module chia được trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----------------------------------

Hồ Xuân Quân

MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN VÀNH
GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------------

Hồ Xuân Quân

MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN VÀNH
GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Huyên

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CÁM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được rất
nhiều sự giúp đỡ, động viên, quý báu của Ban giám hiệu, của quý Thầy cô và của các
bạn học viên khóa 22, Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Trước hết, Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy TS. Trần Huyên đã dành thời
gian chỉnh sửa và có những chỉ dẫn quý báu giúp em có thể hoàn thành luận văn.
Em cũng xin gửi lời cám ơn chân thành đến toàn thể quý Thầy đã tận tình giảng
dạy giúp chúng em trang bị những kiến thức bổ ích trong suốt quá trình học tập.
Kế đến, tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán và Phòng sau đại
học, Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có
thể hoàn thành luận văn trong thời gian cho phép.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình, những người luôn động viên và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Bên cạnh đó, sự chia sẻ và động
viên của tất cả các bạn “Cao học đại số và lý thuyết số, khóa 22” đã giúp tôi hoàn
thành tốt khóa học này.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 9 năm 2013

Hồ Xuân Quân

1


MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 4
1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ module .........................................................4
1.2. Dãy khớp .......................................................................................................................5

1.3. Module nội xạ và module xạ ảnh ................................................................................6
1.4. Nhóm aben Ext ( X , Y ) ................................................................................................8
n

1.5. Hàm tử Ext .................................................................................................................9
1.6. Dãy khớp thuần khiết ................................................................................................11

CHƯƠNG 2: MODULE CHIA ĐƯỢC ................................................................... 15
2.1. Module chia được trên miền nguyên......................................................................15
2.1.1. Module chia được ..................................................................................................15
2.1.2. Module tối giản......................................................................................................22
2.2. Module chia được trên vành giao hoán ..................................................................24
2.2.1. Module chia được ..................................................................................................24
2.2.2. Liện hệ với dãy khớp thuần khiết ..........................................................................32
2.2.3. Một số tính chất về module con và module thương ..............................................35
2.2.4. Module tối giản......................................................................................................41

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 47

2


LỜI MỞ ĐẦU
Module chia được trên miền nguyên được đưa ra dựa trên cơ sở miền nguyên
không có ước thực sự của 0 . Tức là, tích của hai phần tử khác 0 thì khác 0 . Tuy
nhiên khi xét trên vành giao hoán thì tính chất trên không còn đúng. Do vậy một
hướng tiếp cận đơn giản khi đưa ra định nghĩa về module chia được trên vành giao
hoán là ta sẽ loại bỏ hết các phần từ là ước của 0 trên vành hệ tử R . Cụ thể như sau:
“Cho R là một vành giao hoán có đơn vị khác không. Khi đó, M là một module chia

được nếu với mọi λ ∈ R , λ không là ước của 0 thì M = λ M ”.
Hướng tiếp cận như trên có những hạn chế nhất định. Do đó ta sẽ đưa ra một định
nghĩa tốt hơn cho “module chia được trên vành giao hoán”. Đồng thời kết hợp với
một số khái niệm như: Dãy khớp thuần khiết, vành PP , vành chính quy,… để đưa ra
một số kết quả liên quan tới module chia được trên vành giao hoán.
Toàn bộ luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức đã được biết đến trong đại số đại cương, đại
số đồng điều để thuận tiện cho việc triển khai Chương 2.
Chương 2: Nội dung của chương 2 được chia làm 2 phần chính.
2.1. Trình bày một số kết quả về module chia được trên miền nguyên.
2.2. Đưa ra hai định nghĩa và những kết quả về module chia được trên vành giao
hoán.

3


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần kiến thức chuẩn bị này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết về
lý thuyết module cần dùng cho việc triển khai nội dung ở chương 2.
1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ module
1.1.1. Định nghĩa: Cho A, B là các R − module trái. Khi đó tập tích Descartes A × B
với hai phép toán cộng và nhân ngoài được định bởi,

( a1, b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) ,
r ( a, b ) = ( ra, rb ) ,

(

)(

)

Với mọi a1, b1 , a2 , b2 , ( a, b ) ∈ A × B và với mọi r ∈ R
là một module, được gọi là module tổng trực tiếp của hai module A và B , kí hiệu là:

A⊕ B .
1.1.2. Định nghĩa: Cho một họ bất kì các R − module trái {M i }i∈I . Khi đó tích
Descartes=
∏ M i {( xi )i∈I | xi ∈ M i} với hai phép toán như sau:
i∈I

( xi )

i∈I

+ ( x 'i )i∈I =+
( xi x 'i )i∈I ,
r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I ,

Với mọi ( xi )i∈I , ( x 'i ) ∈ ∏ M i và với mọi r ∈ R
i∈I
i∈I

là một R − module trái và được gọi là module tích trực tiếp của họ { X i }i∈I .
1.1.3. Định lý: ( tính phổ dụng của tích trực tiếp )([1], Định lý 5, trang 28)

