Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc Toản

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc Toản

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa

Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành chương trình học và luận
văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Đình Huy,
thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong nghiên cứu khoa học nói chung và giúp tôi
hoàn thành luận văn này nói riêng.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn ủng
hộ, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và
thực hiện luận văn này.
Trần Quốc Toản


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................1
Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ ..................3
1.1.

Giới hạn của dãy tập hợp ...........................................................................3

1.2.

Ánh xạ đa trị ..............................................................................................8

1.3.

Tính liên tục của ánh xạ đa trị .................................................................10

Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF ......15
2.1.

Không gian các tập đóng của một không gian mêtric .............................15

2.2.

Trường hợp của không gian đều, cái đều Hausdorff ...............................20

2.3.

Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương ..................22

2.4.

Tính liên tục của hàm đa trị lồi ................................................................27

Chương 3: TÍNH ĐO ĐƯỢC CỦA HÀM ĐA TRỊ ...............................................32
Kiến thức chuẩn bị ..............................................................................................32
3.1.

Hàm đa trị đo được nhận giá trị là tập con compact của không gian khả li

metric hóa được ..................................................................................................34
3.2.

Định lý hàm chọn. Hàm đa trị đo được với giá trị là tập con đầy đủ của

một không gian metric khả li ..............................................................................36
3.3.

Hàm đa trị đo được lồi compact ..............................................................41

3.4.

Định lý chiếu. Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann ...................42

3.5.

Tính đo được trong không gian Suslin lồi địa phương ............................49

3.6.

Định lý hàm ẩn. Những tính chất ổn định của hàm đa trị đo được .........53

Chương 4: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ĐA TRỊ .................................................57
4.1.

Nguyên hàm của hàm đa trị .....................................................................57

4.2.

Phép lấy đạo hàm của hàm đa trị có biến phân bị chặn ...........................61

4.3.

Định lý về tính compact của tập nghiệm phương trình vi phân đa trị .....64

4.4.

Định lý sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đa trị......................67

4.5.

Sự tồn tại nghiệm của một lớp bao hàm thức vi phân có chậm...............80

KẾT LUẬN.........................................................................................................87


BẢNG KÍ HIỆU
Γ : T → 2X

Hàm đa trị từ T vào X

dom Γ

Miền hữu hiệu của Γ

Gr(Γ)

Đồ thị của Γ

rangeΓ

Miền ảnh của Γ

Γ − (U )

Nghịch ảnh của tập U

Γ − (U )

Nhân của tập U

Γ −1

Ánh xạ đa trị ngược của Γ

d ( x, y )

Khoảng cách giữa x và y

d ( x, A)

Khoảng cách từ x đến tập A

e( A, B )

Độ dôi của tập A trên B

h( A, B )

Khoảng cách Hausdorff của A và B

( X )

Tập tất cả các tập con của X

f ( X )

Tập tất cả các tập con đóng của X


tb ( X )

Tập tất cả các tập con đóng hoàn toàn bị chặn của X


k (X )

Tập tất cả các tập con compact của X

B X ( x, r )

Quả cầu tâm x bán kính r > 0

B = BX (0,1)

Quả cầu tâm 0 bán kính bằng 1

BX ( A, ε )

ε -lân cận của tập không rỗng A

X*

Không gian đối ngẫu của không gian vector topo X

int A

Phần trong của tập A

A

Bao đóng của tập A

Ao

Tập cực của tập A

coA

Bao lồi của tập A

coA

Bao lồi đóng của tập A

δ (. A)

Hàm cực của tập A


δ * (. A)

Hàm tựa của tập A

n.l.t.t.

Nửa liên tục trên

n.l.t.d.

Nửa liên tục dưới

h.k.n.

Hầu khắp nơi

( X )

Nhóm Borel nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của không gian
topo X


⊗

Nhóm nhỏ nhất chứa tất cả các tập A × B ( A ∈  , B ∈  )

prT : T × U → T

Ánh xạ chiếu lên T

s

σ -trường trên T sinh bởi những tập con Suslin của T

µ

µ -đầy đủ của  với µ là độ đo dương trên (T ,  )



 =  µ với mọi độ đo dương bị chặn µ trên (T ,  )

χ A (.)

Hàm đặc trưng của tập A

C X ([a; b])

Không gian các hàm liên tục từ [a;b] vào X

L1X ([a; b])

Không gian lớp các hàm khả tích từ [a;b] vào X


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học,
được định hình trong khoảng nửa đầu của thế kỷ 20. Đối tượng của Giải tích
đa trị là các ánh xạ đa trị mà lý thuyết của nó được trình bày một cách tương
đối có hệ thống đầu tiên trong không gian topo của Claude Berge (1963). Vai
trò của Giải tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng toán học ngày càng
được công nhận rộng rãi. Đặc biệt, Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết tối ưu và lý thuyết bao hàm thức vi phân.
Trong quá trình học tập tìm hiểu tri thức toán học của mình, tôi nhận thấy

Giải tích đa trị là một đề tài khá hấp dẫn. Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Đình Huy, tôi chọn thực hiện đề tài: Một vài tính chất định tính của
hàm đa trị và ứng dụng.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số định nghĩa về khoảng cách
Hausdorff, tính liên tục và tính đo được của hàm đa trị và các ứng dụng của
chúng trong phương trình vi phân đa trị.
3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là khoaûng caùch Hausdorff, một vài
tính chất định tính của hàm đa trị và một số ứng dụng của chúng.
Phạm vi nghiên cứu là giải tích hàm, lý thuyết độ đo.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu mang tính lí thuyết: tìm hiểu, phân tích các tài liệu tham khảo,
tổng hợp các nội dung có liên quan đến đề tài nghiên cứu và trình bày các kết
quả nghiên cứu được (với các chứng minh chi tiết) theo một mạch thống nhất.
Áp dụng các kết quả và phương pháp lập luận của Tôpô đại cương, Giải
tích hàm, Lý thuyết độ đo…


