một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong việc diễn đạt một mệnh đề toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Phan Sĩ Đức

MỘT NGHIÊN CỨU
VỀ NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC
TRONG VIỆC DIỄN ĐẠT
MỘT MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Phan Sĩ Đức

MỘT NGHIÊN CỨU
VỀ NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC
TRONG VIỆC DIỄN ĐẠT
MỘT MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Như Thư Hương,
người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan
trọng vào việc hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình
giảng dạy, truyền thụ kiến thức Didactic Toán.
Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent
đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết
cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.
HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi học tập tại trường.
- Hiệu trưởng cùng Ban Giám hiệu Trường THPT Đateh – Lâm Đồng và
quý Thầy (Cô) đồng nghiệp trong tổ Toán – tin đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP. HCM, cũng như khi làm thực nghiệm tại
trường.
Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong lớp Didactic toán
khóa 21 đã cùng tôi chia xẻ những vui, buồn cũng như những khó khăn trong khóa
học.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, luôn động
viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.

Phan Sĩ Đức

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát .................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu ....................................... 3
2.1. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 3
2.2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu .............................................................................. 3
3. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 4
4. Cấu trúc của luận văn ............................................................................................ 5
CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC Ở CẤP ĐỘ
TRI THỨC CẦN DẠY .................................................................................................. 6
1.1. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học ...................................... 6
1.1.1. Lớp 1 ............................................................................................................... 6
1.1.2. Lớp 2 ............................................................................................................... 8
1.1.3. Lớp 3 ............................................................................................................. 10
1.1.4. Lớp 4 ............................................................................................................. 11
1.1.5. Lớp 5 ............................................................................................................. 12
1.2. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS ....................................... 14
1.2.1. Lớp 6 ............................................................................................................. 14
1.2.2. Lớp 7 ............................................................................................................. 19
1.2.3. Lớp 8 ............................................................................................................. 23
1.2.4. Lớp 9 ............................................................................................................. 27
1.3. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT ....................................... 30
1.3.1. Lớp 10 nâng cao ............................................................................................ 30
1.3.1.1. Đại số 10 nâng cao .................................................................................. 30

1.3.1.2. Hình học 10 nc ........................................................................................ 35
1.3.2. Lớp 10 cơ bản ................................................................................................ 37
1.3.2.1. Đại số 10 cơ bản...................................................................................... 37
1.3.2.2. Hình học 10 cơ bản ................................................................................. 37
1.3.3. Lớp 11 nâng cao ............................................................................................ 38
1.3.3.1. Đại số và giải tích 11 nâng cao ............................................................... 38


1.3.3.2. Hình học 11 nâng cao ............................................................................. 38
1.3.3.2.1. Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 38
1.3.3.2.2. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan
hệ song song ..................................................................................................... 39
1.3.3.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc ......... 43
1.3.4. Lớp 11 cơ bản ................................................................................................ 44
1.3.4.1. Đại số và giải tích 11 cơ bản ................................................................... 44
1.3.4.2. Hình học 11 cơ bản ................................................................................. 45
1.3.4.2.1. Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 45
1.3.4.2.2. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan
hệ song song ..................................................................................................... 45
1.3.4.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong
không gian ....................................................................................................... 47
Chương 2 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG DẠY –
HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 ........................................................................ 49
2.1. Trong vở ghi chép của học sinh ........................................................................ 49
2.1.1. Học sinh 11nc ................................................................................................ 50
2.1.2. Học sinh lớp 11cb .......................................................................................... 61
2.2. Biên bản thực hành giảng dạy của Giáo viên .................................................. 64
2.2.1. Bài “Đường thẳng vuông góc với Mặt phẳng”, chương trình nâng cao. (T A )
................................................................................................................................. 65
2.2.2. Bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”, chương trình cơ bản. (T B ) .. 73

Chương 3 THỰC NGHIỆM ....................................................................................... 87
3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ............................................................... 88
3.2. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm ............................................ 88
3.2.1. Bài toán thực nghiệm .................................................................................... 88
3.2.2. Các biến dạy học ........................................................................................... 89
3.2.3. Phân tích chi tiết các bài toán ........................................................................ 91
3.3. Phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm ............................................ 98
KẾT LUẬN ................................................................................................................. 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Bảng thống kê lời giải câu 1 của bài tập 1 ................................................... 99
Bảng 3.2: Bảng thống kê lời giải câu 2 của bài tập 1 ................................................. 100
Bảng 3.3: Bảng thống kê lời giải câu 3 của bài tập 1 ................................................. 100
Bảng 4.4: Bảng thống kê lời giải câu hỏi 4 của bài tập 1 ........................................... 101
Bảng 3.5: Bảng thống kê lời giải bốn câu hỏi của bài tập 1 ....................................... 101
Bảng 3.6: Bảng thống kê lời giải của bài tập 2 ........................................................... 102
Bảng 3.7: Bảng thống kê lời giải của bài tập 3 ........................................................... 103


