (t )A .
dt

1.2. Nửa nhóm liên tục mạnh các tốn tử tuyến tính bị chặn

Trong phần này ta kí hiệu X là khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1

Một nửa nhóm T (t ), 0 £ t < ¥ các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X là nửa nhóm liên tục
mạnh nếu
limT (t )x = x , với mọi x Ỵ X .

(1.9)

t 0

Một nửa nhóm liên tục mạnh các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là một nửa nhóm của
lớp C 0 hay gọi tắt là nửa nhóm _C 0 .
Định lí 1.2.2. Cho T (t ) là nửa nhóm _C 0 , khi đó tồn tại hằng số w ³ 0 và M ³ 1, sao cho:
T (t ) £ M .e wt , với 0 £ t < ¥ .

(1.10)

Chứng minh:

Trước hết ta thấy tồn tại số h > 0, sao cho T (t ) là bị chặn trong 0 £ t £ h, vì nếu trái lại thì
có dãy {tn } thõa tn ³ 0, lim tn = 0, và T (tn ) ³ n.
n ¥

Áp dụng định lí bị chặn đều, tồn tại x Î X sao cho T (tn )x là không bị chặn. Điều này mâu thuẫn

với (1.9). Vì vậy T (t ) £ M , với mọi 0 £ t £ h.
Do đó M ³ T (0) = 1.
Cho w =

1
log M ³ 0, và t ³ 0, ta có t = nh + d , với 0 £ d < h .
h

Áp dụng tính chất của nửa nhóm, ta thu được
n

T (t ) = T (d)T (h) £ M

n +1

t
h

£ M .M = M .e wt .


Hệ quả 1.2.3. Nếu T (t ) là nửa nhóm _C 0 thì với mọi x Ỵ X , t  T (t )x là một hàm liên tục từ
 + (đường thẳng thực không âm) vào X .
0

Chứng minh:

Cho t, h ³ 0, ta có:
T (t + h )x - T (t )x £ T (t ) T (h )x - x

£ M .e wt T (h )x - x .
và cho t ³ h ³ 0, ta có:

T (t - h )x - T (t )x £ T (t - h ) x - T (h )x

£ M .e wt x - T (h )x .
Cho h  0, áp dụng tính chất liên tục mạnh của nửa nhóm T (t ), suy ra hàm t  T (t )x là liên
tục từ  + vào X .
0
Định lí 1.2.4. Cho T (t ) là nửa nhóm _C 0 và cho A là tốn tử sinh của nó, ta có:

1
a) Với x Ỵ X , lim
h 0 h

t +h

ò T (s )xds = T (t )x .

(1.11)

t

t

b) Cho x ẻ X , ũ T (s )xds ẻ D(A)
0

ổt
ử

ữ
ỗ
v A ỗ ũ T (s )xds ữ = T (t )x - x .
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ0
ố
ứ

(1.12)

c) Cho x ẻ D(A), T (t )x Ỵ D(A)
và

d
T (t )x = AT (t )x = T (t )Ax .
dt
t

d) Cho x Ỵ D(A), T (t )x - T (s )x =

(1.13)
t

ò T (r )Axdr = ò AT (r )xdr .
s

s

Chứng minh:

a) Phần này được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của t  T (t )x .
b) Cho x Ỵ X , và h > 0, ta có:

(1.14)


T (h ) - I
h

t

t

1
ò T (s )xds = h ò (T (s + h )x -T (s )x )ds
0
0
1
=
h

t +h

ò
0

h

1
T (s )xds - ò T (s )xds.
h 0

Cho h  0, vế phải tiến đến T (t )x - x , ta có điều phải chứng minh.
c) Cho x Ỵ D(A) và h > 0, ta có:

ỉT (h ) - I ư
T (h ) - I
÷ x  T (t )Ax khi h  0 .
÷
T (t )x = T (t ) ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
h
h
ố
ứ

(1.15)

vỡ vy T (t )x ẻ D(A) và AT (t )x = T (t )Ax .
d+
Từ (1.15), suy ra
T (t )x = AT (t )x = T (t )Ax . Nghĩa là đạo hàm bên phải của T (t )x là
dt