2

5. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
Luận văn được trình bày gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần
kết luận.
Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề tài, xác định rõ đối tượng nghiên cứu
phạm vi nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của đề tài.
Phần nội dung gồm 3 chương.
Chương 1: Chương này giới thiệu các khái niệm và một số định lí cơ bản
về hàm đa trị và tính liên tục của hàm đa trị.
Chương 2: Chương này trình bày về khoảng cách Hausdorff và cái đều

Hausdorff.
Chương 3: Chương này trình bày về tính đo được của ánh xạ đa trị.
Chương 4: Trình bày về nguyên hàm của hàm đa trị và phương trình vi
phân đa trị.
Phần kết luận trình bày tóm gọn những kết quả đã nghiên cứu được, những
hạn chế còn tồn tại, đồng thời nêu ra những hướng nghiên cứu tiếp theo.


3

Chương 1:
HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ
1.1. Giới hạn của dãy tập hợp
Định nghĩa 1.1. Giả sử X là không gian metric và ( K n ) là dãy các tập con của
X . Khi đó ta định nghĩa

a) Giới hạn trên của dãy ( K n ) là tập

lim sup K n =
{x ∈ X / lim inf d ( x, K n ) =
0}
n →∞

n →∞

b) Giới hạn dưới của dãy ( K n ) là tập

lim inf K n =
{x ∈ X / lim d ( x, K n ) =
0}

n →∞

n →∞

c) Ta nói dãy ( K n ) có giới hạn là K , kí hiệu: lim K n = K , nếu
n →∞

lim
sup K n lim
inf K n K
=
=
n →∞

n →∞

Định lý 1.2. Giả sử X là không gian metric, ( K n ) là dãy các tập con của X . Khi
đó:
((ii))

lim sup K n là tập tập hợp tất cả các điểm tụ của mọi dãy ( xn ) , xn ∈ K n ,
n →∞

có thể lập và lim inf K n là tập hợp tất cả các giới hạn của những dãy đó.
n →∞

((iiii)) lim=
sup K n =
 K m    B( K m , ε )
n m≥ n

n →∞

ε >0 n m≥ n

((iiiiii)) lim inf K n =    B ( K m , ε )
n →∞

ε >0 n m≥ n

Chứng minh.
(i)

Ta có

{x ∈ X / x =lim xnk , xn ∈ K n } =
{x ∈ X / lim d ( x, xnk ) =0, xn ∈ K n }
k →∞

k →∞

=
{x ∈ X / lim inf d ( x, xn ) =
0, xn ∈ K n }
n →∞

=
{x ∈ X / lim inf d ( x, K n ) =
0} =
lim sup K n .

n →∞

n →∞


4

(ii) Nếu x ∈ lim sup K n thì hiển nhiên x ∈   K m .
n m≥ n

n →∞

Giả sử x ∈   K m , ta xây dựng dãy trong X như sau
n m≥ n

Cho trước ε > 0
Với n = 1 , do x ∈  K m nên tồn tại sao cho d ( x, y1 ) < 2−1 ε
m ≥1

Đặt n1 = min{m ∈  / y1 ∈ K m } và xn1 = y1 .
Do x ∈  K m nên tồn tại y2 ∈  K m sao cho d ( x, y2 ) < 2−2 ε
m ≥ n1 +1

m ≥ n1 +1

Đặt n2 = min{m ∈  / y2 ∈ K m , m > n1} và xn1 = y2 .
Giả sử ta đã có xnk , khi đó
do x ∈  K m nên tồn tại yk +1 ∈  K m sao cho d ( x, yk +1 ) < 2− k ε
m ≥ nk +1

m ≥ nk +1

Đặt nk +1 = min{m ∈  / yk +1 ∈ K m , m > nk } và xnk +1 = yk +1 .
Như vậy ta có thể xây dựng được dãy ( xnk ) , ở đó xnk ∈ K nk , mà lim xnk = x .
k →∞

Do đó x ∈ lim sup K n (do (i)).
n →∞

Bây giờ ta chứng minh lim sup K n =    B ( K m , ε ) .
ε >0 n m≥ n

n →∞

Ta có

lim sup K n =∈
{x X / x =
lim xnk , xn ∈ K n }
k →∞

n →∞

= {x ∈ X / ∀ε > 0, ∀n ∈ , ∃m ∈ , m ≥ n : d ( x, K m ) < ε }
= {x ∈ X / ∀ε > 0, ∀n ∈ , ∃m ∈ , m ≥ n : x ∈ B( K m , ε )}
=    B( K m , ε ) .
ε >0 n m≥ n

(iii) Ta có

lim inf K n =∈
{x X / x =
lim xn , xn ∈ K n }
n →∞

n →∞

= {x ∈ X / ∀ε > 0, ∃n ∈  : ∀m ≥ n, d ( x, K m ) < ε }
= {x ∈ X / ∀ε > 0, ∃n ∈  : ∀m ≥ n, x ∈ B ( K m , ε )}