4


Cho họ khác rỗng các R − module {M i }i∈I . Khi đó với bất kì R − module M , mỗi

họ đồng cấu { f i : M → M i } được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu

{ pi : ∏ M t → M i } . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu
t∈I

f : M → ∏ M i sao cho f i = pi f với mọi i ∈ I .
i∈I

1.1.4. Định nghĩa: Cho họ khác rỗng các R − module {M i }i∈I . Module con của

Mi
∏
i∈I

gồm các bộ số x = ( xi ) mà hầu hết các thành phần xi = 0 trừ ra một số hữu

hạn được gọi là module tổng trực tiếp của họ {Mi }i∈I và kí hiệu là

M i hay ⊕M i .
⊕
i∈I

1.1.5. Định lý: ( tính phổ dụng của tổng trực tiếp )([1], Định lý 6, trang 32)
Cho họ khác rỗng các R − module {M i }i∈I . Khi đó với bất kì R − module M , mỗi
họ đồng cấu { f t : M t → M } được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép
nhúng { jt : M t → ⊕M i } . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu

f : ⊕M i → M sao cho f t = fjt với mọi t ∈ I .
1.2. Dãy khớp
1.2.1. Một số định nghĩa:

Dãy các đồng cấu ( hữu hạn hay vô hạn )
f
g
→ B 
→ C 
→ ...
... → A 

được gọi là khớp tại module B nếu imf = ker g .
Một module trong dãy các đồng cấu được gọi là module trung gian nếu tại đó vừa có
đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.
Dãy các đồng cấu các R − module được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi module
trung gian.
5


f
g
Dãy khớp có dạng 0 → A 
→ B 
→ C 
→ 0 được gọi là dãy khớp ngắn.

Dãy khớp các đồng cấu
f
g
→ B 
→ C 
→ ...
... → A 

được gọi là chẻ ra tại module B nếu imf là một hạng tử trực tiếp của B , tức là tồn

B imf ⊕ B1 .
tại một module con B1 sao cho=
Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi module trung gian.
1.2.2. Định lý: ([1], Định lý 1, trang 40 )
χ
σ
Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0 → A 
→ B 
→ C 
→ 0 , ba phát biểu sau là

tương đương:
i.

Dãy là chẻ.

ii.

Đồng cấu χ có nghịch đảo trái.

iii.

Đồng cấu σ có nghịch đảo phải.

1.2.3. Mệnh đề: ([1], Hệ quả 2, trang 41)
f
g

Nếu dãy khớp ... → A 
→ B 
→ C 
→ ... chẻ ra tại B thì B ≅ Im f ⊕ Im g .

α
β
→ B 
→ C với β là một đơn cấu thì
1.2.4. Mệnh đề: Cho dãy khớp 0 → A 

A = 0.

Chứng minh: Theo tính khớp của dãy trên, ta có A ≅ Im α ≅ Ker β =
0.
Tương tự ta có mệnh đề sau.
β
α
→ B 
→ A → 0 với β là một toàn cấu thì A = 0 .
1.2.5. Mệnh đề: Cho C 

1.3. Module nội xạ và module xạ ảnh
1.3.1. Định nghĩa: Một R − module J là module nội xạ nếu với mỗi đơn cấu

χ : A → B , mỗi đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ .
6


1.3.2. Định lý: ([1], trang 76) Hai mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

i.

R − module J là nội xạ

ii.

χ
σ
Bất kì dãy với ngắn 0 → A 
→ B 
→ C 
→ 0 dãy các nhóm aben

sau là khớp
χ
σ
→ Hom ( B, J ) 
→ Hom ( A, J ) 
→0.
0 → Hom ( C , J ) 
*

*

1.3.3. Mệnh đề: ( tiểu chuẩn Baer )([1], Định lý 5, trang 77)
R − module J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì ideal trái I của R và bất kì đồng cấu

f : I → J , luôn luôn tồn tại một phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ J , ta có

f ( λ ) = λ q . Nói cách khác mỗi đồng cấu f : I → J đều có thể mở rộng được tới

đồng cấu f : R → J .
1.3.4. Mệnh đề: ([1], Định lý 9, trang 82) Mỗi module M đều có thể nhúng vào một
module nội xạ N ( M ) nào đó.
1.3.5. Định lý: ([1], Định lý 10, trang 82) Đối với bất kì R − module J , các phát biểu
sau là tương đương:
i.

J là module nội xạ.

ii.

Mọi dãy khớp 0 → J → B → C → 0 là chẻ ra.

iii.

J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môt module nội xạ nào đó.

1.3.6. Mệnh đề: Tích trực tiếp của một họ module J = ∏ J i là nội xạ nếu và chỉ nếu
i∈I

mỗi module thành phần J i là nội xạ.
1.3.7. Định nghĩa: Module P được gọi là module xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

σ : B → C , mỗi đồng cấu f : P → C , tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho
f = σϕ .
1.3.8. Định nghĩa: Module X được gọi là module tự do nếu X có một cơ sở.
7


1.3.9. Định lý: ( [1], Định lý 1, trang 73 ) Mỗi module tự do X đều là module xạ

ảnh.
1.3.10. Định lý: ( [1], Định lý 2, trang 73 ) Tổng trực tiếp của một họ module
P = ⊕Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi module thành phần Pi là xạ ảnh.
i∈I

1.3.11. Định lý: ([1], Định lý 3, trang 75) Đối với mỗi module P , ba phát biểu sau
là tương đương:
i.
ii.
iii.