T (t )Ax . Chứng minh (1.13) ta chứng minh rằng với t > 0 , đạo hàm bên trái của T (t )x tồn tại, và
bằng T (t )Ax .
Ta có

éT (t )x - T (t - h )x
ù
lim ê
- T (t )Ax ú
ú
h 0 ê
h
ë
û
éT (h )x - x
ù
= limT (t - h ) ê
- Ax ú + lim (T (t - h )Ax - T (t )Ax ) .
ê
ú h 0
h 0
h
ë
û

và cả hai giới hạn bên phải đều bằng 0.
Giới hạn thứ nhất bằng 0 do x Ỵ D(A), và T (t - h ) bị chặn trên 0 £ h £ t , giới hạn thứ hai là
do tính liên tục mạnh của T (t ) .
Kết thúc chứng minh kết quả (c).
d) Chứng minh phần này ta lấy tích phân từ s đến t cho 2 vế của (1.13).
Hệ quả 1.2.5. Nếu A là tốn tử sinh của nửa nhóm T (t ) và T (t ) là nửa nhóm _C 0 thì tập xác

định D(A) của A trù mật trong X , hơn nữa A là tốn tử tuyến tính đóng.
Chứng minh:


t

1
Với x Ỵ X , xét tập x t = ò T (s )ds .
t 0

Do kết quả b)

của định lí 1.2.4 nên x t Ỵ D(A), với t > 0 và do kết quả a) của định lí 1.2.4 nên x t  x khi
t  0 . Vì vậy D(A) = X .

Tính chất tuyến tính của A là rõ ràng, vì vậy ta chỉ cần chứng minh A là ánh xạ đóng.
Cho x n Ỵ D(A) , x n  x và Ax n  y khi n  ¥ .
Từ kết quả d) của định lí 1.2.4, ta có:
t

T (t )x n - x n = x t =

ị T (s)Ax ds
n

(1.16)

0

Ta có hàm T (s )Ax n hội tụ đều đến T (s )y trên một khoảng bị chặn, do vậy trong (1.16) khi

n  ¥ , ta có:
t

T (t )x - x =

ị T (s)yds

(1.17)

0

Chia (1.17) cho t > 0, và cho t  0 , ta có x Ỵ D(A) và Ax = y , (do kết quả a) của định lí
1.2.4).
Định lí 1.2.6. Cho T (t ) và S (t ) là nửa nhóm _C 0 của các tốn tử tuyến tính bị chặn với hai toán
tử sinh tương ứng là A và B. Nếu A = B thì T (t ) = S (t ), với mọi t ³ 0
Chứng minh:

Cho x Ỵ D(A) = D(B ) . Từ kết quả c) của định lí 1.2.4, ta có hàm s  T (t - s )S (s )x khả vi
và

d
T (t - s )S (s )x = -AT (t - s )S (s )x + T (t - s )BS (s )x
ds
= -T (t - s )AS (s )x + T (t - s )BS (s )x = 0
Vì vậy hàm s  T (t - s )S (s )x là hàm hằng. Trong trường hợp đặc biệt giá trị của nó ở s = 0 và

s = t là giống nhau , tức là T (t )x = S (t )x với mọi x Ỵ X . Do đó điều này cũng đúng cho mọi
x Ỵ D(A) .

Do hệ quả 1.2.5, D(A) trù mật trong X , và T (t ), S (t ) bị chặn nên T (t )x = S (t )x , với mọi

x ỴX.
1.3.Định lí Hille-Yosida

Cho T (t ) là một nửa nhóm _C 0 . Từ định lí 1.2.2, ta có hằng số w ³ 0 và M ³ 1 , Sao cho:
T (t ) £ M .e wt , với 0 £ t < ¥ .