5

=    B( K m , ε ) .
ε >0 n m≥ n

Chú ý. lim sup K n là tập hợp tất cả điểm tụ của các dãy “xấp xỉ”, tức là các
n →∞

dãy {xn } thỏa mãn ∀ε > 0, ∀N ∈ , ∃n ∈ , n > N sao cho xn ∈ B ( K n , ε ) .
1) lim inf K n ⊂ lim sup K n .
n →∞

n →∞

2) lim sup K n = lim sup K n và lim inf K n = lim inf K n
n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

(bởi vì d ( x, K n ) = d ( x, K n ) ).
3) lim sup K n và lim inf K n là những tập đóng.
n →∞

n →∞

Thật vậy, giả sử ( zm ) là một dãy trong lim inf K n hội tụ đến z ∈ X .
n →∞

∞

4) Nếu dãy ( K n ) thỏa mãn K1 ⊃ K 2 ⊃ ... ⊃ K n ⊃ ... thì lim K n =  K n .
n →∞

n =1

Bởi vì

lim=
sup K n =
 K m  K n và
n m≥ n

n →∞

n

 K n ⊂    B( K m , ε ) =
lim inf K n , vì K m chứa trong B ( K m , ε ) , do đó
n →∞

ε >0 n m≥ n

n

∞

=
=
=
K n lim inf
K n lim
Kn  Kn .
lim sup
n →∞

n →∞

n →∞

n =1

Giới hạn của dãy tập trong không gian topo.
Trong không gian topo tổng quát, không gian metric hóa được, lim sup K λ
và lim inf K λ được định nghĩa thông qua dãy suy rộng của các phần tử xλ một
cách tương tự như định nghĩa giới hạn của dãy tập trong không gian metric.

Giả sử X là không gian định chuẩn , X * là không gian đối ngẫu của X ,

( K n ) là dãy tập trong X và ( Ln ) là dãy tập trong X * . Khi đó ta có các định
nghĩa sau:
Giới hạn trên và giới hạn dưới yếu của dãy ( K n ) đối với topo yếu σ ( X , X * )

σ - lim sup K n =∈
{x X / x =
σ - lim xn , xn ∈ K n }
n →∞

k →∞

k


6

σ - lim inf K n =∈
{x X / x =
σ - lim xn , xn ∈ K n }
n →∞

n →∞

Giới hạn trên và giới hạn dưới yếu của dãy ( Ln ) đối với topo yếu σ ( X * , X )

σ - lim sup Ln =∈
{ x* X * / x* =
σ - lim xn* , xn* ∈ Ln }

k →∞

n →∞

K

σ - lim inf Ln =∈
σ - lim xn* , xn* ∈ Ln }
{ x* X * / x* =
n →∞

n →∞

Định lý 1.3. (định lý về tính compact). Mọi dãy tập ( K n ) trong không gian
metric khả li X đều chứa dãy con có giới hạn (giới hạn này có thể bằng rỗng)
Chứng minh.
Vì X là không gian metric khả li nên tồn tại họ đếm được các tập mở (U n )
sao cho: với mọi tập mở U trong X , với mọi x ∈ U tồn tại U m sao cho

x ∈U m ⊂ U .
Giả sử ( K n ) là một dãy các tập hợp con của X , ta xây dựng dãy con của nó.
Trước hết ta xây dựng dãy của các dãy ( K nm ) như sau.
0
Chọn chọn dãy ( K n0 ) sao cho K n=
K n , ∀n ∈  . Giả sử với m − 1 đã lập được

các dãy ( K np ) với 0 ≤ p ≤ m − 1 . Ta lập dãy ( K nm ) như sau.
Với U m có hai trường hợp:
 Nếu U m  (lim sup K nmk −1 ) ≠ ∅ với mọi dãy con nk , thì ta lập ( K nm ) bởi
k →∞

K km = K km−1 .
 Nếu U m  (lim sup K nmk −1 ) = ∅ với một dãy con nk nào đó, thì ta lập
k →∞

( K nm ) bởi K km = K nmk −1 .
Tiếp theo, ta chọn dãy ( Ln ) sao cho L=
K nn , ∀n ∈  . Khi đó ( Ln ) là dãy con
n
của ( K nm ) và có giới hạn, thật vậy:
Giả sử ( Ln ) không có giới hạn, nghĩa là tồn tại xo ∈ X sao cho

xo ∈ lim sup Ln , xo ∉ lim inf Ln .
n →∞

n →∞


7

Vì xo ∉ lim inf Ln nên tồn tại lân cận mở U của xo và dãy con ( Lnk ) sao cho
n →∞

U ∩ Lnk =
∅ với mọi k . Ta cố định một U m mà xo ∈ U m ⊂ U . Khi đó
U m  (lim sup Lnk ) = ∅ .
k →∞

nk
Với nk ≥ m thì =

Lnk K=
K pmk−1 với pk nào đó. Do đó ( Lnk ) là dãy con của
nk

dãy K mm−1 ( m cố định). Như vậy với m này ta rơi vào trường hợp thứ hai ở
trên. Do đó theo cách xây dựng dãy ( K nm ) thì có K km = K pmk−1 .
n
Vì =
Ln K=
K pmn với pn nào đó, nên ( Ln ) n≥ m là một dãy con của ( K km ) . Vì
n

vậy

xo ∈ l im sup Ln ⊂ lim sup K km ⊂ X \ U m .
n →∞

k →∞

Điều này mâu thuẫn với xo ∈ U m . Do vậy ( Ln ) có giới hạn.
Sau đây là định lý đối ngẫu trong không gian Banch.
Nhắc lại. Cho X là không gian định chuẩn, K là tập con của X và L là tập
con của X * . Khi đó
Nón liên hiệp âm (hay nón đối âm cực) của K là
−
K=
{x* ∈ X * / 〈 x* , x〉 ≤ 0 ≤ 0, ∀x ∈ K }