DANH MỤC VIẾT TẮT
CB

:

cơ bản

GV

:

giáo viên

HS

:

học sinh

NC

:

nâng cao

NXB

:

nhà xuất bản

NXBGD

:

nhà xuất bản giáo dục

SBT

:

sách bài tập

SGK

:

sách giáo khoa

SGV

:

sách giáo viên

THCS

:

trung học cơ sở

THPT

:

trung học phổ thông

TP. HCM

:

thành phố Hồ Chí Minh

tr

:

trang


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Việc hiểu và vận dụng linh hoạt một mệnh đề toán học vào giải quyết các bài toán
được thành thục là một việc làm không dễ. Nhưng, việc trình bày các mệnh đề toán học
đó như thế nào cho thật ngắn gọn, xúc tích, làm nổi bật nội dung của mệnh đề đó để
thuận lợi cho việc vận dụng chúng vào suy luận toán học … còn khó hơn rất nhiều.
Là giáo viên toán, chúng tôi luôn mong muốn mọi bài giảng của mình được trình
bày sao cho thật ngắn gọn, sáng sủa, xúc tích nhưng hợp logic và học sinh có thể hiểu
và vận dụng được. Nhưng có một thực tế là, trong quá trình giảng dạy của mình nhất là
khi dạy về hình học không gian, việc học sinh diễn dịch lại các mệnh đề toán học (định
nghĩa, định lí, phân tích yêu cầu của một bài toán…) từ ngôn ngữ thông thường sang
ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại nhằm mục đích củng cố kiến thức thì học sinh
gặp rất nhiều lúng túng và sai lầm, chẳng hạn:

Hay

Hay

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


2

Hay

Hay

Hay

Những sai lầm này xuất phát từ đâu? Chính những điều này đã ảnh hưởng lên việc
học hình học không gian nói riêng và suy luận toán học nói chung, cũng như sự phát
triển tư duy logic sau này của học sinh. Xuyên suốt cả hệ thống dạy học toán phổ
thông, chúng tôi nhận thấy kí hiệu toán học được đưa vào một cách ngầm ẩn dần dần
trong quá trình giảng dạy sao cho phù hợp với trình độ hiểu biết của học sinh, nhằm
phục vụ việc suy luận toán học cũng như vận dụng vào các môn khoa học khác (vật lí,
hóa học, sinh học v v …). Điều này cho thấy kí hiệu toán học không những quan trọng
đối với bộ môn toán mà còn quan trọng đối với những môn khoa học khác.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là cần thiết
với những câu hỏi xuất phát sau:

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …

3

-

Kí hiệu toán học được đưa vào giảng dạy nhằm mục đích gì? Giải quyết vấn đề
gì? Những kí hiệu đó có vai trò như thế nào đối với việc dạy – học toán học?
Việc diễn dịch lại các mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học có lợi
ích ra sao trong suy luận toán học?

-

Những ràng buộc của hệ thống dạy học toán ở phổ thông có ảnh hưởng như thế
nào đối với hiểu biết của giáo viên và học sinh về các kí hiệu toán học? Cách
trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng như thế nào đến việc tiếp thu tri thức
của học sinh?

-

Trong thực tế dạy học, kí hiệu toán học đã được vận dụng vào giảng dạy như thế
nào? Có sự khác biệt, tương đồng nào giữa cách trình bày của sách giáo khoa
với cách trình bày của giáo viên? Sự chênh lệch đó có ảnh hưởng đến việc tiếp
thu tri thức toán ở học sinh? Học sinh vận dụng kí hiệu toán học vào việc diễn
dịch lại các mệnh đề toán học cũng như vào suy luận toán học cụ thể ra sao?
Giáo viên mong đợi điều gì ở học sinh?

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra ở trên. Chúng
tôi quan tâm đến mọi kí hiệu toán học xuất hiện trong chương trình toán phổ thông

hiện hành. Tuy nhiên, do hạn chế về nguồn tài liệu tham khảo lịch sử các kí hiệu toán
học cũng như thời gian không cho phép chúng tôi thực hiện một nghiên cứu với quy
mô lớn nên trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi giới hạn lại một số kí hiệu
toán học “đặc biệt” như: ∈;∉; ⊂; ⊄; ⇒; ⇔; ; ⊥;{ ;

};[

trong việc dạy – học hình học

không gian lớp 11.
2.2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của didactic toán. Cụ thể, chúng
tôi vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học như: mối quan hệ thể chế,

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


4

mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic và
của lí thuyết tình huống như: khái niệm hợp đồng didactic.
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên
cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức cần dạy, kí hiệu toán học được đưa vào giảng dạy như thế
nào, dưới hình thức nào? Vai trò của nó? Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh
hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của giáo viên và của học sinh đối với đối
tượng là kí hiệu toán học?
Q2: Trong thực hành giảng dạy, Giáo viên sử dụng ngôn kí hiệu toán học như thế