Nếu w = 0 thì T (t ) được gọi là bị chặn đều.
Nếu M = 1 thì T (t ) được gọi là nửa nhóm _C 0 rút gọn.
Nếu A là tốn tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) trong X , tập giải r(A) của tập A là tập
-1

hợp gồm tất cả các số phức l sao cho lI - A có ánh xạ ngược, tức là (lI - A)

là tốn tử tuyến

tính bị chặn trong X .
-1

Họ R(l, A) = (lI - A) , l Ỵ r(A) được gọi là giải thức của A .
Định lí 1.3.1.(Hille – Yosida)

Một tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn ) A là tốn tử sinh của nửa nhóm _C 0 rút gọn

T (t ) , t ³ 0 nếu và chỉ nếu
a) A là đóng và D(A) = X
b) Tập giải r(A) của A là tập chứa  + , và cho l > 0, ta có:
R(l, A) £

1
l

(1.18)

Định lí 1.3.2. Cho T (t ) là nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X , và A là toán tử sinh của nó
thõa hai điều kiện của định lí 1.3.1. Khi đó ta có kết quả sau

lim lR(l, A)x = x , "x ẻ X .

l Ơ

Chng minh:

u tiờn gi s rng x Ỵ D(A), thì
lR(l, A)x - x = AR(l, A)x = R(l, A)Ax

£

1
Ax  0 khi l  ¥ .
l


Nhưng D(A) = X , ( D(A) trù mật trong X và lR(l, A) £ 1 ).
Vì vậy lim lR(l, A)x = x , "x ẻ X .
l Ơ

1.4. Na nhóm các tốn tử tuyến tính và bài tốn Cauchy.

Chúng ta xét một phương trình vi phân và quan hệ của nó với nửa nhóm các tốn tử tuyến
tính.
Cho X là khơng gian Banach, và A là tốn tử tuyến tính từ D(A) Ì X  X . Cho x Î X , bài
toán Cauchy của A với giá trị đầu x là:
ìdu(t )
ï
ï
= Au(t ), t > 0
ï
ï dt
í
ï
ïu(0) = x
ï
ï
ỵ

(1.19)

Nghiệm của bài tốn là một hàm u(t ) có giá trị trong X , sao cho u(t ) liên tục với mọi t ³ 0 ,
khả vi liên tục và u(t ) Ỵ D(A), với mọi t > 0 , đồng thời thõa (1.19).
Rõ ràng nếu A là tốn tử sinh của nửa nhóm _C 0T (t ) thì bài tốn Cauchy theo A có nghiệm

u(t ) = T (t )x , với mọi x Ỵ D(A).
Thật vậy theo định lí 1.2.4, ta có:
d
T (t )x = AT (t )x = T (t )Ax
dt

và

T (0)x = x .

Bây giờ ta xét bài tốn giá trị đầu khơng thuần nhất
ìdu(t )
ï
ï
= Au(t ) + f (t ), t > 0
ï
ï dt
í
ï
ïu(0) = x
ï
ï
ỵ

(1.20)

với f : éêë0,T éêë  X , và A là tốn tử sinh của nửa nhóm _C 0T (t ) sao cho phương trình thuần nhất
tương ứng (tức là phương trình với f º 0 ) có nghiệm duy nhất với mọi giá trị đầu x Î D(A) .
Định nghĩa 1.4.2


Một hàm u : éêë 0,T éêë  X được gọi là một nghiệm mạnh của (1.20) trên éêë 0,T éêë nếu u liên tục
trên

é 0,T é , khả vi liên tục trên
êë
êë

ù 0,T é , u(t ) Ỵ D(A) với 0 < t < T , đồng thời thõa mãn (1.20) trên
úû
êë

é 0,T é .
êë
êë

Cho T (t ) là nửa nhóm _C 0 với tốn tử sinh A, và u là một nghiệm của (1.20). Khi đó hàm có
giá trị trong X , g(s ) = T (t - s )u(s ) khả vi với mọi 0 < s < t .
dg
= -AT (t - s )u(s ) + T (t - s )u ¢(s )
ds

và

= -AT (t - s )u(s ) + T (t - s )Au(s ) + T (t - s )f (s )

(1.21)

= T (t - s )f (s ) .
Nếu f Ỵ L1(0,T : X ) thì T (t - s )f (s ) khả tích, và lấy tích phân hai vế của (1.21) từ 0 đến t , ta
có:
t
t
0

T (t - s )u(s ) | =

ò T (t - s )f (s )ds

0

t

Do đó

u(s ) -T (t )x

=

ị T (t - s )f (s )ds
0
t

u(t )

Hay

=T (t )x + ò T (t - s )f (s )ds

(1.22)