Nón liên hiệp âm của L là

L−= {x ∈ X / 〈 x* , x〉 ≤ 0 ≤ 0, ∀x* ∈ L}
Định lý 1.4. Giả sử X là không gian Banch, ( K n ) là dãy các nón lồi đóng của
X . Khi đó

lim inf K n = (σ - lim sup K n− ) −
n →∞

n →∞

Chứng minh.
Giả sử x ∈ lim inf K n , khi
đó x lim xn , xn ∈ K n ∀n ∈  .
=
n →∞

Lấy x* ∈ σ - lim sup K n− , ta chứng tỏ 〈 x* , x〉 ≤ 0 . Vì x* ∈ σ - lim sup K n− nên
n →∞

n →∞

x* = σ - lim xn*k , với xn* ∈ K n− . Do đó 〈 xn*k , xnk 〉 ≤ 0 . Cho k → ∞ thì 〈 x* , x〉 ≤ 0 .


8

Ngược lại, giả sử x ∈ (σ - lim sup K n− ) − , x ∉ lim inf K n . Khi đó tồn tại ε > 0 và
n →∞

n →∞

dãy con, vẫn kí hiệu là ( K n ) , sao cho ( x + ε B (0,1))  K n =∅ ∀n ( B (0,1) là
quả cầu đơn vị mở của X ). Cố định n bất kỳ, theo định lý tách tồn tại

xn* ∈ X * , xn* =
1 , sao cho

sup 〈 xn* , y〉 ≤ inf 〈 xn* , x + ε B (0,1)〉
y∈K n

= 〈 xn* , x〉 − ε xn* = 〈 xn* , x〉 − ε .
Tử đó suy ra xn* ∈ K n− và sup 〈 xn* , y〉 =0 (do K n là nón). Quả cầu đơn vị đóng
y∈K n

trong X * là compact đối với topo yếu σ ( X * , X ) nên tồn tại dãy con ( xn*k ) hội
tụ theo topo σ ( X * , X ) đến x* nào đó. Theo định nghĩa giới hạn trên thì

x* ∈ σ - lim sup K n− . Mà x ∈ (σ - lim sup K n− ) − nên 〈 x* , x〉 ≤ 0 .
n →∞

n →∞

Ta có

0 ≤ 〈 x* , x〉 − ε .
Cho n → ∞ thì 0 ≤ 〈 x* , x〉 − ε , suy ra ε ≤ 〈 x* , x〉 ≤ 0 (vô lý).
1.2. Ánh xạ đa trị
Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y . Một ánh xạ Γ từ tập X vào tập hợp tất cả
các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy, với mỗi
x ∈ X thì Γ( x) là một tập con (có thể rỗng) của Y .

Định nghĩa 1.5. Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Khi đó ta có các định
nghĩa sau:
Đồ thị của Γ , kí hiệu Gr(Γ) , được xác định bởi

Gr(
=
Γ) {( x, y ) ∈ X × Y / y ∈ Γ( x)} .
Miền hữu hiệu của Γ , kí hiệu dom Γ , được xác định bởi

domΓ= {x ∈ X / Γ( x) ≠ ∅} .
Miền ảnh của Γ , kí hiệu rangeΓ , được xác định bởi


9

rangeΓ= { y ∈ Y / ∃x ∈ X , y ∈ Γ( x)} .
Ánh xạ ngược của ánh xạ Γ là ánh xạ đa trị Γ −1 từ Y vào X xác định bởi

Γ −1 ( y )= {x ∈ X / y ∈ Γ( x)} .
Nghịch ảnh (inverse image) của tập U trong Y

Γ − (U )= {x ∈ X / Γ( x)  U ≠ ∅} .
Nhân (core) của của tập U trong Y

Γ − (U ) ={x ∈ X / Γ( x) ⊂ U } .
Cứ mỗi phép toán ∗ trên các tập con của Y đều xác định được một phép toán
tương ứng đối với các hàm đa trị theo công thức sau

(Γ1 ∗ Γ 2 )( x) = Γ1 ( x) ∗ Γ 2 ( x) .
Định nghĩa 1.6. Giả sử X , Y là các không gian topo, và Γ là ánh xạ đa trị từ

X vào Y .

a) Nếu đồ thị Gr(Γ) là tập đóng trong không gian topo tích X × Y , thì Γ
được gọi là ánh xạ đa trị đóng.
b) Nếu Γ( x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị
đóng.
c) Nếu X , Y là các không gian vector topo, và G (Γ) là tập lồi trong không
gian tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị lồi.
d) Nếu Y là không gian vector topo, và Γ( x) là tập lồi trong Y , thì Γ được
gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Định nghĩa 1.7. Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y , Ω là ánh xạ đa trị từ
Y vào Z . Ánh xạ đa trị Ω  Γ từ X vào Z xác định bởi

x)
(Ω  Γ)(=

 Ω( y ), ∀x ∈ X

y∈Γ ( x )

được gọi là ánh xạ tích (hợp) của Γ và Ω .
Ánh xạ đa trị ΩΓ từ X vào Z xác định bởi

(ΩΓ)(=
x)

 Ω( y ), ∀x ∈ X

y∈Γ ( y )

được gọi là ánh xạ tích vuông của Γ và Ω .