P là module xạ ảnh.
χ
σ
Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra.

P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một module tự do.

1.4. Nhóm aben Ext ( X , Y )
1.4.1. Định nghĩa: Cho X , Y là hai R − module. Ta gọi một mở rộng của Y bởi X
là một dãy khớp ngắn E của các R − module
χ
σ
E :0 → Y 
→W 
→ X → 0.

1.4.2. Định nghĩa: Giả sử
χ
σ

E :0 → Y 
→W 
→ X → 0,

χ'
σ'
E ':0 → Y →
W ' →
X →0

Là hai mở rộng của Y bởi X . Kí hiệu E  E ' nếu tồn tại một R − đồng cấu

β :W → W ' sao cho biểu đồ sau giao hoán

χ
σ
E : 0 
→ Y 
→W 
→ X 
→0

||

β↓

||

χ'
σ'

E ' : 0 
→ Y 
→ W ' 
→ X 
→0

Dễ thấy β là một đẳng cấu và quan hệ  là một quan hệ tương đương.
8


Kí hiệu: Ext ( X ,Y ) là tập tất cả các lớp tương đương của các mở rộng của Y bởi X .
Và [ E ] là lớp tương đương của mở rộng E .
1.4.3. Định nghĩa: Cho [ E1],[ E2 ]∈ Ext ( X ,Y ) . Khi đó,

∇Y [ E1 ⊕ E2 ]∆ X
[ E1] + [ E2 ] =
Trong đó:
χ ⊕χ

σ ⊕σ

1
2 →W ⊕ W 
1
2→X ⊕ X →0
• E1 ⊕ E2 :0 → Y ⊕ Y 
1
2

χ

σ

χ

σ

2 →W 
2 → X → 0.
→W1 1
→ X → 0; E2 :0 → Y 
Với E1 :0 → Y 1
2

• ∆ X là đồng cấu chéo của module X xác định bởi công thức

∆X =
( x)

∆X : X → X ⊕ X ,

( x, x ) , ∀x ∈ X .

• ∇ X là đồng cấu đối chéo của module X cho bởi công thức

∇ X ( x, x ') =
x + x'.

∇X : X ⊕ X → X ,

1.4.4. Định lý: Với phép toán cộng được định nghĩa như trên thì tập Ext ( X ,Y ) lập
thành một nhóm aben.
1.5. Hàm tử Ext n
1.5.1. Các định nghĩa: Cho A và B là các module trái; X là phép giải xạ ảnh của
module A và X là phức thu gọn của phép giải X .
Xét phức sau:

(

)

δ
→ Hom ( X1, B ) → ...
Hom X , B : 0 → Hom ( X 0 , B ) 
δ
...Hom ( X n , B ) 
→ Hom ( X n+1, B ) → ...

Trong đó các đồng cấu δ n = ( −1)

n +1

Hom ( ∂ n , iB ) , ∀n ≥ 0 .

9


(

(

Khi đó, H n Hom X , B

)) được gọi là tích mở rộng n − chiều trên R của các module

A, B và được kí hiệu là: Ext Rn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) .
1.5.2. Định lý: ([1], Định lý 1&2, trang 163)
Nếu A là module trái xạ ảnh (tương ứng: B là module trái nội xạ) thì ta có ngay
Ext n ( A, B ) = 0 với mọi n ∈  và mọi module trái B ( tương ứng: mọi module trái A

).
1.5.3. Định lý: ([1], Định lý 5, trang 168) Với mọi module trái A và mọi dãy khớp
f
g
→ B 
→ B '' → 0
ngắn các module trái 0 → B ' 

Ta có dãy khớp

( ) Hom A, B 
( )
δ
0 → Hom ( A, B ') →
→ Hom ( A, B '') 
→ Ext1 ( A, B ') → ...
( )
Hom i , f

Hom i , g

f
g
δ
... → Ext n ( A, B ') →
Ext n ( A, B ) →
Ext n ( A, B '') 
→ Ext n+1 ( A, B ') → ...
*

*

Tương tự, ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu B là module trái và mọi dãy khớp
f
g
→ A 
→ A '' → 0 thì ta có dãy khớp
ngắn các module trái 0 → A ' 

( )
( )
δ
0 → Hom ( A '', B ) 
→ Hom ( A, B ) → Hom ( A ', B ) 
→ Ext1 ( A '', B ) → ...
Hom f ,i

Hom g ,i

g

f
δ
... → Ext n ( A '', B ) →
Ext n ( A, B ) →
Ext n ( A ', B ) 
→ Ext n+1 ( A '', B ) → ...
*