0

Từ định nghĩa trên suy ra nếu f Ỵ L1(0,T : X ) thì với mọi x Ỵ X , bài tốn giá trị đầu (1.20) có
nhiều nhất một nghiệm. Trong trường hợp nó có nghiệm thì nghiệm này được xác định bởi (1.22).
Định nghĩa 1.4.3

Cho A là tốn tử sinh của nửa nhóm _C 0T (t ) . Cho x Ỵ X và f Ỵ L1(0,T : X ) . Hàm
u ỴC

(éêë0,T ùúû : X ) được cho bởi:
t

u(t ) =T (t )x + ò T (t - s )f (s )ds , 0 £ t £ T .
0

là một nghiệm yếu (mild solution) của bài tốn giá trị đầu (1.20) trên
Định lí 1.4.4.

é 0,T ù .
êë
úû


Cho A là tốn tử sinh của nửa nhóm _C 0T (t ) Cho f Ỵ L1(0,T : X ) liên tục trên éêë 0,T ùúû và cho
t

v(t ) = ò T (t - s )f (s )ds,

0 £ t £T .

0

Bài tốn (1.20) có nghiệm mạnh u trên éêë 0,T éêë với mọi x Ỵ D(A) nếu một trong hai điều kiện sau
được thõa mãn
i) v(t ) khả vi liên tục trên ùúû 0,T éêë .
ii) v(t ) Ỵ D(A) với 0 < t < T , và Av(t ) liên tục trên

ù 0,T é .

úû
êë

Nếu (1.20) có nghiệm u trên éêë 0,T éêë vơi một x Ỵ D(A) nào đó thì v(t ) sẽ thõa cả
hai điều kiện i) và ii).
Hệ quả 1.4.5. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm _C 0T (t ) . Nếu f (s ) khả vi liên tục trên éêë 0,T ùúû
thì bài tốn (1.20) có nghiệm mạnh u trên éêë 0,T éêë , với mọi x Ỵ D(A) .
Định nghĩa 1.4.6

Cho (A(t ), D(A(t ))) , t Ỵ  cho (A(t ), D(A(t ))) , t Ỵ  là tốn tử tuyến tính trên khơng gian
Banach X , cho s Î  và x Î D(A(s )) . Một nghiệm (cổ điển) của bài tốn Cauchy non –
autonomous:
ìu ¢(t ) = A(t )u(t )
ï
ï
ï
, với t, s Ỵ X , t ³ s.
í
ïu(s ) = x
ï
ï
ỵ

(1.23)

là một hàm u(., s, x ) = u ẻ C 1 ([s, Ơ), X ), sao cho u(t ) Ỵ D(A(t )), và thõa mãn
bài toán với mọi t ³ s .
Bài toán Cauchy (1.23) được gọi là đặt - đúng trên không gian Yt nếu có một khơng gian con
trù mật Ys Í D(A(s )) , s Ỵ  của X sao cho với s Ỵ , và x Ỵ Ys , bài tốn có duy nhất một
nghiệm

t  u(t, s, x ) Î Yt .



u(t, sn , x n )  u(t, s, x ) . Với

Đồng

thời

nếu

sn  s và

(x n ) Í Ysn ; x n  x Ỵ Ys ,

ta

có


ìu(t, s, x ),
ï
ï
(t, s, x ) := ï
u
í
ïx ,
ï

ï
ỵ

t ³s
t
.

1.5.Hàm hầu như tuần hoàn.(almost periodic functions).
1.5.1 Định nghĩa (tiêu chuẩn Bochner).

Một hàm f bị chặn và liên tục được gọi là hầu như tuần hoàn ( almost Perio
dic functions) nếu với mỗi dãy số {tn }

¥

n =1

{ }

, tồn tại dãy con tn

¥

k

k =1

{

}

sao cho dãy hàm f (tn + .)
k

¥

k =1

hội tụ đều trên  .
Nếu f là hàm hầu như tuần hồn thì tồn tại giới hạn

1
a(l, f ) := lim
t ¥ 2t

t

ịe

-ilx

f (x)d x .

-t

Ta chứng minh được rằng tập hợp sb ( f ) = {l ẻ R | a(l, f ) ạ 0}, tồn tại và được gọi là phổ
Bochner của f .
1.6. Phổ, tập giải của ánh xạ tuyến tính liên tục.