10

1.3. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Cho Γ là ánh xạ đa trị từ không gian topo T vào không gian topo E .
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) tại

to ∈ domΓ nếu mọi tập mở U trong E chứa Γ(to ) , tồn tại một lân cận mở V
của to sao cho Γ(t ) ⊂ U , ∀t ∈ V .
Nếu Γ n.l.t.t. tại mọi điểm thuộc domΓ , thì Γ được gọi là n.l.t.t. ở trong T .
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục dưới (n.l.t.d.) tại

to ∈ domΓ nếu với mọi tập mở U trong E thỏa mãn Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ , tồn tại
một lân cận mở V của to sao cho Γ(t ) ∩ U ≠ ∅, ∀t ∈ V .
Nếu Γ n.l.t.d. tại mọi điểm thuộc domΓ , thì Γ được gọi là n.l.t.d. ở trong T .
Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đa trị Γ được nói là liên tục tại to ∈ domΓ nếu nó
vừa liên tục trên vừa liên tục dưới tại to . Nếu Γ liên tục tại mọi điểm thuộc

domΓ , thì Γ được gọi liên tục ở trên T .
Mệnh đề 1.11.
(i) Γ nửa liên tục trên tại to khi và chỉ khi nhân của mỗi tập mở U chứa

Γ(to ) là một lân cận của to . Suy ra Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ
khi nhân của mọi tập mở là một tập mở.
(ii) Γ nửa liên tục dưới tại to khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập mở U , mà

Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ , là một lân cận của to . Suy ra Γ nửa liên tục dưới trên T
khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là một tập mở.

(iii) Giả sử domΓ là tập đóng. Khi đó, Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ
khi nghịch ảnh của mọi tập đóng là một tập đóng, và Γ nửa liên tục dưới
trên T khi và chỉ khi nhân của mọi tập đóng là một tập đóng.
Chứng minh.
(i) Giả sử U là tập mở chứa Γ(to ) thì Γ − (U ) là lân cận của to . Khi đó tồn tại
tập mở V chứa to sao cho V ⊂ Γ − (U ) . Do đó Γ(V ) ⊂ Γ(Γ − (U )) ⊂ U , điều
này có nghĩa Γ n.l.t.t. tại to .


11

Ngược lại, giả sử Γ n.l.t.t. tại to . Khi đó, với mỗi tập mở U chứa Γ(to ) thì tồn
tại một lân cận mở V của to sao cho Γ(t ) ⊂ U , ∀t ∈ V , suy ra V ⊂ Γ − (U ) .
(ii) Giả sử U là tập mở , Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ , thì Γ − (U ) là lân cận của to . Khi đó
tồn tại tập mở V chứa to sao cho V ⊂ Γ − (U ) . Với mọi t ∈ V thì t ∈ Γ − (U ) ,
nên Γ(t ) ∩ U ≠ ∅ . Vậy Γ n.l.t.d. tại to .
Ngược lại, giả sử Γ nửa liên tục dưới tại to . Khi đó, với mỗi tập mở U sao
cho Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ thì tồn tại một lân cận mở V của to thỏa mãn

Γ(t ) ∩ U ≠ ∅, ∀t ∈ V , suy ra V ⊂ Γ − (U ) .
(iii) Giả sử Γ n.l.t.t. và W là tập đóng trong E . Ta cần chứng tỏ Γ − (W ) là
tập đóng trong T , nghĩa là T \ Γ − (W ) mở. Lấy t ∈ T \ Γ − (W ) thì t ∉ Γ − (W ) ,
do đó Γ(t ) ∩ W =
∅ hay Γ(t ) ⊂ E \ W _mở. Vì Γ n.l.t.t. nên tồn tại tập mở V
là lân cận của t sao cho Γ( s ) ⊂ E \ W , ∀s ∈ V , suy ra Γ( s ) ∩ W =∅, ∀s ∈ V .
Điều đó có nghĩa là s ∉ Γ − (W ), ∀s ∈ V hay V ⊂ T \ Γ − (W ) .
Ngược lại, giả sử nghịch ảnh của mỗi tập đóng là tập đóng, ta cần chứng minh
Γ n.l.t.t.. Với mỗi tập mở U trong E , ta có Γ − ( E \ U ) là tập đóng trong T .

Mà T \ Γ − ( E \ U ) =

Γ − (U ) nên Γ − (U ) là tập mở trong T . Do vậy Γ n.l.t.t..
Trường hợp n.l.t.d. chứng minh tương tự.
Sau đây ta xét mối liên hệ giữa giới hạn và tính liên tục. Ta bắt đầu với
khái niệm giới hạn của hàm đa trị trên không gian metric.
Định nghĩa 1.12. Giả sử X , Y là hai không gian metric và Γ là ánh xạ đa trị
từ X vào Y .
Giới hạn trên của Γ tại xo là tập được định bởi

lim sup Γ( x) ={ y ∈ Y / lim inf d ( y, Γ( x)) = 0} .
x → xo

x → xo

Giới hạn dưới của Γ tại xo là tập được định bởi

lim inf Γ( x) ={ y ∈ Y / lim d ( y, Γ( x)) = 0} .
x → xo

x → xo


12

Chú ý. Giới hạn trên và giới hạn dưới của Γ tại xo đều là những tập đóng.
Đồng thời, lim inf Γ( x) ⊂ Γ( xo ) ⊂ lim sup Γ( x) , thật vậy:
x → xo

x → xo

Với mọi y ∈ lim inf Γ( x) . Theo định nghĩa, với x ∈ domΓ sao cho x → xo kéo

x → xo

theo d ( y, Γ( x) → 0 . Chọn x ≡ xo thì d ( y, Γ( xo ) =
0 , do đó y ∈ Γ( xo ) .
Nếu y ∈ Γ( xo ) , thì tồn tại dãy ( xn ) = ( xo ) để lim d ( y, Γ( xn ) = d ( y, Γ( xo )) = 0
n →∞

do đó y ∈ lim sup Γ( x) . Chú ý y ∈ lim sup Γ( x) đồng nghĩa với tồn tại x → xo
x → xo

x → xo

sao cho có dãy con xn → xo để cho lim d ( y, Γ( xn )) =
0.
n →∞

Mệnh đề 1.13. Giả sử X , Y là hai không gian metric và Γ là ánh xạ đa trị từ
X vào Y . Khi đó,