*

f
g
→ P 
→ A → 0 là một
1.5.4. Mệnh đề: Cho A, B là các module trái và 0 → M 

dãy khớp ngắn, trong đó P là module xạ ảnh. Khi đó,
Ext1 ( A, B ) ≅

Hom ( M , B )

Im ( Hom ( f , i ) )

1.5.5. Hệ quả: Với giả thiết như trong mệnh đề 1.5.4, ta có
Ext1 ( A, B ) ≅ Ext ( A, B )
10


Nhờ đẳng cấu ϕ :

Hom ( M , B )

(

Im ( Hom ( f , i ) )

→ Ext ( A, B )

)

định bởi ϕ α + Im ( Hom ( f , i ) ) =
α  E  với mọi α ∈ Hom ( M , B ) .
1.5.6. Định lý: ([2], trang 69) Cho A là module trái. Khi đó các khẳng định sau là
tương đương:
i. A là xạ ảnh.
ii. Ext1 ( A, B ) = 0 với mọi module trái B .
iii. Ext n ( A, B ) = 0 với mọi n > 0 và mọi module trái B .
1.6. Dãy khớp thuần khiết
β
α
1.6.1. Bổ đề: Cho dãy khớp 0 → A 
→ B 
→ C → 0 . Khi đó, hai mệnh đề sau

tương đương:
i.

α ( A) ∩ λ B =
λα ( A) với mọi λ ∈ R .

ii.

Nếu λ c = 0 với c ∈ C thì tồn tại b ∈ B sao cho β ( b ) = c và λb = 0 .

Chứng minh i) ⇒ ii) :
Giả sử λ c = 0 với c ∈ C và λ ∈ R . Ta sẽ chứng minh tồn tại b ∈ B sao cho β ( b ) = c
và λb = 0 . Thật vậy:
Ta có: Vì c ∈ C và β là một toàn cấu nên tồn tại b ∈ B sao cho β ( b ) = c . Suy ra,

x λ=
b α ( a ) . Hiển nhiên
β ( λb=) λ=
c 0 nên có a ∈ A thỏa λb = α ( a ) . Đặt =
x ∈α ( A) ∩ λ B nên theo i. ta có x ∈ λα ( A) . Tức là, tồn tại a ' ∈ A sao cho

λb = λα ( a ') .

11


( )

(

)

()

b − α ( a ') ∈ B . Khi đó, λb0 = 0 và β b0 = c ( vì β α ( a ') = 0 và β b = c
Đặt b0 =

).
Chứng minh ii ) ⇒ i ) :
Lấy λ ∈ R . Khi đó,
Vì λα ( A) ⊂ α ( A) và λα ( A) ⊂ λ B nên ta có: λα ( A) ⊂ α ( A) ∩ λ B .

=
x α=
Mặt khác, với mọi x ∈α ( A) ∩ λ B thì tồn tại a ∈ A, b ∈ B sao cho
( a ) λb .

(

)

Đặt c = β ( b ) . Khi =
đó, λ c β=
α ( a ) 0 nên theo ii) , tồn tại b0 ∈ B sao cho

β ( b0 ) = c và λb0 = 0 . Tiếp tục đặt b '0= b − b0 suy ra β (b '0 ) = 0 nên tồn tại a ' ∈ A
thỏa α ( a ') = b '0 .

'0 λ=
b x ( vì λb0 = 0 ). Do đó x = λα ( a ') hay x ∈ λα ( A) .
Mà λb=

λα ( A) .
Như vậy α ( A) ∩ λ B =
Bây giờ ta sẽ đưa ra định nghĩa về dãy khớp thuần khiết như sau.
β
α

→ B 
→ C → 0 (1). Khi đó, dãy khớp
1.6.2. Định nghĩa: Cho dãy khớp 0 → A 

(1) được gọi là dãy khớp thuần khiết nếu dãy (1) thỏa một trong hai điều kiện của bổ
đề 1.6.1.
α
β
→ B 
→ C → 0 . Khi đó, hai mệnh đề sau
1.6.3. Mệnh đề: Cho dãy khớp 0 → A 

tương đương:
i.

Nếu λ c = 0 với c ∈ C thì tồn tại b ∈ B sao cho β ( b ) = c và λb = 0 .

ii.

β* : Hom R λ R , B → Hom R λ R , C là một toàn cấu với mỗi λ ∈ R

(

)

(

)

Chứng minh i. ⇒ ii. :

12


(

)

Lấy g ∈ Hom R λ R , C bất kỳ. Khi đó, với mỗi r ∈ R λ R thì ta có g ( r )= c ∈ C nên

( )

()

=
λ c λ=
g r 0 . Theo điều kiện i. tồn tại br ∈ B sao cho β br = c và λbr = 0 . Tức

là với mỗi r ∈ R λ R thì có b ∈ B thỏa g ( r ) = β ( b ) và λb = 0 .
Như vậy, tồn tại đồng cấu f : R λ R → B định bởi f ( r ) = br . Vậy β* là một toàn cấu.
Chứng minh ii. ⇒ i. :
Giả sử có λ c = 0 với c ∈ C . Khi đó, xét g : R λ R → C định bởi g ( r ) = rc . Dễ dàng
kiểm tra g là một đồng cấu nên theo điều kiện ii. tồn tại đồng cấu f : R λ R → B sao