Cho X là khơng gian Banach trên trường 
Kí hiệu L(X ) = L(X , X ) , IsomX = { A Ỵ L(X ) : A là song ánh}.
1.6.1 Định lí
i) Nếu A < 1 thì I - A thuộc IsomX và
-1

(I - A)

¥

= å An = I + A + A2 + ...
n =0

ii) Nếu A0 Ỵ IsomX và A Ỵ L(X ) thõa mãn điều kiện A - A0 <

1
A0 1

thì A Ỵ IsomX . Từ

đó suy ra IsomX là tập mở trong L(X ).
1.6.2 Định nghĩa

Cho X là không gian Banach trên trường  , và A Î L(X ) .
i) Số l Î  gọi là giá trị chính qui của A nếu A - lI Î IsomX .
Tập tất cả các giá trị chính qui của A gọi là tập giải của A , kí hiệu là r(A) .


ii) Tập s(A) =  \ r(A) gọi là phổ của A .
Như vậy l Ỵ s(A) khi và chỉ khi A - lI không là đơn ánh hoặc A - lI khơng là tồn ánh.

Nếu A - lI khơng là đơn ánh thì l được gọi là giá trị riêng của A .
Khi đó N (A - lI ) = Ker(A - lI ) gọi là không gian riêng của A .
Mỗi x Ỵ N (A - lI ) \ {0}, ( hay Ax = lx , x ¹ 0 ) gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng l .
Định lí 1.6.3. Cho X ¹ {0} là khơng gian Banach trên trường  . Khi đó s(A) là tập compact,
khơng rỗng, chứa trong hình trịn đóng tâm O, bán kính A của  .
Định nghĩa 1.6.4

Cho A Ỵ L(X ) , số r (A) = sup{| l |: l Ỵ s(A)} gọi là bán kính phổ của A .
Định lí 1.6.5
Bán kính phổ của A được tính bởi cơng thức r (A) = lim n An .
n ¥

Chứng minh những định lí trên chúng ta tham khảo tài liệu:
“Bổ sung về giải tích hàm” của PGS.TS Nguyễn Bích Huy mục 1.1, 1.2, và 1.3 trang 12, 13,14”.
1.7. Phổ của nửa nhóm và hàm sinh.
Định nghĩa 1.7.1

Cho A : D(A) Ì X  X là tốn tử đóng, s(A) = sup {Re l : l Ỵ s(A)} được gọi là biên phổ
(spectral bound) của A .
Chú ý rằng s(A) có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào bao gồm -¥ (nếu s(A) = f ), và +¥ .
Nếu A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh Á = (T (t ))

t ³0

, thì s(A) luôn luôn bị chặn bởi:

{

}

w0 =: w0 (Á) := inf w Ỵ  : có M w ³ 1 saocho T (t ) £ M we wt , "t ³ 0

của nửa nhóm (xem định nghĩa I.5.6 và mệnh đề II.1.13).
Mệnh đề 1.7.2. Cho biên phổ s(A), và w0 của nửa nhóm (T (t ))

t ³0

, ta có:

1
1
-¥ £ s(A) £ w0 := inf log T (t ) = lim log T (t )
t >0 t
t ¥ t
=

1
log r (T (t0 )) < ¥ .
t0


cho mỗi t0 > 0 .
Đặc biệt bán kính phổ của nửa nhóm (T (t ))

wt

t ³0

, r(T (t )) = e 0 , với mọi t ³ 0.

Chứng minh của mệnh đề trên chúng ta tham khảo:
“One-Parameter-Semigroups for Linear -Evolution Equations chương IV mệnh đề 2.2”.
Hệ quả 1.7.3. Cho (T (t )) là nửa nhóm liên tục đều với hàm sinh ( bị chặn ) là A . ta có:
t ³0

s(A) = w0
Chứng minh:
Từ định lí phổ ánh xạ cho nửa nhóm liên tục (xem bổ đề I.3.13), ta có:
r(T (t )) = e s (A)t
Do đó s(A) = w0 (mệnh đề 2.2).
Hệ quả 1.7.4. Cho (T (t ))

t ³0

là nửa nhóm liên tục mạnh với hàm sinh là A và w0 = -¥, ta có:

r(T (t )) = 0, với mọi t > 0 và s(A) = f .
1.8. Họ tiến hóa tuần hồn trên khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.8.1