(i) ( xo , yo ) ∈ Gr(Γ) khi và chỉ khi yo ∈ lim sup Γ( x) .
x → xo

(ii) Γ nửa liên tục dưới tại xo ∈ domΓ khi và chỉ khi

Γ( xo ) ⊂ lim inf Γ( x) .

(4)

x → xo

Chứng minh.
(i) Ta có yo ∈ lim sup Γ( x) nếu và chỉ nếu tồn tại dãy ( xn ) sao cho xn → xo
x → xo

kéo theo lim d ( yo , Γ( xn )) =
0 ( do lim inf d ( y, Γ( x)) =
0 ).
n →∞

x → xo

Mà lim d ( yo , Γ( xn ))= 0 ⇔ ∃yn ∈ Γ( xn ) : lim d ( yo , yn )= 0
n →∞

n →∞

⇔ ∃yn ∈ Y sao cho ( xn , yn ) ∈ G (Γ), lim d ( yo , yn ) =0 .
n →∞

Do vậy,

⇔ ( xo , yo ) ∈ G (Γ) .
(ii) Giả sử Γ( xo ) ⊄ lim inf Γ( x) . Vì lim inf Γ( x) là tập đóng nên tồn tại
x → xo

x → xo

yo ∈ Γ( xo ) và lân cận mở U của yo sao cho U ∩ lim inf Γ( x) =
∅ . Điều này
x → xo

13

có nghĩa là tồn tại xn → xo , mà với mọi yn ∈ Γ( xn ) ta đều có yn →
/ yo . Do vậy

Γ không n.l.t.d. tại xo .
Chú ý. Từ mệnh đề 1.13 (i) ta thấy Gr(Γ) là đóng khi và chì khi , ∀x ∈ domΓ ,

Γ(=
x) limsup Γ( z )

(5)

z→x

Nhớ lại rằng hàm đơn trị f là hàm n.l.t.d. khi và chỉ khi với mọi x trong miền
xác định ta có, tương tự (4), f ( x) ≤ lim inf f ( z ) . f n.l.t.t. khi và chỉ khi với
z→x

mọi xo trong miền xác định ta có, tương tự (5), f ( x) ≥ limsup f ( z ) . Vì vậy,
z→x

nhiều tác giả cũng định nghĩa hàm đa trị Γ là n.l.t.t. khi và chỉ khi Gr(Γ)
đóng. Γ là n.l.t.t. tại x nếu

∀( xn , yn ) ∈ Gr(Γ),( xn , yn ) → ( x, y ) thì ( x, y ) ∈ Gr(Γ) .
Định nghĩa như vậy sẽ có liên hệ với (5), trực tiếp với limsup. Định nghĩa 8.
của ta không có quan hệ trực tiếp với limsup. Nhưng hai định nghĩa rất gấn

nhau theo mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.14.
(i) Giả sử Γ có ảnh đóng, tức là Γ( x) đóng với mọi x ∈ domΓ . Khi đó, nếu
Γ nửa liên tục trên thì Gr(Γ) đóng.

(ii) Ngược lại, giả sử Y là không gian compact. Khi đó, nếu Gr(Γ) đóng thì
Γ nửa liên tục trên.

Chứng minh.
(i) Giả sử Gr(Γ) không đóng, tức là có dãy ( xn , yn ) ∈ Gr(Γ) sao cho

( xn , yn ) → ( x, y ) mà y ∉ Γ( x) . Do Γ( x) đóng nên sẽ có lân cận U của Γ( x)
để y ∉ U . Do Γ n.l.t.t. nên tồn tại δ > 0 sao cho ΓB ( x, δ ) ⊂ U . Khi đó, với n
đủ lớn thì xn ∈ B ( x, δ ) nên Γ( xn ) ∈ U . Mà yn ∈ Γ( xn ) thì mâu thuẫn với giả
thiết y ∉ U , yn → y .
(ii) Giả sừ Γ không n.l.t.t. tại x . Khi đó, có lân cận U của Γ( x) để

ΓB ( x, δ ) ⊂/ U , ∀δ > 0 . Vì vậy sẽ có dãy xn → x và dãy yn ∈ Γ( xn ) sao cho


14

yn ∉ U , ∀n . Do Y compact nên có dãy con ( ynk ) hội tụ đến y nào đó trong
Y . Vì Gr(Γ) đóng nên ( x, y ) ∈ Gr(Γ) mâu thuẫn với yn ∉ U , ∀n (nên y ∉ U ).