()

( ( )) .

c g=
1 β f 1
cho β f = g suy ra=

Đặt b = f (1) . Khi đó, β ( b ) = c và

()

λb λ=
f 1 0.
=

1.6.4. Định nghĩa: Cho M là một R − module và N là một module con của M . Khi
đó, N được gọi là module con thuần khiết của M nếu với mọi x ∈ N và λ ∈ R sao
cho tồn tại y ∈ M mà x = λ y thì tồn tại x ' ∈ N thỏa x = λ x ' .
α
β
→ B 
→ C → 0 là dãy khớp thuần khiết. Khi đó, vì α là
Bây giờ ta xét 0 → A 

một đơn cấu nên ta có thể xem A như một module con của B .
Với mọi a ∈ A và mọi λ ∈ R thỏa a = λb với b ∈ B . Khi đó, theo định nghĩa của dãy
khớp thuần khiết, ta có ngay a ∈ λ A .
Như vậy ta có mệnh đề sau.
α
β
→ B 
→ C → 0 là dãy khớp thuần khiết. Khi đó, A
1.6.5. Mệnh đề: Cho 0 → A 

là module con thuần khiết của B .
1.6.6. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành chính quy nếu với mọi r ∈ R thì tồn tại

r ' ∈ R sao cho rr ' r = r .
13


1.6.7. Định nghĩa: Một R − module M được gọi là module chính quy nếu mọi
module con của nó đều là module con thuần khiết.
1.6.8. Định lý: Các điều kiện sau là tương đương:
i.

R là vành chính quy.

ii.

Mọi R − module là R − module chính quy.

iii.

R là một module chính quy trên R .

Chứng minh i. ⇒ ii. :
Giả sử N là một module con của M thỏa với mọi x ∈ N và tồn tại λ ∈ R , y ∈ M
sao cho x = λ y .
Ta sẽ chứng minh: tồn tại z ∈ N sao cho x = λ z . Thật vậy, vì λ ∈ R và R là vành
chính quy nên tồn tại λ ' ∈ R thỏa λ = λλ ' λ . Suy ra =
x λ=
y λλ ' λ=
y λλ ' x . Đặt

=
z λ ' x ∈ N , ta có ngay x = λ z .

Vậy N là module con thuần khiết của M .
Chứng minh ii. ⇒ iii. : hiển nhiên.
Chứng minh iii. ⇒ i. :
Với mọi r ∈ R ta có r = r.1
Xét I = r là một module con của R mà R là module chính quy nên I là module
thuần khiết. Do đó tồn tại r ' r ∈ I sao cho r = rr ' r . Vậy R là vành chính quy.
1.6.9. Định lý: ([4], hệ quả 1.7, trang 343) Mọi module chính quy có hệ sinh hữu hạn
đều là module xạ ảnh.

14


CHƯƠNG 2: MODULE CHIA ĐƯỢC
Trong chương này sẽ trình bày hai định nghĩa và một số kết quả về module chia
được trên vành giao hoán. Nhưng trước hết, chúng ta sẽ đi đến những kết quả về
module chia được trên miền nguyên. Từ đó, phân tích và đánh giá chúng để có được
một số kết quả trên vành giao hoán.
2.1. Module chia được trên miền nguyên
Trong phần này, nếu không chú thích thêm thì R là một miền nguyên.
2.1.1. Module chia được
2.1.1.1. Định nghĩa: Cho M là một R − module. Khi đó M được gọi là module chia
được nếu với mọi x ∈ M và mọi λ ∈ R \ {0} thì luôn có y ∈ M sao cho x = λ y .
Định nghĩa 2.1.1.1 cũng có thể được phát biểu dưới dạng tương đương sau:
“ M là một module chia được nếu M = λ M với mọi λ ∈ R \ {0} ”.
Bây giờ với mỗi λ ∈ R \ {0} , ta xét ánh xạ λ* : M → M định bởi λ* ( x ) = λ x với mọi

x ∈ M rõ ràng λ* là một đồng cấu. Đồng thời, λ* là một toàn cấu nếu và chỉ nếu

M = λ M . Như vậy theo định nghĩa 2.1.1.1 ta dễ dàng khẳng định mệnh đề sau.
2.1.1.2. Mệnh đề: Module M là chia được nếu và chỉ nếu λ* là toàn cấu với mỗi

λ ∈ R \ {0} .
Mệnh đề 2.1.1.2 có thể xem như là định nghĩa 2 cho module chia được.
Tiếp theo ta sẽ xem xét một số kết quả liên quan tới các module con, module
thương,… của module chia được.
2.1.1.3. Mệnh đề: Module thương của một module chia được là module chia được.
Chứng minh:
15


Cho M là một module chia được và giả sử N là module con của M . Khi đó, ta sẽ
chứng minh M
x + N ∈M

N

N

là module chia được. Thật vậy, với mọi λ ∈ R \ {0} và với mọi

. Suy ra tồn tại y ∈ M sao cho x = λ y (do M là module chia được) nên

x + N = λ ( y + N ) do đó M

N

là một module chia được.