Cho X là không gian Banach phức, và L(X ) là đại số Banach gồm các toán tử tuyến tính bị
chặn trên X .
Kí hiệu . là chuẩn của các véc tơ trong X và các toán tử trong L(X ) .
Họ U = {U (t, s ) : t ³ s ³ 0} Ì L(X ) được gọi là họ tiến hóa trên  + của các tốn tử tuyến
tính bị chặn trên X nếu và chỉ nếu
(e1)

U (t, r ) = U (t, s ) (s, r ) với mọi t ³ s ³ r ³ 0 và U (t, t ) = I với mọi t ³ 0. ( I là
U

toán tử đồng nhất trong L(X ) ).
(e2)

Ánh xạ {(t, s ) : t ³ s ³ 0} 

X

(t, s )  U (t, s )x , là liên tục với mỗi x Ỵ X .
Một họ tiến hóa là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại w Ỵ , và M w > 0 sao cho
U (t, s ) £ M we w(t -s ) với mọi t ³ s ³ 0.

và được gọi là ổn định lũy thừa nếu (1.24) đúng với số w < 0 .
Nếu họ tiến hóa thõa mãn điều kiện
(e3)

U (t, s ) = U (t - s, 0) với mọi t ³ s ³ 0 , thì họ

(1.24)


T = {U (t, 0) : t ³ 0} Ì L(X ) là nửa nhóm liên tục mạnh trên X .
Họ tiến hóa tương ứng U là tuần hồn chu kỳ q nếu
(e4)

U (t + q, s + q ) = U (t, s ) với mọi t ³ s ³ 0 .

Bổ đề1.8.2. Cho T Ỵ L(X ). Nếu sup
n ẻ

n

ồe
k =0

i mk

T k = M m < Ơ , "m Ỵ  , thì r (T ) < 1.

Chứng minh:

Ta có đồng nhất thức
n

åe

i mk

T k (e i mT - I ) = e i m(n +1)T n +1 - I .

(1.25)

k =0

Từ (1.25), ta có:

e i m(n +1)T n +1 £ 1 + M m (1 + T ) , "n Ỵ  .

(1.26)

Suy ra r (T ) £ 1 .

Giả sử 1 Ỵ s(T ). Suy ra tồn tại dãy (x m ), x m = 1 sao cho lim (I - T )x m = 0 , (xem [9], mệnh
m ¥

đề 2.2, p.64).
Từ (1.26) suy ra T k (I - T )x m hội tụ đều về 0 khi m  ¥ cho mỗi k Î  .
Cho N Î , N > 2M 0 và m Ỵ  sao cho

T k (I - T )x m Ê

1
, k = 0,1,2,..., N .
2N

thỡ
k -1
ổ
ử
ỗx + T j (T - I )x ÷
÷
M 0 ³ xm + ồ ỗ m ồ
mữ
ỗ
ữ
ố
ứ
k =1 ỗ
j =0
N

N

k -1

= (N + 1)x m + å åT j (T - I )x m
k =1 j = 0

³ (N + 1) -

N (N + 1) N
>
> M 0 , (mâu thuẫn).
4N
2

Suy ra 1 Ï s(T ) .
Mặt khác ta cũng có e i m Ï s(T ) , với m Ỵ  . Do đó r (T ) < 1 .


Bổ đề 1.8.3. Một họ U tiến hóa tuần hồn chu kỳ q là ổn định lũy thừa nếu và chỉ nếu r ( ) < 1,
V
với V = U (q, 0) Ỵ L(X ).

Chứng minh bổ đề 1.5.4 ta tham khảo:
“Bus¸e C., Asymptotic stability and Perron condition for periodic evolution families on the half
line, Evolution Equations and Semigroups(preprint),
/>Định lí 1.8.4. ChoU = {U (t, s ) : t ³ s ³ 0} Ì L(X ) là họ tiến hóa tuần hồn chu kỳ q trên khơng
gian Banach X .
Nếu sup
t >0

ịe

-i mx

U (t, x)f (x)d x < ¥ , "m Ỵ , "f Ỵ Pq ( +, X ),

(1.27)

thì U ổn định lũy thừa.
Chứng minh:

Cho V = U (q, 0) Ỵ L(X ) , x Ỵ X , n = 0,1,... , và g Ỵ Pq ( +, X ) sao cho

g(x ) = x(q - x ) (x, 0)x , "x Ỵ [0,q] .
U
Từ (1.27), cho t = (n + 1)q , ta có:
n

sup
n Ỵ

(k +1)q

å ị
k =0

U ((n + 1)q, x )e -imxg(x)d x < ¥ ,

kq

Do U là họ tiến hóa tuần hồn chu kỳ q nên ta có:

U (pq + q, pq + u ) = U (q, u ) , "p Ỵ , "u Î éêë 0, q ùúû .
Và

U (pq, jq ) = U ((p - j )q, 0) = V p - j , "p Ỵ , "j Ỵ , p ³ j .

Bây giờ cho k = 0,1,..., ta có:
(k +1)q

ị

U ((n + 1)q, x)e -i mxg(x )d x

kq

(k +1)q

=

ò

U ((n + 1)q,(k + 1)q ) ((k + 1)q, x )e -i mxg(x)d x
U

kq
q

=V

n -k

ò U ((k + 1)q, u + kq )e
0

-i m(u +kq )

g(u + kq )du

"m Ỵ  .

(1.28)


q

=e

-i mkq

V

n -k

òe

-i mu

u(q - u ) (q, u ) (u, 0)xdu
U

U

0

=e

-i mkq

ổq
ử
ỗ -i mu
ữ
ỗ ũ e u(q - u )du ữV n -k +1x
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ0
ố
ứ

= M (m, q )e -i m(n +1)qe i m(n -k +1)qV n -k +1x .
q

với

M (m, q ) =

ịe

-i mu

u(q - u )du ¹ 0 .

0

Trở lại (1.28) ta thu được
n +1

sup
n Ỵ

åe

i m jq

Vj <¥

j =0

V
Áp dụng bổ đề 1.8.2 ta thu được r ( ) < 1 .
Áp dụng bổ đề 1.8.3 suy ra U ổn định lũy thừa.

Chú ý:
Qua chứng minh trên ta thấy chiều ngược lại của định lí 1.8.4 cũng đúng.


CHƯƠNG II
LỜI GIỚI THIỆU VÀ CÁC KẾT QUẢ

2.1. Lời giới thiệu

Cho X là không gian Banach phức, L(X ) là đại số Banach gồm các tốn tử tuyến tính, bị
chặn trên X .
Kí hiệu . là chuẩn của các véc tơ trong X , và các toán tử trong L(X ).  + là tập hợp các số thực
không âm, J là tập  hay  + .
Không gian Banach gồm các hàm nhận giá trị trên X , bị chặn và liên tục đều trên J kí hiệu là

BUC (J , X ) .
Không gian Banach gồm các hàm nhận giá trị trên X , hầu như tuần hoàn trên J kí hiệu là

AP (J , X ) .
Ta chứng minh được AP (J , X ) là không gian con đóng nhỏ nhất của khơng gian BUC (J , X )
chứa các hàm có dạng

fm,x : J  X
t  fm,x (t ) := e i mt x , m Ỵ , x Ỵ X , (Xem mục [14]).
Tập hợp các hàm nhận giá trị trên X , xác định trên  + mà tồn tại t f ³ 0, và Ff Ỵ AP ( +, X )
sao cho:

ì f (t ) = 0,
ï
t Ỵ [0, t f ]
ï
ï
í
ï f (t ) = F (t ), t ³ t
ï
f
f

ï
ỵ
kí hiệu là A0 ( +, X ) .
AP0 ( +, X ) là khơng gian con đóng nhỏ nhất trong BUC ( +, X ) chứa được A0 ( +, X ) .

Không gian con của BUC (J , X ) gồm các các hàm nhận giá trị trên X , liên tục, tuần hoàn chu kỳ
1, và thõa mãn f (0) = 0 kí hiệu là P10 (J , X ) .
Một hàm đa thức lượng giác nhận giá trị trên X được cho bởi:
P :  X


n

t  P (t ) = å cke

i mk t

k =-n

x k , ck Ỵ , mk Ỵ , x k Ỵ X .