15

Chương 2:
KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF

VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF
2.1. Không gian các tập đóng của một không gian mêtric
Trong tất cả phần này X là không gian metric với metric d . Chúng không
được giả thiết là d ( x, y ) < ∞ .
Định nghĩa 2.1. Cho A, B là hai tập hợp con của X , độ dôi (excess) của A
trên B được xác định như sau:

=
e( A, B ) sup{d ( x, B ) / x ∈ A}
(supremum nhận giá trị trong [0, ∞] , và sup ∅ =0 )
Khoảng cách Hausdorff của A và B là

h( A, B ) = max{e( A, B), e( B, A)} .
Những tính chất cơ bản.

e( A, ∅) =∞ nếu A ≠ ∅ .

ii))..

e(∅, B ) =
0
iiii))..

e( A, B ) =0 ⇔ A ⊂ B
h( A, B ) =0 ⇔ A =B

iiiiii)).. e( A, C ) ≤ e( A, B ) + e( B, C )

h( A, C ) ≤ h( A, B ) + h( B, C ) .
Do đó f ( X ) , tập tất cả các tập con đóng của X , với khoảng cách Hausdorff

trở thành một không gian metric.
Chú ý. Trong tập f ( X ) , ∅ là điểm cô lập. Nếu d bị chặn, thì h cũng bị
chặn trên f ( X ) − {∅} .
Định lý 2.2. Nếu An → A trong không gian metric f ( X ) , khi đó

=
A =
 Am    B=
( Am , ε )
n m≥ n

ε >0 n m≥ n

   W ( Am )

W ∈ n m ≥ n


16

Trong đó B ( Am , ε ) =
{x ∈ E / d ( x, Am ) ≤ ε } , và  là tập tất cả các lân cận của
cấu trúc đều của E và W ( Am ) = { y ∈ E / ∃x ∈ Am sao cho ( x, y ) ∈ W } .
Chứng minh.
1) Giả sử B =   Am . Cho ε > 0, n ∈ , x ∈ A thì tồn tại m ≥ n sao cho:
n m≥ n

h( Am , A) ≤ ε , suy ra d ( x, Am ) ≤ ε và tồn tại xm ∈ Am sao cho d ( x, xm ) ≤ 2ε .
Bởi vậy x ∈  Am với mỗi n ∈  . Điều này chứng tỏ A ⊂ B .
m≥ n

Giả sử x ∈ B , ta chứng minh An → A ∪ {x} (điều này sẽ chứng tỏ B ⊂ A ). Từ

An → A , suy ra e( An , A ∪ {x}) → 0 . Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra
e=
( A ∪ {x}, An ) max{e( A, An ), d ( x, An )} → 0 . Nó là đúng nếu chứng minh
được d ( x, An ) → 0 . Cho p ∈  sao cho m, n ≥ p thì h( An , Am ) ≤ ε . Từ x ∈ B
suy ra tồn tại m ≥ p sao cho d ( x, Am ) ≤ ε , do vậy nếu n ≥ p thì

d ( x, An ) ≤ d ( x, Am ) + h( Am , An ) ≤ 2ε .
2) Cho B =    B ( Am , ε ) . Nếu x ∈ A , và d ( x, Ap ) → 0 , dễ thấy x ∈ B .
ε >0 n m≥ n

Đảo lại, nếu x ∈ B , với ε > 0, ∃n ∈  sao cho ∀m ≥ n , d ( x, Am ) ≤ ε , do vậy

e( A ∪ {x}, An ) → 0 . Và dễ thấy e( An , A ∪ {x}) → 0 .
Vậy h( An , A ∪ {x}) → 0 và A= A ∪ {x} .

3) Đẳng thức thứ ba là hiển nhiên bởi vì một cơ sở lân cận là họ

=
Wε {( x, y ) / d ( x, y ) ≤ ε }(ε > 0),and Wε ( Am ) ⊂ B( Am , ε ) ⊂ W2ε ( Am ) .
Định lý 2.3. Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì f ( X ) là không gian
metric đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử ( An ) là dãy Cauchy trong f ( X ) .
1) Thứ nhất lưu ý rẳng có N sao cho n ≥ N , m ≥ N kéo theo h( An , Am ) ≤ 1 .
Khi đó, hoặc An = ∅ ∀n ≥ N hoặc An ≠ ∅ ∀n ≥ N . Trong trường hợp thứ
nhất dãy ( An ) hội tụ về ∅ . Giả sử chúng ta có trường hợp thứ hai.

17

2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng   Am ≠ ∅ .
n m≥ n

Cho ε > 0 (điều này sẽ được sử dụng đầy đủ trong 3)). Chọn ε = 1 là đủ.
Với mỗi k ∈  tồn tại N k sao cho m, n ≥ N k thì có h( An , Am ) < 2− k ε . Giả sử

(nk ) là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho nk ≥ N k . Cho xo ∈ Ano , giả sử chúng ta
đã chọn được xo , x1 ,..., xk với tính chất xi ∈ Ani , d ( xi , xi +1 ) < 2− i ε . Khi đó xk +1
được chọn trong Ank +1 thỏa d ( xk , xk +1 ) < 2− k ε (điều này có thể thu được bởi vì

d ( xk , Ank +1 ) ≤ h( Ank , Ank +1 ) < 2− k ε ).
Dãy ( xn ) là dãy cauchy trong không gian metric đầy đủ X , nó giới hạn đến

x . Khi đó x ∈   Am .
n m≥ n

3) Điểm x thu được ở phần 2) thỏa mãn d ( xo , x) ≤ 2ε . Do đó:
với mọi no ≥ N o và xo ∈ Ano tồn tại x ∈ A ( A =
  Am ) sao cho d ( xo , x) ≤ 2ε .
n m≥ n