nào? Cách thức sử dụng? Cách thức đó tạo ra những thuận lợi, và gây ra khó khăn gì
cho học sinh trong việc tiếp thu tri thức toán? Kĩ năng sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán
học được giáo viên quan tâm ra sao? Có những quy tắc nào của hợp đồng didactic được
hình thành khi sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt các định lí, định nghĩa và
trong suy luận giải toán.
3. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi tiến hành phân tích các sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán
của ba bậc học trong chương trình toán phổ thông hiện hành, để tìm hiểu kí hiệu toán
học được đưa vào giảng dạy như thế nào. Vai trò của nó trong dạy học toán nói chung,
trong hình học không gian 11 nói riêng. Nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Nghiên cứu này
cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, những điều kiện,
ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học của học sinh và đưa ra các
giả thuyết nghiên cứu. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1.
Ngoài ra, chúng tôi còn phân tích vở ghi chép của học sinh, một số tiết dạy của giáo
viên nhằm tìm hiểu xem có những sai lầm nào thường xảy ra đối với học sinh trong quá
trình học hình học không gian, cũng như những quan tâm của giáo viên đối với việc sử
dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học khi diễn đạt một mệnh đề toán học. Nghiên cứu này
cũng cho phép chúng tôi dự đoán những sai lầm của học sinh trong việc sử dụng ngôn

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


5

ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt một mệnh đề toán học. Kết quả được trình bày trong
chương 2.
Với những giả thuyết cần kiểm chứng. Chúng tôi xây dựng và tiến hành thực
nghiệm trên đối tượng học sinh qua các phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép

chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và được trình bày trong chương 3.
Sơ đồ thực hiện:
Nghiên cứu ngôn ngữ kí hiệu toán học ở
cấp độ tri thức được dạy (nghiên cứu thực
hành của giáo viên, phân tích vở ghi của
học sinh, phỏng vấn giáo viên …)

Nghiên cứu ngôn ngữ kí hiệu
toán học ở cấp độ tri thức cần
dạy (phân tích sách giáo khoa,
sách bài tập, sách giáo viên…)

Kết luận
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, kết luận và ba chương.
Phần mở đầu trình bày lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát, mục đích nghiên cứu,
lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn.
Chương 1: Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở cấp độ tri thức cần dạy.
Chương 2: Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở cấp độ tri thức được dạy.
Chương 3: Thực nghiệm.
Phần kết luận là những kết quả đạt được qua nghiên cứu chương 1, chương 2,
chương 3 và hướng nghiên cứu khác mở ra từ luận văn.

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


6

CHƯƠNG 1
VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN DẠY
Mục đích
Mục đích chúng tôi muốn tìm hiểu kí hiệu toán học, được đưa vào chương trình
toán phổ thông như thế nào? Mang những giá trị nào? Được thể chế dạy học toán phổ
thông sử dụng chúng ra sao trong việc diễn đạt một mệnh đề toán học (định nghĩa, định
lí, chứng minh định lí, giải toán…)? Có những ràng buộc nào trong việc sử dụng chúng
khi diễn đạt một mệnh đề toán học? Có những quy tắc ngầm ẩn nào được hình thành từ
việc sử dụng chúng trong diễn đạt một mệnh đề toán học. Đồng thời, nhằm trả lời cho
câu hỏi Q1.
Đối với bậc tiểu học, Chương trình toán không có sự phân biệt giữa số học và hình
học. Do đó, chúng tôi không phân tích riêng từng phân môn.
Để giúp việc trình bày được thuận lợi, chúng tôi sử dụng hình thức viết tắt sau:
M i , G i, E i (Với i = 1, 2, …,9), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài
tập ở các lớp: 1, 2,…, 9.
1.1. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học
1.1.1. Lớp 1
Chúng tôi chọn bộ sách toán 1 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 – nhà
xuất bản giáo dục (NXBGD) để phân tích.
Kí hiệu toán học xuất hiện đầu tiên trong sách toán 1 (kí hiệu M 1 ) là những con số,
chẳng hạn:
Các số 1, 2, 3,… (M 1 , tr. 11)

Kí hiệu “→” thay cho cụm từ “dẫn đến” khi trình bày thứ tự các con số, chẳng hạn:
1 →

2→

3 (M 1 , tr. 13)

Kí hiệu “<” thay cho cụm từ “bé hơn”; kí hiệu “>” thay cho cụm từ “lớn hơn” khi so
sánh hai số, chẳng hạn:

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


7

1 < 2 (M 1 , tr. 17)
Hay
2 > 1 (M 1 , tr. 19)

Kí hiệu “=” thay cho cụm từ “bằng nhau” khi diễn đạt sự bằng nhau của hai số, chẳng
hạn:
5 = 5 (M 1 , tr. 22)

Kí hiệu “+” thay cho từ “cộng” hay cụm từ “thêm vào”, “phép cộng” khi tính toán,
chẳng hạn:
1+1 = 2 (M 1 , tr.44)

Kí hiệu “−” thay cho từ “trừ” hay cụm từ “bớt đi”, “phép trừ” khi tính toán, chẳng hạn:
2 - 1 = 1 (M 1 , tr.54)

Kí hiệu “cm” thay cho cụm từ “xăng – ti – mét” khi đo độ dài đoạn thẳng, chẳng hạn:
1. Vẽ đoạn thẳng có độ dài:
5cm; 7cm; 2cm; 9cm. (M 1 , tr.123)