Ta đã biết module con của một module chia được nói chung không phải là module
chia được. Chẳng hạn,  là một  − module chia được và  là một module con của

module  nhưng không chia được. Bây giờ ta sẽ đưa ra một điều kiện để module con
của một module chia được là module chia được như sau.
2.1.1.4. Mệnh đề: Cho M là một module chia được và N là module con thuần khiết
của M . Khi đó, N là một module chia được.
Chứng minh:
Với mọi λ ∈ R \ {0} và với mọi x ∈ N . Khi đó, tồn tại y ∈ M sao cho x = λ y (do M
là module chia được) mà N là một module con thuần khiết nên tồn tại z ∈ N thỏa

x = λ z . Do đó, N là một module chia được.
Như vậy, theo mệnh đề 2.1.1.4 và 1.6.5 ta có ngay mệnh đề tương tự sau.
2.1.1.4’. Mệnh đề: Cho dãy khớp 0 → A → B → C → 0 là thuần khiết và B là
module chia được. Khi đó, A là module chia được.
2.1.1.5. Mệnh đề: Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các module chia được là
module chia được.
Chứng minh:
Cho {M i }i∈I là một họ các module chia được. Đặt A = ∏ M i và B = ⊕M i , ta sẽ
i∈I

chứng minh A và B là hai module chia được. Thật vây, với mọi=
x

16

i∈I

( mi ) ∈ A và mọi


λ ∈ R \ {0} . Do mi ∈ M i là module chia được nên mi ∈ λ M i với mọi i ∈ I . Suy ra,
x ∈ λ A như vậy A là module chia được.

Chứng minh tương tự, ta có B là module chia được.
2.1.1.6. Mệnh đề: Mọi module M đều có module con chia được lớn nhất (kí hiệu là
M d ).

Chứng minh:
Xét { Ni }i∈I là họ tất cả các module con chia được của module M ( hiển nhiên là họ

Md
khác rỗng thì có chứa module 0 ). Đặt =

Ni | i ∈ I . Ta khẳng định M d là

module con chia được lớn nhất của module M . Thật vậy:
Với mỗi x ∈ M d và với mỗi λ ∈ R \ {0} thì ta có x = ∑ yi ( tổng hữu hạn ) với yi ∈ Ni
. Vì các module con Ni đều là module chia được nên tồn tại y 'i ∈ Ni sao cho

yi = λ y 'i . Do đó ta có x = λ ∑ y 'i . Như vậy M d là module con chia được của M .
2.1.1.7. Mệnh đề: Cho M là một module. Khi đó, module M M chỉ có một
d
module con chia được là module 0 . Tức là,  M M  = {0} .
d d

Chứng minh:
Giả sử K là module con của M , chứa M d thỏa K M là một module chia được.
d
Suy ra với mỗi k ∈ K và mọi λ ∈ R \ {0} thì tồn tại x + M d thuộc K

Md

thỏa

k + M d = λ ( x + M d ) . Do đó, tồn tại y ∈ M d sao cho k= rx + y . Vì M d là module
chia được nên có y ' ∈ M d ( hiển nhên y ' ∈ K ) thỏa y = λ y ' . Suy ra=
k r ( x + y ') nên
K là module chia được.

Như vậy K ⊂ M d ⊂ K nên ta có điều phải chứng minh.
17


Trường các thương  là một  − module chia được. Tổng quát hơn ta có khẳng
định sau.
2.1.1.8. Mệnh đề: Trường các thương S −1R là một R − module chia được. (trong đó:
S = R \ {0} )

Chứng minh:
Với mọi

r
r
r
r
và
∈ S −1R và mọi λ ∈ R \ {0} ta có = λ.
∈ S −1R . Do đó, ta có
λs
s
s
λs

S −1R là một module chia được.
Tiếp theo chúng ta cùng xem xét các module chia được với các module nội xạ như
sau.
2.1.1.9. Mệnh đề: Mọi module nội xạ đều là module chia được.
Chứng minh:
Giả sử M là một module nội xạ. Khi đó, với mọi x ∈ M và mọi λ ∈ R \ {0} ta có ideal

I = λ R là một module tự do với cơ sở là tập {λ} (vì R là một miền nguyên). Do đó,
ánh xạ ϕ : {λ} → M mà ϕ ( λ ) = x có thể mở rộng tới đồng cấu ϕ : I → M . Vì M là
module nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại phần tử y ∈ M sao cho với mọi r ∈ R
thì ϕ ( r ) = ry . Suy =
ra x ϕ=
(λ ) λ y .
Vậy M là một module chia được.
Chiều ngược lại của mệnh đề 2.1.1.9 nói chung là không đúng. Chẳng hạn ta xét ví
dụ sau:
“Xét R =  [ x ] và K =  ( x ) là trường các thương của R . Khi đó, M = K