Vì vậy e( Ano A) ≤ 2ε , ∀no ≥ N o .
4) Bây giờ chúng ta chứng minh e( A, An ) → 0 . Khi đó theo phần 3) sẽ chứng
tỏ được h( An , A) → 0 .
Giả sử ε > 0 và N sao cho n, m ≥ N thì có h( An , Am ) < ε . Lấy x ∈ A . Khi đó

x ∈  Am . Tồn tại no ≥ N và y ∈ Ano sao cho d ( x, y ) ≤ ε . Cho m ≥ N thì có

m≥ N

d ( x, Am ) ≤ d ( x, Ano ) + h( Ano , Am ) ≤ 2ε . Vì vậy e( A, Am ) ≤ 2ε .
Định lý 2.4. Cho 
tb ( X ) là tập hợp tất cả các tập đóng hoàn toàn bị chặn của
X . Khi đó 
f (X ) .
tb ( X ) là đóng trong 

Chứng minh.
Giả sử ( An ) là dãy trong 
f ( X ) . Cho ε > 0 tồn tại n
tb ( X ) hội tụ đến A ∈ 
sao cho e( A, An ) < ε và x1 ,..., x p sao cho họ các quả cầu tâm xi , bán kính ε


18

phủ An . Khi đó họ các quả cầu tâm xi , bán kính 2ε phủ A . Do đó

A ∈ 
tb ( X ) .
Chú ý. Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thì

f ( X ) hoàn toàn bị chặn. Thực vậy với ε > 0 cho trước, giả sử x1 ,..., xn thỏa
mãn họ các quả cầu mở tâm xi , bán kính ε phủ X . Giả sử A ∈ f ( X ) và

=
I {i / B ( xi , ε ) ∩ A ≠ ∅} . Khi đó tập=
B {xi / i ∈ I } có tính chất h( A, B ) ≤ ε .

Tập các tập con của tập {x1 ,..., xn } là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ f ( X ) hoàn
toàn bị chặn.
Do đó nếu X là compact thì f ( X ) là compact.
Định lý 2.5. Nếu X là đầy đủ, 
k ( X ) , tập tất cả các tập con compact của X ,
là đầy đủ.
Chứng minh. Điều này hiển nhiên theo định lý 2.3 và 2.4.
Chú ý. Định lý 2.5 vẫn đúng nếu X là không gian đều.
Định lý 2.6. Topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của
X , 
k ( X ) , là được sinh ra bởi tập {K ∈ 
k ( X ) / K ⊂ U } ( U mở) và

{K ∈ k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở). Cơ sở lân cận của K o bao gồm các tập
{K / K ⊂ U , K ∩ V1 ≠ ∅,..., K ∩ Vn ≠ ∅} (ở đó U ,V1 ,...,Vn là mở) chứa K o .
Chứng minh.
1) Chúng ta sẽ chứng minh 
.
=
{K ∈ k ( X ) / K ⊂ U } là mở. Giả sử K o ∈
Bởi tính compact của
=
K o , ε inf{d ( x, y ) / x ∈ K o , y ∈ E − U } > 0 . Khi đó
.
h( K , K o ) < ε ⇒ e( K , K o ) < ε ⇒ K ⊂ U , điều đó là K ∈
Chúng ta chứng minh 
.
= {K ∈ k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} là mở. Giả sử K o ∈ 
Tồn tại một quả cầu mở tâm xo ∈ K o ∩ V , bán kính ε chứa trong V . Khi đó
nếu h( K , K o ) < ε , thì K gặp quả cầu. Do đó K ∩ V ≠ ∅ và K ∈ 

.
2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu K o ∈ k ( X ) và ε > 0 cho
trước, quả cầu tâm K o và bán kính ε chứa tập:


19

{K / K ⊂ U }  {K / K ∩ V1 ≠ ∅}  ...  {K / K ∩ Vn ≠ ∅} tập này chứa K o .
Thật vậy,
chọn U {x / d ( x, K o ) < ε } và V1 ,...,Vn là các quả cầu mở bán kính
=

2−1 ε phủ K o . Khi đó nếu K ⊂ U thì e( K , K o ) ≤ ε , nếu K gặp V1 ,...,Vn thì
e( K o , K ) ≤ ε .
Chú ý. Nếu T là không gian topo, Γ , là hàm đa trị từ T đến k ( X ) , là liên
tục nếu và chỉ nếu n.l.t.d. và n.l.t.t (xem no 20, 21 cho định nghĩa của n.l.t.d.,
n.l.t.t).
Hệ quả 2.7. Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất
cả các tập con compact của X , k ( X ) , chỉ phụ thuộc vào topo của X (không
phụ thuộc metric).
Định lý 2.8. Nếu X là không gian metric khả ly, thì k ( X ) là không gian
metric khả ly.
Chứng minh.
Giả sử ( xn ) là dãy trù mật trong X . Giả sử  là tập hợp tất cả các tập hữu
hạn {xi1 ,..., xin } . Khi đó  là một phần đếm được của k ( X ) , và dễ kiểm tra
rằng  là tập trù mật trong k ( X ) .
Hệ quả 2.9. Nếu X là một không gian Polish, khi đó k ( X ) với topo được
mô tả trong định lý 2.6 là Polish.
Định lý 2.10. Nếu X là không gian metric khả ly, thì Borel σ -trường trong

k ( X ) (với topo Hausdorff) được sinh bởi những tập {K ∈ k ( X ) / K ⊂ U }
( U mở) và cũng sinh bởi các tập {K ∈ 
k ( X ) / K ∩ V ≠ ∅} ( V mở).
Chứng minh.
1) Xem xét tập {K / K ∩ V ≠ ∅} .

1
Chú ý rằng V =  Fn với
=
Fn {x / d ( x, E − V ) ≥ } .
n
n
Khi đó {K / K ∩ V=
≠ ∅} {K / K ∩ Fn ≠ ∅}
n