Kí hiệu: A, B, C,…chỉ một “điểm” cho trước.
Ngoài ra, còn xuất hiện hình thức đọc những con số (kí hiệu toán học) thành lời
(ngôn ngữ thông thường) và ngược lại, chẳng hạn:
1. Viết (theo mẫu): a)
Viết số

Đọc số

Đọc số

Viết số

20

Hai mươi

Sáu mươi

60

10

Tám mươi

90

Năm mươi

70

Ba mươi
(M 1 , tr.127)

Đây được xem là “tiền đề” cho hoạt động diễn dịch một mệnh đề toán học, từ ngôn ngữ
thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại sau này.
Đối với các bài toán có lời văn, lời giải được trình bày có sự kết hợp giữa ngôn ngữ
kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


8

Bài toán: Nhà An có 9 con gà, mẹ đem bán 3 con gà. Hỏi nhà An còn lại mấy con gà?
Tóm tắt

Bài giải

Có: 9 con gà

Số gà còn lại là:

Bán: 3 con gà

9 – 3 = 6 (con)

Còn lại:… con gà?

Đáp số: 6 con gà. (M 1 , tr.148)

Kí hiệu “}” thay cho từ “và” trong hoạt động tóm tắt nội dung bài toán, chẳng hạn:
3. Hà có 35 que tính, Lan có 43 qua tính. Hỏi hai bạn có tất cả bao nhiêu que tính?
Tóm tắt
Hà có: 35 que tính
� ? que tính. (M 1 , tr.162)
Lan có: 43 que tính

Kí hiệu này chỉ xuất hiện một lần trong M 1 . Vậy, liệu HS có hiểu nghĩa của kí hiệu
toán học đó? Xuất hiện với mục đích gì?
Chúng tôi không tìm thấy một sự giải thích nào trong thể chế dạy học toán 1 cho việc
sử dụng kí hiệu toán học này.
Từ những ghi nhận trên cho thấy, thể chế dạy học toán 1 quan tâm việc
hình thành và rèn luyện các kĩ năng thực hành: đọc, viết, đếm, so sánh […], bước đầu
biết diễn đạt bằng lời, bằng kí hiệu một số nội dung đơn giản của bài học và thực hành.
(G 1 , tr. 3)

Hay
Trong quá trình dạy học toán, phải quan tâm đúng mức đến rèn luyện cho học sinh
cách diễn đạt ngắn, gọn, rõ ràng, vừa đủ nội dung của một thông tin bằng lời hoặc
bằng kí hiệu, sơ đồ. (G 1 , tr.12)

Như vậy, ngay từ lớp 1 đã có những ràng buộc nhất định trong việc diễn đạt nội dung
bài học, bài thực hành bằng ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu toán học.
1.1.2. Lớp 2
Chúng tôi chọn bộ sách toán 2 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 –
NXBGD để phân tích.
Kí hiệu “dm” thay cho cụm từ “Đề – xi – mét” khi đo hoặc tính độ dài của đoạn
thẳng, chẳng hạn:

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


9

Tính (theo mẫu):
a) 1dm +1dm = 2dm

3dm + 2dm =

8dm + 2dm =

9dm + 10dm =

[…] . (M 2 , tr.7)

Kí hiệu “−” thay cho cụm từ “ít hơn” hay “kém” trong bài toán có lời văn, chẳng hạn:
Bài toán: hàng trên có 7 quả cam, hàng dưới có ít hơn hàng trên 2 quả cam. Hỏi hàng
dưới có mấy quả cam? (M 2 , tr. 30)

Kí hiệu “kg” thay cho cụm từ “kí –lô –gam”. Kí hiệu “l” thay cho từ ‘lít” trong đơn vị
đo, khi tính toán chẳng hạn:
Tính (theo mẫu): a) 9 l + 8 l = 17 l

15 l + 5 l = […] (M 2 , tr.41)

Kí hiệu “𝓍” thay cho cụm từ “số chưa biết” trong bài toán “Tìm 𝓍”, chẳng hạn:

1. Tìm 𝓍 (theo mẫu):
a) 𝓍 + 3 = 9
𝓍=9–3

b) 𝓍 + 5 = 10

c) 𝓍+ 2 = 8 […]

𝓍=6

(M 2 , tr.45)

Ngoài ra, kí hiệu “𝓍” còn thay cho cụm từ “số trừ” trong bài toán tìm số trừ, chẳng hạn:
Số bị trừ:10
Số trừ: 𝓍
Hiệu: 6

10 – 𝓍 = 6

𝓍 = 10 – 6
𝓍=4

(M 2 , tr.72)

Kí hiệu “×” thay cho cụm từ “phép nhân” hay “tích” khi tính toán về số, chẳng hạn:
2 × 5 = 10 (M 2 , tr.94)

Kí hiệu “:” thay cho cụm từ “phép chia” khi tính toán về số, chẳng hạn:
Tính nhẩm: 6 : 2 =

2:2=

20 : 2 = […] (M 2 , tr.109)

Kí hiệu “Đoạn thẳng” xuất hiện không tường minh trong M 2 , được ngầm ẩn qua cạnh
của tam giác, chẳng hạn:
Hình tam giác ABC có ba cạnh là: AB, BC và CA. (M 2 , tr. 130)

Ngoài ra, hình thức “đọc số”, “viết số” tiếp tục được thể chế dạy học toán 2 chú
trọng rèn luyện, chẳng hạn:

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


10

Viết số

Trăm

Chục

Đơn vị

Đọc số

116

1

1

6

Một trăm mười sáu

815

…

…

…

…………………….