R − module chia được nhưng không là module nội xạ”

18

R

là một


Thật vây, hiển nhiên ta có M là một module chia được. Ta sẽ chứng minh M không
là module nội xạ. Giả sử trái lại M là một module nội xạ. Khi đó xét ideal I = x, 2
và ϕ : I → M định bởi ϕ ( x ) =

2
x +1
và ϕ ( 2 ) = .
x
2

Để chứng tỏ ϕ được định nghĩa tốt, ta sẽ chứng minh: “nếu a.x + b.2 =
0 với a, b ∈ R
thì a.ϕ ( x ) + b.ϕ ( 2 ) =
0 nên tồn tại r ∈ R sao cho a = −r.2 và
0 ”. Vì a.x + b.2 =

−r.2.
b = r.x . Do đó, a.ϕ ( x ) + b.ϕ ( 2 ) =

x +1
2
0.
+ r.x. =
2
x

Như vậy, ta có thể mở rộng ϕ thành một đồng cấu mà M là module nội xạ nên theo
tiêu chuẩn Baer, tồn tại đồng cấu ψ : R → M thỏa ψ i = ϕ với i : I → R là đồng cấu
nhúng. Do đó, x.ψ (1) =

2
2
x +1

x +1
và 2.ψ (1) = nên x.k −
v với
=
u và k − =
x
x
2
2

k ∈ K và u , v ∈ R . Suy ra vx + 2 = 2u + x + 1 . Vô lý!
Vậy M không phải module nội xạ.
Tuy nhiên khi xét trên vành chính thì ta có mệnh đề sau.
2.1.1.10. Mệnh đề: Nếu R là vành chính thì mọi module chia được đều là module
nội xạ.
Chứng minh:
Lấy M là một module chia được, I là một ideal của R và f : I → M là một đồng
cấu. Khi đó, vì R là một vành chính nên I = aR (với a ∈ R ). Do đó, f ( a ) thuộc
module chia được M nên tồn tại x ∈ M sao cho f ( a ) = ax .
Như vậy, với mỗi λ ∈ I , λ = ra ta có f ( =
λ ) f ( ra
=
a ) rax
= λ x nên theo tiêu
) rf (=
chuẩn Baer thì M là module nội xạ.

19

Theo định lý 1.5.2, nếu M là module nội xạ thì Ext ( X , M ) = 0 với mọi module

X . Đồng thời, áp dụng tiêu chuẩn Baer, ta có được kết quả sau.

(

)

2.1.1.11. Định lý: Module M là nội xạ nếu và chỉ nếu Ext R I , M = 0 với mọi I là
ideal của R .
Chứng minh:
Chiều thuận là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh chiều ngược lại.
Lấy I là một ideal tùy ý của R . Ta có dãy khớp ngắn sau
i
p
→ R 
→R → 0
0 → I 
I

Theo định lý 1.5.3 ta có dãy khớp dài sau

(

)

(

)

0 → Hom R I , M → Hom ( R, M ) → Hom ( I , M ) → Ext R I , M → ...

(

)

Vì Ext R , M = 0 nên Hom ( f , i ) : Hom ( R, M ) → Hom ( I , M ) là một toàn cấu Suy
I
ra với mọi ϕ : I → M thuộc Hom ( I , M ) thì tồn tại đồng cấu g : R → M sao cho

ϕ = gi nên theo tiêu chuẩn Baer, ta có M là một module nội xạ.
Theo mệnh đề 2.1.1.9, mọi module nội xạ đều là module chia được. Do đó, theo

(

)

định lý 2.1.1.11, nếu Ext R , M = 0 với I là một ideal tùy ý của R thì M là một
I
module chia được. Ngoài ra, cũng theo định lý 2.1.1.11 thì nếu module chia được M
nhưng không phải là module nội xạ thì ta không có được chiều ngược lại. Tức là, nếu

M là module chia được nhưng không là nội xạ thì tồn tại ideal I của vành R thỏa

(

)

Ext R , M ≠ 0 .
I

Ngoài ra, theo mệnh đề 2.1.1.10, nếu ta xét trên vành chính thì module nội xạ và chia
được là như nhau. Trên vành chính, mọi ideal đều là ideal chính nên dựa vào định lý
2.1.1.11 ta có được kết quả quan trọng sau.
20


(

)

2.1.1.12. Định lý: M là module chia được khi và chỉ khi Ext R λ , M = 0 với mỗi
R

λ∈R.
Chứng minh:
Với mỗi λ ∈ R , ta có dãy khớp ngắn sau
i
p
0 → λ R 
→ R 
→R
λR → 0

Do đó, Theo mệnh đề 1.5.4 ( do R là một module xạ ảnh )

ta có đẳng cấu

Hom ( λ R, M )
Ext R λ R , M ≅
Im ( Hom ( i,1M ) )

(

)

Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta sẽ chứng minh “ M là module chia được khi và
chỉ khi Hom ( λ R, M ) = Im ( Hom ( i,1M ) ) với mọi λ ∈ R ”. Thật vậy,
Giả sử M là một module chia được.
Ta có, đồng cấu Hom ( i,1M ) : Hom ( R, M ) → Hom ( λ R, M ) nên điều cần chứng minh
Hom ( λ R, M ) = Im ( Hom ( i,1M ) ) tương đương với Hom ( i,1M ) là một toàn cấu. Lấy

f : λ R → M là một đồng cấu bất kỳ, nếu λ = 0 thì hiển nhiên ta có Hom ( i,1M ) là
một toàn cấu. Bây giờ, nếu λ ≠ 0 thì do f ( λ ) ∈ M mà M là module chia được nên
tồn tại y ∈ M sao cho f ( λ ) = λ y . Xét đồng cấu g : R → M định bởi g ( r ) = ry với
mọi r ∈ R . Hiển nhiên ta có f = gi . Suy ra Hom ( i,1M ) là một toàn cấu.
Ngược lại, nếu Hom ( i,1M ) là môt toàn cấu thì với mọi x ∈ M và mọi λ ∈ R \ {0} ta
xét đồng cấu f : λ R → M định bởi f ( λ r ) = rx với mọi r ∈ R . Do Hom ( i,1M ) là
một toàn cấu nên tồn tại đồng cấu g : R → M sao cho f = gi .
Do đó,
=
x f=
( λ ) g=
( λ ) λ g (1) với g (1) ∈ M . Như vậy M là module chia được.

21


Từ định lý 2.1.1.12 và mệnh đề 2.1.1.2, ta có hệ quả sau mà ta có thể xem như các
định nghĩa tương đương cho module chia được trên miền nguyên.
2.1.1.13. Hệ quả: Các khẳng định sau là tương đương:

i.

M là một module chia được.

ii.

λ* : M → M là một toàn cấu với mỗi λ ∈ R \ {0} .

iii.

Ext R

(

)

λ R , M = 0 với mọi λ ∈ R .

Bây giờ ta sẽ chuyển qua một lớp module có quan hệ “mật thiết” với các module
chia được đó là module tối giản.
2.1.2. Module tối giản
2.1.2.1. Định nghĩa: Module C gọi là module tối giản nếu Hom ( A, C ) = 0 với mọi
module chia được A .
Hiển nhiên ta có bổ đề sau.
2.1.2.2. Bổ đề: Cho f : A → B là một đồng cấu module và A là module chia được thì
f ( A) là một module chia được.

Theo mệnh đề 2.1.1.8 thì mọi module đều có module con chia được lớn nhất. Từ
đó, ta có thể chỉ ra cách xây dựng module tối giản qua mệnh đề dưới đây.
2.1.2.3. Mệnh đề: Cho M là một module. Khi đó, M M là một module tối giản.

d
Chứng minh:
Với mọi module chia được A . Ta xét đồng cấu f : A → M M theo bổ đề 2.1.2.2 ta
d
có f ( A) là một module con chia được của module M M nên theo mệnh đề 2.1.1.7
d

22


thì f ( A) = 0 . Do đó Hom  A, M M  = 0 với mọi module chia được A nên theo định
d 

nghĩa M M là một module tối giản.
d
2.1.2.4. Mệnh đề: C là một module tối giản nếu và chỉ nếu C chỉ có một module
con chia được tầm thường là module 0 .
Chứng minh:
Cho C là một module tối giản. Khi đó, giả sử A là một module con chia được, khác
module 0 , của C . Suy ra, đồng cấu nhúng i : A → C khác không. Vô lý!
Do đó, C chỉ có duy nhất một module con chia được là module 0 .
Ngược lại, Giả sử C không là module tối giản. Khi đó, tồn tại module chia được A
sao cho đồng cấu f : A → C khác không. Do đó, f ( A ) là module con chia được,
khác module 0 , của module C (mâu thuẫn với giả thiết). Như vậy, C là module tối
giản.
Nhận xét: mệnh đề 2.1.2.3 chỉ là hệ quả của mệnh đề 2.1.2.4 (do mệnh đề 2.1.1.7)
Trong đại số đại cương ta đã biết Hom ( ,  ) = 0 mà  là một  − module chia
được. Như vậy ta có một kết quả tổng quát hơn sau.
2.1.2.5. Mệnh đề: Cho A là một  − module chia được. Khi đó, Hom ( A,  ) = 0 .
Nói cách khác,  là một  − module tối giản.

Chứng minh:
Giả sử f : A →  là một đồng cấu khác không. Khi đó, tồn tại a ∈ A thỏa
−k nên tồn tại n0 là số nguyên dương nhỏ nhất trong tập
f ( a )= k ≠ 0 thì f ( −a ) =
f ( A) . Khi đó, tồn tại a0 ∈ A sao cho f ( a0 ) = n0 . Do A là một  − module chia được
a 
nên 2 f  0  = n0 suy ra 0 <
 2

a 
f  0  < no . Mâu thuẫn với cách chọn n0 !
 2
23