Tập hợp các hàm f xác định trên  + mà tồn tại t f ³ 0, và một tổng lượng giác nhận giá trị trên
X là p f sao cho:

ì f (t ) = 0,
ï
t Ỵ [0, t f ]
ï
ï
í

ï f (t ) = p (t ), t ³ t
ï
f
f
ï
ỵ
được kí hiệu là TP0 (R+, X ) .
Ta có TP0 ( +, X ) là tập con của A0 ( +, X ), và P10 ( +, X ) là bao đóng của TP0 ( +, X ) trong
không gian BUC ( +, X ) .
Cho T = {T (t ) : t ³ 0} Ì L(X ) là nửa nhóm liên tục mạnh trên X , và

A : D(A) Ì X  X là hàm sinh của nửa nhóm T (t ) .
Ta biết rằng bài tốn Cauchy

ìu ¢(t ) = Au(t )
ï
ï
ï
, với t 0, x ẻ X .
ớ
ùu(0) = x
ù
ù
ợ

(2.1.1)

(xem [22, 23, 15] và trong phần tóm tắt các phương trình đạo hàm riêng ) có
nghiệm yếu đặt đúng là:

u(t ) = T (t )x , (t ³ 0).
Tuy nhiên nếu f :  +  X là hàm khả tích địa phương thì nghiệm yếu của
bài tốn Cauchy khơng thuần nhất

ìu ¢(t ) = Au(t ) + f (t )
ï
ï
ï
, với t 0, y ẻ X .
ớ
ùu(0) = y
ù
ù
ợ
cú dng:
t

u f (t, y ) = T (t )y + ò T (t - z )f (z )d z , t ³ 0 .
0

Với bài toán Cauchy đặc biệt


ìu ¢(t ) = Au(t ) + e i mt x
ï
ï
ï
, với t ³ 0, x Ỵ X , m Ỵ .
í
ïu(0) = 0

ï
ï
ỵ
thì nghiệm có dạng:
t

u f (t, 0) = u m,x (t ) =

ò T (t - z )e

i mz

xd z , t ³ 0 .

0

Theo định lí Datko-Neven ([8, 18]) thì nửa nhóm liên tục mạnh T = {T (t ) : t ³ 0} Ì L(X ) là
ổn định lũy thừa, tức là tồn tại các hằng số N > 0, và n > 0 sao cho:
T (t ) £ Ne -vt , với mọi t ³ 0

khi và chỉ khi nó bị chặn trên một không gian của Lp ( +, X ), hay C 0 ( +, X ) bởi phép biến đổi
tích chập. Hay với một cách phát biểu khác nếu c là không gian Lp ( +, X ), hoặc C 0 ( +, X ) thì
nửa nhóm liên tục mạnh T là ổn định lũy
thừa khi và chỉ khi với mỗi hàm f Ỵ c nghiệm u f (., 0) Ỵ c .
Ở đây C 0 ( +, X ) là không gian các hàm nhận giá trị trên X , liên tục và triệt tiêu tại vô cực với
chuẩn sup, Lp ( +, X ) là không gian Lebesgue – Bochner chứa các hàm đo được f :  + X ,
bng nhau hu khp ni v tha món:
1

f

p

ổƠ
ửp
p
ỗ
ữ
ỗ ũ f (s ) ds ữ < Ơ .
=ỗ
ữ
ữ
ỗ0
ữ
ố
ứ

Khi X là khơng gian Hilbert phức, định lí Neerven – Vu ([19, 20, 24]) chỉ ra rằng nửa nhóm liên
tục mạnh T trên X là ổn định lũy thừa nếu và chỉ nếu
sup sup u m,x (t ) = M (x ) < Ơ , vi mi x ẻ X .

(2.1.2)

mẻ  t ³0

-1

Mặt khác Neerven và Vu đã chứng minh được nếu (2.1.2) đúng thì giải thức R(l, A) := (l - A)

tồn tại và bị chặn đều trong {l Î  : Re(l) > 0} . Hơn nữa kết quả này cũng đúng cho nửa nhóm

xác định trên khơng gian Banach. Định lí Gearhart – Pruss-Herbst – Howland (xem [10, 11, 12,
13, 21, 25]) cho thấy, nếu giải thức của nửa nhóm trên khơng gian Hilbert là bị chặn đều trong