307

…

…

…

…………………….

…

4

7

5

…………………….

…

…

…

…

Chín trăm

…

8

0

2

…………………….

(M 2 , tr.149)

Bên cạnh đó còn có ràng buộc là thông qua
Giải một số dạng bài toán đơn về cộng, trừ, nhân, chia, bước đầu biết diễn đạt bằng lời,
bằng kí hiệu một số nội dung đơn giản của bài học và bài thực hành. (G 2 , tr. 4)

1.1.3. Lớp 3
Chúng tôi chọn bộ sách toán 3 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 –
NXBGD để phân tích.
Xuất hiện các kí hiệu về đơn vị đo như: “dam”, “hm”, “km”, “m”, “mm”, “cm2”
thay cho những cụm từ tương ứng là: “Đề – ca mét”, “héc – tô – mét”, “kí – lô – mét”,
“mét”, mi – li – mét”, “xăng – ti mét - vuông” khi tính toán, chẳng hạn:
1dam = 10m, […], 1hm = 100m. (M 3 , tr. 44)

Kí hiệu “Đoạn thẳng” còn xuất hiện ngầm thông qua độ dài của nó, chẳng hạn:
Độ dài đoạn thẳng AM bằng độ dài đoạn thẳng MB viết là AM = MB. (M 3 , tr. 98)
Hay
Độ dài đoạn AB bằng 4 viết là AB = 4. (M 3 , tr. 99)

Tức là, khi cho AM = MB hay AB = 4, thì các kí hiệu AM, MB hay AB tương ứng
được hiểu là các đoạn thẳng.
Đối với hoạt động diễn dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí
hiệu toán học và ngược lại tiếp tục được thể chế dạy học toán 3 rèn luyện. Cụ thể, cần:
Giúp học sinh phát triển trình độ tư duy và khả năng diễn đạt bằng lời, bằng hình ảnh,
bằng kí hiệu, …(G 3 , tr. 19)

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


11

Với những kết quả phân tích được từ các lớp 1, 2, 3 cho thấy ngôn ngữ kí hiệu toán
học có một vai trò to lớn trong việc tiếp thu tri thức toán và hình thức diễn đạt nội dung
bài học và bài thực hành của HS.
1.1.4. Lớp 4
Chúng tôi chọn bộ sách toán 4 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 –
NXBGD, để phân tích.
Theo G 4 , trang 4 thì:
Giai đoạn các lớp 1, 2, 3 có thể coi là giai đoạn học tập cơ bản vì giai đoạn này học
sinh được chuẩn bị những kiến thức, những kỉ năng cơ bản nhất về đếm, đọc, so
sánh,… (G 4 , tr. 4)
Hay
Giai đoạn lớp 4, 5 có thể coi là giai đoạn học tập sâu (so với giai đoạn trước).
(G 4 , tr. 4)

Có sự khác biệt nào trong giai đoạn sau này so với giai đoạn trước? Chúng tôi tiến
hành phân tích để tìm hiểu.
Hoạt động diễn dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán
học xuất hiện sớm như: “đọc” và “viết” các số. Hoạt động này không khác biệt so với
các lớp ở giai đoạn trước (lớp 1, 2, 3). Ngoài ra, có xuất hiện hình thức khái quát hóa
các quy tắc thành những công thức và ngược lại, chẳng hạn:
a+b = b+a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi. (M 4 , tr. 42)

Với hoạt động này của M 4 , giúp HS dễ dàng học thuộc các quy tắc trên nhờ hình thức
phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường. Thật vậy, theo G 4 , trang 5 thì:
Nhờ khái quát hóa bằng các công thức (hoặc khái quát hóa bằng lời) trong số học mà
học sinh có điều kiện tự lập một số công thức tính chu vi, tính diện tích của một số
hình đã và đang học […] (G 4 , tr. 5)

Đây là điểm khác biệt của toán 4 so với các lớp dưới về việc diễn dịch các quy tắc
(bằng ngôn ngữ thông thường) sang công thức (bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học).

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


12

Bên cạnh đó, còn xuất hiện thêm những kí hiệu về đơn vị đo như: “dag” thay cho cụm
từ “đề – ca – gam”; “hg” thay cho cụm từ “héc – tô – gam”; “dm2” thay cho cụm từ “đề
– xi – mét – vuông”; “m2” thay cho “mét – vuông”,… khi đo đạc hoặc tính toán, chẳng
hạn:
Viết số thích hợp vào chỗ chấm:
1m2 = …dm2

400dm2 = …m2 […] (M 4 , tr. 65)

1.1.5. Lớp 5
Chúng tôi chọn bộ sách toán 5 hiện hành – Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) – 2006 –
NXBGD để phân tích.
Tiếp tục giới thiệu các kí hiệu về đơn vị đo như: “dam2” thay thế cho cụm từ “đề –
ca – mét – vuông”; “hm2” thay thế cho “héc – tô – mét – vuông”; “ha” thay thế cho
“héc – ta”, …để đo đạc hay tính toán, chẳng hạn:
5dam 2 23m 2 =
5dam 2 +

23
23

dam 2 =
5
dam 2 . (M 5 , tr. 27)
100
100

Kí hiệu “%” xuất hiện trong lời giải của một bài toán, chẳng hạn:
Ta viết:

25
= 25% ;
100

Đọc là: hai mươi lăm phần trăm. (M 5 , tr. 73)

Ngoài ra, còn xuất hiện nhiều kí hiệu khác như: “S” thay cho cụm từ “diện tích”; “h”
thay cho cụm từ “chiều cao”; “C” thay cho cụm từ “chu vi”; “V” thay cho cụm từ “thể
tích”; “r” thay cho “bán kính đường tròn” khi giải toán, chẳng hạn:
C = r × 2 × 3,14 (M 5 , tr.98)

Kí hiệu “r” còn được thay thế cho cụm từ “số dư” trong phép chia có dư, chẳng hạn:
Phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = b × c + r (0 < r < b). (M 5 , tr. 163)

Vậy, liệu có sự nhập nhằng nào cho HS khi sử dụng kí hiệu “r” trong giải toán?
Bên cạnh đó, các công thức tính “diện tích”, “chu vi”, “thể tích”,… được diễn đạt bằng
ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường. Hình thức diễn đạt này không

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …

13

những giúp HS dễ thuộc các công thức đó mà còn dễ dàng vận dụng chúng vào tính
toán. Theo G 5 , trang 5 thì HS cần phải:
Biết diễn đạt một số nhận xét, quy tắc, tính chất,…bằng ngôn ngữ (nói, viết dưới dạng
công thức,…) ở dạng khái quát. (G 5 , tr. 5)

Đối với hình thức trình bày lời giải bài toán, thể chế dạy học toán 5 có ràng buộc sau:
SGK chưa yêu cầu giải thích cách làm nên không yêu cầu học sinh trình bày phần giải
thích cách làm vào bài làm. (G 5 , tr.18)

Chẳng hạn:
Chuyển các phân số thập phân sau thành hỗn số (theo mẫu):

162 734 5608 603
.
;
;
;
10 10 100 100
Mẫu: 162/10 =16

2
(M 5 , tr. 38)
10

Qua phân tích vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc tiểu học, chúng tôi có
những nhận định sau:

-

Kí hiệu toán học được thể chế dạy học toán ở các lớp bậc tiểu học, thường
xuyên cung cấp nhằm giúp cho việc diễn đạt nội dung bài học, bài thực hành
được thuận tiện hơn, ngắn gọn hơn,…

-

Thể chế dạy học toán ở tiểu học coi trọng việc diễn đạt nội dung bài học, bài
thực hành (tính chất, quy tắc, công thức, lời giải bài toán,…) bằng ngôn ngữ kí
hiệu toán học và hoạt động diễn dịch từ hình thức diễn đạt này sang hình thức
diễn đạt kia và ngược lại.

-

Việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học vào diễn đạt nội dung bài học, bài thực
hành cũng có sự tiến triển theo từng giai đoạn (từ chưa sử dụng kí hiệu bằng chữ
sang có sử dụng kí hiệu bằng chữ, từ chưa có khái quát thông tin thành công
thức sang có khái quát thành công thức).

-

Có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu toán học trong diễn đạt nội dung
bài học, bài thực hành.

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …

14

1.2. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THCS
Chương trình toán ở bậc THCS đã có sự phân biệt rõ giữa các phân môn: số học,
hình học, đại số. Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích theo từng phân môn riêng trong các bộ
sách toán hiện hành.
1.2.1. Lớp 6
Chúng tôi chọn bộ sách toán 6 hiện hành của Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) –
2006 – NXBGD để phân tích.
A. Phần số học
Lí thuyết “tập hợp” được đưa vào giảng dạy một cách tường minh, phép toán
“logic” cũng được ngầm ẩn đưa vào. Vì vậy, sẽ xuất hiện các kí hiệu toán học liên
quan như: kí hiệu “∈” thay cho từ “Thuộc”; kí hiệu “∉” thay cho cụm từ “Không
thuộc” để “diễn tả quan hệ giữa một phần tử với một tập hợp”. (G 6 , tập 1, tr. 35)
Chẳng hạn:
1 ∈ A, đọc là 1 thuộc A hoặc 1 là phần tử của A;

5 ∉ A, đọc là 5 không thuộc A hoặc 5 không là phần tử của A. (M 6 , tập 1, tr. 5)

Kí hiệu “⊂” thay cho từ “Con” hay cụm từ “Chứa trong”; kí hiệu “⊃” thay cho từ
“Chứa” khi “diễn tả một quan hệ giữa hai tập hợp”. (G 6 , tập 1, tr. 35) chẳng hạn:
Ta kí hiệu: A ⊂ B hay B ⊃ A và đọc là: A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được
chứa trong B, hoặc B chứa A. (M 6 , tập 1, tr. 13)

Kí hiệu “∅” thay cho Tập rỗng: tập không có phần tử nào.

Kí hiệu “∩” thay cho từ “Giao” khi diễn đạt phép toán giao của hai tập hợp, chẳng hạn:
Ư(4) ∩ Ư(6) = ƯC(4, 6); B(4) ∩ B(6) = BC(4, 6). (M 6 , tập 1, tr. 53)

Tuy nhiên, có ràng buộc là:

Giáo viên không nên khai thác sâu các nội dung về tập hợp. (G 6 , tập 1, tr. 21)

Kí hiệu “≤” thay cho cụm từ “Bé hơn hoặc bằng”; kí hiệu “≥” thay cho cụm từ “Lớn
hơn hoặc bằng” khi diễn đạt biểu thức chứa chữ, chẳng hạn:
Viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b, viết b ≥ a để chỉ b > a hoặc b = a.(M 6 , tập1, tr. 7)

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


15

Kí hiệu “.” đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn với vai trò công cụ, thay cho cụm từ “Phép
nhân” trong một ví dụ, chẳng hạn:
Ví dụ: 222 = 200+20+2

=
ab a.10 + b

với a ≠0

abc = a.100 + b.10 + c với a ≠0. (M 6 , tập 1, tr.9)

Sau đó nó xuất hiện với vai trò đối tượng trong §5. Phép cộng và phép nhân của M 6 ,
chẳng hạn:
[…] dùng dấu “×” hoặc “∙” để chỉ phép nhân. (M 6 , tập 1, tr. 15)

Như vậy, đến thời điểm này đã có hai kí hiệu thay cho cụm từ “phép nhân”, để diễn đạt

một mệnh đề toán học.
Kí hiệu “≠” cũng xuất hiện với vai trò công cụ trong M 6 , thay cho cụm từ “Khác
nhau” khi diễn đạt một số khác không, chẳng hạn:
[…], abc = a.100 + b.10 + c , với a ≠ 0. (M 6 , tập 1, tr. 9)

Kí hiệu “⋮” thay cho cụm từ “Chia hết cho”; kí hiệu “⋮” thay cho cụm từ “Không chia
hết”, khi diễn đạt quan hệ chia hết của hai số hay biểu thức chứa chữ, chẳng hạn:
a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (M 6 , tập 1, tr. 35)

Sự xuất hiện của một số kí hiệu: “=”, “≠”, “∈”, “∉”, “⋮”, “ ⋮ ”. Liệu có hình thành nơi

HS quy tắc: “dùng dấu “/” đè chồng lên những kí hiệu toán học mang giá trị khẳng
định để tạo nên những kí hiệu mang giá trị phủ định?”
Kí hiệu “⇒” thay cho cụm từ “Suy ra” hoặc “Kéo theo”. Kí hiệu “⇔” thay cho cụm từ
“tương đương” và đều xuất hiện với vai trò công cụ khi diễn đạt một mệnh đề toán học,
chẳng hạn:
Hay

Nếu a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m (M 6 , tập 1, tr. 34)

A ⊂ B ⇔ với mọi x ∈ A thì x ∈ B (G 6 , tập 1, tr. 36)

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


16

Với

Ghi chú: trong sách này, dấu “⇔” (tương đương) đã quen thuộc đối với giáo viên. Khi
giải thích cho học sinh, giáo viên nên thay bằng hai dấu “⇒” và “⇐”.
(G 6 , tập 1, tr. 36)

Kí hiệu “ − ” xuất hiện không chỉ thay cho cụm từ “phép trừ” mà còn thay cho từ “âm”

hay “trừ” trong hệ thống số nguyên, chẳng hạn:

Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên, người ta còn dùng các số với dấu “−” đằng
trước, như: - 1, - 2, - 3,… (đọc là âm 1, âm 2, âm 3,… hoặc trừ 1, trừ 2, trừ 3,…
(M 6 , tập 1. Tr. 66)

Liệu có khó khăn nào khi sử dụng kí hiệu “−” trong tính toán các số nguyên âm?
Để trả lời cho câu hỏi này, theo G 6 , tập 1, trang 96 thì:

Sử dụng kí hiệu dấu “−” với ba nghĩa khác nhau. Dấu “−” trong phép trừ […], dấu
“−” của số nguyên âm […], dấu “−” của số đối. (G 6 , tập 1, tr. 96)

Với giải thích:
Để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “−” (trùng với dấu của phép trừ) để kí hiệu
cho cả số âm và số đối. (G 6 , tập 1, tr.96)

Và
Giáo viên không nên khai thác sâu điểm này mà chỉ giới thiệu như trong SGK là đủ.
(G 6 , tập 1, tr.96)

Kí hiệu “

” thay cho cụm từ “giá trị tuyệt đối” khi diễn đạt giá trị tuyệt đối của một

“số” hoặc “chữ” hoặc “biểu thức”, chẳng hạn:
13= 13, −20= 20, −75= 75, 0= 0 . (M 6 , tập 1, tr. 72)

Kí hiệu “:” xuất hiện với vai trò mới đó là thay cho cụm từ “tỉ số” và đã ngầm đồng
nhất kí hiệu của “phép chia” với “tỉ số” là một, chẳng hạn:
Tỉ số của a và b kí hiệu là a : b (cũng kí hiệu là

a
). (M 6 , tập 2, tr. 56)
b

Với việc đồng nhất này của thể chế dạy học toán 6, liệu có gây ra khó khăn gì cho
HS khi sử dụng hai kí hiệu này, để diễn đạt một mệnh đề toán học?

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …


17

Trong Phần số học này, hầu hết các tính chất trong bài học đều được khái quát hóa
thành những công thức hoặc quy tắc và được diễn đạt bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học
hoặc kết hợp giữa ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường (thường là các
liên từ liên kết của phép logic như: và, nếu… thì, hoặc,…), chẳng hạn:
Hay

x ∈ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x (M 6 , tập 1, tr. 52)
Tính chất kết hợp của phép cộng các số nguyên:
(a + b) + c = a + (b + c). (M 6 , tập 1, tr. 78)

Điều đó cho thấy, thể chế dạy học toán 6 quan tâm rèn luyện cách diễn đạt một mệnh
đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Tuy nhiên, hoạt động diễn dịch một mệnh
đề toán học từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại
không còn mang tính bắt buộc bằng một kiểu nhiệm vụ như ở các lớp bậc tiểu học.
Phần hình học.
Mở đầu phần hình học, thể chế dạy học toán 6 đã đề cập
Mỗi hình phẳng là một tập hợp điểm của mặt phẳng […] (M 6 , tập 1, tr. 102)

Hay
Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp điểm. (M 6 , tập 1, tr. 103)

Là một thuận lợi cho việc sử dụng những kí hiệu của lí thuyết tập hợp vào diễn đạt các
quan hệ hình học như: quan hệ “Thuộc”, quan hệ “bao hàm”, chẳng hạn:
Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu là A ∈ d; điểm B không thuộc đường thẳng d kí

Ngoài ra:

hiệu là B ∉ d. (M 6 , tập 1, tr. 104)

Cần rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các cách diễn đạt trực quan “nằm trên”,
“nằm ngoài”, “đi qua”, “không đi qua”, “chứa”, “không chứa”. (G 6 , tập 1, tr. 136)

Nhưng, chúng tôi không thấy thể chế dạy học toán 6 sử dụng kí hiệu toán học để thay
thế những thuật ngữ trên. Phải chăng thể chế dạy học toán 6 ngầm ủy thác cho GV
làm công việc này khi giảng dạy?

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …

18

Theo M 6 , tập 1, trang 103 thì “Người ta thường dùng các chữ cái thường a, b,…, m,
p,…để đặt tên cho các đường thẳng”. Đối với đường thẳng đi qua hai điểm, chẳng hạn
A, B thì không kí hiệu là AB mà luôn có cụm từ “Đường thẳng” đứng trước nó, chẳng
hạn:
Ta gọi đường thẳng đi qua hai điểm A và B là đường thẳng AB hoặc đường thẳng BA.
(M 6 , tập 1, tr. 108)

Cũng tương tự như vậy đối với kí hiệu của một “Tia”, chẳng hạn:
Tia Ax (M 6 , tập 1, tr. 111)

Kí hiệu của “Đoạn thẳng” vẫn còn ngầm ẩn thông qua độ dài của nó, như đã phân tích
ở các lớp tiểu học, chẳng hạn:
Ta nói độ dài đoạn thẳng AB bằng 17 mm và kí hiệu AB = 17mm. (M 6 , tập 1, tr. 117)

Kí hiệu “∠” hoặc “∧”, thay cho từ “Góc” khi diễn đạt góc tạo bởi hai tia hay góc trong
tam giác, chẳng hạn:
 . Cũng còn
, 
yOx, O
Góc xOy, hoặc yOx, hoặc góc O. Các kí hiệu tương ứng là: xOy
kí hiệu là ∠xOy, ∠yOx, ∠O. (M 6 , tập 2, tr. 74)

Tuy nhiên, kí hiệu “∠” thể chế dạy học toán 6 không ưu tiên sử dụng.
Kí hiệu số đo của góc trùng với kí hiệu của góc tương ứng, chẳng hạn:
 là xOy
 . (M 6 , tập 2, tr. 77)

Ta cũng kí hiệu số đo của góc xOy

Kí hiệu “R” thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn. Như chúng tôi đã phân tích, ở
lớp 5, kí hiệu “r” cũng thay cho cụm từ “Bán kính” của đường tròn. Như vậy, đã có sự
nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu bán kính của đường tròn.
Kí hiệu “∆” thay cho cụm từ “tam giác” khi diễn đạt tên gọi một tam giác, chẳng hạn:
Tam giác ABC được kí hiệu là ∆ABC. (M 6 , tập 2, tr.94)

Tuy nhiên, nó không đứng độc lập khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn ta
không thể ghi: Vẽ ∆ biết độ dài ba cạnh […]?

Phan Sĩ Đức

Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học …